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{"created":"2022-01-31T16:43:16.865569+00:00","id":"lit36047","links":{},"metadata":{"alternative":"Zeitschrift f\u00fcr Sinnesphysiologie","contributors":[{"name":"Koch, Hans","role":"author"}],"detailsRefDisplay":"Zeitschrift f\u00fcr Sinnesphysiologie 59: 15-54","fulltext":[{"file":"p0015.txt","language":"de","ocr_de":"15\n(Aus dem Winderen Laboratorium von Oslo, Leiter Jon Alfred Mj\u00f6bn)\nDie Ewaldsche H\u00f6rtheorie\nEine Untersuchung der mathematisch-physikalischen Grundlagen der EwALDschen H\u00f6rtheorie, nebst einer allgemeinen Behandlung des Problems der erzwungenen, ged\u00e4mpften Schwingungen inhomogener Systeme\nVon\nHans Koch\nInhalt\nI. Allgemeine \u00dcbersicht\tSeite\n1. Die HELMHOLTZsche und die EwALDsche H\u00f6rtheorie.........16\nInhalt der HELMHOLTZschen Theorie, Widerspr\u00fcche und Einw\u00e4nde Die Schallbildertheorie Ewalds, ihre Leistungen und Vorz\u00fcge gegen\u00fcber der HELMHOLTZschen Theorie\n\u00a7 2. Die Grundlagen der EwALDschen Theorie.........................19\nExperimente mit Membranen. Widerspruch der Ergebnisse mit der Resonanztheorie\n\u00a7 3. Grundlage und Aufgabe der vorliegenden Arbeit................20\nDer Widerspruch zwischen den beiden Theorien Das Problem der H\u00f6he der Eigenschwingungen Einfluls der Vernachl\u00e4ssigung von L\u00e4ngsspannung und D\u00e4mpfung der Basilarmembran bei Helmholtz Der H\u00f6rbereich unterhalb des Gebietes der Eigent\u00f6ne der Membran Notwendigkeit der Ber\u00fccksichtigung der D\u00e4mpfung bei niedrigen Schwingungszahlen\n\u00dcbersicht \u00fcber den mathematischen Teil der Arbeit\n4. \u00dcbersicht \u00fcber die mathematischen Ergebnisse................22\nDie stehenden Wellen ein Ergebnis der mathematischen Ableitungen\nBestimmung der physikalischen Beschaffenheit der Basilarmembran durch Umfang und Lage des H\u00f6rbereichs unterhalb des Gebietes ihrer Eigent\u00f6ne Die obere H\u00f6rgrenze\nExperimentelle Best\u00e4tigung des Gesetzes \u00fcber den Abstand der Knotenlinien\nDie Stellung der augenblicklichen Forschung gegen\u00fcber den beiden Theorien","page":15},{"file":"p0016.txt","language":"de","ocr_de":"16\nHans Koch\nSeite\nII. Allgemeine L\u00f6sung des Problems der erzwungenen, ged\u00e4mpften Schwingungen inhomogener Systeme \u00a7 1. Aufstellung der Differentialgleichung, \u00dcbergang zur Integral-\ngleichung.......................................................32\n\u00a7 2. L\u00f6sung des zur Integralgleichung geh\u00f6renden Systems von n inhomogenen, linearen Gleichungen mit n Unbekannten...............33\n\u00a7 3.\tL\u00f6sung der Integralgleichung....................................37\n\u00a7 4.\tBeweis der Ableitungen..........................................38\n\u00a7 5.\tAbleitung von Rekursionsformeln.................................40\n\u00a7 6.\tDie homogene Gleichung..........................................42\nDer Zusammenhang mit der FBEDHOLMschen Integralgleichung \u00a7 7. L\u00f6sung der Integralgleichung, deren Kern ein Polynom in l ist 43\nIII. L\u00f6sung der Differentialgleichung der schwingenden Membran f\u00fcr spezielle Annahmen und Ableitung der Resultate Ewalds\n\u00a7 1. Ableitung der L\u00f6sung..........................................43\n\u00a7 2. Ergebnisse: Wellenl\u00e4nge des Zuges.............................49\nIntensit\u00e4t der Bewegung Grenzen des H\u00f6rbereichs\nAbh\u00e4ngigkeit der Wellenl\u00e4nge von der Tonh\u00f6he\nIS^. Kritik der HELMHOLTZschen Ableitungen...............50\nDie Verschiedenheiten der Begrenzung\nVergleich der Resultate\nEinflufs der D\u00e4mpfung bei Helmholtz\n%\nI. Allgemeine \u00dcbersicht\n\u00a7 1. Die \u00dcELMHOLTzsche und die EwALDsche\nH\u00f6rth eorie 1\nDie von Helmholtz aufgestellte Resonanztheorie des H\u00f6rens besteht in der Annahme, dafs sich die Basilarmembran des Ohres erregenden T\u00f6nen gegen\u00fcber verhalte, wie etwa das System der Saiten eines Klavieres. Es wird behauptet, dafs auf jeden erregenden Ton ein einziger, bestimmter, eng begrenzter Querstreifen der Membran anspreche. Mit Hilfe dieser Theorie lassen sich die Erscheinungen des H\u00f6rens mit grofser Vollkommenheit erkl\u00e4ren. Aber es l\u00e4fst sich nicht dar\u00fcber hinwegsehen, dafs verschiedene Einw\u00e4nde, die sich zum Teil gegen die Grundlagen der Theorie selbst richten, zum Teil ihre Unzul\u00e4nglichkeit feststellen, gewisse Eigent\u00fcmlichkeiten des Geh\u00f6rs zu erkl\u00e4ren, nicht\n1 F\u00fcr die Anregung zu dieser Arbeit und wertvolle Ratschl\u00e4ge w\u00e4hrend derselben m\u00f6chte ich meinem Lehrer, Herrn Professor R. von Mises, meinen ganz besonderen Dank aussprechen.","page":16},{"file":"p0017.txt","language":"de","ocr_de":"Die Ewaldsche H\u00f6rtheorie\n17\nwiderlegt werden zu k\u00f6nnen scheinen. Die wichtigsten von ihnen beruhen auf folgenden Beobachtungen:\nKurze T\u00f6ne werden ihrer H\u00f6he nach erkannt, wenn sie nur aus ein bis zwei Schwingungen bestehen. Nach der Resonanztheorie h\u00e4tte man sich aber bei so kurzer Dauer des erregenden Tones den Vorgang so vorzustellen, dafs durch ihn alle Resonatoren erregt werden, ohne dafs schon ein einzelner ausgew\u00e4hlt wird. Man m\u00fcfste also erwarten, dafs ein kurzer Ton als Ger\u00e4usch geh\u00f6rt w\u00fcrde, was indessen nicht der Fall ist.\nAus der Theorie sollte ferner eine individuell genau umschriebene untere und obere H\u00f6rgrenze folgen. Dafs dies aber nicht der Fall ist, zeigt schon der immer noch nicht abgeschlossene Streit \u00fcber die Bestimmung der oberen H\u00f6rgrenze. Die Angaben schwanken von etwa 16000 bis 68000 Schwingungen. Eine Reihe anderer Widerspr\u00fcche kann hier aufser acht gelassen werden, da sich ihre Erledigung von selbst ergeben wird. Auf einige werden wir ausf\u00fchrlich zur\u00fcckkommen.\nDer haupts\u00e4chlichste Einwand ist aber wohl der gegen die H\u00f6he der Eigenschwingungen der Basilarmembran. Es erscheint physikalisch unm\u00f6glich, dafs ein so kleines Gebilde wie die Basilarmembran des Ohres so tiefe Eigenschwingungen aufweisen soll, wie es den T\u00f6nen unseres H\u00f6rbereichs entspricht.\nGerade dieser Ein wand scheint nun zun\u00e4chst auch f\u00fcr die EwALDsche Theorie gelten zu sollen, die ja auch, wie Ewald betont hat, eine \u201eResonanztheorie\u201c ist. Wir werden indessen sp\u00e4ter sehen, dafs gerade dieser Punkt eine der st\u00e4rksten St\u00fctzen der EwALDschen Theorie zu bilden scheint.\nDagegen d\u00fcrfte derselbe Einwand seine Berechtigung wohl gegen\u00fcber der neuen Erweiterung der HELMHOLTzschen Theorie von Lux und Roaf-Fletcher 1 behalten. Danach werden die schwingungsf\u00e4higen Gebilde aus den Massen und Elastizit\u00e4ten der Schneckenfl\u00fcssigkeit und aus der h\u00e4utigen Scheidewand zusammengesetzt. Man kann sich den Vorgang am einfachsten so vorstellen, dafs je nach der Frequenz des erregenden Tones l\u00e4ngere oder k\u00fcrzere Fl\u00fcssigkeitss\u00e4ulen in Mitschwingung geraten, die durch die Basilarmembran getrennt sind. Am Ende der beiden Fl\u00fcssigkeitss\u00e4ulen hat die Bewegung der Basilarmembran\n1 s. Erwin Meyer, Das Geh\u00f6r. Handbuch der Physik 8, Kap. 11, Ziff. 35 ff. Herausg. von Geiger und Scheel. Berlin 1927.\nZeitschr. f. Sinnesphysiol. 59.\n2","page":17},{"file":"p0018.txt","language":"de","ocr_de":"18\nHans Koch\nein Maximum, das also wie bei Helmholtz immer an einer bestimmten Stelle der Membran zu suchen ist. Bei den Modellversuchen wurde als r\u00fccktreibende Kraft die Schwerkraft benutzt, die bei den Vorg\u00e4ngen in der Schnecke durch elastische Kr\u00e4fte ersetzt gedacht werden m\u00fcfste, und dann bleibt eben wieder die Frage offen, ob eine Abstimmung so kleiner Gebilde auf tiefe T\u00f6ne m\u00f6glich ist. Auch zur Erkl\u00e4rung solcher Erscheinungen wie des \u201enormalen Falschh\u00f6rens\u201c d\u00fcrfte diese Theorie nicht geeignet sein, w\u00e4hrend man diese Beobachtungen aus der Ewald-schen Theorie leicht erkl\u00e4ren kann, wie wir sp\u00e4ter sehen werden. Der Vorzug der Theorie von Lux und Roae - Fletcher besteht darin, dafs sie weit mehr als die HELMHOLTzsche den physikalischen Bedingungen in der Schnecke gerecht zu werden strebt. Ihre anatomisch-physiologischen Grundlagen scheinen indessen doch noch eingehender Untersuchungen zu bed\u00fcrfen, da ja auch das Ersetzen des Ductus cochlearis durch die Basilarmembran nur eine N\u00e4herung an die komplizierten Verh\u00e4ltnisse in der Schnecke darstellt. Wenden wir uns nun der EwALDschen Theorie zu.\nNach der Theorie des Physiologen J. R. Ewald 1 wird durch den erregenden Ton nicht eine einzelne Stelle der Basilarmembran in Schwingungen versetzt, sondern es werden durch den zugeleiteten Schall auf der Basilarmembran Schallbilder erzeugt. Jedem Ton entspricht ein Zug stehender Wellen, der sich in der L\u00e4ngsrichtung \u00fcber die Membran erstreckt, und dessen Knotenlinien bei tiefen T\u00f6nen grofsen, bei hohen T\u00f6nen kleinen Abstand voneinander haben. Die Gr\u00f6fse des Abstandes ist der Tonh\u00f6he umgekehrt proportional. Ger\u00e4uschen entsprechen laufende Wellen.\nDieser Theorie bieten die oben angef\u00fchrten Beobachtungen offenbar keine Schwierigkeiten. Durch einen auch nur kurz andauernden Ton wird der ihm eigent\u00fcmliche Wellenzug erzeugt, und die Tonh\u00f6he kann erkannt werden. An der oberen H\u00f6rgrenze wird sich durch immer st\u00e4rkeres Aneinanderr\u00fccken der Knotenlinien ein allm\u00e4hliches Aufh\u00f6ren der akustischen Wahrnehmungen ergeben. Auch die Erscheinungen der Konsonanz erkl\u00e4ren sich aus den Schallbildern sehr einfach ; da der Ab-\n1 J. R. Ewald, Pfl\u00fcgers Archiv 76, S. 147. 1899; 98, S. 485. 1903; 124, S. 29. 1908; 131, S. 188. 1910.","page":18},{"file":"p0019.txt","language":"de","ocr_de":"Die Eivaldsche H\u00f6rtheorie\n19\nstand benachbarter Knotenlinien f\u00fcr die Oktave nur halb so grofs ist wie f\u00fcr den Grundton, geht das Bild der Oktave aus dem des Grundtons dadurch hervor, dafs zwischen je zwei Knotenlinien des Grundtons eine neue Knotenlinie eingeschoben wird. So kommt es, dafs der achte Ton genau so klingt wie der erste. Der Unterschied zwischen hohen und tiefen T\u00f6nen ergibt sich nicht nur aus dem Abstand der Knotenlinien, sondern auch durch die Lage der Wellenb\u00e4uche selbst. Tiefen T\u00f6nen entsprechen breite Erregungsstrecken.\nF\u00fcr das Erkennen des Tones kommt es nur auf die r\u00e4umliche Verteilung der Erregungszentren an. Daher kann bei Sch\u00e4digung einer Nervenfaser nicht der zugeh\u00f6rige Resonator ausfallen, was nach Helmholtz m\u00f6glich w\u00e4re.