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{"created":"2022-01-31T15:41:32.938500+00:00","id":"lit32013","links":{},"metadata":{"alternative":"Zeitschrift f\u00fcr Psychologie und Physiologie der Sinnesorgane","contributors":[{"name":"Stumpf, C.","role":"author"}],"detailsRefDisplay":"Zeitschrift f\u00fcr Psychologie und Physiologie der Sinnesorgane 39: 241-268","fulltext":[{"file":"p0241.txt","language":"de","ocr_de":"Uber zusammengesetzte WelLemuriuen.\nVon\nC. Stumpf.\nMit 2 Figurentafeln von K. L. and M. Scharte*.\nDae vorliegende Heft enth\u00e4lt Tafeln von Schwingungsfiguren, die Herr und Frau Dr. Schaefeb in sehr exakter Ausf\u00fchrung gezeichnet und mir zur Verf\u00fcgung gestellt haben. Solche Tafeln d\u00fcrften wie die fr\u00fcher ver\u00f6ffentlichten der Schwingungszahlen* 1 einem Bed\u00fcrfnis akustisch Arbeitender entsprechen. Die Figuren, die man in den Schriften von Melde, K\u00f6nig u. a. findet, sind nach spezielleren Gesichtspunkten ausgew\u00e4hlt.* Dagegen enthalten die\n1 \u201eTontabellen\u201c von C. Stumpf und K. L. Schaefeb in meinen \u201eBeitr\u00e4gen zur Akustik und Musikwissenschaft\u201c III. Heft (1901). Aach separat\n1 Melde (Lehren v. d. Schwingungsfiguren 1864) gibt einige Kurven mit Phasenverschiebung und geringer Amplitudenverschiedenheit (Taf. VII), \u00abnberdem haupts\u00e4chlich Lissajoussche Figuren. R. K\u00f6nig (Pogg. Ann. d. Physik Bd. 16, 1877 und \u201eQuelques exp\u00e9riences d\u2019acoustique\u201c 1882) hat l\u00e4ngere Wellenz\u00fcge reiner and besonders verstimmter Konsonanzen von 1:1 bis 1: 8 durch schwingende Gabeln selbst aofzeichnen lassen. Diese sch\u00f6nen Verstimmangskurven sind auch durch unsere Tafeln nicht aberfl\u00fcssig gemacht, sondern m\u00fcssen gegebenenfalls neben ihnen zu Rate gezogen werden. In Wiedemanns Ana. d. Physik N. F. XIV gibt K\u00f6nig Kurven aus je 4 bis 10 Teiit\u00f6nen mit gleicher und mit ungleicher Amplitude, mit und ohne PhaseudifZerens (auch diese in \u201eQuelques exp\u00e9riences\u201c aufgenommen). William Thomson (Proc. Royal Society of Edinburgh VoL IX, 1878) zeichnet eine Anzahl konsonanter Intervalle mit dem Ampiitudenverh\u00e4ltnie des umgekehrten Quadrate der Sehwiugnngsaahlen (1 :2 mit dem Ampiituden-verh\u00e4ltnis 4 : 1 usw.) und je vier Phasendifferenzen. Bosanqust ( Philos. Magazine XI, 1881, Taf. IV\u2014VII) hat mit Donkixb' Harmonographen die um ein 'Komm* verstimmten Intervalle 4:6, 2:3, 1:2, 2:6 in je 3\u2014a verschiedenen Amplituden Verh\u00e4ltnissen aufgenommen.\nKine Anzahl bin\u00e4rer Kurven mit gleicher Amplitude der Komponenten, darunter auch Kurven mit h\u00f6heren Schwingungsverb\u00e4ltnieeen, wie 16:23, Zeitaohrift f\u00fcr Psychologie 39.\t16","page":241},{"file":"p0242.txt","language":"de","ocr_de":"242\n\u00dc. Stumpf.\ngegenw\u00e4rtigen Tafeln in ihrer ersten Abteilung (\u00c4) die s\u00e4mtlichen Wellenformen, die durch Kombination zweier Sinuswellen in gleicher Ebene und Richtung bei gleicher Amplitude und gleichzeitigem Beginn entstehen, wenn die Verh\u00e4ltnisse der Schwingungsfrequenz durch die ganzen Zahlen zwischen 1 und 12 ausgedr\u00fcckt sind. Anhangsweise sind unter B bis D zur Erl\u00e4uterung bestimmter Punkte auch eine kleine Auswahl charakteristischer Kurven beigef\u00fcgt, wie sie bei ungleichzeitigem Beginn oder ungleicher H\u00f6he oder bei mehr als zwei Elementarschwingungen entstehen.\nDie Figuren sind s\u00e4mtlich, mit Ausnahme derer bei ungleichzeitigem Beginn (C), nur bis zur H\u00e4lfte der Schwingungsperiode gezeichnet, da die andere H\u00e4lfte symmetrisch verl\u00e4uft; man erh\u00e4lt diese durch Umdrehung des Blattes.\nIm folgenden m\u00f6chte ich nun gewisse durch die Anschauung oder einfache geometrische und arithmetische Betrachtungen ersichtliche Eigenschaften kombinierter Wellenformen erl\u00e4utern, die in zusammenh\u00e4ngender Weise noch nicht dargestellt sind. Mathematiker w\u00fcrden ohne Zweifel alles k\u00fcrzer und zwingender fassen. Ich wage diesen \u00dcbergriff auch nur in Ermangelung einer bereits vorliegenden Theorie und in der Hoffnung auf eine kommende. Die Hauptfragen waren : wie und in welchem Sinne man Schwingungen der Resultierenden unterscheiden und z\u00e4hlen k\u00f6nne; ferner: inwieweit man die Zerlegung, die das Ohr des Ge\u00fcbten, oft auch des Unge\u00fcbten, m\u00fchelos an den Klangwellen vomimmt, auch durch das Auge an den Schwingungsfiguren vornehmen k\u00f6nne. Tragen sie solche r\u00e4umliche Kennzeichen an sich, so kann man weiter fragen, ob sich daran auch mechanische oder chemische Eigenschaften kn\u00fcpfen k\u00f6rmen, durch die sie auf die peripherischen Endigungen der Geh\u00f6rnerven im Sinne der Klangzerlegung zu wirken verm\u00f6gen. Als eine Vor- oder Hilfsfindet man bei Grailich, Znr Theorie der gemischten Farben, Sitz.-Ber. d Wiener Akademie d. Wissensch., Math.-N'aturwiss. Klasse XII (18541 S. 846, wozu zu vergleichen 810 f. Die Auswahl ist hier durch die Interessen der Farbentheorie bestimmt, f\u00fcr welche freilich derartige Betrachtungen sich nutzlos erweisen d\u00fcrften.\nEinige sehr gut gezeichnete Kurven, auch solche mit drei Komponenten, bei Max Meter, Zeitschr. f. Psych. XI, 1896, S. 218\u2014219. Von den oft reproduzierten Figuren in Helmholtz' Tonempfindungen4 8. 50 n. 53 ist Fig. 11 C ungenau: von denen bei Wundt, Physiol. Psych.6 II, 66 die eine ungenau, die andere ganz falsch.","page":242},{"file":"p0243.txt","language":"de","ocr_de":"\u00dcber zusammengesetzte WelUnformtn.\n243\nbetrachtung im Streite der H\u00f6rtheorien also bitte ich das Folgende aufzafassen, damit man es nicht als blofs geometrische Spekulation in dieser Zeitschrift deplaciert finde.\nDafs die Frage nach den charakteristischen Eigenschaften der zusammengesetzten Wellen, so als Vorfrage verstanden, keine m\u00fcfsige ist, d\u00fcrfte aus den mehrfachen neueren Versuchen erhellen, HELMH0LTzen8 Lehre vom Mechanismus der Klangzerlegung teilweise oder ganz durch andere Theorien zu ersetzen, die direkt von den Eigenschaften der resultierenden Welle selbst ausgehen. Speziell die Kombinationst\u00f6ne suchen manche aus solchen Eigenschaften herzuleiten. Wenn auch HKLMHOi/rzens Lehre immer noch das weitaus beste zusammenfassende Bild der vielen in Betracht kommenden Tatsachen bietet und jedenfalls irgend eine analysierende Einrichtung im Ohr unentbehrlich ist, so sind doch Erg\u00e4nzungen oder Modifikationen der Lehre sicher erforderlich. Dazu kann es n\u00fctzlich werden, die Mannigfaltigkeit der Kurven, die Bildungsgesetze und charakteristischen Eigenschaften der verschiedenen Gruppen zu \u00fcbersehen: dann erst lassen sich solche Hypothesen aufstellen und beurteilen. Wer aber die Resonanztheorie w\u00f6rtlich und unver\u00e4ndert f\u00fcr wahr h\u00e4lt, auch der wird f\u00fcr die Kritik abweichender Hypothesen an solchen Kurvenbildem Material und an ihren Eigenschaften Anhaltspunkte gewinnen.\nWir setzen bis zum V. Abschnitt zwei Elementarwellen von gleicher H\u00f6he und gleichzeitigem Beginn voraus, wo nicht anderes besonders bemerkt ist. Durchg\u00e4ngig ist angenommen, dafs das Verh\u00e4ltnis der Schwingungszahlen durch ganze Zahlen aus-dr\u00fcckbar ist.\nI. Periode und Wellen der Resultierenden.\nDie aus zwei Sinusschwingungen resultierende Bewegung hat eine bestimmte Periodik, und zwar ger\u00e4t das schwingende Teilchen erst dann wieder in genau denselben Schwingungszustand, wenn die elementaren Wellenz\u00fcge die durch ihre Verh\u00e4ltniszahlen gegebenen Schwingungen vollbracht haben, also z. B. bei 3:5 nach Ablauf von 5 Schwingungen der schnelleren oder 3 der langsameren Welle. Dann befinden sich beide Elementarwellen in der n\u00e4mlichen Phasendifferenz wie im Anfang, w\u00e4hrend inzwischen eine best\u00e4ndige Verschiebung der Phasen gegeneinander atattgefunden hat. Diesen Abschnitt nennen wir die Periode\n16*","page":243},{"file":"p0244.txt","language":"de","ocr_de":"244\nC. Stumpf.\nder Resultierenden. Dagegen wollen wir den Ausdruck Welle oder Schwingung, der h\u00e4ufig f\u00fcr diesen Abschnitt gebraucht wird, vielmehr gewissen Teilen der Periode Vorbehalten, die man behufs n\u00e4herer Beschreibung der Kurven und ihrer Gesetze unterscheiden mufs. Die Definition dieser Teile ist nat\u00fcrlich Sache der Zweckm\u00e4fsigkeit. Wir werden zun\u00e4chst die einfachste Definition aufstellen:\nEine Ganz welle der Resultierenden heifse die Strecke von einem ihrer Schnittpunkte mit der Mittellinie bis zum zweit n\u00e4chsten Schnittpunkt. Anders ausgedr\u00fcckt : bis zu dem Punkt, wo die Mittellinie das n\u00e4chste Mal von der n\u00e4mlichen Seite her durch die Resultierende geschnitten wird. Jeder durch benachbarte Schnitt- oder Ber\u00fchrungspunkte eingegrenzte Teil ist dann eine Halbwelle, analog wie bei den elementaren Schwingungen, nur dafs es sich nicht um Sinuswellen handelt, auch nicht um Wellen von stets gleichbleibender L\u00e4nge und H\u00f6he. Selbst die zu einer Ganzwelle geh\u00f6rigen Halbwellen sind nicht immer von gleicher L\u00e4nge, weshalb der Ausdruck Halbwelle hier eben nur bedeuten soll, dafs zwei benachbarte Kurvenst\u00fccke dieser Art eine Welle zusammensetzen.