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{"created":"2022-01-31T12:38:32.658067+00:00","id":"lit4145","links":{},"metadata":{"alternative":"Philosophische Studien","contributors":[{"name":"Merkel, Julius","role":"author"}],"detailsRefDisplay":"Philosophische Studien 4: 117-160","fulltext":[{"file":"p0117.txt","language":"de","ocr_de":"Das psychophysische Grundgesetz in Bezug auf Schallst\u00e4rken.\nVon\nDr. Julias Merkel.\nMit Tafel II.\nJJie bis jetzt ver\u00f6ffentlichten Versuche zur Pr\u00fcfung der G\u00fcltigkeit des Weber\u2019schen Gesetzes auf dem Gebiete der Schallempfindungen sind deshalb noch keineswegs als abschlie\u00dfende, zu betrachten, weil die Ermittlung der Schallst\u00e4rken selbst eine einwurfsfreie nicht genannt werden kann. Dieselben wurden nach der von Oberbeck aufgestellten Formel :\ni \u2014 cphf\nberechnet, indem man entweder, wie es von Volkmann1) und N\u00f6rr2) geschehen ist, ein constantes e f\u00fcr verschiedene H\u00f6hen anwandte, oder, indem man sich vorher experimentell ermittelter e-Wer the bediente, welche eine mehr oder weniger starke Zunahme mit der H\u00f6he zeigten, wie bei den Versuchen von Tischer3) und Lorenz4).\nDa indessen die bisher vorliegenden Versuche \u00fcber Schallst\u00e4rkemessung einerseits weder die Constanz des Exponenten e mit Sicherheit verb\u00fcrgen noch die Gr\u00f6\u00dfe desselben mit Genauigkeit feststellen, und da andererseits diejenigen Bestimmungen des s, welche zu einer Constanz desselben nicht gef\u00fchrt haben, vielfachen Anfechtungen unterliegen, so erscheint eine abermalige experimentelle Pr\u00fcfung des Weber\u2019schen Gesetzes geboten. Dieselbe wird sich bei den Vorunter-\n1)\tFechner, Elem. I, S. 178.\n2)\tZeitschrift f\u00fcr Biologie, Bd. XV. S. 297.\n3)\tWundt, Philos. Studien, I, S. 508.\n4)\tW un dt, Philos. Studien, II, S. 472.","page":117},{"file":"p0118.txt","language":"de","ocr_de":"118\nJulius Merkel.\nsuchungen \u00fcber die Bestimmungen der Schallst\u00e4rken selbst wie auch bei der eigentlichen Pr\u00fcfung des W eher\u2019sehen Gesetzes nicht allein auf die Methode der Minimal\u00e4nderungen beschr\u00e4nken, sondern in beiden F\u00e4llen die auf dem Gebiete der Schallst\u00e4rken bisher vernachl\u00e4ssigten Fehlermethoden eingehend ber\u00fccksichtigen.\nI. Methoden zur Bestimmung der Schallst\u00e4rke fallender Kugeln.\nA. Methode der Minimal\u00e4nderungen.\nDie Versuche \u00fcber Schallst\u00e4rkemessung, welche als Grundlage f\u00fcr Versuche zur Pr\u00fcfung des W eb er\u2019sehen Gesetzes gedient haben, wurden bisher zumeist nach der Methode der Minimal\u00e4nderungen ausgef\u00fchrt. Dabei wurden zwei Schalle, welche von verschiedenen Gewichten p und pi herr\u00fchrten, die von den H\u00f6hen h und hx auf eine schwingungsf\u00e4hige Platte fielen, solange gegen einander ver\u00e4ndert, bis sie als vollkommen gleich gesch\u00e4tzt wurden. Der Berechnung wurde dann die Oberbeck\u2019sche Formel:\nphe = px lixs\nzu Grunde gelegt. Dieselbe setzt nicht allein Proportionalit\u00e4t der Schallst\u00e4rke mit dem Gewicht voraus, sondern sie nimmt auch von vorn herein f\u00fcr verschiedene H\u00f6hen gleiche e an. Daher wird diese Formel nur dann einwurfsfrei angewandt werden k\u00f6nnen, wenn die Versuche die Proportionalit\u00e4t mit dem Fallgewicht und die Constanz von e that-s\u00e4chlich ergeben. Letzteres kann indessen von den meisten nach der Oberheck\u2019sehen Formel behandelten Versuchen nicht behauptet werden. Die zweite Unvollkommenheit der fr\u00fcheren Versuche liegt in der Methode zur Bestimmung desjenigen H\u00f6henpunktes, bei dem der Schall einer kleinen Kugel dem einer gr\u00f6\u00dferen von constanter H\u00f6he herabfallenden gleich wird. Geht man n\u00e4mlich von einem \u00fcbermerklichen Schalle aus, um sich dem Gleichheitspunkte zu n\u00e4hern, so wird man von demselben eine gr\u00f6\u00dfere Anzahl von Centimetern entfernt bleiben, als wenn man sich von einem untermerklichen Schalle dem Gleichheitspunkte n\u00e4hert. Das muss consequenter Weise ein-treten, wenn das Weber\u2019sche Gesetz gilt, es hat sich aber auch durch den Versuch in \u00fcberraschender Weise best\u00e4tigt. Vergleicht man n\u00e4mlich nach der Methode der Minimal\u00e4nderungen zwei Schalle, die von","page":118},{"file":"p0119.txt","language":"de","ocr_de":"Das psychophysische Grundgesetz in Bezug auf Schallst\u00e4rken.\n119\ngleich schweren Kugeln herr\u00fchren, so erh\u00e4lt man durch Mittelziehung stets einen gr\u00f6\u00dferen Werth f\u00fcr hy als die constante H\u00f6he h, von der man die eine Kugel fallen l\u00e4sst.\nDie von Starke \u2018) ver\u00f6ffentlichten neuesten Versuche \u00fcber Schallst\u00e4rken haben zwar in einwurfsfreier Weise die Proportionalit\u00e4t f\u00fcr die Schallst\u00e4rke mit der lebendigen Kraft nachgewiesen. Berechnet man aus ihnen den Exponenten s bei Elimination des oben erw\u00e4hnten durch das W eber\u2019sche Gesetz bedingten Fehlers, so erh\u00e4lt man im Mittel den Werth 1. Da indessen auch bei diesen Versuchen die Deformation und vor allem der R\u00fcckprall einen jedenfalls betr\u00e4chtlichen Schallverlust bedingten, so geben die Starke\u2019schen Versuche kein allgemeing\u00fcltiges Ma\u00df f\u00fcr die Schallst\u00e4rken.\nDie nachstehenden Versuche gehen nun von folgenden Gesichtspunkten aus. Jede Schallst\u00e4rke i, welche durch Herabfallen einer Kugel p von bestimmtem Gewicht aus einer gewissen H\u00f6he h erzeugt wird, l\u00e4sst sich ausdr\u00fccken durch :\nI)\ti \u2014 p*! h{.\nDie lebendige Kraft ph der fallenden Kugel setzt sich im allgemeinen zum Theil in Schall, zum Theil in elastischen R\u00fcckprall und Deformation um. Die letzteren Transformationen der lebendigen Kraft bedingen, dass ein mehr oder weniger gro\u00dfer Theil der lebendigen Kraft f\u00fcr den Schall verloren geht. Daher werden die Exponenten rj und s f\u00fcr ganze p und h kleiner als 1 anzunehmen sein.\nNeben der Ermittlung der absoluten Werthe f\u00fcr rj und e handelt es sich vor allem darum zu untersuchen, wie die Schallst\u00e4rke mit der H\u00f6he und dem Gewicht w\u00e4chst. Vergleicht man zu diesem Zwecke mit dem Schalle I einen zweiten, der durch das Fallen einer leichteren Kugel py erzeugt wird, so kann man letzteren dem ersteren gleich machen, wenn man die Kugel p t von einer gr\u00f6\u00dferen H\u00f6he hx herabfallen l\u00e4sst. Der Schall dieser Kugel wird dann ausgedr\u00fcckt werden k\u00f6nnen durch :\nH)\til=p1Vihlei.\nF\u00fcr i = \u00abj ergeben die Formeln I und II die Beziehung:\n1) Wundt, Philos. Studien, III, S. 264.","page":119},{"file":"p0120.txt","language":"de","ocr_de":"120\nJulius Merke!.\nIll)\tp*lh* =pVlJhfi,\nwelche f\u00fcr \u00ab, aufgel\u00f6st den Werth liefert:\nUI')\t\u00a3 \u2014 il Ipg P \u2014 gl lpg Pl) +1 los j\n1\tlog\nDiese Formel w\u00fcrde die Berechnung von et gestatten, wenn man ex sowie die Exponenten rj und auf irgend einem Wege ermitteln k\u00f6nnte. Auf Grund des so gewonnenen k\u00f6nnte man \u00ab2 f\u00fcr eine gr\u00f6\u00dfere H\u00f6he h2 ermitteln auf Grund der Formel :\n\u201e __ iv log p \u2014 Vi log Pi) + \u00ab1 log h\n2\u201c\tlog ^2\nunter Benutzung dieses f-Werthes sodann e3 f\u00fcr \u00e43 nach einer analogen Formel u. s. w.\nVerzichtet man darauf, aus den Werthen rj allein schon auf das Wachsen der Schallintensit\u00e4t mit dem Gewicht Schl\u00fcsse ziehen zu wollen, sondern geht man zu dem Zwecke jederzeit auf die Werthe i \u2014 pr\u2018hs zur\u00fcck, so kann man f\u00fcr ein gewisses^ und h die Annahme rj = e machen, also etwa an Stelle von I setzen :\nF)\ti = [phy.\nDie Kenntniss von e w\u00fcrde in der That zur Bestimmung dieser einen Schallintensit\u00e4t hinreichen. F\u00fcr weitere Gewichte pi,p2 u. s. w. empfiehlt sich indessen die Einf\u00fchrung der rj, namentlich wenn sie in einer und derselben Formel mit p auftreten, wie es bei den Formeln III der Fall ist. Es macht sich sonach au\u00dfer der Bestimmung des Werthes f\u00fcr rj \u2014 e noch die Ermittelung von erforderlich.\nDie Bestimmung des s in Formel I' geschah auf folgende Weise.\nMit einer Messingkugelwurde eine beinahe gleich schwere Elfenheinkugel P verglichen. Die H\u00f6he wurde so gew\u00e4hlt, dass die Deformation der au\u00dferordentlich elastischen Elfenheinkugel und der elastischen Unterlage als verschwindend klein angesehen werden konnte, der elastische R\u00fcckprall wurde experimentell ermittelt.. Erweisen sich die Schallintensit\u00e4ten hei der Fallh\u00f6he H der Elfenbeinkugel und der H\u00f6he h der Messingkugel als gleich und ist Hv der elastische R\u00fcckprall der Elfenheinkugel bei der H\u00f6he H, so hat man :\n{phy = P [H \u2014 Hi), woraus f\u00fcr e der Werth:","page":120},{"file":"p0121.txt","language":"de","ocr_de":"Das psychophysische Grundgesetz in Bezug auf Schallst\u00e4rken.\n121\nTVI\t* \u2014 log j\u00b0 + log (-ff\u2014 ff,)\n'\tlog p + log h\nsich ergibt.\nZur Kenntniss des Werthes gelangten wir sodann auf folgendem Wege.\nZun\u00e4chst wurden die s auf Grund der Formeln III f\u00fcr eine Reihe von h unter der Annahme rj \u2014 berechnet. Auf Grund dieser wurden sodann f\u00fcr einige neue Gewichte die rj nach der Formel:\n- ** log K\nV)\n\u201e ____ Vl log.Pl + El log h\nVx\t\u00efogpT\"\nbestimmt. F\u00fcr dieselben Gewichte wurden die Verluste der Schallintensit\u00e4t durch R\u00fcckprall ermittelt.\nBildet man dann die Verh\u00e4ltnisse A = f\u00fcr die durch obige\npn\t\u00b0\nVersuche ermittelten Schallintensit\u00e4ten und diejenigen, welche sich nur nach Abzug des R\u00fcckpralls ergehen, so kann man den Werth von t]i 80 genau, als es nur verlangt werden kann, bestimmen unter der Voraussetzung, dass der Verlust durch Deformation vom Gewicht P bis Pi ebenso verl\u00e4uft, wie vom gr\u00f6\u00dften untersuchten Gewicht bisp.\nSo ergaben sich beispielsweise hei den Versuchen f\u00fcr die Gewichte 3,5; 4,95; 9,93 und 19,74g die folgenden Werthe:\nA _ J>*A* ph\t3,5\t4,95\t9,93\t19,74\nNach Abzug des R\u00fcckpralls\t0,497\t0,508\t0,537\t0,564\nNach Abzug des R\u00fcckpralls und der Deformation.\tX\t0,455\t0,430\t0,390\nVerlust durch Deformation.\ty\t0,053\t0,107\t0,174\nEntwirft man eine Curve, deren Ahscissen die p und deren Or-dinaten die Werthe der letzten Horizontalreihe sind, und setzt man dieselbe bis 3,5 fort, so ergibt sich der Werth y = 0,035 f\u00fcr p = 3,5 und x berechnet sich aus der Gleichung x + y s= 0,497 zu 0,462.\nAus \u2019P'pih\" ~ \u00b0>462 un<^ Pptjl ~ 0,455 berechnet sich aber:\nVI)\tpV = \u00fc . O\u2019455\nPir\u2018i pi 0,4t>2\nHieraus k\u00f6nnte man berechnen, da rj \u2014 e bekannt ist. Indessen ist diese Berechnung zur endg\u00fcltigen Ermittlung der e nicht n\u00f6thig,","page":121},{"file":"p0122.txt","language":"de","ocr_de":"122\nJulius Merkel.\nda die Formeln III den Logarithmus des Ausdruckes VI enthalten. In den meisten F\u00e4llen liefert die nochmalige Berechnung der e auf Grund des Werthes VI s-Werthe, die einer weiteren Correctur nicht bed\u00fcrfen. Im entgegengesetzten Falle m\u00fcssen auf Grund dieser e die rj nochmals berechnet und x beziehentlich y genauer ermittelt werden.