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{"created":"2022-01-31T15:42:36.497759+00:00","id":"lit29145","links":{},"metadata":{"alternative":"Gesammelte Abhandlungen zur allgemeinen Muskel-und Nervenphysik, ErsterBand","contributors":[{"name":"Du Bois-Reymond, Emil","role":"author"}],"detailsRefDisplay":"In: Gesammelte Abhandlungen zur allgemeinen Muskel-und Nervenphysik, ErsterBand, 324-352. Leipzig: Veit & Co.","fulltext":[{"file":"p0324.txt","language":"de","ocr_de":"xni.\nUeber aperiodische Bewegung ged\u00e4mpfter Magnete.\nZweite Abhandlung.\n(Gelesen in der Gesammtsitzung der K\u00f6nigl. Akademie der Wissenschaften zn Berlin\nam 23. Juni 1870.)1\nHierzu Taf. IV. Fig. 4\u20148.\n\u00a7. I. Einleitung.\nBei der k\u00fcrzlich von mir der Akademie mitgetheilten Theorie der aperiodischen Bewegung ged\u00e4mpfter Magnete hin ich dem vom physikalischen Standpunkte sich darbietenden Wege gefolgt, das allgemeine vollst\u00e4ndige Integral der Differentialgleichung f\u00fcr die Bewegung des Magnetes aufzustellen, und die darin vorkommenden willk\u00fcrlichen Con-stanten der jedesmaligen Aufgabe gem\u00e4ss zu bestimmen. Indem ich die Ablenkung zur Zeit Null, = 0 oder = einer positiven oder negativen Gr\u00f6sse g, ebenso die Geschwindigkeit zur Zeit Null, = 0 oder gleich einer positiven oder negativen Gr\u00f6sse c setzte, habe ich die Bewegungsgleichungen f\u00fcr die verschiedenen Combinationen dieser F\u00e4lle nacheinander einzeln hergeleitet.\nUnter diesen Combinationen erwies sich besonders lehrreich die, wo der Magnet bei g im Augenblicke des Fallenlasseiis eine Anfangsgeschwindigkeit \u2014 c, also im Sinne der Bichtkraft, erh\u00e4lt. Die Rechnung zeigte, dass auch dann der Nullpunkt nicht \u00fcberschritten werde, so lange nicht c gr\u00f6sser als (\u00ab + r) g sei. Es entstand die Frage nach dem Sinne dieser Bedingung. Da es gleichg\u00fcltig ist, ob der Magnet bei g im Augenblicke des Fallenlassens eine Anfangsgeschwindigkeit c im Sinne der Richtkraft erh\u00e4lt, oder ob er diese Geschwindigkeit als Fallgeschwindigkeit\n1 Monatsberichte der Akademie u. s. w. 1870. S. 537. \u2014 Hie Bezeichnungen in dieser Abhandlung sind dieselben wie in der ersten. Hie Ordnungszahlen der Formeln sind diesmal arabische, zum Unterschiede von den r\u00f6mischen der ersten Abhandlung. \u2014 In_ den Abhandlungen \u00fcber aperiodische Bewegung sind mit erster, zweiter ... Abhandlung stets nur diese gemeint.","page":324},{"file":"p0325.txt","language":"de","ocr_de":"XIII. lieber aperiodische Bewegung ged\u00e4mpfter Magnete. \u2014 Abh. II. 325\nx' = \u2014 c aus einer h\u00f6heren Ablenkung mitbringt; da, unter der Voraussetzung unbegrenzter G\u00fcltigkeit der Differentialgleichung, der Magnet mit keiner durch Fallen aus noch so 'hoher Ablenkung erlangten Geschwindigkeit den Nullpunkt zu \u00fcberschreiten vermag; endlich da f\u00fcr ein gegebenes x die Fallgeschwindigkeit mit der Fallh\u00f6he w\u00e4chst: so vermuthete ich, dass (s + r) g die gr\u00f6sste Fallgeschwindigkeit sei, die der Magnet \u00fcberhaupt bei | erlangen k\u00f6nne, d. h., bei unbegrenzter G\u00fcltigkeit der Differentialgleichung, durch Fall aus dem Unendlichen erlangen w\u00fcrde.\nUm diese Vermuthung zu pr\u00fcfen, stellte ich mit H\u00fclfe der bekannten Relation x = f (t, f) den Verlauf der Curve x = 4> (x, g) im Allgemeinen fest, und untersuchte, was im Endlichen aus dieser Curve werde, wenn man g = oo setze. Diese Untersuchung lehrte, dass meine Vermuthung genau nur im Grenzfall s \u2014 n oder r = 0 zutreffe ; x = \u2014 sx ist wirklich im Endlichen die Gleichung der Curve, deren Ordinaten f\u00fcr jedes x die Geschwindigkeit des aus dem Unendlichen fallenden Magnetes angeben. F\u00fcr \u00ab !> n aber ist diese Gleichung nicht x = \u2014 (e + r) x, sondern x' = \u2014 (\u00ab \u2014 r) x\\ und die Geschwindigkeit bei g muss diese h\u00f6chste durch den Fall aus dem Unendlichen erreichbare Geschwindigkeit um noch mehr als 2 r g \u00fcbertreffen, damit der Nullpunkt \u00fcberschritten werde.\nDie Differentialgleichung setzt die Proportionalit\u00e4t der Richtkraft mit der Ablenkung, und der verz\u00f6gernden Kraft der D\u00e4mpfung mit der Geschwindigkeit voraus; die Abweichungen der Beobachtung von der Theorie k\u00f6nnen also nur so lange innerhalb der Grenze der Beobachtungsfehler bleiben, als die Ablenkung eine gewisse Gr\u00f6sse nicht \u00fcbersteigt. Vollends hat aus Gr\u00fcnden, die keiner Ausf\u00fchrung bed\u00fcrfen, eine unendlich grosse Ablenkung des Magnetes keinen physikalischen Sinn. Man sieht aber, dass die mathematische Fiction einer solchen Ablenkung und der unbegrenzten G\u00fcltigkeit der Differentialgleichung dadurch eine wirkliche Bedeutung erh\u00e4lt, dass man eine dem Magnet innerhalb der Grenzen, wo die Bedingungen der Differentialgleichung noch erf\u00fcllt sind, auf andere Art ertheilte Geschwindigkeit als durch Fall aus dem Unendlichen entstanden ansehen kann.\nAls ich meinem Freunde, Hm. Kboneckeb, die Ergebnisse meiner Untersuchung mittheilte, machte er mich auf eine Beh\u00e4nd- [539] lungsweise des Gegenstandes aufmerksam, auf welche vom physikalischen Standpunkte nicht leicht zu kommen war. Sie schl\u00e4gt gerade den entgegengesetzten Weg von dem eben angedeuteten ein. Von vom herein wird die G\u00fcltigkeit der Differentialgleichung f\u00fcr ein unend\u00fcches x, oder, was das N\u00e4mliche ist, f\u00fcr ein unendliches negatives t, vorausgesetzt, ludern man \u00fcberdies bei gewissen ersten Integralen der Differentialgleichung","page":325},{"file":"p0326.txt","language":"de","ocr_de":"326 XIII. Ueber aperiodische Bewegung ged\u00e4mpfter Magnete. \u2014 \u00c0bh. II. \u2014\nstehen bleibt, hat man ohne Weiteres f\u00fcr jede Zeit zwischen t = __ qq. und t = + oo die Beziehung zwischen Geschwindigkeit und Ablenkung vor Augen. Um aber von dieser ganz allgemeinen und der Wirklichkeit, in der That entfremdeten Betrachtung zu den wirklichen Bedingungen, zur\u00fcckzukehren, ist nur n\u00f6thig, letztere als gegebene Beziehungen zwischen. Ablenkung, Geschwindigkeit und Zeit in den allgemeinen Ausdruck einzuf\u00fchren.\nWenngleich diese Art der Betrachtung die fr\u00fchere nicht wohl entbehrlich macht, hat sie doch ihre eigenth\u00fcmlichen Vortheile, und erst in ihrem Lichte lassen manche durch die fr\u00fchere Betrachtung aufgedeckte Beziehungen ihren wahren Zusammenhang erkennen. Dies wird am besten erhellen, wenn wir mit ihrer H\u00fclfe einige der Aufgaben behandeln, deren L\u00f6sung scheinbar schon auf dem fr\u00fcheren Wege vollst\u00e4ndig erreicht war.\n\u00a7. H. Die fundamentalen Eigenschaften unserer Differentialgleichung.\nIndem wir \u00fcbrigens s\u00e4mmtliche Bezeichnungen der Abhandlung beibehalten, setzen wir k\u00fcrzehalber\n* + r = a, s \u2014 r = b.\nUnsere Differentialgleichung heisst alsdann (vergl. Abhandlung (I), S. 286 und 296)\n0 = x\" + [a + b) x + abx\t(1)\nDie neue Theorie geht aus von der fundamentalen Bemerkung, dass man durch Differenziren der Ausdr\u00fccke\neat (bx + x'), elt [ax + x)\t(2)\ndas rechte Glied der Differentialgleichung beziehlich mit eat und eil mul-tiplicirt erh\u00e4lt.\n[540] Die Ausdr\u00fccke (2) sind also constant; man kann setzen bx + x \u2014 \u00c4e~at | ax + x = B'e~u I\nwo \u00c4, B' willk\u00fcrliche Constanten sind, welche zu den Constanten A, B in dem Integral unserer Differentialgleichung, wie es Gleichung (VI) der ersten Abhandlung giebt, in der Beziehung stehen A = \u2014 2 rA, B = 2 rB.\nEs folgt weiter, dass man jederzeit setzen kam)\neat {bx + x) = e\u201cT [bX + X) |\t..\nebt {ax + x') = ebT {aX + X) I\t[ \u2019\nWird der Verlauf von x, x als Functionen der Zeit, insofern er von den willk\u00fcrlichen Constanten abh\u00e4ngt, als bereits bestimmt angenommen, so","page":326},{"file":"p0327.txt","language":"de","ocr_de":"\u00a7. 2. Die fundamentalen Eigenschaften unserer Differentialgleichung. 827\nbedeuten X, X', T beliebige zusammengeh\u00f6rige Werthe der Functionen x x und der Zeit. Wird aber jener Verlauf als noch nicht bestimmt angesehen, so bedeuten X, X, T willk\u00fcrliche Constanten, durch deren Einsetzung der Verlauf bestimmt wird.\nDurch v malige Differentiation der Gleichungen (8) erh\u00e4lt man, wenn\n^ x rW gesetzt wird,\nbx<v> + xd + !) = (\u2014 dy \u00c4e~at \\ ax W + xd+1'> = (\u2014 b)v B'e~u I\ndtv\n(5)\nund folghch\n(-\n1)\u00bb . 2rrW = \u2014 av\u00c4e~at + bvB\u2019e~ axd) + xd + \u00dc b VB'\nbxd) + xd +\niv\u00c4\n\noder, wenn man zu den Logarithmen \u00fcbergehend\n1\t!A' ax(\n2r l0g VF ' bxA\na xd)\t+\txd + 0\\\nbxd)\t+\txd + v)\n= t\nvA.