\nW\u00e4hrend einer Periode wird die Mittellinie von der Resultierenden doppelt so oft geschnitten als die gr\u00f6fsere Verh\u00e4ltniszahl angibt. Die Resultierende hat daher ebensoviele Ganzwellen im genannten Sinne, wie der h\u00f6here Ton innerhalb der Periode Elementarwellen aufweist. Darum f\u00e4llt auch die Anzahl der Gipfel der Resultierenden zusammen mit der Anzahl der Gipfel dieses Elementarwellenzuges. Die Ganzwellen der Resultierenden sind nur die modifizierten, gewissermafsen entstellten Wellen der schnelleren Schwingung.\nBei dieser Z\u00e4hlung ist nur der Umstand zu beachten, dafa in bestimmten, unten n\u00e4her zu bezeichnenden, F\u00e4llen die Resultierende die Mittellinie nur ber\u00fchrt und dann nach der gleichen Seite, woher sie gekommen, zur\u00fcckgeht. Dies mufs so angesehen werden, als ob sie um einen unendlich kleinen Betrag \u00fcber die Mittellinie hinausginge. Diese wird hier gleichsam von unten und oben her zugleich geschnitten. Der Ber\u00fchrungspunkt mufs daher als eine Halbwelle gez\u00e4hlt werden; wie denn auch bei der geringsten Verst\u00e4rkung des h\u00f6heren Tones eine entsprechend kleine Halbwelle wirklich entsteht. Nur mittels dieser Betrachtungsweise trifft die angegebene Regel \u00fcber die Zahl der","page":244},{"file":"p0245.txt","language":"de","ocr_de":"\u00dcber zusammengesetzte Wellenformen.\n246\nGanzweUen zu: die fingierte, virtuelle Halbwelle mufs hier mit der vorausgehenden oder nachfolgenden wirklichen Halbwelle zusammen als Ganzwelle gez\u00e4hlt werden ; mit der vorausgehenden, wenn die Ber\u00fchrung von oben her, mit der nachfolgenden, wenn sie von unten her erfolgt (vgl. 5 : 11 mit 7 : 9).\nII. Ausgezeichnete Punkte.\nBeginnen die beiden Elementarwellen mit der Phasendifferenz 0 oder J/\u00ab, bez. J/4 oder s/4, so bietet die Resultierende gewisse ausgezeichnete Punkte dar, an die unsere weiteren Betrachtungen ankn\u00fcpfen. Ein solcher Punkt entsteht, wenn beide Elementarwellen zu gleicher Zeit ihre gr\u00f6fste Entfernung von der Mittellinie erreichen, wenn also ihre entferntesten Punkte senkrecht \u00fcber oder unter demselben Punkte der Mittellinie liegen. Liegen sie dabei auf der gleichen Seite der letzteren, so hat die Resultierende hier die doppelte H\u00f6he jeder Elementarwelle, liegen sie auf verschiedenen Seiten, so ber\u00fchrt sie die Mittellinie, ohne sie zu schneiden. Wir nennen den Punkt der Resultierenden im ersten Fall eine absolut gr\u00f6fste Elongation, einerlei ob sie positiv oder negativ ist, nach oben oder unten liegt. In Zeichen Ea. Im zweiten Falle sprechen wir von einer absolut kleinsten Elongation (= 0), wiederum einerlei ob die Ber\u00fchrung der Mittellinie von oben oder unten her erfolgt. In Zeichen ea.\nEin anderer ausgezeichneter Moment ist vorhanden, wenn beide Elementarwellen sich in der Mittellinie treffen. Auch die Resultierende schneidet dann die Mittellinie und ist von diesem Punkt aus nach rechts und links symmetrisch. Hiermit h\u00e4ngt nun wieder eine gr\u00f6fste und eine kleinste Elongation zusammen. Begegnen sich die Elementarwellen auf der Mittellinie in gleicher Richtung, so sprechen wir von einer gr\u00f6fsten, begegnen sie sich in entgegengesetzter Richtung, von einer kleinsten symmetrischen Elongation, weil eben f\u00fcr diese Elongationen die Nachbarschaft einer gleich grofsen Elongation nach der Gegenseite charakteristisch ist. In diesen F\u00e4llen rechnen wir aber bei den folgenden Beschreibungen und Regeln die beiden zusammengeh\u00f6rigen gleichgrofsen Exkursionen nach oben und unten nur einfach. In Zeichen Es und e*.\nWenn wir mit h die gr\u00f6fsere, mit t die kleinere Verh\u00e4ltniswahl bezeichnen, mit d aber die Phasendifferenz beim Beginn","page":245},{"file":"p0246.txt","language":"de","ocr_de":"246\nC. Stumpf.\neiner Periode, bezogen auf die fr\u00fcher beginnende (nach links verschobene) Welle, so lassen sich f\u00fcr das Stattfinden von Ea, ea, Es, es innerhalb einer Periode folgende Regeln aussprechen. Die Periode besitzt\n1. bei einer geraden und einer ungeraden Verhftltniszahl\na)\tf\u00fcr \u00e2 = 0 oder = */, : ein Es und ein e\u00bb,\nb)\tf\u00fcr d = V\u00ab oder = */4\na) wenn die ungeradzahlige Welle fr\u00fcher beginnt: ein Es und ein e\u00bb,\n\u00df) wenn die geradzahlige Welle fr\u00fcher beginnt: ein Ea und ein ea]\n2. bei zwei ungeraden Verh\u00e4ltniszahlen a) f\u00fcr \u00f4 \u2014 0\nh__f\na) wenn \u2014^\teine gerade Zahl ist : zwei Et und\nzwei Ea,\n__\u00a3\n\u00df) wenn \u2014eine ungerade Zahl ist : zwei Es und\nzwei ea; b) f\u00fcr \u00f4 = 13\na) im 1. Falle zwei e\u00bb und zwei ea, \u00df) im 2. Falle zwei e\u00bb und zwei Ea.\nF\u00fcr \u00f4 = 14 und = */4 findet hier keiner der ausgezeichneten Punkte statt.1\nDiese Regeln folgen aus den Eigenschaften der Zahlen. In den 4 Vierteln der Periode m\u00fcssen sich bei einer geraden Verh\u00e4ltniszahl nur ganze oder abwechselnd ganze und halbe Zahlen ergeben, bei einer ungeraden aber eine Zahlenfolge, in der die Werte 1, 14, 1,, * 4 in dieser Anordnung oder in der Anordnung 1. *4, * j, \\4 zu irgendwelchen ganzen Zahlen addiert erscheinen.\n1 ln einer Abhandlung rOn beats of imperfect Harmony\u201c (Proceedings R. Soo. of Kdinburgh Vol. IX, 1878. S. 602 f.) hat W. Thomson verwandt\u00ab Unterscheidungen und Regeln aufgeetellt. Aber er ber\u00fccksichtigt nur die Falle von Kt und \u00abj .mit der Unterscheidung, je nachdem Ea oben oder unten liegt, biw. die Berohrung bei ea von oben oder unten erfolgt, wovon wir hier abseben'. nicht dagegen die Falle Ei und \u00abj. Ferner gibt er die Regeln in unbestimmter Weise, ohne die Bedingungen in bexug auf die Phasen verbs Unisse, unter denen diese Falle eintreffen. Meine Studien hier\u00fcber, sowie Ober die Wellenl\u00e4ngen an den ausgezeichneten Punkten stammen aus demselben Jahre wie Thomsons Abhandlung, die mir erst 10 Jahre spater bekannt wurde.","page":246},{"file":"p0247.txt","language":"de","ocr_de":"\u00dcber zusammengesetzte WeUenformen.\n247\nBezeichnen wir nun mit 1 den Anfang einer Elementarwelle, mit 1ji das erste Viertel u. s. f., so k\u00f6nnen wir den gleichzeitigen\nBeginn der beiden Wellen mit f|j ausdr\u00fccken, den Fall, wo die\neine Welle im 1. Viertel ihrer Bewegung, die andere gleichzeitig im 3. Viertel der ihrigen ist, mit u. s. f. Dann findet statt:\nEa bei und bei |a|4j, ea bei\nEs bei (jj und bei ^j, e8 bei | * j.\n(1\nHaben wir nun z. B. 7 : 16 bei \u00e2 \u2014 0, so erhalten wir f\u00fcr den gegenseitigen Stand der Wellen in den 4 Vierteln der Periode: 1 '/ )/ */ \\\n1*\t1\t1 ) un<^ ^e8en daraus unmittelbar ab, dafs ein Es und\n\u00abin es stattfindet.\nMan k\u00f6nnte noch mehr ausgezeichnete Punkte unterscheiden, z. B. wenn eine Welle am Beginn oder in der H\u00e4lfte, die andere in 1;t oder */4 ihrer Bewegung ist. Doch gen\u00fcgen uns die erw\u00e4hnten, da sie allein f\u00fcr das Folgende in Betracht kommen.\nIII. Wellenl\u00e4nge der Resultierenden ln der Gegend der ausgezeichneten Punkte.\nJJ bzw. V m\u00f6gen die Wellenl\u00e4ngen der Resultierenden in der Gegend der Ea und Es bzw. ea und e\u00ab bedeuten. In welcher Weise diese Wellenl\u00e4ngen von den L\u00e4ngen der Elementarwellen abh\u00e4ngen, ergibt sich am einfachsten und anschaulichsten, wenn man auf die Ableitung der Sinuswellen zur\u00fcckgeht und in einem Kreise zwei Leitstrahlen in gleicher Richtung, aber mit verschiedener Geschwindigkeit umlaufen l\u00e4fst, wie die zwei Zeiger einer Uhr. Hat ein Leitstrahl die Peripherie 2 it durchlaufen, so bedeutet dies den Ablauf der bez\u00fcglichen Elementarwelle, die H\u00e4lfte dieses Weges also den Punkt, wo sie die Mittellinie durchschneidet. Bezeichnet weiter X die Strecke der Peripherie, welche die l\u00e4ngere (langsamere) Welle in einer bestimmten Zeit zur\u00fcckgelegt hat, x die in derselben Zeit bei gleichem Ausgangspunkt von der k\u00fcrzeren (schnelleren) Welle zur\u00fcckgelegte Strecke, so besteht die Proportion x : X = L : l.