\nIn dem angegebenen Verfahren wurde ich, nach vielen vergeblichen Bem\u00fchungen den Werth VI zu ermitteln, durch folgende Versuchsergebnisse best\u00e4rkt. Unter der Annahme, dass f\u00fcr die Aenderung des p von 3,5 bis 4,95 g die Variabilit\u00e4t von rj jedenfalls vernachl\u00e4ssigt werden k\u00f6nne, hatte ich die e f\u00fcr die H\u00f6hen 10 bis 140cm bei dem Gewichtspaare 3,5 und 4,95 g und sodann die rj f\u00fcr die Gewichtspaare 7,34 und 9,93g sowie 14,80 und 19,74g ermittelt, und f\u00fcr beide Gewichtspaare die e f\u00fcr das oben genannte H\u00f6henintervall experimentell bestimmt. Dabei zeigte sich, dass ein immer rascheres Ansteigen der e mit, den H\u00f6hen eintrat. Als ich dann auf dieselben Versuche die oben\ndargestellte Methode zur Bestimmung von log ('^\u00ffl) anwan(^te un(l\ndie e auf Grund dieses Werthes berechnete, ergaben sich bei allen 3 Gewichtspaaren sehr gut \u00fcbereinstimmende e-Werthe f\u00fcr dieselben H\u00f6hen. F\u00fcr die Berechnung der Web er\u2019sehen Versuche waren die letzteren s ebenfalls geeigneter, wiewohl auch die auf Grund der Annahme rj \u2014 rji gefundenen das Gesetz noch gut best\u00e4tigten. Die technische Ausf\u00fchrung der Versuche gestaltete sich nun in folgender Weise.\nZun\u00e4chst wurde der R\u00fcckprall der verschiedenen Kugeln durch je 100 Versuche ermittelt. Ueber das unter einer Neigung von etwa 10\u00b0 stehende Fallbrett wurde eine horizontal liegende Platte geschoben, auf welcher \u00fcbereinandergelegt 1 Bogen wei\u00dfes und 1 Bogen leicht abf\u00e4rbendes Papier befestigt waren. Die Kugeln fielen durch R\u00fcckprall auf diese Unterlage und zeichneten den Punkt auf, bis zu welchem sie zur\u00fcckgeworfen wurden. Hieran schlossen sich die Versuche zur Bestimmung der grundlegenden Werthe rj = e und des Ausdruckes\npV und daran wieder je 100 R\u00fcckprallversuche f\u00fcr die einzelnen\nPi^i \u2019\nKugeln. Die Wurfweiten wurden durch Abmessung mittels eines drehbaren, im Aufschlagepunkte der Kugeln durch einen feinen Stift befestigten Ma\u00dfstabes bestimmt und das Mittel aus je 200 Versuchen als Wurfweite w angenommen.","page":122},{"file":"p0123.txt","language":"de","ocr_de":"Das psychophysische Grundgesetz in Bezug auf SchaUst\u00e4rken.\nm\nBezeichnet a (Fig. 1, Taf. II) die Neigung des Fallbretts gegen die Horizontale, \u00df den Winkel, unter welchem die Kugel das Fallbrett trifft und unter dem sie von demselben zur\u00fcckgeworfen wird, und schlie\u00dflich y den Winkel, unter dem die Kugel zur Horizontalebene zur\u00fcckprallt, so ist :\n\u00df \u2014 90 \u2014 \u00ab; y \u2014 90 \u2014 2a.\nDie Geschwindigkeit, mit welcher die Kugel zur\u00fcckgeworfen wird, berechnet sich nach der Formel :\n\u25a09\n2 7\n1 / w . t\nv=V^ri\nDaraus bestimmt sich die H\u00f6he, bis zu welcher sie durch diese Geschwindigkeit senkrecht emporsteigen w\u00fcrde, aus h' \u2014 ~ zu :\nVII)\nh\u2019 =\n2 sin 2 7 '\nDie Methode der Minimal\u00e4nderungen, durch welche die h2 u. s. w. gewonnen wurden, war folgender Art.\nDie Kugel p wurde zun\u00e4chst von der H\u00f6he h = 10 cm fallen gelassen und damit die Schallst\u00e4rken der kleineren Kugel pl verglichen. Man geht zu dem Zwecke zun\u00e4chst von einem untermerklichen Reize aus und erh\u00f6ht ihn soweit, bis beide Schallst\u00e4rken eben sicher als gleich beurtheilt werden, und dann langsam soweit zur\u00fcck, bis sich beide Schallintensit\u00e4ten eben wieder mit Sicherheit unterscheiden lassen. Beide Punkte werden notirt.\nIn gleicher Weise verf\u00e4hrt man von einem \u00fcbermerklichen Reize ausgehend. Beide Versuchsgattungen werden f\u00fcr beide Zeitfolgen ausgef\u00fchrt, d. h. einmal, wennp, und sodann, wennpx zuerst f\u00e4llt. Zur gr\u00f6\u00dferen Sicherheit wurden die n\u00e4mlichen Versuche nach einer Pause nochmals durchgef\u00fchrt und dabei erst von einem \u00fcbermerklichen und dann von einem untermerklichen Reize ausgegangen und gleichzeitig ein Wechsel der Zeitlagen vorgenommen. Nach Berechnung des e f\u00fcr \\ fiel die Kugel p von dieser H\u00f6he und man ermittelte das entsprechende h2 f\u00fcr p{ u. s. w. Hatte man die e f\u00fcr die H\u00f6hen 10 bis 140 cm gewonnen, so wurden die Versuche r\u00fcckw\u00e4rts ausgef\u00fchrt, pi fiel alsdann von der H\u00f6he h{ = 140 cm, und man bestimmte h f\u00fcr die schwerere Kugel p durch die Methode der Minimal\u00e4nderungen in oben angegebener Weise. Zur Berechnung der s diente jetzt die Formel :","page":123},{"file":"p0124.txt","language":"de","ocr_de":"124\nJulius Merkel.\nIll\")\n\nei log hj \u2014 (g logp \u2014 m log\u00a3i)\nlog\u00c6\nAus beiden Reihen von e-Werthen wurden die arithmetischen Mittel genommen und bei Berechnung der Schallst\u00e4rken f\u00fcr die Web ersehen Versuche angewandt.\nMit diesen Versuchen wurden Versuche verbunden, welche die Elimination des durch das Weber\u2019sche Gesetz bedingten Fehlers in der Bestimmung des Gleichheitspunktes bezweckten. Dieselben wurden in gleicher Weise wie die mit den Gewichten p und p1 angestell-ten Versuchsreihen mit zwei gleich schweren Kugeln p ausgef\u00fchrt.\nBezeichnen wir das Mittel aller 8 Aufzeichnungen beim Ausgange von einem untermerklichen Unterschiede durch hu und das Mittel beim Ausgange von einem \u00fcbermerklichen durch h0, so ergaben sich bei h \u2014 20 z. B. f\u00fcr hu und h0 die Werthe 16 cm und 26 cm. Das arithmetische Mittel dieser Gr\u00f6\u00dfen ist 21, demnach h um 1 cm oder 5 % falsch bestimmt. Wollte man den Werth 21 corrigiren, so w\u00fcrde das am besten durch Verkleinerung von h0 geschehen, das offenbar infolge der G\u00fcltigkeit des Web er\u2019sehen Gesetzes zu gro\u00df gefunden w\u2019orden ist. Die Verminderung von h0 geschieht durch Multiplication mit einem Re-ductionsfactor, der sich bestimmt aus :\nRh0 = h -j- [h \u2014 hu),\nwo linker Hand derjenige Werth von h0 steht, der mit hu zum Mittel vereinigt das richtige h geben w\u00fcrde. F\u00fcr den Reductionsfactor erh\u00e4lt man sonach :\nVIII)\tR =\n27\u00bb-\nd. h. f\u00fcr obigen speciellen Fall 0,92.\nMultiplicirt man mit diesem Factor auch das h0 des Gewichts pt, so gibt das arithmetische Mittel aus diesem Werthe und hu den richtigen Gleichheitspunkt oder den Werth ht. Die Reductionsfactoren erwiesen sich f\u00fcr die einzelnen Reihen sowohl, wie \u00fcberhaupt f\u00fcr alle Versuche als gut \u00fcbereinstimmend. Damit bereits ist die G\u00fcltigkeit des Web er\u2019sehen Gesetzes als wahrscheinlich nachgewiesen; denn der Werth R l\u00e4sst sich darstellen durch:\nworin die Gr\u00f6\u00dfen a und b j-^- und y -j abgesehen von dem Einfluss des e constant sein m\u00fcssen.","page":124},{"file":"p0125.txt","language":"de","ocr_de":"Das psychophysische Grundgesetz in Bezug auf Schallst\u00e4rken.\n125\nDie i] wurden auf Grund der e -Werthe ebenfalls in doppelter Weise ermittelt. Einmal fiel das gr\u00f6\u00dfere Gewicht p von der H\u00f6he 20 cm und es wurde die H\u00f6he hy f\u00fcr py gesucht, bei welcher die Schallst\u00e4rken gleich stark wurden; das andere Mal fiel dagegenp1 von der H\u00f6he 30 cm und man bestimmte die H\u00f6he h des Gewichts y;. Die Elimination des Zeitfehlers und des durch das W eher\u2019sehe Gesetz bedingten Fehlers geschah wie bei den \u00ab-Bestimmungen, zur Berechnung der rj diente die fr\u00fcher angegebene Formel V, in welcher rjy nach der fr\u00fcher angegebenen Weise ermittelt worden war. F\u00fcr jedes folgende Gewicht bildete das jeweils zuletzt ermittelte rj die Grundlage. F\u00fcr die Bestimmung der rj f\u00fcr kleinere Gewichte alspt war die Formel:\nIX)\tr; = \u2014 logi>1 + 61 log hl \u2014 e\u00ab log h.\nIy\tlog Py\nanzuwenden, in welcher hy hy, w\u00e4hrend in Formel V hx hy gefunden wurde.\nBei den e- und ^-Bestimmungen der ersten Gruppe wurden die grundlegenden Werthe e = rj noch nicht mit Benutzung von Elfenbeinkugeln ermittelt, sondern aus dem R\u00fcckprall der Messingkugeln selbst. Daher sind die Schallst\u00e4rken dieser Gruppe s\u00e4mmtlich etwas zu gro\u00df bestimmt. F\u00fcr die W eb er\u2019sehen Versuche ist dieser Umstand von keiner st\u00f6renden Einwirkung, weshalb von der Mittheilung dieser Versuche nicht Abstand genommen wurde.\nDie s- und ^-Bestimmungen der Gruppen II und lila sind vollst\u00e4ndig nach den im vorstehenden entwickelten Grunds\u00e4tzen erfolgt, bei den analogen Bestimmungen der Gruppe HIb wurden die Gleichheitspunkte mittels der Fe chn er\u2019sehen Methode der richtigen und falschen F\u00e4lle gewonnen. Da diese Methode in der von uns angewandten Weise \u00fcberhaupt noch nicht zur Verwendung gekommen ist und zuweilen die Meinung Ausdruck gefunden hat, sie stehe auf dem Gebiete des Schalles hinter derjenigen der Minimal\u00e4nderungen zur\u00fcck, so m\u00fcssen wir eine eingehendere Darstellung und experimentelle Begr\u00fcndung dieser Methode vorausschicken.\nB. Methode der richtigen und falschen F\u00e4lle.\nDie folgende Darstellung der Fechner\u2019sehen1) Methode der richtigen und falschen F\u00e4lle soll sich speciell nur auf die Versuche im Gell Fechner, Revision der Hauptpunkte der Psychophysik, S. 84.","page":125},{"file":"p0126.txt","language":"de","ocr_de":"126\nJulius Merkel.\nbiete der Schallempfindungen st\u00fctzen; sie wird in einzelnen Punkten auch die M\u00fcll er\u2019sehe1) Kritik und die von M\u00fcller herr\u00fchrenden Erg\u00e4nzungen ber\u00fchren und die noch zweifelhaften Punkte theoretisch und experimentell beleuchten.\n1. Zur Theorie der Methode.\nWir gehen von der Annahme aus, dass die Versuche nach der Methode der richtigen und falschen F\u00e4lle zun\u00e4chst mit zwei objectiv vollst\u00e4ndig gleichen Reizen i und ix angestellt werden, von denen dann der zweite vergr\u00f6\u00dfert werden soll. Im Sinne der Fechner\u2019schen Methode wird bei Vergleichung der Reize verlangt, wom\u00f6glich stets einen Unterschied herauszufinden oder, mit andern Worten, bald das Urtheil i >> il. bald i < ix abzugeben. Da wo ein Unterschied absolut nicht zu bemerken, oder wo uns die Richtung desselben nicht klar zum Bewusstsein kommt, wird das Urtheil zweifelhaft lauten. Das Urtheil ix ]> i wird als richtig, das Urtheil ix i als falsch bezeichnet. Obwohl die Constatirung eines Unterschiedes zwischen zwei objectiv gleichen Reizen durch falsche Auffassung jedes der beiden Reize sich erkl\u00e4rt, so k\u00f6nnen wir doch die Annahme machen, es w\u00fcrde i richtig aufgefasst, nur bei Beurtheilung von ix w\u00fcrden bald gr\u00f6\u00dfere, bald kleinere, bald nach dieser Richtung, bald nach jener Richtung gehende Fehler begangen.\nWerden die Reize i und \u00abj durch den Fall gleicher Kugeln p von der n\u00e4mlichen H\u00f6he h erzeugt, ist also i = iy so wird man daher annehmen k\u00f6nnen, es sei eine gleiche Anzahl richtiger und falscher F\u00e4lle vorhanden, weshalb die zweifelhaften in diesem Falle ohne Bedenken halb den richtigen und halb den falschen zugez\u00e4hlt werden k\u00f6nnen. Man erh\u00e4lt dann :\nI)\nVergleichen wir zwei Reize, deren Intensit\u00e4ten wir nicht kennen, so wird daher das Crit\u00e9rium der Gleichheit bei n Versuchen lauten :\n1) M\u00fcller, Zur Grundlegung der Psychophysik, S. 11.","page":126},{"file":"p0127.txt","language":"de","ocr_de":"Das psychophysische Grundgesetz in Bezug auf Schallst\u00e4rken.