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{"created":"2022-01-31T16:42:48.677955+00:00","id":"lit35966","links":{},"metadata":{"alternative":"Zeitschrift f\u00fcr Sinnesphysiologie","contributors":[{"name":"Philipps, H.","role":"author"}],"detailsRefDisplay":"Zeitschrift f\u00fcr Sinnesphysiologie 57: 307-316","fulltext":[{"file":"p0307.txt","language":"de","ocr_de":"307\nAnalyse einer Periode von m Sinusschwingungen verschiedener Wellenl\u00e4nge und Amplitude\n(Ein Beitrag zur Fourieranalyse)\nVon\nH. Philipps Mit 1 Abbildung\nEs sei die Aufgabe gestellt, eine Periode von m Sinusschwingungen verschiedener Wellenl\u00e4nge und Amplitude zu analysieren, d. h. \u2014 akustisch gesprochen \u2014 die Amplituden aller Teilt\u00f6ne dieses durch die Periode der m speziellen Sinusschwingungen definierten Klanges rein analytisch zu ermitteln.\nDie folgende Abbildung m\u00f6ge als anschauliches Beispiel einer solchen Periode dienen. Sie besteht aus 4 Sinusschwingungen von verschiedener L\u00e4nge und H\u00f6he. Es wird angenommen, dafs diese sich bei weiterer Fortsetzung der Bewegung in gleicher Aufeinanderfolge wiederholen.\nAbbildung 1\nF\u00fcr eine gegebene Funktion f(x) hat die Fourierreihe folgendes Aussehen :\n\u00a3L\nf (x) =\t+ ax cos 1 \u2022 x + a2 cos 2 \u2022 x + ... -j- an cos nx +\t.\n-f- bj sin l*x+b2 sin 2*x + ... -J- bn sin nx +\t.\noo\n=\t(av cos vx \u201ct\u201c ^ sin vx)\nV=L\n(1)","page":307},{"file":"p0308.txt","language":"de","ocr_de":"308\nH. Philipps\nwobei die Amplituden an und b\u201e, auf deren Bestimmung es ankommt, gegeben sind durch die Ausdr\u00fccke:\nn = 0, l,oo\ncos nx dx\nn = l,2, oo\nsin nx dx\nUnsere periodische Sinusschwingung, die in den folgenden Er\u00f6rterungen immer mit f(x) bezeichnet werden soll, bestehe aus\nm Sinusschwingungen mit den Amplituden r1? r2,........... rm und\nden Wellenl\u00e4ngen Verh\u00e4ltnissen p1? p2,........, Pm- Es gen\u00fcgt,\nsich auf die Verh\u00e4ltnisse der Wellenl\u00e4ngen zu beschr\u00e4nken, da die Amplituden an und bn der Teilt\u00f6ne auch nur als Verh\u00e4ltniswerte eingehen. Man gewinnt dabei den Vorteil, dafs man \u00fcber die L\u00e4nge der ganzen Periode frei verf\u00fcgen kann. W\u00e4hlen wir praktischerweise die Periodenl\u00e4nge gleich der Einheit, so sind damit auch die absoluten L\u00e4ngen der Wellen bestimmt; denn sie unterliegen den beiden Bedingungen:\n1. Pi \u2022 P2 \u2022 ....* Pm == ^1 * ^2 \u2022 ..