\nNehmen wir nun zun\u00e4chst ein Es, wie es bei gleichzeitigem Beginn jedesmal im ersten Abschnitt der Resultierenden entsteht,","page":247},{"file":"p0248.txt","language":"de","ocr_de":"248\nC. Stumpf.\nto ist et nach der Definition vorhanden, wenn der schnellere Strahl eo weit \u00fcber die H\u00e4lfte der Kreisbewegung (n) hinaus ist, als der langsamere dahinter zur\u00fcckgeblieben ist, wenn also x + X\n\u2014 = n. Wenn wir nun die k\u00fcrzere Elementarwelle als\nMafseinheit nehmen, so dafs also 2n = l, ferner aus obiger Proportion den Wert f\u00fcr X in die ebenerhaltene Gleichung ein-\nsetzen, so ergibt r\u00e4ch x =\tals Ausdruck f\u00fcr diejenige\nStrecke auf der Peripherie, die durch den Schnittpunkt der Resultierenden mit der Mittellinie begrenzt ist, d. h. f\u00fcr die L\u00e4nge der resultierenden Halbwelle. Und da bei einem E\u00bb nach der Definition zwei genau symmetrische Halbwellen liegen, ist die Ganzwelle der Resultierenden hier\nL' =\n2 LI L + l\nDie Resultierende steht also ihrer L\u00e4nge nach der k\u00fcrzeren Elementarwelle n\u00e4her als der l\u00e4ngeren, und zwar in demselben Verh\u00e4ltnis, in welchem diese die k\u00fcrzere Elementarwelle uber-trifft (harmonisches Mittel).\nDiese Entwicklung gilt aber nur, solange y <3 ist. Wenn\nn\u00e4mlich das Geschwindigkeitsverh\u00e4ltnis derart ist, dafs der langsamere Strahl noch im ersten Viertel weilt, w\u00e4hrend der schnellere bereits im dritten angelangt ist, so gibt es keinen Zeitpunkt, in welchem n symmetrisch zwischen ihnen l\u00e4ge. Der Zeitpunkt, io welchem die Sinusse beider Wellen gleich und entgegengesetzt sind, tritt vielmehr in diesem Falle dann ein, wenn der ein\u00ab Strahl die einfache Verl\u00e4ngerung des anderen ist, beide Weg\u00ab\nalso um 7t \u2014 g differieren. Wir erhalten dann x\u2014X \u2014 ~, woraus auf demselben Wege die L\u00e4nge der resultierenden Ganzwelle beim E$\nU\nL' =\nL\u2014 l\nDiese Formel gilt also f\u00fcr L:l^>d. Es folgt daraus, dafs II mit wachsendem Verh\u00e4ltnis L : l zunimmt, bis dieses Verh\u00e4ltnis den Wert 3 erreicht, dann aber wieder abnimmt. Z. B. bei 4 :1 ist","page":248},{"file":"p0249.txt","language":"de","ocr_de":"\u00dcber zusammengesetzte Wellenfarmen.\n249\nII wieder ebensogrofs wie bei 2:1, bei 6 : 1 so grofa wie bei 3:2, bei oo : 1 so grofs wie bei 1 : 1.\nIn analoger Weis\u00a9 ergibt sich f\u00fcr die um das e\u00bb liegende resultierende Welle die L\u00e4nge\nV\nLI\nL+ l\nalso die H\u00e4lfte der L\u00e4nge f\u00fcr Et unterhalb 3 : 1. Hier gibt es aber keine Umkehr, sondern V nimmt mit wachsendem Verh\u00e4lt* bis L : l stetig zu. Daher n\u00e4hern sich von L : l \u2014 3 an mit wachsen* der Gr\u00fcbe dieses Verh\u00e4ltnisses E\u00bb und e\u00bb einander, wie man leicht auch an den Figuren best\u00e4tigt findet.\nF\u00fcr die Wellenl\u00e4nge beim Ea und ea findet man durch \u00e4hn* liehe Betrachtungen denselben Wert wie beim Et und e\u00bb, wenn man die beim Ea entstehende Halbwelle mit der vorangehenden oder nachfolgenden zusammennimmt, beim ea aber ber\u00fccksichtigt, dafs nach der Bemerkung 8. 244 hier der Ber\u00fchrungspunkt als eine Halbwelle von der L\u00e4nge 0 gerechnet werden mufs, also die Ganzwelle gleich der L\u00e4nge eines rechts oder links davon liegenden einfachen Abschnittes ist.1\nEs gibt nun aber eine Betrachtungsweise, welche gestattet, die erste Formel f\u00fcr L' auch auf die F\u00e4lle A : < >\u25a0 3 anzuwenden. Von 3 : 1 an entsteht n\u00e4mlich eine zweite Halbwelle, die von Null immer mehr w\u00e4chst, je weiter h : t \u00fcber 3 hinausgeht ; und zwar w\u00e4chst sie um denselben Betrag, um welchen die erste ab* nimmt. F\u00fcr beide zusammen gilt dann also dieselbe L\u00e4ngen* formel, die f\u00fcr die erste Halbwelle allein unterhalb 3 :1 g\u00fcltig ist. Und so ist auch die Formel f\u00fcr die Ganzwelle anwendbar, nur dafs auch diese jetzt aus zwei Ganzwellen im fr\u00fcheren Sinne besteht, also eben nicht mehr als Ganzwelle im Sinne jener Definition bezeichnet werden kann.\nWenn man nun weiter die \u00fcbrigen Abschnitte auf der Resultierenden vergleicht, so findet man durch Fortsetzung der obigen Betrachtungen, dafs der durch die erste Halbwelle (bzw. f\u00fcr h:t >> 3 durch die erste plus zweite) gegebene Abschnitt ganz regelm\u00e4fsig auf der Mittellinie wiederkehrt, nur dafs er wiederum h\u00e4ufig einen Schnittpunkt in sich schliefst; und zwar\n1 Von den bis hierher erw\u00e4hnten Formeln habe ich bereit! in der Tonpeychologie II, 27\u201429 und 478\u2014479 Gebrauch gemacht.","page":249},{"file":"p0250.txt","language":"de","ocr_de":"250\nV, Stumpf.\nist letzteres bei diesen \u00fcbrigen Abschnitten auch schon f\u00fcr Kurven unterhalb 3 : 1 der Fall.\nWir wollen das zuletzt Gesagte beispielshalber f\u00fcr eine besondere Klasse von Kurven, die Kurven h : 1, h > 3, n\u00e4her ausf\u00fchren. Man findet hier folgende Gesetzm\u00e4fsigkeiten, die jedem leicht verst\u00e4ndlich werden, der einige solcher Kurven aus den Elementarwellen konstruiert1 :\na) Je mehr h \u00fcber 3 hinausgeht, um so mehr n\u00e4hert sich der zweite Abschnitt auf der Mittellinie an L\u00e4nge dem ersten, obschon er ihm niemals ganz gleich wird, b) Unter den weiter folgenden Abschnitten jeder Kurve bis zum ersten Viertel der Periode wechselt in gleicherweise immer ein l\u00e4ngerer mit einem k\u00fcrzeren, c) Die Differenz der so zusammengeordneten Abschnitte w\u00e4chst bis zum ersten Viertel, der gr\u00f6fsere wird gr\u00f6fser, der kleinere kleiner, d) Die Summe je zweier zusammengeordneter Abschnitte ist stets gleich der Summe der beiden ersten.\ne)\tBeim ersten Viertel der Periode erreichen die bis dahin wachsenden Gipfel ihre h\u00f6chste Erhebung auf dieser Seite der Mittellinie, welche in gewissen F\u00e4llen aus einem, in anderen aus zwei gleich hohen Teilgipfeln besteht (N\u00e4heres unten). Die solchen Gipfeln entsprechenden Abschnitte auf der Mittellinie sind so grofs, wie vorher je 2 benachbarte zusammengenommen.\nf)\tIm zweiten Viertel sind wieder je zwei Abschnitte zusammenzunehmen, aber jetzt kommt immer der k\u00fcrzere zuerst, und seine L\u00e4nge nimmt zu bis zur Periodenh\u00e4lfte; wiederum aber besitzt die Summe der zusammengeh\u00f6rigen Abschnitte dieselbe gleichbleibende L\u00e4nge, g) In der zweiten Periodenh\u00e4lfte kehren nat\u00fcrlich wegen der Symmetrie aller ohne Phasendifferenz beginnenden Kurven dieselben Verh\u00e4ltnisse wieder.\n\u00c4hnliches ergibt sich auch f\u00fcr die sonstigen Kurven h : t > 3, bei welchen die kleinere Verh\u00e4ltniszahl 1 gr\u00f6fser als 1 ist, wie 9:2, 17 : 5, nur dafs die Gipfel mehr als einmal steigen und fallen und dafs statt eines oder zweier Abschnitte t oder t -J- 1 Abschnitte in der Periodenh\u00e4lfte einfach zu z\u00e4hlen sind, w\u00e4hrend die \u00fcbrigen wieder paarweise zusammengenommen einem von diesen gleich sind.\nDiese Erw\u00e4gungen k\u00f6nnen nun dazu f\u00fchren, die Ausgaugs-\n1 Man braucht f\u00fcr den gegenw\u00e4rtigen Zweck nur die Schnittpunkte aufzusuchen, was bei einiger \u00dcbung rasch gelingt.","page":250},{"file":"p0251.txt","language":"de","ocr_de":"\u00dcber z usa m mengt\u00bb fis U Wellenformen.\n251\ndefinition von Halb- und Ganzwellen \u00fcberhaupt aufzugeben und folgende neue Definition an ihre Stelle zu setzen:\nEine Halbwelle in diesem neuen Sinne nennen wir jeden durch Schnitt- oder Ber\u00fchrungspunkte der Resultierenden mit der Mittellinie begrenzten Abschnitt von gleicher L\u00e4nge mit dem ersten, bzw. bei h:t^>3 mit dem ersten plus zweiten. Eine Ganzwelle nennen wir jetzt jeden durch solche Schnitt- oder Ber\u00fchrungspunkte begrenzten Abschnitt von der doppelten L\u00e4nge des ersten, bzw. bei h:t^> 3 des ersten plus zweiten.\nNicht also die Zahl der eingeschlossenen Schnittpunkte, sondern die L\u00e4nge bestimmter Abschnitte im Verh\u00e4ltnis zu anderen mafsgebenden Abschnitten auf der Mittellinie ist jetzt das Kriterium. Dafs dies eine wesentlich andere Definition ist als die auf die Zahl der Schnittpunkte gegr\u00fcndete, mufs man sich klar zum Bewufstsein bringen und streng festhalten.\nWir k\u00f6nnen das N\u00e4mliche auch so ausdr\u00fccken: Eine Halb-welle der Resultierenden heifse jeder gr\u00f6fste einfache Abschnitt, eine Ganzwelle jeder Abschnitt von der doppelten L\u00e4nge der Halbwelle, einerlei \u00fcbrigens ob er aus zwei oder mehr einfachen Abschnitten besteht. Hier ist die\nAlternative\nA>\nt <\n3 in der Definition vermieden, da eben in jeder\nKurve solche gr\u00f6fste Abschnitte Vorkommen ; der Unterschied ist nur, dafs bei denen \u00fcber 3 : 1 ein solcher nicht den Anfang bildet.