\n(6)\n(7)\nA setzt,\n(8)\nHieraus sind folgende Schl\u00fcsse zu ziehen:\nI. Wenn die Gr\u00f6ssen x und x f\u00fcr irgend einen endlichen Werth von t endliche Werthe haben, so sind \u00c2 und B\u2019 end\u00fcch. Ist einer der beiden Ausdr\u00fccke\nax + x, bx + x\t(9)\n[541] f\u00fcr irgend einen endlichen Werth von t gleich Null, und ist es also auch B' oder \u00c2 (3), so bleibt der Ausdruck Null f\u00fcr alle endlichen Werthe von t, und es wird demgem\u00e4ss die Ablenkung x durch eine der beiden Gleichungen\n\u00c2 ...\tB'\nx =\n2 r\n2 r\no\u2014bt\ndargestellt.\nH. Wenn, wie es in der Folge stets geschehen soll, von den erw\u00e4hnten besonderen F\u00e4llen abgesehen wird, so bleiben die Vorzeichen der Ausdr\u00fccke\nax(v) xd + D, ii;,) + xd + 1),\t(10)\nwie die Gleichungen (5) zeigen, f\u00fcr alle Zeit constant. W\u00e4hlt man nun, was offenbar erlaubt ist, das Vorzeichen von x so, dass ax + x und also B' positiv ist, so ist bx + x f\u00fcr den ganzen Verlauf der Zeit und also \u00c4 entweder positiv oder negativ. Demnach sind zwei wesentlich verschiedene Hauptf\u00e4lle zu unterscheiden, von denen derjenige stets als der erste bezeichnet werden soll, in welchem \u00c2 positiv ist, also die Ausdr\u00fccke (9) einerlei Zeichens sind, und als der zweite der, in welchem A negativ ist, also jene Ausdr\u00fccke verschiedenen Zeichens sind.","page":327},{"file":"p0328.txt","language":"de","ocr_de":"328 XIII. lieber aperiodische Bewegung ged\u00e4mpfter Magnete. \u2014 Abh. II. _\nHL Der Ausdruck (\u2014 1)- (aiW + *(- + \u00ab) nimmt, w\u00e4hrend* von\n\u2014\too Ms + oo geht, alle positiven Werthe von oo bis 0 wirklich an-ebenso durchl\u00e4uft (\u2014 1)- (i*\u00ab + *<* + D) je nach den beiden soeben unterschiedenen F\u00e4llen alle Werthe von + oo bis 0 oder von \u2014 qq bis 0. Der Quotient\nax M + x'y + >\u25a0 bxW + xlv + b\ndurchl\u00e4uft, wie Gleichung (7) zeigt, je nach den beiden F\u00e4llen s\u00e4mmt-liche positive oder s\u00e4mmtliche negative Werthe von 0 bis oo; aber der Quotient\nx> + \u00ab\n\u00cfW \u2019\nwelcher f\u00fcr t, \u2014 \u2014 oo den Werth \u2014 a und f\u00fcr t = + oo den Werth\n\u2014\tb hat, durchl\u00e4uft im zweiten Hauptfalle s\u00e4mmtliche zwischen \u2014 a und \u2014 b liegenden Werthe, im ersten Hauptfalle alle \u00fcbrigen [542] positiven und negativen Werthe. Nur in diesem ersten Hauptfalle werden daher zu gewissen Zeiten x und seine Differentialquotienten gleich Null. F\u00fcr diese Zeiten und die zugeh\u00f6rigen Werthe der Ablenkung x und ihrer Differentialquotienten f\u00fchren wir \u00fcbrigens nachstehende Bezeichnungen ein: der Zeit\nt0 entspreche x\t=0,\tx\t\u2014\txw\nT\t\u201e\tx\t=\t() ,\tx\t=\tb ,\nt,\t\u201e\tx\"\t=\t0,\tX\t=\tX\u201e\tX\t=\tX,\ntn\tV\txm\t\u2014\to,\tX\t=\tx\u201e,\tX\t\u2014\tX U. S. W.\nIY. Gleichimg (6) liefert folgende Bestimmungen f\u00fcr die Ablenkung (x) und deren Differentialquotienten:\nwenn\tt\t\u2014\t\u2014\too, so ist\t(\u2014 l)* ad*) = :p oo von der Ordnung erat\\\nwenn\tt\t=\t+\too, so ist\t#'(*) = () von der Ordnung eru.\nB\u00fcr t = \u2014 oo ist also x M unendlich gross von derselben Ordnung wie bx\u00ab + xiv + !), aber von h\u00f6herer Ordnung als axM> + x!v + b. F\u00fcr t \u2014 + go ist x^b unendlich klein von derselben Ordnung wie a x 'v\u00ee + x(v + 1}, aber von niederer Ordnung als bx \u00ab + x(v + Y\nX. Die Zeitpunkte, in denen der Reihe nach die Quotienten\nX X x\"\nXn 7n Wn ' ' \u2022 \u2022\neinen und denselben bestimmten Werth annehmen, bilden, wie aus Gleichung (8) hervorgeht, eine arithmetische Reihe mit dem best\u00e4ndigen Unterschiede A. Dies findet also namentlich f\u00fcr diejenigen Zeitpunkte t0, r,\tt\u201e\tt\u201e\t. .\t. statt, in\tdenen im ersten Hauptfalle folgweise x, x, x\",\nx . .\tgleich Null werden\t(s. oben IH.), so wie f\u00fcr diejenigen Zeitpunkte,","page":328},{"file":"p0329.txt","language":"de","ocr_de":"\u00a7. 2. Die fundamentalen Eigenschaften unserer Differentialgleichung. 329\nin denen im zweiten Hauptfalle\n?(\u00bb +1)\nj(\u00bb)\n\u2014 \u00a3 wird. Diese beiden\nReihen von Zeitpunkten sind zwar je nach den beiden verschiedenen F\u00e4llen ganz verschieden charakterisirt, entsprechen einander aber insofern, als dabei stets\n+ \u00ab(*'+ D\nbx \u00ab +\t+ U\n= + 1\nwird.\nVI. Wenn\n\u00c4 \u2014 \u00b1 \u00c4|e\u00ab, B' == a|e6t\ngesetzt wird, so nehmen die Gleichungen (3) und (6) die Form an [543]\tax + x = a|e6h\u2014\nbx + x = +\n(H)\n= (-\n\n1)\u201d \u2022 F I (\u00d4C\u2014D e5h-\u2018> + at*-\u00ab e\u00bbD-0,\t(12)\n>w V\nund es bedeutet r die Zeit, zu welcher\nr r //\nax -\\- x bx + x\"\n+ 1\nist, w\u00e4hrend aus der zur Zeit x stattfindenden Ablenkung x die positive\nGr\u00f6sse f durch die Gleichung\n.\ta \u2014 b\n\u00a7 = \u2014x *\ta -f- b\nbestimmt ist. Hiernach ist im ersten Hauptfalle r die Zeit und f die Ablenkung, bei der die Umkehr des Magnetes nach Ueberschreiten des Nullpunktes erfolgt, bei der also x = 0 und\nx\" + n2x = 0\nist, w\u00e4hrend im zweiten Hauptfalle x die Zeit und a ^\t~\ndie\nAblenkung ist, bei der x\nwird.\n2 ab\na \u2014 b - n2x = 0\n| und\nVH. Da nach den Gleichungen (11) f\u00fcr irgend welche bestimmte\nzusammengeh\u00f6rige Werthe T, X, X' die Relationen\naX + X = \u00abge6h-0, bX + X = + b^e^-O\nstatthaben, so erh\u00e4lt man aus gegebenen Werthen T, X, X die\nWerthe von r und f in folgender Weise:\n1 . (abX + aX\\ log\nt = T +\n2 r\nI == * +\nX\u00cf\u00cf\nab X + bX'.\n\u00b1 [X + F X\u2019\n2 r\n(13)\n(14)","page":329},{"file":"p0330.txt","language":"de","ocr_de":"330 XIII. Ueber aperiodische Bewegung ged\u00e4mpfter Magnete. \u2014 Abh. II._____________\nVIII. Die Beziehung zwischen Ablenkung und Geschwindigkeit, d. h. zwischen x und x , ergiebt sich unmittelbar aus den Gleichungen (11) in folgender Weise:\n[544]\nlog\nfax + x'\\\t3\t, [bx + x\\\nl-i|\u2014j - 4 \u2022tog l~\u00b1ifi\n(15a)\nwo unter dem Logarithmus-Zeichen nur positive Gr\u00f6ssen stehen, oder also\n'ax + x'\\a (bx + #Y\n\n+ bi\n(154)\n\u00a7. HI. Erster Hauptfall: ax + x und bx + x sind einerlei Zeichens.\nAus (12) ergeben sich in diesem Ealle die Gleichungen\nx =\t(aeb(x\u2014() \u2014 bea{x~]*)),\t(16)\nU T\nx =\t(e\u201c lx-() \u2014 et <r-c>l\t(17)\nwelche den Gleichungen (VH) und (XH) der ersten Abhandlung entsprechen. Hier werden gem\u00e4ss der f\u00fcnften obigen Schlussfolgerung zu den Zeiten\n= T \u2014 A, T, t, \u2014 T + A, t\u201e = T + 2A, u. s. w. x = 0, x \u2014 0 x\" = 0,\tx\" = 0,\tu. s. w.\nund zwar m\u00fcssen, wenn x oder ein Differentialquotient von x Null werden sollt, die Ausdr\u00fccke ax + x, bx + x einerlei Zeichens sein. Dies ist nur m\u00f6glich, wenn entweder x und x selber einerlei Zeichens sind, oder wenn, bei verschiedenem Zeichen von x und cc', x entweder gr\u00f6sser als ax und also auch als bx, oder kleiner als bx und also auch als ax ist.\nE\u00fcr t = \u2014 oo ist gem\u00e4ss der vierten Folgerung x = \u2014 co,\nX\nx' = + oo, - = \u2014 a. Was f\u00fcr endliche Werthe von t geschieht,\nzeigt Eig. 4 (s. die Taf.). Man erkennt die Curven an den ihnen beigef\u00fcgten Ordnungszahlen ihrer Gleichungen; Curve (16) ist die der Ablenkungen, Curve (17) die der Geschwindigkeiten. Beide Curven sind anf\u00e4nglich convex gegen die Abscissenaxe der Zeiten, denn x\" ist negativ und x\" positiv. Dann folgen einander in dem nur von den Constanten der Vorrichtung, nicht von | abh\u00e4ngigen Abstande A die vier Zeitpunkte t(), t, t\u201e t\u201e. Bei t0 [545] schneidet die Curve der Ablenkungen die Axe der Zeiten und wird gegen sie concav, da ihre Ordinate das Zeichen wechselt, x\" das seinige beh\u00e4lt. Dies dauert bis zum Zeitpunkte r. Hier erreicht die Curve der Ablenkungen das Maximum |, denn f\u00fcr t = r","page":330},{"file":"p0331.txt","language":"de","ocr_de":"\u00a7.3. 1. Hauptfall: ax + x' und bx + x einerlei Zeichens.\n381\nist x = I und x = 0. Die Curve der Geschwindigkeiten schneidet also jetzt gleichfalls die Abscissenaxe der Zeiten und wird gegen sie concav, weil x'\" sein Zeichen beh\u00e4lt; bei t, erreicht ihre Ordinate das negative Maximum\nb\ta\nx, = \u2014 I . <r . b&\t(18)\nund es findet ein Wendepunkt der Curve der Ablenkungen statt. Endlich f\u00fcr t\u201e hat die Curve der Geschwindigkeiten einen Wendepunkt.\nIn der Eigur sind aus Gr\u00fcnden, die sp\u00e4ter einleuchten werden (s. unten \u00a7. YII), g = 1, a = 1, b = 1/2 gesetzt. A wird dann = 1-38629; x, = 3/4, x\u201e = 7/16; x0 = 2, x, = \u2014 1/if x \u201e = \u2014 3/ie..\nF\u00fcr t \u2014 + oo werden gem\u00e4ss der vierten Folgerung x und x' = 0, x = \u2014 bx, x l\u00e4uft auf der positiven, x auf der negativen Seite der Abscissenaxe asymptotisch aus.\nMan kann dergestalt f\u00fcr unsere Betrachtung die ganze Zeit von t \u2014 \u2014 oo bis t = + oo in drei Abschnitte theilen, wie folgendes. Schema zeigt (vergl. auch zwischen Eig. 4 und 5).