Die Theorie der Collectivgegenstände.
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Zahl aller Fälle wie r : [r + s) == r : t — wenn r s = t gesetzt wird — verhalten, welches letzteres^ Verhältniss zwischen den Grenzen
T -f- 1
~~T~
enthalten ist. Nun können, wie zu beweisen ist, so viele Beobachtungen gemacht werden, dass es beliebig oft (z. B. e-mal) wahrscheinlicher wird, dass das Verhältnis der günstigen zu allen angestellten Beobachtungen innerhalb dieser Grenzen liegt als außerhalb derselben,
also weder größer als
r + 1 t
noch kleiner als
Den Beweis dieses Satzes gründet Bernoulli auf die Eigenschaften der Glieder, die man durch die Entwicklung der Potenz
[r -(- s)nt = rnt +
(wo nt an Stelle des oben angenommenen m tritt) erhält, und er findet :
»Es können so viele Beobachtungen angestellt werden, dass die Anzahl der Fälle, in welchen das Verhältniss der günstigen zu allen überhaupt angestellten Beobachtungen die Grenzwerthe
nr + n	nr — n , r 4-1	-, r — 1
----;— und---------— oder —-— und —-—
nt	nt	t	t
nicht überschreitet, mehr als e-mal größer ist als die Summe der übrigen Fälle, d. h. dass es mehr als c-mal wahrscheinlicher wird, dass das Verhältniss der Anzahl der günstigen zu der Anzahl aller Beobachtungen die Grenzen
r-±l und
nicht überschreitet, als dass sie es überschreitet«.
Hierdurch erhält die Methode der Wahrscheinlichkeitsbestimmung aus einer großen Anzahl von Beobachtungen ihre exacte Begründung. Es darf aber nicht außer Acht gelassen werden, dass diese Methode die Erfüllung der oben, an zweiter Stelle genannten Bedingungen voraussetzt, und dass insbesondere das Bernoulli’sche Theorem auf der Annahme beruht, nach welcher bei einer oftmaligen, streng genommen