\n127\nII)\nLassen -wir nunmehr *j i werden, so werden sich die Fehler, welche wir hei Beurtheilung von iy begehen, in \u00e4hnlicher Weise darstellen lassen, nur wird sich der Spielraum \u00fcber ein gr\u00f6\u00dferes H\u00f6henintervall ausdehnen, da der mittlere wahrscheinliche Fehler hei Beurtheilung eines Reizes diesem proportional zu setzen ist. Die Zeichnungen I und II (Fig. 2), unter denen I dem Fall iy = i und II dem Fall ix > i entspricht, lassen erkennen, dass die Urtheile richtig so lange auf Kosten der falschen zunehmen, als \u00fcberhaupt noch falsche F\u00e4lle vorhanden sind. Die Anzahl der zweifelhaften F\u00e4lle wird mit der Zunahme von iy abnehmen, da die Fehler in der N\u00e4he von *j in gr\u00f6\u00dferer Zahl liegen. Auch hier empfiehlt sich die Halhirung der zweifelhaften F\u00e4lle, da die verh\u00e4ltnissm\u00e4\u00dfige Theilung jedenfalls nach der andern Seite gr\u00f6\u00dfere Fehler bedingen w\u00fcrde. Doch bezieht sich dies streng genommen nur auf die Gleichheitsf\u00e4lle, die eigentlich zweifelhaften d\u00fcrften theoretisch die proportionale Vertheilung erfordern. Indessen kommen derartige F\u00e4lle so selten vor, dass ihre besondere Beachtung v\u00f6llig \u00fcberfl\u00fcssig erscheint.\nDie Gr\u00f6\u00dfe G der Zunahme der richtigen F\u00e4lle r' im Vergleich zu den falschen f wird von der Gr\u00f6\u00dfe der Zunahme D der beiden Reize i und iy abh\u00e4ngen. Sie berechnet sich nach Fechner durch:\nmD = t0\n0\nAlsdann ergehen sich die Formeln:\n(\tmD \u2014 t0\nrr f\t....\nwelche durch Addition-|- \u2014 = 1 geben und f\u00fcr D \u2014 0 sich in\nn n\t\u00b0\ndie Formeln II verwandeln.\nBezeichnen wir das Gebiet, innerhalb welches die Urtheile zweifelhaft lauten, durch S und die unter und \u00fcber dem wahren Gleich-","page":127},{"file":"p0128.txt","language":"de","ocr_de":"128\nJulius Merkel.\n*\nheitspunkte gelegenen Theile von S durch <S', und S2, so bestimmen sich diese Schwellen nach Fechner in folgender Weise. Die Formel I gibt, wenn wir von dem Werthe r' die Gr\u00f6\u00dfe abziehen, of-\nfenbar den Werth r. Die F\u00e4lle entsprechen aber dem Gebiet\nL\nDaher wird aus der ersten Formel III:\nm(D \u2014 Si) = h\nF\u00fcgen wir aber zu r' noch y hinzu, so ergibt sich r z und diese F\u00e4lle entsprechen der Zulage B + <S*2. Daher wird:\nm(D + &) = hi\nMit R\u00fccksicht auf die Fundamentaltabelle wird :\n(m(B \u2014 \u00a3i) = tA\n1\t\\m(B + S2) = tj \u2019\nw\u00e4hrend die erste Formel III liefert:\nYI)\tmB \u2014 t0.\nDie Gleichungbn Y und VI geben :\nVII) m = \u00a3; $ =\tD ; S2 =\nDa S = Sx + \u00c42, so wird : /S' =\tB = -=-\u00a3 .\nt0\tm\nM\u00fcller1) stellt von vorn herein f\u00fcr die Intervalle D \u2014 <Si und B Ar S2 den Formeln IV entsprechende Formeln auf und setzt dabei\nSl = S2 =y-. Dadurch erh\u00e4lt er :\nvni)\n+ 2# -1- & j S=2B \u2022\tI\n\u00a3\n2\nVon verschiedenen Seiten wurde geglaubt, dass das M\u00fcl 1er\u2019sehe oder die F echner\u2019sehen Werthe Si und S2 mit den Unterschieds-\n1) M\u00fcller, Zur Grundlegung der Psychophysik, S. 20.","page":128},{"file":"p0129.txt","language":"de","ocr_de":"Das psychophysische Grundgesetz in Bezug auf Schallst\u00e4rken.\n129\nschwellen der Methode der Minimal\u00e4nderungen identisch seien, was jedoch deshalb nicht der Fall sein kann, weil die Beurtheilung der Schallst\u00e4rken hei der Fechner\u2019schen Methode der richtigen und falschen F\u00e4lle eine wesentlich andere ist, als bei der Methode der Mini-mal\u00e4nderungen. Die Schwellen S2 und \u00c4y werden jedenfalls wesentlich kleiner als diejenigen der Methode der Minimal\u00e4nderungen, den letzteren jedoch h\u00f6chst wahrscheinlich proportional sein. Daher verdient auch die Fechner\u2019sche Bestimmung dieser Gr\u00f6\u00dfen vor der M\u00fcller\u2019sehen den Vorzug, denn sie liefert S2 &11)- h*a indess die Werthe und S2 nur klein ausfallen k\u00f6nnen, ist dieser Differenz zwischen Fechner und M\u00fcller eine besondere Bedeutung nicht beizumessen.\nBei Fe chner bedeutet m2) das Ma\u00df der Genauigkeit, mit welcher man den Unterschied zweier Reize auffasst, M\u00fcller dagegen f\u00fchrt in seine Formeln die Pr\u00e4cisionsma\u00dfe der einzelnen Reize selbst ein. Bezeichnen wir die Pr\u00e4cisionsma\u00dfe der Reize i und \u00ab, durch Mund Mx, so findet zwischen dem Fechner\u2019schen m und den M\u00fcller\u2019schen M und Mi folgende Beziehung statt :\nIX)\nM Mx\n\u00ffM\u00cf+JkU2 '\nDie Gr\u00f6\u00dfe \u00f6 in der ersten Formel VIII hat den Werth : \u00f6 \u2014 ^ ,,\t.\nMi\nM\u00fcller erw\u00e4hnt, dass \u00f4 bei nicht zu gro\u00dfem D = ix \u2014 i gleich 0 gesetzt werden k\u00f6nne. Dann stellt sich die Beziehung zwischen dem Fechner\u2019schen und M\u00fcller\u2019schen Pr\u00e4cisionsma\u00dfe dar durch:\nIX')\nDa der bei Beurtheilung eines Reizes begangene wahrscheinliche Fehler F umgekehrt proportional dem Pr\u00e4cisionsma\u00dfe ist, so ergibt sich f\u00fcr das M\u00fcl 1er\u2019sehe M noch die Relation:\nX)\n1\n1} Vgl. hierzu Fechner, Revision der Hauptpunkte der Psychophysik, S. 72.\n2) Da von uns A zur Bezeichnung der Fallh\u00f6hen angewandt worden ist, bezeichnen wir das Fechner\u2019sche Pr\u00e4cisionsma\u00df h durch m, das M\u00fcller\u2019sche durch M bez. Mi, M2 u. s. w.\nWundt, Philos. Studien. IV.\n9","page":129},{"file":"p0130.txt","language":"de","ocr_de":"130\nJulius Merkel.\nw\u00e4hrend sich f\u00fcr den mittleren wahrscheinlichen Fehler hei Beurthei-lung der Differenz T) =\t\u2014 i ergibt :\nX')\nF' = -4= - \u2014F.\nm |/7x\tm\nDemnach ist F durch Multiplication des Fehlers F mit zuleiten.\nM\nleicht ab-\nDer Haupteinwand, den Fechner gegen die Einf\u00fchrung der Pr\u00e4cisionsma\u00dfe M und M\\. erhoben hat, gipfelt in dem Vorwurf, dass M\u00fcller zwar zu der Beziehung:\nXI)\ni___Mi\nH M 1\naber nicht bis zum erforderlichen Ziele, n\u00e4mlich nicht bis zur Gewinnung eines als Ma\u00df der Unterschiedsempfindung brauchbaren Pr\u00e4-cisionsma\u00dfes gelangt sei. Hiergegen l\u00e4sst sich folgendes erwidern.\nUnter Voraussetzung der G\u00fcltigkeit des Web er\u2019sehen Gesetzes wird offenbar der wahrscheinliche Fehler, den man bei Beurtheilung einer Schallst\u00e4rke begeht, proportional der Schallst\u00e4rke sein, mithin das Pr\u00e4cisionsma\u00df f\u00fcr die Auffassung dieser Schallst\u00e4rke umgekehrt proportional derselben. Sonach ist die M\u00fcller\u2019sche Relation XI eine unmittelbare Folge des Weber\u2019schen Gesetzes. Bestimmt man jedoch die Fechner\u2019sehen Pr\u00e4cisionsma\u00dfe m1 und m% f\u00fcr zwei verschiedene D. so f\u00fchrt die G\u00fcltigkeit des Weber\u2019schen Gesetzes nicht etwa zur Constanz der Pr\u00e4cisionsma\u00dfe, wie vielfach vorausgesetzt worden ist, sondern es muss infolge der Relationen IX und XI die Beziehung :\nXII)\tV\u00dfTjl =\n'\ty {2 _(_ j22\t\u00bb\u00bb1\nerf\u00fcllt sein. Sonach m\u00fcssen sich nach M\u00fcller die Werthe iM, M{, \u00ab2 Mi u. s. w. als constant erweisen, nach Fechner die Ausdr\u00fccke mt Vi2Vi2 + *221 V*'2 + 42 n. s. w., wenn die G\u00fcltigkeit des Weber\u2019schen Gesetzes erwiesen sein soll. Dieses Crit\u00e9rium gilt nicht nur f\u00fcr das n\u00e4mliche i bei verschiedenen D, beziehentlich %, \u00ab2, % u. s. w., sondern auch f\u00fcr verschiedene t, also ganz allgemein.\nM\u00fcller h\u00e4lt jedoch das Pr\u00e4cisionsma\u00df durchaus f\u00fcr ungeeignet zur Pr\u00fcfung des Web er\u2019sehen Gesetzes. Er gr\u00fcndet dieselbe vielmehr auf die Ermittelung der Unterschiedsschwelle S, die er der-","page":130},{"file":"p0131.txt","language":"de","ocr_de":"Das psychophysische Grundgesetz in Bezug auf Schallst\u00e4rken.\n131\njenigen der Methode der Minimal\u00e4nderungen schlechthin identisch annimmt. Abgesehen davon, dass diese Identit\u00e4t keineswegs anzunehmen, ist sowohl die Fechner\u2019sche als auch die M\u00fcller\u2019sehe Ableitung der Schwellenwerthe nur unter der Voraussetzung streng richtig, dass sich m mit dem Werthe D nicht \u00e4ndert. Nach Fechner w\u00fcrde man streng genommen haben :\nVII')\tJS,, = D \u2014 \u00b1 ; 3!, = -k \u2014 D.\n'\t1\tmi\t1\tmu\nNun besteht, wie die vorausgehenden Entwicklungen gezeigt haben, die Beziehung :\n#V> m>ma1\nweshalb f\u00fcr die den Formeln VII zu Grunde liegende Voraussetzung ml = m \u2014 mu die Gr\u00f6\u00dfen <Si und zu klein gefunden werden. Aehn-liches gilt nat\u00fcrlich auch f\u00fcr den M\u00fcller\u2019schen Schwellenwerth S.\nDas M\u00fcll er\u2019sehe Crit\u00e9rium f\u00fcr die G\u00fcltigkeit des W eber \u2019sehen Gesetzes ist abgesehen von der Unm\u00f6glichkeit einer exacten Bestimmung von S vor allem auch deshalb unsicher, weil es sich lediglich auf die Anzahl der vorkommenden z gr\u00fcndet, d. h. gerade auf diejenigen Urtheile, welche unserer Meinung nach eine unliebsame Beigabe dieser Methode sind. Es w\u00fcrde \u00fcbrigens nichts hindern, bei den Versuchen zu verlangen, nur die Urtheile richtig und falsch abzugeben. Die Fechner\u2019sche Methode der richtigen und falschen F\u00e4lle mit ihren Schl\u00fcssen auf Grund des Pr\u00e4cisionsma\u00dfes w\u00fcrde dabei bestehen bleiben, das M\u00fcller\u2019sehe Crit\u00e9rium f\u00fcr die G\u00fcltigkeit des Weher\u2019sehen Gesetzes sich dagegen als v\u00f6llig nutzlos erweisen.\nFechner hingegen verlangt f\u00fcr den Nachweis der G\u00fcltigkeit des Weber\u2019schen Gesetzes die Constanz von ml D f\u00fcr ein verh\u00e4ltniss-gleiches D, d. h. f\u00fcr den Fall, dass D immer denselben Bruchtheil des jeweils verwandten Hauptreizes i betrage. Das von uns aufgestellte allgemeine Crit\u00e9rium ml Vz2 -j-*i2 = const, f\u00fcr ver\u00e4nderliche Werthe von i und \\ geht jedoch, wenn wir f\u00fcr it den Werth i \u00b1 B einf\u00fchren, \u00fcber in:\nm\\ h\"*2 + (z \u00b1 Z))2 = mx V2z\u20192 zb 2iD -f- Z>2 = const.\nSetzen wir nunmehr die Beziehung D \u2014 y fest, in welcher y eine\nganze Zahl darstellt, die nach Fechner constant bleiben soll, so ist i \u2014 Dy und man erh\u00e4lt :\n9*","page":131},{"file":"p0132.txt","language":"de","ocr_de":"132\nJulius Merkel.\nmy D V 2y2 db 2j/ + 1 = const.\nDieser Ausdruck ist bei constantem y f\u00fcr myD \u2014 const, ebenfalls constant, weshalb die Fechner\u2019sche Methode der Pr\u00fcfung des Weber-schen Gesetzes eine einwurfsfreie genannt werden kann.\nF\u00fcr die Berechnung der M\u00fcller\u2019schen Pr\u00e4cisionsma\u00dfe Mund Mv aus dem durch die erste Formel VII definirten Fe chner\u2019schen Pr\u00e4cisionsma\u00dfe m ergeben sich aus IX und XI die Formeln :\nXIII)\nM\nMy = M-\nV(4-)!\n+ 1:\nm\nim\n+1.\nHat man diese Werthe bestimmt, so bildet die Constanz der Producte Mi, My iy, wie wir gesehen haben, das allgemeine Crit\u00e9rium f\u00fcr die G\u00fcltigkeit des Weber\u2019sehen Gesetzes. Falls aber die nach den Formeln VII bestimmten Schwellen den Schwellen der Methode der Minimal\u00e4nderungen wenigstens proportional sind, so m\u00fcssen die Verh\u00e4ltnisse ~~ und ~ unter sich constant sein. Da aber auch die Mi \u00bb *\nconstant sich ergeben m\u00fcssen, so folgen noch die Bedingungen :\nXIV)\tMSy = const, und MS2 = const.\nDas Zutreffen dieser Relationen hat M\u00fcller im Bezug auf die Fe chner\u2019schen Gewichtsversuche best\u00e4tigt gefunden.