Open Access

JSON Export

{"created":"2022-01-31T14:02:52.307319+00:00","id":"lit30537","links":{},"metadata":{"alternative":"Zeitschrift f\u00fcr Psychologie und Physiologie der Sinnesorgane","contributors":[{"name":"Zehender, W. von","role":"author"}],"detailsRefDisplay":"Zeitschrift f\u00fcr Psychologie und Physiologie der Sinnesorgane 19: 41-46","fulltext":[{"file":"p0041.txt","language":"de","ocr_de":"Die unbeweisbaren Axiome.\nVon\nW. von Zehender,\nEs giebt bekanntlich eine Anzahl unbeweisbarer mathematischer S\u00e4tze, an deren absoluter Richtigkeit kein Mensch zweifelt, die aber \u2014 wenn auch nur ein einziger derselben unrichtig w\u00e4re den Zusammensturz des ganzen stolzen Baues der Mathematik mit Nothwendigkeit herbeif\u00fchren m\u00fcfsten.\nDahin geh\u00f6ren die v.otva\\ \u00efvvoiai, die Axiome des Euklides\nDiese und eine grofse Anzahl anderer S\u00e4tze, von deren Richtigkeit Jedermann \u00fcberzeugt ist, sind unserem Intellect nicht angeboren, wie, aus Mangel an besserer Erkl\u00e4rung, zuweilen wohl angenommen worden ist. Wahrscheinlich entstehen sie \u2014 anf\u00e4nglich noch unsicher und unvollkommen \u2014 nach und nach erst, durch das Zusammenwirken von kindlichem Nachdenken und|kindlicher Beobachtung, beim Spielen und bei allen sonstigen kindlichen Besch\u00e4ftigungen, wobei die guten Lehren der Eltern und Lehrer wohl auch noch ein wenig mithelfen. Man k\u00f6nnte sogar behaupten wollen, dafs solche S\u00e4tze, fast immer, zuerst eingelernt sind, und erst sp\u00e4ter, durch eigene Erfahrung und eigenes Nachdenken, in selbsteigene Erkenntnifs sich umwandeln. Jeden Falles aber wird die Ueberzeugung der Glaubw\u00fcrdigkeit und der vollen Richtigkeit solcher S\u00e4tze bis zu h\u00f6chstm\u00f6glicher H\u00f6he gesteigert, wenn man, im weiteren Verlaufe des Lebens, trotz aller Beobachtung und trotz alles Nachdenkens, nicht einen einzigen Fall auffinden kann, der den geringsten Zweifel dagegen auf kommen l\u00e4fst. \u2014 Die Apodikticit\u00e4t st\u00fctzt sich \u2014 ebenso wie z. B. auch in dem Satze : alle Menschen sind sterblich \u2014 einzig und allein auf das nie vor gekommene Anderssein.\nEin hartn\u00e4ckiger Zweifler mag wTohl noch einwenden, dafs das, was seit Menschengedenken nie vorgekommen ist, in Zukunft doch vielleicht noch Vorkommen kann. \u2014 Dieser allerdings nicht unberechtigte Einwand mufs aber doch zur\u00fcckgewiesen werden mit dem Hinweis auf die Endlichkeit unserer menschlichen Natur, der es nicht verg\u00f6nnt ist in die Zukunft zu schauen. Wir m\u00fcssen darauf verzichten, wissen zu wollen was","page":41},{"file":"p0042.txt","language":"de","ocr_de":"/\n42\tTF. von Zeltender.\nm\u00f6glicherweise in Zukunft auf Erden erlebt werden kann; wir m\u00fcssen uns begn\u00fcgen mit dem was wir auf Erden erleben und seit Menschengedenken erlebt haben. Der Phantasie jedes einzelnen Menschen bleibt es indessen unbenommen, sich in weitestem Umfange mit Zukunftsideen zu besch\u00e4ftigen, oder sich \u2014 als ein neuer Saul \u2014 unter die Propheten zu begeben und zu wahrsagen !