\nAuf Grund dieser Definitionen k\u00f6nnen wir zun\u00e4chst die obigen Formeln auch in solche f\u00fcr Schwingungszahlen \u00fcbersetzen. Wir bezeichnen dann als Verh\u00e4ltniszahl r der Resultierenden, d. h. als ihre Schwingungszahl im Verh\u00e4ltnis zu den Schwingungszahlen der Elementarwellen, die Zahl, welche angibt, wie oft ihr erster Abschnitt (bei h : t 3 die Summe ihrer beiden ersten Abschnitte) in der Periodenh\u00e4lfte enthalten ist.\nNach der urspr\u00fcnglichen Definition von Ganzwellen erh\u00e4lt man f\u00fcr die Resultierende stets dieselbe Anzahl von Ganzwellen wie f\u00fcr die schnellere Elementarwelle, m\u00fcfste ihr also insofern auch dieselbe Schwingungszahl zuschreiben. Setzt man aber die Schwingungszahl (Verh\u00e4ltniszahl) der Wellenl\u00e4nge umgekehrt proportional, so w\u00fcrde sich f\u00fcr die Stellen ea und e\u00bb die doppelte Schwingungszahl ergeben wie f\u00fcr die \u00fcbrigen Teile der Resul-","page":251},{"file":"p0252.txt","language":"de","ocr_de":"252\nC. Stumpf.\ntiefenden, and diese doppelte Schwingungszahl w\u00fcrde innerhalb der Periode stets nur einer einzigen Welle zukonunen, die zwischen anderen von abweichender Gr\u00f6&e eingeschaltet w\u00e4re.\nNach der jetzigen Definition dagegen erhalten wir f\u00fcr die Resultierende eine selbst\u00e4ndige und einheitliche Schwingungszahl; und zwar findet man sie aus der ersten Formel f\u00fcr L' bei E$, da dieser Wert nach den neuen Definitionen auch auf die Fill\u00ab A : < >\u25a0 3 und auf s\u00e4mtliche durch die neue Definition gegebenen Ganzwellen der Resultierenden \u00fcbertragbar ist. Man hat nur statt L\\ L und l die ihnen umgekehrt proportionalen Werte der\nSchwingungszahlen, y, p y, einzusetzen. Dies ergibt r \u2014\t-.\nDie fr\u00fcheren Gauzwellen bei ta und e\u00bb, die wegen ihrer abweichenden L\u00e4nge andere Schwingungszahlen lieferten, erfordern jetzt keine gesonderte Bestimmung; denn sie sind nach der jetzigen Definition eben nur Halb wellen trotz des in ihnen enthaltenen Schnittpunktes, da sie der L\u00e4nge nach gleich dem ersten Abschnitt der Resultierenden sind.\nA -4- <\nDer Wert \u2014als Schwingungszahl der Resultierenden ist\ndes \u00f6fteren auch analytisch aus der Bewegungsgleichung eines unter dem Einflufs zweier T\u00f6ne schwingenden Luftteilchens abgeleitet worden.1 Aus dem Ausdruck f\u00fcr die Verschiebung eines unter dem Einfl\u00fcsse zweier T\u00f6ne von gleicher Amplitude schwingenden Luftteilchens\nerh\u00e4lt man\nsin 2nmt -f- sin 27rn<\n2 sin (m-j-n)rtf cos (m \u2014 n)nt.\nHier entspricht der zweite Faktor, eine langsam ver\u00e4nderliche\n1 Skdlet Taylor, Philo\u00ab. Magazine 44 (1872), S. 66 f. Tsaquix und Bocssinksq, Journal de Physique 4 (1875), 8. 193 f. L. Hkekann, Archiv f. d. gesamte Physiologie 56 (1894), S. 486.\nVon der Wellenl\u00e4nge ausgehend kam schon Gbailich (a. a. O. 8. 799f.) zu demselben Schlufs. Auch zu seiner Darstellung ist zu bemerken, data \u201edie Punkte, in denen die Verr\u00fcckung der Teilchen gleichzeitig gleich Nall\n2LI\nist\u201c, durch die Wellenl\u00e4nge y , ^ nicht vollst\u00e4ndig angegeben werden,\nsondern nur diejenigen unter ihnen, die eben diesen gleichen Abstand voneinander haben. Gkaiuch weist selbst (8. 802) auf die in der Mitte der Periode entstehende kleine Welle hin, deren L\u00e4nge genau halb so grofs sei wie die der \u00fcbrigen.","page":252},{"file":"p0253.txt","language":"de","ocr_de":"\u00dcber zusammengesetzte Wellenformen.\n253\nFunktion der Zeit t, dem Amplitudenfaktor in der Gleichung der Sinuswelle, nur dafs eben die Konstante hier in eine langsam Ver\u00e4nderliche \u00fcbergegangen ist. Der erste Faktor aber entspricht\nder Schwiogangszahl\t(da statt 2 n nur n steht). Er ver-\nschwindet jedesmal, wenn t ein Multiplum von m^n ist. Die\nm~}p1 Wellen innerhalb der Periode sind also untereinander gleich lang.1\nMan hat aber niemals gen\u00fcgend hervorgehoben, dafs von \u201eWellen\u201c und \u201eSchwingungszahlen\u201c hierbei \u00fcberhaupt nur unter Voraussetzung ganz bestimmter, nicht selbstverst\u00e4ndlicher und vom gew\u00f6hnlichen Sprachgebrauch\u00ab der Wellentheorie abweichenden Definitionen gesprochen werden kann, und man hat keinen Versuch gemacht, diese Definitionen genauer zu formulieren. Dies h\u00e4ngt teilweise damit zusammen, dais man bei der Berechnung nur die F\u00e4lle kleinerer Schwingungsverh\u00e4ltnisse zwischen den Elementart\u00f6nen im Auge hatte. Doch sind auch hier schon, wie oben bemerkt, im Verlaufe der Periode oft genug zwei Halbwellen im fr\u00fcheren und gew\u00f6hnlichen Sinn als eine Halbwelle im gegenw\u00e4rtigen Sinne zu z\u00e4hlen.* *\n1 Es ergibt sich ans obigem Ausdruck auch, warum die Zahl der Wellen \u2014.das Wort jetzt im Sinne der halben Anzahl s\u00e4mtlicher Schnittpunkte verstanden \u2014 gleich der gr\u00f6fseren der beiden prim\u00e4ren Schwingungszahlen ist. Denn man kann ebensogut den ersten Faktor als Amplituden-\nfaktor und den zweiten als Ausdruck der Schwingungsza Es sind also beide Schwingungezahlen, w~^~n und \u2014 ,\nvorhanden,\nmit den aus ihr folgenden Schnittpunkten (nur wieder im Ber\u00fchrungsfalle doppelt zu z\u00e4hlen), und die Summe ist\t-f- \u2014^ - = m.\n* Ich habe (Tonpsyeh. II, 478) gegen die Formel\tauch ein-\ngewendet, dafs beim Minimum der Besultierenden (ea und e\u00ab) tats\u00e4chlich eine um das Doppelte gr\u00f6fsere Schwingungszahl wegen der um die H\u00e4lfte kleineren Wellenl\u00e4nge eintrete. Diese Einwendung ist vollkommen richtig, wenn man die Wellenl\u00e4nge nachdem Kriterium der Schnittpunkte definiert, sie f\u00e4llt jedoch hinweg, wenn man die neue Definition der Wellen und Wellenl\u00e4ngen zugrunde legt. Die Notwendigkeit, beide Definitionen scharf auseinanderzuhalten, war mir selbst damals noch nicht so klar zum Be-wufstsein gekommen.","page":253},{"file":"p0254.txt","language":"de","ocr_de":"254\nC. Stumpf.\nF\u00fcr den Ansdruck \u201eSchwingung oder Welle der Resultierenden\u201c haben wir also bisher drei m\u00f6gliche Definitionen gefunden :\n1.\tMan identifiziert sie mit dem, was wir Periode nannten: eine Schwingung ist vollendet, wenn das Luftteilchen sich wieder genau im gleichen Schwingungszustand befindet, wenn also die Gestalt \u00e4er Kurven sich identisch wiederholt. Diese Definition deckt sich am vollst\u00e4ndigsten mit der der Schwingung im gew\u00f6hnlichen Sinne der Wellenlehre und sie ist auch bei beliebigem Amplituden- und Phasenverh\u00e4ltnis anwendbar, hat aber keinen Nutzen f\u00fcr die n\u00e4here Beschreibung des so begrenzten Abschnittes.\nDie Schwingungszahl (Verh\u00e4ltniszahl) r der Resultierenden ist in diesem Falle = 1.\n2.\tMan definiert eine Schwingung der Resultierenden durch Schnittpunkte derselben mit der Mittellinie in der S. 244 angegebenen Weise.\nDie Schwingungszahl r der Resultierenden ist dann = h.\n3.\tMan definiert sie durch die doppelte L\u00e4nge des ersten (ev. plus zweiten) Abschnittes auf der Mittellinie in der S. 251 angegebenen Weise.\nDann ist r = ~\t\\\n2\nNun gibt es aber noch verschiedene M\u00f6glichkeiten, die ihre besonderen Anwendungsvorteile haben. Eine davon, die wir im folgenden gebrauchen werden, bietet zugleich eine besonders nahe Analogie zu den Elementarwellen:\n4.\tMan definiert als Schwingungen oder Wellen der Resultierenden diejenigen Abschnitte, die durch die relativ h\u00f6chsten Gipfel gegeben sind. Die aufeinanderfolgenden, im allgemeinen ungleich hohen Gipfel der Resultierenden auf der gleichen Seite der Mittellinie bilden Gruppen, innerhalb deren je eine, in besonderen F\u00e4llen zwei gleich hohe benachbarte, sich \u00fcber die nach rechts und links folgenden erheben. Diejenigen Gipfel, welche nach beiden Seiten kleinere neben sich haben, wollen wir als \u201erelativ h\u00f6chste Gipfel\u201c bezeichnen, dabei aber zwei benachbarte gleich hohe Gipfel, denen rechts und links kleinere zur Seite liegen, als einen z\u00e4hlen. So viele relativ h\u00f6chste Gipfel man nun hierbei findet, so viele Schwingungen der Resultierenden kann man unterscheiden. Die Form dieser Wellen ist dann allerdings insofern eine unbestimmte, als hier-","page":254},{"file":"p0255.txt","language":"de","ocr_de":"\u00dcber zutammcngesctzte WeUenformen.\n255\nmit ja nur diskrete Punkte gegeben sind, deren Verbindung untereinander nur der Bedingung unterliegt, dafs das dazwischen gezogene Kurvenst\u00fcck keinen Wendepunkt enthalten darf.\nNach dieser Definition ist, wie wir unten finden werden, r = h \u2014 t f\u00fcr h : t < 2 und = t f\u00fcr \u00e4 : i > 2.