\nDie der Beziehung ^ = 4- bei Pr\u00fcfung des Web er\u2019schen Ge-\nl\tlu\ndie Methode der Minimal\u00e4nderungen analoge w\u00fcrde\nsetzes durch lauten :\nXV)\ni -f* i\noder:\n\n'S, s2\ns2-St\n= const.,\nDie Fe chner\u2019schen und M\u00fcller\u2019schen Formeln der Methode der richtigen und falschen F\u00e4lle setzen die Kenntniss der benutzten Reizst\u00e4rken, beziehentlich die M\u00f6glichkeit einer genauen Bestimmung der D voraus. Diese Bestimmung wurde bei den fr\u00fcheren Schallversuchen mit H\u00fclfe der Methode der Minimal\u00e4nderungen ausgef\u00fchrt. Indessen bietet die Methode der richtigen und falschen F\u00e4lle die Mittel zu","page":132},{"file":"p0133.txt","language":"de","ocr_de":"Das psychophysische Grundgesetz in Bezug auf Schallst\u00e4rken.\n133\neiner genauen Bestimmung der Schallst\u00e4rken seihst dar, indem sie m\u00f6glichst genau die Gleichheit zweier Schalle zu ermitteln gestattet. Um dies zu zeigen, benutzen wir als Hauptschall den durch die Kugel p heim Fall von der H\u00f6he h erzeugten Schall und als Vergleichsschalle die durch dieselbe Kugel beim Fall von den H\u00f6hen und h2 erzeugten Schallst\u00e4rken. Dann gibt die Methode der richtigen und falschen F\u00e4lle :\nXVI)\t=\nworin D{ = pV [h^1 \u2014 \u00a5) und Z?2 \u2014 P*1 tfh*2 \u2014 he) ist.\nEs handelt sich nunmehr darum, aus \u2014p^ und 4 = Pr\u2018 und den durch die Versuche ermittelten Werthen ti und t2 den Werth i = pV \u00a5 zu bestimmen. Zu diesem Zwecke ist die Untersuchung des Verh\u00e4ltnisses :\nXVII)\nm,\nm2\nV\n-f-\n\u2022* + h2\nerforderlich. Da man i selber erst ermitteln will, empfiehlt es sich die\nAbh\u00e4ngigkeit von von den bekannten Gr\u00f6\u00dfen \u00bb2 und iv zu untersuchen, d. h. etwa :\nw\u00bbi\n\u00bb\u00bb2\n=(D\u00e4\nzu setzen und \u00f4 zu berechnen aus :\nXVIII)\n\u00f6 =\nlog mi \u2014 log m2 log i2 \u2014 log \u00bbi\nA\nBezeichnet man zur Abk\u00fcrzung\tdurch A, so erh\u00e4lt man\naus XVI zur Bestimmung von i den Werth:\nXIX)\noder f\u00fcr \u00a5 ergibt sich :\nXX)\nt21\\ A \u2014 t\\ i% hA \u2014ti \u2019\n\u00a5 =\n<2 AieI A \u2014 <1 hfl A ----------\nUeber die Gr\u00f6\u00dfe von \u00e4 l\u00e4sst sich theoretisch folgendes entwickeln. F\u00fcr i \u00b1\u00e4\u00b1 *2 \u2014 Di und i == \u00bb! \u2014 Di kann die Relation XVH \u00fcbergef\u00fchrt werden in :\nworin B zur Abk\u00fcrzung f\u00fcr den Ausdruck:","page":133},{"file":"p0134.txt","language":"de","ocr_de":"134\nJulius Merkel.\nB \u2014\n1/1\n& \u2014 A) -H fg-\n(h - A) +\nA\u00ef\n2 h\ngesetzt worden ist.\nSind Di und Di positiv und betragen sie etwa 10 bez. 20 % von i, so erh\u00e4lt B den Werth 1,0063, f\u00fcr zwei negative D von entsprechender Gr\u00f6\u00dfe ist B \u2014 1,0096 und schlie\u00dflich f\u00fcr ein negatives und ein positives D von je 10 % gleich 0,9995. F\u00fcr 20 und 40 % sind die entsprechenden Werthe von B: 1,0195 ; 1,0515 und 0,99592.\nDer Exponent <5 bestimmt sich aus :\nzu :\n\u00a7 _ Iggjg\nlog t2 \u2014 log il\n+ 0,5,\nd. h. je n\u00e4her der Werth B der Einheit kommt, um so n\u00e4her r\u00fcckt \u00f6 dem Werthe 0,5. Die Gr\u00f6\u00dfe von 1q\tist f\u00fcr die oben ge-\nnannten Werthe von D beziehentlich : 0,072 und 0,126 bei 2 positiven D, \u20140,081 und \u20140,175 bei zwei negativen D und \u2014 0,003 und \u2014 0,010 bei einem positiven und einem negativen D. Demnach ist die Abweichung des <5 von 0,5 im letzteren Falle so unbedeutend, dass sie im Hinblick auf die Variationen, welchen die <5 bei experimenteller Bestimmung jedenfalls unterworfen sind, vollst\u00e4ndig vernachl\u00e4ssigt werden kann. Auch in den \u00fcbrigen F\u00e4llen liefert die Annahme d = 0,5 genauere Resultate als etwa die Annahme 6 \u2014 1 oder <5 = 0.\nDie Formel XX kann zur Pr\u00fcfung der mittels der Methode der Minimal\u00e4nderungen bestimmten e-Werthe angewandt werden^ wenn man die Versuche mit zwei verschiedenen p ausf\u00fchrt. Will man mittels der Methode der richtigen und falschen F\u00e4lle die e selbst bestimmen, so muss man etwa p constant von der H\u00f6he h fallen lassen und das kleinere Gewicht />i von den gr\u00f6\u00dferen H\u00f6hen hv und h\" und die Anzahl der r, f und z ermitteln. Der Werth \u00c4j., f\u00fcr welchen pri hf = p^h ist, bestimmt sich alsdann aus der Gleichung :","page":134},{"file":"p0135.txt","language":"de","ocr_de":"Das psychophysische Grundgesetz in Bezug auf Schallst\u00e4rken.\n135\nXXI)\n\u00bb\nA i\nhb!A \u2014 W\nin welcher A =\n\u0152)'-\nist, worin dt aus:\nXXII)\n* _____ log OTj/ \u2014 log Wt2f\n1\tlner\t_ 1 r>cr ft.?\nlog Al\" \u2014 log Ai'\nzu berechnen ist. Die in letzterer Formel auftretenden Pr\u00e4cisionsma\u00dfe sind unter Benutzung der Werthe D1 = hx \u2014 und Z)2 =\t\u2014 hv\nzu bestimmen. W\u00e4hlt man \u00fcbrigens ein positives und ein negatives I), was leicht ausf\u00fchrbar, wenn man vorher eine Beobachtungsreihe nach der Methode der Minimal\u00e4nderungen gewonnen hat, so liefert die Annahme \u00f4 \u2014 0,5 Resultate, wie sie exacter kaum zu w\u00fcnschen sind.\nWir haben vor der Mittheilung der Versuchsergebnisse, welche sich auf die Pr\u00fcfung der Anwendbarkeit der Fechn er\u2019sehen Methode der richtigen und falschen F\u00e4lle im Gebiete der Schallempfindungen beziehen, noch einen \u00fcberaus wichtigen Punkt zu besprechen. Derselbe betrifft die Elimination constanter Fehler, namentlich die Elimination des durch die Zeitfolge der zu vergleichenden Schallst\u00e4rken bedingten Fehlers.\nAngenommen, die zu vergleichenden Schallintensit\u00e4ten seien % und i und zwar ix ]> i. Folgt % auf i, so erscheint der Unterschied D um einen Werth p vergr\u00f6\u00dfert, folgt hingegen i auf iu so ist D um einen Werthpx verkleinert. Infolge des Weber\u2019schen Gesetzes wird nicht etwa p = px anzunehmen sein, sondern vielmehr p px, d. h. einen st\u00e4rkeren Schall ix werden wir dann, wenn er an zweiter Stelle einwirkt, um verh\u00e4ltnissm\u00e4\u00dfig mehr \u00fcbersch\u00e4tzen, als einen schw\u00e4cheren i, der an zweiter Stelle vernommen wird.\nDie Fechner\u2019sche Methode1) der vollst\u00e4ndigen Elimination constanter Fehler setzt p = px und berechnet den Werth t beziehentlich m D aus der Relation :\nt _ k + h __ m[D + p)+ m{D \u2014 p)\n2 2\nin welcher tx und U die den Verh\u00e4ltnissen \u2014 f\u00fcr beide Zeitfolgen entsprechenden Werthe der Fundamentaltabelle sind. F\u00fcr p^> px ergibt sich aber :\n1) Fechner, Revision der Hauptpunkte der Psyehophysik, S. 130.","page":135},{"file":"p0136.txt","language":"de","ocr_de":"136\nJulius Merkel.\noder:\nd. h. mD wird kleiner als vorher.\nDieser Forderung tr\u00e4gt aber das Verfahren der unvollst\u00e4ndigen Elimination constanter Fehler, nach welchem die F\u00e4lle r' der beiden Zeitfolgen einfach addirt werden und t f\u00fcr den Mittelwerth bestimmt wird, Rechnung, da es in der That etwas kleinere Werthe f\u00fcr mD liefert. Es l\u00e4sst sich auch auf Grund des Weber\u2019schen Gesetzes theoretisch zeigen, dass eine etwas gr\u00f6\u00dfere Vermehrung von D stattfinden muss, um eine bestimmte Anzahl richtiger F\u00e4lle mehr zu bekommen, als die Verminderung betr\u00e4gt, welche dieselbe Anzahl richtiger F\u00e4lle weniger liefert. Daher haben wir uns der sogenannten Methode der unvollst\u00e4ndigen Elimination constanter Fehler bedient, welche auch aus praktischen Gr\u00fcnden einzig und allein Anwendung finden konnte. Denn bei der Methode der vollst\u00e4ndigen Elimination w\u00fcrden sich schon bei verh\u00e4ltnissm\u00e4\u00dfig kleinen D Fehlschl\u00e4ge ergeben haben. Aehnliches fand auch Fechner1), als er auf die N\u00f6rr\u2019sehen Versuche das letztere Verfahren anwenden wollte.\nWir geben im n\u00e4chsten Abschnitt die experimentellen Ergebnisse derjenigen Versuche, welche \u00fcberhaupt die Anwendbarkeit der Fech-ner\u2019schen Methode der richtigen und falschen F\u00e4lle bei Pr\u00fcfung des Weber\u2019schen Gesetzes und zur Bestimmung des Gleichheitspunktes einer Pr\u00fcfung unterziehen sollten. Es gen\u00fcgt hierbei, f\u00fcr die wesentlichsten F\u00e4lle nur eine beschr\u00e4nkte Gruppe von Versuchen mitzuthei-len, welche die in Frage kommenden Verh\u00e4ltnisse hinreichend illustriren. Wir schlie\u00dfen an diese Versuche zugleich die Betrachtungen, welche die G\u00fcltigkeit des Weber\u2019schen Gesetzes betreffen, vor allem auch deshalb an, weil die zur Pr\u00fcfung des Weber\u2019schen Gesetzes angestellten Versuche insofern anderer Natur sind, als sie zur Kenntniss der Unterschiedsschwelle der Methode der Minimal\u00e4nderungen f\u00fchren.\n1) Fechner, Revision der Hauptpunkte der Psychophysik, S. 385.","page":136},{"file":"p0137.txt","language":"de","ocr_de":"137\nDas psychophysische Grundgesetz in Bezug auf Schallst\u00e4rken.\n2. Experimentelle Pr\u00fcfung der Methode.-\nDie Kugeln, welche bei den Versuchen zur Pr\u00fcfung der F e ohne r\u2019schen Methode verwandt wurden, waren von Messing und hatten die Gewichte: 4,95 und 9,93 g. Dieselben fielen auf eine quadratische Platte aus festem, harten Holz, welche 2 5 cm lang und 3 cm stark war. Dieselbe wurde auf Tuchp\u00f6lsterchen ruhend in einer Neigung von 10\u00b0 auf einem \u00fcberaus standhaften Experimentirtische aufgestellt. Daneben erhob sich in senkrechter Stellung ein an 3 Punkten an der Wand befestigter Stab von 2 m L\u00e4nge. An diesem konnten die Apparate zum Fallenlassen der Kugeln, die kurz als Fallzangen bezeichnet werden sollen, mit Leichtigkeit auf und abw\u00e4rts bewegt werden. Parallel dem Stabe war ein genaues, in Millimeter eingetheiltes Ma\u00df in die H\u00f6he gezogen, \u00fcber welchem sich an den Fallzangen befestigte Zeiger auf und abw\u00e4rts bewegten. Dieselben gestatteten eine sehr genaue Ablesung der Fallh\u00f6he der Kugeln.\nUeber das untere Drittel der Holzplatte war ein hoher, durchaus mit Watte gepolsterter, nach oben und vorn offener Kasten geschoben, welcher das Fallbrett in keinem Punkte ber\u00fchrte, also die Schwingungen desselben nicht d\u00e4mpfte. Derselbe fing die zur\u00fcckprallenden Kugeln vollst\u00e4ndig ger\u00e4uschlos auf und ge tattete, da er mit dunklem, weichem Stoff \u00fcberzogen war, ein sofortiges Auffinden derselben.\nDie Fallzangen sollten ohne Anwendung der Elektricit\u00e4t \u00e4hnliches leisten, wie der von Wundt construirte Fallapparat, dessen genaue Beschreibung die Starke\u2019scjie1) Abhandlung gibt. Figur 3 stellt eine derartige Fallzange in m\u00f6glichst \u00fcbersichtlicher Stellung dar. Dieselbe ist im Punkte A drehbar befestigt und kann sich in der Richtung des Pfeiles bewegen, bis der Stift B an den Tr\u00e4ger der Zange anst\u00f6\u00dft. Die beiden Arme C und C sind in den Punkten D und J}' an einem Querstab befestigt, und zwar so, dass der Punkt D den Drehpunkt der Zange bildet. Der Hebelarm C' kann l\u00e4ngs der Strecke e e' verschoben und durch Schrauben an den Querbalken unbeweglich befestigt werden. Die Rinne E dient zum Aufnehmen der Fallkugeln, die alsdann von den ebenen Platten F und F' festgehalten werden und zwar durch die Feder G. Die zweite Fallzange hatte dieselbe Einrichtung, nur wurde dieselbe in anderer Lage an dem\n1) Wundt, Philos. Studien, III, S. 270.","page":137},{"file":"p0138.txt","language":"de","ocr_de":"138\nJulius Merkel.\nhorizontalen Stab befestigt und in entgegengesetzter Richtung gedreht, um das Fallenlassen der Kugeln zu bewirken. Letzteres musste geschehen, um die Kugeln bequem zwischen die Platten F und F' bringen zu k\u00f6nnen, wenn die Fallapparate nahe zusammen kamen. Sollten die Kugeln von gleicher |H\u00f6he fallen, so musste eine dritte Fallzange benutzt werden, welche sich an einem besonderen Stabe auf und abw\u00e4rts bewegte. Letztere kam nur zur Verwendung, wenn die beiden andern sich nicht gleichzeitig gebrauchen lie\u00dfen.