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{"created":"2022-01-31T15:43:18.386270+00:00","id":"lit29144","links":{},"metadata":{"alternative":"Gesammelte Abhandlungen zur allgemeinen Muskel-und Nervenphysik, ErsterBand","contributors":[{"name":"Du Bois-Reymond, Emil","role":"author"}],"detailsRefDisplay":"In: Gesammelte Abhandlungen zur allgemeinen Muskel-und Nervenphysik, ErsterBand, 284-323. Leipzig: Veit & Co.","fulltext":[{"file":"p0284.txt","language":"de","ocr_de":"I\nxn.\nUeber aperiodische Bewegung ged\u00e4mpfter Magnete.\nErste Abhandlung.\n<Gelesen in der Gesammtsitzung der K\u00f6nigl. Akademie der Wissenschaften zu Berlin\nam 5. August 1869.)1\n\u00a7. I. Einleitung.\nIn seiner \u201eAnleitung zur Bestimmung der Schwingungs* dauer einer Magnetnadel\u201c2 stellt Gauss f\u00fcr die Bewegung eines in d\u00e4mpfender Umgebung schwingenden Magnetes die Fundamentalgleichung auf\n+ 2.$, (B\nwo x den dem Stand des Magnetes zur Zeit t, p den seinem Buhestand entsprechenden Scalentheil, n2 die magnetische Bichtkraft (f\u00fcr die Einheit der Ablenkung) und 2 s die verz\u00f6gernde Kraft der D\u00e4mpfung (f\u00fcr die Einheit der Geschwindigkeit), beide mit dem Tr\u00e4gheitsmoment des Magnetes dividirt, bedeuten. Das Integral dieser Gleichung giebt Gauss unter der Form\nx = p + Ae~!t sin [j/n2 \u2014 e2. (t \u2014 H)}, (II) wo e die Basis der nat\u00fcrlichen Logarithmen ist, A und B die beiden durch die Integration eingef\u00fchrten willk\u00fcrlichen Constanten vorstellen. Ohne die verz\u00f6gernde Kraft der D\u00e4mpfung ist nach Gauss das Integral x = p + A . sin [n (t \u2014 Z?)}.\t(IU)\n[808] Nachdem Gauss aus Gleichung (I) die Theorie der Schwingungsbewegung ged\u00e4mpfter Magnete hergeleitet hat, sagt er: \u201eBei allem\n1\tMonatsberichte der Akademie u. s. w. 1869. S. 807; \u2014 Archives des Sciences physiques et naturelles. Gen\u00e8ve 1872. t. XLIV. p. 312; \u2014 t. XLV. p. 84\u00bb\n2\tResultate aus den Beobachtungen des magnetischen Vereins im Jahre 1881\u00bb G\u00f6ttingen 1838. S. 58; \u2014 C. F. Gauss Werke u. s. w. G\u00f6ttingen 1867. 4 . Bd. V. S. 374.","page":284},{"file":"p0285.txt","language":"de","ocr_de":"XII. Ueber aperiodische Bewegung u. s. w. \u2014 Abh. I. \u2014 \u00a7. 1. Einleitung. 285'\nwais bisher entwickelt ist, liegt die Voraussetzung zum Grunde, dass \u00ab \u201ekleiner sei als n; im entgegengesetzten Fall nimmt das Integral der \u201eFundamentalgleichung eine andere Form an. Man erh\u00e4lt n\u00e4m\u00fcch anstatt des Gliedes Ae\u2014'* sin \\Y n2 \u2014 s2 . (t \u2014 B)}, in dem Fall,, \u201ewo \u00a3 gr\u00f6sser ist als n, zwei Glieder von der Form\nAe~ (\u00bb + 1 e2 \u2014 n2)t _j_ \u00dfe\u2014 (e \u2014 Fe2 \u2014 n2) t gy)\n\u201eund in dem Fall, wo s = n ist, von dieser\n(A + Bi) e~\u201c.\t(V)\n\u201eIn beiden F\u00e4llen findet also in der Bewegung gar nichts periodisches mehr Statt, sondern der Stand n\u00e4hert sich asymptotisch dem\n\u00a3\n\u201eRuhestande. F\u00fcr unsem D\u00e4mpfer ist \u2014 = 0-22152, und es m\u00fcsste\n\u201ealso ein mehr als 4xj2 mal st\u00e4rker wirkender D\u00e4mpfer angewandt werden,, \u201eum solchen Erfolg hervorzubringen. Offenbar aber w\u00fcrde es dazu nicht \u201ehinreichend sein, die Metallmenge nur in demselben Verh\u00e4ltniss zu ver-\u201egr\u00f6ssem, in sofern diese Vergr\u00f6ssenmg nach aussen angebracht werden \u201em\u00fcsste, und die \u00e4ussem Schichten des Metallrahmens vergleichungs-,.weise weniger zur Inductionswirkung beitragen als die innem. Allein \u201ees w\u00fcrde nicht einmal anzurathen sein, eine D\u00e4mpfung von einer \u201esolchen St\u00e4rke anzuwenden, dass die Bewegung auf h\u00f6rte periodisch zu \u201esein, theils weil, sobald s den Grenzwerth n \u00fcberschreitet, die Ann\u00e4herung an den Ruhestand wieder langsamer geschieht, theils weil \u201eman dann den wesentlichen Vortheil verl\u00f6re, aus zwei beliebigen, um \u201e7]\u201c \u2014 die Schwingungsdauer des ged\u00e4mpften Magnetes \u2014 \u201evon einander entfernten Aufzeichnungen den Ruhestand auf eine bequeme Art \u201eberechnen zu k\u00f6nnen.\u201c\nSo weit Gauss. Er hat den aperiodischen oder schwingungslosen Zustand ged\u00e4mpfter Magnete, wie man ihn nennen kann, mit geistigem Auge gesehen, ohne ihn wirklich zu beobachten, und seine Andeutungen dar\u00fcber sind meines Wissens mehr als dreissig Jahre unbeachtet geblieben, obschon [809] sie, wie sich zeigen wird, den Keim einer interessanten Theorie und, Gauss\u2019 Meinung zuwider, eines praktisch wichtigen Verfahrens enthielten. Ich habe gefunden, dass jener Zustand sich leicht verwirklichen l\u00e4sst; und noch Jedem, der von der aperiodischen Bewegung meiner Bussolspiegel Zeuge war, sprang der Vortheil in die Augen, der daraus bei vielen Arten galvanometrischer Versuche erwachsen m\u00fcsse.\nDa die Darstellung, deren sich Gauss im Obigen bedient, den Bunkt, auf den es hier ankommt, nicht mit voller Klarheit hervortreten","page":285},{"file":"p0286.txt","language":"de","ocr_de":"I\n286 XII. Ueber aperiodische Bewegung ged\u00e4mpfter Magnete. \u2014 Abh. I. \u2014\nl\u00e4sst, so wird es angemessen sein, die Theorie der aperiodischen Bewegung ged\u00e4mpfter Magnete zun\u00e4chst etwas ausf\u00fchrlicher zu entwickeln.\n\u00a7. II. Allgemeine Gleichung der Bewegung ged\u00e4mpfter Magnete, und periodische Bewegung solcher Magnete.\nDer Einfachheit halber nehmen wir an, dass die Ruhelage des Magnetes dem Nullpunkt der Theilung entspreche, also p \u2014 0 sei. Indem man sonst die GAUss\u2019schen Bezeichnungen beibeh\u00e4lt, aber zur Abk\u00fcrzung einen der beiden Werthe von\t'\n\u00ff e2 \u2014 w2 = r\nsetzt, erh\u00e4lt man als allgemeines vollst\u00e4ndiges Integral der Differentialgleichung (I) die Gleichung\nx = e~~\u2018l (Ae~rl + Bert), \u2022\t(VI)\nderen rechte Seite mit (IV) identisch ist.\nZur Bestimmung der Constanten A und B dienen Annahmen \u00fcber Anfangslage und Anfangsgeschwindigkeit des Magnetes. Denken wir uns den Magnet durch eine \u00e4ussere Kraft, z. B. durch einen best\u00e4ndigen elektrischen Strom, in der Ablenkung f gehalten, die aber nicht gr\u00f6sser sei, als dass nicht die Proportionalit\u00e4t zwischen Ablenkung und Richt-kraft noch angenommen werden d\u00fcrfe, und die D\u00e4mpfung merklich den gleichen Werth behalte. Im Augenblick t = 0 werde die Kette ge\u00f6ffnet, und der Magnet gleichsam seiner Ruhelage zu fallen gelassen.\nd x\nF\u00fcr t \u2014 0 haben wir dann x = g und ^ \u2014 0. Man findet\n[810]\nA = B =\nI (\u00ab \u2014 r)\n2 r\t\u2019\n2 r\t\u2019\nund Gleichung (VI) wird\nx = ~ . e~'*[(\u00ab + r) ert\u2014 (s \u2014 r) e~rt], (VII)\nDie Art der Bewegung des Magnetes, welche durch die Gleichungen (YI) und (YD) dargestellt wird, ist verschieden je nach der Beschaffenheit der AVurzelgr\u00f6sse r.\nIst s < n, so ist r = in, wenn wir Y\u2014 1 mit i, und einen der beiden Werthe von Y7,2 \u2014 \u00ab2 mit p bezeichnen. Gleichung (VI) ge^ dann unmittelbar \u00fcber in\n= e-,l{(A + B) cos (pr) \u2014 i (A \u2014 B) sin (p#)},\nx","page":286},{"file":"p0287.txt","language":"de","ocr_de":"\u00a7. 2. Allgemeine Bewegungsgleichung ged\u00e4mpfter Magnete.\n287\noder, wenn den Constanten A und B ihr Werth ertheilt wird, in\nx \u25a0= | \u2022\t| cos (pt) + sin (pt) | (IX)\nDiese Gleichungen zeigen eine Schwingungsbewegung des Magnetes an, bei der die Amplitude der Schwingungen in einer geometrischen Reihe abnimmt, die bekannte Bewegungsart ged\u00e4mpfter Magnete. Der Magnet geht durch den Nullpunkt jedesmal dass\ntg {ot) = \u2014 y,\nund erreicht seine gr\u00f6sste Elongation jedesmal dass\nsin {pt) \u2014 0.\nBestimmt man eine Winkelgr\u00f6sse cj> durch die Gleichung\n= \u2014 y,\nC\nso wird Gleichung (IX)\nx\nI \u2022 e~\u2018*\ny sin { 9 {t \u2014 <t>)}\n(X)\n[811] Der von der eckigen Klammer umfasste Factor\u2019in dieser Gleichung entspricht dem periodischen Factor in (IX), verschwindet f\u00fcr tg (ot) =\n\u2014 \u2014 und wird = 1 f\u00fcr sin (pt) = 0.\nAbgesehen von der von uns vorgenommenen Constantenbestimmung, ist Gleichung (X) einerlei mit (II), oder von der Form, in welcher Gauss das Integral der Fundamentalgleichung unter der stillschweigenden Voraussetzung hingestellt hat, dass s < n sei; w\u00e4hrend er der allgemeinen und urspr\u00fcnglichen Form des Integrals, n\u00e4mlich der Gleichung (VI), aus der (II) erst durch eine allerdings gel\u00e4ufige Umformung hervorgeht, erst sp\u00e4ter bei Erw\u00e4gung der M\u00f6glichkeit, dass e > n werde, gedenkt. Was Gauss bewog, die umgeformte Gleichung (II) voranzustellen, ist sichtlich der Umstand, dass in dieser Gestalt die Gleichung sich an die (III) an-schliesst, welche die Bewegung des Magnetes ohne D\u00e4mpfung darstellt. Setzt man in der Fundamentalgleichung e = 0, wodurch der die D\u00e4mpfung ausdr\u00fcckende Term verschwindet, so erh\u00e4lt man als allgemeines vollst\u00e4ndiges Integral den von Gauss gegebenen Ausdruck (ITT), und unter denselben Annahmen \u00fcber Anfangslage und Anfangsgeschwindigkeit, die wir f\u00fcr den Fall der D\u00e4mpfung gemacht haben, und f\u00fcr p = 0,","page":287},{"file":"p0288.txt","language":"de","ocr_de":"I\n288 XII. Ueber aperiodische Bewegung ged\u00e4mpfter Magnete. \u2014 Abh. I. \u2014\nwo n in \u00fcblicher Bedeutung genommen ist. Die Vergleichung der Ausdr\u00fccke (II) und (III), oder (X) und (XI), l\u00e4sst den Einfluss der D\u00e4mpfung auf die Schwingungsbewegung klar \u00fcbersehen, der sich theils in dem Auftreten des die Amplituden vermindernden Factors e~'1, theils in dem langsameren Wachsen des Argumentes der periodischen Function ausspricht, wodurch eine gr\u00f6ssere Schwingungsdauer angezeigt wird. Da es Gauss zun\u00e4chst auf diesen Vergleich ankam, der Fall s > n ihm dagegen nur als theoretisches Curiosum vorschwebte, durfte es ihm gleichg\u00fcltig sein, dass bei seiner Darstellung [812] der unmittelbare Einblick in den Uebergang der periodischen zur aperiodischen Bewegung, der hei s \u2014 n stattfindet, verloren ging.\n\u00a7. in. Aperiodische Bewegung ged\u00e4mpfter Magnete.\nIn dem Falle \u00ab > n, wo also r reell ist, gilt Gleichung (VII), wie sie dasteht. Die Bewegung ist nicht mehr periodisch, sondern die Ablenkung als Function der Zeit wird dargestellt durch den Unterschied der Ordinaten zweier Exponentialcurven, die sich der Abscissenaxe asymptotisch n\u00e4hern. Der Werth t = oo ist der einzige m\u00f6gliche, der x = 0 macht. F\u00e4llt also der Magnet von der Ablenkung g, welche beliebig gross gedacht werden kann, ohne Anfangsgeschwindigkeit herab,' so wird der Nullpunkt nicht \u00fcberschritten, sondern erst nach unendlicher Zeit erreicht. Die Curve der Ablenkungen bezogen auf die Zeit hebt bei t = 0 mit der Ordinate \u00a3 und mit horizontaler Tangente an, und hat zuerst einen gegen die Abscissenaxe concaven Verlauf. Die Curve der Geschwindigkeiten\ndx = I\"2. e-*\u2018 (e~rt \u2014 \u00abrt)\t(XII)\ndt 2 r\nist am Urspr\u00fcnge concav gegen die Abscissenaxe, und erreicht ein negar tives Maximum f\u00fcr\nt = ~ log. nat. 6 r,\t(XIII)\nwelchem t also ein Wendepunkt der Curve der Ablenkungen entspricht. Nach genau der doppelten Zeit folgt der Wendepunkt der Curve der Geschwindigkeiten, die sich gleichfalls der Abscissenaxe asymptotisch an-schliesst. Die Ordinaten beider Curven sind f\u00fcr gleiche Zeiten | proportional.