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{"created":"2022-01-31T12:28:31.370923+00:00","id":"lit4224","links":{},"metadata":{"alternative":"Philosophische Studien","contributors":[{"name":"Bruns, Heinrich","role":"author"}],"detailsRefDisplay":"Philosophische Studien 9: 1-52","fulltext":[{"file":"p0001.txt","language":"de","ocr_de":"Ueber die Ausgleichung statistischer Z\u00e4hlungen in der Psychophysik.\nVon\nH. Bruns.\nDen \u00e4u\u00dferen Anlass zu der Niederschrift der nachstehenden Auseinandersetzungen gab die Untersuchung von B. K\u00e4mpfe, die in diesen \u00bbStudien\u00ab1) ver\u00f6ffentlicht ist. Bei der Durchsicht der genannten Abhandlung konnte ich mich nicht des Eindruckes erwehren, dass zwischen dem inneren Werthe der umfangreichen Beobachtungsreihe und der gew\u00e4hlten Art der rechnerischen Behandlung ein gewisses Missverh\u00e4ltniss bestehe, hervorgerufen durch die Nichtbenutzung gewisser Principien und Lehrs\u00e4tze, die den Inhalt der sogenannten \u00bbAusgleichungs-Rechnung\u00ab bilden. Wenn n\u00e4mlich eine Beobachtungsreihe mehr Bestimmungsst\u00fccke liefert, als zur Ermittlung der aus den Beobachtungen gesuchten Unbekannten nothwendig sind, so treten erfahrungsgem\u00e4\u00df zwischen den einzelnen Beobachtungen Widerspr\u00fcche auf, die von den unvermeidlichen Beobachtungsfehlern herr\u00fchren. Diese Widerspr\u00fcche m\u00fcssen, wenn man nicht etwa zu einer willk\u00fcrlichen und deshalb verwerflichen Auswahl seine Zuflucht nehmen will, hei der Ableitung der Endresultate \u00bbausgeglichen\u00ab werden. Wenn auch die Grunds\u00e4tze der A.-R. 2) zum Theil conventioneller Natur sind, und zwar aus Gr\u00fcnden, die zur Zeit als in dem Gegenst\u00e4nde selbst\n1)\tBand VIII, S. 51 Iff.\n2)\tZur Abk\u00fcrzung f\u00fcr Ausgleichungs-Rechnung.\nWundt, Philos. Studien. IX.\n1","page":1},{"file":"p0002.txt","language":"de","ocr_de":"2\nH. Bruns.\nliegend angesehen werden m\u00fcssen, so hat doch die Erfahrung, d. h. die fortw\u00e4hrende Probe auf die Zweckm\u00e4\u00dfigkeit und praktische Brauchbarkeit eine Art Auslese herbeigef\u00fchrt, deren Ergebniss \u2014 bis zum Beweise des Gegentheils \u2014 als endg\u00fcltig anzusehen ist.\nWenn eine Beobachtungsmethode bis an die Grenze ihrer Leistungsf\u00e4higkeit ausgenutzt wird \u2014 wie das z. B. in der Astronomie und Geod\u00e4sie seit Langem die Hegel bildet \u2014 so besteht die einzige M\u00f6glichkeit, die Genauigkeit der Ergebnisse noch weiter zu treiben, darin, dass man durch die angemessene Verbindung m\u00f6glichst zahlreicher Messungen den Spielraum der unvermeidlichen Fehler noch weiter einengt, und das Mittel dazu ist eben die A.-R. Ihre Vorschriften haben sich in den genannten Wissenschaften so fest eingeb\u00fcrgert, dass die Nichtanwendung als ernster Mangel angesehen wird. Aber auch anderswo treten genug F\u00e4lle auf, in denen die mit Verst\u00e4ndniss und Urtheil durchgef\u00fchrte Ausgleichung den Ergebnissen erst ihren eigentlichen Halt gibt. Wenn gleichwohl die Anwendung der hierher geh\u00f6rigen Rechnungsvorschriften h\u00e4ufig unterbleibt, so d\u00fcrfte die Ursache davon der Regel nach in der Unbekanntheit mit dem Gegenst\u00e4nde zu suchen sein. Man trifft wenigstens in der Litteratur immer wieder auf Beispiele, wo die regelrechte Anwendung der A.-R. nicht blo\u00df den besten, sondern auch den k\u00fcrzesten Rechnungsgang liefert, wo aber trotzdem irgend ein beschwerlicher und Ziffern vergeudender Umweg eingeschlagen wird.\nF\u00fcr den vornehmsten Ausgleichungsmodus, n\u00e4mlich die Methode der kleinsten Quadrate, findet man in zahlreichen B\u00fcchern und Abhandlungen die Begr\u00fcndung und die Anweisung zur zweckm\u00e4\u00dfigen Durchf\u00fchrung der numerischen Rechnung auseinandergesetzt. Die Begr\u00fcndung geht zun\u00e4chst immer davon aus, dass es sich um Messungen, im engeren Sinne dieses Wortes, handele, und dass diese Messungen unabh\u00e4ngig von einander seien. Es ist deshalb nicht von vorn herein gewiss, dass die Methode der kl. \\\u00e4u. auch auf die statistischen Z\u00e4hlungen, die bei den psychophysischen Versuchen eine so h\u00e4ufige Anwendung gefunden haben, ohne weiteres ausgedehnt werden d\u00fcrfe. Diese Frage ist, wie eine n\u00e4here Untersuchung lehrt, im wesentlichen zu bejahen, so lange in den Versuchsreihen, auf die sich die Abz\u00e4hlungen beziehen, hei","page":2},{"file":"p0003.txt","language":"de","ocr_de":"Ueber die Ausgleichung statistischer Z\u00e4hlungen in der Psychophysik.