Die Theorie der Collectivgegenstände.
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Setzt man
<P(a + h) = 9 («) + y 9'(a) + ~~ 7°"la) H-----------------
so erhält man die darstellende Function (53) in der Form
(D(a) = y0cp(a) + 7, rp’(a) + y^cp"(a) H--------
(56)
Eine zur Anwendung dieser Methode geeignete Hülfsfunction ist die das gewöhnliche Fehlergesetz darstellende
(57)
V 7t
Die mittels dieser Function gebildete Reihe (56) ist zuerst von Bruns ') auf einem anderen Wege entwickelt worden.
Um eine exacte Darstellung der willkürlich gegebenen Function iy(a) oder f[a) zu erhalten, muss — von Ausnahmefällen abgesehen — in (41) oder (53) eine unbegrenzte Reihe von Gliedern vorausgesetzt und demzufolge eine unbegrenzte Anzahl von Coefficienten ci> ct; c3 • • • bestimmt werden. Die so resultirende darstellende Function ®(a) oder <D(a) ist aber im allgemeinen nur bedingt convergent. Denn die Werthe von et, cv c3 . . . können theils positiv, theils negativ sein, so dass — wenn auch ihre Summe endlich, nämlich gleich s0, sein muss — die positiven und die negativen Werthe, für sich allein zusammengefasst, einen unendlich großen Betrag ergeben können und nur auf Grund einer bestimmten Aufeinanderfolge zu dem endlichen Betrage s0 führen. Dann lässt sich aber allgemein geredet — auch von der Function <Z> («) oder d> (a) nur
1) »Ueber die Darstellung von Fehlergesetzen« (Astronomische Nachrichten, CXLIII, No. 3429), ferner »Zur Collectivmaßlehre« (Phüosophische Studien, XIV). Die letztere Abhandlung gibt Tabellen für y und die fünf ersten Ableitungen nebst Anweisungen zu ihrer Benutzung. — Berechnungen von C.G. auf Grund dieser Tabellen hat Werner (»Beiträge zur Collectivmaßlehre«, Philosophische Studien, XV) ausgeführt. — Auf dem oben angegebenen Wege habe ich die mittelst (57) gebildete Reihe (56) in den Philosophischen Studien, XIII (»Ueber Fech-ner s Collectivmaßlehre und die Vertheilungsgesetze der Collectivgegenstände«) hergeleitet.