\nDafs solche apodiktisch gewisse, aber unbeweisbare Urtheile aus reiner Vernunft hervorgebracht werden, ist schon deswegen ausgeschlossen, weil die reine Vernunft gar nicht wissen kann, wie ein Winkel oder eine Linie oder ein Triangel aussieht, wenn sie dies nicht zuvor schon durch \u00e4ufsere sinnliche Erfahrung gelernt hat. Andererseits w\u00fcrde aber auch die reine sinnliche Wahrnehmung, Winkel und Linien und Triangel und alle anderen Dinge, hundert und hundert Mal ansehen und betrachten k\u00f6nnen, ohne je imStande zu sein die Bedeutung solcher Worte zu finden, oder \u2014 anders ausgedr\u00fcckt \u2022\u2014 ohne f\u00fcr sich allein im Stande zu sein, das, was allen Winkeln, Linien, Triangeln und anderen Dingen gemeinsam ist, in einen Begriff zusammen zu fassen.\nWenn das Wort ,,reinu in allerstrengstem Sinne genommen wird, dann giebt es in Wirklichkeit \u00fcberhaupt gar keine reine Vernunft und auch keine reine sinnlich-\u00e4ufsere Erfahrung. Vernunft und Erfahrung sind so eng mit einander verkn\u00fcpft, dafs keine von Beiden, f\u00fcr sich allein, vollkommen rein einer Betrachtung unterzogen werden kann ; an der Einen wird immer ein kleines St\u00fcck der Anderen h\u00e4ngen bleiben, man mag sie betrachten wie man will. Wenn Beide wirklich vollst\u00e4ndig von einander getrennt werden, dann werden Beide zugleich vollst\u00e4ndig unwirksam.\nDies l\u00e4fst sich an dem Verhalten unseres Gesichtssinnes sehr gut veranschaulichen. Vom Auge bis- in das Gehirn hinein f\u00fchrt bekanntlich ein von einer derben Scheide umgebener Nervenstrang (der Sehnerv), welcher fast eine halbe Million feiner Nervenf\u00e4den enth\u00e4lt.1 Dieser Sehnerv bildet die Verbindung zwischen Auge und Gehirn. Wenn die im Sehnerv verlaufenden Nervenfasern -\u2014 gleichviel aus welcher Ursache \u2014\n1 Nach Fritz Salzer\u2019s Z\u00e4hlung: 438000. Siehe dessen Arbeit: Ueber die Anzahl der Sehnervenfasern und der Eetinazapfen im Auge des Menschen. Sitzungsber. der Wiener \u00c4kad. Bd. 81, Abth. 2. Januar 1880.","page":42},{"file":"p0043.txt","language":"de","ocr_de":"Die unleweisbaren Axiome.\n43\nzu Grunde gehen oder zerst\u00f6rt werden, dann wird die Nervenleitung zwischen Auge und Gehirn unterbrochen. Es k\u00f6nnen dann zwar die sinnlichen Eindr\u00fccke der Aufsenwelt auf der Netzhaut des \u2014 \u00fcbrigens als gesund vorausgesetzten \u2014 Auges sich abbilden, aber der ver\u00f6dete und functionsunf\u00e4hig gewordene Sehnerv kann diese Eindr\u00fccke nicht weiterleiten bis zum Sitz der Vernunft im Centralorgan. Die sinnlichen Eindr\u00fccke sind in diesem Falle rein auf das Auge beschr\u00e4nkt und die im Centralorgan sitzende Vernunft bleibt ihrerseits in vollster Un-kenntnifs von dem was im Auge vorgeht. Das thats\u00e4chliche Resultat dieses Zustandes ist: absolute Blindheit! \u2014 Solche Blindheit ist aber gleichbedeutend mit v\u00f6lligem Nichtdasein, oder doch mit v\u00f6lligem Nichtwirksam sein der Vernunft hinsichtlich aller Dinge, die mit dem Auge wahrgenommen werden k\u00f6nnten. \u2014 Eine anatomische Trennung des Gesichtsorganes von dem Sitze der Vernunft macht also beide Th eile vollst\u00e4ndig unwirksam. Zum Sehen ist die gemeinsame Wirksamkeit beider Theile erforderlich; jeder der beiden Theile f\u00fcr sich allein genommen ist leistungsunf\u00e4hig. Die Er-kenntnifsquelle liegt weder in der Vernunft allein, noch auch in dem Gesichtssinne allein, sondern in der unzertrennbaren Gemeinsamkeit beider.