\n\u00a7 2. Die Grundlagen der EwALDschen Theorie\nEwald wurde auf seine Theorie durch Versuche mit Membranen gef\u00fchrt, mit denen er die HELMHOLTzsche Theorie experimentell nachpr\u00fcfen wollte. Dabei gelang es ihm nie, die von Helmholtz angegebenen Schwingungsformen zu erzeugen. Ob er seine Membran gleichbreit oder sich verschm\u00e4lernd, aus Gummi oder einem anderen Material w\u00e4hlte, immer erhielt er stehende Wellenz\u00fcge. So ging er schliefslich dazu \u00fcber, eine H\u00f6rtheorie auf diesen experimentellen Grundlagen aufzubauen. Es gelang ihm mit Hilfe der von ihm konstruierten \u201eCamera acustiea\u201c die \u201eSchallbilder\u201c an einer nur 0,55 mm breiten und 8,5 mm langen Membran zu beobachten und zu photographieren. Die T\u00f6ne wurden bei diesen Experimenten mit einer Galtonpfeife erzeugt, und die Abst\u00e4nde der Knotenlinien mikroskopisch gemessen. Es gelang auch r\u00fcckw\u00e4rts aus der Gr\u00f6fse des gemessenen Abstandes die zugeh\u00f6rige Einstellung der Galtonpfeife genau zu bestimmen.1\nEwald soll auch versucht haben, die von ihm entdeckten Schwingungsformen analytisch abzuleiten, doch ist ihm das nicht gelungen. Darin liegt vielleicht zum Teil der Grund daf\u00fcr, dafs sich seine in vielfacher Hinsicht bestechende Theorie verh\u00e4ltnis-m\u00e4fsig wenig durchgesetzt hat. Denn die mathematische Ableitung, die Helmholtz seiner Theorie gegeben hatte, schien\n1 Herr Professor M. Gildemeister, der im Besitze der von Ewald verwendeten Apparate war, hatte die Liebensw\u00fcrdigkeit, mir einen \u00dcberblick \u00fcber die Arbeitsmethoden und Resultate Ewalds zu geben.\n2*","page":19},{"file":"p0020.txt","language":"de","ocr_de":"20\nHans Koch\ngegen Ewald zu sprechen. Der Unterschied in den Voraussetzungen besteht zwischen den beiden Theorien eigentlich nur darin, dafs Ewald eine rechteckige Membran benutzt, w\u00e4hrend Helmholtz yon einer spitzwinklig dreieckigen Form der Membran ausgeht. Nun kann man aber aus der HELMHOLTzschen Ableitung durch einen Grenz\u00fcbergang leicht den Fall der rechteckigen Begrenzung erhalten, ohne jedoch auf die von Ewald beobachteten Schwingungsformen gef\u00fchrt zu werden. Es wird darum die Aufgabe der vorliegenden Arbeit sein, die Gr\u00fcnde f\u00fcr diesen Widerspruch aufzusuchen und eine analytische Ableitung der Resultate Ewalds zu geben.\n\u00a7 3. Ausgangspunkte und Aufgaben der\nvorliegenden Arbeit\nDie mathematisch-physikalische Untersuchung der Schwingungsformen der Basilarmembran wird also vor allem die Frage zu beantworten haben, worauf die v\u00f6llige Verschiedenheit der von Ewald beobachteten Schallbilder und der von Helmholtz analytisch gefundenen Bewegungsformen beruht.\nEin anderes Problem, das bisher nicht zufriedenstellend beantwortet wurde, ist die Frage, wie es m\u00f6glich ist, dafs ein so kleiner K\u00f6rper wie die Basilarmembran des menschlichen Ohres Eigenschwingungen von so niedriger Schwingungszahl besitzt wie die T\u00f6ne des H\u00f6rbereiches. Denn Helmholtz verwendet nur die Eigent\u00f6ne der Membran. Man sollte aber von vornherein erwarten, dafs die Eigent\u00f6ne der Basilarmembran viel h\u00f6her liegen als unser H\u00f6rbereich. Es wird sich zeigen, dafs gerade diese Frage geeignet ist, die Verschiedenheiten der beiden Theorien zu erkl\u00e4ren.\nFerner gelangt Helmholtz zu seinem Resultat durch zwei Voraussetzungen, die man nicht ohne weiteres als gegeben annehmen darf. Einmal macht er die Annahme, dafs die L\u00e4ngsspannung der Membran gleich Null sei. Daraus mufs dann nat\u00fcrlich folgen, dafs die Membran reagiert, wie ein System unverbundener, nebeneinander gespannter Saiten. In Wirklichkeit wird aber doch die L\u00e4ngsspannung nicht v\u00f6llig verschwinden, sondern nur sehr klein sein. Zweitens ergibt sich aus seinen Ableitungen, dafs die Erregung durch einen bestimmten Ton sich nur dann auf einen eng begrenzten Querstreifen der Membran beschr\u00e4nkt, wenn die D\u00e4mpfung hinreichend klein ist.","page":20},{"file":"p0021.txt","language":"de","ocr_de":"Die Ewaldsche H\u00f6rtheorie\n21\nEs liegt nun nahe, daran zu denken, die Schallbilder nicht durch die Eigenschwingungen der Basilarmembran zu erkl\u00e4ren, sondern durch die erzwungenen Schwingungen, die unterhalb des tiefsten Eigentones der Membran liegen. Es w\u00e4re dann zu untersuchen, wie die Membran beschaffen sein mufs, wenn der ganze H\u00f6rbereich unterhalb des Gebietes ihrer Eigent\u00f6ne liegen soll. Im folgenden werden die Bedingungen hierf\u00fcr aufgestellt werden, und es wird sich ergeben, dafs der Bau der Basilarmembran eine Berechtigung zu dieser Annahme zu geben scheint. Zugleich ergibt sich analytisch die Existenz der EwALDschen Schallbilder.\nBei der Untersuchung von Schwingungen mit kleiner Schwingungszahl darf man aber die D\u00e4mpfung nicht mehr vernachl\u00e4ssigen, wie eine einfache Betrachtung zeigt. Nimmt man n\u00e4mlich die Gleichung der schwingenden Membran nach Beseitigung des Zeitfaktors in der Form an :\nA z = Pjuz -j- ly z \u2014 f,\nwo ju die Massendichte, y die D\u00e4mpfung, f die Verteilung der \u00e4ufseren Kraft bezeichnet, und y und f Funktionen von x und y sind, so folgt, dafs der Zustand der Membran sich schliefs-lich in der Form darstellen lassen wird :\nz = z(f, V2//, ly).\nDas heifst, der Bewegungszustand der Membran ist abh\u00e4ngig von der Verteilung f der \u00e4ufseren Kraft \u00fcber ihre Fl\u00e4che, ferner ist er eine Funktion der Massendichte /j, der Membran multipliziert mit dem Quadrat der Frequenz l des erregenden Tones, und schliefslich ist er abh\u00e4ngig von der D\u00e4mpfung y multipliziert mit l. Bei kleinem l wird demnach im allgemeinen der Einflufs von ly gr\u00f6fser sein als der von A2//, also der Einflufs der D\u00e4mpfung nicht vernachl\u00e4ssigt werden d\u00fcrfen.\nWenn die Verteilung der \u00e4ufseren Kraft durch die erzwingende Bewegung bestimmt w\u00fcrde, nicht aber durch den Bau und die Eigent\u00fcmlichkeiten des Ohres, k\u00f6nnte man daran denken, die Klangfarbe durch die verschiedenen Formen der Verteilungsfunktion f zu erkl\u00e4ren. Nun erkl\u00e4rt man nach Helmholtz die Klangfarbe allein durch Zahl und St\u00e4rke der Obert\u00f6ne. Doch w\u00fcrde, wie Herr Professor von Mises hervorhebt, die ungeheure Mannigfaltigkeit der Klangschattierungen m\u00f6glicherweise eine viel umfassendere Erkl\u00e4rung erfahren, wenn es","page":21},{"file":"p0022.txt","language":"de","ocr_de":"22\nHans Koch\ngel\u00e4nge, \u00fcber die Funktion f genauere Aufschl\u00fcsse zu bekommen. F\u00fcr die meisten Zwecke wird es indessen immer gen\u00fcgen, f als konstant zu betrachten.\nDie Behandlung des allgemeinen Schwingungsproblems f\u00fcr eine beliebige, gew\u00f6hnliche Begrenzung bei der Annahme, dafs sowohl die Spannungen, die Massendichte, die \u00e4ufsere Kraft als auch die D\u00e4mpfung Funktionen des Ortes seien, bereitet aber gerade dann Schwierigkeiten, wenn man die D\u00e4mpfung mit ber\u00fccksichtigen will. Es wird daher im folgenden zuerst eine allgemeine L\u00f6sung des Problems der erzwungenen, ged\u00e4mpften Schwingungen eines inhomogenen Systems abgeleitet werden, indem gezeigt wird, dafs die L\u00f6sung sich mit Hilfe von Integralgleichungen in einer Form darstellen l\u00e4fst, in der die Fredholm-HiLBERTschen Integralformeln als spezieller Fall enthalten sind. Dabei ergibt sich allgemein, dafs die niedrigsten Koeffizienten in der Entwicklung nach l nur von der D\u00e4mpfung abh\u00e4ngen [s. II, (19), (21), (29)].\nDer Nachweis f\u00fcr die Existenz der von Ewald beobachteten Schallbilder wird sich sodann aus einer Behandlung der Differentialgleichung der schwingenden Membran ergeben. Dabei werden zugleich die Bedingungen abgeleitet werden, die physikalisch von der Membran erf\u00fcllt sein m\u00fcssen, wenn sie den durch den Umfang des H\u00f6rbereichs und die Leistungen des Ohres an sie gestellten Forderungen entsprechen soll. Damit wird dann auch die M\u00f6glichkeit gegeben, den Unterschied zwischen der HELMHOLTZschen und der EwALDschen Theorie genau zu charakterisieren, und eine Grundlage f\u00fcr eine Kritik der HELMHOLTzschen Theorie geschaffen, die den Schlufs der Ausf\u00fchrungen bildet.\n\u00a7 4. \u00dcbersicht \u00fcber die mathematischen Ergebnisse\nF\u00fcr die Beurteilung und Bedeutung der folgenden mathematischen Entwicklungen ist es gewifs von grofser Wichtigkeit, dafs es Ewald gelungen ist, seine Schallbilder an einem Modell von nat\u00fcrlicher Gr\u00f6fse nachzuweisen. Er hat in seiner Camera acustica eine Membran beobachtet, die, wie bereits erw\u00e4hnt, nur 0,55 mm breit und 8,5 mm lang war, und die so d\u00fcnn war, dafs sie NEWTONsche Farbenringe zeigte. Diese Mafse entsprechen mit grofser Ann\u00e4herung den Gr\u00f6fsenVerh\u00e4ltnissen der Basilar-membran, die aus einem d\u00fcnnen H\u00e4utchen besteht, dessen L\u00e4nge","page":22},{"file":"p0023.txt","language":"de","ocr_de":"Die Ewaldsche H\u00f6rtheorie\n23\nnach den Angaben von Hensen 8,5 mm und dessen Breite am einen Ende 0,04 mm, am anderen Ende 0,49 mm betr\u00e4gt. Nach den Messungen von Retzius ist die Breite an der Basis 0,21 mm, in der Mitte der Schnecke 0,34 und an der Spitze 0,36 mm. Nach Hensen w\u00e4re die Membran etwa einem Paralleltrapez zu vergleichen, dessen H\u00f6he 26 mal so lang ist wie seine Mittellinie. Die Gestalt des langgestreckten Rechtecks gibt jedenfalls eine gute N\u00e4herung. In der Schnecke ist die Basilarmembran in die Geh\u00f6rfl\u00fcssigkeit gebettet. In der Camera acustica, die im \u00fcbrigen die anatomischen Verh\u00e4ltnisse der Schnecke schematisch nachahmt, befand sich die Versuchsmembran unter Wasser.\nDie Ableitungen (in Teil III) werden die Existenz der stehenden Wellen best\u00e4tigen. Danach bildet sich in jeder H\u00e4lfte der Membran ein Wellenzug aus, der am st\u00e4rksten an den Enden der Membran ausgepr\u00e4gt ist, und dessen Intensit\u00e4t nach der Mitte zu abnimmt. Dies d\u00fcrfte den Beobachtungen Ewalds entsprechen, bei dessen Versuchen die Wellen nicht \u00fcber die ganze Membran gleichm\u00e4fsig stark ausgebildet waren.\nAus der Forderung, dafs sich der H\u00f6rbereich unterhalb des Gebietes der Eigenschwingungen der Membran befinden soll, ergeben sich die physikalischen Bedingungen f\u00fcr die Beschaffenheit der Membran. Es zeigt sich, dafs der H\u00f6rbereich um so gr\u00f6fser wird, je d\u00fcnner die Membran ist, und je grofser die Quotienten Querspannung durch Breite und L\u00e4nge durch L\u00e4ngsspannung sind.\nInsbesondere ist, nach III (46), die obere H\u00f6rgrenze umgekehrt proportional der Breite, und direkt proportional der Quadratwurzel aus dem Quotienten Querspannung durch Massendichte der Membran. Eine genaue Bestimmung der oberen H\u00f6rgrenze, die immer noch umstritten ist, wird sich indessen auch aus diesen physikalischen Zusammenh\u00e4ngen kaum ergeben Denn die Grenze, die sich hier ergibt, bedeutet nur die obere Grenze des Gebietes unterhalb der Eigenschwingungen der Membran, die aber nat\u00fcrlich auch auf T\u00f6ne noch h\u00f6herer Schwingungszahl ansprechen kann. Nur werden die Abst\u00e4nde der Knotenlinien so klein werden, dafs ein Erkennen und Wahrnehmen dieser T\u00f6ne unm\u00f6glich wird. Aber das Aufh\u00f6ren der H\u00f6rf\u00e4higkeit wird sich nicht pl\u00f6tzlich vollziehen, wie es nach der HELMHOLTzschen Theorie zu erwarten sein sollte, wo mit der l\u00e4ngsten \u201eSaite\u201c auch der tiefste und mit der k\u00fcrzesten der","page":23},{"file":"p0024.txt","language":"de","ocr_de":"24\nHans Koch\nh\u00f6chste Ton des H\u00f6rbereichs festgelegt sein m\u00fcfste. Sondern je mehr die Knotenlinien aneinanderr\u00fcoken, um so mehr wird die F\u00e4higkeit des CoRTischen Organs versagen, die verschiedenen Schallbilder auseinander zu halten, da seiner Leistungsf\u00e4higkeit durch die Dichtigkeit der Nervenendfasern eine Grenze gesetzt ist.