\nDiese Einrichtung gestattete, die Versuche in weitaus gen\u00fcgend schneller Aufeinanderfolge zur Ausf\u00fchrung zu bringen. Beide Zangen wurden durch einen Druck ge\u00f6ffnet und die Kugeln in die Rinne E geworfen. Dieselben wurden dann so'festgeklemmt, dass die Platten F parallel waren. Um die Versuche auszuf\u00fchren, wurden die Zangen nach einander um etwa 30\u00b0 gedreht und durch einen Druck das Fallen der Kugeln bewirkt. Die Zur\u00fcckf\u00fchrung geschah durch die Feder H, einmal um dieselbe gleichm\u00e4\u00dfig zu gestalten, sodann um ein etwaiges Vergessen zu verhindern. Es war nach M\u00f6glichkeit Sorge getragen, dass die Apparate m\u00f6glichst ger\u00e4uschlos arbeiteten, namentlich das Zur\u00fcckdrehen musste v\u00f6llig ger\u00e4uschlos erfolgen.\nDiese von Wundt zum ersten Male eingef\u00fchrte Einrichtung begr\u00fcndet einen wesentlichen Fortschritt auf dem Gebiete der Schallst\u00e4rkemessung. Bei den Versuchen nach der Methode der Minimal\u00e4nderungen ergibt sich eine geringere mittlere Variation der einzelnen Beobachtungen, ja einzelne wichtige Ergebnisse dieser Abhandlung haben sich erst auf Grund der Versuche herausgestellt, welche mit Benutzung der Fallzangen angestellt wurden. Wir werden vielfach Gelegenheit nehmen, die Versuchsresultate mit und ohne Anwendung der Fallzangen einer Vergleichung zu unterwerfen, weil sich dabei einzelne wichtige Thatsachen ergeben, deren directe und eingehendere Untersuchung von Interesse sein d\u00fcrfte.\nDie ersten Versuche bestanden in der Pr\u00fcfung der der Feohne r\u2019schen Methode zu Grunde liegenden Voraussetzung, dass sich bei gleichen Sehallst\u00e4rken gleichviel richtige und falsche F\u00e4lle ergeben. Sodann wurden bei drei verschiedenen A (20, 50 und 90 cm) mit einer gr\u00f6\u00dferen Anzahl D Versuche ausgef\u00fchrt, schlie\u00dflich reihten sich daran Versuche, bei denen stets nur f\u00fcr zwei D die Anzahl der richtigen, falschen und zweifelhaften F\u00e4lle ermittelt wurde. Bei jeder Zeit-, be-","page":138},{"file":"p0139.txt","language":"de","ocr_de":"Das psychophysische Grundgesetz in Bezug auf Schallst\u00e4rken.\n139\nziehentlich Kaumlage wurden 50 Versuche ausgef\u00fchrt, die Zeitlage, bei welcher der constant bleibende Schall zuerst erregt wurde, werde durch I, die Zeitlage, in welcher derselbe an zweiter Stelle einwirkt, durch II bezeichnet; beginnt man bei dem kleineren D [h'), um sodann zu gr\u00f6\u00dferen vorzuschreiten, so werde dies durch einen abw\u00e4rts\nzeigenden Pfeil , im umgekehrten Palle durch einen aufw\u00e4rts zeigenden angedeutet.\nAls richtige F\u00e4lle sind ausnahmslos die bezeichnet worden, bei welchen der variable Schall als st\u00e4rker gesch\u00e4tzt, als falsch diejenigen, bei welchen der constante Schall f\u00fcr st\u00e4rker gehalten wurde. Diese cons\u00e9quente Bezeichnung bedingt, den Unterschied D da, wo der constante Schall absolut genommen der st\u00e4rkere ist, negativ in Rechnung zu ziehen. Unter dieser Voraussetzung haben alle Formeln allgemeine G\u00fcltigkeit. Die Benutzung positiver und negativer D wird sich gerade f\u00fcr unsere Zwecke als \u00fcberaus fruchtbar erweisen.\nEs ist \u00fcberfl\u00fcssig, die Resultate der ersten Versuchsgattung im einzelnen mitzutheilen. Mit geringen nach beiden Seiten gehenden Schwankungen zeigte sich Gleichheit der richtigen und falschen F\u00e4lle bei gleichen Schallst\u00e4rken ; bei der ersten Zeitlage \u00fcberwog die Anzahl der richtigen F\u00e4lle diejenige der falschen um ebensoviel, als bei der zweiten Zeitlage die Anzahl der falschen diejenige der richtigen. Bei den Versuchen, bei denen die Kugeln aus blo\u00dfer Hand fielen, ergaben sich bei der ersten Zeitlage 41 richtige, 5 falsche und 4 zweifelhafte F\u00e4lle, bei der zweiten Zeitlage dagegen 3 richtige, 41 falsche und 6 zweifelhafte F\u00e4lle; bei Benutzung der Fallzangen war jedoch der Einfluss der Zeitfolge wesentlich geringer, da f\u00fcr I 25 r, 14 f und 11 2, f\u00fcr II 16 r, 25 f und 9 z zu verzeichnen waren. Die Anzahl der zweifelhaften, richtiger der gleichen F\u00e4lle war hier jedenfalls deshalb gr\u00f6\u00dfer, weil die Schallst\u00e4rken objectiv sehr gut gleich gemacht werden konnten.\nVon den Versuchen der zweiten Gattung wollen wir nur die f\u00fcr die H\u00f6he h \u2014 50cm und das Gewicht^\u00bb == 9,93 gefundenen Zahlen bei den H\u00f6hen h! = 25, 30, ... 85 cm mittheilen. (Tab. I.) F\u00fcr die dritte und wichtigste Gruppe dagegen theilen wir f\u00fcr drei H\u00f6hen (25, 50 und 90 cm) die Versuchsergebnisse bei zwei Gewichten und A (2 positiven","page":139},{"file":"p0140.txt","language":"de","ocr_de":"140\nJulius Merkel.\nD) ; B (2 negativen D und C) einem positiven und einem negativen D mit (Tab. II und IHM, II und DIR, II und III C).\nF\u00fcr die zweite Gruppe berechnen wir nur die Werthe f\u00fcr das Fechner\u2019sche und M\u00fcller\u2019sche Pr\u00e4cisionsma\u00df, den mittleren wahrscheinlichen Fehler und das Product i M beziehentlich Mv, aus dessen Constanz die G\u00fcltigkeit des Web er\u2019sehen Gesetzes resultirt. F\u00fcr die dritte Gruppe berechnen wir zum Theil die Fechner\u2019sehen Schwellen \u00a3, und S2 und die daraus sich ergebenden Ausdr\u00fccke f\u00fcr den Nachweis der G\u00fcltigkeit des Weber\u2019sehen Gesetzes, dann aber vor allem die Gr\u00f6\u00dfen \u00e2 und (Tab. IV) und h (Tab. V), letztere einmal mit Benutzung des , dann ohne Anwendung desselben (d. h. f\u00fcr di = 0) berechnet und h). Zur Vergleichung bringen wir auch f\u00fcr die Versuche II und 111(7 die mittels der Methode der vollst\u00e4ndigen Elimination constanter Fehler berechneten h bez. h\u00a7i zur Mittheilung (Tab. VI).\nUm namentlich den Einfluss der Zeitfolge einer genaueren Pr\u00fcfung zu unterziehen, haben wir in den Tabellen VII bis X die den Versuchen II und III C entsprechenden Versuche zusammengestellt, welche ohne Anwendung der Fallzangen angestellt wurden. Dabei spielten die durch die Versuchstechnik bedingten Fehler eine gr\u00f6\u00dfere Rolle. Die Zwischenzeiten zwischen der Einwirkung der zu vergleichenden Reizst\u00e4rken waren k\u00fcrzer als bei Anwendung der Fallzangen, das Verh\u00e4ltniss mochte etwa 2 : 3 sein.\nDer mittlere wahrscheinliche Fehler F' f\u00fcr die Auffassung der\nM\nDifferenzen D berechnet sich durch eine der beiden Formeln: F' = \u2014 F\nm\nHT\noder F' = \u20145 \u2022 Fu er ist je nach der Gr\u00f6\u00dfe von F) : 1,3 bis 2 mal\nso gro\u00df als F. Von der Mittheilung dieser Werthe ist abgesehen worded, da sie leicht aus den Werthen M, m und F zu entnehnen sind.","page":140},{"file":"p0141.txt","language":"de","ocr_de":"141\nDas psychophysische Grundgesetz in Bezug auf Schallst\u00e4rken. Tabelle I.\nh = 50 cm, p \u2014 9,93 g.\nEintheilung der F\u00e4lle r, / z in r' und/'. Tabelle Ia.\nh\t30\t35\t40\t45\t50\t55\t60\t65\t70\t75\t80\nr'\t0,75\t4\t12,5\t28,25\t49,75\t70\t83,5\t91,75\t96,25\t98,25\t99,25\nf\t99,25\t96\t87,5\t71,75\t50,25\t30\t16,5\t8,25\t3,75\t1,75\t0,75\nTabelle Ib. i \u2014 177,2.\nh\tH\tD\tK\tm\tM\t\t%M\tF\tFt\n30\t107,8\t\u2014 69,4\t\u2014 1,7203\t0,0248\t0,0290\t0,0477\t5,144\t19,42\t11,82\n35\t123,4\t\u2014 53,8\t\u2014 1,2379\t0,0230\t0,0280\t0,0402\t4,966\t20,13\t14,02\n40\t140,2\t\u2014 37,0\t\u2014 0,8134\t0,0220\t0,0281\t0,0355\t4,971\t20,11\t15,91\n45\t157,7\t\u2014 19,5\t\u2014 0,4069\t0,0209\t0,0280\t0,0314\t4,958\t20,17\t17,94\n50\t177,2\t0\t\u2014 0,0044\tOO\t\trv/\t\t/\u201cw\t20,32\n55\t197,2\t+ 20\t+ 0,3708\t0,0185\t0,0277\t0,0249\t4,905\t20,38\t22,68\n60\t216,9\t4- 39,7\t+ 0,6888\t0,0174\t0,0275\t0,0225\t4,873\t20,52\t25,11\n65\t237,5\t4- 60,3\t4-0,9818\t0,0163\t0,0273\t0,0203\t4,830\t20,70\t27,74\n70\t257,9\t+ 80,7\t4- 1,2590\t0,0156\t0,0275\t0,0189\t4,881\t20,48\t29,81\n75\t279,3\t+ 102,1\t4-1,4909\t0,0146\t0,0273\t0,0173\t4,829\t20,70\t32,63\n80\t301,1\t+ 123,9\t4- 1,7203\t0,0139\t0,0274\t0,0161\t4,856\t20,59\t34,98","page":141},{"file":"p0142.txt","language":"de","ocr_de":"142\tJulius Merkel.\nTabelle II A. p \u2014 4,95g.\nEintheilung der F\u00e4lle r, f, z in r ' und f. Tabelle IIA a.\nh'\t28\t31\t55\t60\t98\t105\nr'\t68,25\t81\t67,75\t81,5\t69\t81,25\nf\t31,75\t19\t32,25\t18,5\t31\t18,75\nTabelle IIAb. i= 48,9; 94,1; 189,8.\nh\t*i\tB\tK\tm\tM\titf,\tt M\tF\tF!\n28 31\t54.1 59.1\t5,2 10,2\t0,3357 0,6208\t0,0646 0,0609\t0,0966 0,0955\t0,0873 0,0790\t4,722 4,672\t5,84 5,91\t6,46 7,14\n55 60\t104,3 115,2\t10,2 21,1\t0,3258 0,6340\t0,0319 0,0300\t0,0476 0,0474\t0,0474 0,0387\t4,482 4,463\t11,85 11,89\t11,90 14,58\n98 105\t211,5 230,8\t21,7 41\t0,3506 0,6274\t0,0162 0,0153\t0,0243 0,0241\t0,0218 0,0198\t4,604 4,572\t23,26 23,42\t25,88 28,49","page":142},{"file":"p0143.txt","language":"de","ocr_de":"Das psychophysische Grundgesetz in Bezug auf Schallst\u00e4rken.\n143\nTabelle IIAc.\ni\t\t\u00ab2\tS, M\ts2m\ti -{- S%\ti\n\t\t\t\t\ti\ti \u2014\n48,9\t1,57\t1,68\t0,152\t0,162\t1,034\t1,033\n\t1,62\t1,83\t0,155\t0,175\t1,037\t1,034\n\t3,44\t3,70\t0,164\t0,176\t1,039\t1,038\n\t3,29\t3,84\t0,156\t0,182\t1,041\t1,036\n189,8\t7,17\t7,82\t0,174\t0,190\t1,041\t1,039\n\t6,86\t7,90\t0,165\t0,190\t1,042\t1,038\nTabelle III A.\nP = 9,93 g.\nEintheilung der F\u00e4lle r,f, z in r' und/'. Tabelle III A a.\nh'\t28\t31\t55\t60\t98\t105\nr'\t68\t80,5\t68,75\t81,75\t70,25\t82,75\nf\t32\t19,5\t31,25\t18,25\t29,75\t17,25","page":143},{"file":"p0144.txt","language":"de","ocr_de":"Julius Merkel.\n\u00cf44\nTabelle IIIAb. i = 91,8; 177,2; 389,3.\nh\th\tD\tt\u00f6\tm\tM\t\tiM\tF\tFt\n28 31\t101,5 110,8\t9,7 19\t0,3307 0,6079\t0,0341 0,0320\t0,0508 0,0502\t0,0460 0,0416\t4,667 4,605\t11,11 11,25\t12,27 13,56\n55 60\t197,2 216,9\t20 39,7\t0,3457 0,6406\t0,0173 0,0161\t0,0258 0,0254\t0,0233 0,0208\t4,596 4,509\t21,85 22,17\t24,21 27,12\n98 195\t389.3 426.4\t41.7 78.8\t0,3759 0,6678\t0,0090 0,0085\t0,0135 0,0134\t0,0121 0,0110\t4,697 4,676\t41,76 41,94\t46,63 51,29\nTabelle III Ac.\n\tSt\t^2\t\u00c4i AiT\tSiM '\tt + s%\ti\n\t\t\t\t\ti\ti \u2014 St\n91,8\t3,37\t3,64\t0,171\t0,185\t1,039\t1,038\n\t3,41\t3,90\t0,171\t0,196\t1,042\t1,039\n177,2\t6,98\t7,57\t0,180\t0,195\t1,043\t1,041\n\t6,52\t7,75\t0,165\t0,197\t1,044\t1,038\n347,6\t13,53\t15,07\t0,183\t0,203\t1,043\t1,045\n\t13,15\t14,91\t0,176\t0,200\t1,043\t1,039\nAus den folgenden Versuchsgruppen sollen nun des Raumes wegen nur die Schlusstabellen mitgetheilt werden. Nach der Analogie mit Tab. IIAb und III Ab seien sie mitIIBb, IIIBb u. s. w. bezeichnet.\nTabelle IIBb.\n\ti ==\t48,9; 94,1; 189\t\t,8. (p\t= 4,95\t; \u00c4 =\t25; 50; 90.)\t\t\nht\tH\tD\tK\tm\tM\tMt\tiM\tF\tFi\n19\t38,6\t\u2014 10,3\t- 0,6747\t0,0655\t0,0834\t0,1057\t4,080\t6,76\t5,46\n22\t43,7\t\u2014 5,2\t\u2014 0,3209\t0,0617\t0,0828\t0,0926\t4,047\t6,82\t6,09\n40\t75,0\t\u2014 19,1\t\u2014 0,6541\t0,0342\t0,0437\t0,0549\t4,115\t12,90\t10,28\n45\t84,4\t- 9,7\t\u2014 0,3111\t0,0321\t0,0431\t0,0481\t4,057\t13,09\t11,74\n74\t148,3\t\u2014 41,5\t\u2014 0,6678\t0,0161\t0,0204\t0,0261\t3,878\t27,61\t21,58\n82\t169,9\t\u2014 20,9\t\u2014 0,3209\t0,0154\t0,0207\t0,0231\t3,923\t27,30\t24,44","page":144},{"file":"p0145.txt","language":"de","ocr_de":"Das psychophysische Grundgesetz in Bezug auf Schallst\u00e4rken.