\nt = \u2014 oo\nX = \u2014 00 X = \u201cG GO\n/\n\u2014 = a\nI.\n\u2014 oo bis t0\nnegativ\npositiv\na bis + 00\nII.\tin.\nta bis\tt\tt bis H- oo\npositiv\tpositiv\npositiv\tnegativ\n\u2014 oo\tbis 0 0 bis b\n+ oo + o \u2014 0\nb\nx\nWelche Werthe zu irgend einer Zeit T die Ablenkung X und die Geschwindigkeit X' haben m\u00f6gen, vorausgesetzt nur, dass sie dem ersten Hauptfall entsprechen, stets giebt es, wie oben unter Vn. ausgef\u00fchrt ist, einen Zeitpunkt r, vor oder nach T, in welchem x = 0 ist, und es l\u00e4sst sich diese Zeit x und die zugeh\u00f6rige Ablenkung | aus den gegebenen Werthen T, X, X' berechnen, x vorhergegangen ist stets im Zeitabstande A die Zeit t0, wo x = 0 war. Der ganze Vorgang bleibt also, da einzig und allein die Werthe von x und | variiren k\u00f6nnen, an sich und im Wesentlichen stets derselbe und namentlich bleibt das Verhalten in positiv und [546] negativ unendlicher Zeit unver\u00e4ndert, wie man auch die Bedingungen w\u00e4hlen m\u00f6ge, vorausgesetzt nur, dass die f\u00fcr den ersten Hauptfall bezeichnenden Eigenschaften gewahrt bleiben.\nNimmt man | negativ, so \u00e4ndern die Ausdr\u00fccke (9) und in allen drei Zeitabschnitten x und x ihr Zeichen. Alle Vorg\u00e4nge bleiben also dieselben, nur dass die beiden Seiten der Abscissenaxe, oder die beiden H\u00e4lften der Scale, mit einander vertauscht sind.","page":331},{"file":"p0332.txt","language":"de","ocr_de":"332 XIII. Ueber aperiodische Bewegung ged\u00e4mpfter Magnete. \u2014 Abh. II.______________\n\u00a7. IY. Physikalische Anwendung der gewonnenen Ergebnisse und Vergleichung dieser Ergebnisse mit denen der ersten\nAbhandlung.\nWir k\u00f6nnen die verschiedenen F\u00e4lle der Bewegung des Magnetes \u2014 von einer Ablenkung oder vom Nullpunkt aus, mit oder ohne Anfangsgeschwindigkeit \u2014 aus folgender Fiction herleiten. Vor unendlicher Zeit durchfiel der Magnet B\u00e4ume unendlicher Ablenkung mit solcher unendlichen Geschwindigkeit, dass diese zur Ablenkung in dem von den Con-stanten der Vorrichtung abh\u00e4ngigen Verh\u00e4ltmss \u2014 a stand. Zur Zeit t = 0, wo wir den Vorgang zu betrachten anfangen, ist der Magnet in endliche Ablenkung gelangt und es sind, je nach den Bedingungen der Aufgabe, gewisse Zeitpunkte schon vor\u00fcber. Ist der Magnet bereits abgelenkt, so kann der Fall aus dem Unendlichen geschehen sein entweder von der Seite her, auf der er sich befindet, oder von der entgegengesetzten Seite her.\nI. Jedesmal, dass der Magnet zur Zeit t = 0 ohne Anfangsgeschwindigkeit aus einer endlichen, positiven oder negativen Ablenkung | f\u00e4llt, k\u00f6nnen wir uns denken, er sei von der entgegengesetzten Seite her aus dem Unendlichen gefallen, habe den Nullpunkt \u00fcberschritten, und kehre bei \u00a7 in seiner Bewegung um, daher x hier = 0 ist. Der Vorgang beginnt also in der Idee an der Grenze des zweiten und dritten der oben unterschiedenen Zeitabschnitte. Man braucht in der That nur in (16) r = 0 zu setzen, um Gleichung (VII) der ersten Abhandlung zu erhalten, welche diese Bewegung des Magnetes darstellt; und unsere gegenw\u00e4rtige Fig. 4 f\u00e4llt von r ab nach wachsender Zeit hin im Wesentlichen mit Fig. 22 der ersten Abhandlung zusammen.1 Selbst der Fall aus dem Unend- [547] liehen ohne Anfangsgeschwindigkeit, mit dem sich \u00a7. VI der ersten Abhandlung besch\u00e4ftigt, l\u00e4sst sich unter denselben Gesichtspunkt bringen, indem man | = oo setzt. Alle endlichen mit | multiplicirten Ordinaten, wie xn x\u201e, x'0, xn x n, werden gleichfalls unendlich; f\u00fcr t \u2014 \u2014 oo aber werden x und x unendliche Gr\u00f6ssen h\u00f6herer Ordnung. Man hat sich also vorzustellen, der Magnet sei aus unendlicher Ferne h\u00f6herer Ordnung gefallen, habe den Nullpunkt mit unendlicher Geschwindigkeit \u00fcberschritten und jenseits ausschlagend ein unendliches \u00a3 erreicht, bei welchem er zur neuen Anfangszeit = 0 eben umkehre.\nU. Jedesmal, dass der Magnet auf dem Nullpunkt einen Stoss erh\u00e4lt, der ihm eine Anfangsgeschwindigkeit + c ertheilt, k\u00f6nnen wir\n1 In letzterer ist r = 0, in der gegenw\u00e4rtigen Figur = 1/4 gemacht (s. vorige Seite).","page":332},{"file":"p0333.txt","language":"de","ocr_de":"\u00a7. 4. Physikalische Anwendung der gewonnenen Ergebnisse.\n333\nuns denken, er sei in der Richtung des Stosses aus dem Unendlichen gefallen, und \u00fcberschreite zur Zeit t0 \u2014 0 den Nullpunkt mit einer, jener Anfangsgeschwindigkeit + c gleichen Fallgeschwindigkeit x. Der Vorgang beginnt in der Idee an der Grenze des ersten und zweiten Zeitabschnittes. Man erh\u00e4lt Gleichung (XXXI) der ersten Abhandlung, welche diese Bewegung des Magnetes darstellt, indem man in den Gleichungen (4) T = 0, X = 0 und X = c setzt.\nUI. Jedesmal dass der Magnet im Augenblicke, wo er in einer gegebenen Ablenkung sich selbst \u00fcberlassen wird, einen Stoss im einen oder anderen Sinn erh\u00e4lt, k\u00f6nnen wir ebenso f\u00fcr die Anfangsgeschwindigkeit Fallgeschwindigkeit, durch Fall aus dem Unendlichen erlangt, substituiren. Dabei sind drei F\u00e4lle zu unterscheiden.\n1.\tDie Geschwindigkeit hat den Sinn der Kiclitkraft und ist gr\u00f6sser als ax. Es ist als sei der Magnet von der Seite her, nach welcher er abgelenkt ist, aus dem Unendlichen gefallen, und \u00fcberschreite eben die gegebene Ablenkung mit der gegebenen Geschwindigkeit \u2014 c. Daher von jfj t, nach wachsender Zeit hin unsere gegenw\u00e4rtige Fig. 4 im Wesentlichen mit Fig. 23 der ersten Abhandlung zusammenf\u00e4llt, welche die Bewegung des Magnetes mit einer negativen Anfangsgeschwindigkeit > (\u2014 ax) vorstellt; nur dass in beiden Figuren die beiden Seiten der Abseissenaxe, also die beiden Scalenh\u00e4lften, mit einander vertauscht sind, und ausserdem in der Figur der ersten Abhandlung abermals ?\u2022 = 0, in der jetzigen = 1/i gesetzt ist. Gleichung (XXII) der ersten Abhandlung entsteht aus den Gleichungen (4), indem man in letzteren T = 0, X' \u2014 \u2014 c, X \u2014 dem |j der ersten Abhandlung setzt, welches zum Unterschiede vom [548] jetzigen | fortan heissen soll.1 Um X und X' verschiedenen Zeichens, und dabei X' gr\u00f6sser als aX zu finden, m\u00fcssen wir den Anfang des Vorganges in den ersten Zeitabschnitt verlegen.\n2.\tDie Geschwindigkeit hat den entgegengesetzten Sinn der Richtkraft. Es ist als sei der Magnet auf der entgegengesetzten Seite von der, nach welcher \u00e9r abgelenkt ist, aus dem Unendlichen gefallen, habe den Nullpunkt \u00fcberschritten, und \u00fcberschreite eben die\n1 Dass das jetzige und fr\u00fchere \u00a3 einander nicht stets, wie in Fall I, entsprechen, r\u00fchrt daher, dass mit dem jetzigen \u00a3 jedesmal der Ausschlag nach Ueber-schreiten des Nullpunktes bezeichnet wird, w\u00e4hrend in der Abhandlung \u00a3 gerade deshalb keine solche gleichm\u00e4ssige Bedeutung erhielt, weil es stets die der Anfangszeit t = 0 entsprechende Ablenkung bezeichnete, wenn nicht diese Null war, wie in dem soeben unter II erw\u00e4hnten Falle des \u00a7. VII der ersten Abhandlung. Daher das \u00a3 der ersten Abhandlung und das jetzige nur bei dem Fallenlassen des Magnetes ohne Anfangsgeschwindigkeit \u00fchereinstimmen.","page":333},{"file":"p0334.txt","language":"de","ocr_de":"334 XIII. Ueber aperiodische Bewegung ged\u00e4mpfter Magnete. \u2014 Abh. II.______________\ngegebene Ablenkung mit der gegebenen Geschwindigkeit + c, mit welcher er dem Maximum g seines Ausschlages zustrebt; s. bei j'2 j2 t in Fig. 4. Analytisch entsteht dieser Fall, indem man in den Gleichungen. (4) T = 0, X = gA, X' = + c setzt. Da nur zwischen t = # un(j t = t, x und x einerlei Zeichens sind, fallt der Beginn des Vorganges in den zweiten Zeitabschnitt; und da zu Anfang dieses Abschnittes x = 0, x endlich ist, zu Ende das Umgekehrte stattfindet, ist diesmal der Geschwindigkeit kein Grenzverh\u00e4lthiss zur Ablenkung vorgeschrieben.\n3. Die Geschwindigkeit hat den Sinn der Bichtkraft und ist kleiner als hx. Diese Combination kommt nur im dritten Zeitabschnitt vor. Es ist abermals als sei der Mahnet auf der entgegengesetzten Seite aus dem Unendlichen gefallen, als habe er aber nicht allein den Nullpunkt, sondern auch das Maximum seines Ausschlages bereits \u00fcberschritten; s. bei j3 t3 j'3 in Fig. 1. Analytisch entsteht dieser Fall, indem man in den Gleichungen (4), wie im Falle HI. 1., T \u2014 0, X' = \u2014 c, X = \u00c7A setzt; man erh\u00e4lt Gleichung (XXII) der ersten Abhandlung, aber, weil c kleiner ist als hx, mit umgekehrtem Zeichen der rechten Seite, daher auch diesmal unsere Figur zur Gleichung erst nach Vertauschung der beiden Scalenh\u00e4lften passt.