\n3\njedem einzelnen Versuche immer nur zwei Ereignisse E und sein Gegentheil Nicht-E in Betracht kommen. Die dabei erforderlichen S\u00e4tze finden sich in den Lehrb\u00fcchern der Wahrscheinlichkeits-Rechnung fertig vor, und zwar hei der Ableitung des sogen. Berno\u00fclli\u2019schen Theorems \u00fcber die gro\u00dfen Zahlen. Wenn dagegen mehr als zwei Ereignisse unterschieden werden, so bed\u00fcrfen die herk\u00f6mmlichen Voraussetzungen und Vorschriften der Methode der kl. Qu. einer Ab\u00e4nderung, die meines Wissens bisher nicht gegeben worden ist. Die Form dieser Ab\u00e4nderung ist bei der vorliegenden Klasse von Aufgaben hinreichend einfach, dagegen verlangt die Beweisf\u00fchrung einige umst\u00e4ndlichere Vorbereitungen.\nEs versteht sich von selbst, dass in der Psychophysik, wie in anderen beobachtenden Wissenschaften, ganze Gebiete von Aufgaben auftreten, die wesentlich qualitativer Natur sind, wo also, wenigstens vorl\u00e4ufig, der Hauptzweck nicht in der Ermittelung von m\u00f6glichst genauen Zahlenbeziehungen liegt, und wo deshalb bei der Rechnung ein summarisches Verfahren gestattet ist. Sobald dagegen die Zahlenwerthe der Hauptzweck sind und sobald \u00fcbersch\u00fcssige Beobachtungen vorliegen, tritt auch die Ausgleichung in ihr Recht.\nDer Einwand, dass z. B. die Methode der kl. Qu. die Beobachtungen als frei von systematischen Fehlern voraussetze, trifft gar nicht die Nothwendigkeit, zwischen den vorhandenen Widerspr\u00fcchen auszugleichen, sondern nur die Vorschriften f\u00fcr die Sch\u00e4tzung der in den Resultaten verbleibenden Unsicherheit. Diese Sch\u00e4tzungen k\u00f6nnen allerdings durch systematische Fehler illusorisch gemacht werden, wobei jedoch nicht zu vergessen ist, dass eben diese Sch\u00e4tzungen h\u00e4ufig genug ein Mittel zur Aufdeckung systematischer Fehler sind.\nDie nachstehenden Auseinandersetzungen sind im Grunde ein Abriss der Methode der kl. Qu. mit besonderer R\u00fccksicht auf die hier zu l\u00f6sende Aufgabe. Diese Art der Behandlung war n\u00f6thig, weil die herk\u00f6mmlichen Darstellungen in ihren Grundannahmen Einschr\u00e4nkungen enthalten, die f\u00fcr die Beweisf\u00fchrung \u00fcberfl\u00fcssig, f\u00fcr den hier zu behandelnden Fall aber unzul\u00e4ssig sind.\n1*","page":3},{"file":"p0004.txt","language":"de","ocr_de":"4\nH. Bruns.\nI.\nBei directer Messung einer Unbekannten m\u00f6gen der wahre und der beobachtete Werth als Strecken 0 W und OB auf einer Abscissenachse von einem Nullpunkte 0 aus abgetragen werden. Man kann dann sagen: die Beobachtung verlegt den wahren Ort TV des gesuchten Punktes nach B, und die Strecke B TV ist der Beobachtungsfehler. Von diesem Beobachtungsfehler unterscheiden wir den eigentlichen Messungsfehler. Es wird n\u00e4mlich das Messungsresultat, d. h. die als beobachtet notirte Zahl, immer nur mit einer bestimmten Anzahl von Decimalen niedergeschrieben, w\u00e4hrend f\u00fcr die genaue Angabe der L\u00e4nge von OB unter Umst\u00e4nden noch weitere Decimalstellen n\u00f6thig sein k\u00f6nnen. Ist a die Strecke, die der Einheit der letzten bei den Messungen mitgenommenen D\u00e9cimale entspricht, so denke man sich durch Abtragung der Vielfachen von a eine Scala oder Theilung hergestellt, deren Theil-punkte wir, von 0 aus, fortlaufend mit den Nummern 0, 1, 2 . . . resp. 0, \u20141, \u20142 . . . beziffern wollen. Dies festgesetzt, k\u00f6nnen wir sagen: die Beobachtung verlegt den wahren Ort TV nach B, aber als gemessen wird nicht die Abscisse O B, sondern die Nummer des Theilpunktes P notirt, der B am n\u00e4chsten liegt Hierbei ist die Strecke B P der Abrundungsfehler, P TV dagegen der Messungsfehler, d. h. der Unterschied zwischen dem als gemessen notirten und