\nEine bemerkenswerthe Vereinfachung tritt in vielen Beziehungen ei\u00bb f\u00fcr den Grenzfall, dass n = s, oder dass r = 0 wird. Das Integral der Differentialgleichung ist alsdann [vergl. oben S. 285 (V)] x = (A + Bt) e~\u201c,","page":288},{"file":"p0289.txt","language":"de","ocr_de":"\u00a7. 3. Aperiodische Bewegung ged\u00e4mpfter Magnete.\n289\nj findet man = f, B \u2014 a f, und man hat\n* = |. e~lt (1 + ' et).\t(XIV)\n[813] Diese Gleichung, und die davon abgeleitete\n% = \u00eb.Me-'\t(XV)\nlassen sich leichter discutiren als die allgemeineren (VII) und (XII). Einige der sich dabei ergebenden Beziehungen sind in Fig. 22 dargestellt, in welcher \u00a7 = 2, e = \u00ab = 1 gesetzt sind. Die oberhalb der Ab-scissenaxe verlaufende Curve {gwf) ist die der Ablenkungen, die unter-\nFig. 22.\nhalb (0 mw,t) die der Geschwindigkeiten. Die punktirte Curve (g, \u2122 ,\n\u00fb U\n~~ I) ist die Sinuscurve der Ablenkungen ohne D\u00e4mpfung, und stellt Gleichung (XI) f\u00fcr n = 1 dar. Der Wendepunkt der Curve der Ablenkungen und das Maximum der Curve der Geschwindigkeiten treten ein zur Zeit\n* = v- \u2022 (XYI)\nIn der doppelten Entfernung vom Nullpunkt, also zur Zeit\nt = \u2014\t(XVII)\nfritt auch hier der Wendepunkt, der letzteren Curve ein. Die Ordinaten ^er Curven sind f\u00fcr gleiche Zeiten g proportional.","page":289},{"file":"p0290.txt","language":"de","ocr_de":"290 XII. Ueber aperiodische Bewegung ged\u00e4mpfter Magnete. \u2014 Abh. I. \u2014\n[814] Wird endlich \u00ab im Vergleich zu n so gross, oder, was v\u00f6lliger Astasie des Magnetes entspr\u00e4che, n im Vergleich zu \u00ab so klein, dass n gegen e verschwindet und r merklich = s ist, so nimmt das allgemeine vollst\u00e4ndige Integral unserer Fundamentalgleichung abermals eine andere Gestalt an. Setzt man n\u00e4mlich n2 = 0, so wird jenes Integral\nx \u2014 A . e 2,( + B,\t(XVni)\nwo A und B die beiden willk\u00fcrlichen Integrationsconstanten bedeuten. Unter denselben Annahmen \u00fcber Anfangslage und Anfangsgeschwindigkeit wie fr\u00fcher, findet man\nA = 0, B = g, x = g.\t(XIX)\nDer Magnet bleibt also bei f stehen, und die der Abscissenaxe parallele Gerade, welche f zur Ordinate hat, ist die Grenze, der sich die Curven der Ablenkungen bezogen auf die Zeit n\u00e4hern, wenn n im Vergleich zu \u00ab immer kleiner wird. Erh\u00e4lt aber unter diesen Umst\u00e4nden der Magnet im Augenblick t = 0 bei \u00a3 einen Stoss, der ihm eine Geschwindigkeit + c ertheilt, so wird\n^ = * \u00a3, * = * \u00b1 x - \u00b1 \u00a3 (i - m\nDer Magnet bewegt sich also mit abnehmender Geschwindigkeit\ndem Punkte \u00a3 4- ^ zu, wo er nach unendlicher Zeit stehen bleibt \u00bb \u2014 2 \u00a3 7\nDer Vorgang ist der Form nach genau der n\u00e4mliche wie in dem F\u00e4he, wo ein K\u00f6rper nach erhaltenem Stosse sich in einem Mittel bewegt, das ihm einen seiner Geschwindigkeit proportionalen Widerstand entgegensetzt; und dies ist die h\u00f6chste Stufe des AEAGo\u2019schen Phaenomens des Rotationsmagnetismus.\n\u00a7. IV. Uehersicht der Bewegungsformen unged\u00e4mpfter und ged\u00e4mpfter Magnete.\nJe nach den Werthen von e und n nimmt also das Integral der Fundamentalgleichung die f\u00fcnf verschiedenen Formen an, welche folgende Uebersicht nochmals im Zusammenh\u00e4nge zeigt.","page":290},{"file":"p0291.txt","language":"de","ocr_de":"\u00e8 und '\t= 0 f\u00fcr\n3\trf /\n\u00a7. 4. Uebersicht der Bewegungsformen ged\u00e4mpfter Magnete.\n291\no\n\n\u00ce?\npo\no\nII\tv .1\tII\n**\tw\tSo\n8\tO\nil\tii\nw\tSo\n8 \u00f6\nw S<*\nO\tto\nIl\tII\ns\ts.\n\u2022qostpouad SunSoAing\n\u25a0qosipoued'B SunSoAWg 19*","page":291},{"file":"p0292.txt","language":"de","ocr_de":"I\n292 XII. lieber aperiodische Bewegung ged\u00e4mpfter Magnete. \u2014 Abh. I. \u2014\n[816] Aus (IX) wird durch \u00ab = 0 (XI), durch s = n (XIV); aus (VIT) durch a = n (XIV), durch n \u2014 0 (XIX). Dieser Uebergang der verschiedenen Formen in einander ist das analytische Abbild des allm\u00e4hlichen Ueberganges, der in Wirklichkeit von den Schwingungen des unged\u00e4mpften Magnetes bis zur v\u00f6lligen Astasie des ged\u00e4mpften Magnetes f\u00fchrt.\nDie Schwingungsdauer des ged\u00e4mpften Magnetes ist nach Gauss\n^ =\nYn\n(XXI)\nWird also a = oder > n|, d. h. die Bewegung aperiodisch, so spricht sich dies darin aus, dass der Ausdruck f\u00fcr die Schwingungsdauer unendlich gross, beziehlich imagin\u00e4r wird.\nDer Ausdruck f\u00fcr das in nat\u00fcrlichen Logarithmen angegebene logarithmische Decrement der Schwingungen des ged\u00e4mpften Magnetes ist\nA = \u00ab 7] =\nY fi2 \u2014 *2\nF\u00fcr \u00a3 = n ist A unendlich, schon die zweite Amplitude verschwindet im Vergleich zur ersten. F\u00fcr s > n ist A imagin\u00e4r, und auch so giebt sich die eingetretene Schwingungslosigkeit zu erkennen.\n\u00a7. V. Aperiodische Bewegung mit Anfangsgeschwindigkeit.\nWir wollen jetzt einen Fall betrachten, dessen Behandlung wesentlich dazu beitragen wird, unsere Kenntniss der aperiodischen Bewegung ged\u00e4mpfter Magnete zu vervollst\u00e4ndigen. Dies ist der Fall, wo die Anfangsgeschwindigkeit nicht Null ist, sondern einen negativen Werth \u2014 c, also im Sinne der Richtkraft, besitzt. Die Constanten A und B werden beziehlich in Gleichung (VI)\nc \u2014 \u00e8 (\u00a3 \u2014 r) \u2014 c + \u00a3 (g + r)\n2 r \u2019\t2 r\t\u2019\nund in Gleichung (V)\n[817]\tI, \u2014 c + eg;\ndie Gleichungen selber\n2 r\n[ c \u2014 | (\u00a3 \u2014 r)J e~rt \u2014 [ c \u2014 | (e + r)} erl , (XXH)\nx = e~lt \u2014 t (c \u2014 *!))\u2022\t(XXI3D\nDie Bewegung ist aperiodisch; \u00fcbersteigt aber c in jedem der beiden F\u00e4lle (XXII) und (XXIII) einen gewissen Werth, den wir bald n\u00e4her betrachten wollen, so wird der Nullpunkt \u00fcberschritten. Noch ehe e diesen Werth erreicht, werden die Curven der Ablenkungen und der","page":292},{"file":"p0293.txt","language":"de","ocr_de":"\u00a7. 5. Aperiodische Bewegung mit Anfangsgeschwindigkeit.\n293\nGeschwindigkeiten von t = 0 ab convex gegen die Abscissenaxe. Im Talle (XXD3) tritt dies z. B. ein bei c > 1j2 eg f\u00fcr erstere, bei c > 1/a f\u00fcr letztere Curve, w\u00e4hrend, wie wir sehen werden, erst von c > \u00abg ab der Nullpunkt \u00fcberschritten wird. Dies Ueberschreiten geschieht im Talle (XXII) zur Zeit\nim Talle (XXHI) zur Zeit\n1 ,\tc \u2014 | (\u00ab \u2014 r)\n- 27 l0g c - i (e + r)\u2019\nt\u201e =\nc \u2014 sg'\nJenseit des Nullpunktes kehrt der Magnet in seiner Bewegung um, im Talle (XXII) zur Zeit\ntmax \u2014\nim Talle (XXIH) zur Zeit\n_L w (\u00ab..+ rHc - i\n2r \u00eb (s \u2014 r) { c\nr)J\nI (\u00ab + \u00bb0}\u2019\ntrniax \u2014\n\u00ab (c \u2014 *f)\u2019\nDie Curve der Ablenkungen\ndx\nzu welchen Zeiten durch Null geht.\nist vom Nullpunkt der Scale ab concav gegen die Abscissenaxe der Zeiten; es erfolgt aber ein positives Maximum der Geschwindigkeit, sowie ein Wendepunkt der Curve der Ablenkungen im Talle (XXH) zur Zeit M\tt =\t1 w (a + rf\tr)j\n2 r (s\nim Talle (XXIII) zur Zeit\n2 (c \u2014 \u00ea (\u00ab + r)}\u2019\nt*n ~~\n\u00abI\n6 {C \u2014 eg)'\nDarauf n\u00e4hert sich der Magnet von der anderen Seite her asymptotisch dem Buhestande. Auch die Curve der Geschwindigkeiten n\u00e4hert sich schliesslich asymptotisch der Abscissenaxe, nachdem sie im Talle (XXTT) zur Zeit\n1 iO0. (* + r)3 {c \u2014 | (t \u2014 r) j 2r g (t \u2014 r)s {c \u2014 g (e + r)}\u00bb im Falle (XXIII) zur Zeit\n3 c \u2014 2\n^tOy --\ntlD. --\n\u00ab (c \u2014 eg)\neinen Wendepunkt' gehabt hat.\nDie Zeiten t0, tmax, tw, tW/ bilden also in beiden T\u00e4llen Glieder einer arithmetischen Beihe, deren best\u00e4ndiger Unterschied im Talle (XXII)\n1\t\u00ab + r","page":293},{"file":"p0294.txt","language":"de","ocr_de":"294 XII. Ueber aperiodische Bewegung ged\u00e4mpfter Magnete. \u2014 Abh. I________________\nim Talle (XXIII) betr\u00e4gt [vergl. oben S. 288. 289, (XII, XVI,.\nxvn)].\nIn Fig. 23 zeigt |t0mwt die durch (XXIII) dargestellte Curve der Ablenkungen bezogen auf die Zeit, nebst der zugeh\u00f6rigen Curve der Geschwindigkeiten (2 e\u00a7, tm rn,w,t), unter sonst denselben Annahmen wie in Fig. 22; die Curve der Ablenkungen ist von ihrem negativen Maximum m ab dieselbe wie in Fig. 22, nur mit verkleinerten Ordinaten. Die Anfangsgeschwindigkeit c ist in der Figur = 2 \u00ab\u00a3 = 4 gesetzt. [819}\nFig. 23.\nDa die Zeit in ihrem Fortschritt nicht negativ werden kann, haben die Ausdr\u00fccke f\u00fcr t0 eine wirkliche Bedeutung nur wenn in dem auf den Fall (XXII) bez\u00fcglichen Ausdruck die Gr\u00f6sse unter dem Logarithmus positiv und > 1, also\nc > i (\u00a3 + r)>\t(xxiv)\nwo r, wie stets von hier ab, einen positiven Werth hat; oder wenn W dem auf den Fall (XXIII) bez\u00fcglichen Ausdruck","page":294},{"file":"p0295.txt","language":"de","ocr_de":"\u00a7. 5. Aperiodische Bewegung mit Anfangsgeschwindigkeit.\n295-\nc > e|\t(XXV)\nist. Noch f\u00fcr c = | (e + r) im ersten, c = e| im zweiten Falle wird der Nullpunkt erst nach unendlicher Zeit erreicht, und zwar nehmen dabei die Gleichungen (XXII) und (XXIII) beziehlich die einfachen Formen an\n[820]\t* = | \u2022 er- <\u2022 + r)<\t(XXVI)\n* =\t*.\t(XXVII)\nIst r = f, oder gilt Gleichung (XX), so muss c = 2 sf sein, damit der Magnet den Nullpunkt erreiche, und > 2 \u00ab\u00a7, damit er ihn\n\u00df\n\u00fcberschreite. Ist c = 2 e\u00a3 + S, so bleibt er bei \u2014 \u201e stehen.\nut \u00a3\n\u00a7. VI. Herleitung der Bedingung f\u00fcr die zum Ueberschreiten des Nullpunktes n\u00f6thige Anfangsgeschwindigkeit.\nDer Sinn der Bedingung f\u00fcr die zum Ueberschreiten des Nullpunktes n\u00f6thige Anfangsgeschwindigkeit in den durch die Gleichungen (XXII) und (XXIII) dargestellten F\u00e4llen ergiebt sich aus folgender Betrachtung. Es ist offenbar gleichg\u00fcltig, ob dem Magnete zu einer Zeit tn, wo er aus einer Ablenkung x0 fallen gelassen wird, eine Geschwindigkeit \u2014 c0 ertheilt werde, oder ob er zur Zeit t0 bei x0 anlangend, die-\ndx\nselbe Geschwindigkeit \u2014 c0 = durch Fallen aus einer h\u00f6heren\nAblenkung |, gleichsam als Fallgeschwindigkeit, erlange. Keine\nFallgeschwindigkeit ^, die der Magnet bei x0 durch Fallen von einem\nbeliebig hohen | h\u00e4tte erlangen k\u00f6nnen, w\u00fcrde also, wenn sie dem Magnete beim Fallenlassen von x0 zur Zeit t0 als Anfangsgeschwindigkeit\n\u2014\tCq ertheilt w\u00fcrde, ihn \u00fcber den Nullpunkt f\u00fchren. Denn obschon in Wirklichkeit die Anwendung unserer Formeln der oben S. 286 erw\u00e4hnten Beschr\u00e4nkung unterhegt, gelten sie in der Idee f\u00fcr jeden denkbaren\ndx\nWerth von \u00a3, und wenn also der Magnet die Geschwindigkeit 0 =\n\u2014\tc0 durch F\u00e4hen von jenem behebig hohen | erlangt h\u00e4tte, w\u00fcrde er 'sich asymptotisch der Buhelage n\u00e4hern.