\nIV. Die in \u00a7. IX der ersten Abhandlung behandelten F\u00e4lle, in denen der in Bewegung begriffene Magnet zu gegebener Zeit einen Stoss [549] im einen oder anderen Sinn erh\u00e4lt, lassen sich gleich den vorigen betrachten, indem man die beiden Geschwindigkeiten, die vorhandene und die hinzutretende, als durch Fall aus dem Unendlichen unter geeigneten Bedingungen entstanden ansieht und algebraisch summirt.\nDie neue Behandlungsweise bietet, wie man sieht, den Vortheil, dass sie s\u00e4mmtliclie in der ersten Abhandlung einzeln abgeleitete F\u00e4lle auf Einen allgemeinen Fall zur\u00fcckf\u00fchrt. Die Bolle der merkw\u00fcrdigen arithmetischen Beihe der Zeiten, von der sich in jenen F\u00e4llen eine gr\u00f6ssere oder geringere Zahl von Gliedern zeigte, ist nun klar. Man versteht auch die Bedeutung der negativen Zeiten, welche dort im Dunkel blieb. Im Fall eines den bei sich \u00fcberlassenen Magnet im Sinne der Bichtkraft treffenden Stosses fanden wir f\u00fcr die Zeit des Durchganges durch den Nullpunkt den Ausdruck\nto\n1\n2r\nlog\n\n\u2014\n(S. oben S. 293). tQ ist positiv nur f\u00fcr c > a$\u00c4; im Falle c < cl%a is* c auch < bgA, und dann negativ. Dies heisst, wie soviel als dass unter der Voraussetzung des Falles aus dem Unendlichen, die Zeit des Durchganges durch den Nullpunkt schon seit jener Zeit vor\u00fcber war.\nt0 reell nur wenn wir jetzt sehen,","page":334},{"file":"p0335.txt","language":"de","ocr_de":"\u00a7. 4. Physikalische Anwendung der gewonnenen Ergebnisse.\n335\nDie beiden Hauptergebnisse, welche im \u00a7. VI der ersten Abhandlung hergeleitet worden sind, n\u00e4mlich sowohl die Bedingung f\u00fcr die zum Ueberschreiten des Nullpunktes n\u00f6thige Anfangsgeschwindigkeit, als auch die Grenze der durch Fallen aus beliebig hoher Anfangslage ohne Anfangsgeschwindigkeit zu erreichenden Geschwindigkeit, lassen sich unmittelbar aus dem obigen Schema, S. 331, erkennen. Denn wenn zur Zeit t bei der Ablenkung x der Nullpunkt noch zu \u00fcberschreiten sein soll, so\nmuss t im ersten Zeitabschnitt hegen, also dem Schema gem\u00e4ss \u2014 ~\n> a sein, und dies ist daher die Bedingung f\u00fcr die zum Ueberschreiten des Nullpunktes n\u00f6thige Anfangsgeschwindigkeit. Ferner ist die Geschwindigkeit eines aus beliebig hoher Anfangslage ohne Anfangsgeschwindigkeit fallenden Magnetes, der sich also in der ganzen Zeit des Fallens im dritten Zeitabschnitt befindet, nach dem Schema bei jeder Ablenkung x\nx eine solche, dass \u2014 \u2014 < b ist; der Grenzwerth der Geschwindigkeit x ist daher \u2014 bx.\n[550] W\u00e4hrend der ganzen Bewegung des Magnetes, insofern dabei der Nullpunkt wirklich oder in der Idee \u00fcberschritten wird, hegt die Geschwindigkeit x ausserhalb des von den Werthen \u2014 bx und \u2014 ax eingeschlossenen Intervalls. Es fragt sich nun, was die Folge sei, wenn dem Magnete bei x eine Geschwindigkeit gr\u00f6sser als bx, aber kleiner als ax, zugeschrieben, oder was geschehe, wenn ihm im Augenblicke des Fallenlassens von x eine solche Anfangsgeschwindigkeit im Sinne der Bichtkraft wirklich ertheilt werde. Diese Frage ist in der ersten Abhandlung nicht zur Sprache gekommen. Aus den oben voraufgeschickten allgemeinen S\u00e4tzen hat man schon erfahren, dass die Discussion unseres zweiten Hauptfalles uns dar\u00fcber Aufschluss zu geben bestimmt ist.\n\u00a7. V. Zweiter Hauptfall: ax + x und bx + x sind verschiedenen Zeichens.\nLiegt x' seiner Gr\u00f6sse nach zwischen ax und bx, und sind x und x' verschiedenen Zeichens, so sind auch die Ausdr\u00fccke (9) verschiedenen Zeichens. Da diese Ausdr\u00fccke f\u00fcr jede Zeit ihr Zeichen behalten, sie aber f\u00fcr x = 0 oder x = 0 einerlei Zeichen, beziehlich das von x oder x erhalten -w\u00fcrden, so k\u00f6nnen unter der Voraussetzung: x gr\u00f6sser als bx, und kleiner als ax, zu keiner endlichen Zeit x und x' = 0 werden. Erst f\u00fcr t \u2014 + oc tritt dies ein. Dies ist der zweite hier stattfindende Hauptfall, der sich vom ersten also dadurch unterscheidet, dass dabei der Nullpunkt zu keiner Zeit \u00fcberschritten wird, sondern Ablenkung und","page":335},{"file":"p0336.txt","language":"de","ocr_de":"336 XIII. Ueber aperiodische Bewegung ged\u00e4mpfter Magnete. \u2014 Abh. II.______________\nGeschwindigkeit von t = \u2014 oo bis \u00a3 = -f- oc stetig abnehmen Nimmt man x positiv, so ergeben sich in diesem Falle aus (12), wenn\nman darin | =\t\u00a7, = - \u00a3, setzt, die den Gleichungen (16) und\nCL \u2014j- OB\t'\n(17) des ersten Falles analogen Bestimmungen\nx =\t+ bea(T~*>),\t(16*)\nx = \u2014\t(e\u00ab:^-b -i-\t0),\t(17*)\nu B\nwo r den Zeitpunkt und f, denjenigen Werth der Ablenkung x bedeuten, f\u00fcr welche\nx' \u2014 abx und folglich (a + b) x + 2abx = 0\nX\tx\n[551J ist, f\u00fcr welchen also -, das arithmetische und \u2014 das geometrische\nX\tX\nMittel jener bez\u00fcglichen Grenzwerthe erreicht, zwischen denen die Werthe der beiden Quotienten von t = \u2014 qo bis t = + oo variiren. Die Zeitpunkte, in denen folgweise die Quotienten\nr rr X\tX\tX\n~~tj\t\u2014f?y\t~fff) \u2022 \u2022\t\u2666\nX\tX\tX\nden bezeichneten Mittelwerth \u2014 lf2 Q- +\t^ j erreichen, bilden gem\u00e4ss\nder f\u00fcnften Folgerung eine arithmetische Eeihe, deren Anfangsglied r und deren best\u00e4ndiger Unterschied A ist.\nDie Reduction aller m\u00f6glichen Vorg\u00e4nge auf einen einzigen Typus geschah oben in \u00a7. II (sechste Folgerung) dadurch, dass man bei jedem Vorg\u00e4nge einen gewissen Zeitpunkt r festsetzte, in welchem das Verh\u00e4lt-\nX\nniss \u2014, einen bestimmten Werth annimmt. Dieser Zeitpunkt r hat aber,\nwie man sieht, im zweiten Hauptfalle keine so ausgesprochene Bedeutung wie im ersten, wo er der Umkehr des Magnetes entsprach. Es ist deshalb nicht ohne Interesse im vorhegenden zweiten Hauptfalle von jener Reduction abzusehen und die Betrachtung unmittelbar an die Gleichungen (4) anzukn\u00fcpfen.\nEs sei X positiv, X' negativ. K\u00fcrzehalber setzen wir \u00abA+l'= +21, bX + AT = \u2014 93.\nDa nach unseren Voraussetzungen X zwischen IX und aX schwankt, und 21 + S3 = 2rX ist, so schwanken dementsprechend 21 und S3 zwischen 2rX und 0, indem sie sich stets zu 2rX erg\u00e4nzen.\nNach Analogie der Gleichungen (16) und (17) f\u00fcr den ersten Hauptfall erhalten wir hier aus (4)","page":336},{"file":"p0337.txt","language":"de","ocr_de":"\u00a7. 5. 2. Hauptfall: ax + x und bx + x verschiedenen Zeichens. 337\nx = ~ (2t e\u00bb!*-\u00bb) + \u00aee*(*H8)\t(19)\nu T\nx := \u2014\t1 (91 be^T-t) +\tT-*))\t(20)\n\u00f6 7*\nW\u00e4hrend t von t = \u2014 oo zu t = + oo sieh ver\u00e4ndert, gehen x [552] und x, convex gegen die Abscissenaxe der Zeiten, hezieh\u00fcch von + oo und \u2014 oo bis 0. Wie im ersten Hauptfalle ist f\u00fcr t = \u2014 oo\n~ = - \", (21)\nf\u00fcr t = + oo\nx\t= \u2014 Lr.\t(22)\nSetzt man in Gleichung (19) 2t = 0, so erh\u00e4lt man\nX\t=\tta(T-t) x\t(23)\nSetzt man umgekehrt darin S3 = 0, so erh\u00e4lt man\nrn =\tX\t(24)\nF\u00fcr t = T aber wird in (19), (23), (24) x = X. Gleichung (19) stellt also eine Schaar von Curven vor, welche durch den Werth von 21 und S3 unterschieden und zwischen den Grenzcurven (23) und (24) eingeschlossen, sich mit ihnen im Gipfel der Ordinate X schneiden.\nSetzt man in Gleichung (20) 21 oder S3 = 0, so erh\u00e4lt man be-ziehlich\nd\t=\t\u2014\te^-t) aX,\t(25)\nd\t=\t\u2014\tLY.\t(26)\nF\u00fcr t = T werden (20), (25), (26) hezieh\u00fcch\nxT = \u2014 aX,\t)\nx'T = X' = \u2014 \u00abI + 21 = \u2014 bX \u2014 S3, 1 (27) x T = \u2014 h A';\tJ\nsetzt man aber t = T + A, so werden dieselben Ausdr\u00fccke\na\n# T + J = \t\te:\t\\\t2 r )\taX,\n\t\ta\n\ti\ti(a\\\nX T -f J ~ \t (\ti r\t\n\t\t6\nX T -f J = \t |\tfa'\t2r )\tLY\n(28)\nDie drei Ausdr\u00fccke (28) sind identisch und die Grenzcurven (25), (26), sowie die zwischen ihnen eingeschlossenen Curven (20), schneiden sich also im Gipfel der Ordinate, die im Abstande A auf X folgt.\nE. du B ois -Reymond, Ges. Abh. I.\t22","page":337},{"file":"p0338.txt","language":"de","ocr_de":"338 XIII. Ueber aperiodische Bewegung ged\u00e4mpfter Magnete. \u2014 Abh. II. \u2014\n\u2022JO\n[553] W\u00e4hrend im allgemeinen Talle f\u00fcr t = \u2014 oo, - = \u2014 f\u00fcr t = + oo, x = \u2014 bx ist, hat man f\u00fcr 21 = 0\nax\n(29)\nf\u00fcr S3 = 0\nx = \u2014 bx\n(30)\nf\u00fcr jede Zeit.\nSetzt man S3 = 2rX 4- S, 21 = \u2014 d, wo \u00d6 eine beliebig kleine, aber endbcbe positive Gr\u00f6sse, so wird alsbald die Axe der Zeiten wieder geschnitten, wenngleich erst zur sp\u00e4ten Zeit\nman bat wieder den ersten Hauptfall, und befindet sich in dessen erstem Zeitabschnitt. Setzt man umgekehrt 2t = 2 rX + d, S3 = \u2014 \u00f6, so ist diesmal die Axe der Zeiten geschnitten worden zur l\u00e4ngst verflossenen Zeit\nman befindet sich im dritten Zeitabschnitt des ersten Hauptfalles.