	Die Theorie der Collectivgegensthnde.	179

fassen. Die Fehlerreihe wird somit nach Gaus unabhŠngig von
einem Fehlergesetz und von der Anzahl der Beobachtungen durch
das arithmetische Mittel und den mittleren Fehler oder - mit andern
Worten - durch den das arithmetische Mittel definirenden Mittel-
werth erster Ordnung = 0 und durch den auf das arithmetische
Mittel als Ausgangswerth bezogenen Mittelwerth zweiter Ordnung ,
der mit dem U aufl 'scheu mittleren Fehler identisch ist, charakteri-
sirt. Es ist dies aber nichts anderes als die Anwendung der in 3
entwickelten Methode der Mitteiwerthe auf die durch Fehlerreihen
dargestellte besondere Olasse von C.G-. unter BeschrŠnkung auf die
Mitteiwerthe erster und zweiter Ordnung.
	Demnach kann die Methode der Mitteiwerthe als eine
Verallgemeinerung der G-au§'schen Methode, eine Reihe von
Beobachtungen durch das arithmetische Mittel und den mittleren
Fehler zu charakterisiren, aufgefasst werden. Zugleich erscheint aber
das Princip des mittleren Fehlers in einem neuen Lichte. Es ist
keineswegs mit der WillkŸrlichkeit behaftet, die Gaus selbst in den
angefŸhrten Worten zuzugeben bereit ist. Vielmehr wird der mitt-
lere Fehler als Mittelwerth zweiter Ordnung zu einem nie-
mals entbehrlichen Gliede in einer Kette von Bestimmungs-
stŸcken, deren Ausdehnung von den jeweiligen BedŸrfnissen abhŠngt
und deren BeschrŠnkung auf die beiden ersten Glieder zwar bei den
F'ehlerreihen vielfach genŸgen mag, aber nicht etwa in der Natur der
Fehlerreihen begrŸndet ist.


¤ 6. Collectivgegenstiinde mit Doppelreihen von Varianten.
	Die Methode, einen aus nur einer Variantenreihe bestehenden
C. U. durch die Mittelwerthc , ... , zu bestimmen, bietet den
Vortheil, ohne weiteres auf C.G. mit mehrfach zusammenhŠngenden
Variantenreihen Ÿbertragbar zu sein. Es genŸgt, dies fŸr eine Dop-
pelreihe von Varianten nachzuweisen.
	Werden die Varianten, wie in ¤ 1 angegeben wurde, durch
Zahlenpaare (a, §) markirt, so lassen sich stets zwei endliche Reihen
aufeinanderfolgender Zahlen a, a . . . ar und §4, §, . . §8 abgren-
zen, deren n = r . s Combinationen (, §) fŸr x = 1, 2 ... 1, 2 ... s den 
Bereich der Zahlenpaare darstellen, dem die
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