\nm\n^=1\nDiese Bedingungen sind erf\u00fcllt, wenn wir die Wellenl\u00e4ngen w\u00e4hlen wie folgt:\n^P/i\t-Pp fl\nfl =1\tfl\u20141\t^=1\nDie allgemeine Form einer einzigen Sinusschwingung mit der Amplitude r und der Wellenl\u00e4nge l ist, wenn man den Ursprung des Koordinatensystems in den Anfangspunkt der Schwingung legt, gegeben durch die Gleichung:\ny = f (x) = r sin\nWenn nun der Nullpunkt des Koordinatensystems mit dem Anfang der Periode der m Sinusschwingungen zusammen f\u00e4llt, so haben die Anfangspunkte der einzelnen Sinusschwingungen die\nAbszissen : 0,\t2^r (\u00c0x + \u00c42),..., 2/r\t-{- ... + Am_i)\nd. h. aber, der Nullpunkt des zugrunde gelegten Systems erf\u00e4hrt","page":308},{"file":"p0309.txt","language":"de","ocr_de":"Analyse einer Periode von m Sinusschwingungen verschiedener Wellenl\u00e4nge 309\ngegen das im Anfang der kten Schwingung gedachte System\nk\u20141\ndie Parallel Verschiebung \u2014 2/r^y Also unterliegt nach (4) die\nkte Schwingung der Gleichung:\ny = rk sin\nk\u20141\n27t II\nu=l\n\n(5)\nNunmehr l\u00e4fst sich f(x) auf folgende Weise darstellen, wenn wir der Einheitlichkeit halber noch L = 0 einf\u00fchren :\nf(x)\nsm\n2 7t L\nK\nf\u00fcr 0 = 2rc \u00c40 < x < 2?r (A0 + Ax)\nr2 sin -\u2014\u2014,&> + *i)f\u00fcr27t(A0+^)<x <2n(X0 -f\t+ \u00fc2)\nrk sin\nI'm sin\nk\u20141 2 7t 2 X\nu=0\n\nm\u20141\n2 7t I \u00c0, ^=0\n\u201cm\nk\u20141\tk .\n^ lu < X <\n|U=0\n2 7t\tlu < x < 2 Tt^j^\n\n(6)\nu=0\nm\u20141\nm\n2/r ^\t< x < 27t\tK = 27t\nju\u20140\n0\nDie Aufgabe besteht jetzt darin, mit dem in (6) hergeleiteten f(x) in die Formeln (2a) und (2b) einzugehen und diese auszuwerten. Da f(x) eine Sinusfunktion ist, l\u00e4fst sich die Integration ohne weiteres ausf\u00fchren, sofern man das Integral entsprechend dem Charakter der Funktion in eine Integralsumme zerlegt, derart dafs man f(x) in jedem Teilintegral als Integranden darstellen kann.\nWird die Zerlegung folgendermafsen vorgenommen: j f (x) cos nx dx = /f(x) cos nx dx\tJ* f (x) cos nx dx -j-\n","page":309},{"file":"p0310.txt","language":"de","ocr_de":"310\nR. Philipps\n2 Ttl^ M=o\n271\n+ / f(x) cos nx dx + . . . . -f- j f(x) cos nx dx\nk\u20141 27tSXfl M=o\nm\u20141\n2 it2lh\n/u\u20140\nm\nk\n2 nSkt\n*=0\n/fw\ncos nx dx\nk\u20141\tk\u2014l\n2tcZI[\nP=0\nP\nso wird:\nk\n2ttZA, n=*o\n27t\tm\t,u\u20140\nT\u00cfEjj \u25a0 /f<1) cos nx dx =\tJ f (x) cos nx dx\n0\tk==1\tk-1\nk-1 u\u20140\nP\nund entsprechend:\n2 71\n2 itPL\n,u=0\n7rbn = J f (x) si\nsin nx dx\ns /\u00ab\n\u20141 k\u2014i 2 7tZlu\nsin nx dx\nk\u20141\n/u=0\nDa aber nach (2) f\u00fcr 2?r\t^ x ^ 2jt ,2\n^=\u00fc\n/u.