\t145\nTabelle IIIBb.\ni = 91,8 ; 177,2; 347,6. [p = 9,93; \u00c4 = 25 ; 50; 90.)\nh\tH\tD y\tt\u201e\ttn\tM\t\tiM\tF\tF,\n19\t72,4\t\u2014 19,4\t\u2014 0,6610\t0,0341\t0,0434\t0,0551\t3,987\t12,99\t10,25\n22\t81,9\t\u2014 9,9\t\u2014 0,3160\t0,0319\t0,0427\t0,0479\t3,924\t13,20\t11,77\n40\t140,2\t\u2014 37,0\t- 0,6610\t0,0179\t0,0228\t0,0288\t4,045\t24,72\t19,56\n45\t157,7\t\u2014 19,5\t\u2014 0,3307\t0,0170\t0,0227\t0,0256\t4,033\t24,79\t22,06\n74\t274,8\t\u2014 72,8\t\u2014 0,6889\t0,0095\t0,0121\t0,0153\t4,209\t46,59\t36,73\n82\t310,2\t\u2014 37,4\t\u2014 0,3406\t0,0091\t0,0122\t0,0137\t4,239\t46,26\t41,29\n\t\t\t\tTabelle\tII Cb.\t\t\t\t\n\ti =\t48,9;\t94,1; 189,8. (p\t\t= 4,95\t; h =\t25; 5(\t); 90.)\t\nh\tb\tD\tK\tm\tM\t\tiM\tF\tFi\n22\t43,7\t\u2014 5,2\t\u2014 0,3506\t0,0674\t0,0904\t0,1012\t4,421\t6,24\t5,58\n28\t54,1\t+ 5,2\t+ 0,3111\t0,0598\t0,0892\t0,0806\t4,360\t6,33\t7,00\n45\t84,4\t\u2014 9,7\t\u2014 0,3307\t0,0341\t0,0458\t0,0511\t4,310\t12,32\t11,05\n55\t104,3\t+ 10,2\t+ 0,3111\t0,0305\t0,0455\t0,0411\t4,285\t12,39\t13,73\n82\t168,9\t\u2014 20,9\t\u2014 0,3209\t0,0154\t0,0206\t0,0202\t3,913\t27,37\t24,35\n98\t211,5\t+ 21,7\t+ 0,2917\t0,0135\t0,0202\t0,0181\t3,837\t27,91\t31,10\n\nTabelle IlICb.\n\u00ab = 91,8 ; 1-77,2; 347,6. (jt> = 9,93 ; h= 25; 50; 90.)\nh\th\tD\tta\tm\tM\tMi\tiM\tF\tFi\n22 28\t81,9 101,5\t\u2014 9,9 + 9,7\t\u2014 0,3556 + 0,3111\t0,0359 0,0321\t0,0481 0,0479\t0,0527 0,0433\t4,315 4,394\t11,73 11,79\t10,71 13,03\n45 55\t157,7 197,2\t\u2014 19,5 + 20\t\u2014 0,3607 + 0,3307\t0,0185 0,0165\t0,0248 0,0247\t0,0278 0,0222\t4,388 4,374\t22,78 22 85\t20,27 25,43\n82 98\t310.2 389.3\t\u2014 37,4 + 41,7\t\u2014 0,3506 + 0,3406\t0,0094 0,0082\t0,0126 0,0124\t0,0141 0,0111\t4,379 4,307\t44,78 45,53\t39,96 51,00\nWundt, Philos. Studien. 1Y.\t10","page":145},{"file":"p0146.txt","language":"de","ocr_de":"146\nJulius Merkel.\nTabelle IV.\nII A, B, C.\t\t\t\tIII A, B, C.\t\t\tMW\tMV\n& di\t0,667 0,767\t0,618 0,322\t0,655 0,677\t0,725 0,827\t0,755 0,863\t0,628 0,786\t0,675 0,707\t0,044 0,138\n\u00e2 di\t0,482 0,336\t0,537 0,426\t0,327 0,381\t0,541 0,310\t0,439 0,000\t0,355 0,114\t0,447 0,261\t0,073 0,136\n<f di\t0,560 0,497\t0,527 0,303\t0,585 0,528\t0,521 0,553\t0,512 0,433\t0,601 0,169\t0,551 0,414\t0,031 0,118\nTabelle V.\nh\t\tIl A\tIII A\tIIB\tIII B\tne\tIIIC\tMV\n25\th\t24,46\t.24,42\t24,72\t24,75\t25,18\t25,20\t0,34\n\thi\t25,08\t24,97\t24,93\t24,96\t25,03\t25,05\t0,05\n50\th\t49,71\t49,14\t49,53\t50,01\t50,15\t50,22\t0,33\n\thi\t50,38\t49,91\t49,80\t50,33\t49,94\t50,01\t0,18\n90\th\t89,13\t88,98\t89,40\t89,82\t90,38\t90,12\t0,53\n\thi\t90,03\t89,91\t89,80\t90,25\t90,08\t89,82\t0,14\nTabelle VI.\nh\t25\t\t50\t\t90\t\n\th\tht\th\thi\th\thi\nne me\t25,18 25,21\t25,04 25,08\t50,13 50,21\t49,93 50,01\t90,34 90,12\t90,06 89,84","page":146},{"file":"p0147.txt","language":"de","ocr_de":"Das psychophysische Grundgesetz in Bezug auf Schalist\u00e4rken.\t147\nTabelle Yllb.\n* = 48,9; 94,1; 189,8. (jo = 4,95 ; h = 25; 50; 90.)\nh\t*i\tD\tK\t771\tM\t\u00c4i\tiM\tF\tFt.\n22\t43,7\t~ 5,2\t\u2014 0,2821\t0,0542\t0,0727\t0,0813\t3,555\t7,76\t6,94\n28\t54,1\t+ 5,2\t+ 0,2752\t0,0529\t0,0789\t0,0713\t3,857\t7,15\t7,91\n45\t84,4\t- 9,7\t\u2014 0,2583\t0,0266\t0,0357\t0,0398\t3,362\t15,79\t14,16\n55\t104,3\t+ 10,2\t+ 0,2347\t0,0230\t0,0343\t0,0310\t3,231\t16,43\t18,21\n82\t168,9\t\u2014 20,9\t\u2014 0,2535\t0,0121\t0,0162\t0,0182\t3,074\t34,83\t31,00\n98\t211,5\t+ 21,7\t+ 0,2347\t0,0108\t0,0162\t0,0145\t3,069\t34,89\t38,88\nTabelle VIII b.\n* = 91,8; 177,2; 347,6.\t= 9,93; A = 25; 50; 90.)\nh\t*L\tD\tto\tm\tM\tMi\tiM\tF\tFi\n22 -28\t81,9 101,5\t\u2014 9,9 + 9,7\t\u2014 0,3111 + 0,2677\t0,0315 0,0276\t0,0422 0,0412\t0,0473 0,0372\t3,874 3,778\t13,37 13,71\t11,93 15,16\n45 55\t157,7 197,2\t\u2014 19,5 + 20\t\u2014 0,3209 + 0,2821\t0,0165 0,0141\t0,0221 0,0211\t0,0248 0,0190\t3,950 3,738\t25,54 26,74\t22,73 29,76\n82 98\t310.2 389.3\t\u2014 37,4 + 41,7\t\u2014 0,3357 + 0,3014\t0,0090 0,0072\t0,0121 0,0109\t0,0135 0,0097\t4,193 3,782\t46,77 51,86\t41,74 58,08\nTabelle IX.\n<?(,)\tVII.\t\t\tVIII.\t\t\tMW\tMV\nS \u00abfl\t0,114 0,101\t0,687 0,725\t0,505 0,638\t0,610 0,548\t0,703 0,783\t0,982 1,252\t0,600 0,675\t0,194 0,229\nTabelle X.\nh\t25\t\t50\t\t90\t\n\th\thi\th\thi\th\thi\nVII VIII\t25,04 25,22\t24,79 24,98\t50,24 50,32\t49,90 49,98\t90,31 90,43\t89,83 89,95\n10*","page":147},{"file":"p0148.txt","language":"de","ocr_de":"148\nJulius Merkel.\nDie auf Grund der in Tabelle Ia mitgetheilten Versuchszahlen berechneten Werthe in Tabelle Ib lassen zun\u00e4chst erkennen, dass das Fechner\u2019sche Pr\u00e4cisionsma\u00df m nicht constant ist, sondern mit der Zunahme von D abnimmt. Gleiches gilt von dem M\u00fcll er\u2019sehen Pr\u00e4cisionsma\u00dfe My, welches das Ma\u00df der Genauigkeit darstellt, mit welcher der Schall iy beurtheilt wird. Der wahrscheinliche mittlere Fehler Fi hingegen w\u00e4chst proportional der Schallst\u00e4rke iy, was aus der ziemlich genauen Constanz der Producte iM, welchen ja die Pro-. ducte iy My gleich sind, zu erkennen ist.\nDass das Fechner\u2019sche Pr\u00e4cisionsma\u00df dem entsprechenden iy nicht umgekehrt proportional ist, gibt die Berechnung der \u00f6 f\u00fcr diese Versuche zu erkennen, der Mittelwerth ist f\u00fcr je zwei negative D : 0,447 [MV 0,073), f\u00fcr je zwei positive D : 0,676 [MV 0,079) und f\u00fcr je ein positivesund ein negatives Z>: 0,535 [M V 0,007). Im \u00fcbrigen zeigt die Vergleichung des Fechner\u2019schen m und M\u00fcller\u2019schen My beziehentlich M keineswegs die gro\u00dfe Uebereinstimmung, wie bei den von Fechner angestellten Vergleichungen dieser Pr\u00e4cisionsma\u00dfe. Bei gro\u00dfen D kann My [M\") beinahe den doppelten Betrag von m erreichen. Jedenfalls hat Fechner bei den Umrechnungen neben \u00f4 auch den Factor Y2 in der ersten Formel VIII, S. 128 vernachl\u00e4ssigt.\nDie Werthe von M, beziehentlich F m\u00fcssten streng genommen f\u00fcr alle D dieselben sein, Dieselben zeigen jedoch eine geringe Zunahme beim Uebergange von den negativen zu den positiven D. Demnach wird der Hauptreiz mit etwas geringerer Pr\u00e4cision aufgefasst, wenn der Vergleichsreiz st\u00e4rker, als wenn er schw\u00e4cher ist. Die verh\u00e4ltnissm\u00e4\u00dfig geringen Schwankungen der F bei den negativen beziehentlich positiven D werden hinreichend durch den Umstand erkl\u00e4rt, dass die Aufmerksamkeit w\u00e4hrend der Versuche gewissen Variationen unterworfen ist. Construirt man eine Curve, in welcher\ndie D die Abscissen und die entsprechenden Verh\u00e4ltnisse \u2014 die Or-\ndinaten darstellen, so l\u00e4sst dieselbe die exacteste Uebereinstimmung mit der Curve des Gau\u00df\u2019schen Integrales erkennen (Fig. 4).\nDie nach der Methode der Minimal\u00e4nderungen von uns angestellten Versuche haben f\u00fcr die Werthe i0 und iu in der Beziehung\n\u2014 stets Werthe zwischen 237,5 und 257,9\n*\n(H\u00f6hen 65 und 70)","page":148},{"file":"p0149.txt","language":"de","ocr_de":"Das psychophysische Grundgesetz in Bezug auf Schallst\u00e4rken.\n149\n-und 123,4 und 140,2 (H\u00f6hen 35 und 40) ergeben; die Tabelle I zeigt, dass innerhalb dieser Werthe die Anzahl der falschen oder richtigen\nF\u00e4lle keineswegs y betr\u00e4gt, sondern dass dieses Yerh\u00e4ltniss zwischen\n45 und 50 einerseits und 50 und 55cm andrerseits statthat. Demnach kann von einer Identit\u00e4t der Schwellen der Methode der Minimal\u00e4nderungen und der Fe chn er\u2019sehen hez. M\u00fcller\u2019schen Methode der richtigen und falschen F\u00e4lle keine Rede sein.\nWenn sonach die Anwendbarkeit der Wahrscheinlichkeitstheorie auf psychophysische Versuche in dem Falle erwiesen ist, in welchem die Versuche hei vielen D und in vollst\u00e4ndig stufenm\u00e4\u00dfigem Gange unter Elimination der constanten Fehler ausgefiihrt werden, so fragt sich, oh sich dasselbe hei Ausf\u00fchrung der Versuche bei jeweils nur einem oder 2 D zeigt. Die Tabellen H und III geben auch hierauf eine bejahende Antwort.\nDie Anzahl der richtigen F\u00e4lle r' (Tabelle III A a) ist zwar bei demselben \u00e4, eine etwas andere, als in der Tabelle la, allein die Aenderungen finden f\u00fcr die beiden \\ in demselben Sinne statt. Die wahrscheinlichen mittleren Fehler Fj sind durchg\u00e4ngig etwas gr\u00f6\u00dfer, wenn die Versuche nur bei 2 D ausgef\u00fchrt werden, als wenn dies bei allen D geschieht, die noch richtige und falsche F\u00e4lle geben. Allerdings gilt dies nicht von allen gr\u00f6\u00dferen Beobachtungsreihen, welche von uns angestellt worden sind. Im vorliegenden Falle ist zu erkennen, dass bei der Beobachtungsreihe I die Aufmerksamkeit mehr angestrengt wurde, als bei den'Beobachtungsreihen II und in. Ueber den Gang des Fechner\u2019schen und M\u00fcller\u2019schenPr\u00e4cisionsma\u00dfesist dasselbe zu sagen, wie im Anschluss an Tabelle Ib.\nDer wahrscheinliche mittlere Fehler F f\u00fcr den Hauptreiz ist mit einer einzigen Ausnahme bei einem absolut genommen gr\u00f6\u00dferen D ebenfalls um ein unbedeutendes gr\u00f6\u00dfer als bei einem kleineren D, f\u00fcr positive D wieder etwas gr\u00f6\u00dfer als f\u00fcr gleich gro\u00dfe negative D. Demnach wird ein Reiz mit gr\u00f6\u00dferer Pr\u00e4cision aufgefasst, wenn er mit einem wenig von ihm verschiedenen verglichen wird, als wenn die Differenz bedeutender ist, und ebenso mit gr\u00f6\u00dferer Genauigkeit beur-theilt, wenn er mit einem schw\u00e4cheren, als wenn er mit einem st\u00e4rkeren verglichen wird. Ein derartiges Resultat d\u00fcrfte eher zu erwarten sein, als befremdend erscheinen.","page":149},{"file":"p0150.txt","language":"de","ocr_de":"150\nJulius Merkel.\nF\u00fcr die Produete iM, welche bei G\u00fcltigkeit des Web er\u2019sehen Gesetzes sich als constant erweisen m\u00fcssen, ergibt sich f\u00fcr die s\u00e4mmt-lichen Versuche mit 2 positiven D der Mittelwerth 4,605 mit der mittleren Variation 0,068, f\u00fcr die Versuche mit 2 negativen D sowie einem negativen und einem positiven D sind die entsprechenden Werthe: 4,045 und 0,081 sowie 4,274 und 0,129. Da die Versuche jeder dieser Gruppen nat\u00fcrlich zeitlich auseinanderliegen, so ist eine v\u00f6llige Constanz nicht zu erwarten.\nDie Tabellen II Ac und III Ac zeigen f\u00fcr die n\u00e4mlichen i sowohl eine hinreichende Uebereinstimmung der Werthe At als auch derWerthe /S*2, die Werthe *Sj M und S2 M zeigen jedoch eine geringe Zunahme\nmit dem Wachsen von i, die sich auch in den Verh\u00e4ltnissen \u25a0\u25a0\u25a0\u25a0\u2014.. 2 und\ni\n. s ausspricht. Da die Werthe Aj und S2 durch die Anzahl der\nzweifelhaften F\u00e4lle bestimmt sind, so ist damit ausgedr\u00fcckt, dass mit dem Wachsen von i die Anzahl der zweifelhaften F\u00e4lle relativ etwas ansteigt. Die Anzahl der zweifelhaften F\u00e4lle muss mit Zunahme der Zulage D deshalb etwas abnehmen, weil der wahrscheinliche mittlere Fehler mit Zunahme von D w\u00e4chst. Indessen wird dadurch die bedeutende Abnahme der z nur zum Theil erkl\u00e4rt.\nAus der Abnahme der z kann man sich ein ungef\u00e4hres Bild \u00fcber die Vertheilung der F\u00e4lle r, f und z machen. In Fig. 2, I und II, geben die einzelnen Zahlen die Anzahl der F\u00e4lle an, welche Sch\u00e4tzungsfehlern von aus der Zeichnung zu entnehmenden H\u00f6hendifferenzen entsprechen. Die Zahlen stellen nur den ungef\u00e4hren Verlauf dar, sie bringen zur Anschauung, dass die Anzahl der geringeren Sch\u00e4tzungsfehler bedeutender ist, als die Zahl der gr\u00f6\u00dferen Fehler.