\nDie obere H\u00f6rgrenze liegt nach Ewald bei 16000 Schwingungen, nach Carl Stumpe1 2 bei 22 000, w\u00e4hrend demgegen\u00fcber Wolegang K\u00f6hler 2 sie zwischen 34000 und 68000 annimmt. Nach dem obigen kann man durchaus mit einer solchen M\u00f6glichkeit rechnen. Man h\u00e4tte etwa nach dem Vorschlag von Stumpf zwischen einer Tongrenze und einer H\u00f6rgrenze zu unterscheiden. Wahrscheinlich wird die Tongrenze, d. h. die Grenze f\u00fcr die h\u00f6chsten der H\u00f6he nach erkennbare T\u00f6ne ungef\u00e4hr bei 16000 liegen. Nach der physikalischen Beschaffenheit der Basilar-membran wird man annehmen k\u00f6nnen, dafs in dieser H\u00f6he die Eigenschwingungen der Membran beginnen [s. III (46)]. T\u00f6ne oberhalb dieser Grenze kann man dann noch wahrnehmen, nicht aber mehr der H\u00f6he nach erkennen, bis schliefslich die Wellenl\u00e4nge so klein wird, dafs auch die Wahrnehmungsf\u00e4higkeit auf-h\u00f6rt, weil die Verteilung der Nervenendfasern nicht mehr fein genug ist.\nDafs aber oberhalb der jetzt meist als Grenze angenommenen H\u00f6he von 16000 bis 20000 noch Wahrnehmungen gemacht werden, ist nach den Bemerkungen K\u00f6hlers im Zusammenhang mit seiner Theorie der Sprachlaute und dem Oktavengesetz sehr wahrscheinlich. Danach ist die Tonfarbe in gewissem Sinne von der Frequenz abh\u00e4ngig. Die Helligkeit des Tones hat ein Maximum bei 8400 und nimmt weiter nach oben hin wieder ab. Der Ton hat in dieser H\u00f6he einen ausgesprochenen S- Charakter, und was man als obere Grenze bisher hat feststellen wollen, etwa 17 000, war jedenfalls die Stelle, wo die feinsten Spuren der hellen spitzen S-T\u00f6ne verschwinden. Dar\u00fcber hinaus empfand man \u2014 bei Versuchen mit der Galtonpfeife \u2014 das dann auftretende \u201eBlaseger\u00e4usch\u201c als st\u00f6rend. K\u00f6hler macht nun darauf aufmerksam, dafs dieses Blaseger\u00e4usch doch nur in dieser Region so stark auftritt. Stellt man die Galtonpfeife\n1\tCarl Stumpf, Die Sprachlaute. Berlin 1926.\n2\tWolfgang K\u00f6hler, Akustische Untersuchungen. Zeitschrift f\u00fcr Psychologie 64. 1913: 72. 1915.","page":24},{"file":"p0025.txt","language":"de","ocr_de":"Die Ewaldsche H\u00f6rtheorie\n25\nauf i ein, 4200, oder auf S, 8400, so h\u00f6rt man das Blaseger\u00e4usch nur schwach. Es wird auch nicht von den lauten T\u00f6nen \u00fcberdeckt. Denn vernichtet man diese durch Interferenz, so h\u00f6rt man bei 4200, dem i, nur wenig davon und bei 8400, dem S, nicht viel. Bei 17000 nimmt das Blaseger\u00e4usch einen ausgesprochen reinen F-Charakter an. Auch ein als c7 bezeichneter angeschlagener Stab liefs neben einem feinen, spitzen S deutlich F vernehmen. Demnach hat man also wohl anzunehmen, dafs man es in dieser Region noch nicht mit einer H\u00f6rgrenze zu tun hat, sondern dafs die Tonfarbe in dieser H\u00f6he einen F-Charakter besitzt.\nNach Helmholtz w\u00e4re es auch unerkl\u00e4rbar, warum die obere H\u00f6rgrenze mit zunehmendem Alter sinkt, w\u00e4hrend die untere H\u00f6rgrenze und die H\u00f6rf\u00e4higkeit im \u00fcbrigen unge\u00e4ndert bleibt. Nach den Messungen von Gtldemeister sinkt die H\u00f6rgrenze im Alter bis auf etwa 9000, was nach Helmholtz bedeuten w\u00fcrde, dafs fast die H\u00e4lfte der Membran aufser Funktion gesetzt w\u00e4re. Eine Begr\u00fcndung mit einem Nachlassen der Querspannung oder einer Zunahme der D\u00e4mpfung, womit nach Ewald [III (46)] diese Erscheinung wohl am einfachsten zu erkl\u00e4ren w\u00e4re, ist bei Helmholtz wegen den spezifischen Energien nicht m\u00f6glich. Auch eine mit dem Alter zunehmende Steifigkeit, die zuerst den schmaleren Teil in seiner Schwingungsf\u00e4higkeit beeintr\u00e4chtigen w\u00fcrde, m\u00fcfste zugleich andere Erscheinungen im unteren H\u00f6rbereich zur Folge haben, wovon nichts beobachtet ist. Ebenso w\u00fcrde die Abh\u00e4ngigkeit der oberen H\u00f6rgrenze von der Intensit\u00e4t1 die hier vertretenen Anschauungen best\u00e4tigen, dagegen mit der HELMHOLTzschen unvereinbar sein.\nIst die Schwingungszahl n des erregenden Tones klein, d. h. geh\u00f6rt er dem unteren Teil des H\u00f6rbereichs an, so findet man, dafs die Wellenl\u00e4nge \u00c0 des durch ihn erzeugten Zuges proportional ist \u2014. F\u00fcr die n\u00e4chst h\u00f6here Oktave sinkt also die Wellenl\u00e4nge auf die H\u00e4lfte. Ist dagegen der erregende Ton hoch, so wird 1 proportional -jL-, Hieraus l\u00e4fst sich vielleicht\n__________ In\n1 M. Gildemeisteb, Untersuchungen \u00fcber die obere H\u00f6rgrenze. Zeitschrift f\u00fcr Sinnesphysiologie 50 (4), S. 161. 1918. \u2014 Bemerkungen zur Theorie des H\u00f6rens. Ebenda S. 192. \u2014 H\u00f6rschwellen und H\u00f6rgrenzen. Handbuch der normalen und pathologischen Physiologie, herausgegeben von Bethe u. a. Berlin 1926.","page":25},{"file":"p0026.txt","language":"de","ocr_de":"26\nHans Koch\nerkl\u00e4ren, dafs schon in verh\u00e4ltnism\u00e4fsig niedrigen Lagen die Intervallempfindlichkeit und die Tonh\u00f6henunterschiedsempfindlichkeit mehr und mehr verschwindet. Wie Helmholtz angibt, wird schon die Terz cv\u2014ev (4096 und 5120 Schwingungen) auch von ge\u00fcbten Musikern falsch gesch\u00e4tzt, bald als Sekunde, bald als Quarte oder Quinte. In noch h\u00f6heren Lagen wurden, nach Helmholtz, Oktaven und Quinten verwechselt.\nDa f\u00fcr hohe T\u00f6ne die Wellenl\u00e4nge proportional \u2014 wird,\nIn\nsollte eine Tendenz bestehen, Intervalle hoher T\u00f6ne zu klein zu sch\u00e4tzen. Die T\u00f6ne r\u00fccken gleichsam aneinander, und die Unterscheidungsf\u00e4higkeit wird so verringert. Bei Versuchen, die ich am Winderen Laboratorium (bei Oslo, Norwegen) vorgenommen habe, wurden zwischen 7000 und 9000 Schwingungen Intervalle bis zu 1000, zwischen 11000 und 13000 Intervalle bis zu 2000 Schwingungen nicht als Intervalle geh\u00f6rt. Die T\u00f6ne wurden mit einer Galtonpfeife erzeugt. Da die Vpn. fast immer das Gef\u00fchl haben zu h\u00f6ren, welcher von zwei T\u00f6nen der h\u00f6here ist, und daher, auch wenn sie keinen Unterschied h\u00f6ren, eine Antwort geben, die also gewissermafsen geraten ist, wurde so verfahren, dafs jeder von ihnen 100 Paare verschieden hoher T\u00f6ne vorgespielt wurden. Nach jedem Tonpaar trug die Vp. in ein vorgelegtes Schema ein, ob sie den zweiten Ton f\u00fcr h\u00f6her oder tiefer hielt als den ersten. Es ist klar, dafs die H\u00e4lfte der Antworten falsch sein mufs, wenn in Wirklichkeit geraten wurde, das Gef\u00fchl also eine Selbstt\u00e4uschung war. Der zweite Ton war in den Proben ebensooft h\u00f6her wie tiefer als der erste. F\u00fcr das Resultat ist aber offenbar Zahlenverh\u00e4ltnis und Reihenfolge der verschiedenen Tonpaare gleichg\u00fcltig. Es ergab sich bei 17 Vpn., dafs von den Antworten nicht mehr als 47 \u00b0/0 bis 53 \u00b0/0 richtig waren. Daraus geht hervor, dafs sie in Wirklichkeit \u201eh\u00f6her oder tiefer\u201c nicht mehr unterscheiden konnten. Da die Frage nach der Gleichheit der T\u00f6ne nicht mit eingeschlossen war, kann man nichts dar\u00fcber aussagen, ob sie \u00fcberhaupt einen Unterschied h\u00f6rten. Es wurde vor der Probe gesagt, dafs kein Tonpaar aus gleichhohen T\u00f6nen best\u00e4nde. Jedenfalls konnten einige Vpn. bei einem Intervall von 5000 Schwingungen (11000 und 16000) keine Verschiedenheit h\u00f6ren. Der auffallende Mangel an Tonunterscheidungsverm\u00f6gen in diesen Lagen d\u00fcrfte wohl auch dazu Anlafs geben, die obere H\u00f6rgrenze (Tongrenze) ungef\u00e4hr bei","page":26},{"file":"p0027.txt","language":"de","ocr_de":"Die Ewaldsche H\u00f6rtheorie\n27\n16000 anzunehmen. Die von mir untersuchten Personen waren weniger als 40 Jahre alt und im Sinne der \u201eRangordnung des Winderen Laboratoriums\u201c sehr musikalisch.1 2 3\nEine weitgehende Best\u00e4tigung findet aber das hier auf mathematischem Wege gefundene Gesetz \u00fcber den Abstand der Knotenlinien, nach dem hohe T\u00f6ne zu tief beurteilt und die Intervalle hoher T\u00f6ne zu klein gesch\u00e4tzt werden sollten, durch die experimentellen Untersuchungen Wolfgang K\u00f6hlers 2 und C. von Maltzews 3 \u00fcber das \u201enormale Falschh\u00f6ren\u201c. Nach diesen sorgf\u00e4ltig durchgef\u00fchrten Untersuchungen besteht in der zweiten H\u00e4lfte der viergestrichenen und in der f\u00fcnfgestrichenen Oktave die Neigung, Intervalle zu klein zu sch\u00e4tzen und T\u00f6ne zu tief nachzusingen. In der f\u00fcnfgestrichenen Oktave wird \u00fcberhaupt das Nachsingen schwierig. Vpn. mit absolutem Ton-bewufstsein sch\u00e4tzen gegen c5 die T\u00f6ne zu tief, in der f\u00fcnfgestrichenen Oktave wird die Bestimmung ganz unsicher. Das \u201eFalschh\u00f6ren\u201c nimmt nur langsam zu. So kommt es, dafs in der viergestrichenen Oktave kleine Intervalle, wie die kleine Sekunde h4\u2014c5, die grofse Sekunde a4\u2014h4, die grofse Terz a4\u2014c5 noch h\u00e4ufig richtig beurteilt wurden.\nAuf h\u00f6here Tonlagen sind diese Untersuchungen nicht ausgedehnt worden. Die gefundenen Ergebnisse gen\u00fcgen jedoch zum Nachweis der Existenz der Geh\u00f6rserscheinung, der Erniedrigung hoher Tonh\u00f6hen, die aus der EwALDschen Theorie gefolgert werden mufs, und sind so als eine starke St\u00fctze f\u00fcr diese Theorie zu betrachten. Sie w\u00e4ren durch Untersuchungen in noch h\u00f6heren Tonlagen, als bisher ber\u00fccksichtigt wurden, zu erg\u00e4nzen, vielleicht nach den Methoden von Seashore.4 Im Sinne der hier vertretenen Anschauung w\u00e4re dann der Satz C. von Maltzews (Zeitschr. f. Psychol. 64, S. 214): dafs die wahrgenommenen Tonh\u00f6hen in der zweiten H\u00e4lfte der viergestrichenen und in der f\u00fcnfgestrichenen Oktave von dem abweichen, was man der Schwingungszahl nach erwarten sollte, dahin abzu\u00e4ndern: dafs sie von dem abweichen, was man nach den f\u00fcr\n1\tJon Alfred Mj\u00f6en, Zur psychologischen Bestimmung der Musikalit\u00e4t. Zeitschrift f\u00fcr angewandte Psychologie 27. (3). 1926.\n2\tWolfgang K\u00f6hler, a. a. O.\n3\tC. von Maltzew, Das Erkennen sukzessiv gegebener musikalischer\nIntervalle in den \u00e4ufseren Tonregionen. Zeitschrift f\u00fcr Psychologie 64.\t1913.\n4\tC. E. Seashore, The psychology of musical talent. Boston 1919.","page":27},{"file":"p0028.txt","language":"de","ocr_de":"28\nHans Koch\ndie Wahrnehmung von T\u00f6nen kleinerer Schwingungszahlen g\u00fcltigen Gesetzen zu erwarten h\u00e4tte. Denn physikalisch wird nat\u00fcrlich das Schallbild durch die Tonh\u00f6he vollst\u00e4ndig bestimmt.\n\u00dcber die Basilarmembran sind l\u00e4ngs der Mittellinie die 4200 ConTischen B\u00f6gen verteilt, die wahrscheinlich die Aufgabe haben, die Bewegungen der Membran den Endfasern des nervus acusticus mitzuteilen. Geht man davon aus, dafs bei dem tiefsten h\u00f6rbaren Ton nur eine Welle auf jeder Membranh\u00e4lfte gebildet wird, so wird die Zahl der Wellen bei den h\u00f6chsten erkennbaren T\u00f6nen 300 nicht \u00fcberschreiten, da der H\u00f6rbereich \u2014 jedenfalls bis zur Tongrenze \u2014 nur ungef\u00e4hr acht Oktaven betr\u00e4gt. Die Anzahl der CoRTischen B\u00f6gen w\u00fcrde demnach durchaus hinreichend sein, die genauen Geh\u00f6rsempfindungen des Ohres zu gew\u00e4hrleisten. Die Funktion des CoRTischen Organs scheint hierbei komplizierter und weniger anschaulich zu sein, als man sie sich nach der HELMHOLTzschen Theorie vorzustellen gew\u00f6hnt ist. Aber man kann sich seine T\u00e4tigkeit nach einem Vergleich von Ewald etwa so denken, wie wenn man mit blofsen F\u00fcfsen \u00fcber Strohmatten ginge. Man hat dabei ein deutliches Gef\u00fchl, ob die Halme der Matte dicht oder weit liegen, ob sie stark oder d\u00fcnn sind.