116
Gotti. Friedr. Lipps.
Es kann folglich ein bereits abgezähltes System nochmals zum Vorschein kommen und jedes in unbegrenzter Wiederholung zur Abzählung gelangen. Darum müssen Bedingungen von der an zweiter Stelle genannten Art erfüllt sein. Dann kann aus dem am häufigsten auftretenden Mischungsverhältnis dasjenige Paar von Wahrscheinhch-keitswerthen
m — i	i
p =---------; q = —
r m	m
berechnet werden, das dem gesuchten Werthenpaare
r	s
? = q = !
völlig oder nahezu gleich ist.
Diese Bedingungen sind insbesondere dann erfüllt, wenn bei der beliebig oft, unter gleichen Umständen wiederholten Bestimmung von je m Elementen aus der Gesammtzahl von t — r + s Elementen keines dieser Elemente bevorzugt wird, sondern alle gleich häufig zur Verwendung kommen. Dann werden nämlich die verschiedenartigen Systeme von Elementen A’ und A" in solcher Vertheilung auftreten, dass durchschnittlich unter t(t — 1) . . . (t — m + 1) Systemen
Cm_iU = r . . . {r — m + i + 1) • s . . . (s — i + 1)
Systeme mit m — i Elementen A' und i Elementen A" zu erwarten sind1). Es ist aber
1) Es werden also durchscknittlicli
C,n;0 = r(r — 1) • • • (r — m+ 1) Systeme aus ^-Elementen A! und C0;m = s (s — 1) ■ • • (s — m + 1) Systeme aus »^-Elementen A"
zu erwarten sein. Solche Systeme nennt Mar be (Naturphilosophische Untersuchungen zur Wahrscheinlichkeitslehre, 1899) reine Gruppen und behauptet (S. 71), »dass in allen Fällen, wo man die Wahrscheinlichkeitsrechnung anzuwenden pflegt, für gewisse Gruppengrößen [d. h. wenn m eine gewisse Anzahl übersteigt] die reinen Gruppen niemals Vorkommen*. Er stützt sich auf ähnliche Behauptungen d’Alembert’s (Mélanges de littérature, d’histoire et de philosophie, Amsterdam 1767) und sucht durch eigene Versuche (Werfen eines Geldstücks, das Zahl oder Wappen zeigt) und aus den Resultaten des Roulettespiels eine Bestätigung für seine Ansicht zu gewinnen. Dabei begeht jedoch Mar be den Fehler, zu