\nWir wollen nun, um die Vorg\u00e4nge in beiden Hauptf\u00e4llen ihrer Gr\u00f6sse nach vergleichbar zu machen, T = r und X = | setzen. Dabei ist zu bemerken, dass, da jetzt nicht wie im ersten Hauptfalle, zu r und | ein f\u00fcr allemal eine bestimmte Geschwindigkeit {x \u2014 0, s. oben S. 328) geh\u00f6rt, der Verlauf der Curven zwischen den Grenzcurven ein unbestimmter bleibt, so lange nicht die Geschwindigkeit f' gegeben ist. Es entspricht also jedem f jetzt vielmehr von Ablenkungs- und Geschwin-digkeitscurven eine ganze Schaar, deren Steilheit mit- \u00a3 w\u00e4chst, weil A unabh\u00e4ngig von g ist.\nIn Fig. 5 sind die beiden Curven oberhalb der Abscissenaxe die Grenzcurven der Ablenkungscurven, die unterhalb die Grenzcurven der Geschwindigkeitscurven des zweiten Hauptfalles; jede Curve tr\u00e4gt die Ordnungszahl der durch sie vorgestellten Gleichung. Die Annahmen, unter denen die Curven construirt wurden, sind dieselben wie in Fig. 4: | = ,1, a = 1, h = lj2. Der Maassstab ist derselbe, und gleiche Zeitpunkte stehen in beiden Figuren senkrecht untereinander. Schreitet man auf der Abscis- [554] senaxe von t aus in beiden Eichtungen um Abst\u00e4nde = A fort, so bilden die zugeh\u00f6rigen Ordinaten jeder der vier Grenzcurven eine Reihe, deren allgemeines Glied f\u00fcr\n(23),\t(24),\t(25),\t(26) r\n22v,\t2V,\t\u201422v, \u20142\u2019'\nist, wo f\u00fcr v in der Richtung von \u2014 t nach + t die Reihe der positiven","page":338},{"file":"p0339.txt","language":"de","ocr_de":"\u00a7. 5. 2. Hauptfall: ax + x und hx x verschiedenen Zeichens. 339\nund negativen ganzen Zahlen zu setzen ist. Die Curven (23) und (25) liegen v\u00f6llig symmetrisch zur Abscissenaxe, und so dass hei t, v = 0 ist; die Curven (24) und (26) dagegen sind zwar auch symmetrisch, aber gegeneinander in der Sichtung der Abscissen um A verschoben, so dass f\u00fcr (24) v hei r, f\u00fcr (26) bereits hei t0, = 0 ist.\nDenkt man sich die Curven beider Hauptf\u00e4lle, wie Dig. 4 und 5 sie darstellen, auf dieselbe Abscissenaxe aufgetragen, so schneiden sich die Ablenkungscurven des zweiten Hauptfalles im Gipfel der Maximal-Ordinate | der Ablenkungscurve des ersten Hauptfalles. Ebenso schneiden sich die Geschwindigkeitscurven des zweiten Hauptfalles im Gipfel der Maximal-Ordinate der Geschwindigkeitscurve des ersten Hauptfalles: denn die miteinander identischen Gleichungen (28) sind es auch mit (18). Yon den Maximis ah nach den positiven Zeiten hin verlaufen die Curven des zweiten Hauptfalles n\u00e4her der Abscissenaxe als die des ersten.\nDenkt man sich den zweiten Hauptfall auf die andere Scalenseite verlegt, so entstehen in der Richtung von t nach den negativen Zeiten hin Schneidepunkte seiner Curven mit denen des ersten Hauptfalles. Hilter den unseren Figuren zu Grunde hegenden Annahmen r\u00fccken jedoch f\u00fcr die beiden steileren Grenzcurven des zweiten Hauptfalles diese Schneidepunkte in die negative Unendlichkeit.\nIm Fall einer dem hei + x losgelassenen Magnet ertheilten, bx, aber nicht ax \u00fcbertreffenden Anfangsgeschwindigkeit \u2014 c ist es also, als sei der Magnet von der positiven Seite her aus dem Unendlichen gefallen mit einer Geschwindigkeit, gr\u00f6sser zwar als die gr\u00f6sste Geschwindigkeit bx, die der Magnet bei + x durch Fall von einem unendlichen positiven |, d. h. aus negativer Unendlichkeit h\u00f6herer Ordnung, erlangt h\u00e4tte (s. oben S. 332), aber nicht gross genug, um den Magnet \u00fcber den Nullpunkt zu treiben, wozu die Geschwindigkeit im Endlichen ax \u00fcbertreffen muss.\n[555]\t\u00a7. YI. Behandlung des Grenzfalles s = n.\nDer Grenzfall \u00ab = n kann f\u00fcr sich behandelt werden, oder auch indem man in den obigen Formeln a = b setzt.\nMan hat zun\u00e4chst anstatt der beiden Gleichungen (4) hier nur die eine Gleichung\n(\u00a3# + x') elt = const = (\u00abAT + X') e,T. (31)\nDiese Gleichung integrirt giebt\nxe\u201c = t (sX + X\u2019) e\u2018T + C,\nwo C eine willk\u00fcrliche Constante ist, die dadurch bestimmt wird, dass f\u00fcr t = 1] x = X sein solle. So erh\u00e4lt man\n22*","page":339},{"file":"p0340.txt","language":"de","ocr_de":"340 XIII. Ueber aperiodische Bewegung ged\u00e4mpfter Magnete. \u2014 Abh. II. \u2014\nx =\t{X -\t- (T- t) (eX +\tX)}\nund durch Division mit (31) in\t(32)\t\n* t -\tx\tT\t\nex + x\teX + X'\t\nGleichung (12) ergiebt f\u00fcr a =\tb-.\t\n> 1 II\tt-t)\t\u2014 v +- \u00e7t \u2014\t- *0 1\nund daher f\u00fcr v = 0 und v = 1\nx = fe'b-0 {1 \u2014 \u00ab (r \u2014 *0),\t(33)\nx' = \u00a3e2e\u2018('-\u00bb (t \u2014 t)\t(34)\nDiese Gleichungen entsprechen den Gleichungen (XIY) und (XV) der ersten Abhandlung. Da f\u00fcr a = b der best\u00e4ndige Zeitunterschied\nA\n= - wird, so ist f\u00fcr\nr,\nt, = T +\n2\n\u00ab\u2019\nr + \u2014, u. s. w.\nar = 0,\t.r = 0, m = 0,\tx\" = 0, u. s. w.\nWird | positiv genommen, so sind f\u00fcr t = \u2014 co: x = \u2014 oo, x' = + oo, und zwar, der geringeren D\u00e4mpfung halber, beide von\nh\u00f6herer Ordnung, als f\u00fcr ein endliches r\\ ist = \u2014 e. Im Endlichen\nsind die Curven (33), (34) zun\u00e4chst convex gegen die Abscissenaxe der Zeiten. Es folgen einander in dem wiederum nur von den Constanten\nder Vorrichtung, nicht von \u00a3 abh\u00e4ngigen [556] Abstande \u2014 die vier\nZeitpunkte t0, r, tn t\u201e. F\u00fcr t = + oo schlossen sich beide Curven asymptotisch der Axe der Zeiten an, und x ist =\tex.\nDie in der ersten Abhandlung aufgestellten Gleichungen f\u00fcr die verschiedenen F\u00e4lle mit und ohne Anfangsgeschwindigkeit findet man \u00e4hnlich wie dies im \u00a7. IV f\u00fcr ein endliches r gezeigt wurde, indem man in (32) f\u00fcr T, X, X' die Werthe t0, 0, V0; r, \u00a3, 0 u. s. w. einf\u00fchrt und,\u00a30, t, t\u201e t\u201e = 0 setzt.\nSoll zur Zeit t der Nullpunkt noch zu \u00fcberschreiten, d. h. soll\nt =\n0\t\u201d\tex + \u201e\npositiv sein, so m\u00fcssen x und x verschiedenen Zeichens, und der absolute Werth von x muss gr\u00f6sser als der von ex sein. Diese Bedingung ist nur f\u00fcr die Zeit t erf\u00fcllt, welche dem Zeitpunkt t0 vorangegangen ist, da im folgenden Zeitabschnitt A, bis zu r hin, x und x einerlei Zeichens sind, von r ab aber, wo x und x wieder verschiedenen Zeichens sind, der absolute Werth von x kleiner als der von ex ist, und diesen ers f\u00fcr t =\u25a0 + oo erreicht. Das also ist der wahre Sinn der in der ersten","page":340},{"file":"p0341.txt","language":"de","ocr_de":"\u00a7. 6. Behandlung des Grenzfalles s = n.\n341\nAbhandlung' gefundenen Bedingung x > (\u2014 ex) f\u00fcr das Ueberschreiten des Nullpunktes im Balle r \u2014 0 (vergl. oben S. 325).\nDer zweite Hauptfall findet hier nicht mehr statt, sondern der Nullpunkt wird \u00fcberschritten, sobald die Geschwindigkeit die Fallgeschwindigkeit aus der negativen Unendlichkeit h\u00f6herer Ordnung \u00fcbertrifft, d. h. m' gr\u00f6sser ist als ax.\n\u00a7. YH. Die Curven der Geschwindigkeiten bezogen auf die Ablenkungen im allgemeinen Fall \u00ab > n.\nDas Ganze dieser Beziehungen wird klarer, wenn wir von x und x als Functionen der Zeit \u00fcbergehen zur Betrachtung von x als Function von x, x = 4>(;r) (vergl. erste Abh. S. 296 und oben S. 325).\nIn Fig. 6 stellt die Gerade [\u2014 x, 0, + .r] die beiderseits vom Nullpunkt in\u2019s Unendliche sich erstreckende Scale vor, auf welche als Abscissenaxe die Geschwindigkeiten x als Ordinaten aufgetragen sind. Die beiden Geraden A\u00c4, BB' stellen die beiden Gleichungen (29) und (30):\nx = \u2014 ax, x = \u2014 ix\n[557] vor. Die Curve t0 x t, t\u201e 0 ist alsdann f\u00fcr ein positives | die Curve des ersten Hauptfalles, welche auf der negativen Seite aus dem Unendlichen kommend im Punkte x = -p | zur Zeit x die Scale schneidet, und bei 0 von der positiven Seite her physikalisch endet. Die Punkte t0, t, t\u201e tn bezeichnen die oft erw\u00e4hnten, eine arithmetische Reihe bildenden Zeitabschnitte A. Kommt der Magnet von der anderen Seite, so hat die Curve die Lage t'0 x' 0. Die Curven des zweiten Hauptfalles liegen wie 0\u00a3, Q\u00a3 nothwendig zwischen den Geraden A\u00c4, BB', die selber den Grenzcurven (25), (26) entsprechen; aus dem Unendlichen kommend enden auch die Curven 0\u00a3, 0\u00a3' und die Geraden 0 A, O\u00c4, OB, OB\u2019 physikalisch am Nullpunkt, und die im rechten unteren Quadranten verlaufenden, O\u00c4, o\u00c7', OB', entsprechen ihrer Lage nach den in unserer Fig. 5 dargestellten Curven.