\n5. Endlich werden wir noch einer Auffassungs- und Z\u00e4hlungsweise begegnen, nach welcher die Resultierende allgemein nur so viele Wellen hat wie die l\u00e4ngere Elementar welle, also schlechthin r \u2014 t ist, indem alle jene Gipfel, die nur der k\u00fcrzeren Elementarwelle ihr Dasein verdanken, f\u00fcr diese Auffassung nicht besonders gez\u00e4hlt werden.\nIT. Hauptgruppen der Wellenformen und Bestimmung der Yerh\u00e4ltniszahlen aus der Wellenform.\n\u00dcberschauen wir jetzt die Figuren unserer Schwingungstafeln, und richten wir das Augenmerk besonders auf die Frage, wodurch sich die Verh\u00e4ltniszahlen der Elementarschwingungen an der Gesamtform der Resultierenden kenntlich machen, so lehrt die Anschauung in Verbindung mit den vorausgehenden Betrachtungen folgendes:\n1.\tDie gr\u00f6fsere Verh\u00e4ltniszahl ist gleich der Anzahl der Gipfelpunkte der Periode, unter Gipfelpunkten alle gleichsinnigen Wendepunkte verstanden. Bei unseren Figuren braucht man also nur, nachdem die oberen Gipfel von links nach rechts gez\u00e4hlt sind, auf der unteren Seite von rechts nach links weiter zu z\u00e4hlen, da dies wegen der Symmetrie mit der Fortzahlung auf der oberen Seite der zweiten H\u00e4lfte gleichbedeutend ist. Dagegen darf man nicht etwa die Gipfelzahl in der ersten H\u00e4lfte blofs verdoppeln : denn in gewissen F\u00e4llen (vgl. 1 : 3) enth\u00e4lt die zweite H\u00e4lfte nicht dieselbe Anzahl von Gipfeln wie die erste.\n2.\tUnter der verwirrenden Menge der Kurven sind zun\u00e4chst zwei Gruppen durch ihren einf\u00f6rmigen Verlauf sofort kenntlich : solche, deren kleinere Verh\u00e4ltniszahl 1 ist, und solche, deren Verh\u00e4ltniszahlen um 1 differieren.\nDiese beiden Gruppen haben gemeinsam, dafs man ihre Gipfel, wenn man mehrere Perioden aneinanderreiht, selbst wieder durch eine Wellenlinie derart verbinden kann, dafs auf jede Periode eine Welle kommt. Am einfachsten repr\u00e4sentiert dies 1: 2, das ja auch der gemeinschaftliche Ausgangspunkt beider Gruppen ist.","page":255},{"file":"p0256.txt","language":"de","ocr_de":"256\nC. Stumpf.\nDi\u00ab beiden Gruppen unterscheiden eich aber voneinander dadurch, dafo bei der Gruppe 1 : (1 -f- x) in der ersten Kurven-h\u00e4lfte zun\u00e4chst ein Aufsteigen der Gipfel stattfindet, bei der Groppe x : (x 4-1) dagegen der erste Gipfel zugleich der h\u00f6chste ist. Nur 1 : 2 und 1 : 3 fallen insofern nicht unter die Beschreibung, als 1 : 2 \u00fcberhaupt nur einen, 1 : 3 aber zwei gleiche Gipfel in der ersten Periodenh\u00e4lfte besitzt.\nF\u00fcr diese beiden Gruppen ist nun die Bestimmung der Verh\u00e4ltniszahlen aus der Kurve leicht : die gr\u00f6fsere h hat man durch die Gipfelzahl, die kleinere t ist im ersten Fall 1, im zweiten h \u2014 1.\n3. Unter s\u00e4mtlichen Kurven (die eben erw\u00e4hnten mit eingeschlossen) sind zwei Klassen zu unterscheiden, die man au der Gestaltung der Kurvenh\u00e4lfte ohne weiteres erkennt:\nI. Bei zwei ungeraden Verh\u00e4ltniszahlen besitzt die Kurvenh\u00e4lfte zwei einander symmetrische H\u00e4lften auf gleicher Seite der Mittellinie.\nH. Bei einer geraden und einer ungeraden Verh\u00e4ltniszahl dagegen ist kein Wellengipfel dem anderen gleich. (F\u00fcr den Fall, dafs die Z\u00e4hlung der Gipfel eine gerade Zahl ergibt, ist ja \u00fcbrigens ohnedies klar, dafs die kleinere Verh\u00e4ltnis-zahl nur ungerade sein kann.)\nad I. Wenn zwei ungerade Verh\u00e4ltniszablen vorliegen, so\ngibt es wieder zwei Untergruppen: Ist~\u201e- gerade, also die\nDifferenz der Verh\u00e4ltniBzahlen \u2014 4, 8, 12 . . ., so hat die Kurvenh\u00e4lfte in ihrer Mitte eine schlechthin h\u00f6chste Erhebung nach\noben oder nach unten.1 Ist ungerade, also die Differenz\nder Verh\u00e4ltniszahlen = 2, 6, 10..., so ber\u00fchrt sie in ihrer Mitte die Abszisse und liegt von da symmetrisch nach rechts und links.1 Dies entspricht den obigen Regeln f\u00fcr das Stattfinden von Ea und ea.\nUnd zwar liegt im ersten Falle die Erhebung Ea oben, wenn die kleinere Verh\u00e4ltniszahl \u00ab* *> 1 -f- 4 y, sie liegt unten, wenn dies\u00ab = 3 -j\u2014 4 y, wobei y = 0 oder gleich einer beliebigen ganzen Zahl ist. Also sie liegt oben bei t = 1, 5, 9..., unten bei t \u2014 3, 7,\n*\tVgl. ln den Tafeln 1 : 6, 1 : 9, 3 : 7, 3 :11, 5:9, 7 : 11.\n*\tVgl. in den Tafeln 1: 3, 1: 7, 1 : 11, 3:6, 5 : 7, 6 :11, 7 :9, 9:11.","page":256},{"file":"p0256s0001table1.txt","language":"de","ocr_de":"Zeitschrift f\u00fcr Psychologie. Band 39.\nTafel I.\nA. Verbindung zweier Sinusschwingungen von gleicher Amplitude, ohne anf\u00e4ngliche Phas\u00f6ndifferenz, in allen durch ganze Zahlen zwischen 1 und 12 ausdr\u00fcckbaren Schwingungsverh\u00e4ltnissen. Halbe Perioden.\nC. Stumpf.\ngez. von K. L. und M. Schaefer.","page":0},{"file":"p0256s0002table2.txt","language":"de","ocr_de":"Zeitschrift f\u00fcr Psychologie. Band 39.\nTafel IL\nB. Verbindung zweier Sinusschwingungen von gleicher Amplitude mit verschiedenen anf\u00e4nglichen Phasendifferenzen.\nGlanze Perioden.\nC. Verbindung zweier Sinusschwingungen von ungleicher Amplitude, ohne anf\u00e4ngliche Phasendififerenz. Halbe Perioden.\nC. Stumpf.\ngez. von K. L. und M. Schaefer.","page":0},{"file":"p0257.txt","language":"de","ocr_de":"\u00dcber zusammengesetzte Wellenformen.\n257\n11... Und ebenso ber\u00fchrt im zweiten Fall die Kurve die Mittellinie von oben oder von unten, wenn die gleichen Voraussetzungen stattfinden.\nDer Grund ist wieder leicht in den Gesetzen der Zahlen zu\n^f\nfinden. Ist gerade, so trifft in dem genannten Punkt, dem\nersten Viertel der Periode, 1ji der einen mit */4 der anderen Elementarwelle zusammen, oder aber \u00ae/4 mit */4, was nach S. 247\nein Ea ergibt. Ist ungerade, so trifft beidemale 1ji und \u00ae/4\nder Elementarwellen zusammen, was ein ea ergibt. Wenn nun aber i\u2014 1 + 4y, so ist die l\u00e4ngere Welle im 1. Viertel, also oberhalb der Mittellinie, wenn dagegen t = 3-|- 4y, ist sie im 3. Viertel, also unterhalb: und auf der Seite der l\u00e4ngeren Welle findet notwendig das Ea bzw. ea statt.\nF\u00fcr die Bestimmung der kleineren Verh\u00e4ltniszahl gen\u00fcgt die Subsumtion unter eine dieser Klassen nat\u00fcrlich nicht, sie ist aber auch nicht dazu erforderlich. Es gilt vielmehr f\u00fcr alle F\u00e4lle unter I folgende Regel:\nIst die Zahl p der relativ h\u00f6chsten Gipfel (nach der Definition S. 254) innerhalb der ganzen Periode der Resultierenden gerade, so ist t = h \u2014p. Ist sie ungerade, so ist t = p.\nBei unseren Kurvenh\u00e4lften braucht man wieder nur zuerst oben von links nach rechts, dann unten von rechts nach links zu z\u00e4hlen. Selbst an den ersten Kurvenvierteln kann man durch entsprechendes Verfahren (oben vorw\u00e4rts, oben r\u00fcckw\u00e4rts, dann unten vorw\u00e4rts und wieder r\u00fcckw\u00e4rts) die verlangte Zahl bestimmen.\nDieser Unterschied, je nachdem p = t oder p = h \u2014 t, h\u00e4ngt mit einer noch nicht besprochenen aber sehr wichtigen Klassifikation der Kurvenformen zusammen : p ist n\u00e4mlich \u2014 h \u2014 #, wenn * : t < 2, es ist = t, wenn A : < > 2. F\u00fcr h : t = 2 treffen beide Formeln zu.\nDiesen Sachverhalt m\u00f6ge man sich an der Hand von Kurven mit eingezeichneten Elementarwellen vergegenw\u00e4rtigen. Die H\u00f6he eines Gipfels der Resultierenden ist um so gr\u00f6fser, je geringer der horizontale Gipfelabstand der Elementarwellen in der betreffenden Gegend. Wie nun bei den Verh\u00e4ltnissen x:x+ 1 diese horizontale Gipfelabst\u00e4nde innerhalb der Periode von einem Minimum aus sich immer mehr ver-\nZeitschrift f\u00fcr Psychologie 39.\t17","page":257},{"file":"p0258.txt","language":"de","ocr_de":"258\nC. StUmpf.\ngr\u00f6fsern und dann wieder abnehmen und wie infolgedessen die Gipfel der Resultierenden selbst eine nur einmalige Senkung und Hebung erfahren, so nimmt der Gipfelabstand bei x : x -+\u25a0M\u00bb solange \u00ab < x, also das Verh\u00e4ltnis h : t unter 2 bleibt, \u00ab mal zu und ab (dabei die Gipfel auf der unteren Seite mitzuvergleichen). Also erfahren die Gipfel der Resultierenden eben so viele Senkungen und Hebungen, es resultieren n relativ h\u00f6chste Gipfel, soviel als die Differenz der Verh\u00e4ltniszahlen betr\u00e4gt.\nDagegen besitzen nun alle resultierenden Kurven bei /i : t > 2, also jenseits der Oktave, einfach so viele Senkungen und Hebungen der Gipfel, wie die l\u00e4ngere Welle. Die k\u00fcrzere Welle bedingt hier nur sekund\u00e4re Ausbiegungen der l\u00e4ngeren, die deren Verlauf im grofsen nicht \u00e4ndern. Die Zahl der Gipfel \u00fcberhaupt bleibt zwar auch liier immer gleich der der k\u00fcrzeren Welle, aber sie folgen in ihrer H\u00f6henordnung durchaus dem Rhythmus der l\u00e4ngeren. Und je gr\u00f6fser das Intervall h ; f, um so genauer schmiegt sich die Verbindungslinie der resultierenden Gipfel dem Laufe der l\u00e4ngeren Welle selbst an.