\nW\u00e4re es denkbar, dafs, bei gesunder Vernunft, alle Sinnesorgane \u2014 ebenso vollst\u00e4ndig wie der Gesichtssinn durch eine Sehnervenatrophie \u2014 vom Centralorgan des Nervensystems losgetrennt sein k\u00f6nnten, dann w\u00e4re die Vernunft einem Festungscommandanten vergleichbar, der, von jeder Verbindung mit der Aufsenwelt vollst\u00e4ndig abgeschnitten ist. Sein Dasein ist factisch ein Nichtsein geworden: es ist ganz ebenso als ob er gar nicht da w\u00e4re!\nIn dieser strengsten Bedeutung des Wortes ist also die reine \u2014 von aller Mith\u00fclfe der Sinnesorgane verlassene \u2014 Vernunft thats\u00e4chlich eben auch nicht da. Da aber Kant \u2014 wenn wir ihn recht verstehen \u2014 das Wort \u201erein\u201c nicht in dieser \u00e4ufsersten Strenge der Bedeutung gebraucht, so konnte, resp. mufste er noch ein verbindendes Zwischenglied: \u201edie Prineipien der M\u00f6glichkeit der Erfahrung\u201c einschalten; anderenfalls w\u00fcrde seine \u201eKritik der reinen Vernunft\u201c, die Kritik eines nicht existirenden Dinges geworden sein.\nWir haben wahrscheinlich zu machen versucht, dafs die sogen.","page":43},{"file":"p0044.txt","language":"de","ocr_de":"/ \u2022\n44\tTF. von Zeh end er.\n\u201eunbeweisbaren Axiome\u201c \u2014 ganz analog dem k\u00f6rperlichen Wachsthum des Menschen \u2014 nach und nach im menschlichen Intellect erst entstehen und sich im Verlaufe des Lebens mehr und mehr festigen; es bleibt uns noch \u00fcbrig auch die Bedeutung des Wortes \u201ebeweisen\u201c etwas genauer zu analysiren.\nNimmt man das Wort \u201ebeweisen\u201c in seiner allgemeinsten Bedeutung, n\u00e4mlich so, dafs jede Art und Weise eine zweifellose Ueberzeugung herbeizuf\u00fchren damit zu verstehen ist, dann giebt es zwei verschiedene Arten der Beweisf\u00fchrung.\nDer Beweis im engeren Wortsinne (der logische Beweis) bedarf stets einer Voraussetzung, einer Grundlage, auf welcher der beweisende Bau auf gef\u00fchrt wird. Ohne solchen Untergrund ist diese Art der Beweisf\u00fchrung nicht m\u00f6glich.\nDie andere Art der Beweisf\u00fchrung, welche man zuweilen auch wohl eine \u201edemonstratio ad oculos\u201c nennt, bedarf einer solchen Voraussetzung nicht; sie st\u00fctzt sich unmittelbar auf die \u00fcberzeugende Kraft unserer Sinneswahrnehmung und ruht gleichsam in und auf sich selbst, d. h. auf dem Glauben an die Untr\u00fcglichkeit einer richtig verstandenen Sinnesempfindung.