\nWo immer man von einem Punkt irgend einer der Curven parallel der Y-Axe eine Gerade nach einer der Geraden A\u00c4, BB' ziehe, wie z. B. j'ctj j'b in der Figur, findet man f\u00fcr die L\u00e4nge der Geraden jfa, Cb bezielilich den Ausdruck ax + x', ix + x, wo ax, ix und x, je nach der Lage des Curvenpunktes, positiv oder negativ sind. Wir gelangen so zur Einsicht in die Bedeutung der f\u00fcr uns so wichtigen Ausdr\u00fccke (9). Sie messen in der Richtung der U-Axe die Entfernung des Curvenpunktes von den Geraden A\u00c4, BB'-, und sie sind positiv jedesmal dass der Punkt (in unserer Figur) nach oben und rechts von der","page":341},{"file":"p0342.txt","language":"de","ocr_de":"342 XIII. lieber aperiodische Bewegung ged\u00e4mpfter Magnete. \u2014 Abh. II. \u2014\nGeraden liegt, negativ im anderen Falle; daher sie f\u00fcr die zwischen den Geraden AA', BT> liegenden Curvenpunkte, wie der zweite Hauptfall es mit sich bringt, verschiedenen Zeichens sind.\nEliminirt man die Zeit zwischen den Gleichungen (16) und (17) des ersten Hauptfalles (vergl. die achte Folgerung), so erh\u00e4lt man die mit dem Ausdruck auf S. 301 der ersten Abhandlung identische Gleichung\n(ax + x'\\a\t(bx +\nV \u00abI J\tV H )\nwelche also die Gleichung der Curve t0 z t, t\u201e 0 ist.\n(35)\nEliminirt man\nebenso die Zeit zwischen den Gleichungen (19) und (20) des zweiten Hauptfalles, so erh\u00e4lt man\nax\n21\nb x + x'\\b\n(36)\n[558] als Gleichung aller der Curven Of\"', die f\u00fcr irgend ein 21 und i8 zwischen den Grenzcurven 0A', OB' liegen.\nSetzt man in (36)\n21\t=\taX + X'\t=\taf, \\\t.nm\n\u2014 \u00ae\t=\tbX + X*\t=\t\u2014 \u00c4|, <\ty 1\nso unterscheiden sich (35) itnd (36) nur noch durch das negative Zeichen von 11 in (36), dem aber auch, nach den Voraussetzungen des zweiten Hauptfalles, ein negativer Werth des Z\u00e4hlers bx + x entspricht. Durch dieselbe Substitution werden die Gleichungen (19) und (20):\nm\t=\t(aeMr-o\t+\t/;).\t(38)\nCi T\n\u00e9 = \u2014\t(/M +\t(39)\n2r v\nsie unterscheiden sich also von den entsprechenden Gleichungen des ersten Hauptfalles (9) und (10)\nx \u2014 (oei(x\u2014o \u2014 heai-T~t\\\nAr\nX =\t(ea(T\u2014\u2018\u00ee \u2014\t(*-*)),\n2r\nnur noch dadurch, dass in den Gleichungen (38), (39) T f\u00fcr r steht und beide Termen in der Klammer positiv sind; sie werden identisch mit den Gleichungen (16*) und (17*) auf S. 336, wenn man T == z und wie\nT\ndort | = \u2014 I, setzt.\nUnter der zu einem bestimmten X und T geh\u00f6rigen Schaar von Ablenkungscurven (19) des zweiten Hauptfalles und der entsprechenden Schaar von Geschwindigkeitscurven (20) giebt es also stets ein Paa-r zusammengeh\u00f6riger Curven, deren Gleichungen durch Eliminiren der Zeit","page":342},{"file":"p0343.txt","language":"de","ocr_de":"\u00a7. 7. Geschwindigkeitscurven bezogen auf die Ablenkungen im allg. Pall s > n. 343\neinen Ausdruck liefern identisch mit dem, welchen gleichfalls durch Eli-miniren der Zeit die Gleichungen der zu einem bestimmten f und r geh\u00f6rigen Ablenkungscurve und Geschwirr- [559] digkeitscurve des ersten Hauptfalles hefem. Es ist jenes Paar das, f\u00fcr welches zur Zeit t \u2014 T in (19) und (20)\nV\tf. \u201c T\n* = X\t= t\t\u2014\nsa \u2014\nA = X = \u2014 |\nb\n1\u2019\n2ab 2 \u2014 b\n(40)* 1\nsind [(37), (38), (39)]. Wir wollen dies X und X, zum Unterschiede von dem allgemeinen, 3\u00a3, 3T, und die zugeh\u00f6rige Zeit % nennen. X ist > I; soll Curve (38) durch deq Gipfel der Ordinate | gehen, so muss % > t sein. Weitere Bemerkungen \u00fcber das gegenseitige Entsprechen der bez\u00fcglichen Curven des ersten und zweiten Hauptfalles finden sich oben in der f\u00fcnften und sechsten Folgerung. Das dortige \u00a7, ist hier \u00a3 genannt.\nVon dem so bestimmten Curvenpaare werden sich die x' des zweiten Hauptfalles, bezogen auf dessen x, mit den x des ersten Hauptfalles, bezogen auf die gleichen x, f\u00fcr das n\u00e4mliche \u00a3 in Eine Construction zusammenfassen lassen. Zu dieser schreiten wir nun, indem wir von den \u00fcbrigen Curven des zweiten Hauptfalles, welche zu der des ersten Hauptfalles nicht in der eben entwickelten, merkw\u00fcrdigen Beziehung stehen, vorl\u00e4ufig absehen.\nUm Gleichung (35) auf eine f\u00fcr die Discussion bequemere Form zu bringen, machen wir die Geraden A ABB' zu \u00c4sen eines schiefen Coordinatensystemes; die Gerade BB' sei die Abscissenaxe, die Gerade AA\u2019 die Ordinatenaxe ; die neuen Abscissen eines Punktes x, x der Curve (z. B. des Punktes jf in der Figur) m\u00f6gen A, die neuen Ordinaten heissen. Man hat\n1 Wegen der Schwierigkeit, Gleichung (16*) umzukehren, und die Zeit als explicite Function von x darzustellen, l\u00e4sst sich von der Zeit T nur noch aussagen, dass sie zwischen\n1 , (a b ~ \u00e4 log\nund r \u2014\nlog\na + 6 a \u2014 b\nliege. Dies sind die Werthe f\u00fcr T, die den Gleichungen (23) und (24) der Grenz-curven, zwischen denen die Ablenkungscurven des zweiten Hauptfalles verlaufen,\nf\u00fcr x = \u00a3 und X = $ ^(40) gen\u00fcgen;'die Zeiten also, zu welchen die Ordinaten dieser Curven den Werth \u00a3\t? annehnien.\na \u2014 6","page":343},{"file":"p0344.txt","language":"de","ocr_de":"344 XIII. Ueber aperiodische Bewegung ged\u00e4mpfter Magnete. \u2014 Abh. II. \u2014\n[560]\nax + x = {h . bx + x = 7] .\nsin (a \u2014 \u00df) cos a\nsin (u \u2014 \u00df), cos \u00df\nwo u und \u00df die zu a und h als Tangenten geh\u00f6rigen Winkel bedeuten, und durch Einsetzen dieser Werthe in (35)\n2 r\n. # =\n2r\ni^rr+\noder, wenn wir k\u00fcrzehalher\n(2ry (// yT~T~\u00e4*)a =\nU\nV, ,\n(41)1\nsetzen,\n(a/1 +\ntjb = C . da\n(42)\nWir haben es also mit einer auf schiefe Coordinate!! bezogenen Parabel\n(t\nvom ^ ten Grade zu thun. Sind a und l ganze Zahlen, [561] so bestimmen deren Geradheit oder Ungeradheit und das Zeichen von C, in welchem der vier Coordinatenwinkel Parabelzweige hegen und wie sich diese im Nullpunkte verhalten, ob sie in einander \u00fcbergehen, eine Spitze bilden, u. s. w. C w\u00fcrde beil\u00e4ufig in diesem Palle, wegen des geraden Exponenten 2r, auch f\u00fcr ein negatives | positiv sein. Physikalisch hat indess, wie schon bemerkt, ein Zusammenhang der Curven im Nullpunkte\n1 Nennt man x, x, rj, 9 die geraden und schiefen Coordinaten eines beliebigen,\nX, X', H, & die eines gegebenen Punktes einer der vier Curven, so kann man\nstets setzen\nalso, da nach (4)\nax x aX + X'\nax + x aX + X'\n9\tbx + x _ rj\n&\u2019 VX~+ X' ~ If\nbx + x\nbX + X\n\u25a0V-\n(41a)\nMacht man X = -f \u00a3, X = 0, so werden H und & die schiefen Coordinaten H%, des ^-Punktes, in welchem die Curve des ersten Hauptfalles die \u00ae-Axe schneidet (s. bei i in der Figur). Es ist\nEi = bi &l = ai\ncos \u00df\nsin (re \u2014 \u00df) cos a\nJfl'l + \u00ab2 2 r\nafpl + b1 * 3 2 r\n(41 b)\nsin (\u00ab \u2014 \u00df)\nDurch Einsetzen dieser Werthe in (41a) erh\u00e4lt man gleichfalls (41).","page":344},{"file":"p0345.txt","language":"de","ocr_de":"\u00a7. 7. Geschwindigkeitscurven bezogen auf die Ablenkungen im allg. Fall s > n. 345\nkeinen denkbaren Sinn; auch werden a und b nur ausnahmsweise nicht irrationale Zahlen sein. Ohne die am Nullpunkte m\u00f6glichen Singularit\u00e4ten weiter zu ergr\u00fcnden, schreiben wir Gleichung (42) daher besser folgender-maassen:\nb log = a log & -+- log C\t(43)\n)9- ist von gleichem Zeichen mit f, und f\u00fcr jeden der beiden Werthe von if kann ij wiederum positiv oder negativ sein; die Logarithmen sind von den absoluten Werthen der Gr\u00f6ssen zu nehmen. So stellt Gleichung (43) f\u00fcr jede der Ger m\u00f6glichen Zeichencombinationen je einen Curven-zweig vor, der sich vom Nullpunkt in\u2019s Unendliche erstreckt.\nBeispielsweise betrachten wir nun n\u00e4her das Paar dieser Zweige, welches den beiden Werthen von f\u00fcr ein positives f und & entspricht. Der bequemeren Discussion halber kehren wir dabei zu der Gestalt der Gleichung zur\u00fcck, wie sie (42) zeigt. Der erste Dififerentialquotient ist\nd i]\nd\u00c4f\na\nb\nCT\nIr\nifi ,\nder zweite\ni\nCT\nif 6\n\u2014 2\nd2 7]\t2 ra\ndi\u00df =\nWelchen endlichen Werth man auch a und b beilege, f\u00fcr ft = 0 sind\nd Ti\n1] und auch ' = 0; die Curven ber\u00fchren also im Nullpunkte die Ge-\naiT\nrade BB', entsprechend unserem fr\u00fcheren Ergebniss: f\u00fcr t = + oo, x = \u2014 hx in beiden Hauptf\u00e4llen [(18), (22)]. Beide Zweige steigen convex gegen die Abscissenaxe vom Nullpunkt in\u2019s Unendliche beziehlich auf- und abw\u00e4rts, wobei der den positiven rj entsprechende Zweig den Nullpunkt \u00fcberschreitet, der [562] den negativen rj entsprechende auf der positiven Scalenseite bleibt. Die Construction lehrt, dass in der N\u00e4he des Nullpunktes die Kr\u00fcmmung der Curve oberhalb der Geraden BB' eine st\u00e4rkere ist als unterhalb. F\u00fcr 0 = + co werden + -t] und dr\n+\t= + oo ; beide Zweige entfernen sich also immer weiter von der\nGeraden A\u00c4, nehmen aber dabei immer mehr deren Richtung an, ent-\nX\nsprechend unserem fr\u00fcheren Ergebniss: f\u00fcr t = \u2014 oo, -- = \u2014 a in beiden Hauptf\u00e4llen.