\nDie Bechnung best\u00e4tigt diese Schl\u00fcsse. Der Einfachheit halber sei die Bewegung nur eben aperiodisch, d. h. e = n, und demgem\u00e4ss ihre Gleichung [s. oben S. 289 (XIV)]\nx = | . \u00eb~H (1 + et),\n[821] x0 eine Ordinate zu t0. Indem wir den Coordinatenursprung von","page":295},{"file":"p0296.txt","language":"de","ocr_de":"I\n296 XII. Ueber aperiodische Bewegung ged\u00e4mpfter Magnete. \u2014 Abh. I. -\nt = 0 nach t \u2014 t0 verlegen, verwandeln wir der Form nach den Vorgang in den durch Gleichung (XXIII) dargestellten, und haben also\nx = e~s {t ~ k) {\u00aeo \u2014 (* \u2014 t0) (\u2014 %\u25a0 \u2014 *'ro)}\nEs ist aber, nach Gleichung (XIV) und (XV),\n(XXVIII)\n= ! .c-\u00a3'o (1 + eg,\ndx0\ndt\n= - I\ne2tQ e\n\u25a0\u2014 e A\nDiese Werthe in (XXVIII) eingesetzt liefern wieder die urspr\u00fcngliche Gleichung (XIV), d. h. der Nullpunkt wird nicht \u00fcberschritten, wenn dem Magnete hei x0 eine Geschwindigkeit ertheilt wird, wie er sie dort durch Fallen von einem beliebig hohen | h\u00e4tte erlangen k\u00f6nnen. x kann erst Null werden, wie Gleichung (XXVIII) uns abermals vorf\u00fchrt, wenn\ndxn\ndt\n> sx0, d. h. c0 > ex0.\nDieselbe Schlussfolge f\u00fchrt unter der Annahme e > n zur Bedingung\ndxo\ndt\n> (\u00ab + r) x0, d. h. c0 >\nr) x0,\nentsprechend der Ungleichheit (XXIV) auf S. 294. So werden wir darauf hingewiesen, dass ex, (e + r) x vielleicht allgemein die Grenzgeschwindigkeiten seien, die heziehlich f\u00fcr e = n, e > n der Magnet hei x durch Fallen aus einer beliebig hohen Anfangslage erlangen k\u00f6nne. Es handelt sich darum, die Richtigkeit dieser Vermuthung zu pr\u00fcfen.\nDazu m\u00fcssen wir von der Betrachtung der Geschwindigkeit als\nFunction der Zeit und Anfangslage ~ = / (t, f), \u00fcbergehen zur Betrachtung der Geschwindigkeit als Function der Ablenkung und An-\ncl X\nfangslage ^ = 4> [x, |). Letztere Function [822] l\u00e4sst sich nun zwar\nnicht explicit darlegen; dies verhindert aber nicht, den Verlauf der entr sprechenden Curve soweit festzustellen, als f\u00fcr unsere Zwecke n\u00f6thig ist. Aus Gr\u00fcnden, die bald einleuchten werden, ber\u00fccksichtigen wir zun\u00e4chst nur den Fall e = n, oder die Bewegungsgleichung (XIV).\nDer K\u00fcrze halber setzen wir\n,\tdx ,,\tdx ,,, dx\"\nX\tdt\u2019 X\tdt , '7 dt\nWir haben dann die Gleichungen\nx = + | . e~\u201c (1 + et)\n. e~\ne H\nx","page":296},{"file":"p0297.txt","language":"de","ocr_de":"\u00a7. 6. Bedingung f\u00fcr das Ueberschreiten des Nullpunktes.\n297\nNun ist allgemein\n= + |. e~,l s2 (et \u2014 1) = \u2014 g . e~t( s3 (et \u2014 2).\ndx'\ndx\nd2x\n~dx2\nXX -- X\n?3\t-\nHieraus ergeben sieh, durch Einsetzen obiger Werthe f\u00fcr x, x\", x\u201d, folgende Beziehungen:\ndx _ 1 \u2014 et d2x\t1\ndx\tt \u2019 dx2 g. e~ct e2t3'\nMit H\u00fclfe dieser Gleichungen l\u00e4sst sich der Verlauf der gesuchten Curve x = f (x) zwischen den Grenzen x = 0, x = g deshalb discutiren, weil, w\u00e4hrend t von Null bis oo stetig w\u00e4chst, x stetig von g bis Null abnimmt.\nd2\u00e6\nAus dem Werthe von -^2 folgt zun\u00e4chst, dass die Curve zwischen den angegebenen Grenzen keinen Wendepunkt hat, sondern der Abscisse\nstets ihre Concavit\u00e4t zukehrt.\nd\nAus dem Werthe von folgt ferner,\noo.\ndass die Curve bei x = 0 aus der Abscissenaxe herabsteigt unter einem Winkel, dessen Tangente den absoluten Werth s hat. Sie hat dann 1 2\nf\u00fcr t = \u2014 (XVI) oder x = \u2014 \u00a7 ein Maximum im absoluten Betrage \u00a3\nvon -- g, und [823] kehrt bei g zur Abscissenaxe zur\u00fcck mit darauf senkrechter Tangente; denn f\u00fcr f = 0 ist\ndx dx\nUnter denselben Annahmen,\twie\tden bei Fig. 22 gemachten, sieht daher\nunsere Curve etwa aus, wie\tdie\tausgezogene Curve\tOm g\tin Fig. 24, in\nwelcher die Geschwindigkeiten, obschon analytisch negativ, der Anschaulichkeit halber \u00fcber der Abscissenaxe aufgetragen, und 09, g6, die Tangenten an den letzten Elementen der Curve bei 0 und g sind. Da wir in der Figur \u00ab = 1 gemacht haben, ist der Winkel 00g = 45\u00b0.\nDies ist der allgemeine Verlauf der Curve f\u00fcr jeden Werth von g. Ts er\u00fcbrigt sich ein Bild davon zu machen, wie sich die Curve mit g audert. Sowohl die Ordinaten als die Abscissen der Curve sind f\u00fcr ein gegebenes t proportional g\t(s.\toben S. 289); die\tden\tverschiedenen\nBerthen des Parameters g\tentsprechenden Curven\tsind\talso einander\n\u00e4hnlich. Da die Curven vom Nullpunkte s\u00e4mmtlich unter dem Winkel","page":297},{"file":"p0298.txt","language":"de","ocr_de":"f\n298 XII. Ueber aperiodische Bewegung ged\u00e4mpfter Magnete. \u2014 Abh. I_____________\n[824] ausstrahlen, dessen Tangente e ist, w\u00e4hrend der \u00a3 - Punkt auf der Abscissenaxe weiter hinaus verlegt wird, so bilden die durch Yer-gr\u00f6sserung von g aus 0 m | entstehenden Curven eine Schaar, wie Fig. 24 in den punktirten Curven Om1 \u00a3,, 0m2|2, .. . zeigt. Fasst man einen\nFig. 24.\nPunkt einer der Curven in\u2019s Auge, so r\u00fcckt in dem Maasse, wie \u00a3 w\u00e4chst, der Punkt auf der durch ihn und den Nullpunkt gelegten Geraden\ns t\nE1 -p 1\nweiter fort; denn alsdann wachsen Ordinaten und Abscissen des Punktes proportional f. Z. B. das Maximum unserer Curve x \u2014 $ (x, f) bewegt sich wegen t = (XVI) auf der Geraden\nx =\nEX\n(XXIX)\n\n1\n8 x\n(s. 0 mm1m2 m3 in der Figur) ; der dem Wendepunkte der Curve x = / (b I) (s. oben S. 296) entsprechende Punkt wegen t = - (XVII) auf der Geraden\nEX\nx","page":298},{"file":"p0299.txt","language":"de","ocr_de":"\u00a7. 6. Bedingung f\u00fcr das Ueberschreiten des Nullpunktes.\t299\nn. s. w.; endlich der dem Nullpunkte n\u00e4chste Punkt wegen t = oo auf der Geraden\nx = \u2014 ex\n(s. OO in der Figur).\nMacht man zuletzt f unendlich, und soll Gleichung (XIV) f\u00fcr ein endliches x erf\u00fcllt sein, so muss auch t unendlich sein. Erst nach unendlicher Zeit trifft der aus dem Unendlichen fallende Magnet im Endlichen ein, wobei seine Geschwindigkeit f\u00fcr endliche Zeit unendlich ist. Im Endlichen aber besteht, wie wir eben sahen, wegen t = oo in Gleichung (XXIX), zwischen seiner Geschwindigkeit und Ablenkung in jedem Augenblicke die Relation,\nx \u2014 \u2014 ex.\nDie durch diese Gleichung dargestellte Gerade 06 in der Figur ist somit die Grenze, der sich im Endlichen [825] unsere Curven n\u00e4hern, wenn \u00a3 in\u2019s Unendliche w\u00e4chst; was schon aus ihrer Aehnlichkeit ohne Weiteres erhellt, \u00fcbrigens sich den Gleichungen (XIV) und (XV) auch unmittelbar entnehmen l\u00e4sst. Der durch Division beider Gleichungen erhaltene Werth von t in (XIV) eingesetzt giebt\nX*\ne !\u2022 = (V + ex) e *'+'*;\neine Relation, die f\u00fcr f = oo nur stattfindet, wenn x = \u2014 ex ist.\nDamit sind wir am Ziele. In jeder f\u00fcr uns in Betracht kommenden Entfernung vom Nullpunkte k\u00f6nnen wir die Gerade 00 f\u00fcr die Curve selber nehmen, in der die Geschwindigkeit des aus verh\u00e4ltniss-m\u00e4ssig sehr grosser Feme fallenden Magnetes abnehmen w\u00fcrde; diese Abnahme gesch\u00e4he den Ablenkungen proportional. Die Ordinaten der Geraden 06 geben folglich f\u00fcr jedes x die gr\u00f6sste Fallgeschwindigkeit an, welche der Magnet dort erlangen k\u00f6nnte, und mit der er also noch nicht den Nullpunkt \u00fcberschreiten w\u00fcrde. Setzen wir x = |, so folgt \u2014 als gr\u00f6sste bei f erreichbare Fallgeschwindigkeit. Es muss also im Fall e = n dem Magnete bei |, damit der Nullpunkt \u00fcberschritten werde, eine Anfangsgeschwindigkeit c > \u00abg (XXV) ertheilt werden; und so hat in diesem Fall unsere Vermuthung sich best\u00e4tigt.\nSetzt man wie in Fig. 23 c = 2 eg = 4, so zeigt die Curve \u2014 g, 0) in Fig. 24, wie etwa die Curve der Geschwindigkeiten bezogen auf die Ablenkungen sich gestaltet, wenn der Magnet in Folge eiuer ihm bei g ertheilten Anfangsgeschwindigkeit den Nullpunkt \u00fcberschreitet. Das St\u00fcck (\u2014 g', 0) der Curve ist nat\u00fcrlich nach demselben Gesetze gebildet wie die Curven 0mg, 0m1gx, . . ., und das verkleinerte Gegenst\u00fcck dazu.","page":299},{"file":"p0300.txt","language":"de","ocr_de":"I\n300 XII. lieber aperiodische Bewegung ged\u00e4mpfter Magnete. \u2014 Abh. I. \u2014\nDie Gleichung\nx = e~a {\u00a3 \u2014 t (c \u2014 \u00ab\u00a3).}\n'[(XXm) S. 292], welche im Falle e = n die Bewegung des Magnetes mit der Anfangsgeschwindigkeit \u2014 c vorstellt, geht f\u00fcr c = s \u00a3 \u00fcber in\n\u2022\u00ab = I \u2022 e~tl\n[(XXVII) S. 295]. Anstatt als Anfangsgeschwindigkeit, k\u00f6nnen [826] wir uns c = \u00a3 \u00a3 jetzt aber auch als Fallgeschwindigkeit, durch Fallen aus dem Unendlichen entstanden, denken, indem wir annehmen, dass die Zeit von dem Augenblick an, wo der aus dem Unendlichen fallende Magnet durch die Lage \u00a3 hindurchging, neu gez\u00e4hlt werde. Der aus dem Unendlichen nach unendlicher Zeit im Endlichen angelangte Magnet w\u00fcrde den Nullpunkt also erst nach abermals unendlicher Zeit erreichen. Uebrigens st\u00f6sst hier die Umkehrung der Gleichung zwischen x und t auf keine Schwierigkeit mehr, daher in diesem Falle die Gleichung x \u2014 <j> {x, \u00a3) selber darstellbar wird. Man hat\nx' = \u2014 \u00a3 . s e~lt,\nund indem man f\u00fcr e~lt seinen Werth aus (XXVII) setzt, erh\u00e4lt man dem Obigen entsprechend\nx = -\u2014 ex,\nwie umgekehrt Gleichung (XXVII) aus der Integration des letzteren Ausdruckes hervorgeht, wenn man zur Constantenbestimmung x = \u00a3 f\u00fcr t = 0 setzt.\nWendet man dieselben Betrachtungen auf den Fall \u00ab > n an, so findet man\ndx\t(e \u2014 r) erl \u2014 (e + r)\te~rt\ndx\te-rt \u2014 ert\t?\nd2x'\t1\tj\t2 r\t)3\ndx2\t\u00a3 . n2 e~lt 1 e~rt \u2014\t*\nDie Curve x = 4> (x, |) ist also auch in diesem Fall ohne Wendepunkt, concav gegen die Abscissenaxe, mit einem Maximum f\u00fcr den oben (XIII) gefundenen Werth von t\\ die Tangente des Winkels am Nullpunkte betr\u00e4gt \u00a3 \u2014 r ; am Punkte ist der Winkel ein rechter. Die Curven f\u00fcr verschiedene \u00a3 sind einander \u00e4hnlich. F\u00fcr | = oo muss auch hier t = oo sein, wenn x endlich sein soll; als diesem Fall entsprechende Grenzgestalt der Curvenschaar erh\u00e4lt man aber hier die Gerade\nx \u2014 \u2014 (fi \u2014 r) x\\\n(fi \u2014 r) \u00a3 ist die bei \u00a3 erreichbare Grenzgeschwindigkeit. Auch hier folgt dasselbe unmittelbar aus dem durch Eliminiren von t zwischen (VII) und (XII) erhaltenen Ausdruck","page":300},{"file":"p0301.txt","language":"de","ocr_de":"\u00a7. 6. Bedingung f\u00fcr das Ueberschreiten des Nullpunktes.\n301\n[827]\npr\nx y+ <\u25a0\ns + r)\ndessen rechte Seite f\u00fcr x \u2014 \u2014 (s \u2014 r) x unendlich wird.\nAls obere Grenze der Anfangsgeschwindigkeit, welche dem Magnete' bei | ertheilt, ihn f\u00fcr e > n noch nicht \u00fcber den Nullpunkt f\u00fchrt,, fanden wir oben S. 294 (XXIV) den Werth (e + r) f. In diesem Talle trifft also unsere Vermuthung hinsichtlich der Bedeutung dieser Grenze in etwas anderer Form zu, als in dem Fall s = n. Es muss die dem Magnete bei | ertheilte Anfangsgeschwindigkeit die bei | erreichbare h\u00f6chste Fallgeschwindigkeit, unstreitig der st\u00e4rkeren D\u00e4mpfung halber,, noch um mehr als 2 r | \u00fcbertreffen, damit der Nullpunkt \u00fcberschritten werde.