\nHiernach ist auch, wenn wir die Einzelwellen der Resultierenden in der S. 254 unter Nr. 4 erw\u00e4hnten Weise definieren, die Schwingungszahl r der Resultierenden zu bestimmen. F\u00fcr h : t < 2 ist r = A \u2014 t, f\u00fcr h : t j> 2 ist r = t.\nad II. Ist die eine der beiden Verh\u00e4ltniszahlen gerade, so entstehen, wie gesagt. Formen ohne Symmetrie ihrer Teile innerhalb der einen Kurvenh\u00e4lfte und von der buntesten Mannigfaltigkeit. Dennoch gibt es auch hier nat\u00fcrlich gewisse Regel* ra\u00e4fsigkeiten. Z. B, wenn die kleinere Verh\u00e4ltniszahl t gerade ist, schneidet die Resultierende in der Mitte der ganzen Periode die Abszisse von oben her1 2, wenn aber die gr\u00f6fsere Verh\u00e4ltniszahU gerade ist, von unten her.3 Ferner: wenn die ungerade Zahl (einerlei ob h oder t) \u2014 1 -}- 4\u00ff, liegt die mittlere Erhebung der ersten Kurvenh\u00e4lfte oben; wenn sie = 3 -j- 4y, liegt sie unten (sie ist aber hier kein En, auch nicht in dem Sinn eine mittlere, dafs der Gipfel genau bei *4 der Periodenl\u00e4nge entst\u00e4nde).\nAuch hier trifft es zu, dafs p = h \u2014 t, wenn h : t < 2, dagegen P = U wenn /t : < > 2. Und wieder ergibt sich dieselbe Konsequenz\n1\tVgl. in den Tafeln 2:3, 2:5, 2:7 usw.; 4:5, 4:7, 4:9, 4 : 11; 6:7, 6: 11; 8 : 11; 10 : 11.\n2\tVgl. in den Tafeln 1:2, 1:4 usw.; 3:4, 3:8, 3 : 10; 5: 6, 5:8,\n5 : 12; 7 : 8, 7 : 10, 7 : 12; 9 : 10; 11 : 12.","page":258},{"file":"p0259.txt","language":"de","ocr_de":"Uber zusammengesetzte Wellenformen.\n259\nin bezog auf die Schwingungszahl der Resultierenden nach der vierten unserer Definitionen.\nF\u00fcr die Bestimmung von t sind zwei F\u00e4lle zu unterscheiden :\n1.\tWenn die gr\u00f6fsere Verh\u00e4ltniszahl ungerade, gilt die umgekehrte Regel wie bei I: f\u00fcr gerades p ist t \u2014 p-, f\u00fcr ungerades p ist t = h\u2014p.\n2.\tWenn die gr\u00f6fsere Verh\u00e4ltniszahl gerade, so erscheint immer ein ungerades p. Wie unterscheiden sich nun hier die F\u00e4lle von gleichem p untereinander, z. B. 1:8 und 7:8, 3:8 und 5:8, 5 : 12 und 7 : 12?\nEs kommt hier darauf an, ob der letzte Gipfel der Kurvenh\u00e4lfte gr\u00f6fser oder kleiner ist als der erste. Wenn gr\u00f6fser, ist t \u2014 p, wenn kleiner, ist l = h\u2014p. Man braucht sich nur den Anfang und den Schlufs der Periodenh\u00e4lfte bei 1: 8 und 7 : 8 aus den Elementarwellen selbst zu konstruieren, um die Notwendigkeit dieses Sachverhaltes allgemein einzusehen.\nUm zusammenzufassen, so hat man, wenn bei einer aus zwei Sinuswellen von gleicher Amplitude und anf\u00e4nglicher Phasendifferenz Null entstandenen Gesamtwelle die Verh\u00e4ltniszahlen der Elementarwellen bestimmt werden sollen, zun\u00e4chst die gr\u00f6fsere h durch Z\u00e4hlung der Gipfel. F\u00fcr die kleinere t kommt es auf die Anzahl p der relativ h\u00f6chsten Gipfel an. Diese ist aber in verschiedener Weise malsgebend, jenachdem der Fall I (zwei ungerade Verh\u00e4ltniszahlen) oder II (eine gerade und eine ungerade) vorliegt, welche beiden F\u00e4lle sich durch die Form der Kurven grundwesentlich unterscheiden. Der erste Fall differenziert sich wieder in die Unterf\u00e4lle von geradem und ungeradem p, der zweite in die des geraden und ungeraden h. Jedesmal ist t \u2014 p oder = h \u2014 p und gibt es entscheidende Merkmale f\u00fcr die eine und andere Formel. \u2014\nIch will hier noch eine einfache Methode erw\u00e4hnen, die sich Frau Dr. Schaefee w\u00e4hrend des Zeichnens der Schwingungsfiguren ausgebildet hat, um aus dem blofsen Anblick der Figuren die kleinere Verh\u00e4ltniszahl zu erkennen, und mit der man in der Tat bei einiger \u00dcbung rasch und unfehlbar zum Ziele kommt. Das Prinzip l\u00e4fst sich folgendermafsen aussprechen:\nMan z\u00e4hlt Halbwellen der Resultierenden, die so beschaffen sein m\u00fcssen, dals sie stets abwechselnd nach oben und nach unten gehen, wie bei den Sinuswellen. Hierbei werden aber zwei oder mehr auf gleicher Seite liegende Gipfel immer dann als","page":259},{"file":"p0260.txt","language":"de","ocr_de":"260\nC. Stumpf.\nnur eine Halbwelle gez\u00e4hlt, wenn zwischen ihnen die Mittellinie nicht oder nur wenig von der Resultierenden \u00fcberschritten wird. Die letzte kleine Ausbiegung in der Periodenh\u00e4lfte, die in allen F\u00e4llen auftritt, wo die Periodenh\u00e4lfte nicht aus zwei symmetrischen Vierteln besteht (d. h. in allen F\u00e4llen einer geraden und einer ungeraden Verh\u00e4ltniszahl), darf hierbei nicht gez\u00e4hlt werden. Die so bestimmte Zahl der Halbwellen in der Periodenh\u00e4lfte ist dann = t.\nDies sind nun also wieder Halbwellen in einem besonderen, f\u00fcnften Sinne des Wortes (o. S. 255), der aber auch beachtenswert ist, weil man damit eben ohne weiteres die kleinere Verh\u00e4ltniszahl hat.\nDie Methode f\u00e4llt nicht etwa zusammen mit der Z\u00e4hlung der relativ h\u00f6chsten Gipfel, obschon sie derselben nahesteht Denn f\u00fcr 3 : 8 und 5 : 8, ebenso f\u00fcr 3 : 10 und 7 : 10, f\u00fcr 5:12 und 7 : 12 ist ja die Zahl der relativ h\u00f6chsten Gipfel (p) die n\u00e4mliche und m\u00fcssen daher noch andere Kriterien heran-gezogen werden, w\u00e4hrend nach dieser Methode beide F\u00e4lle von vornherein verschiedene Ergebnisse liefern.\nDie reale Grundlage dieser Methode liegt darin, dafs gleiche Amplituden zweier Wellen ein mittlerer F\u00e4ll sind zwischen den Extremen, wo die k\u00fcrzere und wo die l\u00e4ngere Welle eine verschwindend geringe Amplitude haben. Geht man von einem solchen Grenzfall aus und n\u00e4hert sich der Amplitudengleichheit, so erscheint zun\u00e4chst die Gestalt der \u00fcberwiegend hohen Welle kaum alteriert ; allm\u00e4hlich nehmen die Alterationen im Sinne der anderen Welle zu, dennoch bleibt die Form der einen und anderen bis zur Amplitudengleichheit kenntlich, f\u00fcr den wenigstens, der die allm\u00e4hliche Entstehung solcher Alterationen sich an vielen Beispielen vergegenw\u00e4rtigt hat. Man erkennt dann leicht die blofsen \u201eEinschn\u00fcrungen\u201c, die die Folge der k\u00fcrzeren Welle sind, und scheidet sie bei der Z\u00e4hlung der l\u00e4ngeren Wellen aus. Auf diesem Wege genetischer Betrachtung ist denn auch Frau Dr. Schaefer zu ihrer Methode gekommen. F\u00fcr denjenigen, der ohne solche Vorstudien und ohne entsprechende \u00dcbung herantritt, lassen sich die Kriterien allerdings nicht so leicht begrifflich exakt festlegen wie die memigen, Hat man sie aber an der Anschauung erfafst und ge\u00fcbt, so sind sie rascher zu handhaben.\nEs gibt aber einen noch einfacheren Weg, um t zu finden: die Z\u00e4hlung der in der Periodenh\u00e4lfte vorkommenden gr\u00f6fsten","page":260},{"file":"p0261.txt","language":"de","ocr_de":"\u00dcber zusammengesetzte Wellen for men.\n261\nAbschnitte auf der Mittellinie. Oben wurde erw\u00e4hnt, dafs man, um gleiche Abschnitte zu bekommen, bald einen f\u00fcr sich allein, bald zwei benachbarte zusammennehmen mufs. Die Abschnitte der ersten Art sind also gr\u00f6fste Abschnitte, und ihre Z\u00e4hlung f\u00fchrt ohne weiteres zum Ziel. Es ist n\u00e4mlich die Anzahl der gr\u00f6fsten Abschnitte in der Periodenh\u00e4lfte stets gleich t, ausgenommen wenn in der Mitte der Periodenh\u00e4lfte die Mittellinie Ton der Resultierenden nur ber\u00fchrt wird. In letzerem Fall ist sie = t -(- 1. Der Fall tritt ein, wenn sowohl h als t als auch\nungerade Zahlen sind.\nZu beachten ist hierbei, dafs in manchen F\u00e4llen, namentlich bei geraden t und ungeraden h, sowie in F\u00e4llen, wo h : t stark \u00fcber 3 hinausgeht, die Mittellinie von der Resultierenden nur minimal \u00fcberschritten wird und dafs hier der Anschein zweier gleich grofser einfacher Abschnitte entsteht. (Vgl. 1:8, 6:11.) Doch kann man auch in diesen F\u00e4llen sich sofort dadurch sichern, dafs man nach den angrenzenden Gipfeln sieht : nur wenn diese gleich hoch, sind auch die beiden Abschnitte einfach und gleich grofs.\nMan kann endlich auch nur den ersten, bei k : t > 3 den ersten plus zweiten (oder allgemein und ohne diese Unterscheidung : einen gr\u00f6fsten) Abschnitt messen und mit dieser Strecke die ganze L\u00e4nge der Periodenh\u00e4lfte dividieren, wodurch man nach S. 251 die Schwingungszahl r erh\u00e4lt : dann ist\ni = 2r\u2014h infolge der Formel r =\t- \u2022 Ob man aber nur\nden ersten oder den ersten plus zweiten Abschnitt zu messen hat, lehrt ein Blick auf den Kurvenanfang: das erste ist der Fall, wenn auf den ersten Gipfel ein kleinerer, das zweite, wenn ein gr\u00f6fserer folgt.