\nMan hat auch versucht, die HELMHOLTzsche Theorie durch Versuche mit der Schnecke selbst zu best\u00e4tigen. Es soll gelungen sein, durch Zerst\u00f6rung der Schneckenkuppel Taubheit f\u00fcr tiefe T\u00f6ne zu erreichen. Durch tagelanges Einwirken desselben starken Tones auf das Ohr von Kaninchen soll eine bestimmte Stelle der Basilarmembran zerst\u00f6rt worden sein. Diese Versuche, die \u00fcbrigens nicht von allen Forschern best\u00e4tigt werden, sind indessen auch wohl kaum geeignet, f\u00fcr die eine oder die andere der beiden in Rede stehenden Theorien zu entscheiden. Es ist klar, dafs sich der H\u00f6rbereich bei einer Verk\u00fcrzung der Membran \u00e4ndern mufs, und die erw\u00e4hnten Beobachtungen liefsen sich auch nach der EwALDschen Theorie erkl\u00e4ren.\nNeuerdings gelang es H. Held und F. Kleinknecht 1 auf operativem Wege eine Entspannung einer engbegrenzten Stelle der Basilarmembran von Meerschweinchen herbeizuf\u00fchren und so eine Tonl\u00fccke von nur zwei T\u00f6nen zu erzeugen. Die beiden Autoren f\u00fchren bei der Beurteilung dieser Ergebnisse aus, dafs\n1 H. Held und F. Kleinknecht, Die lokale Entspannung der Basilarmembran und ihre H\u00f6rl\u00fccken. Pfl\u00fcgers Archiv 216 (1/2). 1927.","page":28},{"file":"p0029.txt","language":"de","ocr_de":"Die Ewaldsche H\u00f6r th\u00e9orie\n29\nman nicht ohne weiteres sagen kann, dafs sie mit den Befunden der EwALDschen Theorie nicht in Einklang zu bringen seien, wenn sie auch meinen, es sei zu weitgehend, wenn Ewald sagt: \u201eWill man also die Geh\u00f6rsl\u00fccken als Kriterium f\u00fcr eine H\u00f6rtheorie heranziehen, so w\u00fcrden sie in erster Linie f\u00fcr meine H\u00f6rtheorie sprechen, da ich sie sogar experimentell beobachtet habe.\u201c Wie Ewald mitteilt*, ist es ihm auch gelungen, seine Schallbilder auf der Basilarmembran eines Meerschweinchens \u201ein situ\u201c zu beobachten. Held und Kleinknecht kommen zum Schlufs zu dem Resultat, dafs ihre Ergebnisse doch am besten mit der HELMHOLTzschen oder einer ihr \u00e4hnlichen Theorie in Einklang zu bringen seien.\nIch bin jedoch aus physikalischen Gr\u00fcnden eher zu der Ansicht geneigt, dafs die Ergebnisse gegen die HELMHOLTzsche Theorie sprechen. Denn will man sie in diesem Sinne deuten, so mufs man die Annahme einer Reihe von Resonatoren machen. Nach der HELMHOLTzschen Theorie reagiert aber die Basilarmembran nur wie ein System von Resonatoren, und man darf nicht, um ihre physikalischen Eigenschaften zu untersuchen, von einem solchen System ausgehen. Die Voraussetzung, die Helmholtz bei der analytischen Begr\u00fcndung seiner Theorie macht, ist, dafs \u00fcberall eine starke Querspannung vorhanden ist, w\u00e4hrend die L\u00e4ngsspannung verschwindet. Wird nun an einer Stelle die Spannung aufgehoben, so sind auch die physikalischen Voraussetzungen, die Helmholtz gemacht hat, nicht mehr erf\u00fcllt. Die Membran mufs anders schwingen. Sie zerf\u00e4llt eher in zwei Membrane, und es ist eigentlich nach der HELMHOLTzschen Theorie gar nicht denkbar, dafs unterhalb und oberhalb der St\u00f6rungsstelle das H\u00f6rverm\u00f6gen und die Geh\u00f6rserscheinungen unge\u00e4ndert bleiben, wie es nach den Untersuchungen von Held und Kleinknecht angenommen werden mufs. Auch f\u00fcr die Theorie von Lux und Roaf-Fletcher scheinen die Ergebnisse nicht zu sprechen, da nach dieser Theorie die Querspannung der Membran wohl eine untergeordnete Rolle spielen d\u00fcrfte, und die Entstehung einer Tonl\u00fccke weniger zu erwarten w\u00e4re. Bei der von den beiden Forschern in Aussicht gestellten Fortf\u00fchrung ihrer Untersuchungen w\u00e4re es vielleicht interessant, festzustellen, ob eine Verschiebung der unteren H\u00f6rgrenze stattfindet, am\n1 J. R. Ewald, Zeniralblatt der Physiologie 28, S. 756. 1914.","page":29},{"file":"p0030.txt","language":"de","ocr_de":"30\nHans Koch\nbesten mit einer kontinuierlichen Schallquelle an Stelle der Stimmgabeln.\nEs ist gewifs auch m\u00f6glich, dafs nur der Teil der Basilar-membran in Schwingungen versetzt wird, der zwischen den CoRTischen B\u00f6gen ausgespannt ist und unter ihrem Schutze frei schwingen kann, und dafs durch die B\u00f6gen eine Verst\u00e4rkung und Regulierung der Querspannung bewirkt wird, wie es Ewald vermutet. Dafs es Ewald bei seinen Experimenten nie gelungen ist, die von der HELMHOLTZschen Theorie geforderten Schwingungsformen zu erzeugen, \u201egleichviel, ob seine Versuchsmembran gleichbreit oder sich verschm\u00e4lernd, aus Gummi oder sonst einem Material war\u201c, und er immer nur stehende Wellen erhielt, kann wegen der Kleinheit seiner Versuchsmembran nach dem obigen damit erkl\u00e4rt werden, dafs die von ihm verwendeten erregenden T\u00f6ne zu tief waren, also unterhalb der Eigenschwingungen der Membran lagen.\nTrotz ihrer vielen aufserordentlichen Vorz\u00fcge wird die Schallbildertheorie von den f\u00fchrenden Forschern augenblicklich mehr oder weniger entschieden abgelehnt. Die bedeutendsten Akustiker wie z. B. K. L. Sch\u00e4fer und E. Waetzmann stehen ganz auf Seiten der HELMHOLTZschen Lehre. Jedoch wird in der neueren Literatur gerade der EwALDschen Theorie eine besondere Beachtung geschenkt. So hebt Ziehen 1 nach der Besprechung der M\u00e4ngel der HELMHOLTZschen Hypothese die EwTALDsche Theorie als besonders ansprechend hervor. Doch kommt er zu dem Schlufs: \u201eVor allem spricht die merkw\u00fcrdige Tatsache, dafs wir aus einem Klange sehr oft die einzelnen T\u00f6ne heraush\u00f6ren, also die vorhin besprochene Zerlegung auch psycho-physiologisch \u2014 gewissermafsen im Sinne eines Resonatorenapparates \u2014 vornehmen k\u00f6nnen, noch immer sehr entschieden zugunsten der HELMHOLTZschen Theorie.\u201c Nun besteht aber auch das Schallbild eines Klanges mathematisch - begrifflich aus der Summe der Schallbilder seiner Partialt\u00f6ne, wie aus den Ableitungen in III hervorgeht. Physikalisch indessen erh\u00e4lt man die Resultante der einzelnen Bilder, so dafs tats\u00e4chlich eine Erkl\u00e4rung nach der EwALDschen Theorie nicht so einfach scheint. Wir werden hierauf gleich noch einmal ausf\u00fchrlicher zur\u00fcckkommen.\n1 Th. Ziehen, Leitfaden der physiologischen Psychologie. Jena 1924,","page":30},{"file":"p0031.txt","language":"de","ocr_de":"Die Ewaldsche H\u00f6rtheorie\n31\nAuch Carl Stumpf 1 glaubt der HELMHOLTzschen Hypothese gegen\u00fcber der EwALDschen den Vorzug geben zu m\u00fcssen. Doch bemerkt er (S. 364): \u201eAm schwersten d\u00fcrfte noch immer der Nachweis fallen, wie so winzige Teilchen, wie die Fasern der Grundmembran, auch wenn ihre starke Belastung durch den anatomischen Zusammenhang mit in Rechnung gezogen wird, auf die f\u00fcr uns h\u00f6rbaren Schallwellen, besonders die der tiefen und tiefsten T\u00f6ne, ansprechen kann. . . . Vielleicht handelt es sich doch in der Schnecke nur um ein Analogon der physikalischen Resonanz, eine \u201ephysiologische Resonanz\u201c (Hermann), f\u00fcr welche die Pendelschwingungen der Teilchen im Labyrinth nur ein vorl\u00e4ufiges anschauliches Bild geben\u201c.\nDieser Einwand gegen die H\u00f6he der Eigenschwingungen ist wohl auch der schwerwiegendste und d\u00fcrfte unm\u00f6glich zu entkr\u00e4ften sein. Er mufs geradezu auf die oben gemachte Annahme f\u00fchren, dafs der H\u00f6rbereich unterhalb der Eigenschwingungen der Membran liegt, wodurch auch der Bau und die Gestalt der Basilarmembran eine einfache physikalische Erkl\u00e4rung finden.\nEin entschiedener Gegner der EwALDschen Theorie ist auch E. Waetzmann. 1 Er f\u00fchrt an, es bleibe nach ihr vor allem ununverst\u00e4ndlich, dafs die Klangempfindung von der gegenseitigen Phase der Partialt\u00f6ne unabh\u00e4ngig ist. Das ist ein \u00e4hnlicher Einwand wie der vorhin erw\u00e4hnte von Ziehen, der auch die Zerlegung eines Klanges in seine Partialt\u00f6ne betraf. Ewald scheint hier daran gedacht zu haben, dafs die Erregungsstrecken auf der Membran klein sind, so dafs die Schallbilder verschiedener T\u00f6ne sich nicht \u00fcberdecken. In dieser Meinung best\u00e4rkten ihn wohl auch seine Aufnahmen von Kl\u00e4ngen, z. B. einer Quinte. Indessen wird man nach den neuesten Ergebnissen der psychologischen Forschung annehmen m\u00fcssen, dafs die Erkl\u00e4rung f\u00fcr die Zerlegung der Kl\u00e4nge in zentralphysiologischen, nicht in mechanischen Vorg\u00e4ngen zu suchen ist.\nZusammenfassend kann man nach den obigen Ausf\u00fchrungen sagen, dafs die Leistungsf\u00e4higkeit und Anpassungsf\u00e4higkeit der EwALDschen Theorie die der HELMHOLTzschen in wesentlichen Punkten \u00fcbertrifft. Wir kommen nunmehr zur Behandlung der mit dem vorliegenden Problem zusammenh\u00e4ngenden mathematischen Fragen.\n1 Carl Stumpf, Die Sprachlaute. Berlin 1926.\n* E. Waetzmann, H\u00f6rtheorien. Handbuch f\u00fcr normale und pathologische Physiologie. Herausgegeben von Bethe u. a. Berlin 1926.","page":31},{"file":"p0032.txt","language":"de","ocr_de":"32\nHans Koch\nII. Allgemeine L\u00f6sung des Problems der erzwungenen, ged\u00e4mpften Schwingungen inhomogener Systeme\n\u00a7 1\nDenkt man sich die Ebene einer Membran mit der x, y-Ebene eines rechtwinkligen, r\u00e4umlichen Koordinatensystems zusammenfallend und versteht unter z die Auslenkungen der Membran, so kann man ihre Schwingungsgleichung in der Form schreiben:\n(i)\n\u00f6 z\n)+\nQ\n\u00f6 z\n= H\n\u00f62z\n+ y\nd z\nA cos nt\n\u00f6xT \u00f6x/ 1 \u00f6y\\^dy/\tdt* 1 / dt\nwenn P und Q die Spannungen in Richtung der x- und y-Achse bezeichnen, u die Massendichte, y den D\u00e4mpfungsfaktor, A die Amplitude und n die Frequenz der erzwingenden Schwingung. Alle diese Gr\u00f6fsen seien Funktionen von x und y, z ist aufser-dem noch von der Zeit t abh\u00e4ngig. Diese Gleichung (1) l\u00e4fst sich mit Hilfe einiger Rechnungen vereinfachen. Wir ersetzen zun\u00e4chst, um t herauszuschaffen, z durch ze^ und bezeichnen k2 == \u2014 l2ju \u2014 ly. Ferner kann man eine Transformation \u00a3 = u (x, y) und r) \u2014 v (x, y) so w\u00e4hlen, dafs der aus P hervorgehende Ausdruck P gleich dem aus Q hervorgehenden Q wird. Demnach l\u00e4fst sich (1), wen man statt \u00a7 und rj wieder x und y schreibt, \u00fcberf\u00fchren in\n(2)\n\u00f6 z\\\n+\n\u00f6x\\ bxf\u2014 \u00f6y \\ \u00f6j\n\na\n0\nworin r, k2 und a wieder Funktionen von x und y sind.\nz hat der Randbedingung z = 0 zu gen\u00fcgen, wenn z den Wert von z auf dem Rande des Gebietes bezeichnet. Versteht man nun unter G(x, y; \u00a3, rj) die Greensche Funktion des vorliegenden Randwertproblems, die an der Stelle \u00a7, rj logarithmisch unendlich wird, und bezeichnet man die Stellen x, y und \u00a3, rj des Grundgebietes kurz mit 0 und 1, eine Schreibweise, die den Vorzug hat, f\u00fcr beliebige Dimensionen g\u00fcltig zu bleiben, so l\u00e4fst sich z als L\u00f6sung der Integralgleichung auffassen:\nz (0) +/G (0,1) k2 (1) z (1) d s \u2014 f (0),\nwenn\n\u2014/G(0,1) \u2022 a(l) ds = f(0).