\nEliminirt man mit H\u00fclfe von Gleichung (XXVI) t in der durch Differenziren derselben Gleichung erhaltenen Gleichung / = \u2014 |. (\u00ab + r) e~(' + r) l,\nso ergieht sich\nsc = \u2014 (e + r) x\nals Gleichung der auf die Scale aufgetragenen Anfangsgeschwindigkeiten^ welche den Magnet noch nicht \u00fcber den Nullpunkt f\u00fchren. Als Gleichung der ebenso aufgetragenen Grenzgeschwindigkeiten heim Fall aus dem Unendlichen f\u00e4nden wir so eben\nx = \u2014 (s \u2014 r) x.\nDie Integration dieser Gleichung liefert, wenn man f\u00fcr t = 0 abermals x = | macht, zwischen x und t die Delation\nx \u2014, |. e~ <\u2022 ~ r> .\nF\u00fcr r = s hat man x = 2 \u00ab (| \u2014 x) \u2014- c. Erhielte der v\u00f6llig astatische Magnet bei | die Geschwindigkeit \u2014 2 s |, so n\u00e4hme diese in der Geraden ./ = \u2014 2b.<\u25a0 ab (s. S. 290 (XX), 295).\n\u00a7\u2022 Uli. Verhalten aperiodisch sich bewegender Magnete hei kurzer Einwirkung eines Stromes.\nSetzen wir jetzt den Fall, zur Zeit Null wirke ein constanter Strom von der St\u00e4rke I eine sehr kurze Zeit r auf [828] den in seiner Ruhe-^age befindlichen Magnet. Der Strom wird dem Magnet eine, diesmal positive Geschwindigkeit\nuIt\nc \u2014 ~irr\nM\n(XXX)","page":301},{"file":"p0302.txt","language":"de","ocr_de":"(\n302 XII. Ueber aperiodische Bewegung ged\u00e4mpfter Magnete. \u2014 \u00c0bh. I._______________\nertheilen, wenn wir mit M sein Tr\u00e4gheitsmoment, mit u das Drehungsmoment bezeichnen, welches der Strom von der St\u00e4rke Eins in dem Multiplicatordraht auf den Magnet in seiner Ruhelage \u00fcbt. Die Con-stanten A und B in der allgemeinen Gleichung (VI) findet man, wenn\nman f\u00fcr t = t (sehr nahe) = 0, x = 0 und = c setzt, beziehlich\n(sehr nahe)\nc\n27\u2019\nund man erh\u00e4lt als Gleichung der Bewegung\nx = ~ (e~ \u00bb - r)l \u2014 e-(, + r, n_ 2r\t'\nDer Magnet kehrt also um zur Zeit tm\n1\nlmax ~ 2 r l0g l - 7\u2019\n(XXXI)\nund n\u00e4hert sich wieder asymptotisch der Ruhelage. Einfacher gestalten sich auch hier die Dinge f\u00fcr den Grenzfall e = n. In der allgemeinen Gleichung (V) wird unter den eben gemachten Voraussetzungen A = 0 und B = c, die Gleichung selber wird\nx = cttr\".\t(XXXII)\nDie Curve der Ablenkungen ist am Urspr\u00fcnge concav gegen die Ab-scissenaxe, ihre Ordinate erreicht bei\ntmax = Y\t(XXXIII)\nein Maximum im Betrage von\n\u00abW = jCe,\t(XXXIV)\ndem bei\ns\n[829] ein Wendepunkt folgt. Der Ausdruck f\u00fcr tmax erlaubt durch einen beliebigen dem Magnet ertheilten Stromstoss s = n numerisch zu bestimmen. Die Curve der Geschwindigkeiten hebt bei t = 0 mit der Ordinate c an, und ist convex gegen die Abscissenaxe, bis sie diese bei tmax schneidet. Sie erreicht zur Zeit tw ein negatives Maximum und hat einen Wendepunkt bei\nA, \u2014\n3\n\u00ab","page":302},{"file":"p0303.txt","language":"de","ocr_de":"\u00a7. 7. Aperiodische Magnete bei kurzer Stromeinwirkung.\n303\npie oben S. 293 bemerkte arithmetische Eeihe der Zeiten kehrt also hier weder.1\n\u00a7. VIII. Verhalten aperiodisch sich bewegender Magnete bei Ablenkung durch einen best\u00e4ndigen Strom.\nBewegt sich der Magnet unter dem Einfluss eines ihn auf- dem Nullpunkte zur Zeit Null treffenden best\u00e4ndigen Stromes von der St\u00e4rke i, aber von l\u00e4ngerer Dauer, einer neuen Gleichgewichtslage unter dem vereinten Einfl\u00fcsse dieses Stromes und der \u00dfichtkraft zu, so wird die Differentialgleichung der Bewegung\nd2x\n1t2\n_ dx \u201e\t7\n+ 2\u00ee + n2x = k. dt\nwo die Constante k die innerhalb derselben Grenzen, welche f\u00fcr die Proportionalit\u00e4t der \u00dfichtkraft und der Ablenkung gelten, von der letzteren unabh\u00e4ngige ablenkende Kraft, dividirt durch das Tr\u00e4gheitsmoment, vorstellt. Das allgemeine vollst\u00e4ndige Integral heisst jetzt\nx = ~ + e~\u2018* (Ae-rl + Bf). (XXXV)\nd x\n[830] Indem man, f\u00fcr t \u2014 0, x = 0 und = 0 setzt, erh\u00e4lt man\nA \u2014 \u2014 E \u2014 V R \u2014   \u2014 e F r\n~ ,n2 \u2018 2 r \u2019\tn2 ' 2 r\nBezeichnet man mit 11 die horizontale Componente der Erdkraft, mit m das magnetische Moment des Magnetes f\u00fcr parallele Kl\u00fcfte, und bemerkt man, dass\nso findet man\nk\tfil\nn2\tmH'\n(XXXVI)\n1 F\u00fcr den Fall e < n hat Hr. W. Weber die Formel entwickelt\nT -\nXmax = C ---\u2022 e\nit\narc tg \u2014 9\nWo T die Schwingungsdauer ohne D\u00e4mpfung, X das logarithmische Decrement bedeuten (Elektrodynamische Maassbestimmungen u. s. w. Leipzig 1850. S. 346. \u25a0^nn.). Diese Formel ist f\u00fcr a = n identisch mit unserer Formel (XXXIV).","page":303},{"file":"p0304.txt","language":"de","ocr_de":"304 XII. lieber aperiodische Bewegung ged\u00e4mpfter Magnete._____________ Abh. I.___\nDurch Einsetzen der Werthe f\u00fcr A, B und ~ in (XXXY) wird\nX\n* 2 r {(\u00a3 + r) eH \u2014(\u00ab \u2014 \u00bb\u2022) e-n}\n(XXXYII)\nDie Bewegung erfolgt also, wie zu erwarten, nach demselben Gesetze wie beim Eallenlassen des Magnetes, nur dass an die Stelle von | der Nullpunkt, an die des Nullpunktes die best\u00e4ndige Ablenkung tritt,\nwelche, ohne \u00fcberschritten zu werden, schwingungslos und in der Theorie erst nach unendlicher Zeit erreicht wird.\nE\u00fcr s = ii kommt in Gleichung (XXXYII) statt des von 1 abzuziehenden Termen\ne~'\u2018 (1 + et)\nzu stehen.\n\u00a7. IX. Sonstige Combinationen von Lage und Geschwindigkeit des Magnetes und von ihn treffenden Kr\u00e4ften.\nTrifft ein positiver Stromstoss den Magnet im Augenblicke des Fallenlassens, so gelten die Formeln (XXII) und (XXXIII), nur dass c sein Zeichen \u00e4ndert. Der Magnet schl\u00e4gt weiter aus, kehrt um und n\u00e4hert sich asymptotisch dem Nullpunkte.\nWird der im Fallen begriffene Magnet bei x, zur Zeit t, von einem Stosse getroffen, der ihm eine Geschwindigkeit + c [831] ertheilt, so tritt eine Discontinuit\u00e4t der Bewegung ein. Je nachdem e < oder = n, gelangt man zu den Gleichungen & '\nx =\t[ (s + r) e~~ \u2014 r) A +\t\u25a0\u2014 (e \u2014 r) e~ o + r) ft + <) j\n\u00b1 ^r(e-\"~r>t \u2014 e~(t + r)tj (XXXYIII)\nx = g.e-<\u2022\u2022 + \u2022> [1 + \u00ab {t, + t)}'\u00b1 de\u2014*.\t(XXXIX)\nHier ist t die vom Augenblicke des Stosses an neu gez\u00e4hlte Zeit. Das rechte Glied von Gleichung (XXXYHI) und (XXXIX) ist die algebraische Summe der rechten Glieder beziehlich von Gleichung (VH) und (XXXI), Gleichung (XIY) und (XXXII), nur dass im ersten Term t, + t f\u00fcr t steht: es findet, wie dies nicht anders sein kann, Superposition der Bewegungen statt.\nIst c negativ, so kann hier wieder der Nullpunkt \u00fcberschritten werden; doch muss im Falle .(XXXYHI)","page":304},{"file":"p0305.txt","language":"de","ocr_de":"\u00a7. 9. Sonstige Combinationen.\n305\ndx,\ndt >\t+ r)*\u201d\nim Falle (XXXIX)\ndx\ndt\n- > ex,\nsein (vergl. oben \u00a7. YI).\nSchwankt ein best\u00e4ndiger Strom, der den Magnet abgelenkt h\u00e4lt, so dass seine St\u00e4rke von I sich pl\u00f6tzlich zu I, \u00e4ndert, so erh\u00e4lt man, je nachdem \u00ab > oder = n, die Gleichungen\n(A.\niH\nI,+ (/ - I,) 2 7\t+ r)t\"\n(e \u2014 r) e~rt]\n\u00e6 = -\u00a3h <j\u2019 + (Z -7')\t^\nder Magnet geht schwingungslos in die neue Lage \u00fcber.\nEin Hin- und Hergang des aperiodischen Magnetes ist nur m\u00f6glich, wie man jetzt auch ohne Rechnung sicher schliessen kann, wenn die Gleichgewichtslage selber bei positiver Schwankung der Stromst\u00e4rke wieder zur\u00fcck-, bei negativer Schwankung wieder vorspringt, und wenn entweder dieser zweite Sprung die Gleichgewichtslage wieder auf die andere Seite des Magnetes [832] verlegt, oder der zweite Sprung zu einer Zeit geschieht, wo in Folge des ersten Sprunges der Magnet noch eine dem zweiten Sprunge entgegengesetzte Geschwindigkeit hat; im letzteren Falle darf aber, soll die neue Gleichgewichtslage \u00fcberschritten werden, diese Gleichgewichtslage h\u00f6chstens in solcher Entfernung g, vor dem ihr entgegenkommenden Magnete stehen bleiben, dass seine Geschwindigkeit, je nachdem s > oder = n, beziehlich noch > (s + r) g, oder > eg, ist (vergl. oben \u00a7. YI).\n\u00a7\u2022 X. N\u00e4here Bestimmung der experimentellen Bedingungen, unter denen die Bewegung ged\u00e4mpfter Magnete aperiodisch wird.\nEs wird jetzt n\u00fctzlich sein, in den Ausdruck\nstatt der von Gauss aus analytischen Gr\u00fcnden angenommenen und bisher auch von uns benutzten Symbole 2 s und n3 die wirklichen Gr\u00f6ssen 211 setzen, die darin eingehen. F\u00fcr n2 haben wir schon oben seinen\nWerth ~ eingef\u00fchrt (XXXYI), den wir aber noch n\u00e4her so bestimmen\nwollen, dass wir f\u00fcr m schreiben (t + rjH) m, wo ; die permanente,\nE. du Bois-Reymond, Ges. Abh. I.\t20","page":305},{"file":"p0306.txt","language":"de","ocr_de":"306 XII. Ueber aperiodische Bewegung ged\u00e4mpfter Magnete. \u2014 Abh. I. \u2014\nrjH die durch H inducirte1 Intensit\u00e4t des Magnetes, in sein Moment f\u00fcr parallele Kr\u00e4fte hei der Intensit\u00e4t Eins bedeuten. Man hat also\n, (t + t]H) m H n ~\tM.....\t'\nBezeichnen wir sodann mit m' das Drehungsmoment, welches f\u00fcr die magnetische Intensit\u00e4t Eins auf den Magnet ausge\u00fcbt wird durch eine Str\u00f6mung im D\u00e4mpfer, wie sie der Magnet bei seiner Winkelbewegung erzeugt, und mit x eine Constante, welche unter anderen die Inductionsconstante und das Leitverm\u00f6gen des D\u00e4mpfers zu Factoren hat, so ist\n[833]\t2 e = ____ \u00c7\u2014 Xm' 2 * * S. & +\nDurch Einsetzen dieser Werthe wird\nr = -JftfVL +\t+ vH)6 \u2014 Am HM.\nu 1VI\nBei gleicher D\u00e4mpfung wird also r um so eher = 0 oder reell, d. h. die Bewegung des Magnetes um so eher aperiodisch, je kleiner M, und je kleiner H. Zwar nimmt, durch Verkleinern von H, auch der erste Tenn unter dem Wurzelzeichen ab, doch ist rt so klein, dass diese Abnahme neben der des zweiten Termen hier nicht in Betracht kommt.\nDa es Gauss bei seinen Zwecken, wie wir sahen (vergl. oben S. 285), nicht daran lag, den aperiodischen Zustand herbeizuf\u00fchren, so hat er. nicht daran gedacht, statt durch Vergr\u00f6ssem von xin 2, dies durch Verkleinern von HM zu thun, wozu sich zun\u00e4chst das einfache Mittel bietet, die Wirkung der Erdkraft auf den Magnet zu schw\u00e4chen, und so H zu vermindern. Dazu wird im Princip jede der drei Methoden des Astasirens taugen: die Verbindung zweier Magnete zur Doppelnadel, die Aufstellung der Drehungsaxe des Magnetes in der Richtung der Inclinationsnadel, endlich%das \u00dcAur\u2019sche Verfahren, bei dem ein verkehrt gen\u00e4herter Magnetstab der Erde entgegen wirkt, aus einleuchtenden Gr\u00fcnden jedoch am besten die letztere Methode, deren ich mich zu meinen thierisch-elektrischen Versuchen l\u00e4ngst ausschliesslich bediene. Bei dieser wird, wenn S die horizontale Component\u00a9 der Kraft des HAuY\u2019schen Stabes bezeichnet,\n1 Lamont im Repertorium der Physik. Berlin 1846. Bd. VII. S. LIV.