\nNat\u00fcrlich wachsen zuletzt alle diese Methoden aus den gleichen Wurzeln heraus und h\u00e4ngen die Merkmale alle unter sich zusammen.\nT. Bemerkungen \u00fcber die Ver\u00e4nderungen bei anf\u00e4nglicher Phasendifferenz, ungleicher Amplitude und Kombination von mehr als zwei Elementarwellen.\n1. Bei ungleichzeitigem Beginn zweier Elementarwellen von gleicher Amplitude ver\u00e4ndert sich zwar die Gestalt der Resul-","page":261},{"file":"p0262.txt","language":"de","ocr_de":"262\nC, Stv.mpf.\ntierenden sehr, die Gipfel und die Abschnitte folgen sich in anderer Ordnung, aber die Regeln \u00fcber die Zahl der Gipfel (\u2014 h), die verschiedenen Definitionen und Regeln betreffs Wellenl\u00e4nge, Schwingungszahl, relativ h\u00f6chster Gipfel, Bestimmung der kleineren Verb\u00e4ltniszahl t daraus bleiben in gleicher Weise anwendbar, Dies geht auch mathematisch aus der Bewegungsgleichung des schwingenden Teilchens hervor.\nBei fortgesetzter Phasenverschiebung zweier Wellen gegeneinander treten wiederholt gleiche oder symmetrische Formen auf. Zun\u00e4chst ist hier an die S. 246 formulierten Regeln zu erinnern. Wir k\u00f6nnen sie aber jetzt noch erweitern, indem wir nicht blofs die Phasendifferenzen d = 0, 1/1, %, \u00ae4, sondern alle m\u00f6glichen Verschiebungen ins Auge fassen.\na) Bei einer geraden und einer ungeraden Verb\u00e4ltniszahl erscheinen mit fortschreitender Zeitverschiebung stets abwechselnd die durch Es e* und durch Ea ta charakterisierten Formen, und zwar erh\u00e4lt mau im ganzen, bis die Verschiebung die L\u00e4nge der verschobenen Welle erreicht, 4 mal so viele Formen (alternierend aus beiden Klassen) als die Verh\u00e4ltniszahl der nicht verschobenen Welle Einheiten hat. Also z. B. wenn wir bei 2 : 3 die gr\u00f6\u00dfere Welle, 2, fr\u00fcher beginnen lassen, d. h. nach links verschieben, so wechseln innerhalb der Gesamtverschiebung 3X4 Formen, 6 von der Art Es e$ und 6 von der Art Ea ea in gleichem Abstand voneinander, also um je 112 der fr\u00fcher beginnenden Welle getrennt, miteinander ab. Nat\u00fcrlich gehen sie jedesmal stetig ineinander \u00fcber. Oder lassen wir bei 5 : 8 die kleinere Welle, 8, fr\u00fcher beginnen, so erhalten wir 5 X 4 in solcher Weise abwechselnde Formen beider Klassen, getrennt durch Abst\u00e4nde von je 1J0 der verschobenen Welle.1\nil Bei zwei ungeraden Verh\u00e4ltniszahlen resultieren innerhalb der Gesamtverschiebung nur halb so viele Formen mit ausgezeichneten Punkten, und zwar wechseln, wenn -* ^ * gerade ist.\n1 Nach don Regeln S. 243 konnte es scheinen, als ob bei fr\u00fcherem beginn der ungeradxahligen Welle \u00fcberhaupt nur die Form Et ei heraua-kommen konnte. Aber dort sind eben nur die 4 Quart alsverschiebungen ber\u00fccksichtigt, wahrend h-.er auch die iwischenliegenden in Betracht gelogen werden. 7.. B. wenn bei 2:3 die Welle 3 fr\u00fcher besinnt, so erh\u00e4lt man fur \u00ab$ \u2014 0 K, e*. fur J --- 1, Et c\u00ab. f\u00fcr :, E, r,, f\u00fcr 9 \u2014 Et Ct usf. Bei den Vierteln also in der Tat immer dieselben Formen.","page":262},{"file":"p0263.txt","language":"de","ocr_de":"\u00fcber zusammengesetzte Wellenformen.\n263\ndie Formen 2 Es 2 Ea und 2 ea 2 e\u00ab, wenn aber\nh \u2014 t ~2~\nungerade, die\nFormen 2E*2ea und 2 Ea 2 es miteinander regelm\u00e4fsig ab. Also z. B. wir erhalten bei 3 : 5, wenn die Welle 3 fr\u00fcher beginnt, 5X2, wenn die Welle 5 fr\u00fcher beginnt, 3X2 ausgezeichnete Formen abwechselnd aus den beiden zuletzt genannten Klassen. Bei 1 : 5 erhalten wir, wenn 1 fr\u00fcher beginnt, 1X2, wenn 5 fr\u00fcher beginnt, 5X2 Formen aus den beiden zuerst genannten Klassen.1\nSo l\u00e4fst sich der gesamte FormenWechsel bei Phasenverschiebung unter einfache Gesichtspunkte bringen.\nDie Formen einer und derselben Klasse, die so resultieren, sind aber nicht alle identisch, sondern teilweise Spiegelbilder oder vertikale Umkehrungen voneinander (z. B. liegt das Ea einmal oben, einmal unten usf.). Auch in dieser Beziehung findet regelm\u00e4fsige Abwechslung statt, doch hat die n\u00e4here Verfolgung kein ersichtliches Interesse.\nIn den Figuren unserer Tafeln sind hier ganze Perioden gezeichnet, weil f\u00fcr d )> 0 die Periodenh\u00e4lften nicht mehr symmetrisch sind. Als Beispiel ist 2 : 3 gew\u00e4hlt, und zwar ist die gr\u00f6fsere Welle 2 um Betr\u00e4ge von d = 0 bis d = */\u00bb nach links verschoben (fr\u00fcher beginnend) angenommen. Die Punkte auf der Abszisse bezeichnen den Anfang der ersten und das Ende der dritten von den 3 k\u00fcrzeren Wellen, also die L\u00e4nge der Periode. Um die regelm\u00e4fsigen typischen Formen zu erhalten, mufs man aber nat\u00fcrlich den Anfang immer auf einen Schnittpunkt der Resultierenden mit der Mittellinie verlegt denken; bei l\u00e4ngeren Wellenz\u00fcgen kann man ja den Periodenanfang willk\u00fcrlich setzen.\nInnerhalb der Verschiebungszone d \u2014 0 bis d \u2014 ,/2 sind zun\u00e4chst wieder die Hauptf\u00e4lle d = 1/12, 2/,a, s/12, *j12, 6/J2, */,\u201e in den Figuren ausgef\u00fchrt. Man sieht, wie die Formen Eaea und Es eg st\u00e4ndig alternieren, nur mit den erw\u00e4hnten Umlagerungen. 4/ls ist dann wieder identisch mit 0, */18 mit 1jli usw., nur mit verschobenen Anf\u00e4ngen.\nUm den \u00dcbergang zwischen diesen Hauptf\u00e4llen zu illustrieren, sind zwischen d = 1/I2 und = */\u201e noch zwei F\u00e4lle eingeschaltet.\n1 Dafs f\u00fcr zwei ungerade Verh\u00e4ltniszahlen bei \u00e4 = ljt und S = J/4 keiner der ausgezeichneten Punkte statthat, wie S. 246 bemerkt ist, ist eine notwendige Folge dieses allgemeineren Verhaltens.","page":263},{"file":"p0264.txt","language":"de","ocr_de":"264\n0. Stumpf.\nNat\u00fcrlich erfolgen auch diese stetigen \u00dcberg\u00e4nge immer in gleicher oder symmetrischer Weise.\nAm besten veranschaulicht man \u00abich die Genesis der durch Phasenverschiebung entstehenden Formen, indem man zwei Papierstreifen gegeneinander verschiebt, auf denen innerhalb eines gleichen Zwischenraumes die h bzw. t Wellen nur mit Andeutung ihrer Viertel folgendermafsen auf getragen sind:\nJ\n1\nAus den S. 246 angegebenen Regeln f\u00fcr das Stattfinden der ausgezeichneten Punkte kann man dann unmittelbar jedesmal die durch Verschiebung entstehenden Formen ablesen.\n2.\tBei ungleicher Amplitude der Elementarwellen entstehen Abweichungen von den er\u00f6rterten Regeln, und nat\u00fcrlich im allgemeinen um so st\u00e4rkere, je gr\u00f6fser das Verh\u00e4ltnis der Amplituden wird. Doch bleiben auch hier die Bestimmungen \u00fcber die Gipfelzahl (= h) und \u00fcber die Ableitung von t aus den relativ h\u00f6chsten Gipfeln bestehen, wenn die Welle von gr\u00f6fserer Schwingungszahl h die gr\u00f6fsere Amplitude hat.\nIm umgekehrten Fall gelten diese Bestimmungen nur bis zu einem gewissen Betrage des Amplitudenverh\u00e4ltnisses. So hat die Kurve 5 : 8 nurmehr 5 deutlich ausgesprochene Gipfel, wenn der tiefere Ton eine 3 mal so grofse Amplitude hat wie der h\u00f6here. Dieser Fall tritt aber bei verschiedenen Schwingungsverh\u00e4ltnissen auch f\u00fcr verschiedene Amplitudenverh\u00e4ltnisse, und zwar bei gr\u00f6fserem Schwingungsverh\u00e4ltnis f\u00fcr gr\u00f6fsere6 Amplitudenverh\u00e4ltnis, ein. Bei 3 : 8 z. B. sind f\u00fcr das Amplitudenverh\u00e4ltnis 3:1, auch 4:1, noch merkliche Ausbiegungen vorhanden.\nAuch die Zahl der relativ h\u00f6chsten Gipfel folgt dann nicht mehr den angegebenen Regeln. 5 : 8 hat unter den genannten Umst\u00e4nden nur zwei relativ h\u00f6chste Gipfel statt 3.\nDie Regel jedoch, dafs f\u00fcr h : t > 2 diese Zahl p = t ist, beh\u00e4lt bei allen Amplitudenverh\u00e4ltnissen ihre G\u00fcltigkeit.\n3.\tEbenso verlieren bei mehr als zwei Elementarwellen, auch wenn sie s\u00e4mtlich gleiche Amplitude besitzen, verschiedene","page":264},{"file":"p0265.txt","language":"de","ocr_de":"\u00dcber zusammengesetzte Wellenformen.\n265\nRegeln ihre allgemeine G\u00fcltigkeit. Zwar bleibt die Zahl der Gipfel auch hier immer gleich derjenigen der k\u00fcrzesten Teilwelle; aber einzelne davon werden durch Zuf\u00fcgung neuer Wellen auf minimale Ausbiegungen herabgedr\u00fcckt. Vgl. 4:5:6, 4:5:9, 4:7:9 mit den zugeh\u00f6rigen bin\u00e4ren Zusammensetzungen..\nTI. M\u00f6gliche Anwendungen auf die Tatsachen des H\u00f6rens.\nZum Schl\u00fcsse m\u00f6chte ich mit einigen Worten auf die M\u00f6glichkeiten zur\u00fcckkommen, diese geometrisch-physikalischen Betrachtungen mit den empirischen Tatsachen des H\u00f6rens in Verbindung zu bringen, obwohl es mir in dieser Hinsicht bei gegenw\u00e4rtiger Gelegenheit nicht um positive Behauptungen, sondern nur um Anregungen zu tun ist.