\nDie Integrale sind \u00fcber das Grundgebiet zu erstrecken. Der Kern Gk2 l\u00e4fst sich nicht symmetrisieren, da k2 noch l2 und l enth\u00e4lt, doch kann man ihn in einen symmetrischen und einen unsymmetrischen Teil zerlegen. Multipliziert man:","page":32},{"file":"p0033.txt","language":"de","ocr_de":"Die Ewaldsche H\u00f6rtheorie\n33\nz (0) X2 f Gr (0,1) P (1) z (1) ds \u2014 Xf G (0,1) y (1) z (1) ds = f (0)\nmit (0), und setzt z(0) fv(O) = g (0) ; f(0) yf(\u00d6j-=9(0);\nG (0,1)\t(0) ij (1) = K (0,1) und\ng (\u00b0\u2019i} iw} y (i)=l\nschreibt aber \u00c7 und 9p wieder z und f, so erh\u00e4lt man\n(3) z (0) - X2fK (0,1) z (1) ds - \u00c0/L (0,1) z (1) ds = f (0),\nsine in X quadratische lineare Integralgleichung mit den beiden Kernen K und L. Da G (0,1) symmetrisch ist, wird auch K symmetrisch, w\u00e4hrend L unsymmetrisch ist.\nIm eindimensionalen schreibt sich die Integralgleichung der erzwungenen, ged\u00e4mpften Schwingungen\n(3a)\ty(x)\u2014 /[A2K(x,\u00a3)-L(xf)] y(\u00a3) d\u00a3 = f(x),\ndie f\u00fcr L(x, \u00a3) = 0, d. h. bei Aufserachtlassen der D\u00e4mpfung durch die FREDHOLMschen Formeln gel\u00f6st wird.\nIch werde im folgenden zeigen, dafs die FREDHOLM-HiLBERTsche Methode zur L\u00f6sung der linearen Integralgleichung sich auf die vorliegende Form der Gleichung (3), (3a) ausdehnen l\u00e4fst. Soweit sich dabei Analogien zur Fredholm HiLBERTschen Theorie ergeben, folge ich in der Form meiner Ausf\u00fchrungen der Darstellung, die Herr Professor R. v. Mises dieser Theorie gegeben hat, da sie\nmir am \u00fcbersichtlichsten und k\u00fcrzesten scheint.1\nDas vorliegende Problem hat eine augenf\u00e4llige Verwandtschaft mit der Frage nach der L\u00f6sung eines Systems von n inhomogenen, linearen Gleichungen mit den n Unbekannten y1? yn. Ein solches System liege in folgender Form vor:\n\nyi \u2014\n(n Kii + \u201c En j yi -f... + |\u2014 Kin+- Linjy\u00ab\n= fi, i = l,...,n\noder, indem wir die Klammer als eine Summe schreiben, die \u00fcber v von 1 bis n zu erstrecken ist:\nn\n1 Riemann-Weber, Die Differential- und Integralgleichungen der Mechanik und Physik, 7. Aufl. Braunschweig 1925. Herausgegeben von R. von Mises. S. 413 ff.\nZeitschr. f. Sinnesphysiol. 59\n3","page":33},{"file":"p0034.txt","language":"de","ocr_de":"34\nHans Koch\nDas System ff iV nennen wir den Kern des Systems. Die Koeffizientendeterminante in (4) sei von 0 verschieden. Mit Zi = yi \u2014fi geht (4) \u00fcber in\n(5)\tZi~- 2 \u00aeivZv = 2 \u00aeivfv\nHieraus folgt, wenn man wieder yi \u2014 f\u00fcr zx setzt, dafs sich die L\u00f6sung von (5) in der Form schreiben l\u00e4fst\n(6)\tyi = fi2A\\vfr\ti=L \u2022 \u2022 n\nX\nDie Aik enthalten den Faktor \u2014. Die Spalte Aik, i = l, \u2022.u,\nalso die Faktoren von fk auf der rechten Seite, bilden die L\u00f6sung von (5) f\u00fcr den Fall f4 = 1, fk = 0, k + i, oder die L\u00f6sung von (4), wenn dort rechts fi durch ffik, i = l, \u2022\u2022\u2022, n ersetzt wird. Man kann also die A folgendermafsen definieren : Die erste, zweite, ____ n-te Spalte der A in (6) ist die L\u00f6sung eines Gleichungssystems, dessen linke Seite mit (4) oder (5) \u00fcbereinstimmt, und\nauf dessen rechter Seite die erste, zweite, __, n-te Spalte des\nurspr\u00fcnglichen Kernes ff steht.\nDie k-te Spalte ergibt somit\n(7)\tAik \u2014 2\u00aeivAvk = $ik\ti = 1, n\nAus den Gleichungen (7) geht hervor, dafs die A von den f unabh\u00e4ngig sind, also nur noch von l und ff beeinflufst werden. Es bleibt noch die Abh\u00e4ngigkeit von l zu bestimmen. Nach der C\u00dfAMEEschen Regel hat die L\u00f6sung von (7) die Form eines Bruches, dessen Nenner die Koeffizientendeterminante von (7) ist. Diese ist ein Polynom in l vom Grade 2n mit dem absoluten Glied 1. Man kann also schreiben\n(8)\tDn (\u00c0) = 1 + dt w l +... + dffi\nDie Z\u00e4hler der Br\u00fcche sind Unterdeterminanten (n\u2014l)-ter Ordnung der Koeffizientendeterminante von (7). Da indessen in der rechten Seite von (7) noch l2 und l enthalten ist, bleiben auch die Z\u00e4hler Polynome vom Grade 2n in \u00c0, jedoch ohne konstantes Glied. Jedes Aik l\u00e4fst sich somit in folgender Form schreiben\n/m 4 = Dik (A) _\tl + d .<*) A* + ... + d2n(ik) ^\ny >\t,k\tD\u201eU)\t1 + d/\u201c\u00bb l +\u2022\u2022\u2022 + d\u00een<\u201c> A2n\nDurch (6) und (9) ist die L\u00f6sung von (4) gegeben. Es gilt nun, die dv(n) und dv(lk) zu berechnen. Um mit den dv(n) zu beginnen,","page":34},{"file":"p0035.txt","language":"de","ocr_de":"Die Ewaldsclie H\u00f6rtheorie\n35\nwerde die Koeffizientendeterminante von (7) in folgender Weise als Determinante 2n-ter Ordnung geschrieben\n(10) Dn(A):\nvl2 1 \u2014 \u2014- Kn . n\t_*V n 111\t-10.\t..00\niT K\u201c1 '\t\u2022\t\u2022 l-^Knn\to o\t. . 0\u20141\nX T iJil . n\tx r '\t'\tn Lln\t1 0 .\t\u2022\t\u2022 \u2022\t\u2022 o o\nA r \tijni . n\t^ T -L^n n\to o\t..01\noder, wie man in leicht verst\u00e4ndlicher Weise symbolisch schreiben kann\n(K) (-1)\n(11)\nDn(A) =\n(L) (1)\nEntwickelt man (10) nach den Elementen der letzten Spalte und verf\u00e4hrt ebenso mit den beiden dadurch entstehenden Unterdeterminanten, so erh\u00e4lt man als Endresultat eine Summe von 2n Determinanten n*ter Ordnung. Diese kann man auch dadurch entstanden denken, dafs in der Matrix der Determinante (K) in (11) alle Formen gebildet werden, die durch Ersetzen der i-ten Zeile durch die entsprechende Zeile der Matrix von (L) in (11) entstehen. Durch diese Kombinationen der Zeilen von (K) und (L) erh\u00e4lt man gerade 2n Determinanten. Alle diese, bis auf die eine, die mit (L) \u00fcbereinstimmt, enthalten Zeilen in K, und soil2\nmit Elemente 1-----K^k* Denkt man alle diese Determinanten\nn\nnach dem LAPLACEschen Satz entwickelt, so erh\u00e4lt man schliefslich eine Reihe von Determinanten der Form\nKc*!\t. .\t.\t. Kc*i cfm r\nKam c*i . .\t. . Kam ccm r\nLofm_|_i ffi .\t.\t. Lcfm -j. i am _}_ r\n\t.\t. Lcfm -j- r\t+ r\n(K, L) m, r\nmit m Zeilen K und r Zeilen L, r + m^n, r, m \u2014 1, ..\n_^2\nJedes Element K hierin ist mit \u2014, jedes Element L mit\n\u2022\u00bb\nn.\nI\nn\n3*","page":35},{"file":"p0036.txt","language":"de","ocr_de":"36\nHam Koch\nmultipliziert zu denken. Jede dieser Determinanten f\u00fchrt zu einem Gliede mit dem Faktor\n(13)\tlv = lr l2 m\nBei festem r und m hat man dabei alle die Determinanten (12) zu nehmen, die entstehen, wenn die ax, ..am + r alle Kombinationen zu m + r aus den Zahlen 1, n durchlaufen. Von diesen unterscheiden sich (r + m) ! nur durch die Anordnung der Zeilen und Spalten, nicht aber dem Werte nach. Schliefslich wird der Exponent v in (13) durch verschiedene Wertepaare von r und m gebildet. Ber\u00fccksichtigt man alle diese Momente, so sieht man, dafs dr aus der Doppelsumme zusammenzusetzen ist\n(14)\td, \u2014\tn(r + m) (r-|_m)|\nUm auch die Z\u00e4hlerkoeffizienten in (9) zu bestimmen, denke man unter das System (7) die i-te dieser Gleichungen noch einmal angeschrieben und zwar in der Form\n(15)\t- \u00a3v \u2014\t\u2014\nDie n-|-l Gleichungen (7) und (15) mit den n Unbekannten ^lk, ^2k, \u2022 \u2022 -, ^nk sind miteinander vereinbar, und daher mufs die Determinante, die aus ihren Koeffizienten und den rechten Seiten gebildet wird, verschwinden. Beachtet man das in dieser Determinante unten rechts stehende Element \u00aeik, so sieht man, dafs sie sich folgendermafsen zerlegen l\u00e4fst\n(16)\t| D | \u2014AkDn(\u00c0) = 0\n|D| ist eine Determinante (n -f- l)-ter Ordnung und geht aus der Koeffizientendeterminante in (7) durch \u201eR\u00e4nderung\u201c hervor. Die ersten n Elemente der letzten Spalte sind die fi\\,k, die ersten n Elemente der letzten Zeile sind \u2014 $ir, v = l, n. Das Glied in der Ecke rechts unten ist $ik.\nAus (9) folgt, dafs die Determinante in (16) gerade Dik ist, das sich von Dn(\u00c4) durch den Rand unterscheidet. Die Entwicklung von Dik nach Potenzen von l erfolgt in derselben Weise, wie es mit Dn(A) geschehen ist, indem entsprechend (10) Dik zun\u00e4chst in eine Determinante 2(n-f-l)*ter Ordnung verwandelt wird. Die Koeffizienten der Potenz (13) sind wie fi\u00fcher zu bilden, doch ist zu ber\u00fccksichtigen, dafs jetzt immer entweder die K-Gruppe oder die L-Gruppe der in (12) auftretenden De-\n^\t| (K,L)m,r |","page":36},{"file":"p0037.txt","language":"de","ocr_de":"Die Ewaldsche H\u00f6rtheorie\n37\nterminanten zu r\u00e4ndern ist. Ist die K- Gruppe ger\u00e4ndert, so entsteht lr schon, wenn in (12) m \u2014 1 Reihen K st\u00e4nden, und ist die L - Gruppe ger\u00e4ndert, so h\u00e4tte man nur r \u2014 l Reihen L zu nehmen. Im \u00fcbrigen sind die Summen zu bilden wie bei d*(n). Schreibt man nun\n(17 a)\nso wird\nK\u00ab!\u00ab!\t.\tK\u00ab!, \u00abm+r\tK^k\nK\u00abm,\u00dft .\t. Kam\u00ab m+r\tK\u00abm k\n( Ki ai\t. Ki \u00abm+r\tKik)\nL\u00abm-fl\t.\tL\u00abm+i \u00abm+r L\u00abm+l k\t\nLam+r, \u2022\t. L\u00abm+r \u00abm+r L\u00abm+rk\t\n(Li\u00ab!\tLi am+r\tLik)\nj (K, L) m, r ; i, k |\n(17) d^J\n(ik)\nr, in\n(\u2014 l)r + m+l\n2\n\u2014 n^m\t(y 1 vv-,) I\t_\nr + 2m = r\t'\t'\t'\t\u00abi,... \u00ab m+r\n(K, L)m,r ; i, k\nDurch die Bezeichnung r und m soll angedeutet werden, dafs in v \u2014 r -f- 2 m entweder statt r gesetzt werden mufs r = r \u2014 1, oder statt m der Wert m = m \u2014 1, je nachdem die K oder die L ger\u00e4ndert sind. In der Summe \u00fcber r, m, f\u00fcr r + 2 m \u2014 v, kann dann also v die Werte v \u2014 1 oder v \u2014 2 annehmen. Durch die Klammern bei den Zeilen Kian . . ., Kik und ..., Lik soll darauf hingewiesen werden, dafs dementsprechend entweder die Zeile K oder die Zeile L zu nehmen ist.\n\u00a7 3\nLiegt nun an Stelle des Systems (4) die regul\u00e4re Integralgleichung\n(18)\ty(x)-/[A*K(x,f) + *L(x,f)]y(f)df = f(x)\nvor, so kann man annehmen, dafs sich die abgeleiteten Resultate \u00fcbertragen lassen, wenn man das Grundgebiet auf 0,1 transformiert hat. Gehen die yLk mit wachsendem n in eine stetige Funktion A (x, \u00a3) \u00fcber, so mufs nach (6) die L\u00f6sung (18) die Form haben\n(19)\ty(x) - f(x) +/A(x,\u00a3)f(e)d\u00a3\nA ist somit der l\u00f6sende Kern der Integralgleichung (18) und l\u00f6st, entsprechend (7) die Gleichung (18) f\u00fcr f = A2K-f-AL. F\u00fchrt man n\u00e4mlich (19) in (18) ein, so ergibt sich leicht","page":37},{"file":"p0038.txt","language":"de","ocr_de":"38\nHans Koch\n(20)\tf[A (x,\u00a3) - [A2 K (x, I) + AL(x,f)] -\n/[A2K(x,g) + AL(x,g)] A (g,f ) d g] f (f ) d f = 0.\nDer Klammerausdruck in (20) ergibt die Behauptung.\nWenn A(x,f) durch Grenz\u00fcbergang aus .Ait hervorgeht, so mufs es der Quotient zweier Potenzreihen in A sein\n^\tD(x,f;A) _ L(x,|)A + d2(x,|)A2+ . . .\nw\tD(A)\t1 -f di A + d2A2+ . . .\nin denen die Koeffizienten aus (14) und (17) hervorgehen, und die Gestalt von Summen (m-j-r)-facher Integrale annehmen. Die Indizes der Elemente in den Determinanten (12) und (17a) sind jetzt als Argumente zu betrachten. Die Elemente haben demnach die Form K(a1,a1), .. ., L(am + i,at) usw. Daher wird nun\nmri\t(\u2014 D(r + m)\n(22) dv = ^\t\\\t^,\t/ | (K,L)m,r | doj ...dam + r\nr+2m=v \\T i 11V \u2018 V\nund\n(23) dv (x, \u00a3)\n(\u2014l)(r + m+l)\n-\t- (r -f- m) I\nr-f2m=v v\t'\n|(K, L)m,rjx,f| dat ...dam-f-\nDie Bezeichnung in (23) ist zu verstehen wie in (17). Die Integration ist f\u00fcr jede Variable von 0 bis 1 zu erstrecken. Die Formeln gelten aber nat\u00fcrlich f\u00fcr jeden endlichen Bereich a < b.