dem Soll-Werthe. Bei genauen Messungen richtet man es immer so ein, dass der Abrundungsfehler neben dem Beobachtungsfehler zu vernachl\u00e4ssigen ist, dass also zwischen Beobachtungs- und Messungsfehler nicht unterschieden zu werden braucht. Der Abrundungsfehler bewirkt, dass B sich innerhalb einer gewissen Strecke verschieben kann, ohne dass sich das entsprechende P und die als gemessen notirte Theilpunkt-Nummer \u00e4ndert. Wir wollen den geometrischen Ort von B. zu dem derselbe Theilpunkt P geh\u00f6rt, als \u00bbTheilstrecke\u00ab bezeichnen, und diese mit der Nummer versehen, die dem entsprechenden P zukommt. Man kann dann auch sagen: als gemessen wird die Nummer der Theilstrecke notirt, in die durch die Beobachtung der Ort des gesuchten Punktes hineinverlegt wird. Liegen f\u00fcr TV wiederholte Messungen vor, so lautet die Aufgabe der A.-R. f\u00fcr diesen Fall:","page":4},{"file":"p0005.txt","language":"de","ocr_de":"Ueber die Ausgleichung statistischer Z\u00e4hlungen in der Psychophysik.\t5\naus der H\u00e4ufigkeit, mit der die verschiedenen Theilstrecken-Nummern in der Messungsreihe auftreten, ist die annehmbarste Festsetzung \u00fcber die Lage von TV und wom\u00f6glich eine Sch\u00e4tzung der dabei \u00fcbrig bleibenden Unsicherheit abzuleiten.\nDie vorstehende Auseinandersetzung erscheint zun\u00e4chst etwas k\u00fcnstlich, um so mehr, als sie in der Sache auf dasselbe hinausl\u00e4uft, wie die gew\u00f6hnliche Ausdrucksweise. Sie hat jedoch den Vortheil, dass man von ihr aus unmittelbar zu den statistischen Z\u00e4hlungen der Psychophysik \u00fcbergehen kann. Der Einfachheit halber und um die Vorstellung zu fixiren, kn\u00fcpfe ich an den von K\u00e4mpfe behandelten Fall an; der f\u00fcr andere Aufgaben erforderliche Ansatz l\u00e4sst sich an der Hand dieses einen Beispieles jedesmal ohne Schwierigkeit aufstellen.\nErzeugt werden zwei Reize, die nach einer bestimmten Regel als erster \u00fcj und als zweiter 10 unterschieden werden. Beobachtet wird die Reizdifferenz\nD = R\\ \u2014 jR% ,\nderen wahren und deren beobachteten Werth wir wieder durch die beiden Strecken 0 TV und OB darstellen. Als gemessen wird jedoch nicht eine Theilstrecken-Nummer notirt, sondern eines der drei Urtheile\nD > 0 , D = 0 , D <_ 0 ,\noder auch die Urtheile: das Vorzeichen von D ist positiv \u2014 nicht angebbar \u2014 negativ1). Die ganze Abscissenachse umfasst also nur drei Theilstrecken, n\u00e4mlich:\n1.\tdie \u00bbuntere\u00ab Strecke von \u2014 oo bis zu einem gewissen Punkte mit der Abscisse Zu,\n2.\tdie \u00bbZwischenstrecke\u00ab von Zu bis zu einem gewissen Punkte mit der Abscisse Z0,\n3.\tdie \u00bbobere\u00ab Strecke von Z0 bis -f- oo.\n1) Es kommen zuweilen \u00bbzweifelhafte\u00ab F\u00e4lle vor, in denen das Urtheil lautet : 1J ungleich Null, aber das Vorzeichen nicht sicher angebbar. Diese F\u00e4lle wird man, je nachdem man die drei Urtheilsklassen auf die eine oder andere Weise festsetzt, entweder als verfehlt fortlassen oder aber der mittleren Klasse zuz\u00e4hlen. Bei der Seltenheit dieser F\u00e4lle, wenigstens f\u00fcr ge\u00fcbte Beobachter, ist es sachlich ziemlich gleichg\u00fcltig, ob man in der einen oder andern Weise verf\u00e4hrt.","page":5},{"file":"p0006.txt","language":"de","ocr_de":"6\nH. Bruns.\nJe nachdem der beobachtete Punkt P in eine der drei Theil-strecken f\u00e4llt, geh\u00f6rt das Urtheil einer der drei angegebenen Klassen an. Es seien nun bei einer mit constantem D ausgef\u00fchrten Versuchsreihe: V die Anzahl der Versuche, ferner P, Z. N die gez\u00e4hlten H\u00e4ufigkeiten der drei Urtheile D 0, D \u2014 0, I) <[ 0, endlich\ndie beobachteten relativen H\u00e4ufigkeiten, zwischen denen die Gleichung\np z n = 1\nbesteht, dann h\u00e4ngen diese drei Zahlen p, z, n ab: von den beiden Heizen P1; P2 mit der Differenz I), ferner von der Zwischenstrecke mit ihren Endpunkten Zu und Z07 endlich von dem Gesetz, nach dem sich die H\u00e4ufigkeit der Fehler regelt, die bei der Auffassung von D m\u00f6glich sind. Als gesuchte St\u00fccke treten auf: das Fehlergesetz und die Zwischenstrecke, w\u00e4hrend die Reizdifferenz bekannt ist.