\nDie Anzahl der zur Vertheilung kommenden z ist f\u00fcr D = 0 : 10,, f\u00fcr D \u2014\t: 5. Nach Fechner ist beide Male die H\u00e4lfte der \u00ab den\nrichtigen, beziehentlich falschen F\u00e4llen zuzuertheilen, also im ersten Falle 5, im zweiten 2,5 ; bei verh\u00e4ltnissm\u00e4\u00dfiger Vertheilung w\u00fcrden 4,5 zu den richtigen, 0,5 zu den falschen kommen. Das einzig richtige w\u00e4re indessen, im Verh\u00e4ltniss der neben 5 stehenden Zahlen zu theilen, wonach 3 F\u00e4lle zu den richtigen und 2 zu den falschen kommen w\u00fcrden. Da man indessen den genauen Gang der Abnahme der Fehler nicht kennt, so bleibt nichts anderes \u00fcbrig, als bei der Hai-","page":150},{"file":"p0151.txt","language":"de","ocr_de":"Das psychophysische Grundgesetz in Bezug auf Schallst\u00e4rken.\t151\nkiirung stehen zu bleiben. Die Unterschiede sind hei der verh\u00e4ltniss-m\u00e4\u00dfig geringen Anzahl der verkommenden z jedenfalls von untergeordneter Bedeutung. W\u00e4hlt man \u00fcbrigens zwei nahezu absolut gleiche, aber mit entgegengesetzten Vorzeichen behaftete D, so ist die Halbirung ohne jedes Bedenken gerechtfertigt, wenn es sich um die Bestimmung des Gleichheitspunktes handelt, und die Vertheilung im Verh\u00e4ltniss der r und f ist in diesem Falle zu verwerfen.\nDie Gebiete .Sj und S%, innerhalb welcher \u00fcbrigens die zweifelhaften Urtheile liegen, sind im Vergleich zu den Schwellen der Methode der Minimal\u00e4nderungen klein zu nennen. W\u00e4hrend die\nVerh\u00e4ltnisse = 4- bei der Methode der Minimal\u00e4nderunsren sich * h,\t8\nzwischen 1,3 und 1,36 bewegen, sind die entsprechenden Verh\u00e4ltnisse bei der Methode der richtigen und falschen F\u00e4lle zwischen 1,03 und 1,05 gelegen.\nVergleichen wir nunmehr den Unterschied der r der ersten und zweiten Zeitfolge bei denVersuchen IIC und VII sowie III C und VIII, so ist dieselbe bei II und IIIC etwa 10, bei VII und VIII hingegen etwa 20. Demnach ist der Einfluss der Zeitfolge wesentlich st\u00e4rker, wenn die Schallintensit\u00e4ten rascher folgen , als wenn ein etwas gr\u00f6\u00dferer Zwischenraum vorliegt. Gleichzeitig sind auch bei den ohne Anwendung der Fallzangen angestellten Versuchen die mittleren Fehler durchg\u00e4ngig gr\u00f6\u00dfer als bei den Versuchen mit den Fallzangen, jedenfalls infolge der M\u00e4ngel, welche im ersteren Falle der Versuchstechnik anhaften.\nDiese Verschiedenheit der Versuchsergebnisse bei rascherem und langsamerem Aufeinanderfolgen der Schallreize spricht sich vor allem auch bei Anwendung der Fechner\u2019schen vollst\u00e4ndigen Elimination constanter Fehler aus. Wir wollen in der folgenden Tabelle die m zusammenstellen, welche sich nach beiden Methoden ergeben. Die bei vollst\u00e4ndiger Elimination constanter Fehler resultirenden Fechnersehen Pr\u00e4cisionsma\u00dfe seien zum Unterschied von den von uns berechneten durch mv bezeichnet. Die letzte Verticalcolumne enth\u00e4lt die Mittelwerthe der Gr\u00f6\u00dfen m und mv.","page":151},{"file":"p0152.txt","language":"de","ocr_de":"152\nJulius Merkel.\nTabelle XI.\nIIC fb)\tm mv\t0,0674 0,0700\t0,0598 0,0620\t0,0341 0,0354\t0,0305 0,0319\t0,0154 0,0160\t0,0135 0,0141\t0,0368 0,0382\nVII (b)\tm mG\t0,0542 0,0752\t0,0529 0,0653\t0,0266 0,0336\t0,0230 0,0283\t0,0121 0,0163\t0,0108 0,0135\t0,0299 0,0390\nIII C(b)\tm mv\t0,0359 0,0372\t0,0321 0,0330\t0,0185 0,0190\t0,0165 0,0170\t0,0094 0,0097\t0,0082 0,0085\t0,0201 0,0207\nVIII (b)\tm mv\t0,0315 0,0437\t0,0276 0,0389\t0,0165 0,0231\t0,0141 0,0199\t0,0090 0,0124\t0,0072 0,0124\t0,0176 0,0247\nHiernach w\u00fcrde die Pr\u00e4cision gerade bei den Versuchen , welche mit der Hand ausgef\u00fchrt wurden, am genauesten gewesen sein, ein Umstand, der nat\u00fcrlich gegen die Anwendung der Fechner\u2019sclien Methode der vollst\u00e4ndigen Elimination constanter Fehler spricht. Im \u00fcbrigen mag noch daraufhingewiesen sein, dass sich die Mittelwerthe von m und mv hei Anwendung der Fallzangen nur unwesentlich unterscheiden, w\u00e4hrend die Differenz bei den Versuchen mit blo\u00dfer Hand sehr bedeutend ist.\nIn Bezug auf die \u00f4 und dt ist zu sagen, dass die Mittelwerthe bei den Versuchen mit blo\u00df er Hand gr\u00f6\u00dfere sind als bei denen mit der Fallzange, und dass erstere vor allem wesentlich gr\u00f6\u00dfere Variationen aufweisen.\nDie Abweichungen der berechneten h betragen bei IIA und III A h\u00f6chstens 2,32 % f\u00fcr h und 0,76^\" f\u00fcr h^, bei IIB und IIIB h\u00f6chstens 1,12 % f\u00fcr h und 0,66 % f\u00fcr und schlie\u00dflich hei IIC und III C 0,80 % f\u00fcr h und 0,20 % f\u00fcr h\u00a7v. Bei den, den Versuchen II und III C entsprechenden Versuchen VII und VIII gehen die Abweichungen bis 0.88 % f\u00fcr h und 0.84 % f\u00fcr hgt. Die entsprechenden mittleren Variationen sind:\nTabelle XII.\nH\u00bb i)\tIl A und III A\tIIB und III B\tIIC und IIIC\tVII und VIII\nh\t0,69\t0,30\t0,21\t0,26\n1\t0,12\t0,18\t0,07\t0,09","page":152},{"file":"p0153.txt","language":"de","ocr_de":"Das psychophysische Grundgesetz in Bezug auf Schallst\u00e4rken.\n153\nHieraus geht ohne jeden Zweifel hervor, dass die Fechner\u2019sehe Methode der richtigen und falschen F\u00e4lle sich sehr wohl zur Bestimmung des Gleichheitspunktes eignet, selbst dann noch, wenn auf die Bestimmung von keine R\u00fccksicht genommen wird. Am weitaus besten eignet sich freilich 1 positives und 1 negatives D und die Annahme <?! = 0,5, da die f\u00fcr dt erhaltenen Werthe alle diesem Werthe ziemlich nahe liegen. Es l\u00e4sst sich \u00fcbrigens auch auf anderem Wege, als fr\u00fcher geschehen, zeigen, dass der Werth 0,5 zur Bestimmung des Gleichheitspunktes bei einem positiven und einem negativen D sehr wohl angewandt werden kann.\nF\u00fcr zwei verschiedene D ergaben sich zwischen den Fechnersehen Pr\u00e4cisionsma\u00dfen mx und rnt und den M\u00fcll ersehen M, J\u00fcj und Mi bekanntlich die Beziehungen :\nMMi \\\nm, = \u2014 \u25a0\t\u2014\n1/M* + M? \u2019I\n'\tMM. |\nm2 =\t\u2014\nym + M%2 \u25a0)\nMacht man \u00fcberdies die Annahme :\nTT)\n1\tM2 \u2014 h \u2019\nwelche infolge der G\u00fcltigkeit des Web er\u2019sehen Gesetzes berechtigt ist, falls die Versuche bei beiden D mit ann\u00e4hernd gleicher Aufmerksamkeit ausgef\u00fchrt werden, so erh\u00e4lt man:\nIII)\nJJ __ ml m2 W fe + ij)(\u00bb2\u2014 h)\n1\t*i V (m\\. + m2) (mi \u2014 m2)\n1\nA_\nh\nM = \u2014.......-m\u2018 mL=- = m, m2l/r\ny (Ml\t\u2014 \u00bb\u00bb!)\tV (t2\u00ab!-2 + \u00bbl \u2122i) (*2\u00bb\u00bb2 \u2014 *! mi/\nIm allgemeinen eignen sich diese Formeln nicht in dem Grade zur Bestimmung von M, Mt und Jf2, wie die fr\u00fcheren, weil die Gleichung II\nweniger gut erf\u00fcllt ist, als die fr\u00fcher benutzte Relation ~ = --. Im\nJML\nletzteren Falle handelt es sich n\u00e4mlich um die Pr\u00e4cisionsma\u00dfe von Reizen, welche in derselben Beobachtungsreihe verglichen werden, im ersten Falle um die Pr\u00e4cisionsma\u00dfe von Reizen, die in verschiedenen Beobachtungsreihen benutzt werden.","page":153},{"file":"p0154.txt","language":"de","ocr_de":"154\nJulius Merkel.\nF\u00fcr die Annahme \u2014 = \u2022$- oder \u00f4 \u2014 1 w\u00fcrde M den Werth oo\nerhalten und die Werthe Mx und ilf2 w\u00fcrden gleich den Werthen mx und m2 werden. F\u00fcr ml iv m2 i2 oder \u00f4 1 w\u00fcrde M sogar imagin\u00e4r\nwerden. F\u00fcr die Annahme : \u2014\u2014y . also \u00f6 = 0,5 wird :\nm2 VH\t\u2019\n_ TOtOT\u00e4 1 / (ja + \u00dc) (\u00bb2 \u2014 H) ;\nyAT> r (Wi + m){\u00abh \u2014 m2) \u2019\nd. h. M erh\u00e4lt einen zwischen Mv und M2 gelegenen Werth. Letzteres aber muss hei Benutzung eines positiven und eines negativen D in der That der Fall sein, es hat sich auch bei allen Versuchen best\u00e4tigt. Daher empfiehlt sich diese Annahme theoretisch, falls eine empirische Ermittelung des \u00f4 unm\u00f6glich ist. F\u00fcr die Annahme mx \u2014 m2 oder d = 0 wird sowohl Mv als auch Mt unendlich ; f\u00fcr my \u2022< m2 oder\tw\u00fcrden Mv und M2 imagin\u00e4r werden.\nDie erstere Annahme d = 1, welche bei 2 positiven I) in einzelnen F\u00e4llen nahezu erreicht wurde, w\u00fcrde hiernach bedeuten, dass der Hauptschall mit v\u00f6lliger Exactheit aufgefasst wird und die etwaigen Fehler sich auf den Vergleichsschall beschr\u00e4nken. Die Annahme \u00f4 \u2014 0 hingegen, welche bei 2 negativen D vereinzelt beinahe erreicht wurde, w\u00fcrde daraufhinweisen, dass die Vergleichsschalle v\u00f6llig genau aufgefasst werden, in beiden F\u00e4llen also die schw\u00e4cheren Schallintensit\u00e4ten.\nNach unserer Meinung treffen diese Voraussetzungen f\u00fcr unsere Versuche nicht zu; vielmehr werden die gro\u00dfen Variationen von Mr Mx und M2, falls diese Werthe aus den Formeln III berechnet werden, bedingt durch die Variationen von mA und m2, welche Gr\u00f6\u00dfen als Differenz im Nenner auftreten und einen sehr kleinen Werth repr\u00e4sentiren. Wir m\u00f6chten vielmehr vermuthen, dass jeweils der zweite Schall relativ genauer aufgefasst wird als der erste, derartige Fehler aber werden durch die Beachtung der Zeitfolge compensirt.\nWir theilen zum Schluss noch eine gr\u00f6\u00dfere Anzahl fr\u00fcherer Versuchsergebnisse mit, welche ohne Ber\u00fccksichtigung des d, gewonnen und aus Versuchen berechnet sind, die mit blo\u00dfer Hand ausgef\u00fchrt wurden. Die Werthe h sollen 25, 50 und 90 cm sein, die Werthe hx und h2 entsprechen den beiden angewandten D, die in der Tabelle mitgetheilten h sind die durch den Versuch ermittelten. Diese Ver-","page":154},{"file":"p0155.txt","language":"de","ocr_de":"Das psychophysische Grundgesetz in Bezug auf Schallst\u00e4rken,\t155\nsuche zeigten die regelm\u00e4\u00dfige Abnahme des Pr\u00e4cisionsma\u00dfes m mit der Zunahme von D noch nicht, wiewohl sie den Gleichheitspunkt noch mit gen\u00fcgender Exactheit zu berechnen gestatteten.\nTabelle XIII.\nA \u2014 25\t\t\t50\t\t\t90\t\t\nAi\t\u00c42\tA\th\t\u00c42\tA\th\thi\tA\n21\t29\t25,31\t42\t58\t.50,12\t78\t102.\t91,89\n23\t27\t25,09\t46\t54\t50,28\t84\t96\t90,96\n21\t23\t25,32\t42\t46\t49,29\t78\t84\t89,66\n27\t29\t25,33\t54\t58\t51,29\t96\t102\t90,38\n29\t31\t23,78\t58\t62\t50,11\t102\t108\t92,10\nDie gr\u00f6\u00dfte Abweichung betr\u00e4gt bei h \u2014 25:4,88 ^, bei h \u2014 50 : 1,42 % und bei \u00e4 = 90 : 2,33 % ; f\u00fcr je ein positives und ein negatives D sind die maximalen Abweichungen nur : 1,24 ; 0,56 und 2,1 %. Wendet man die Bestimmung von \u00e2 nicht an oder setzt man es gleich 0, so erh\u00e4lt man bei 2 mit gleichen Vorzeichen behafteten D gew\u00f6hnlich einen zu kleinen Werth, bei einem positiven und einem negativen D hingegen einen etwas zu gro\u00dfen Werth.\nWas die Pr\u00fcfung des Weber\u2019schen Gesetzes durch die Fech-n er \u2019sehe Methode der richtigen und falschen F\u00e4lle anlangt, so verdient vor allem die Untersuchung der Aufmerksamkeitsverh\u00e4ltnisse eine besondere Beachtung. Es ist m\u00f6glich, dass bei dieser Methode eine Steigerung beziehentlich Abschw\u00e4chung der Aufmerksamkeit die Anzahl der richtigen, falschen und zweifelhaften F\u00e4lle wesentlich beeinflusst. Bei den hier mitgetheilten Versuchen wurden die Schallst\u00e4rken nach M\u00f6glichkeit mit normaler Aufmerksamkeit beurtheilt, doch werden sich auch bei diesen Versuchen Schwankungen der Aufmerksamkeit bis zu einem gewissen Grade geltend gemacht haben.