\n\u00a7 4\nZum Beweis daf\u00fcr, dafs die L\u00f6sung von (18) durch (19) in Verbindung mit (21), (22) und (23) gegeben wird, ist zu zeigen, dafs\n1.\tdie Reihen D(A) und D(x, \u00a3;A) in (21) f\u00fcr jedes endliche A konvergieren, und\n2.\tdie Polynome Dn(A) und Dn^A) in (9) mit wachsendem n gegen die Potenzreihen D(A) und D(x, \u00a3;A) f\u00fcr jeden Wert von x, \u00a3, A konvergieren.\nUnter diesen Voraussetzungen ist dann ^(x, \u00a7) eine stetige Funktion von x und f, und zwar der Limes von f\u00fcr n->oo. Dabei wird weiterhin angenommen, dafs D(A) nicht verschwindet.\n1. Ist K eine obere Schranke f\u00fcr die K(x, \u00a7), und L f\u00fcr die L(x, \u00a3), so ist nach dem Satz von Hadamabd der Absolutwert der\nDetermiante in (22) nicht gr\u00f6fser als Km]/(r + m)ra Lr ]/(r -f m)r, und da m! mra e~m, wird","page":38},{"file":"p0039.txt","language":"de","ocr_de":"Die Ewaldsche H\u00f6rtheorie\n39\nI d\u00bb I 2s\n^ Km L1 V(r + m)r+m\nr-f-2m=v\n(r + m)\nr, m\n< 2\nr4-2m=v\n(K e)m (L e)r V(r + m)r+m\nHieraus folgt, dafs die Br\u00fcche unter dem Summenzeichen einzeln gegen 0 konvergieren. Dafs dies auch f\u00fcr die Summe \u00fcber r, m gilt, folgt aus (r + m)r + m>\u00ab rr mm, da hiermit\nI d, | < 2\n(Ke)m\n)'mI\u00dc\n(Ley\nyrr\nDenkt man nun jedes Glied der Reihe zerlegt in\nr+2m=v\n(K e)m ]/m\u2122\nA2m\n(L eY ]/rr\nlv\nund auf diese Weise D(T) majorisiert, so kann man aus jedem Glied dv Ar den Summanden herausnehmen, der zu einem festen\n(Le)r\nm geh\u00f6rt, und erh\u00e4lt eine Reihe \u00fcber r, M \u2022 2\tdie st\u00e4rker\nkonvergiert als jede geometrische Reihe. M h\u00e4ngt nur von m ab und ist jedenfalls eine endliche Gr\u00f6fse. Schliefslich wird\nidwi<2\nm\n(K e)m \u00c42m Vm\u201c\n(L e)r l1\ny+\nDamit ist die Konvergenz von D(l) bewiesen und zwar f\u00fcr jedes \u00c0. Dasselbe l\u00e4fst sich ebenso f\u00fcr die d, (x, f) zeigen. Es ist jedenfalls\n(25)\ndv (x, I) | <\n2\nr+2m=v\nKm Lr /(r + m)r+m\n(r + m \u2014 2)1\n< 2\nr-fs\u00e2lll\u2014V\n(K e)m (L e)r y (r + m \u2014\n< 2\nr+\u00fcm=v\n(Ke)m\nyin\u201c-^\n(Ley\ny(r-iy-2\nDaraus ergibt sich wie oben die Konvergenz von D(x, \u00a7; \u00c0).\n2. Den Nennern nr +m zufolge gelten f\u00fcr die Koeffizienten (14) und (17) dieselben Schranken wie in (24) und (25), also\n| d+> | | dv<ik>\n< 2\nr-|~^m=v\ni < 2\nr-f\u00fcm=v\n(Ke)m\t(Ley\nyrnm\ty'rr \u2019\n(K e)m\ttr* CD i-i\nymm-2\ty(r\u2014iy-2\nDa diese Absch\u00e4tzungen von n unabh\u00e4ngig sind, kann man v0 so w\u00e4hlen, dafs f\u00fcr jedes n der Wert der Polynome Dn(A) und","page":39},{"file":"p0040.txt","language":"de","ocr_de":"40\nHans Koch\nDik(A) durch die Summe ihrer ersten v0 Glieder bis auf einen vorgegebenen Betrag von e\u00df genau geliefert wird. Zugleich ist auch f\u00fcr dasselbe v0 der Rest der Potenzreihen D (\u00c0) und\nD(x, g;A) h\u00f6chstens gleich e\u00df. Da nun die d(\u00ef} und d(1}] mit wachsendem n in die Integralsummen (22), (23), also die dv und und dv (x, g) \u00fcbergehen, kann man nach Bestimmung von v0 ein n so grofs w\u00e4hlen, dafs f\u00fcr jeden Koeffizienten mit einem Index v<Lv0 der Unterschied zwischen der Determinantensumme in (14) und (17) und dem Integral in (22) und (23) nicht gr\u00f6fser wird \u00a3\nals \u2014 q\tDann unterscheidet sich die Summe der ersten\nv0 Glieder des Polynoms und somit die vollst\u00e4ndige Potenzreihe vom vollst\u00e4ndigen Polynom um h\u00f6chstens e\u00df -f- e\u00df -[- e\u00df = e_\nDik(^) und D\u00dc(A) konvergieren also gegen die Reihen D(x, g; l) und D(\u00c4), und damit, wenn D(\u00c4) =j= 0, Ai]L gegen A(x, g). Dies gilt f\u00fcr jedes x und g des Bereiches und jeden endlichen Wert von k\nMit diesem Ergebnis ist gezeigt, dafs in den Formeln (19), (22), (23) die vollst\u00e4ndige L\u00f6sung der Integralgleichung (18) enthalten ist.\n\u00a7 5\nEine praktische Anwendung der hier gegebenen L\u00f6sung ist nicht m\u00f6glich wegen der darin auftretenden Determinanten. Daher sollen jetzt Rekursionsformeln angegeben werden, die eine Berechnung der d\u201e und dr(x, g) gestatten.\nSetzt man in (23) x = g, so nimmt die Determinante in (23) dieselbe Form an wie die Determinante in (22). Integriert man also d\u201e(g, g) noch einmal \u00fcber g und beachtet, das 7-f m = r-f-m \u20141? go erh\u00e4lt man f\u00fcr r=l,2, . . .\n(27)\nworin unter den d/r\u2019m> (x, \u00a3) die einzelnen Summanden zu ver-verstehen sind \u2014 die Determinanten \u2014, aus denen dv(x, g) zusammengesetzt ist Multipliziert man jetzt den Integranden von\n(20), der, wie gezeigt, verschwindet, mit D(A), so erh\u00e4lt man die Gleichung :\n(28) D (x, g; \u00c0) = A2K (x, g) D (A) + X L (x, g) D (\u00c0) + / [\u00c02K (x, q) + A L (x, q)] D (e, g ; l) d q","page":40},{"file":"p0041.txt","language":"de","ocr_de":"Die Ewaldsche H\u00f6rtheorie\n41\nSetzt man f\u00fcr die D die Reihenentwicklungen ein und vergleicht beiderseits die Koeffizienten von \u00c4v, so bekommt man die Rekursionsformel\n(29) dr(x, \u00a3) = K (x, \u00a7) dv_2 + L (x, |) dv_i +/K (x, g) dr_2 (g, d g\n+ /L (x\u00e7)dv_i(\u00e7f) d \u00e7, y = 3,4,_\nd2 (x, \u00a3) = K (x, \u00a3) + L (x, I) -J-/L (x, \u00e7) dj (g, \u00a3) d g di (x, I) = L (x, \u00a3) d0 oder wegen d0 = 1, dj (x, J) = L (x,\u00a3)\nMit Hilfe der Formeln (27) und (29) lassen sich die d sukzessive berechnen. Man findet aus (29) d\u201e+1(x, |) und aus (27) das zugeh\u00f6rige dr+1. Es hat zwar noch den Anschein, als m\u00fcfste man doch die Determinanten in d,(x, \u00a3) bilden, um die Integralsumme (27) berechnen zu k\u00f6nnen. Doch kann man das dadurch umgehen, dafs man von vornherein die d\u201e(x, \u00a3) in die Summanden\ndr (r\u00bb m)(x, \u00a7) zerlegen l\u00e4fst, so dafs man die d^\u201c)(x, g) sofort aus\n(29) mit erh\u00e4lt und in (27) einsetzen kann. Aus dem Bildungsgesetz der d ergibt sich, wie man dabei zu verfahren hat.\nBeginnt man mit dx (x, |), so ist nat\u00fcrlich m = 0, r = 0 und di /di (<\u25a0\u00bb \u00a7) d g. Bildet man weiter d2 (x, \u00a3), so ergibt der erste Summand, K (x, f), ein Glied r = 0 \u2014 m f\u00fcr die Berechnung von d2. In dj ist bei der Integration aus r = 0, r = 1 geworden. F\u00fcr das Glied L (x, g) dx ist nunmehr r = 1 zu setzen (und m = 0). Schliefslich ergibt auch / L (x, g) d, (g, \u00a3) d\u00e7> ein Glied 7 = 1, m = das dem vorigen zusammenzufassen ist. Es sind also, wie es sein mufs, f\u00fcr v = 2 die Wertpaare m = 0, r = 0, r m = 0 entstanden, die einzigen, die die Gleichung7 -f- 2 m = * erf\u00fcllen. F\u00e4hrt man fort, so verwandeln K (x, \u00a3) dr_2 und J K (x, g) dv_2 (g, g) d g jedesmal m in m resp. m -f- 1, die beiden anderen Glieder in (29), L(x,g) dv_x und / L (x, g) d\u201e_i (gj) dg dagegen r in r resp. r-f-l.\nDie L\u00f6sung der Integralgleichung (18) kann also hergestellt werden, ohne dafs man irgendeine Determinante zu berechnen braucht.\nDie Integralgleichung (18) wird durch (19) vollst\u00e4ndig gel\u00f6st; der l\u00f6sende Kern ist durch (21) gegeben, die darin auftretenden Koeffizienten lassen sich mit Hilfe von (27) und (29) nacheinander berechnen.","page":41},{"file":"p0042.txt","language":"de","ocr_de":"42\nHans Koch\n\u00a7 6\nDie homogene Gleichung\n(30)\ty (x)-f[PK(x,f) + AL(x, I)] y ({) d| = 0\nhat nur dann eine L\u00f6sung aufter der trivialen y = 0, wenn D (\u00c2) = 0. Angenommen, dies sei f\u00fcr l = K der Fall, so geht (28)\n\u00fcber in\n(31)\tD (x, \u00a7; XJ =/[li2 K (x, q) -j- L (x, q)] D (q, \u00c7 ; Ax) d q ;\ndas besagt, dafs die homogene Gleichung (30) bei beliebigem \u00a7 l = X1 durch die Potenzreihe D(x,\u00a3;A) gel\u00f6st wird.\nDie gew\u00f6hnliche lineare Integralgleichung, die in X linear ist, bildet einen besonders einfachen Fall der vorliegenden \u201equa-dratisch\u201c-linearen Integralgleichung (18), indem dort L(x,\u00a3) = 0 zu setzen ist, und in der meist X2 durch k ersetzt wird, oder man schreibt wieder X. Demgem\u00e4fs m\u00fcssen sich auch die bekannten F\u00dfEDHOLM-HiLBBRTschen Formeln durch Spezialisierung aus den hier abgeleiteten ergeben.\nEin Unterschied besteht jedoch in der Ableitung dieser Formeln insofern, als in den, den Gleichungen (4) bis (7) entsprechenden Systemen der Faktor X2 dort vor die eckige Klammer genommen wird. Daher erh\u00e4lt Dik(A) bei Fredholm ein konstantes Glied.\nIm \u00fcbrigen ist der \u00dcbergang leicht zu vollziehen. Setzt man r = 0, so geht (14) ohne weiteres in die entsprechende Fredholm -sehe Formel \u00fcber, da die erste Summe fortf\u00e4llt. Statt 2m ist nach dem obigen m zu setzen. Entsprechend ist (17) zu \u00e4ndern.\nMit m = m \u2014 1 geht d^ in \u2014 d^x \u00fcber.\nDasselbe gilt f\u00fcr (22), (23), d2m wird zu dm und d2m (x,S) zu \u2014 dm_i (x, \u00a7) bei Fredholm, so dafs weiter folgt aus (27)\ndm \u2014 \u2014 \u2014 f dm-i (\u00a7, g) d \u00a7, die eine der FREDHOLMschen Rekursions-m J\nformein. (29) ergibt bis auf das Vorzeichen die zweite Fredholm-sche Formel dm_i (x, \u00a7) = K (x, \u00a7) dm_i +/K (x, q) dm_2 (q , \u00a7) d q . Bei der Ableitung dieser Formel ist zu ber\u00fccksichtigen, dafs wegen des bei Fredholm, wie bemerkt, herausgenommenen Faktors A2 die hier gegebenen Koeffizienten d2m zum Faktor Xm~1 geh\u00f6ren, so dafs die Ableitung von (29) nicht ohne weiteres \u00fcbertragbar ist.","page":42},{"file":"p0043.txt","language":"de","ocr_de":"Die Ewaldsche H\u00f6rtheorie\n43\n\u00a7 7.\nEs sei an dieser Stelle noch eine Bemerkung zugef\u00fcgt. Die oben behandelte Gleichung (18) ist ein besonderer Fall der Integralgleichung\n(18a)\ty (x) \u2014f[& K>) (x, \u00a7) -|-\\-l K\u00ab (x, f)\n+ K(\u00b0>(x,|)]y(\u00a3)d\u00a3 = f(x)\nderen \u201eKern\u201c ein Polynom vom Grade fi in l ist. KM (x, f) bezeichne den zur Potenz & geh\u00f6rigen Teilkern. Es k\u00f6nnen beliebig viele K verschwinden, doch sei im folgenden KM ^ 0 angenommen. Die f\u00fcr (18) gefundene L\u00f6sung l\u00e4fst sich nun leicht auf den Fall (18a) erweitern. Das l\u00e4fst sich im Anschlufs an das fr\u00fcher ausgef\u00fchrte mit wenigen Worten zeigen.\nGeht man von einem der Gleichung (4) entsprechenden System von n linearen Gleichungen mit n Unbekannten aus, so wird man auf eine Koeffizientendeterminante gef\u00fchrt, die man in eine (10) entsprechende Determinante (p -|~ l)n -ter Ordnung verwandelt denke. Diese Verallgemeinerung von (10) ist leicht zu finden : Die Diagonalreihen der \u2014 1 und 1 sind dabei fortzusetzen. Entwickelt man wie in (10) nach den Elementen der letzten Spalte, so erh\u00e4lt man schliefslich (fi -j- l)n Determinanten n-ter Ordnung. Die weiteren Betrachtungen sind dann genau dieselben wie die oben f\u00fcr den Fall ^ = 2, K(\u00b0) \u2014 0 angestellten. Nach dem \u00dcbergang zur Integralgleichung erh\u00e4lt man die L\u00f6sung zu (18a) wieder in der Form (19). A wird als Quotient zweier Potenzreihen dargestellt, dessen Z\u00e4hler beginnt d0 (x,f) + d, (x,f)A + ..und dessen Nenner lautet 1 + d0 -f- dx l -f-.... Die d werden durch Formeln bestimmt, die (22) und (23) entsprechen. Ist aber in (18a) K(0) =f= 0, so treten vor den Integralen Doppelsummen auf. Wir verzichten auf die Angabe dieser Ausdr\u00fccke und der zugeh\u00f6rigen Rekursionsformeln. Der oben gef\u00fchrte .Konvergenzbeweis und alle Ableitungen lassen sich mit den entsprechenden \u00c4nderungen \u00fcbertragen.