\nMachen wir die in unserem Falle unbedenkliche Voraussetzung, dass die Werthe des Beobachtungsfehlers x ein Continuum bilden und dass das Fehlergesetz cp(x) eine stetige Function sei, so ist die Wahrscheinlichkeit f\u00fcr das Bestehen der Ungleichung\ngleich dem Integral\nSetzt man\ng <_x <h\nh\n0\nund definirt x als die Differenz \u00bbBeobachtung minus Sollwerth\u00ab, so ist die Wahrscheinlichkeit f\u00fcr das Bestehen der Ungleichung\na beobachtetes D <C l>\ndurch den Ausdruck\nip(b \u2014 D) \u2014 ip(a \u2014 D)","page":6},{"file":"p0007.txt","language":"de","ocr_de":"Lieber die Ausgleichung statistischer Z\u00e4hlungen in der Psychophysik.\n7\ngegeben, worin f\u00fcr D sein Sollwerth gesetzt zu denken ist. F\u00fchrt man f\u00fcr a und b die Endpunkte der drei Theilstrecken, n\u00e4mlich die Gr\u00f6\u00dfen \u2014 oo, Zw Z0, -fi- oo ein und beachtet, dass die Zahlen p, z, n die beobachteten Werthe der den Theilstrecken entsprechenden Wahrscheinlichkeiten sind, so erh\u00e4lt man die drei Beobachtungs-gleichungen\np = xp[oo) \u2014 xp[Z0 \u2014 D),\t|\nz = V(zo \u2014 D) \u2014 lPiZu \u2014\u25a0 D) ,\t1...........(1)\nn = V\\Zu \u2014 D) \u2014 Vi\u2014 oo) ,\t>\ndie jedoch nur zwei von einander unabh\u00e4ngige\tRelationen dar-\nstellen. Denn ihre Summe f\u00fchrt auf die Gleichung\nQO\n1 = ip (oo) \u2014 xp{\u2014 oo) =j\u2018(p [y)dy,\n\u2014 QO\ndie eine Identit\u00e4t ist, weil die Wahrscheinlichkeit, dass x irgend einen Werth zwischen den Grenzen \u00b1 oo besitze, gleich der Gewissheit ist.\nDie Gleichungen (1) enthalten vorl\u00e4ufig Alles, was sich auf Grund der beobachteten p, z, n an mathematischen Beziehungen zwischen den gesuchten St\u00fccken aus der betrachteten Versuchsreihe herausholen l\u00e4sst. Jede weitere Versuchsreihe liefert ein neues Gleichungssystem von der Form (1), wobei sich au\u00dfer D auch die Werthe der Z und die Form von ip \u00e4ndern k\u00f6nnen. Au\u00dferdem k\u00f6nnen aber auch zwischen den Z und den sonst etwa noch in xp auftretenden Unbekannten Relationen bestehen, die aus der besonderen Beschaffenheit der Versuchsanordnung folgen, und die deshalb von den beobachteten p, z, n unabh\u00e4ngig sind. Eine solche, mehrfach benutzte Relation ist die in vielen F\u00e4llen ganz plausible Bedingung\nzu + Zo = \u00dc..........................(2)\nWir wollen uns diese Bedingungen, wenn sie gelten, immer dazu benutzt denken, um eine entsprechende Zahl von Unbekannten aus dem Ausdrucke von xp zu eliminiren. Mit dieser Elimination sind die Bedingungen verbraucht und kommen dann nicht weiter in Betracht. Zu der Bedingung (2) will ich \u00fcbrigens bemerken, dass","page":7},{"file":"p0008.txt","language":"de","ocr_de":"8\nH. Bruns.\nes meistens zweckm\u00e4\u00dfig sein wird, sie nicht vorauszusetzen, sondern vielmehr Zu und Z0 als von einander unabh\u00e4ngige Unbekannte beizubehalten. W\u00e4hlt man n\u00e4mlich, wie das wohl immer geschehen wird, f\u00fcr das ip eine Form, die nur f\u00fcr zuf\u00e4llige, von systematischen Einfl\u00fcssen befreite Beobachtungsfehler Geltung hat, so sind die Gleichungen (1) nur dann richtig, wenn man die Fehlergr\u00f6\u00dfen\nZu \u2014 D, Z0 \u2014 D, +00,\ndie hei der Berechnung der ip als Argumente dienen, vorher von den etwaigen systematischen Bestandteilen befreit hat. Unterbleibt diese Correction, z. B. weil man ihren Betrag nicht ermitteln kann, so werden bei der Aufl\u00f6sung die Werthe der Unbekannten um entsprechende Betr\u00e4ge gef\u00e4lscht. Wird nun z. B. die Beizdifferenz D innerhalb einer Versuchsreihe um den constanten Betrag c fehlerhaft aufgefasst, so sind die in (1) zu benutzenden Argumente in Wirklichkeit gleich\n\u2014 00 + c, Zu \u2014\tZ0 \u2014 D + c ,\t00 + c,\noder gleich\n\u2014 00 i {Zu + c) \u2014 D ,\t(Z0 + c) \u2014 D ,\t00 .\nHiernach w\u00fcrde also hei der Aufl\u00f6sung von (1) die Benutzung der Bedingung (2) oder einer \u00e4hnlichen unter Umst\u00e4nden die M\u00f6glichkeit abschneiden, einen in I) begangenen constanten Fehler zu entdecken.