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Gotti. Friedr. Lipps.
ken keiner Ursache Aa entspricht, das Wirken einer Ursache zu A{, das Wirken von zwei und drei Ursachen zu At und A3 führt.
Nimmt man zunächst an, dass die Elementarursachen unabhängig von einander mit den Wahrscheinlichkeiten p, q, r wirken und mit den Wahrscheinlichkeiten p' — 1 — p, q' = 1 — q, r' = 1 — r nicht wirken, so werden die Varianten A3, At, A,, A0 der Reihe noch in folgenden relativen Häufigkeiten auftreten:
ps=p-q-r
Pi — P ■ q •r' + p • 4 ■ r + p ■ q ■ r Pi — p • q' ■r' + p • q • î*’ + p ■ q ■ t p, = p' q' ■ r' ■
Die Werthe p, q, r, die sämmtlich positiv und kleiner als 1 sein müssen, sind daher die Wurzeln der Gleichung
— (Pt + 2pi + 3p3)x* + (pt + 3p3)x — p3 = 0 .	(34)
Die Wurzeln dieser Gleichung sind aber jedenfalls dann nicht alle reell und positiv, wenn die Ungleichungen1)
\[Pi + 2P» + %P3) > y\{Pt + 3Pz)>Yp,
nicht erfüllt sind. Setzt man nun z. B.
1
Pt,—Px = Fi = Pt ~ j ,
so wird
Es gibt daher in diesem Falle kein System unabhängig wirkender Elementarursachen, durch welche die Varianten mit den angegebenen Wahrscheinlichkeitswerthen erzeugt werden können.
1) Im nächsten Capitel (III, § 1) beweise ich, dass, falls eine Gleichung n-ten Grades
xn — nßlxn~i+ —— • • ± ß’,\ = 0 lauter positive, reelle Wurzeln hat, die Ungleichungen
ßi > ß* > ■ ■ ■ > ßn
bestehen.