\nIII. L\u00f6sung der Differentialgleichung der schwingenden Membran f\u00fcr spezielle*Annahmen und Ableitung der Resultate\nEwalds\n\u00a7 1. Ableitung der L\u00f6sung\nIm vorangehenden ist das Schwingungsproblem f\u00fcr die allgemeinsten Annahmen mit Hilfe der Integralgleichungen gel\u00f6st","page":43},{"file":"p0044.txt","language":"de","ocr_de":"44\nHans Koch\nworden. Es folgt daraus die Existenz von stehenden Wellen mit aufgepr\u00e4gter Frequenz. Einer Anwendung dieser Theorie stehen nicht so sehr die in der L\u00f6sung enthaltenen Determinanten entgegen, die man mit Hilfe der Rekursionsformeln umgehen kann, als vielmehr die Schwierigkeiten der Berechnung der G\u00dfEExschen Funktion. Wir werden daher, um zu den Resultaten Ewalds zu gelangen, die Differentialgleichung der schwingenden Membran direkt l\u00f6sen, indem wir die in der Gleichung (1) auf tretenden physikalischen Gr\u00f6fsen als konstant ansehen und eine rechteckige Begrenzung annehmen. Das wesentliche ist die Ber\u00fccksichtigung der D\u00e4mpfung.\nNimmt man demnach die L\u00e4ngsspannung P, die Querspannung Q, die Massendichte die D\u00e4mpfung y, und die Amplitude A der erzwungenen Schwingung mit der Frequenz n als konstant an, wobei jedoch P und Q verschieden grofs sein sollen, und zwar P klein gegen Q, wie es den Verh\u00e4ltnissen der Basilarmembran entspricht, so geht (1) \u00fcber in\nd2z .\nw + 7\nd z dt\n\u2014 A cos n t\nund mit z \u2014 <p eint in\n(33) P \u2014 Q = - f*n\u00b0-<p+yni<p - A.\nDer reelle Teil von z wird dann (32) gen\u00fcgen. Das Grund gebiet sei das Rechteck 0 < x < 1 ; 0 < y < + b. Die Randbedingungen lauten demnach\ncp = 0 f\u00fcr x = 0,1 und y \u2014 0, b.\nSetzt man nun\nn2 ju \u2014 iyn = x2,\nso l\u00e4fst sich (33) mit Hilfe der Transformation x = |fp, y = ^VQ vereinfachen zu\nWird zur Abk\u00fcrzung\ngesetzt, so wird die Membran in der f, rj - Ebene durch die Geraden 1 = 0, $ = a, und rj = 0, rj = \u00df begrenzt, und die Randbedingungen erfordern, dafs cp auf diesen Geraden verschwindet,","page":44},{"file":"p0045.txt","language":"de","ocr_de":"Die jEwaldsche H\u00f6rtheorie\n45\ndie ein in der \u00a3- Richtung langgestrecktes Rechteck einschliefsen werden, wenn wir annehmen, dafs P sehr klein gegen Q ist.\nMan kann nun auch die Variable rj aus (34) fortschaffen unter Ber\u00fccksichtigung der Randbedingung f\u00fcr rj, die verlangt, dafs cp = 0 f\u00fcr r\\ \u2014 0 und r\\ \u2014 \u00df. Ist n\u00e4mlich\n(35)\n71\tU\tU U 71 VQ\n\u2014 rj \u2014 h rj, mit h =\n\u00df 'f \u201c \u25a0/l----------- ~~ b\nso kann man innerhalb der Grenzen 0 ( hrj ( n f\u00fcr A die Reihe ansetzen\nA =\n4 A\t1\t1\n\u2014\u2014 sin hrj -f- ^ sin 3 h r\\ -f- \u2014 sin 5 h r\\ -f-\nund entsprechend:\n(36) (p = Si sinh?7+ | s3 sin3hs6 sin 5h^ +\nDann gilt nach (34) f\u00fcr jedes sm:\nd2sm\n(37)\nwenn\n\n+ k2 sm = \u2014\n4 A\n7t\nk2 = x2 \u2014 m2h2.\nDie Randbedingungen f\u00fcr rj werden durch die Reihe (36) erf\u00fcllt. Es wird sich zeigen, dafs die sm beschr\u00e4nkt sind. Dann folgt aber die Konvergenz der Reihe (36) mit Hilfe der ABELschen partiellen Summation daraus, dafs die Teilsummen der Reihe sinh rj, sin 3h 17, . . beschr\u00e4nkt sind.\nDie sm(f) sind eindeutig bestimmt durch die Bedingungen\nSm (I) = 0 f\u00fcr ! = 0, a.\nDenn g\u00e4be es noch eine zweite L\u00f6sung, die (37) mit denselben Randbedingungen gen\u00fcgte, so m\u00fcfste die Differenz o dieser L\u00f6sungen der Gleichung\n\u00f62a\n\n+ k2o = 0\ngen\u00fcgen, deren allgemeines Integral lautet\no \u2014 c-eiki -|- d-e\u2014\nSoll nun o \u2014 0 sein f\u00fcr f = 0, a, so mufs\nc + d = 0\nund\tceika + de~iktt = 0.\nDiese Gleichungen k\u00f6nnen aber nur dann miteinander bestehen, wenn a = 0 oder c = d = 0. Also ist o identisch 0.","page":45},{"file":"p0046.txt","language":"de","ocr_de":"46\nHans Koch\nDieser Schlufs versagt nur f\u00fcr k = 0, ein Fall, der nur f\u00fcr y = 0 eintreten kann, d. h. bei fehlender D\u00e4mpfung. Physikalisch besagt dies, dafs dann eine eingeleitete Bewegung unver\u00e4ndert fortbesteht, auch wenn keine Kraft mehr da ist, die neue Anst\u00f6fse gibt.\nDie Gleichung (37) wird erf\u00fcllt durch:\n(38)\tsm = ^- (Ceiki + De-iki \u2014 1),\nworin C und D Konstante sind. C und D bestimmen sich aus den Randbedingungen sm(0) = 0, und sm(a) = 0. Es mufs\nC + D = 1 Ceikff + De~ \u201c = 1\nsein. Also wird\n0\u2014 ika __ eik\u00ab\nund\tD _\t1 \u2014 eika\n0\u2014 ika __ eika \u2019\nso dafs schliefslich (38) die Form erh\u00e4lt\n(39) sm\n4 A jrk2\ne\ne\u2014ika \u2014 l\n\u2014 ika _ gik\u201c\neik\n\u00bbika\ne\nika\ne\nika\nik\u00a3 \u2014 1\nein Ausdruck, der (37) erf\u00fcllt und f\u00fcr 1 = 0 und f = a ver-\nschwindet. Bei seiner Untersuchung soll der Faktor\n4 A\n7i k2\nzu-\nn\u00e4chst aufser Acht gelassen werden. Er ist dem absoluten Betrage nach\n4 A 1 _\t4 A ___________\n71 k2\t71 y (n2 fi \u2014 m2 h2)2 -j- y2 n2\n(40)\nSetzt man, um die Ausdr\u00fccke in der Klammer umzuformen, (41)\tk = |/n> \u2014 m* h2 \u2014 iyn = \u00f41 \u2014 \u00f62 i\nund nimmt an, dafs ct = \u2014 hinreichend grofs, die L\u00e4ngsspannung\nP also gen\u00fcgend klein sei, um e-2t**\u00ae gegen e2(*2\u00ae, e~Ja\u00ae gegen e^*\u00ab und sin 2 <52 a, sin a, cos 2 \u00f6\u00b1 a, cos a gegen e2(*2\u00ae und e***\u00ae vernachl\u00e4ssigen zu k\u00f6nnen, so findet man schliefslich f\u00fcr die Amplitude der Bewegung dem absoluten Betrage nach:","page":46},{"file":"p0047.txt","language":"de","ocr_de":"Die Ewaldsche H\u00f6rtheorie\n47\n(42)\t\u2122 sm =\n4 A ye~2J2|+ e\u2014+ 1\u20142e\u2014<?2i cos^ |\u20142e~\u00a3) cos^1(a\u2014|)\nm 71 ]/ (n2ft \u2014 m2h2)2 -f- y2 n2\nIm Wurzelausdruck des Z\u00e4hlers sind f\u00fcr f ( \u2014, also in der\nLA\nersten H\u00e4lfte der Membran, die Gr\u00f6fsen e\u20142 e\u2014 cos^f grofs gegen e\u2014 2\u00e4i(a\u2014|)j 2e-^(\u00ab-l) cosd1(a \u2014|). In dieser H\u00e4lfte tritt ein Maximum ein f\u00fcr cos dt$ = \u2014 1, also \u00f41 S = (2v -f- l)n, v = 0, 1, . . . Ist aufserdem bxa = 2 vtz, so wird die Amplitude dieses Wellenzuges in der anderen H\u00e4lfte der Membran durch Koinzidenz vergr\u00f6fsert, durch das Glied 2 e-^(c~8\ncos <5X (a \u2014 I). Da indessen der Faktor e\u2014f\u00fcr f ) ~ sehr\nLA\nklein ist, kann man diese Bewegung in der anderen H\u00e4lfte der Membran vernachl\u00e4ssigen. F\u00fcr \u00a3 ( ~ nimmt die Wurzel dann\nLA\ndie Form an\ny e\u20142^1 \u2014|\u2014 1 \u2014 2 e\u2014 <*21 cos <53 |,\nderen Maxima bei\nliegen.\n\u2014 (2v + l)n, v \u2014 0, 1, 2, . . .\nDie Wellenl\u00e4nge dieses Zuges ist demnach (44)\tl = **\nAuf die Abh\u00e4ngigkeit der Wellenl\u00e4nge von \u00f6t kommen wir noch zur\u00fcck.\nDie Intensit\u00e4t der Schwingung ist nach (42) proportional\n4 A 1\n\u2014y-s \u2014 oder nach (40) rck 2 m\tv 7\nJ\n1\nm2 [(n2 jx \u2014 m2 h2)2 -f- y2 n2]\nJ\nbesitzt also ein Maximum f\u00fcr m2 =\nn2 p\nT2\"\n, woraus sich die Eigen-\nt\u00f6ne der Membran bestimmen. Wir betrachten zun\u00e4chst den Fall m = 1, d. h. die Schwingungsform ohne L\u00e4ngsteilung der Membran, fi sei hinreichend klein, so dafs f\u00fcr die n, die unterhalb des tiefsten Eigentones liegen, nV ( h* ist. Unterhalb","page":47},{"file":"p0048.txt","language":"de","ocr_de":"48\nHans Koch\ndieses durch n2/u = h2 bestimmten Eigentones liegen also alle n, f\u00fcr die\nSoll der Tonbereich unterhalb des tiefsten Eigentones der Membran grofs sein, so mufs also (i klein, h = -g-VQ grofs sein, und dadurch wird die physikalische Beschaffenheit der Membran bestimmt.\nF\u00fcr m)l findet eine L\u00e4ngsteilung der Membran in mehrere schwingende Abteilungen statt. Die entsprechenden Intensit\u00e4ten Jm verhaltem sich zu wie\nJm _____________________1_____________\n(47) Jj -ri2 /i I , 2 (m4\u2014 l)h2 \u2014 2(m2-l)n>\\\n\\ \"1\"\t(nV-h2j2 + yan2\t)\nDie Klammer im Nenner ist grofser als 1, solange n2^i<h2 ist,\nso dafs dann Jm : Jx <T ist. F\u00fcr hohe Schwingungszahlen n\ngilt dies dagegen nicht mehr. Wenn n2[z})>h2 wird, wird die Klammer im Nenner von (47) f\u00fcr ein bestimmtes m schliefslich kleiner als 1, so dafs auch Jm grofser wird als J1. Soll also das Schallbild f\u00fcr den ganzen Tonbereich einheitlich durch Jm <(<( J\u00b1 charakterisiert sein, wie man es bei der Basilarmembran annehmen mufs, so ist n2^<h2 zu setzen. Der Tonbereich liegt dann unterhalb des tiefsten Eigentones, und die Intensit\u00e4ten der Schwingungen mit einer L\u00e4ngsteilung der Membran k\u00f6nnen vernachl\u00e4ssigt werden, da in diesem Fall\n(47 a)\tJm:J1<l/m2,\nund m nur die ungeraden ganzen Zahlen durchl\u00e4uft.\nF\u00fcr die n, auf die die Membran anspricht, ist eine untere Grenze dadurch gegeben, dafs die Wellenl\u00e4nge \u00c0 nicht gr\u00f6fser\ncc\nals g- sein darf. Das ergibt f\u00fcr die gr\u00f6fste Wellenl\u00e4nge nach (44):\na\n2\n2 7t\nSetzt man f\u00fcr den N\u00e4herungswert = 4 so wird die\nu II\nMembran auf T\u00f6ne ansprechen, f\u00fcr die (48)\tn > 8 \u2014\u2022","page":48},{"file":"p0049.txt","language":"de","ocr_de":"Die Ewaldsche H\u00f6rtheorie\n49\nZu diesem N\u00e4herungswert von \u00e4\u00b1 kommt man indessen nur f\u00fcr kleine n. Wenn n\u00e4mlich in dx> (41), n> klein ist gegen h2, da nur der Fall m = 1 in Betracht gezogen zu werden braucht, so\n1 y n\nkann man die innere Wurzel entwickeln und \u00f61 =\n2 Vh\n2\n-n2 fx\nsetzen, oder, wenn man noch n2^ gegen h2 fortl\u00e4fst,\n1 y n = 2\"h~*\nIst dagegen f\u00fcr grofse n die Differenz n2^\u2014h2 gen\u00fcgend klein, so kann\nr\ngesetzt werden. F\u00fcr die Wellenl\u00e4nge l ergeben sich so die Werte\n(49)\n(50)\nI = -------, f\u00fcr kleine n, und\ny n\n4 7t\nl = \u2014\u2014, f\u00fcr grofse Worte von n.\n\\2yn\nWerden schliefslich mit wachsendem n die Differenzen n2ju\u2014 m2h2 auch f\u00fcr m ) 1 positiv, so gelten zwar die hier gezogenen Schl\u00fcsse nicht mehr ohne weiteres. Da man aber annehmen mufs, dafs der H\u00f6rbereich der Basilarmembran wegen ihrer Kleinheit unterhalb des Gebietes der Eigent\u00f6ne liegt, da ferner nach den im Anschlufs an (47) gemachten Bemerkungen im Bereich der Eigent\u00f6ne die Einheitlichkeit des Schallbildes gest\u00f6rt wird, so k\u00f6nnen diese Schwingungen hier unber\u00fccksichtigt bleiben. Ihre Wellenl\u00e4nge nimmt mit wachsendem n ab, doch ist sie auch von m abh\u00e4ngig.\n\u00a7 2. Ergebnisse\nAus den abgeleiteten Resultaten ergibt sich somit folgendes: Aus (44) folgt die Existenz von stehenden Wellen, wie sie von der EwALDschen Theorie gefordert werden. In jeder H\u00e4lfte der Membran steht ein Wellenzug, der am st\u00e4rksten an den Enden der Membran ausgepr\u00e4gt ist, und dessen Intensit\u00e4t nach der Mitte zu abnimmt. Dies entspricht auch den Beobachtungen Ewalds, bei dessen Versuchen die Wellen nicht gleichm\u00e4fsig \u00fcber die ganze Membran ausgebildet waren. N\u00e4here Angaben hier\u00fcber hat Ewald leider nicht gemacht, sie waren ihm vielleicht auch nicht m\u00f6glich, da er mit dem Mikroskop beobachtete.