\nDie Werthe von ip(x) sind ihrer Bedeutung nach Wahrscheinlichkeiten, also reine Verh\u00e4ltnisszahlen, w\u00e4hrend das Argument x eine Keizgr\u00f6\u00dfe bedeutet. W\u00e4hlt man die zur Abmessung von x benutzte Ma\u00dfeinheit k-mal kleiner, so geht der Zahlenwerth des Arguments in kx \u00fcber, w\u00e4hrend doch der Werth von ip durch diese Aenderung nicht ber\u00fchrt werden soll; ip darf also nicht eine rein numerische Function, wie etwa sin x oder log\u00ab sein. Vielmehr muss die Function ip au\u00dfer dem Argument x noch wenigstens einen Parameter enthalten, dessen numerischer Werth sich ebenfalls mit der Aenderung der Ma\u00dfeinheit der Beize \u00e4ndert, und der so eingeht, dass aus dem Werthe von ip die Aenderung der Ma\u00dfeinheit herausf\u00e4llt. Da die Zahlenwerthe solcher nothwendigen","page":8},{"file":"p0009.txt","language":"de","ocr_de":"Ueber die Ausgleichung statistischer Z\u00e4hlungen in der Psychophysik.\t9\nParameter meistens nicht im voraus bekannt sind, so gehen sie in das System (1) als weitere Unbekannte mit ein. Das einer einzelnen Versuchsreihe entsprechende System (1) enth\u00e4lt also im allgemeinen wenigstens drei Unbekannte, aber nur zwei von einander unabh\u00e4ngige Gleichungen.\nDie Aufl\u00f6sung der Beobachtungsgleichungen setzt voraus, dass die Form von ip(x) bekannt sei. Da diese Form f\u00fcr eine gegebene Beobachtungsreihe nicht a priori feststeht, so ist man gen\u00f6thigt, \u00fcber if>(x) irgend eine plausible Annahme zu machen und ihre Zul\u00e4ssigkeit an den Beobachtungen zu pr\u00fcfen. Wenn die Gleichungssysteme (1), die man aus mehreren Versuchsreihen erh\u00e4lt, gerade so viele unabh\u00e4ngige Bedingungen liefern, als Unbekannte vorhanden sind, so ist die geforderte Pr\u00fcfung offenbar nicht m\u00f6glich. Denn man kann dann, wie auch im Uebrigen ip(x) gew\u00e4hlt sein mag, die vorgelegten Gleichungen im allgemeinen immer streng befriedigen; die unendlich vielen denkbaren Formen von ip haben also, so weit es sich um den Anschluss an die Beobachtungen handelt, gleiche Berechtigung. Die M\u00f6glichkeit, den Spielraum f\u00fcr die Wahl von ip einzuengen, tritt erst ein, wenn \u00fcbersch\u00fcssige Beobachtungen vorhanden sind, wenn also die blo\u00dfe Aufl\u00f6sung der Gleichungen durch eine Ausgleichung zu ersetzen ist.\nII.\nEhe wir zur Er\u00f6rterung der Frage nach dem zweckm\u00e4\u00dfigsten Ausgleichungsmodus \u00fcbergehen, soll zun\u00e4chst die zu behandelnde Aufgabe in allgemeinerer Gestalt aufgestellt werden, denn das vorhin besprochene Beispiel ist nur ein specieller Fall aus der Anwendung statistischer Methoden in der Psychophysik. Scheidet man die von Fall zu Fall wechselnden Umst\u00e4nde aus, so gelangt man zu einer Aufgabe, deren Voraussetzungen und deren Ziel folgenderma\u00dfen formulirt werden k\u00f6nnen.\nAngestellt wird eine \u00bbGruppe\u00ab von Versuchen; diese Gruppe zerf\u00e4llt in q \u00bbReihen\u00ab, die wir durch die Nummern 1, 2, . . . q unterscheiden. Bei jedem einzelnen Versuche tritt eines der r einander ausschlie\u00dfenden Ereignisse _Ej, E-z . . . Er ein. Diese Ereignisse sind im vorliegenden Falle Urtheile oder besser Urtheilsclassen und","page":9},{"file":"p0010.txt","language":"de","ocr_de":"10\nH. Bruns.\nkommen dadurch zu Stande, dass auf dem Wege von der Herstellung und Auffassung des beurtheilten Objects bis zum Aussprechen des Urtheils Fehler begangen werden, die im allgemeinen den Charakter der Zuf\u00e4lligkeit besitzen, ohne dass jedoch constante Bestandteile ausgeschlossen sind. Die Wahrscheinlichkeiten, mit denen bei jedem Versuche das Eintreten der einzelnen E zu erwarten ist, h\u00e4ngen von gewissen Umst\u00e4nden ab, deren Gesammtheit wir als \u00bbBeobachtungsmodus\u00ab (abgek\u00fcrzt B.-M.) bezeichnen1). Der mathematische Ausdruck f\u00fcr den B.-M. ist die Fehlerfunction oder das Fehlergesetz, welches die H\u00e4ufigkeit der bei dem betrachteten B.-M. m\u00f6glichen Fehler regelt.\nZu diesen allgemeinen Versuchsbedingungen treten weiter die beiden wesentlichen Voraussetzungen unserer Aufgabe. Die erste lautet: innerhalb einer \u00bbReihe\u00ab ist der B.