\nDie Gleichung einer Tangente an irgend einem Punkte r\u201e, if, der Curve, auf dieselben schiefen Coordinaten bezogen, lautet\n(\u00ab-*>-\nwo H, 0 die Coordinaten der Punkte der Tangente bedeuten. Setzt","page":345},{"file":"p0346.txt","language":"de","ocr_de":"346 XIII. Ueber aperiodische Bewegung ged\u00e4mpfter Magnete. \u2014 Abh. II._____________\nman f\u00fcr rln die Coordinaten H$, 6$ des f-Punktes [(411), S. 344 Anm.], so wird die Gleichung\nH cos a = Q cos \u00df \u2014 |.\nDies ist die Gleichung einer Geraden, welche parallel der F-Axe durch den |-Punkt hei % geht: die Curve des ersten Hauptfalles schneidet folglich die .r-Axe senkrecht (vergl. erste Ahhandl. S. 300).\nEs ist gleichg\u00fcltig, oh man in (41) tj und \u00bb9 mit einer Constanten k,\noder oh man \u00a7 mit j multiplicirt: Ver\u00e4nderung von g erzeugt also eine Schaar \u00e4hnlicher Curven.\nBei gleichem & ist p um so kleiner, je gr\u00f6sser |; | = 00 macht V = 0 f\u00fcr jedes endliche d. Bei wachsendem positivem g schmiegen sich mithin die Curve des ersten und die des zweiten Hauptfalles, jene von oben, diese von unten, vom Nullpunkt her der Geraden BB' auf der positiven Seite an; f\u00fcr | = 00 verschmelzen sie im Endlichen mit dieser Geraden. Hinsichtlich der Curve des ersten Hauptfalles entspricht dies Ergebniss unserem fr\u00fcheren Ergebniss: f\u00fcr g = + 00, x = \u2014 bx f\u00fcr jedes endliche t (s. oben S. 325; erste Abhandl. S. 300); nur denken wir uns jetzt das unendliche g entstanden durch Ueberschreiten des Nullpunktes mit unendlicher Geschwindigkeit nach Fall aus unendlicher Ferne h\u00f6herer Ordnung (vergl. oben S. 332).\n[563] | = 0 macht C \u2014 00, also <9 = 0 f\u00fcr jedes endliche ?/; die Curve des ersten Hauptfalles f\u00e4llt zusammen mit den Geraden A\u00c4 auf der negativen und die Curve des zweiten Hauptfalles mit derselben Geraden auf der positiven Scalenseite, und so geht hier beziehlich der erste Hauptfall in den zweiten, oder der zweite in den ersten \u00fcber. Dies ist das analytische Abbild dessen was man beobachtet, wenn man f\u00fcr e > n dem Magnet im Augenblicke, wo man ihn aus einer stets gleichen Ablenkung fallen l\u00e4sst, beziehlich einen immer schw\u00e4cheren oder immer st\u00e4rkeren, Inductionsstoss ertheilt, so dass zuletzt der Nullpunkt nicht mehr \u00fcberschritten wird, oder eben anf\u00e4ngt \u00fcberschritten zu werden.\nMacht man y = 2, so wird die Curve eine gemeine Parabel,\n1\nn = CA .\nwelche die A-Axe im Nullpunkte ber\u00fchrt, deren Axe der ?;-Axe parallel, und deren Parameter\n2p = sui2 (\u00ab \u2014 \u00df)\nC'y\nist. Die Curve des zweiten Hauptfalles auf der negativen Seite ist die","page":346},{"file":"p0347.txt","language":"de","ocr_de":"\u00a7. 7. Geschwindigkeitscurven bezogen auf die Ablenkungen im allg. Fall s > n. 347\nFortsetzung der Curve des ersten Hauptfalles auf der positiven Seite und umgekehrt; man hat zwei Parabeln, die einander im Nullpunkte ber\u00fchren.\nDa die Tangente am Scheitel der Parabel senkrecht steht auf der Parabelaxe, welche mit der Tangente am negativen Maximum der auf die .r-Axe bezogenen Parabel den Winkel a, mit der Tangente am |-Punkt den Winkel 90\u00b0 \u2014 a bildet, so f\u00e4llt der Scheitel weder mit dem einen, noch mit dem anderen dieser beiden Punkte zusammen, sondern hegt zwischen ihnen, um so n\u00e4her dem Maximum, je gr\u00f6sser, um so n\u00e4her dem f-Punkte, je kleiner a.\nMacht man nun noch u = 45\u00b0, also a = 1, b = lj2, so folgt aus den Eigenschaften der Parabel, dass der Scheitel in der Mitte zwischen den beiden Punkten hegt. Die den |-Punkt und das Maximum verbindende Gerade geht durch den Brennpunkt F, ihre L\u00e4nge rt, ist der Parameter\n[564]\n2P =\n1\n2 | 2\n0,35355.\nDas Maximum x, ist = \u2014 1/4; die Axe der Parabel schneidet die ;r-Axe hei .r, = 3/4; x0 ist = 2 u. s. w. Diese Verh\u00e4ltnisse hegen Fig. 6, und wie schon bemerkt, auch Fig. 4 und 5 zu Grunde (vgl. oben S. 331. 338).\nDie \u00fcbrigen Curven des zweiten Hauptfalles sind jetzt noch genauer zu betrachten. F\u00fcr eine und dieselbe Vorrichtung, d. h. ein und dasselbe a und b entspricht im zweiten Hauptfalle jedem X eine Schaar von Curven der Ablenkungen und eine Schaar von Curven der Geschwindigkeiten bezogen auf die Zeit. Die einzelnen Curven dieser beiden Schaaren unterscheiden sich durch den Werth von X, welcher zwischen bX und aX schwankt. Da unendlich viele X denkbar sind, gieht es dergestalt unendlichmal unendlich viele Ablenkungs- und Geschwindigkeitscurven des zweiten Hauptfalles bezogen auf die Zeit. Wird aber die Geschwindigkeit auf die Ablenkung bezogen, so hat man nur noch Eine Curvenschaar des zweiten Hauptfalles, welche, mit den sie einschliessen-den Grenzcurven, f\u00fcr alle Werthe von X dieselbe bleibt. Denn da die Bewegung des Magnetes durch bestimmte Geschwindigkeit bei bestimmter Ablenkung eindeutig bestimmt ist, kann durch einen zwischen den Geraden AX, BB' gelegenen Punkt, als Gipfel einer .Geschwindigkeitsordinate, auch nur Eine Curve gehen. Je gr\u00f6sser 91 und je kleiner folglich 93 (s. oben S. 336), um so n\u00e4her der Geraden BB', je gr\u00f6sser 93 und je kleiner 91, um so n\u00e4her der Geraden JA' verl\u00e4uft die Curve; f\u00fcr 91 = 2rX, 93 = 0 f\u00e4llt sie mit BB', f\u00fcr 93 = 2rX, 91 = 0 mit AA' zusammen. Die zu einem bestimmten X geh\u00f6rigen Ordinaten","page":347},{"file":"p0348.txt","language":"de","ocr_de":"348 XIII. Ueber aperiodische Bewegung ged\u00e4mpfter Magnete. \u2014 Abh. II.______________\n\u2014 IX, \u2014 X', \u2014 a X aber sind jedesmal die n\u00e4mlichen, die in Fig. 5 bei gleichem Maassstabe zu demselben X und zur Zeit T geh\u00f6ren w\u00fcrden (27).\nF\u00fcr t TZ. B. schwankt in Fig. 5 die Ordinate s\u00e4mmtlicher Ge-\nsehwindigkeitscurven zwischen x \u2014 \u2014 -j| und x \u2014 \u2014 f, w\u00e4hrend\ns\u00e4mmtliche Ablenkungscurven sich im Gipfel der Ordinate + | schneiden (vergl. oben S. 339). Demgem\u00e4ss sind in Fig. 6 die Ordinaten \u2014 a| und \u2014 b's, der Geraden Ad', BB', beziehlich = 1 und = 1jv Dagegen schneiden sich in Fig. 5 s\u00e4mmtliche Geschwindigkeitscurven bei\n\u00a3\nt, im Gipfel der Ordinate \u2014 -j, w\u00e4hrend [565] die Ordinate der Ab-\n6 \u00a3\nlenkungscurven zwischen x = -|- * und x \u2014 + schwankt (vergl.\noben S. 339). In Fig. 6 stellt sich dies so dar, dass die der x-Axe\ns\nparallele Gerade x = 1/i die Gerade AA\u2019 bei 0 = + -j, die BB\u2019\nbei * = +\n1\n2\nschneidet.\nIn Fig. 5 w\u00fcrde mit wachsendem \u00a3 die Steil-\nheit der Curven wachsen (s. oben S. 338); in Fig. 6 bleiben die Curven f\u00fcr jedes \u00a3 die n\u00e4mlichen, und nur die bezeichneten Schneidepunkte nicken mit wachsendem \u00a3 weiter vom Nullpunkte fort.\nMan vergegenw\u00e4rtige sich nun die Schaar der durch \u00a3 unterschiedenen Curven des ersten Hauptfalles. Mit einer jgden von diesen wird eine der durch 21 und S3 unterschiedenen Curven des zweiten Hauptfalles in der obigen Art gemeinsam construirbar sein; und eine einfache Construction dient, die so zusammengeh\u00f6rigen Curven beider Hauptf\u00e4lle zu bestimmen. Diese Construction ist in Fig. 7 in kleinerem Maassstabe besonders vorgef\u00fchrt, da sie f\u00fcr ein so grosses \u00a3, nie es aus anderen Gr\u00fcnden in Fig. 6 n\u00f6thig wrar, zu weite Ausdehnung dieser Figur bedingt h\u00e4tte, wie denn aus demselben Grande in Fig. 5 die Darstellung der zu X geh\u00f6rigen Curven unterblieben ist.\nAus (36) folgt, dass, wenn 21', 33' das 31 und 33 bedeuten, f\u00fcr welches X = X, X = X', man stets haben m\u00fcsse\n21' : 33' :: a : b.\nMan ziehe irgendwo eine der x'-Axe parallele Gerade XA', und theile die Strecke \u2014 (a \u2014 l) X \u2014 B'A' im Verh\u00e4ltniss von a : b so ein, dass das a entsprechende gr\u00f6ssere St\u00fcck an A\u2019 stosse. Man hat dann B'C : A\u2019C' :: B'X : A'X-,\ndie Punkte X, B\u2018, C, A liegen harmonisch, und die Geraden OX, OB, 0(7', O\u00e4 sind harmonische Strahlen. Zieht man von C' nach r dem","page":348},{"file":"p0349.txt","language":"de","ocr_de":"\u00a7. 