=Q\n(7)\n(8a)\n(8b)\nf (x) = rk sin\nk-i\nx \u2014 2 7t 2 l/u\n------\tist, so folgt f\u00fcr (8a) und (8b):\nk\n2tcZI,\nm\n71\tk\u20141\n/*-\u201c x \u2014 2nr 2 lu\nrt&n \u25a0\u2014\tTk\nk\u2014l\tk\u2014l\n/sin\n11 cos nx dx\n(9a)\n2 it2l,\nu-0\n7rbn = ~^rk j sin\nk\n2 Tt\u00e4Shfi\tk\u2014l\n^=\u00b0 x \u2014 2 7t \u00a31\nv-\n\n\u2014\u2014 sin nx dx\nk=1 k-l 2 7t2l\np\n(9b)","page":310},{"file":"p0311.txt","language":"de","ocr_de":"Analyse einer Periode von m Sinusschwingungen verschiedener Wellenl\u00e4nge 311\nSieht man in (9a) und (9b) zun\u00e4chst von der Summe und dem Faktor rk ab und betrachtet nur das allgemeine Integral, so findet man, wenn man das unbestimmte Integral desselben Ausdrucks partiell integriert:\n/\nsm\nk\u20141\nx \u2014\t2 k\nfJL=0\n\ncos nx dx = \u2014 Ak cos\nk\u20141\nX----2 7t 2 k\n/u==0\n\ncos nx\nk\u20141\tk-l\nx \u2014 2 7t 2 kp\tx \u2014 2 7t 2 kh\nnlk I cos---------- U==Q\u2014 sin nx dx = \u2014 kk cos-----------\u2014\u201c=() .\n/\ncos nx\n\u2014 nlk2 sin\nk\u20141\nx \u2014 2 7t 2 k\n,u=0\nk\u20141\nV*\nsin nx -f- n2Ak2 ^ sin\nx \u2014 27t 2 k\nu=0\n\ncosnxdx;\nk-i\tk-l\n/x \u2014 2 7t2kfl\tx \u2014 2?t2^\nsin-------cos nx dx = \u2014 Ak cos-------------------> 'u==0\nAk\tAk\ncosnx\nnlk2 sin\nk\u20141\nx \u2014 2rt 2 k\n/u=0\nP\nsm nx\n(10a)\nWenn man dasselbe f\u00fcr (9b) durchf\u00fchrt, erh\u00e4lt man:\n(1 \u2014 n2Ak2) in\nk\u20141\tk\u2014i\nx \u2014 27t 2 k^\tx\u201427t 2 k^\n---\u2014sin nx dx = \u2014 kk cos-. ^==0 -\u2022\nAk\tAk\nsmnx\n+ nlk2 sin\nk\u2014L\nx \u2014 2 7t 2 k\n/x\u20140\nP\ncos nx\n(10b)\nF\u00fchrt man in (10a) die Grenzen ein, so vereinfacht sich der Ausdruck wesentlich. Es wird dann:\nk\n27t2kfl\tk\u2014i\n^=\u00b0\tx \u20142 7t 2 k\n(1 \u2014 n2Ak2) J sin\np\n^ 0 cos nx dx\nk\u20141\n2 7t2k\n/u\u20140\nP\nk\tk__i\n27t 2 k^ \u2014 2 7t2k]\nZTtZjA/u-ATtZk/j.\tk\n\u2014 Ak cos \u25a0 \u2014\u2014jcos 27tn k\nfx\u2014Q","page":311},{"file":"p0312.txt","language":"de","ocr_de":"312\nH. Philipps\n]\u00a3\tk__1\n2 7t Zk^-2 7t ZXju\tk\n\u2014 nlk2 sin \u2014\u2014\u2014T-------sin 2mi kh\n^k\t^\u2014o\nk-1\tk\u20141\n2 TtSk^\u20142 TtSk^\tk\u20141\n+ Ak cos \u2014^=0\u2014y\u2014/U==0\u2014 cos 2jvu\tku\nk\t/u=o\nk-i\tk\u20141\n2tv I ku \u2014 2 7t S k^\tk\u2014\u00ee\n-f- nlk2 sin \u2014 -\u2014y---------\u2014\u2014 sin 2/m\t^\nk\t,,\u2014n\nDa in den vier auftretenden Produkten die ersten sin immer = 0 und die an erster Stelle stehenden cos = 1 werden, reduziert sich der Wert des Integrals auf:\nk\n27t Sk^\njU\u2014r)\nk-1\n27t Sk u\njU==0\nX\nk-l\n2 7t S k/u ^=0\ncos nx dx\n[\tk_1\nl cos 2mi ^ ku \u2014 cos\n{\t/u=0\n(11a)\nSetzt man in (10b) die Grenzen ein, so entstehen wieder vier Produkte, deren an erster Stelle stehende sin = 0 und deren erste cos = 1 werden. F\u00fchrt man die Rechnung durch, so erh\u00e4lt; man schliefslich :\nk _\n2 TtSku\nx\nfsi\u00bb-\nk\u2014l\n2rcSku ^=o\nk\u20141\nsin 2^n\n/'=0\nk-l\n2 7t S kft\n, '\u201c==0~ \u25a0 sin nx dx\nsin2\u00eern\n*\n^k\n^ n 1\u2014 nUk ^=0 1\n(11b)\nF\u00fcr den Fall, dafs n = 0 ist, wird das Integral (11a) gleich 0. Da aber 5ran gleich der Summe, erstreckt \u00fcber dies Integral von 1 bis m ist, wird Tt&0 = 0 d. h. a0 = 0.