\nVergl. meine Untersuchung \u00fcber den Einfluss, den die tempor\u00e4re Magnetisirung der\neinzelnen Nadeln einer astatischen Doppelnadel durch die Erde auf die Gleich\"\ngewichts\u00eeage des Syst\u00e8mes \u00fcbt. Poggendobff\u2019s Annalen u. s. w. 1861. Bd. CXU-\nS. 1. [S. oben Abh. VIL, S. 137.]","page":306},{"file":"p0307.txt","language":"de","ocr_de":"\u00a7. 10. Experimentelle Bedingungen der Schwingungslosigkeit.\n307\nr\n%m'2 fi + t]{H \u2014 S)}2 2 M\n(XL)\n1\n2 M\nV* + V {H\u2014 S) Ynt'4 {* + n (H\u2014 S)}3 \u2014 4 m (H\u2014 S) M.\nAn der WiEDEMANN\u2019schcn Bussole, welche mit einem starken D\u00e4mpfer versehen ist,1 gelingt es daher ohne jede [834] Schwierigkeit, durch fortgesetzte Ann\u00e4herung des von mir daran angebrachten Hatty\u2019-schen Stabes den Magnetspiegel in den aperiodischen Zustand zu versetzen. Um bequem dar\u00fcber zu experimentiren, leitet man von dem Strom einer best\u00e4ndigen Kette mittels des Compensators2 einen Zweig durch die Bollen der Bussole und unterbricht den Stromzweig mittels eines Schl\u00fcssels im Bussolkreise. Indem man den Magnet stets aus der n\u00e4mlichen Ablenkung ohne Anfangsgeschwindigkeit fallen l\u00e4sst, sieht man zuerst in dem Maasse, wie man den HAUY\u2019sehen Stab n\u00e4hert, das logarithmische Decrement wachsen. Dann kommt ein Punkt, wo zwar der Magnet noch \u00fcber den Nullpunkt 'hinausschwingt, aber keine dritte Elongation mehr unterschieden werden kann. Die zweite Elongation wird endlich auch unmerklich, und nun ist das logarithmische Decrement unendlich geworden, und der aperiodische Zustand da. Dieser Punkt l\u00e4sst sich nat\u00fcrlich nicht mit vollkommener Sch\u00e4rfe bestimmen, wiegen der Schwierigkeit zu unterscheiden, ob eine r\u00fcckg\u00e4ngige Bewegung des Magnetes um wenige Zehntel eines Scalentheiles, welche mehrere Secunden dauert, wirklich als R\u00fcckkehr zur Gleichgewichtslage aufzufassen sei. Uebrigens handelt es sich hier zuletzt um ziemlich kleine Verschiebungen des BAxry\u2019schen Stabes. Scheint der aperiodische Zustand eben erreicht und entfernt man den Stab wieder auch nur um 1 mm bei etwa 300mm Abstand seiner Mitte von der des Spiegels, so wird bei gr\u00f6sseren Eall-h\u00f6hen der Nullpunkt sogleich wieder um 1\u20142 sc \u00fcberschritten. Es wird sich daher fortan empfehlen, den Stab auch in der Richtung nach dem Magnete zu mit einer mikrometrischen Bewegung zu versehen.'\nL\u00e4sst man jetzt den Magnet aus sehr hohen Ablenkungen, weit \u00fcber die Grenzen der Theilung hinaus, fallen, so wird [835] der Nullpunkt noch mehr oder weniger \u00fcberschritten. Man bringt es aber, durch\n1\tIn den von Hm. Sauekwald vortrefflich gebauten Exemplaren besteht der D\u00e4mpfer aus einem kupfernen Cylinder von 60 mm Durchmesser und 30m\u2122 L\u00e4nge. Dieser Cylinder ist seiner Axe nach von einer concentrischen, cylindrischen H\u00f6hlung von solcher Weite durchbohrt, dass der 20 mm im Durchmesser haltende Magnet-Spiegel oder -Bing darin eben frei spielt. Vergl. Wiedemann, Die Lehre vom Galvanismus u. s. w. Bd. II. l.Aufi. 1863. S. 198; \u2014 2.Aufl. 1873. Abth.I. S. 227.\n2\tS. oben Abh. VIII., S. 176 ff.; \u2014 Abh. X.\n20*","page":307},{"file":"p0308.txt","language":"de","ocr_de":"308 XII. Ueber aperiodische Bewegung ged\u00e4mpfter Magnete. \u2014 Abh. I. \u2014\nferneres Ann\u00e4hem des Stabes, leicht dahin, dass auch der von 90\u00b0 fallende Spiegel sich schwingungslos auf den Nullpunkt einstellt. Jenes Ueberschreiten erkl\u00e4rt sich vermuthlich so, dass bei .weit \u00fcber die Scale hinausgehenden Ablenkungen zwar die Richtkraft langsamer w\u00e4chst als die B\u00f6gen, noch schneller aber die D\u00e4mpfung durch die cylindrische Kupferh\u00fclse abnimmt, daher der Magnet bei dem |, wo unsere Gesetze merklich zu gelten anfangen, mit einer Geschwindigkeit anlangt, die ihn bef\u00e4higt, den Nullpunkt zu \u00fcberschreiten, so lange nicht r einen gewissen Werth \u00fcbertrifft (vergl. oben \u00a7. VI). Bei einer sph\u00e4rischen H\u00fclse w\u00fcrde aller Wahrscheinlichkeit nach kein solches Ueberschreiten stattfinden.\nN\u00e4hert man den Stab dem Magnet immer mehr, so schl\u00e4gt der Magnet um. Vorher kommt nat\u00fcrlich der Punkt, wo er v\u00f6llig astatisch, n = 0 und r \u2014 s ist, wo er also durch den oben S. 290 theoretisch abgeleiteten Zustand hindurchgeht, in welchem er sich gleich einem K\u00f6rper bewegt, dem das umgebende Mittel einen seiner Geschwindigkeit proportionalen Widerstand entgegensetzt. Aus Gr\u00fcnden, die keiner Ausf\u00fchrung bed\u00fcrfen, vermag die Beobachtung diesen Zustand nicht zu erfassen. Dar\u00fcber hinaus gehorcht die Bewegung wieder dem durch Gleichung (VII) ausgesprochenen Gesetze, um schliesslich durch den Grenzfall (XIV) hindurch von Neuem periodisch zu werden.\nWir werden im Folgenden den Begriff der Beruhigungszeit des Magnetes brauchen. Es ist die Zeit, welche verfliesst vom Augenblicke, wo der abgelenkte Magnet fallen gelassen wird, bis zu dem, wo seine Ablenkung unmerklich, d. h. kleiner als eine bestimmte kleine Gr\u00f6sse, etwa ein Zehntel Scalentheil, wird. Die Umst\u00e4nde zu kennen, welche diese Zeit verkleinern, ist von praktischer Wichtigkeit. Zu wahrhaft scharfer Messung eignet sich \u00fcbrigens die Beruhigungszeit nicht; namentlich bei hoher Astasie ist schwer zu sagen, wann die Bewegung ein Ende hat. Da bei gleichem t die Ablenkung des schwingungslos zum Nullpunkte zur\u00fcckkehrenden Magnetes \u00a7 proportional ist (s. oben S. 288. 289), so w\u00e4chst auch die Be- [836] ruhigungszeit mit |. Der unten n\u00e4her zu beschreibende Magnetspiegel I z. B. brauchte bei 298 \u2022 5mrn Abstand des \u00dcAUY\u2019schen Stabes, wo seine Bewegung zuerst aperiodisch schien, von | = 25 60 fallend 4 \u2022 2, von | = 500 sc fallend 5 \u2022 2 Secunden zur Beruhigung. Deutlicher wird der Unterschied bei h\u00f6herer Astasie, wie sie durch Ann\u00e4hem des Stabes erreicht wird, und wobei, wie wir bald n\u00e4her sehen werden, die Beruhigungszeit auch absolut gr\u00f6sser ist. Ber 282 \u2022 5 mm ; 277* 5 mm Abstand des Stabes betrug die Beruhigungszeit des von | = 25 sc fallenden Spiegels beziehlich 10-0; 20-0, die des von | = 500 30 fallenden 17-6; 29-6 Secunden.","page":308},{"file":"p0309.txt","language":"de","ocr_de":"\u00a7. 10. Experimentelle Bedingungen der Schwingungslosigkeit. 309\nWir kehren zu den Bedingungen zur\u00fcck, unter welchen die Bewegung ged\u00e4mpfter Magnete aperiodisch wird. Eine zweite Art, unter \u00fcbrigens gleichen Umst\u00e4nden r = 0 oder reell zu machen, w\u00e4re n\u00e4mlich die Yerkleinerung des Tr\u00e4gheitsmomentes M. Es hegt in der Natur der Dinge, dass man, ohne besondere Einrichtungen, diese nicht stetig und nicht am sonst fertigen Apparate vornehmen kann. Aber je kleiner M, je d\u00fcnner z. B. bei sonst gleicher Gestalt ein Magnetspiegel ist, bei um so kleinerem S, d. h. bei um so geringerer Astasie wird seine Bewegung aperiodisch. Dies ist einer der Gr\u00fcnde, aus denen weder Gauss, noch sonst Einem der vielen Beobachter, die an ged\u00e4mpften Magneten mit Spiegelablesung th\u00e4tig waren, der aperiodische Zustand aufgestossen ist, da an den nach G\u00f6ttinger Vorschrift eingerichteten Magnetometem St\u00e4be von sehr grossem Tr\u00e4gheitsmomente angewendet wurden, und man \u00fcberhaupt Magnete von kleiner Masse wenig gebraucht hat, weil man die schnellere Abnahme ihrer Intensit\u00e4t f\u00fcrchtete. Der Gebrauch leichterer Magnete empfiehlt sich aber f\u00fcr gew\u00f6hnlich hier deshalb, weil, ganz als ob der Magnet noch schw\u00e4nge, durch Verkleinerung des Tr\u00e4gheitsmomentes die Beruhigungszeit des aperiodisch sich bewegenden\ncc\nMagnetes verk\u00fcrzt wird. Setzt man in Gleichung (XIV) \u00ab = wo a\ncl X\neine Constante, und differenzirt man nach M, so erh\u00e4lt man f\u00fcr\ndM\neinen positiven Werth: x ist f\u00fcr gleiche Zeiten um so kleiner, je kleiner M.\n[837j Die Erfahrung best\u00e4tigt diesen Schluss. Ich habe den aperiodischen Zustand bisher an drei Magneten beobachtet. Zwei davon sind kreisrunde Stahlspiegel von 20mm Durchmesser, deren einer, der schon erw\u00e4hnte Spiegel I, nur etwa 0-8mm, der andere, III, etwa 4mm dick ist; I wiegt 2-414 \"r, III 10 \u2022 994 \"r. Der dritte Magnet, II, ist ein kreisrunder Stahlring von gleichfalls 20mm \u00e4usserem Durchmesser, der gleichsam aus einem quadratischen Prisma von 2 mm Seite gebogen ist. Ein Schildpattst\u00e4bchen verbindet ihn mit einem d\u00fcnnen Glasspiegel, dessen d\u00fcnne Messingfassung sich um die Senkrechte drehen l\u00e4sst. Das ganze System wiegt 2-517 -r ; sein Tr\u00e4gheitsmoment h\u00e4lt nothwendig die Mitte zwischen dem von I und III. Zwar geh\u00f6rt der Kingmagnet zu einer anderen Bussole als die beiden Magnetspiegel, da aber die D\u00e4mpfer beider Bussolen wesentlich gleich sind, lassen die Beobachtungen in beiden sich wohl vergleichen. In der folgenden Tabelle ist I = hm das logarithmische Decrement in BniGGs\u2019schen Logarithmen, deren Modul ?n; %0 und sind in Secunden die Beruhigungszeiten der Magnete bezieh\u00fcch ohne HAUY\u2019schen Stab und mit Stab; \u00c4 ist in Millimetern die Entfernung","page":309},{"file":"p0310.txt","language":"de","ocr_de":"310 XU. Ueber aperiodische Bewegung ged\u00e4mpfter Magnete. \u2014 Abh. I. \u2014\ndes Stabes, bei der die Bewegung aperiodisch wurde : bei dieser Bestimmung wurde in beiden Bussolen derselbe Stab angewendet.\n| = 450 sc.\nMagnet\tOhne Stab\t\tMit Stab, \u00a3 = n\t\t\u00c4\t\u2014 !\n\tl\t\tl\t%\t\t\nI\t0-72\t6; 8\t00\t5-2\t298-5\t1-6\nn\t0-45\t11-2\t00\t8-8\t280-5\t2-4\nm\t0-38\t22-1\t00\t17-5\t277-0\t4-6\nDas logarithmische Decrement des Magnetes I ist das gr\u00f6sste, welches meines Wissens bisher beobachtet wurde. Wie man sieht, w\u00e4chst auch an der Grenze der periodischen und der aperiodischen Bewegung die Beruhigungszeit der Magnete schnell mit ihrem Tr\u00e4gheitsmoment, und in einem umgekehrten Yerh\u00e4ltniss zu diesem steht die Entfernung, bis zu welcher der ILurr\u2019sche Stab gen\u00e4hert werden muss, um die Schwingungslosigkeit herbeizuf\u00fchren. [838]\n\u00a7. XI. Die Beruhigungszeit des ged\u00e4mpften Magnetes in ihrer Abh\u00e4ngigkeit von dessen verschiedenen, im Vorigen betrachteten Zust\u00e4nden.\nUeber den Einfluss der D\u00e4mpfung auf die Beruhigungszeit des Magnetes lernten wir schon eine Andeutung von Gauss kennen. Er sagt (s. oben S. 285), dass \u201edie Ann\u00e4herung an den Ruhestand wieder \u201elangsamer geschieht, sobald \u00ab den Grenzwerth n \u00fcberschreitet.\u201c Setzt man in Gleichung (IX) oder (X) t = NTlt wo N die Zahl der Schwingungen, Tx die Schwingungsdauer des ged\u00e4mpften Magnetes bedeuten, so ist\n<T\u00bb\t\u2014\u00bb \u00a3 p\u2014iNT-,\n*\"max \u2014 s \u2022 K 1\nder Ausdruck f\u00fcr die mit wachsendem N abnehmenden Amplituden des\nvon | fallenden Magnetes. 