\nDie auf diese letztere Art gewonnenen Urtheile sind nicht in einer synthetisch vorgebildeten Form in unserer Vernunft schon enthalten, sie sind nicht unserer Vernunft bereits angeboren, sie entstehen nicht aus Vernunft allein, noch auch aus sinnlicher Wahrnehmung allein; sie sind vielmehr \u2014 wie wir zu zeigen versucht haben \u2014 das Ergebnifs gemeinsamen Zusammenwirkens von Vernunft und sinnlicher Wahrnehmung. Das aus dem Griechischen abgeleitete Wort \u201eapodiktisch\u201c, welches wir dem Worte \u201eBeweis\u201c gleichsam als Verst\u00e4rkung gerne noch hinzuf\u00fcgen (\u201eapodiktischer Beweis\u201c), bedeutet eigentlich nur ein \u201eHinweisen\u201c oder ein \u201eHinzeigen\u201c auf Etwas. Ein Hinweisen auf das, was unsere Sinnesempfindungen uns lehren, w\u00fcrde demnach recht eigentlich ein \u201eapodiktischer Beweis\u201c genannt werden m\u00fcssen, wenn nicht das bei uns eingeb\u00fcrgerte Fremdwort eine etwas andere Bedeutung bereits angenommen h\u00e4tte.\nAuf Grundlage solcher, in dem eben angedeuteten Sinne apodiktisch beweisbarer, logisch aber unbeweisbarer Urtheile beruht jede logische Beweisf\u00fchrung. Alles Beweisen im engeren Wortsinne (logisches Beweisen) kann erst da seinen Anfang nehmen, wo eine \u201eapodiktisch\u201c (in unserem Sinne) bewiesene Grundlage bereits gewonnen ist.","page":44},{"file":"p0045.txt","language":"de","ocr_de":"Die unbeweisbaren Axiome.\n45\nDie Sicherheit logischer Beweise beruht auf der Sicherheit ihrer apodiktisch bewiesenen Grundlage. \u2014 Die gr\u00f6fst-m\u00f6gliche Glaubensgewifsheit kann nur derjenige Beweis beanspruchen, welcher sich auf die Grundlage eines erfahrungsgem\u00e4fs nie vor gekommenen Andersseins st\u00fctzt. \u2014 Demn\u00e4chst schw\u00e4cht sich die Glaubw\u00fcrdigkeit mehr und mehr ah, je nachdem man an die Stelle des Wortes \u201enie\u201c ein schw\u00e4cheres Pr\u00e4dicat, wie etwa \u201enur selten\u201c oder etwas Aehnliches zu setzen sich gen\u00f6thigt sieht.\nAuf diesen \u25a0\u2014 wenn wir das Wort hier in unserem Sinne gebrauchen d\u00fcrfen \u2014 \u201eapodiktisch\u201c bewiesenen, logisch aber unbeweisbaren Fundamenten l\u00e4fst sich nun, ohne alle weitere empirische Erfahrung, mit derselben Sicherheit (oder Unsicherheit), die den Fundamenten zukommt, weiter fortbauen.\nDie Mathematik giebt hiervon das gl\u00e4nzendste Beispiel! \u2014 Auf der empirisch festen, auf nie vorgekommenes Anderssein basirten Grundlage ihrer sog. unbeweisbaren Axiome, f\u00fchrt sie \u2014 ohne weitere Beih\u00fclfe der Vernunft oder der Empirie \u2014 ihr bewundernswerthes Geb\u00e4ude bis in die h\u00f6chsten H\u00f6hen hinauf, ohne an Festigkeit und Sicherheit ihres Baues das Allergeringste einzub\u00fcfsen. \u2014 Auch das Ged\u00e4chtnifs kann der Mathematiker \u00e4ufsersten Falles fast ganz entbehren; es dient ihm nur zur Erleichterung der Arbeit, weil er \u2014 ohne Ged\u00e4chtnifs \u2014 bei jeder Aufgabe den ganzen Bau, von seiner untersten Grundlage an, auf Festigkeit und Fehlerlosigkeit jedes Mal von Neuem durchpr\u00fcfen m\u00fcfste.