\nDamit erhalten wir f\u00fcr die Koeffizienten der Fourierreihe, welche die Amplituden aller den Hauptton zusammensetzenden Teilt\u00f6ne darstellen, folgende Resultate:","page":312},{"file":"p0313.txt","language":"de","ocr_de":"Analyse einer Periode von m Sinusschwingungen verschiedener Wellenl\u00e4nge 313\na\nr = 0\n(12a)\nm\nk\u20141\nn = l, 2,..oo &n:\ncos\nk=i (\t1.1=0\nk\n-cos 2toi^P Au\n^\"\u201cjl-nUt2 (12b)\nn = 1, 2,..oc bn\u2014 ~\u2014\nm\nk\u20141\nsin 2701 A\u00ab\nk=i l\t[t=z o\n\u2014 sin 27m l\nTk^k\n\n/x=Q\nl-n2Ak2\n(12c)\nwobei lk nach (3) gegeben ist durch: Ak = -yJ^\u2014\nDie Struktur der 1 ormeln f\u00fcr an und bn ist vollkommen symmetrisch, beide unterscheiden sich lediglich durch das Auftreten verschiedener Winkelfunktionen. Dadurch vereinfacht sich die numerische Berechnung dieser Formeln bei gegebenem pw, ru und m wesentlich, um so mehr, als der auftretende Faktor in beiden Ausdr\u00fccken derselbe ist und die Winkelfunktionen komplement\u00e4r sind.\n\u00fcm die numerische Auswertung m\u00f6glichst einfach zu gestalten, bedient man sich am besten des folgenden Tabellenschemas:\nk\nIn einer ersten Tabelle berechnet man die Werte p\u00ab, l/u und\tf\u00fcr\n[i=0\nk\nalle k, in einer zweiten und dritten stehen die Ausdr\u00fccke cos 2nn ^lu und\nu=0\nsin 27m\t, wobei man die k in Spalten und die n in Zeilen fortschreiten\n[X=0\nl\u00e4fst. Bildet man in jeder Zeile der Tabellen 2 und 3 die Differenz zweier aufeinanderfolgender Zahlen, so erh\u00e4lt man in Tabelle 4 und 5 Werte f\u00fcr\nk\u2014l\tk\ny\n(k)\nn\n1\ncos 27rn^V lu \u2014 cos 27m ^5 ltU{\n[\u25a0<\u25a0=0\t[i=0 J\nk\u20141\tk\nund S(k) = f sin 27m ^ ln \u2014 sin 27m l\nn\n[1=0\n[i=0\nEine 6. Tabelle enth\u00e4lt y___nzxk2 \u2019 wo^e^ wieder k die Spalten und n die\nZeilen durchl\u00e4uft. Multipliziert man jetzt jeden Wert von Tabelle 6 mit den entsprechenden von Tabelle 4 und 5, so erh\u00e4lt man die Tabellen 7 und 8 mit den Werten:\nZeitschr. f. Sinnesphysiol. 57,\t22","page":313},{"file":"p0314.txt","language":"de","ocr_de":"314\nH. Philipps\n{k\u2014i\tk\t\u00ef\tr\t^\ncos 2nn Xfi \u2014 cos 2ttq^^ lp > ^_n2/lk2\n/j.=0\tfi=0\tJ\n{k\u2014l\tk\t1\trk#^k\nsin 2jm ^ V\u2014 sin 2\u00bbn^ 2\u201c 11 \u2014 n\u00bb\u00efkt\nju=0\tfl=\u00b0\t)\nAddiert man in 7 und 8 alle Werte einer Zeile, so gibt das in Tabelle 9 je n Werte f\u00fcr die ersten ^an und ^bn- Die Division durch n liefert das Endresultat in einer Tabelle 10, die Amplituden der ersten n Teilt\u00f6ne.