-M. constant und damit auch die Form der Fehlerfunction, mit der die Wahrscheinlichkeiten f\u00fcr das Eintreten der einzelnen E zu berechnen sind. Die andere Voraussetzung besagt: die Fehlerfunctionen, die zu den einzelnen B.-M. oder, was dasselbe ist, zu den einzelnen Versuchsreihen geh\u00f6ren, sind ihrer Form nach bekannt, und damit auch die Ausdr\u00fccke f\u00fcr die Wahrscheinlichkeiten der E ; unbekannt sind nur die Werthe gewisser Parameter, die in den Fehlerfunctionen auftreten.\nEs seien nun f\u00fcr die a-te Versuchsreihe: Vu die Zahl der Versuche, PUi, Pai . . . Par die gez\u00e4hlten H\u00e4ufigkeiten der Ereignisse E.\nPax = fr \u00bb \u2022 \u2022 \u2022 Par =\nv a\ty a\ndie entsprechenden relativen Pl\u00e4ufigkeiten, um , . . . uar die Wahrscheinlichkeiten der E, sodann , \u00a32 \u2022 \u2022 \u2022 die unbekannten Parameter, und endlich\n\u2022 \u25a0 \u2022 Eur% \u25a0 \u25a0 \u25a0 In)\ndie Ausdr\u00fccke, die sich f\u00fcr die u dieser Reihe aus der als bekannt vorausgesetzten Fehlerfunction ergeben, dann erh\u00e4lt man f\u00fcr die Reihennummer a die r Beobachtungsgleichungen\n1) Ich benutze diesen Ausdruck statt des in der Wahrscheinlichkeits-Rechnung \u00fcblichen Wortes \u00bbUrsache\u00ab, das im Grunde genommen recht ungl\u00fccklich gew\u00e4hlt ist, namentlich wenn es sich um Beobachtungen handelt.","page":10},{"file":"p0011.txt","language":"de","ocr_de":"Ueber die Ausgleichung statistischer Z\u00e4hlungen in der Psychophysik.\n11\nPaX ual \u2014\t\u25a0 \u2022 \u2022 \u00a3nl !\t\u2014-1,2 . . . r), ... (3)\nvon denen immer eine die Folge der \u00fcbrigen ist, weil\n~PaX = fuaX = 2Eul=i.\nDie ganze Gruppe liefert also zur Bestimmung der n Unbekannten | qr Gleichungen von der Form (3), von denen eine gewisse Anzahl eine Folge der \u00fcbrigen ist. F\u00fcr uns kommt hierbei nur der Fall in Betracht, wo n kleiner ist, als die Anzahl der von einander unabh\u00e4ngigen Bedingungen. In diesem Falle l\u00e4sst jedes Werthsystem der | zwischen Beobachtung und Rechnung gewisse Widerspr\u00fcche von der Form\n^ u>. ~ Pa'/. -^uX(bl \u25a0 \u25a0 \u2022 Sn)\n\u00fcbrig, die nicht gleichzeitig zum Verschwinden zu bringen sind.\nDie vorstehenden Gleichungen enthalten den Ansatz der Aufgabe; die eigentliche L\u00f6sung umfasst folgende Theile:\nerstens ist das Werthsystem der \u00a3 zu suchen, das den beobachteten p \u00bbam besten\u00ab entspricht,\nzweitens ist eine Sch\u00e4tzung f\u00fcr die Unsicherheit der gefundenen Werthe aufzustellen,\ndrittens ist zu pr\u00fcfen, ob die beiden oben hervorgehobenen Annahmen, die ja zun\u00e4chst nur voraussetzungsweise gelten, als zul\u00e4ssig anzusehen sind.\nDie hier gegebene Formulirung umfasst, so viel ich sehen kann, alle bisher nach statistischer Methode durchgef\u00fchrten Untersuchungen der Psychophysik, bei denen exacte Ma\u00dfbeziehungen das eigentliche Ziel bilden. F\u00fcr das Wesen dieser Methode und ihre mathematische Behandlung ist es gleichg\u00fcltig, ob die Zahl der unterschiedenen Urtheilsclassen 2 oder 3 oder mehr betr\u00e4gt: noch gleichg\u00fcltiger ist die Frage, ob die Urtheile \u00bbrichtig\u00ab oder \u00bbfalsch\u00ab sind. Die letztere Unterscheidung st\u00f6rt nur die Einheitlichkeit der mathematischen Darstellung in unn\u00f6thiger Weise.\nIII.\nDer erste Theil der vorhin formulirten Aufgabe verlangt die Auffindung der besten L\u00f6sung. Bei der Er\u00f6rterung hier\u00fcber wollen","page":11},{"file":"p0012.txt","language":"de","ocr_de":"12\nH. Bruns.\nwir f\u00fcr den Augenblick annehmen, dass statt der Gleichungen (3) ganz allgemein das System von q Gleichungen\n^U'\u00ea 1 \u2022 \u2022 \u25a0 bn) i [Ci \u2014 l, 2 ... qj ...(4)\nzwischen den n Unbekannten \u00a3 vorgelegt sei. Hierin sollen die v direct beobachtet oder aus Beobachtungen abgeleitet und ferner q^> n sein. Wegen der Fehler, die den v unvermeidlich anhaften, l\u00e4sst dann im allgemeinen jedes Werthsystem der \u00a3 oder, wie wir auch sagen wollen, jede Stelle im Werthgebiete der s die Widerspr\u00fcche\n\u2014 Fa{\u00a3i ... SJ ................