\nWir haben schlie\u00dflich noch auf einen \u00fcberaus wichtigen Umstand hinzuweisen, der aus der Vergleichung der mittleren Fehler der Versuche mit und ohne Fallzangen folgt. Da wo der mittlere Fehler klein ist, wo also die durch die Mangelhaftigkeit der Versuchstechnik bedingten Fehler nach M\u00f6glichkeit in Wegfall kommen, ist die Anwendung des Gau\u00df \u2019sehen Integrales eine \u00fcberaus sichere, im anderen","page":155},{"file":"p0156.txt","language":"de","ocr_de":"156\nJulius Merkel.\nFalle eine weniger exacte zu nennen. Daraus ist zu schlie\u00dfen, dass die zuf\u00e4lligen Fehlervorg\u00e4nge vorwiegend innere sein m\u00fcssen, wenn die mittleren Fehler den entsprechenden Reizen proportional sein sollen, also das Gau\u00df\u2019sche Gesetz streng anwendbar sein soll. Dagegen werden zu diesen inneren Fehlervorg\u00e4ngen noch \u00e4u\u00dfere in vielleicht \u00fcberwiegender Zahl hinzutreten, wenn sich die strenge Anwendbarkeit nicht herausstellt, die Pr\u00e4cisionsma\u00dfe f\u00fcr kleine D sich vielleicht gar als constant erweisen. Gerade dem Ueberwiegen \u00e4u\u00dferer Fehlervorg\u00e4nge ist es jedenfalls mit zuzuschreiben, dass die Anwendung des Gau\u00df\u2019sehen Integrales auf die F ec hn er\u2019sehen Gewichtsversuche zu Resultaten gef\u00fchrt hat, welche erheblichen Schwankungen unterworfen sind.\nII. Bestimmung der Exponenten e und rt zur Ermittlung der\nSchallst\u00e4rken.\nDie Versuche \u00fcber die Pr\u00fcfung des Web er\u2019schen Gesetzes zerfallen in 3 Gruppen; die Ausf\u00fchrung derselben erstreckt sich \u00fcber einen Zeitraum von 2 Jahren. Die Versuche jeder Gruppe wurden ohne Unterbrechung in 5-\u20148 Monaten beendet. Dabei wurde an etwa 5 Tagen in jeder Woche Vormittags experimentirt und zwar niemals \u00fcber 11/2 Stunde. Bei den Versuchen der Gruppen I und II wurden die Kugeln noch mit blo\u00dfer Hand fallen gelassen, bei denen der Gruppe III wurden jedoch die Fallzangen benutzt. Als Fallbrett wurde bei I und II eine quadratische Platte aus Rothbuche angewandt, deren Dimensionen dieselben waren, wie hei der im vorigen Abschnitt genannten Platte aus gleichem Holze, die bei Gruppe III benutzt wurde. Bei Gruppe I wurde die Platte benutzt, wie sie vom Tischler hergestellt worden war ; bei Gruppe II wurde sie durch vorherige Pressung wieder vollst\u00e4ndig geebnet. Dadurch war sie elastischer geworden als zuvor, auch konnte sie wegen ihrer gr\u00f6\u00dferen H\u00e4rte und Elasticit\u00e4t zu einer wesentlich gr\u00f6\u00dferen Reihe von Versuchen verwandt werden. In gleicher Weise wurde auch die bei der dritten Versuchsgruppe verwandte Platte durch vorherige Pressung widerstandsf\u00e4higer gemacht.\nF\u00fcr jede Gruppe ging die Bestimmung der e und rj den Versuchen \u00fcber die Pr\u00fcfung des Web er\u2019sehen Gesetzes voran. Die Resultate \u00fcber die Schallst\u00e4rken, die sich hierbei ergaben, m\u00fcssen jedoch einer besonderen Ver\u00f6ffentlichung Vorbehalten bleiben, und noch nach ver-","page":156},{"file":"p0157.txt","language":"de","ocr_de":"Das psychophysische Grundgesetz in Bezug auf Schallst\u00e4rken.\n157\nschiedenen Richtungen erg\u00e4nzt werden. Mit den Starke \u2019sehen Versuchen sind nur die der Gruppe I vergleichbar, weil hei diesen die Holzplatte unver\u00e4ndert angewandt wurde, wiewohl die verschiedenen Dimensionen noch Unterschiede bedingen k\u00f6nnten.\nDie \u00ab-Bestimmung geschah bei Gruppe I bei 5 Gewichtspaaren, deren Verh\u00e4ltniss etwa 4/3 war. Die Schallst\u00e4rken lie\u00dfen sich sehr gut vergleichen, da ihre Klangverschiedenheit nur sehr unbedeutend war. Die Ergebnisse wurden graphisch dargestellt und sodann die e f\u00fcr die H\u00f6hen 10, 20, 30, 40 . . . . bis 130 cm als Mittel aus 5 verschiedenen, wenig abweichenden \u00ab-Bestimmungen berechnet. Die so gewonnenen \u00ab sind in Tabelle I unter I zusammengestellt und liegen den Berechnungen der Schallst\u00e4rken f\u00fcr Gruppe I der Weber\u2019schen Versuche zu Grunde.\nF\u00fcr Gruppe II wurden die \u00ab hei 7 Gewichtspaaren, hei Gruppe III bei nur 3 Gewichtspaaren ermittelt. (Tabelle I, II und lila, b.) Die Werthellla sind mittels der Methode der Minimal\u00e4nderungen, die Werthe III b mittels der Fechner\u2019sehen Methode der richtigen und falschen F\u00e4lle bestimmt worden. Die Abweichungen sind nur unbedeutend.\nDie rj wurden hei Gruppe I f\u00fcr Gewichte zwischen 5 und 160g (Tabelle II, I), bei Gruppe II f\u00fcr Gewichte zwischen 0,2 und 160 g (Tabelle II, II) und endlich bei Gruppe III wieder mit H\u00fclfe der Methode der Minimal\u00e4nderungen und der Methode der richtigen und falschen F\u00e4lle f\u00fcr Gewichte zwischen 3 und 160 g ermittelt. (Tabellen, III a und b ) Auch hier sind die Unterschiede nicht betr\u00e4chtlich.\nAuffallend d\u00fcrften die ^-Werthe f\u00fcr die Gewichte 0,2 bis 0,98 sein ; berechnet man indessen die i \u2014 p7! \u00a5 nach denselben, so ergeben sich ganz einwurfsfreie Werthe. Die verh\u00e4ltnissm\u00e4\u00dfig gro\u00dfen Werthe erkl\u00e4ren sich aus dem Umstande, dass in der Formel f\u00fcr rj der Logarithmus des entsprechenden p als Nenner auftritt. Daher w\u00fcrde f\u00fcr p \u2014 1 der Werth von rj unendlich gro\u00df werden.\nUm bei den Versuchen mittels der Methode der richtigen und falschen F\u00e4lle stets ein positives und ein negatives I) anwenden zu k\u00f6nnen, wurden die Vergleichsh\u00f6hen der kleineren Kugel mit R\u00fccksicht auf die Ergebnisse der Methode der Minimal\u00e4nderungen gew\u00e4hlt. Fiel etwa bei der H\u00f6he h \u2014 20 cm der schwereren Kugel p die kleinere Pi von der H\u00f6he = 27 cm bei Gleichheit der Schallst\u00e4rken, so wur-:","page":157},{"file":"p0158.txt","language":"de","ocr_de":"158\nJulius Merkel.\nden die Versuche nach der Methode der richtigen und falschen F\u00e4llein der Weise angestellt, dass die Kugel p stets von der H\u00f6he 20, die Kugel pt erst von der H\u00f6he 24, dann von der H\u00f6he 30 cm fiel und sodann umgekehrt. Bei jeder H\u00f6he fiel erstp an erster Stelle, dann in ehensovielen Versuchen px. Nach einer Pause wurde eine zweite analoge Versuchsreihe angestellt, in der sowohl die Zeitlage als auch die Kaumlage der Versuche genau entgegengesetzt war. Die Verh\u00e4ltnisse \u2014 gaben dann unter Benutzung der Fundamentaltabelle t{ und tt.\nDie Werthe mt und m2 waren :\nt\\ _\tt<r\n=A>\t= \u00c4\u2019\nworin: Z>, = Pi (24 \u2014 x) und D1 \u2014 px (30 \u2014 x) zu setzen. Bei Einf\u00fchrung dieser Werthe in das Verh\u00e4ltniss :\nf\u00e4llt px fort und die H\u00f6he x, bei welcher der Schall der Kugel pi demjenigen der Kugel p gleich wird, berechnet sich aus der fr\u00fcher abgeleiteten Formel :\n2it-2A \u2014 30 ti x ~~ hA \u2014 h \u2022\nDer Vortheil der Methode der richtigen und falschen F\u00e4lle liegt vor allem in dem Umstande, dass die Fallh\u00f6hen von vornherein bestimmt sind, und der fortw\u00e4hrende Wechsel der einen Fallh\u00f6he sich nicht n\u00d6thig macht. Wenngleich die Methode der richtigen und falschen F\u00e4lle zur Bestimmung eines Gleichheitspunktes mehr Zeit erfordert, als die Methode der Minimal\u00e4nderungen, die durch Bestimmung des Keductionsfactors sich ebenfalls complicirter gestaltet hat, so ist doch die Bestimmung mittels der ersteren Methode wesentlich genauer, sodass eine mehrmalige Bestimmung desselben h nicht 'in dem Grade erforderlich ist, wie bei der letzteren Methode. Vor allen Dingen hei gr\u00f6\u00dferen h ist die Anwendung der Methode der Minimal\u00e4nderungen schwierig, w\u00e4hrend die Methode der richtigen und falschen F\u00e4lle auch hier bequem zu handhaben ist. Wollte man zum Beispiel bei der H\u00f6he 130 cm noch Versuche anstellen, so m\u00fcsste man hei der Methode der Minimal\u00e4nderungen bei der einen Zeitfolge etwa bei 250cm anfangen und dann herabgehen, um die obere Grenze zu bestimmen ; bei der Methode der richtigen und falschen F\u00e4lle w\u00e4hlt man\n\u00bb","page":158},{"file":"p0159.txt","language":"de","ocr_de":"Das psychophysische Grundgesetz in Bezug auf Schallst\u00e4rken.\t159\netwa h\\ \u2014 150 und \u2014 170 cm, und die Versuche k\u00f6nnen dann ohne St\u00f6rung ausgef\u00fchrt werden. Dass die Aufmerksamkeit hei der Methode der richtigen und falschen F\u00e4lle bei weitem nicht in dem Grade angestrengt wird, wie bei der Methode der Minimal\u00e4nderungen, kann durch unsere Erfahrungen nur best\u00e4tigt werden.\nDurch die feste Einstellung der -Fallzangen wird auch erreicht, dass beide Kugeln immer dieselbe Stelle des Fallbrettes treffen, was hei fortw\u00e4hrendem Verschieben der einen Fallzange nicht in dem Grade erreicht werden kann. Das Auffallen auf nahezu dieselbe Stelle ist aber vor allem deshalb wichtig, weil sich die Schallst\u00e4rken nicht unerheblich \u00e4ndern, wenn man die Kugeln mehr und mehr nach der Seite hin auffallen l\u00e4sst.\nWir geben in den folgenden Tabellen nur f\u00fcr diejenigen H\u00f6hen und Gewichte, welche hei den Web er\u2019sehen Versuchen in Betracht kommen, die Werthe e und rj. Bei Berechnung der Weber\u2019sehen Versuche m\u00fcssen die e aus einer graphischen Darstellung entnommen werden. Die 6 f\u00fcr h < 5 cm, welche bei einzelnen Versuchen hen\u00f6thigt wurden, sind in Proportion zu den vorangegangenen Werthen bestimmt worden. Vor Beginn der Versuchsgruppen III wurden die benutzten Messingkugeln einer Revision unterzogen, und mehr oder weniger polirt. Dadurch sind die Gewichte etwas ver\u00e4ndert worden, weshalb in Tabelle II zwei Columnen f\u00fcr p auftreten.\nTabelle I.\n\u00ab-Werthe.\nh\tI\tII\tlila\tIII b\n5 cm\t\u2014\t0,844\t\t\t\n10\t0,868\t0,847\t0,796\t0,796\n20\t0,871\t0,853\t0,807\t0,808\n30\t0,875\t0,861\t0,814\t0,816\n40\t0,881\t0,872\t0,823\t0,826\n50\t0,889\t0,881\t0,834\t0,837\n60\t0,895\t0,891\t0,845\t0,848\n70\t0,901\t0,900\t0,856\t0,859\n80\t0,906\t0,910\t0,867\t0,870\n90\t0,911\t0,919\t0,877\t0,880\n100\t0,915\t0,927\t0,887\t0,889\n110\t0,920\t0,935\t0,897\t0,898\n120\t0,924\t0,942\t0,906\t0,908\n130\t0,927\t0,949\t0,914\t0,916","page":159},{"file":"p0160.txt","language":"de","ocr_de":"160 Julius Merkel. Das psychophysische Grundgesetz in Bezug auf Schallst\u00e4rken,\nTabelle II. rj -Werthe.\np\tI\tII\tP\tlila\tIII b\n0,2 g\t\t\t1,399\t\u2014\t\u2014\t\u2014\n0,5\t-1\t1,745\t\u2014\t\u2014\t\u2014\n0,98\t\u2014\t22,682\t\u2014\t\u2014\t\u2014\n2,46\t\u2014\t0,614\t2,45 g\t0,750\t0,755\n4,96\t\u2014\t0,818\t4,95\t0,796\t0,796\n9,96\t0,881\t0,869\t9,93\t0,828\t0,831\n19,75\t0,892\t0,890\t19,74\t0,845\t0,849\n40\t0,904\t0,891\t39,94\t0,852\t0,860\n79,85\t0,900\t0,887\t79,83\t0,846\t0,852\n159,9\t0,883\t0,868\t159,89\t0,840\t0,846\n(Schluss folgt im n\u00e4chsten Hefte.)","page":160},{"file":"p0640s0001table2.txt","language":"de","ocr_de":"\u00abJul.Merkel del.\nVerlag v. Wilh. Encjelmann, Leipzig.\nTafel JT.\nT\ntittj-Anst. y J.G.Bae^, Leipzig.","page":0}],"identifier":"lit4145","issued":"1888","language":"de","pages":"117-160","startpages":"117","title":"Das psychophysische Grundgesetz in Bezug auf Schallst\u00e4rken, I","type":"Journal Article","volume":"4"},"revision":0,"updated":"2022-01-31T12:38:32.658072+00:00"}