\nHierbei braucht uns der Umstand, dafs mathematisch gleiche Amplituden, wie wTir sie unter I bis IV voraussetzten, physikalisch nicht herzustellen sind, nicht zu st\u00f6ren. Denn nat\u00fcrlich treffen bei nur ann\u00e4hernd gleichen Amplituden auch die Gesetze mit solcher Ann\u00e4herung zu, dafs die grofsen und prinzipiellen Unterschiede auch da zu beobachten sein m\u00fcssen, wenn \u00fcberhaupt die Eigenschaften der zusammengesetzten Wellen sich in der Empfindung geltend machen. F\u00fcr das Vorhandensein ann\u00e4hernd gleicher Amplituden aber k\u00f6nnen wir die gleiche Geh\u00f6rsintensit\u00e4t so lange als gen\u00fcgendes Kennzeichen betrachten, als die T\u00f6ne nicht zu weit in der H\u00f6he auseinanderliegen, also etwa bei den Intervallen bis zur Quinte. F\u00fcr gr\u00f6fsere Intervalle allerdings w\u00fcrde die Erfahrung in Betracht kommen, dafs die h\u00f6heren T\u00f6ne eine geringere Amplitude brauchen als die tieferen, um doch einen ann\u00e4hernd gleichstarken Eindruck zu machen.\na) Was nun zun\u00e4chst das Heraush\u00f6ren der T\u00f6ne aus einem Zusammenklang betrifft, so k\u00f6nnte man gegen\u00fcber den Zerlegungshypothesen darauf hinweisen, dafs die Einflufslosigkeit der Phasenunterschiede, die Helmholtz als einen Beweis f\u00fcr die Aufl\u00f6sung der zusammengesetzten Welle in Sinuswellen durch das Ohr geltend macht, sich doch auch schon an dem Verhalten der zusammengesetzten Wellen in bezug auf die im Obigen hervorgehobenen wesentlichen Punkte (Gipfelzahl usw.) nachweisen lasse. Trotzdem scheint mir nach wie vor jede M\u00f6glichkeit ausgeschlossen, ohne Annahme eines besonderen Zerlegungsmechanismus aus den Eigenschaften der","page":265},{"file":"p0266.txt","language":"de","ocr_de":"2\u00df6\nC. Stumpf.\nzusammengesetzten Welle seihst die tats\u00e4chliche Zerlegung der Kl\u00e4nge in unserer Geh\u00f6rswahrnehmung zu verstehen. Wollte man etwa f\u00fcr den h\u00f6heren Ton eines Zweiklangs die Gipfelzahl \u00fcberhaupt, f\u00fcr den tieferen die der relativ h\u00f6chsten Gipfel in Anspruch nehmen, und daraus zwei gesonderte Formen der Einwirkung auf den Nerven herleiten, so w\u00fcrde dies versagen f\u00fcr die F\u00e4lle h : t < 2, und es w\u00fcrde sich nicht allgemein durchf\u00fchren lassen f\u00fcr die Kombinationen von mehr als zwei Elementarwellen, sowie f\u00fcr die F\u00e4lle bedeutender Amplitudenverschiedenheiten.\nBez\u00fcglich der letzteren bleibt allerdings zu beachten, dafs tats\u00e4chlich auch die M\u00f6glichkeit der Analyse durchs Geh\u00f6r eine Grenze hat. Aber weder der hohe Betrag der simultanen Schwelle noch der bemerkenswerte Unterschied, dafs der h\u00f6here Ton schon bei einer viel geringeren Abschw\u00e4chung verschwindet als der gleichzeitig geh\u00f6rte tiefere (Tonpsych. II, 228), findet in der Gestaltung der zusammengesetzten Wellen eine hinreichende Erkl\u00e4rung. Die letztere Tatsache erinnert oberfl\u00e4chlich an den vorhin erw\u00e4hnten Unterschied im Verhalten der Resultierenden, je nachdem der h\u00f6here oder der tiefere Ton der schw\u00e4chere ist, aber im einzelnen stimmen die Konsequenzen nicht. So m\u00fcfste z. B. bei gen\u00fcgender Verst\u00e4rkung des tieferen Tones von 5:8 der h\u00f6here zwar verschwinden, aber daf\u00fcr ein unter 5 liegender Ton, n\u00e4mlich 2, hinzukommen, da nunmehr nur 5 Gipfel und 2 relativ h\u00f6chste Gipfel vorhanden sind. Die kleine Sexte m\u00fcfste sich also hier f\u00fcr das Geh\u00f6r in die grofse Dezime verwandeln, wovon nat\u00fcrlich keine Rede ist.\nb) Eine Tatsache dagegen, die sicher mit der Gestalt der zusammengesetzten Welle als solcher zusammenh\u00e4ngt, sind die Schwebungen. Helmholtz selbst hat ihr dadurch Rechnung getragen, dafs er hier die n\u00e4mlichen Teilchen der Basil armembran durch beide Prim\u00e4rwellen bewegt denkt, also in diesem Bezirk die Zerlegung aufgehoben sein l\u00e4fst.\nIst nun die Zahl der Schwebungen gegeben durch die Zahl der relativ h\u00f6chsten Erhebungen der Resultierenden, so ergibt sich aus obigen Betrachtungen die Folgerung, dafs die Regel: \u201edie Zahl der Schwebungen ist gleich der Differenz der Schwingungszahlen\u201c nicht allgemein gilt, wie sie denn auch dut f\u00fcr T\u00f6ne abgeleitet zu werden pflegt, deren Schwingungszablen ebenso wie deren Amplituden nicht zu stark verschieden sind. Bei Intervallen, die die Oktave \u00fcberschreiten, w\u00fcrde die Zahl","page":266},{"file":"p0267.txt","language":"de","ocr_de":"\u00dcber zusammengesetzte Welletiformen.\n267\nder Schwebungen, soweit sie auf den relativ h\u00f6chsten Gipfeln beruhen, unver\u00e4nderlich gleich der Schwingungszahl des tieferen Tones sein.\nDie Verifikation ist freilich schwer. Denn in allen Tonregionen aufser der tiefsten h\u00f6ren die direkten Schwebungen schon vor der Oktave auf. Die bei gr\u00f6fseren Intervallen beobachteten Schwebungen sind regelm\u00e4fsig durch Obert\u00f6ne oder Differenzt\u00f6ne vermittelt. In der tiefsten Region selbst glaube ich aber in der Tat die obige Folgerung bei T\u00f6nen bauchiger Flaschen best\u00e4tigt zu finden.\nc) Weiter w\u00fcrde sich fragen, ob nicht die Tatsachen bez\u00fcglich der sog. Zwischent\u00f6ne und bez\u00fcglich der Kombinationst\u00f6ne in einer n\u00e4heren und direkten Beziehung zur Gestalt der zusammengesetzten Welle stehen. Bez\u00fcglich der Zwischent\u00f6ne ist dies von Fr\u00fcheren behauptet, von mir geleugnet worden. Aber hier\u00fcber w\u00e4ren doch noch genauere Untersuchungen erw\u00fcnscht. Bez\u00fcglich der Kombinationst\u00f6ne gibt es mehrere Erscheinungen, die eine auff\u00e4llige Beziehung darbieten.\nSo k\u00f6nnte die Angabe M. Meters, dafs bei 5:8, wenn 5 st\u00e4rker, der Differenzton 2, wenn aber 8 st\u00e4rker, der Differenzton 3 vorwiegend vernommen wird, mit dem oben (V, 2) erw\u00e4hnten Verhalten in Beziehung gebracht werden ; wie dies auch wirklich bereits Ebbinghaus (Grundz\u00fcge d. Psychologie I, 324) getan hat.\nGanz besonders aber k\u00e4me die Frage nach den sog. zwischenliegenden Differenzt\u00f6nen in Betracht. Darunter versteht man solche, die, rein arithmetisch gesprochen, als Differenz der Schwingungszahlen der Prim\u00e4rt\u00f6ne herauskommen, sobald deren Intervall die Oktave \u00fcberschreitet: denn in diesem Fall mufs die Differenz rechnerisch zwischen den Prim\u00e4rzahlen liegen.\nNehmen wir nun einmal an, dafs der sog. erste Differenzton wie die Schwebungen erzeugt werde durch die relativ h\u00f6chsten Gipfel der Resultierenden, so ergibt sich eine analoge Folgerung wie dort : dieser Kombinationston m\u00fcfste f\u00fcr alle Intervalle \u00fcber die Oktave hinaus zusammenfallen mit dem tieferen Prim\u00e4rton. Das heilst : die als Differenz der Schwingungszahlen der Prim\u00e4rt\u00f6ne ausgerechneten Zwischent\u00f6ne k\u00f6nnten f\u00fcr das Ohr nicht neben den Prim\u00e4rt\u00f6nen vorhanden sein.\nWie verh\u00e4lt es sich hiermit in Wirklichkeit? K. L. Schaefer hat auf Grund seiner Beobachtungen, ohne damals von einer solchen Erkl\u00e4rungsm\u00f6glichkeit zu wissen, ihr Vorhandensein be-","page":267},{"file":"p0268.txt","language":"de","ocr_de":"268\nC. Stumpf.\nstritten, F. Kbueoeb dagegen hat es behauptet. Versuche hier\u00fcber, die demn\u00e4chst ver\u00f6ffentlicht werden sollen, haben mich \u00fcberzeugt, dafs solche T\u00f6ne zwar existieren, aber sozusagen einer anderen Gr\u00f6fsenordnung angeh\u00f6ren, an St\u00e4rke vergleichbar etwa den sog. Summationst\u00f6nen, nicht aber den Differenzt\u00f6nen der kleineren Intervalle oder den Obert\u00f6nen. Man k\u00f6nnte daher immerhin daran denken, dafs sie auf eine andere Weise zustande k\u00e4men als die gew\u00f6hnlichen, so leicht h\u00f6rbaren und kr\u00e4ftigen Differenzt\u00f6ne. Dann k\u00f6nnte also die alte Vorstellung zwar nicht die ganze Wahrheit, aber einen Teil der Wahrheit in Hinsicht der Entstehung der Kombinationst\u00f6ne enthalten.\nMit alledem wollte ich aber keine positive Behauptung aufstellen, nicht einmal eine Wahrscheinlichkeit behaupten, sondern nur erl\u00e4utern, wie es sich etwa lohnen m\u00f6chte, die Verh\u00e4ltnisse der zusammengesetzten Welle bei der Anstellung und Auswertung von Beobachtungen im Auge zu behalten.\nEingegangen am 12. M\u00e4rz 1905.","page":268}],"identifier":"lit32013","issued":"1905","language":"de","pages":"241-268","startpages":"241","title":"\u00dcber zusammengesetzte Wellenformen","type":"Journal Article","volume":"39"},"revision":0,"updated":"2022-01-31T15:41:32.938506+00:00"}