(5)\n\u00fcbrig. Das Verhalten dieser Widerspr\u00fcche muss nun dazu dienen, das \u00abbeste\u00ab Werthsystem der \u00a3 zu finden, und zwar das relativ beste, denn die absolut besten Werthe, n\u00e4mlich die wahren, kann man nicht ermitteln. Man hat seit langer Zeit versucht, auf Grund allgemein anerkannter Vorders\u00e4tze ein Kennzeichen der besten Losung abzuleiten, das unbedingte G\u00fcltigkeit beanspruchen k\u00f6nnte. Diese Versuche sind indessen stets daran gescheitert, dass sie an irgend einer Stelle eine Voraussetzung machen, die man nicht ohne weiteres zuzulassen braucht, und deren Zulassung auch nicht durch Gr\u00fcnde erzwungen werden kann. Die allgemeine Ursache dieser Fehlschl\u00e4ge, die auch bei k\u00fcnftigen Versuchen der Art immer wieder eintreten werden, ist unschwer nachzuweisen. Das wahre Kriterium f\u00fcr die beste L\u00f6sung, wenn es ein solches g\u00e4be, m\u00fcsste gegen\u00fcber allen anderen zu demselben Zwecke aufgestellten die Eigenschaft besitzen, stets die beste, d. h. die der Wahrheit am n\u00e4chsten kommende L\u00f6sung zu geben. Das ist aber nicht m\u00f6glich, weil die Fehler der beobachteten v dem Spiele des Zufalls unterworfen sind. Wegen dieses Umstandes muss man sich darauf beschr\u00e4nken, \u00fcber die Merkmale der besten L\u00f6sung Festsetzungen zu treffen, welche, wenn sie auch nicht v\u00f6llig willk\u00fcrfrei sind, doch in ausreichender Weise motivirt werden k\u00f6nnen.\nWenn es sich nur darum handelt, f\u00fcr die Unbekannten ein annehmbares Werthsystem zu finden, so kann man die Bequemlichkeit der Rechnung obenan stellen. Ein Beispiel von solchen, rein formalen Ausgleichungsmethoden ist das Cauchy\u2019sche Interpolations-Verfahren, das bei manchen Aufgaben sehr n\u00fctzlich ist. Wenn es","page":12},{"file":"p0013.txt","language":"de","ocr_de":"13\nUeber die Ausgleichung statistischer Z\u00e4hlungen in der Psychophysik.\nsich dagegen, wie hei der oben formulirten Aufgabe, zugleich um eine Fehlerkritik handelt, so sind nur solche Ausgleichungsmethoden zul\u00e4ssig, die auf fehlertheoretischer Grundlage beruhen. Solcher Methoden gibt es in Wahrheit unendlich viele; ich ber\u00fccksichtige jedoch nur die beiden, die auch sonst bisher allein in Frage gekommen sind, weil in der Reihe der \u00fcbrigen zur Zeit keine ausfindig gemacht worden ist. die in praktischer Beziehung neben jenen beiden in Betracht kommen k\u00f6nnte.\nDie erste der beiden Methoden geht darauf aus, die \u00bbwahrscheinlichste\u00ab L\u00f6sung der Gleichungen (4) aufzufinden. Sie setzt voraus, dass in (4) die Fehlerfunctionen der v wenigstens ihrer Form nach bekannt seien, ohne diese Form selber bestimmten Einschr\u00e4nkungen zu unterwerfen. Wenn die Fehlerfunctionen, was Vorkommen kann, gewisse, vorl\u00e4ufig unbekannte Parameter enthalten, so treten diese zu den g als weitere Unbekannte hinzu.\nDie zweite Methode benutzt den Begriff des \u00bbmittleren Fehlers\u00ab, wie ihn Gau\u00df in der grundlegenden Abhandlung \u00bbTheoria combinationis . . .\u00ab definirt hat. Die L\u00f6sung, die wir mit Gau\u00df die \u00bbplausibelste\u00ab nennen wollen, setzt die Kenntniss der Fehlerfunctionen nicht voraus, legt jedoch der Form dieser Functionen gewisse Bedingungen auf, die nicht immer erf\u00fcllt zu sein brauchen.\nBei der in Abschnitt II gestellten Aufgabe sind beide Methoden anwendbar; jedoch stellt sich, wie ich hier vorweg anf\u00fchren will, im einzelnen die Sache so. F\u00fcr die wahrscheinlichste L\u00f6sung l\u00e4sst sich der Ansatz ohne weiteres bilden und f\u00fchrt, so weit es sich um die Auffindung der Unbekannten handelt, auf glatte Rechnungsvorschriften, die mit dem Algorithmus der Methode der kl. Qu. hinsichtlich der \u00e4u\u00dferen Form identisch sind. F\u00fcr die plausibelste L\u00f6sung ist der Ansatz ebenfalls einfach ; um jedoch die Berechnung der Unbekannten wirklich vorzunehmen, sind gewisse Vernachl\u00e4ssigungen geboten, die dahin f\u00fchren, dass die errechnete L\u00f6sung mit der wahrscheinlichsten identisch wird. Dieses Verh\u00e4ltniss kehrt sich aber geradezu um, wenn man zu den Fehlersch\u00e4tzungen \u00fcbergeht. Die dazu erforderlichen Entwicklungen lassen sich bei der plausibelsten L\u00f6sung streng erledigen, w\u00e4hrend bei der anderen L\u00f6sung die aus praktischen Gr\u00fcnden einzuf\u00fchrenden Vernachl\u00e4ssigungen thats\u00e4chlich auf die plausibelsten Werthe f\u00fchren.","page":13},{"file":"p0014.txt","language":"de","ocr_de":"14\nH. Bruns.