7. Gesclrwindigkeitscurven bezogen auf die Ablenkungen im allg. Fall e > n. 349\nStrahle OA' parallel eine Gerade, so wird diese durch den zugeordneten Strahl OB' in ihre beiden H\u00e4lften + rt und \u2014 tj getheilt. Da OB' die ,7 -Axe ist, so sind C und t Curvenpunkte, und der Strahl OC', der zur Gleichung hat (40)\n,\t2 ab\n[566] ist der Ort aller Curvenpunkte des zweiten Hauptfalles, deren ij hei gleichem & dem \u00bb? des ^-Punktes irgend einer Curve des ersten Hauptfalles gleich und entgegengesetzt ist. adi + 36' = ST ist sicht-lich = a|; 536 + 36' = \u2014 S3' = \u2014 In Fig. 7 sind abermals g = 1, a = 1, b = V2 gemacht; demgem\u00e4ss ist X = 3, 36' = 2; die Gleichung des Strahles OC\" ist\nDa f\u00fcr alle Curven des zweiten Hauptfalles, ausgenommen f\u00fcr die Grenz-curve 0A', am Nullpunkte x = \u2014 bx [(22), (29)], und f\u00fcr alle, aus-\nX\ngenommen f\u00fcr die Grenzcurve OB', im Unendlichen \u2014 = \u2014 a [(21),\n(23)], so schneiden s\u00e4mmtliche Curven den Strahl OC'. Schreibt man Gleichung (36)\n(ax + x'Y _ {WY _\t\u00a32r\n{bx + x)b ~ (\u2014 S3')6\t(\u2014 by \u2019 s \u2019\nso zeigt sich abermals, dass f\u00fcr \u00a7 = 0, x = \u2014 ax, und f\u00fcr Jj = 00, x = \u2014 bx wird (vgl. oben S. 346); der Annahme g = 0 gen\u00fcgen aber ferner 3\u00a3 und X' = 0, und der Annahme \u00a3 = 00 gen\u00fcgen X und U = 00; f\u00fcr \u00a3 = 0 also r\u00fcckt der Schneidepunkt C' auf der Geraden OC' an den Nullpunkt, f\u00fcr \u00a3 = 00 in die Unendlichkeit.\n\u00a7. YHI. Die Curve der Geschwindigkeiten bezogen auf die Ablenkungen im Grenzfall s = n.\nDenkt man sich den Winkel u \u2014 \u00df immer kleiner bis zum Verschwinden, so h\u00f6rt im Augenblicke, wo die Geraden AA', B// zusammenfallen, der zweite Hauptfall zu bestehen auf, und von den vier Curven-zweigen der Fig. 6 bleiben nur die beiden \u00fcbrig, welche den ersten Hauptfall vorstellten. Auch die Transformation, bei der jene Geraden als Axen eines schiefen Coordinatensystemes benutzt werden, wird unm\u00f6glich. Man kann aber mit ausreichendem Erfolge diese Transformation durch mehrere andere, z. B. durch die in Fig. 8 sichtbare, ersetzen. Hier ist 0 t\u201e t, t t0 wieder die Curve x = <|> (x) f\u00fcr ein positives, 0 r' t'0 die f\u00fcr ein negatives \u00a3.","page":349},{"file":"p0350.txt","language":"de","ocr_de":"350 XIII. Ueber aperiodische Bewegung ged\u00e4mpfter Magnete. \u2014 Abh. II. _\n[567] Die gegenw\u00e4rtige Construction entsteht aus der vorigen, wenn man sich unter der #-Axe jetzt die Gerade denkt, welche mit der .r-Axe den zu \u00ab als Tangente geh\u00f6rigen Winkel w einschliesst, w\u00e4hrend man in Gedanken die ?/-Axe so weit von der >'/-Axe fortdreht, dass sie mit der x'-Axe zusammenf\u00e4llt. Die Dichtungen, in denen die y und # wachsen, bleiben dieselben.\nGanz wie f\u00fcr ein endliches r die Ausdr\u00fccke (9) den Abstand der Curvenpunkte von den Geraden AA', BB' in der Richtung der x-Axe maassen, misst nun ex + x deren in derselben Richtung, also auch in der Richtung der i;-Axe, genommenen Abstand, z. B. des Curvenpunktes \u00cf von der Geraden x = \u2014 ex. Man hat also\nf = sx 4- /,\npositiv auf der oberen, negativ auf der unteren Seite der d-Axe. Man hat ferner\nex = <9- sin w.\nEliminirt man die Zeit zwischen den Gleichungen (33) und (34), so erh\u00e4lt man die mit dem Ausdruck auf S. 299 der ersten Abhandlung identische Gleichung\nex + x = e |e\tex + x ?\t(44)\ndie hier die Stelle von (35) vertritt.\tIndem man in (44)\tf\u00fcr ex + x,\nex die obigen Werthe setzt, kommt\t\t\nl -\t^ . \tsm cd\t\nv = sie\ty\t(45)\noder & - ,T\u2018\tlog\t(46)\nsin \u00fc)\tv n\u25a0 l\t\nworaus sich das N\u00f6thige ergiebt. Macht man f negativ,\t\tso werden ?;\nund & negativ; die Gleichung stellt also beliebig den einen und den anderen der beiden Curvenzweige vor, welche physikalisch nur getrennt Bedeutung haben. Wir verfolgen von diesen Zweigen den oberhalb der #-Axe gelegenen. Bei der Discussion ist es diesmal bequemer, die ?;-Axe als Abscissen-, die TG Axe als Ordinatenaxe anzusehen.\n[568] Es ist\nf - A- log (if\n\u00ab)/ sm co \\ y\nd2&\n1\ndi/2\ty sin co'\nAm Rullpunkte f\u00e4llt die Curve zusammen mit der TGAxe, entsprechend dem obigen Ergebniss: f\u00fcr t = + oo, x \u2014 \u2014 ex. Die Curve steigt dann, concav gegen die ?/-Axe, bis zu einem Maximum am |-Punkte bei","page":350},{"file":"p0351.txt","language":"de","ocr_de":"\u00a7. 8. Geschwindigkeitscurven bezogen auf die Ablenkungen im Grenzfall s = n. 351\nr abw\u00e4rts, wo rj = da hier -j- = 0 ist, schneidet die Curve die\naij\nx-Axe senkrecht (vergl. erste Abhandlung S. 297). Yon hier ab steigt sie ohne Wendepunkt in\u2019s Unendliche an. Bei y = es| schneidet sie die f/-Ax.e; fortan ist ihre Ordinate negativ, und sie selber convex gegen die Abscissenaxe; zuletzt f\u00fcr rt = oo nimmt sie wieder die Richtung der i9-Axe an, entsprechend dem obigen Ergebniss: f\u00fcr t = \u2014 oo,\nX\nx\nEs ist gleichg\u00fcltig, ob man in (45) oder (46) ?/ und & mit einer\nBonstanten k, oder ob man g mit ^ multiplicirt : Ver\u00e4nderung von g\nerzeugt also eine Schaar \u00e4hnlicher Curven.\nF\u00fcr | = 0 schmiegt sich die Curve dem negativen, f\u00fcr g = oo dem positiven Schenkel der &-Axq an, und im letzteren Fall ist es als sei der Magnet aus unendlicher Ferne h\u00f6herer Ordnung gefallen und habe den Nullpunkt mit unendlicher Geschwindigkeit \u00fcberschritten.\nMacht man g negativ, so verlegt man dadurch den Vorgang auf die andere Scalenseite, auf der Alles Gesagte symmetrisch wiederkehrt.-In der Figur ist w =45\u00b0, g = 1; das Maximum der Curve\n1 2\nx = y (x) wird dadurch =-----------\u2014, und liegt bei x =. \u2014 ; die Ordinate\n2\t3\ndes Wendepunktes wird \u2014 \u2014a-, und liegt bei x = endlich die Ordinate x'g ist = e. Die Fig. 24 der ersten Abhandlung entspricht einem Theile dieser Figur, nur dass dort |, statt = 1, = 2 gemacht war.\nZusatz von Ern. Kboneckee zur vorigen Abhandlung.\n[569] L\u00e4sst man den Magnet aus einer positiven Ablenkung \u00a3 ohne D\u00e4mpfung fallen, bis er eine Ablenkung: \u00a3 . cos v erreicht, und erst an dieser Stelle die D\u00e4mpfung eintreten, was sich durch Schliessen eines Gewindes bewerkstelligen liesse, so kann man f\u00fcr die weitere Bewegung des Magnetes die Gr\u00f6ssen \u00a3 und v als Constanten einf\u00fchren. Hiernach erh\u00e4lt man, wenn der Nullpunkt der Zeit an den Eintritt der D\u00e4mpfung und\n(0 < u < V4 n)\nyb = y a . tg m\ngesetzt wird, Ablenkung und Geschwindigkeit durch folgende Gleichungen bestimmt:\n(ax\tx) eu = n\u00a3 .\noder:","page":351},{"file":"p0352.txt","language":"de","ocr_de":"352 XIII. Ueber aperiodische Bewegung ged\u00e4mpfter Magnete. \u2014 Abh. II.\nX\t\u2022\t.\n\u2014\tcos 2 m = cos u . cos (u + u) . e\u2014u \u2014 sm u . sm (m \u2014 v) e~ <\u201c l\n\u2014\t-X- cos 2 m = sin m . cos (u + v) . e~bt \u2014 cos u . sm (m \u2014 v) e~M. ni\nF\u00fcr t = 0 wird:\nx = g cos v, x = \u2014 \u00abg sin v ax + x cos m cos\t(u\t-+- v) ax' + x\"\t_ sin u cos\t(u\t+ v)\nbx + x\t~~ sin u sin\t(u\t\u2014 v)\u2019 hx + x cos u sin\t(u\t\u2014 v)'\nDer Ausdruck\tdurchl\u00e4uft, wenn v von 0 bis u geht, alle\nsm (m \u2014 v)\nWerthe von cot u bis + oo, hierauf (w\u00e4hrend v von u bis n w\u00e4chst) stetig zunehmend alle Werthe von \u2014 oo bis cot u. Liegt v zwischen\n0 und m oder zwischen \u2014 u und n, so findet der erste Hauptfall\nu\n7t\nstatt, der zweite aber, sobald v zwischen u und ^ \u2014 u\nSo lange v <\t\u2014 u ist, d. h. so lange die D\u00e4mpfung bei einer\nu\n\nAblenkung eintritt, welche nicht kleiner als g . sin u oder ly a\nist, \u00fcberschreitet der Magnet nicht seine Euhelage x = 0, sondern n\u00e4hert sich derselben asymptotisch von der positiven Seite [570] her. Wenn aber v\nzwischen -\n71\nu und \u2014 hegt und demgem\u00e4ss die Ablenkung bei Ein-\nu\ntritt der D\u00e4mpfung positiv und kleiner als g . sin u ist, so \u00fcberschreitet der Magnet die Euhelage, kehrt bei der negativen Ablenkung:\na\tb\nf\u2014 cos (m + tj)Wr / sin u yr ^\t\\ cos u ) Isin (v \u2014 u)J\num und n\u00e4hert sich alsdann von der negativen Seite her wiederum der\nEuhelage. Wenn endlich v zwischen und % hegt, die D\u00e4mpfung also\nerst bei einer negativen Ablenkung beginnt, so bewegt sich der Magnet im Sinne wachsender negativer Ablenkungen weiter bis zu dem durch den Ausdruck (A) gegebenen Maximum, kehrt alsdann um und erreicht schliesslich von der negativen Seite her seine Euhelage. Der Werth x = 0 wird\n7t\nalso f\u00fcr positive end\u00fcche Werthe von t nur erreicht, wenn ^ u ^ V\n< ist, der Werth x \u2014 0, wenn \u2014 u < v < n ist.","page":352},{"file":"p0398s0006tableiv.txt","language":"de","ocr_de":"E. du Bois-Reymond/, lres.Abh. I.\nTaf.W.\nFin. 5.\nE. iL.B-R.gex/.\nLeipzig, Verlag von Veit u,. Comp.\nC.Iaue, liths.","page":0}],"identifier":"lit29145","issued":"1875 ","language":"de","pages":"324-352","startpages":"324","title":"Ueber aperiodische Bewegung ged\u00e4mpfter Magnete. Zweite Abhandlung (Monatsberichte der K\u00f6niglich-Preussischen Akademie der Wissenschaften zu Berlin, 1870, S.537)","type":"Book Section","volume":"1"},"revision":0,"updated":"2022-01-31T15:42:36.497764+00:00"}