\nWenn nun beispielsweise 5 aufeinanderfolgende Sinusschwingungen von gleicher Amplitude und den L\u00e4ngenverh\u00e4ltnissen 10:12 :11:14: 13 sich in dieser Folge periodisch wiederholen (\u201egemischte Sinuskurven\u201c nach E. K. Jaenschs Bezeichnung), so ergeben sich auf diesem Wege folgende Amplituden der ersten 10 harmonischen Teilt\u00f6ne (die L\u00e4nge der ganzen\nPeriode = 1 gesetzt):\nan (Cosinuswerte).\tbn (Sinuswerte).\n\u2014 0,02652\t0,00621\n\u2014 0,00095\t0,04255\n\u2014 0,11124\t- 0,08063\n\u2014 0,23389\t0,12471\n0,67405\t0,60077\n\u2014 0,14088\t0,25216\n0,00357\t0,04168\n\u2014 0,07289\t0,03549\n\u2014 0,02135\t\u2014 0,00980\n\u2014 0,02272\t\u2014 0,00275\nAus den hier aufgestellten Formeln (12) lassen sich a\u201e und bn nat\u00fcrlich auch f\u00fcr weniger komplizierte Sinusschwingungen finden. Eine Vereinfachung erf\u00e4hrt 'f(x) bereits dadurch, dafs man f\u00fcr alle m Schwingungen gleiche Amplituden w\u00e4hlt; das dr\u00fcckt sich in der Formel so aus, dafs rk vom Index unabh\u00e4ngig wird, also vor die Summe tritt. Der noch speziellere Fall gleicher Wellenl\u00e4nge \u00e4ufsert sich dadurch, dafs auch kk vom Index frei wird.\nDa hierdurch eine grofse Vereinfachung in der Durchf\u00fchrung der Rechnung erzielt wird, ist dieser Fall (Untersuchung einer Periode von m Sinusschwingungen gleicher Wellenl\u00e4nge und gleicher Amplitude) zur Demonstration der Formeln (12), die freilich dabei nicht in ihrer ganzen Leistungsf\u00e4higkeit ausgen\u00fctzt werden, doch sehr geeignet, zumal das Resultat evident ist und die Formeln gleichzeitig zur Verifikation dienen k\u00f6nnen.\nEs ist nicht m\u00f6glich, eine Periode von gleichen Smusschwm-gungen, wie sie hier vorliegt, in eine Reihe im Fourierschen Sinne zu entwickeln; die Reihe wird sich vielmehr auf ein einziges","page":314},{"file":"p0315.txt","language":"de","ocr_de":"Analyse einer Periode von m Sinusschwingungen verschiedener Wellenl\u00e4nge 315\nGlied, n\u00e4mlich das Glied bm sin mx, reduzieren. Wird die Amplitude gleich r angenommen, so ist das Resultat, das sich aus den Formeln (12) ergeben mufs, folgendes:\n4r = 0;\tan = 0;\tbn = 0\tbm = r\nn=l, 2, ..oo\nbn = 0\n11=1, 2, . . . OO n=|=m\na,\nNach (12a) ist eo ipso = 0 Benutzt man jetzt die Voraussetzung, dafs alle Wellen die gleiche L\u00e4nge haben sollen, so wird: m*A = l und also: l = \u2014. Dann geht (12a) \u00fcber in:\nm\na\nn\n2\nk=i\nn\nn\ncos 2tc \u2014 (k \u2014 1) \u2014 cos 2it \u2014 k\nrm\ny. \\ V>UO LiJV\tl IV.