\n4\nZeitsehr. f. Sinnesphysiol. 59.","page":49},{"file":"p0050.txt","language":"de","ocr_de":"50\nHans Koch\nAus der Annahme, dafs der H\u00f6rbereich unterhalb der Eigenschwingungen der Membran liegt, ergeben sich Bedingungen f\u00fcr die Beschaffenheit der Membran, und umgekehrt wird die obere und die untere Grenze dieses H\u00f6rbereichs nach (46) und (48) durch die physikalische Beschaffenheit der Membran bestimmt. Der H\u00f6rbereich ist um so gr\u00f6fser, je d\u00fcnner die Membran ist, je gr\u00f6fser der Quotient Querspannung durch Breite und je kleiner der Quotient L\u00e4ngsspannung durch L\u00e4nge ist.\nDie Membran kann neben der Grundschwingung auch schwingende Abteilungen aufweisen, indem sie in 3, 5, 7, . . . L\u00e4ngsstreifen zerf\u00e4llt. Die Intensit\u00e4ten dieser Schwingungen sind indessen so klein, dafs sie nach (47) und (47a) vernachl\u00e4ssigt werden k\u00f6nnen.\nIst die Schwingungszahl n des erregenden Tones klein, d. h. geh\u00f6rt sie dem unteren Teil des H\u00f6rbereichs an, so ist nach (49)\ndie Wellenl\u00e4nge des durch ihn erzeugten Zuges 1\n1\nn\nF\u00fcr\ndie h\u00f6here Oktave sinkt also die Wellenl\u00e4nge auf die H\u00e4lfte. Ist dagegen der erregende Ton hoch, so ist nach (50) die Wellen-\nl\u00e4nge 1 ^ Hieraus w\u00fcrde sich erkl\u00e4ren, dafs in den h\u00f6heren V n\nTonlagen die Intervallempfindlichkeit und die Tonh\u00f6henunterschiedsempfindlichkeit fr\u00fcher verschwindet, als es sich allein aus der N\u00e4he der oberen H\u00f6rgrenze erkl\u00e4ren w\u00fcrde, wie bereits oben ausgef\u00fchrt wurde.\nIY. Kritik der Helmholtzschen Ableitungen\nDie mathematisch-physikalischen Unterschiede der beiden Theorien lassen sich jetzt im Anschlufs an die obigen Ausf\u00fchrungen leicht charakterisieren. Helmholtz1 geht von der Gleichung (32) aus, nimmt aber an, dafs die Membran zwischen den Schenkeln eines spitzen Winkels ausgespannt sei, und stellt die Randbedingung, dafs z im Scheitel und auf den Schenkeln des Winkels verschwinde und in gr\u00f6fser Entfernung vom Scheitel endlich sei. Ewald hat dagegen, wie oben erw\u00e4hnt und wie es hier angenommen wurde, die Membran in einem rechtwinkligen, langgestreckten Rahmen ausgespannt gedacht. Die Angaben\n1 H. von Helmholtz, Die Lehre von den Tonempfindungen. Beilage XI, 6. Auflage. Braunschweig 1913.","page":50},{"file":"p0051.txt","language":"de","ocr_de":"Die Ewaldsche H\u00f6rtheorie\n51\n\u00fcber die Masse der Membran in I, \u00a7 4 zeigen, dafs beide Annahmen ihre Berechtigung haben. F\u00fcr das Resultat ist indessen weniger die Form der Begrenzung ausschlaggebend, als die Annahme \u00fcber die Gr\u00f6fse der Spannungen und der D\u00e4mpfung, wie aus dem Folgenden hervorgeht.\nHelmholtz l\u00f6st die Gleichung (32) nach Einf\u00fchrung von Polarkoordinaten mit Hilfe bestimmter Integrale, von denen das eine unter der Voraussetzung, dafs die L\u00e4ngsspannung P verschwindend klein sei, gleich Null wird, w\u00e4hrend das andere integrabel wird. Er erh\u00e4lt so, in der hier verwendeten Bezeichnung, den Ausdruck (40) f\u00fcr sm, also unter Fortfall des hier in (39) in der eckigen Klammer stehenden Faktors\n4 A\n(I)\nF\u00fcr die Gr\u00f6fse h ist dabei in (40) der Wert aus (35) gesetzt worden. Die Breite b der Membran ist entsprechend der dreiecksf\u00f6rmigen Begrenzung bei Helmholtz ver\u00e4nderlich. Zu diesem Resultate sagt Helmholtz1:\n\u201eDieser Wert ist ganz unabh\u00e4ngig von der Gr\u00f6fse des Winkels, den die Membran ausf\u00fcllt. Statt der Entfernung x vom Scheitel kommt darin nur noch die Breite der Membran an der betreffenden Stelle vor. Derselbe Ausdruck wird also auch noch gelten, wenn der Winkel gleich Null ist, und die Membran zwischen zwei parallelen Linien wie eine Saite schwingt und dabei m schwingende Abteilungen bildet, die durch den R\u00e4ndern parallele Knotenlinien getrennt sind.\nF\u00fcr eine Saite \u00fcbrigens ergibt sich derselbe Ausdruck, wenn man von Anfang an z nur als Funktion von y in einer Linie betrachtet und als unabh\u00e4ngig von x ansieht, als Grenzbedingung aber festh\u00e4lt, dafs f\u00fcr y \u2014 dh b die Gleichung z = 0 stattfinde. Die Bewegung der Membran ist also dieselbe, als wenn sie aus einer Reihe nebeneinanderliegender unverbundener Saiten best\u00e4nde.\u201c\nEs ist klar, dafs man die Bewegung einer Saite erhalten mufs, wenn man die Spannung in der einen Richtung verschwinden und die Bewegung nur von einer Koordinate abh\u00e4ngig sein l\u00e4fst. Zu demselben Resultat gelangt man oben in (39),\n1 a. a. O. S. fi44.\n4*","page":51},{"file":"p0052.txt","language":"de","ocr_de":"52\nHans Koch\nwenn man die Abh\u00e4ngigkeit von f vernachl\u00e4ssigt, so dafs die eckige Klammer den Wert \u20141 annimmt. W\u00e4hrend also in den obigen Ableitungen die Voraussetzung gemacht wurde, die Ewald f\u00fcr gegeben ansieht, dafs die L\u00e4ngsspannung zwar klein sei, aber nicht gleich Null, und ferner geschlossen wurde, dafs der H\u00f6rbereich sich unterhalb der tiefsten Eigenschwingung der Membran befinden m\u00fcsse, der wegen ihrer Kleinheit ein sehr hoher Ton sein mufs, vertritt Helmholtz den Standpunkt, dafs gerade die Eigenschwingungen der Basilarmembran die Vermittler der Tonempfindungen seien. Er bemerkt dar\u00fcber:\n\u201eDer Wert von sm [in (I)] gibt uns die Amplitude der betreffenden Schwingungsform mit der Schwingungszahl und\nu Tt\nmit m schwingenden Querabteilungen der Membran. Das Maximum von sm wird eintreten, wo\n(II)\tm2 /T2 Q \u2014 b2n2/4 = 0\nDer Wert dieses Maximums selbst, den wir mit @ bezeichnen wollen, ist\n(in)\n4 A \u00eetny\nJe kleiner der Reibungskoeffizient y ist, desto gr\u00f6fser wird dies Maximum an der betreffenden Stelle werden.\nWenn wir den Wert von b, welcher die Gleichung (II) erf\u00fcllt, mit B bezeichnen, so k\u00f6nnen wir Gleichung (I) schreiben:\nSm\n\u00a9\nm4 7Z4 Q2\t\" 1 11\t\nn2y2\tLb2 B2J\t\nSobald y unendlich klein ist, und in Gleichung (II) die Bedingung des Maximums nicht erf\u00fcllt ist, wird der Nenner dieses Ausdrucks unendlich grofs, also sm unendlich klein. Nur f\u00fcr diejenigen Werte von B, welche b so nahe kommen, dafs B\u2014b\n1\nvon derselben Ordnung ist wie y, beh\u00e4lt \u2014 sm, die Amplitude\nder Schwingungen, einen endlichen Wert. Unter diesen Umst\u00e4nden werden also von jedem einfachen Ton nur gewisse, in Richtung der x schmale Streifen der Membran in Schwingung gesetzt, von denen der erste eine, der zweite zwei, der dritte drei usw. schwingende Abteilungen hat, und in denen die","page":52},{"file":"p0053.txt","language":"de","ocr_de":"Die Ewaldzehe R\u00f6rtheorie\n53\nGr\u00f6fse \u2014, d. h. die L\u00e4nge der schwingenden Abteilungen \u00fcberall\ndenselben Wert hat.\nJe gr\u00f6fser der Reibungskoeffizient y ist, desto mehr werden sich im allgemeinen die Schwingungen jedes Tones auf der Membran ausbreiten.\nDie hier ausgef\u00fchrte mathematische Analyse zeigt an, dafs jeder zugeleitete Ton auch alle diejenigen Querfaserz\u00fcge der Membran erregen mufs, auf denen er als Eigenton mit Bildung von Knotenpunkten erscheinen kann. Daraus w\u00fcrde folgen, dafs, wenn die Membran des Labyrinths von durchaus gleich-m\u00e4fsiger Struktur w\u00e4re, wie die hier vorausgesetzte Membran, jede Erregung eines Querfaserb\u00fcndels durch den betreffenden Grundton auch begleitet sein m\u00fcfste von schw\u00e4cheren Erregungen der ungeraden harmonischen Untert\u00f6ne, deren Intensit\u00e4t aller-\n11\t1\ndings mit den Faktoren\t, allgemein \u20142 multipliziert sein\ny u o\tm\nw\u00fcrde; doch ist im Ohr davon nichts zu bemerken. Ich glaube aber, dafs man dies nicht notwendig als einen Einwand gegen die hier durchgef\u00fchrte Theorie betrachten darf, da wahrscheinlich die Anhangsgebilde der Membrana basilaris die Bildung von T\u00f6nen mit Knotenlinien sehr erschweren.\u201c\nHierzu ist zu bemerken, dafs die Angabe Helmholtz\u2019, diese\nIntensit\u00e4ten seien mit zu multiplizieren, nicht richtig ist.\nBetrachtet man eine bestimmte Stelle, also ein festes b, so m\u00fcssen f\u00fcr diese Stelle der Membran dieselben Betrachtungen mafsgebend sein, die in Teil III an die Gleichung (47) angeschlossen wurden, da der HELMHOLTzsche Ausdruck (I) dem f\u00fcr eine Membran mit konstanter Breite geltenden III, (45) entspricht. Man h\u00e4tte also hier im Gegenteil zu schliefsen, dafs die Intensit\u00e4t der Schwingungen mit Bildung von Knotenpunkten verst\u00e4rkt wird, und da im Ohr nichts davon zu bemerken ist, mufs dies als ein Einwand gegen die Theorie betrachtet werden.\nAuch die Bemerkungen Helmholtz\u2019 \u00fcber den Ausdruck (IV) sind nicht ganz zutreffend. Der Nenner wird wohl unendlich grofs, sobald die D\u00e4mpfung y unendlich klein ist, aber sm wird nicht unendlich klein, sondern beh\u00e4lt seinen endlichen Wert, da auch der Z\u00e4hler @ im Nenner noch y enth\u00e4lt. Wenn dagegen y und zugleich die Differenz B\u2014b gleich Null ist, wird sm unend-","page":53},{"file":"p0054.txt","language":"de","ocr_de":"54\nHans Koch, Die Ewaldsche H\u00f6rtheorie\nlieh grofs. Ist aber y so grofs, dafs sm auch f\u00fcr die Eigent\u00f6ne B = b einen endlichen Wert beh\u00e4lt, so wird zwar f\u00fcr B =(= b der Wert von sm verringert werden, aber desto gr\u00f6fser wird auch die Breite des erregten Streifens sein.\nDie abweichende Formulierung der Randbedingungen bei Helmholtz ist, wie auch aus dem Vergleich der Resultate hervorgeht, von geringer Bedeutung. Man kann die L\u00f6sung Helmholtz\u2019, ohne weiteres auf den Fall ausdehnen, dafs die Membran nach Einf\u00fchrung der Polarkoordinaten noch durch zwei Kreisb\u00f6gen begrenzt wird, deren Mittelpunkt im Scheitel des begrenzenden Winkels liegt. Dem entsprechen dann in Wirklichkeit, also vor der Transformation, zwei elliptische Randkurven, die zu geraden Linien werden, wenn P verschwindet. Der L\u00f6sung ist dann ein Glied hinzuzuf\u00fcgen, das aus BESSELschen Funktionen mit zwei willk\u00fcrlichen Konstanten besteht, die so zu bestimmen sind, dafs sm an den beiden Randkurven verschwindet.\n\u2022\u2022\nWenn y klein ist, hat diese \u00c4nderung der Grenzbedingungen keinen wesentlichen Einflufs auf das Ergebnis, aufser wenn das Maximum der Bewegung in die N\u00e4he der Grenze f\u00e4llt.\nDer physikalische Unterschied zwischen den beiden Theorien besteht also darin, dafs Helmholtz den H\u00f6rbereich in das Gebiet der Eigenschwingungen der Basilarmembran verlegt, w\u00e4hrend f\u00fcr die EwALDsche Theorie das Gebiet unterhalb der Eigenschwingungen in Betracht kommt.","page":54}],"identifier":"lit36047","issued":"1928","language":"de","pages":"15-54","startpages":"15","title":"Die Ewaldsche H\u00f6rtheorie: Eine Untersuchung der mathematisch-physikalischen Grundlagen der Ewaldschen H\u00f6rtheorie, nebst einer allgemeinen Behandlung des Problems der erzwungenen, ged\u00e4mpften Schwingungen inhomogener Systeme","type":"Journal Article","volume":"59"},"revision":0,"updated":"2022-01-31T16:43:16.865574+00:00"}