* Mit H\u00fclfe des Ged\u00e4chnisses kann er aber von jedem erinnerlich festgewonnenen Punkt aus ebenso sicher fortbauen, wie er anf\u00e4nglich auf die sogen, unbeweisbaren Axiome zu bauen angefangen hat. \u2014 Der Pythagor\u00e4ische Lehrsatz z. B. hat f\u00fcr den Mathematiker genau denselben Werth wie ein Axiom. F\u00fcr ihn \u2014 wenn sein Ged\u00e4chtnifs ihn nicht im Stiche l\u00e4fst \u2014 steht dieser Satz so fest, dafs es ihm gar nicht in den Sinn kommen kann, dessen Dichtigkeit etwa aufs Neue nochmals zu pr\u00fcfen; er bedient sich desselben ganz ebenso, als ob es ein mathematisches Axiom w\u00e4re. Wer durch Erfahrung und Nachdenken zu der Einsicht gekommen ist, dafs 1x1=1 und dafs 1 \u2014f- 1 = 2 ist, d. h. wer die Operation des Z\u00e4hlens bereits erlernt hat, der wird durch reine Verstandesarbeit leicht finden, dafs 2x2 = 4 und dafs 1000 X 1000 = einer Million ist. Ob er das Einmaleins auswendig weifs oder nicht ist v\u00f6llig","page":45},{"file":"p0046.txt","language":"de","ocr_de":"46\nW. von Zehender.\nirrelevant; er wird jederzeit in der Lage sein, mit H\u00fclfe jener beiden mathematischen Axiome, das ganze Einmaleins zn re-constrniren, soweit ihm die Zahlw\u00f6rter bekannt sind. Auch der Satz 7 \u2014(\u2014 5 = 12 ist auf diesem Wege leicht zu finden, ohne dafs es \u2014 nach unserem Daf\u00fcrhalten \u2014 n\u00f6thig w\u00e4re zuvor danach zu fragen : ,,ob der Begriff von zw\u00f6lf dadurch, dafs ich mir blos jene Vereinigung von 7 und 5 denke\u201c schon gedacht oder noch nicht gedacht sei.1\nAuf jeder weniger festen Grundlage, als diejenige, auf der sich die Mathematik auf baut, l\u00e4fst sich in ganz analoger Weise ein logischer Bau zwar auch aufrichten, aber nur mit dem grofsen Unterschiede, dafs dieser dann eben auch, in demselben Verh\u00e4ltnifs wie seine Grundlage, an Festigkeit und Zuverl\u00e4ssigkeit mehr oder weniger zu w\u00fcnschen \u00fcbrig l\u00e4fst und gelegentlich wohl ganz zusammenbricht.\nSchliefslich wollen wir ganz kurz nur noch darauf hinweisen, dafs die Bedeutung jedes Wortes unserer Sprache aus einem Urtheil hervorgegangen, oder auf ein Urtheil zur\u00fcckzuf\u00fchren ist, welchem das Nieanderssein zu Grunde liegt. Demzufolge ist die Richtigkeit einiger sogen, unbeweisbarer Axiome \u2014 wie z. B. : Ganzes )> Theil \u2014 zuweilen schon durch die Bedeutung der Worte (durch einen Definitionsbeweis) ohne Weiteres und unmittelbar schon bewiesen.\nUmgekehrt giebt jede Definition der Bedeutung eines Wortes nichts Anderes als die Auseinanderlegung eines latenten Urtheils, welches der K\u00fcrze wegen in ein Wort zusammengefafst wird. \u2014 Jede Definition besteht aber wieder aus Worten, die selbst wieder definirt werden k\u00f6nnen oder m\u00fcssen, und so th\u00fcrmt sich auch hier Wort auf Wort und Urtheil auf Urtheil zu immer h\u00f6herer Bedeutung und gr\u00f6fserer Verwickelung und verlangt \u2014 wenn man sich gegenseitig vollkommen richtig verstehen will -\u2014 zuweilen ein tieferes Zur\u00fcckgehen in entgegengesetzter Richtung, bis auf die letzte und unterste unbeweisbare Grundlage.\nAusf\u00fchrlicher hierauf einzugehen verbieten uns f\u00fcr heute die Schranken des uns zugemessenen Raumes.\n1 Siehe Kant\u2019s Kritik der reinen Vernunft, Suppl. II.\n(.Eingegangen am 24. September 1898.'","page":46}],"identifier":"lit30537","issued":"1899","language":"de","pages":"41-46","startpages":"41","title":"Die unbeweisbaren Axiome","type":"Journal Article","volume":"19"},"revision":0,"updated":"2022-01-31T14:02:52.307324+00:00"}