7] ist = -----\u2014------- [(XXI), S. 292), und\ny n2 \u2014 \u00ab3\nw\u00e4chst mit s. Denkt man sich zwei solche Werthe von N und von h dass Nl\\ = N'T\\, so wird die kleinere Amplitude zum gr\u00f6sseren \u00ab und kleineren N geh\u00f6ren: die Beruhigungszeit des noch schwingenden Magnetes nimmt mit wachsendem \u00ab ab. Differenzirt man ferner\nGleichung (VH) nach s, so findet man ^ positiv f\u00fcr jeden Werth von\nt > 0: die Beruhigungszeit des schwingungslosen Magnetes nimmt also mit wachsendem \u00a3 zu; und somit ist die GAuss\u2019sche Bemerkung erwiesen.","page":310},{"file":"p0311.txt","language":"de","ocr_de":"\u00a7.11. Beruhigungszeit aperiodischer Magnete.\n311\nDiese Bemerkung passt jedoch nicht auf unseren Ball. Denn w\u00e4hrend Gauss nur an ein Wachsen von s durch Yergr\u00f6sserung der d\u00e4mpfenden Metallmenge dachte, verkleinern wir n, zugleich aber in geringerem Maasse s, ohne das Yerh\u00e4ltniss zu kennen, in welchem letzteres geschieht. Betrachten wir zun\u00e4chst den aperiodischen Zustand, und ber\u00fccksichtigen wir allein die durch Verkleinern von n bewirkte Yergr\u00f6sserung von r, indem wir Gleichung (VII) nach r differenziren, d x\nso ergiebt sich f\u00fcr jeden Werth von t > 0 als positiv. Von dem\nGrenzfalle r = 0 an also bis zu r \u2014 \u00ab w\u00e4chst x f\u00fcr ein gegebenes t, oder es findet die Ann\u00e4herung an die Ruhelage um so langsamer statt, je kleiner n, bis endlich der v\u00f6llig astatische [839] Magnet \u00fcberall stehen bleibt (vergl. oben S. 290). Ber\u00fccksichtigen wir nun auch die Verkleinerung von e, so wird zwar durch diese der Einfluss des Wachsens von r insofern etwas vermindert, als r selber dadurch langsamer w\u00e4chst. Setzen wir aber r constant, und differenziren (VII) nach e, so ergiebt sich\n^ diesmal als negativ f\u00fcr jeden Werth von t > 0. Die mit der Ver-\u00ab6\nkleinerung von n verbundene Verkleinerung von s, soweit es nicht unter dem Wurzelzeichen steht, wirkt also mit jener in gleichem Sinne, d. h. vergr\u00f6ssemd auf x, und demgem\u00e4ss lehrt die Erfahrung, dass mit abnehmender Entfernung A des HAU\u00ef\u2019schen Stabes die Beruhigungszeit schnell zunimmt. So war z. B. bei Magnet I f\u00fcr | = 450 sc und\n= \u00c4\t\t=\t298-5\nf\u00fcr A\t\t=:\t293-5\n77\t77\t7?\t288-5\n77\t77\t7?\t283-5\n7?\t7?\t7?\t278-5\n7?\t7?\t77\t273-5\ns\u00bb\t=\t5-2\n7?\t77\t8-0\n77\t77\t12-0\n77\t7?\t16-4\n77\t77\t24-4\n77\t7?\t40-0;\nbei weiterer Ann\u00e4herung wurde der Magnet unstet und schlug um. Magnet III war\nBei\nf\u00fcr A = \u00c4 = 277-0\t= 17-5\nf\u00fcr A = 272-0\t\u201e \u201e 40-0.\nDar\u00fcber hinaus war keine Messung mehr ausf\u00fchrbar. Diese Zahlen zeigen aufs Neue, wie der leichte Spiegel schon bei geringer Astasie aperiodisch wird, w\u00e4hrend beide Spiegel bei ungef\u00e4hr derselben N\u00e4he des Stabes auf h\u00f6ren brauchbar zu sein; woraus sich f\u00fcr den leichten Spiegel ein ungleich gr\u00f6sserer benutzbarer Spielraum aperiodischer Astasie ergiebt als f\u00fcr den schweren.\nIst die Bewegung noch periodisch, so kann man dieselbe Betrachtung","page":311},{"file":"p0312.txt","language":"de","ocr_de":"312 XII. Ueber aperiodische Bewegung ged\u00e4mpfter Magnete. \u2014 Abh. I. \u2014\naiistellen, wie oben. Die abnehmenden Amplituden haben wieder zum Ausdruck\n(Nn\nx = | . e~'\u00bb\\ = g.e\nallein der Exponent ver\u00e4ndert sich jetzt so, dass n kleiner wird, wehrend auch s, nui* in viel geringerem Maasse, abnimmt. Denkt man sich wieder zwei solche Werthe von N, und von n [840] und s, dass 2V7] \u2014 N' T\\, so wird diesmal die kleinere Amplitude dem gr\u00f6sseren N entsprechen. Ann\u00e4herung des Stabes m\u00fcsste zur Folge haben, dass der Magnet langsamer schw'\u00e4nge, und dass zugleich seine Amplituden etwas langsamer abnehmen: seine Beruhigungszeit m\u00fcsste durch den Einfluss des Stabes etwas gr\u00f6sser werden.\nSo sicher dieser Schluss erscheint, so straft ihn doch die Erfahrung L\u00fcgen. Die Spalte %0 \u2014 %m der Tabelle auf S. 310 zeigt, dass vielmehr die Beruhigungszeit des eben schwingungslos gewordenen Magnetes um keinen geringen Bruchtheil kleiner ausf\u00e4llt als die des nicht astasirten. Den Grund dieser Abweichung suche ich in dem Widerstand der Luft. Da dieser mit der Geschwindigkeit w\u00e4chst, so muss die dadurch bewirkte Verz\u00f6gerung im Falle von Schwingungen gr\u00f6sser sein als bei schwingungsloser R\u00fcckkehr zum Nullpunkte, gleiche Beruhigungszeit in der Luftleere und gleiche Fallh\u00f6he vorausgesetzt. Man k\u00f6nnte eimvenden, dass dann der Unterschied %0 \u2014 %m bei dem schweren Spiegel verh\u00e4ltnissm\u00e4ssig kleiner sein m\u00fcsste als bei dem leichten, wovon eher das Gegentheil zutrifft. Allein der Hauptsitz des Luftwiderstandes ist unstreitig der ringf\u00f6rmige Spalt zwischen Spiegelrand und D\u00e4mpfer, und dieser Spalt ist bei dem schweren, dicken Spiegel, wenn auch nicht \u00fcberall gleich eng, f\u00fcnfmal so lang als bei dem leichten, d\u00fcnnen Spiegel. Trotz der gleichen Gr\u00f6sse und Gestalt der Fl\u00e4chen beider Spiegel erf\u00e4hrt also der dickere einen gr\u00f6sseren Widerstand, und der Unterschied der Widerst\u00e4nde ist vermuthlich so gross, \u2018dass er den Unterschied der Massen \u00fcberwiegt. Versuche zur Pr\u00fcfung dieser Hypothese habe ich noch nicht angestellt. Wie dem auch sei, f\u00fcr den Gebrauch ergiebt sich, dass der Zustand der eben eingetretenen Schwingungslosigkeit des Magnetes zugleich den Vor-tlieil der kleinsten Beruhigungszeit gew\u00e4hrt, welche die angewandten Vorrichtungen gestatten.\n\u00a7. XH. Best\u00e4tigung der f\u00fcr den Fall einer Anfangsgeschwindigkeit theoretisch gefundenen Bewegungsgesetze aperiodischer Magnete.\nL\u00e4sst man auf den aperiodisch sich bewegenden Magnet einen best\u00e4ndigen Strom von l\u00e4ngerer Dauer wirken, der ihn [841] innerhalb","page":312},{"file":"p0313.txt","language":"de","ocr_de":"\u00a7. 12. Experimentelle Best\u00e4tigung der Bewegungsgesetze aper. Magnete. 313\nder Grenzen der Theilung, d. h. bei 2300mm Abstand der Scale vom Spiegel um etwa 7\u00b0 ablenkt, so sieht man ihn in derselben Art, wie er beim Fallen sich auf den Nullpunkt begiebt, sich der neuen Gleichgewichtslage zu bewegen und schwingungslos dort einstellen. Doch ist zu bemerken, dass wenn e nur eben = n und die Ablenkung sehr gross ist, der Magnet sie um 2\u20143 sc \u00fcberschreitet, obschon er von ihr herabfallend den Nullpunkt ohne Schwingung erreicht. Auch dies r\u00fchrt wohl, wie das TJeberschreiten des Nullpunktes bei \u00fcbergrossen Fallh\u00f6hen (s. oben S. 308) von der Verminderung der D\u00e4mpfung mit steigender Ablenkung her.1\nUm die Anfangsgeschwindigkeit c sowohl wie die Ablenkung | geh\u00f6rig abstufen zu k\u00f6nnen, traf ich die in Fig. 25 sichtbare Anordnung. Hier ist M der Magnetspiegel an seinem Faden und in seiner im Durchschnitt gezeichneten d\u00e4mpfenden Kupferh\u00fclse DD', IIS der Durchschnitt des HAirr\u2019schen Stabes, K die GnovE\u2019sche Kette, Sch ein Schl\u00fcssel, Rh ein \u00dfheochord, TI die Haupt-, N die Nebenrolle eines Schlitten-inductoriums gr\u00f6sserer Art, R1 eine der Thermorollen, endlich i?2 eine der gew\u00f6hnlichen feinen Hydrorollen der Bussole. Die Theile der Anordnung, die eine merkliche Fernwirkung auf einander \u00fcbten, sind durch punktirte gerade Linien verbunden. Die von Mitte zu Mitte gemessene Entfernung zwischen H und N nennen wir B. Bei geschlossenem Schl\u00fcssel Sch h\u00e4lt die Bolle R, den Magnet abgelenkt; durch Oeffnen des Schl\u00fcssels l\u00e4sst [842] man den Magnet fallen, und ertheilt ihm zugleich eine Anfangsgeschwindigkeit im Sinne der Bichtkraft durch den in N inducirten Nebenstrom, dem dazu die passende Bichtung zu geben ist. Die Ablenkung sowohl wie der Stromstoss l\u00e4sst sich auf doppelte Art regeln, jene durch das Bheochord und durch Verschieben der Bolle j\u00dfj, diese durch Verschieben der [843] Bollen N und R., ; abgesehen von dem Einlegen von Dr\u00e4hten in IT, welches aus gleich zu erw\u00e4hnenden Gr\u00fcnden zu vermeiden ist. So gelingt es leicht, eine hinl\u00e4ngliche An-\ni Da das Ueberschreiten der Ablenkung nicht mehr stattfindet, wenn e merklich > n, so wird es wenigstens sehr unwahrscheinlich, dass die Erscheinung auf einer Unbest\u00e4ndigkeit der angewandten GnovB\u2019schen Kette beruht, woran man nach den Erfahrungen der Hrn. Edlund und Rijke (Poggendobff\u2019s Annalen u. s. w. 1349. Bd. LXXVII. S. 182; \u2014 1857. Bd. CH. S. 508) \u00fcber die gr\u00f6ssere St\u00e4rke der Schliessungs- im Vergleich zur Oeffnungs-Induction auch bei den sogenannten best\u00e4ndigen Ketten deshalb h\u00e4tte denken k\u00f6nnen, weil meine H\u00fclfsmittel gestatten, durch die Ablenkung der Magnetnadel den Zustand der Kette nach der Schliessung fr\u00fcher zu beobachten, als dies wohl je m\u00f6glich war. F\u00fcr diese Deutung liesse sich freilich noch immer sagen, dass bei s > n die Zeit innerhalb der die Beobachtung geschieht, vergr\u00f6ssert wird (s. oben S. 311, und unten Abh. XIV. \u00a7. H.).","page":313},{"file":"p0314.txt","language":"de","ocr_de":"314 XII. Ueber aperiodische Bewegung ged\u00e4mpfter Magnete. \u2014 Abh. I. \u2014\nfangsgeschwindigkeit zu erzeugen, damit auch bei e > n der Nullpunkt \u00fcberschritten werde; von der jenseitigen Ablenkung kehrt der Magnet schwingungslos zum Nullpunkte zur\u00fcck. Ausserdem bietet die dargestellte Anordnung auch Gelegenheit, unsere Formeln etwas sch\u00e4rfer auf die Probe zu stellen.\nFig. 25.\nDazu bringt man zuerst die Rolle B1 in solche Lage, dass der Magnet keine merkliche Wirkung mehr von ihr erf\u00e4hrt, wie dies in der Figur durch die punktirte Leitung und Rolle SchRxK angedeutet ist. Die Rolle H hat gleichfalls, diese aber dauernd, solche Lage, dass sie nicht merklich auf den Magnet wirkt. Zweitens entfernt man N von B","page":314},{"file":"p0315.txt","language":"de","ocr_de":"\u00a7. 12. Experimentelle Best\u00e4tigung der Bewegungsgesetze aper. Magnete. 315\nso weit, dass beim Schliessen und Oeffnen bei Sch der Spiegel unbewegt bleibt. Jetzt bringt man R1 wieder in solche Lage, und ertheilt dem Strom durch das Rheochord solche St\u00e4rke, dass der Spiegel bis an die Grenzen der Scale abgelenkt wird. Indem man ihn aus stets gleicher H\u00f6he durch Oeffnen bei Sch \u00f6fter fallen l\u00e4sst, sucht man die Entfernung des HAUY\u2019schen Stabes \u00c2 auf, bei der die Bewegung des Magnetes eben aperiodisch, oder e = n ist. Diese Entfernung muss nach Herstellung der beschriebenen Anordnung von Neuem bestimmt werden, auch wenn i schon fr\u00fcher = n gemacht worden war, weil zur D\u00e4mpfung durch ehe Kupferh\u00fclse jetzt noch die durch die Rolle R2 tritt, daher fortan die Rolle R2 nicht mehr von der Stelle ger\u00fcckt werden darf. Auch die Rolle Rl erh\u00e4lt von hier ab, sofern sie nicht in die unwirksame Lage gebracht wird, eine unver\u00e4nderliche Stellung, und die Ver\u00e4nderung der Ablenkung g wird allein mittels des Rheochords bewirkt. D\u00e4mpfung sowohl als secund\u00e4re Induction im Hauptkreise sind zwar dadurch ausgeschlossen, dass man, der Natur der Dinge nach, mit dem Oeffnungs-schlage arbeitet; jene Maassnahme hat aber ihren Grund darin, dass die Ablenkung g die Stromst\u00e4rke in dem Kreise KRl Sch HRhK messen soff.