Die Theorie der Collectivgegenstände.
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sind aber die unbekannt bleibenden Coefficienten keineswegs willkür-lieb bestimmbar, sondern an gewisse Bedingungen gebunden, die — allgemein gesagt — darin ihre Quelle haben, dass die n Wurzeln der Gleichung (1) sämmtlich reell und positiv sind.
Demzufolge sind, wenn die Gleichung (1) in der Form
pn - (”) ßtpn~' + (g) ßlpn-* - • • • ± « = 0	(7)
geschrieben, wenn also
h = (”)# für i = 1, 2. . . n
gesetzt wird, die Werthe ßt, ßt ... ßn gleichfalls reelle Mittelwerthe der Größen pi,	. . . pn. Insbesondere ist ßl das arithmetische
und ßn das geometrische Mittel jener Größen. Und es bestehen zwischen diesen Mittelwerthen [wie im nächsten Oapitel (§ 1) gezeigt wird] Beziehungen, in denen die Thatsache, dass die n Wurzeln von (7) sämmtlich reell und positiv sind, einen Ausdruck findet. Beispielsweise ist
&>&>/*»>••• > ßn-i > ßn •	(8)
Es ist aber nun zu beachten, dass die Wahrscheinlichkeitswerthe Pi) Pi • Pn im allgemeinen nur innerhalb gewisser Grenzen als zuverlässig gelten können. Man wird darum nicht erwarten dürfen, bei einer erneuten, selbst unter gleichen Umständen ausgeführten Bestimmung genau dieselben Werthe wieder zu finden. Mit den Wahrscheinlichkeitswerthen ändern sich aber im allgemeinen auch ihre Mittelwerthe nach Maßgabe der Definitionsgleichung (5), so dass 7Ci + dK,	• • • ?rn + 4n an Stelle von st, , 7tt . . . nn tritt,
wenn pi, pt . . . pn durch pl + d{J pi 4-	. . . pn + ön ersetzt wird,
und
n{7tv -f- Jv)v = (pt — p0 + dj* + (pt — p0 + dt)v + • • •
+ (Pn — Po + ^n)l,
ist. Dabei muss
dt + d2 + . . . + 6n = 0
sein, indem sowohl p{ + pt + . . . + pn als auch pl + d, + pt + d; + • • . + pn + d„ gleich 1 ist. Da indessen d,, ds ... d„ als kleine