\t-L /\tXX i\tn\to\n11 I\tm\tm Im2 \u2014 n~\n= \u2014 < cos 2/r \u2014 \u2022 0 \u2014 cos 2tt \u2014 \u2022 1 + cos %ti \u2014 \u2022 1 \u2014 cos 2tt \u2014 2 it I\tm\tm\tm\tm\n+ COS27T \u2014 .2 \u2014 . . . H--h . . . \u2014 eos27T-5-(m \u2014 1)\n1\tm\tm\n.\t^ n .\t'\tn ) rm\n4-cos 27t \u2014 (m\u20141) \u2014 cos 27t \u2014 m ;\u2014\u201e--\u201e\n1\tm\tm m2\u2014 n2\n^ ^ cos 0 \u2014 cos 25Tn^\nrm\n7t\n\u25a0 i o\t9\nJ m2 \u2014 ii\u201c\n\ncos 27tnl\nrm\nm2 \u2014 n2\n(13)\nDa n immer eine ganze Zahl ist, wird f\u00fcr alle n 4= m an = 0, besonders zu untersuchen ist der Fall m = n, da an dann die Form des\n0\nunbestimmten Ausdrucks ^ annimmt. Setzt man:\na\nin =\t= \u2014 (l \u2014 cos 27ml \u20142rm\nqp(n) 7t (\tJm2 \u2014 n\nso wird:\n\tf'(H) 1\t\trm \u2022 27t sin 27tn\nam\t\t\t\u2014 27tn\n= \u2014 r sin 2/rm = 0.\nn=m\tn=m\nFafst man das Resultat mit dem vorhergehenden zusammen,\na,\n2\tn=l, 2, ..oo\nVerf\u00e4hrt man ebenso bei bn, so ergeben sich \u00e4hnliche Ausdr\u00fccke.\nso folgt bisher :\t= 0 ;\tan = 0\n22*","page":315},{"file":"p0316.txt","language":"de","ocr_de":"316 \u00c4 Philipps, Analyse einer Periode von m Sinusschwingungen usw.\nMan findet:\nbn = \u2014 jsin 0 \u2014 sin 27tn bn =-----\u2014 \u2022 sin 2rtn \u2022\ni\nrm\n) nr rm\nn'\n7t\no\nm-\nn\n(14)\nbn verschwindet f\u00fcr alle n =j= m. Der Fall n = m ist als unbestimmte Form jj wieder getrennt zu untersuchen.\n'm\n(f'(n)l\t\t\u2014 rm \u2022 2tz cos 2tz\\\\\ny(n)\t\t\u2014 2/rn\n= r cos 2/rm \u2014 r\nn=m\nn=m\nDas aus den Formeln (12) gewonnene Resultat:\na.\nr = 0;\natt = 0 ;\nn=l, 2,..oo\nbn =\n11=1, 2,. . . OO\nn=|= m\n0\n'm\ndeckt sich also vollkommen mit dem schon vorher angegebenem.\nDie hier in K\u00fcrze dargelegten Untersuchungen \u00fcber die Analyse von m Sinusschwingungen verschiedener Wellenl\u00e4nge und Amplitude sollen nur als Beispiel dienen f\u00fcr die Anwendung der Fourierreihe auf Klanganalyse schlechthin, die immer dann eine besonders einfache Form annimmt, wenn f(x) wie hier ein integrierbarer Ausdruck ist. Anderenfalls mufs man zur Durchf\u00fchrung der harmonischen Analyse zu graphischen oder numerischen N\u00e4herungsmethoden greifen, die immer noch gegen\u00fcber den experimentellen Verfahrungsweisen (z. B. Resonatoren) den Vorteil einer genauen quantitativen Bestimmung haben.","page":316}],"identifier":"lit35966","issued":"1926","language":"de","pages":"307-316","startpages":"307","title":"Analyse einer Periode von m Sinusschwingungen verschiedener Wellenl\u00e4nge und Amplitude: Ein Beitrag zur Fourieranalyse","type":"Journal Article","volume":"57"},"revision":0,"updated":"2022-01-31T16:42:48.677961+00:00"}