\nSind diese Vorbereitungen getroffen, so kann man zu folgenden zwei Versuchen schreiten.\n[844]\tVersuch I.\nBei irgend einer, durch das Rheochord willk\u00fcrlich bestimmten Ablenkung g n\u00e4hert man die NebenroUe zuerst der Hauptrolle soweit, dass beim Oeffnen der Kette der Magnet den Nullpunkt nur eben um die kleinste bemerkbare Gr\u00f6sse \u00fcberschreitet; diese Entfernung der Nebenrolle von der Hauptrolle heisse B', Alsdann gilt sehr genau (s. oben S. 295 ff.) die Gleichung\nc = \u00abt-\nEs ist aber in unserem Falle c sichtlich proportional g; denn die Elektricit\u00e4tsmenge, die sich in einem voltaelektrischen Nebenstrome abgleicht, ist der St\u00e4rke des Hauptstromes proportional,1 * * * S und f\u00fcr eben\n1 Es d\u00fcrfen sich deshalb keine Dr\u00e4hte in der Hauptrolle befinden. Versuche,\ndie ich in dieser Art mit einem kleineren Schlitteninductorium angestellt hatte,\nmussten verworfen werden, indem sich dabei von dem erwarteten, und wie man\nsehen wird, richtigen Gesetz Abweichungen ergaben, welche sich aus der Annahme erkl\u00e4ren Hessen, dass die in den Inductionsstr\u00f6men sich abgleichenden Elektricit\u00e4csmengen schneller wuchsen als die St\u00e4rken der inducirenden Str\u00f6me. Vergl. Wiedemann, Die Lehre vom Galvanismus u. s. w. 1. Aufl. 1863. Bd. II.\nS- 297; \u2014 2. Aufl. 1873. Bd. II. Abth. I. S. 338. 350.","page":315},{"file":"p0316.txt","language":"de","ocr_de":".316 XII. Ueber aperiodische Bewegung ged\u00e4mpfter Magnete. \u2014 Abli. I. \u2014\ndieser St\u00e4rke merklich proportional d\u00fcrfen wir die Ablenkungen des Magnetes nehmen. Man hat also auch c = \u00ab |, wo a eine Constante folglich a = \u00ab unabh\u00e4ngig von |, und demgem\u00e4ss kann man, wenn einmal B' f\u00fcr ein behebiges | gefunden ist, g durch das \u00dfheochord fortan beliebig ver\u00e4ndern: gleichviel von wo der Magnet falle, stets \u00fcberschreitet er den Nullpunkt nur eben um die ' kleinste bemerkbare Gr\u00f6sse.\nEs versteht sich beil\u00e4ufig von selber, und Rechnung wie Beobachtung ergeben, dass dabei die Beruhigungszeit kleiner wird als ohne Anfangsgeschwindigkeit.\nVersuch II.\nNachdem dieser Zustand erreicht ist, bringt man, bei einem beliebigen \u00a3, Rx in die unwirksame, in der Figur punktirte Lage, und wiederholt den Versuch. Jetzt trifft der Inductionsstoss, der vorher den Magnet bei f traf, den Magnet auf dem Nullpunkt; es erfolgt ein Ausschlag im umgekehrten Sinne von der Ablenkung g; die Gr\u00f6sse dieses Ausschlages heisse x. Man hat [845]\t_\t_ c\nX \u2014 %max \u2014\ne e\n[(XXXIV), S. 302]. Abermals ist c proportional g, also g = const X x, gleichviel wie g gew\u00e4hlt wird.\nDie folgenden Tabellen zeigen das Ergebniss der Versuche, die ich zur Pr\u00fcfung dieses Schlusses anstellte. Die Zahlen g\u201e in der ersten Spalte jeder Tabelle sind erhalten, indem ich mittels des Rheochords die Ablenkung von 25 sc bis 500 80 stets um 25 sc steigerte; sie sind das Mittel aus zwei Ablesungen vor und nach zehn Ablesungen von x4 ; die abgelesenen Tangenten der doppelten Ablenkung sind in die doppelten Tangenten der einfachen Ablenkung verwandelt. Die Zahlen xmc sind das ebenso corrigirte Mittel aus jenen zehn x6 ; die Spalte xm \u2014 x6 zeigt die gr\u00f6sste, positive oder negative Abweichung des beobachteten nicht corrigirten x4 vom mittleren nicht corrigirten xm, welche in einem solchen Satze vorkam. Man sieht, dass diese Abweichung sich h\u00f6chstens auf 0-85 sc bel\u00e4uft. Die Constante ist nach der Methode der kleinsten Quadrate berechnet; die Zahlen x> sind durch Division von gc mit der Constanten erhalten. Obschon x bis zu 183 sc hinaufgeht, belaufen sich die Abweichungen xr \u2014 xmc nie auf mehr als den Bruchtheil eines Scalentheiles, mit einer einzigen Ausnahme (Versuch 15 in Tab. 1), wo ein gr\u00f6sserer Fehler durch irgend einen Zufall begangen wurde, wie er bei einer Versuchsreihe, die sich \u00fcber viele Stunden erstreckt, wohl Vorkommen kann. Erw\u00e4gt man die Fehler der gedruckten Theilung, die","page":316},{"file":"p0317.txt","language":"de","ocr_de":"Tabelle I. \u00c4 = 296-5B' = 47mm\tTabelle II. \u00c4 = 297-5\n\u00a7. 12. Experimentelle Best\u00e4tigung der Bewegungsgesetze aper. Magnete. 31T\nS\t\u00a9\t\u00a9\tCO\tCO\t05\t(M\tWO\tCO\tCD\tb-\tCO\tMC\tO\tb-\tCO\tCM\tb-\tGO\t05\tCO\n\tT_1\to\tCM\tO\t\tO\tCO\tCO\tCM\tCO\tCO\t<M\tWO\tco\tr\u201c1\t(M\tCO\to\tw0\t\n1\t\u00d4\to\to\to\to\tO\tO\to\tO\to\to\tO\to\to\to\tO\to\to\to\tO\n\t1\t+\t!\t+\t1\tI\ti\t1\tI\t1\t1\tI\t1\t1\t1\t+\t+\t+\t+\t+\nX\t\t\t\t\t\t\t\t\t\t\t\t\t\t\t\t\t\t\t\t\n\to\t00\tt-\tb-\tCO\tCD\to\t\t05\tco\t00\trH\t05\tMC\trH\trH\to\t05\two\tCM\n\t\u00a9\tCD\tt-\tM<\tMC\tCM\t\to\to\tco\tCO\tCO\two\t00\t\t\t\t\t\tWO\nX\t00\tb-\tCO\t\tMC\t\t\t\to\tGO\tb-\tCO\tWO\tMC\tCM\trH\to\t05\tb-\two\n\t\t\tCM\tCO\tM<\tWO\tCO\t\tGO\tCO\t05\to\t\tCM\t\tMC\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\t\t\t\t\t\trH\trH\trH\trH\trH\t\"H\t\trH\trH\n-O\t\t\t\t\t\t\t\to\tco\tG0\tco\t\tWO\tCO\t<M\t(M\tG0\to\tGO\tO\n\to\trH\tO\tCO\trH\tCO\tMC\tco\twO\tCM\tCM\tb-\tCO\tCM\t\t\t\two\t\t(M\n1\t\u00d4\tO\tO\to\to\to\to\to\to\tO\tO\to\to\tO\to\tO\tO\tO\tO\tO\n\t\t+\t\t+\t+\tl\t+\t+\t1\t+\t+i\t+\t+1\t+i\ti\t+\t+\t+\t+\t-H\n\to\t\tO\t\t\to\two\tb-\tco\two\trH\two\t05\tH\tt-\t05\tCO\tCM\tco\tb-\nu\to\tCD\to\tMC\tCO\tCO\tb-\tCO\tco\tO\tO\tGO\to\to\t\t\t\t\t\t\ns\t\u00a9\t\t\t\tMC\tCO\tCM\t\to\t05\t00\tCO\tco\twO\tCM\trH\t05\t05\tco\tMC\n\t\t\t(M\t\tMC\twO\t\tb-\tGO\tCO\t05\to\trH\tCM\t\tM<\trf\tWO\t\t\n\t\t\t\t\t\t\t\t\t\t\t\tw\trH\trH\trH\t\trH\trH\t\trH\n\t\t\t\t\t\tb\u00bb\t\tb-\t05\t\t05\t00\to\t00\t05\tM<\tCM\tG0\tb-\tb-\n\to\tWO\tCM\tCO\t05\tco\tMC\tMC\t05\trH\tCO\tMC\tb-\t(M\tb-\tCO\t\tMC\tWO\t\nMd\t\to\t\t\tMC\t05\tM<\t05\tMC\t05\tMC\t05\tM<\t05\tCM\tGO\tCM\tb-\t05\tCO\n\tCM\tWO\t\tCD\tCM\tMC\tb-\t\tCM\tM<\tb-\t05\tCM\tM<\t\t\t\tMC\t\t05\n\t\t\t\t\trH\trH\trH\t\tCM\tCM\tCM\tCM\tCO\tco\tCO\t\tMC\tMC\tMC\tM<\n\t\tCM\tCO\t\twO\tCO\tb-\tco\t05\tO\trH\tCM\tco\tMC\twO\tCO\tb-\tCO\t<05\tO\n\t\t\t\t\t\t\t\t\t\trH\trH\trH\trH\trH\trH\trH\trH\trH\trH\t(M\n\u00ab g\t\t\t\t\tco\tb-\t\tCM\tb-\t\tCM\tCO\tMC\tMC\t\tCO\t\u00a9\trH\tGO\t\u00a9\nX!\t0\t\trH\tCM\tMC\tWO\tCM\tb-\trH\tWO\tCO\tCO\t\u00a9\tM<\t\t\t\u00a9\trH\tMC\t\u00a9\nI\t\u00f4\tO\tO\tO\t0\tO\tO\tO\tO\tO\t0\t\u00a9\t\u00a9\t\u00a9\t\t\u00a9\t\u00a9\t\u00a9\t\u00a9\t\u00a9\n\t1\t1\t1\t1\t1\t1\t1\t1\t1\t1\t1\t1\t1\t+\t+\t+\t1\t1\t+\t+\nXI\t\t\t\t\t\t\t\t\t\t\t\t\t\t\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\tM<\tco\tb-\tWO\tGO\tCO\tCO\tMC\t\u00a9\tCM\tCO\t\u00a9\tWO\twO\tGO\tCO\tb-\n\tCM\two\tCO\tO\tco\tCO\t05\t05\tWO\tco\tb-\t<M\t\t\u00a9\t\trH\t\t\twO\t\n\u00a3\t05\t\t\t\tsa\t\tMC\tCO\tCO\tCM\trH\trH\t\u00a9\t05\tb*\tb-\t\u00a9\twO\tMC\tCO\n\t\t\t<M\tCO\t\t\tCO\tb-\t(XJ\t05\t\u00a9\trH\tCM\tCM\tCO\tM-\tWO\t\u00a9\tb-\tCO\n\t\t\t\t\t\t\t\t\t\t\trH\t\t\trH\t\t\trH\trH\trH\trH\n>\u25a00 X\t\tO\tMC\t0\t0\tWO\tWO\tCM\tWO\tO\t05\tWO\t\u00a9\t\u00a9\tCO\tb-\tb-\tWO\t\u00a9\t\u00a9\n\tO\tco\t\tco\tCM\tM<\tCM\tCM\tCO\tO\trH\t\t\tWO\t\trH\tMC\tWO\t\tWO\n1\t\u00a9\tO\tO\t0\t0\tO\tO\tO\tO\tO\t\u00a9\t\u00a9\t\u00a9\t\u00a9\t\u00a9\t\u00a9\t\u00a9\t\u00a9\t\u00a9\t\u00a9\n>1\t\t1\t1\t+\t-H\t+\t+1\t+\t+\t\t1\t1\t1\t-H\t1\t+\t+\t1\t-H\t+i\n\t\t\t\t0\t0\tCO\tMC\tO\tCO\t05\t\u00a9\tMC\t\u00a9\t\u00a9\t\u00a9\t<M\tCM\tGO\tWO\trH\n\tCO\tco\t05\tco\tco\t<M\tCM\tb-\tb-\tGO\tO\t\u00a9\t05\t(M\t\u00a9\tGO\tMC\tCO\t\u00a9\tCM\ns\t05\t\t\t\t\tCO\two\tMC\tCO\tCM\tCM\t\tO\t05\twO\t\u00a9\t\u00a9\twO\tMC\tCO\n\t\t\tM\tco\tM<\two\tCO\tb-\tco\t05\t\u00a9\trH\tCM\tCM\tCO\tMC\tWO\t\u00a9\t\t\n\t\t\t\t\t\t\t\t\t\t\trH\ttH\trH\t'H\trH\trH\trH\t\t\trH\n\t\t\t\t\tO\t05\tWO\tO\tco\tCO\tCM\t\u00a9\tCO\tb*\t\u00a9\tCM\t\u00a9\tCD\t\u201e\tb-\n\tO\t05\tT-H\t05\t\t\u2019\u20141\tCM\tCO\tMC\tCM\tWO\tCM\t\u00a9\tb-\tM1\t\u00a9\t\t\t\tMC\nMd\tWO\tCD\two\t05\tWO\t0 WO\tWO\t05 05 rH\two (M CM\t05\two\t\u00a9\tMC\t05\t\u00a9\tb- \u00a9 CO\tM\tb-\t\u00a9\tMC\n\t\t\t\t\trH\t\t\t\t\tCM\tCM\tCO\tco\tCO\tCO\t\tMC\tMC\tMC\tM<\n\t\tCM\tco\t\tWO\tCO\t\tG0\t05\tO\trH\t<M\tco\tMC\twO\t\u00a9\tb-\tGO\t\u00a9\t\u00a9\n\t\t\t\t\t\t\t\t\t\tTH\trH\trH\trH\trH\trH\tT-1\trH\trH\tTH\tCM\nConst = 2-698120\tConst = 2-809127\t[846]","page":317},{"file":"p0318.txt","language":"de","ocr_de":"318 xn. Ueber aperiodische Bewegung ged\u00e4mpfter Magnete. \u2014 Abli. I. \u2014\nUnbest\u00e4ndigkeit der Kette und die Erw\u00e4rmung der Dr\u00e4hte, die Schwankungen der Ruhelage des Magnetes und der L\u00e4nge des ihn tragenden Kadens, die mangelhafte Einstellung des Fernrohrs hei gr\u00f6sseren Ablenkungen und die Schwierigkeit des Ablesens gr\u00f6sserer Ausschl\u00e4ge, den Widerstand der Luft, endlich die unsichere Aufstellung meiner Apparate in daf\u00fcr ganz ungeeigneten R\u00e4umen, so darf die erlangte Uebereinstim-mung gewiss f\u00fcr h\u00f6chst befriedigend gelten. Die Regelm\u00e4ssigkeit in der Yertheilung der Zeichen der Fehler, wonach die gr\u00f6sseren xmc im Allgemeinen zu klein sind, r\u00fchrt wohl davon her, dass die Ablenkungen nicht unserer Voraussetzung entsprechend den Stromst\u00e4rken genau proportional sind, [847] sondern ein etwas abweichendes, und zwar f\u00fcr die beiden Rollen Rl und R,, wegen ihrer verschiedenen Entfernung vom Spiegel, verschiedenes Gesetz befolgen. Nicht einmal die Richtkraft ver\u00e4ndert sich genau proportional dem Sinus der Ablenkung, weil der ILvuY\u2019sche Stab, wenn auch um beinahe 300mm entfernt, den Magnet doch nicht mit strenge parallelen Kr\u00e4ften angreift.\nWir wollen jetzt noch der Constanten selber in unserer durch den Versuch bewiesenen Gleichung | = const X x unsere Aufmerksamkeit\nQ\t*\nzuwenden. Aus c = und x = \u2014 folgt const = e, und man hat also die merkw\u00fcrdige Beziehung\nx\nW\u00fcrde | = e2 gemacht, so m\u00fcsste sich x = e ergeben; man w\u00fcrde unmittelbar die Basis der nat\u00fcr\u00fcchen Logarithmen ablesen. Dies best\u00e4tigt sich in der That.\nIn unserer Versuchsreihe I ist die Constante = 2 -69812,\nin Reihe Et ist sie = 2-80913;\nMittel = 2-75362.\"\nEs ist e = 2-71828; der Fehler des Mittels ist also nur = 0-03534.\n82 ist 7-3890; w\u00e4hlt man als Einheit das Centimeter = 10 sc, und macht man | = 7-39, so muss x = 2-72 sein.1 Ich stellte eine An' \u2022 zahl solcher Pr\u00fcfungen an, indem ich jedesmal von Neuem \u00c4 und das zugeh\u00f6rige B' bestimmte. Die Ergebnisse dieser Versuche, nach ab-\ni Da man die Tangente der doppelten Ablenkung abliest, ist eigentlich\n\u00a3 = 7-39095 zu machen, und sollte x = 2-71838 sein, doch f\u00e4llt der Unterschied, wie nicht bemerkt zu werden braucht, weit innerhalb der Grenze def Beobachtungsfehler.","page":318},{"file":"p0319.txt","language":"de","ocr_de":"\u00a7. 12. Experimentelle Best\u00e4tigung der Bewegungsgesetze aper. Magnete. 319\nnehmenden Entfernungen des HAtrr\u2019schen Stahes geordnet, zeigt folgende Tabelle in den Versuchen 1\u20144; Versuch 5 und 6, wo der Stab absichtlich zu nah war, wurden hinzugef\u00fcgt, um das in der Reihe sich kundgehende Gesetz noch deutlicher hervortreten zu lassen.\nNr.\t\u00c4\tE\tX\tconst\n1\t298-5\t63\t2-26\t3-270\n2\t297-5\t53\t2-63\t2-810\n3\t297-0\t48\t2-72\t2-717\n4\t296-5 A\t46\t2-74\t2-700\n5\t295-0\t28\t3-12\t2-369\n6\t293-5\t4\t3-53\t2-094\nBei den Versuchen 2 und 4 hatte ich fast genau die Bedingungen der in Tabelle II und I enthaltenen Versuchsreihen wieder getroffen. Man sieht, dass ich von dem \u00e4ussersten Werthe von A, wo mir schien, als sei die Bewegung aperiodisch, den Stab nur um anderthalb Millimeter mehr, d. h. um 1j199 seines Abstandes, zu n\u00e4hern hatte, um das theoretisch vorhergesehene Ergebniss zu erhalten. Erw\u00e4gt man, dass bei diesen Versuchen die oben S. 307 besprochene Schwierigkeit zu sagen, ob der Nullpunkt noch \u00fcberschritten werde oder nicht, zweimal auftritt, zuerst bei der Bestimmung von A', dann bei der von B', so wird man die erlangte Uebereinstimmung gewiss als gen\u00fcgend anerkennen.\nDie Tabelle zeigt, dass je kleiner //, oder je n\u00e4her der Stab dem Magnete, um so gr\u00f6sser f\u00e4llt x, und um so kleiner B\u2019 und die Constante aus. Der Sinn hiervon ist, dass je weniger Richtkraft dem Magnete gelassen ist, um so gr\u00f6sser kann die ihm ertlieilte Anfangsgeschwindigkeit sein, ohne dass er den Nullpunkt \u00fcberschreitet.\nDieser Zusammenhang spricht sich deutlicher aus, wenn man, anstatt A und B zugleich, nur die eine oder die andere Entfernung \u00e4ndert. L\u00e4sst man A = \u00c4 best\u00e4ndig, und verkleinert B, so wird bald der Nullpunkt merklich \u00fcberschritten, x w\u00e4chst, die Constante nimmt ab. Verwickelter ist der Vorgang, wenn man B = B' best\u00e4ndig l\u00e4sst, und\nA \u00e4ndert. Wegen x = \u2014 (XXXIV) ist zwar x von A nur insofern\nabh\u00e4ngig, als mit A Intensit\u00e4t des Magnetes, folglich auch D\u00e4mpfung und, obschon der Inductionsstoss derselbe bleibt, Anfangsgeschwindigkeit sich ein wenig \u00e4ndern; allein dies ist nicht zu vernachl\u00e4ssigen. F\u00fcr Ir in dem oben S. 301 (XXX) gegebenen Ausdruck [849]\tfxlr\nc ~ W","page":319},{"file":"p0320.txt","language":"de","ocr_de":"320 XII. Ueber aperiodische Bewegung ged\u00e4mpfter Magnete. \u2014 Abh. I. \u2014\nwollen wir P setzen, welches den Integralwerth des Inductionsstromes nach St\u00e4rke und Zeit vorstellen soll. Den Werth von u entwickeln wir, wie wir dies oben S. 305. 306 mit m und m gethan haben, zu\np [i + v (H \u2014 S)}. Dann ist c = p {i + rt {H \u2014\nEs ist (XL)\n*m'2{i + n (H - S)}2 e ~\t2 M\nund folglich\n_ ^_________________2 y!.P___________\nX es e%m'2 {i + V {H\u2014 S)}\nWenn man also, bei best\u00e4ndigem B = B', A von \u00c2 aus vergr\u00f6ssert, wird x wegen des abzunehmenden S etwas kleiner, und der Nullpunkt \u00fcberschritten. Umgekehrt der Nullpunkt wird nur eben erreicht, und x w\u00e4chst um ein Geringes, wenn A von \u00c4 aus verkleinert wird. Dies trifft im Versuch ein; als ich hei B' = 48mm A von \u00c2 = 297mm folgweise auf 292; 287; 277 mm verkleinerte, stieg x von dem ihm willk\u00fcrlich ertheilten Werthe 40-3 sc beziehlich auf nur 41-2; 42-7; 46-5 sc.\nUebrigens ist zu bemerken, dass das c in unserem Versuch II (s. oben S. 316) dem c in Versuch I nicht genau gleich ist. Denn in Versuch I, wo man c = eg macht, wird der Inductionsstoss erzeugt nicht allein durch die Induction von H auf N, sondern auch durch die Induction von R1 auf R2 und auf den D\u00e4mpfer, welche in R2 und dem D\u00e4mpfer die verkehrte Richtung hat von dem durch die Induction von H auf N in K2 erzeugten Strome. Man kann also setzen c =\t=\n(p \u2014\t-)- s)j |, wo p, q, s die Geschwindigkeiten sind, welche, f\u00fcr\ndie Einheit der die St\u00e4rke des inducirenden Stromes messenden Ablenkung I, die beziehlich von // auf N, von 77, auf P2, und von B1 auf den D\u00e4mpfer ausge\u00fcbten Inductionen dem Magnet ertheilen. In Versuch II dagegen erh\u00e4lt der Magnet die Geschwindigkeit c = p \u00a3> und man hat somit statt\n[85\u00b0]\t1 = vielmehr 1 _ \u00ab fl - \u00ee-t-\u00ee),\nX\tXV\tp J\nd. h. die Constante muss kleiner als e ausfallen.\nIndessen geht aus den Umst\u00e4nden des Versuches hervor, dass der\nBruch ^\t- nur sehr klein sein konnte. Die Rolle H hat mehrere\nV\nhundert, die Rolle N 9845 Windungen, w\u00e4hrend IIy nur 53 und R2 nur 6000 Windungen besitzt. B war bei dem Versuch 3 der letzten Tabelle,","page":320},{"file":"p0321.txt","language":"de","ocr_de":"\u00a7. 12. Experimentelle Best\u00e4tigung der Bewegungsgesetze aper. Magnete. 321\nwo sich const = e ergab, = 48mm, w\u00e4hrend von Mitte zu Mitte gemessen der horizontale Abstand zwischen 72, und 72, 400, zwischen 72, und dem D\u00e4mpfer 380ram betrug. Die \u00c4sen von 72, und die von 722 und dem D\u00e4mpfer lagen aber nicht einmal, wie in der Figur, in einer Geraden, sondern waren einander parallel um etwa 110mm verschoben. Das Potential der Rollen 72, und 723, und das der Rolle 72, und des D\u00e4mpfers aufeinander, mussten also gegen das Potential der Rollen H und N aufeinander nahe verschwinden.\nF\u00fcr die Induction von 72, auf 723 ist dies leicht zu zeigen. Dazu wird in den Kreis von N und 723 eine dritte Rolle 723 von gleicher Beschaffenheit mit 722 (die andere Hydrorollc der Bussole) aufgenommen, und gegen\u00fcber der Rolle 72, in deren unwirksamer Lage so aufgestellt, wie 723 gegen\u00fcber derselben Rolle in deren wirksamer Lage aufgestellt ist. Indem man f\u00fcr ein bestimmtes B und f die Induction von H auf N mit und ohne Rolle 723, dann die Induction von 72, auf 723 beobachtet, hat man alle Daten, um q als 'Qp, wo \u00a3 eine Constante, auszudr\u00fccken. Es fand sich aber, dass auch bei der gr\u00f6ssten inducirenden Stromst\u00e4rke, welche die Anordnung zuliess, d. h. bei v\u00f6llig gest\u00f6pseltem Kheochord, q neben p unwahmehmbar blieb. - Was \u00ab betrifft, so l\u00e4sst sich dies nicht experimentell bestimmen, doch kann man sicher sch\u00fcessen, dass, obschon gr\u00f6sser als y, s in Bezug auf p mit q von gleicher Ord-\nQ 1 g\nnung sei. Der Bruch -------- musste also, wie auch aus der Ueberein-\nP\nStimmung unserer Ergebnisse mit der Theorie folgt, nahe = 0 sein.\n[851]\t\u00a7. xm. Vorz\u00fcge der Beobachtung an aperiodischen\nMagneten.\nMan erreicht mittels des hier beschriebenen Verfahrens vollst\u00e4ndiger, bequemer und ohne alle Nachtheile dasselbe, was fr\u00fchere Experimentatoren, Mohr,1 Schilling von Canstaut und Lenz,2 Draper,3 sich vorsetzten, als sie an die nach unten verl\u00e4ngerte Axe des Magnetes Fl\u00fcgel von Platin oder Stanniol hefteten, welche in Oel oder Wasser einen die Schwingungen hemmenden Widerstand erfuhren. Keiner, der einmal am aperiodischen Magnete beobachtet hat, wird ohne besondere Gr\u00fcnde zum schwingenden Magnete zur\u00fcckkehren, und die klare und\n1\tPoggendorff\u2019s Annalen u. s. w. 1836. Bd. XXXIX. S. 131.\n2\tEbendas. 1843. Bd. LIX. S. 207; \u2014 1849. Bd. LXXVT. S. 499. 500.\n3\tPhilosophical Magazine etc. 1839. 3rd Ser. vol. XY. p. 266.\nn. du B o j s - Re y m ond, Ges. Abh. I.\t21","page":321},{"file":"p0322.txt","language":"de","ocr_de":"322 XII. Ueber aperiodische Bewegung ged\u00e4mpfter Magnete. \u2014 Abh. I. _\nruhige Spiegelung der Vorg\u00e4nge im Multiplicatorkreise, welche jener ge-w\u00e4hrt, f\u00fcr das verwirrende Schauspiel des hei jeder Ver\u00e4nderung der Stromst\u00e4rke hin- und her schiessenden Scalenhildes wieder aufgeben aus dem sich der Sachverhalt stets erst nach l\u00e4stiger Ungewissheit entwickelt Indem man mit der Verminderung der Richtkraft m\u00f6glichst genau da stehen bleibt, wo n \u2014 s, oder die Bewegung des Magnetes eben aperiodisch geworden ist, geniesst man, wie schon bemerkt, zugleich den Vortheil der schnellsten Beruhigung des Magnetes, welche die angewandten Vorrichtungen gestatten. Von ganz besonderem Nutzen ist der aperiodische Zustand bei dem Compensiren des Stromes zum Zwecke der Messung der elektromotorischen Kraft nach der PoGGENDOBir\u2019schen, von mir abge\u00e4nderten Methode, oder des Widerstandes mittels der Wh e at st ose\u2019 sch en Br\u00fccke. Der schwingende Magnet ger\u00e4th in Schwankungen, sobald man die Gleichgewichtslage schneller, als der Magnet zu folgen vermag, vor ihm her dem Nullpunkte zu bewegt; der schwingungslose Magnet kann h\u00f6chstens unter den oben S. 305 bezeich- , neten Umst\u00e4nden einen Hin- und Hergang machen, so dass man ohne jedes Tasten, mit stetiger Bewegung, den Nullpunkt auf den Baden ein-stellen kann. Gute [852] Dienste wird auch diese Methode leisten bei Demonstrationsversuchen vor einer gr\u00f6sseren Versammlung, unter Anwendung des von mir beschriebenen Verfahrens, die Ablenkungen durch einen vom Spiegel zur\u00fcckgeworfenen Lichtstrahl sichtbar zu machen.1 Dies Verfahren wurde bekanntlich von Sir William Thomson angewandt, um die schwachen Signale des ersten atlantischen Kabels bequem zu beobachten, und noch heute werden die atlantischen Kabel mit sogenannten THOMSON\u2019schen Galvanometern bedient, an denen die Ablesung auf jene, zuerst von mir in England gezeigte Art geschieht. Hier, wie \u00fcberhaupt wo in der Telegraphie Galvanometer in Gebrauch sind, wird die Beseitigung der Schwingungen sich als h\u00f6chst vortheilhaft erweisen.\nN\u00fctzlich k\u00f6nnen endlich in ihrer \u00fcberraschenden Einfachheit die Formeln (XXXHI) und (XXXIV) werden. Letztere kann an sich dienen, den Integralwerth kurz dauernder Str\u00f6me relativ zu bestimmen. Aber auch zur Messung kleiner Zeitr\u00e4ume nach der von Hm. Helmholtz verbesserten PouiLLET\u2019schen Methode2 bieten jene Formeln bequeme\n1\tPoggendobee\u2019s Annalen u. s. w. 1855. Bd. XCV. S. 607; \u2014 Philosophical Magazine etc. 1856. 4th Ser. vol. XI. p. 109. \u2014 [S. oben S. 131, Abh. VI.]\n2\tJoh. M\u00fcllee\u2019s Archiv f\u00fcr Anatomie u. s. w. 1850. S. 299; \u2014 Wi\u00ae1\u00ae' MA.NN, Die Lehre vom Galvanismus u. s. w. Braunschweig 1873. Bd. II. L\nS. 287. \u00a7. 249.","page":322},{"file":"p0323.txt","language":"de","ocr_de":"\u00a7. 13. Vorz\u00fcge der Beobachtung an aperiodischen Magneten. 323\nGelegenheit, wenigstens wenn man sieh eines Magnetes von solchem Tr\u00e4gheitsmomente bedient, dass er eine scharfe Messung von\nt = tmax -\n\u00ab\nzul\u00e4sst. Ist F die Ablenkung durch den zeitmessenden Strom in best\u00e4ndiger Gr\u00f6sse, x der Ausschlag durch denselben Strom w\u00e4hrend der kleinen Zeit t, so findet man f\u00fcr diese leicht den Ausdruck\net\n21*","page":323}],"identifier":"lit29144","issued":"1875 ","language":"de","pages":"284-323","startpages":"284","title":"Ueber aperiodische Bewegung ged\u00e4mpfter Magnete. Erste Abhandlung (Monatsberichte der K\u00f6niglich-Preussischen Akademie der Wissenschaften zu Berlin, 1869, S.807)","type":"Book Section","volume":"1"},"revision":0,"updated":"2022-01-31T15:43:18.386276+00:00"}