\nHiernach kommt die Sache darauf hinaus, f\u00fcr die Unbekannten die eine, f\u00fcr die Fehler die andere L\u00f6sung zu benutzen. Da die beiden L\u00f6sungen im allgemeinen nicht identisch sind, so liegt hierin eine Inconsequenz, die jedoch praktisch ohne Belang ist. Ist die Unsicherheit der Beobachtung klein, so ist es auch, wie sich zeigen wird, der Unterschied zwischen den beiden Werthsystemen der \u00a3; sind die Beobachtungen roh, so gen\u00fcgen auch rohe Ann\u00e4herungsformeln.\nIm Folgenden werde ich von der wahrscheinlichsten L\u00f6sung nur kurz den Ansatz behandeln, die plausibelste L\u00f6sung dagegen so vollst\u00e4ndig, als n\u00f6thig ist, entwickeln. Letztere hat den Vorzug der gr\u00f6\u00dferen Durchsichtigkeit; wenn man das eine Grundaxiom \u00fcber den mittleren Fehler einmal zugestanden hat, so ist der weitere Weg allenthalben klar und bestimmt vorgeschrieben. Zun\u00e4chst ist jedoch noch eine f\u00fcr alle Ausgleichungsmethoden g\u00fcltige Bemerkung einzuschalten.\nDie Aufgabe, aus den Beobachtungsgleichungen (4) die J zu finden, ist zun\u00e4chst \u00fcberhestimmt; die Elimination der \u00a7 f\u00fchrt zwischen den beobachteten v zu Bedingungen, die wegen der Beobachtungsfehler nicht erf\u00fcllt sind. Schreibt man nun deswegen das System (4) in der Form der Widerspruchsgleichungen (5), so ist wiederum die Aufgabe wegen des Hinzutretens der neuen, vorl\u00e4ufig unbekannten Gr\u00f6\u00dfen J zun\u00e4chst unbestimmt, wird aber bestimmt, sobald die Eigenschaften der \u00bbbesten\u00ab L\u00f6sung festgesetzt werden. Auf Grund dieser Eigenschaften h\u00e4tte man also vor allem dem System (5) noch die erforderlichen Zusatzgleichungen hinzuzuf\u00fcgen und dann aufzul\u00f6sen. Die directe Aufl\u00f6sung w\u00fcrde nun oft genug auf erhebliche Rechenschwierigkeiten f\u00fchren, da ja die Form der Functionen F und der Zusatzbedingungen recht complicirt sein kann. Die Rechenpraxis hat deshalb seit langer Zeit einen Weg eingeschlagen, der diese Schwierigkeit umgeht und zugleich den Vortheil besitzt, dass alle Ausgleichungsmethoden auf ein einfaches und einheitliches Schema gebracht werden k\u00f6nnen. Es ist n\u00e4mlich, sobald die directe Aufsuchung der \u00a3 Schwierigkeiten bietet, stets sehr viel leichter, ein angen\u00e4hertes \u00bbvorl\u00e4ufiges\u00ab Werthsystem|l0...\u00a3n0 zu ermitteln. Setzt man dann","page":14},{"file":"p0015.txt","language":"de","ocr_de":"15\nUeber die Ausgleichung statistischer Z\u00e4hlungen in der Psychophysik.\n5,U = f/iO 4\" Vp >\nFao = FJ&o \u2022 \u25a0 \u25a0 \u00a7no) ! Fufl =\t)\nund entwickelt die rechten Seiten von (4) nach Potenzen der ij, so erh\u00e4lt man, wenn nur die linearen Theile der Entwickelung bei-behalten werden, die Beobachtungsgleichungen (4) in der Form\nva = Fa0 + SFap\u00efjp , (fi = 1, 2 . . . n),\t.... (6)\nM\u2019\nund entsprechend (5) in der Gestalt\nd a \u2014 (\u00ae a \u2014 Fa0) uft- r!/j*.................(^)\nf*\nWenn sich nachtr\u00e4glich herausstellt, dass die vernachl\u00e4ssigten Terme nicht unmerklich waren, so kann das System (6) oder (7) doch dazu dienen, f\u00fcr das vorl\u00e4ufige System ^u0 eine erste Verbesserung herbeizuf\u00fchren, mit der die Rechnung wiederholt wird. Dieser Uebergang auf die lineare Form setzt offenbar nur voraus, dass der Unterschied zwischen der vorl\u00e4ufigen und der aus der Ausgleichung entspringenden besten L\u00f6sung hinreichend klein sei; dagegen ist die Gr\u00f6\u00dfe der Beobachtungsfehler gleichg\u00fcltig.\nEtwas anders liegt die Sache, wenn man bei einer Fehler-discussion die linearen Gleichungen ganz allgemein als Ersatz f\u00fcr das System (4) und (5) benutzen will. Beachtet man, dass die unvermeidlichen Beobachtungsfehler stets zwischen gewisse endliche Grenzen eingeschlossen sind, so existirt im Gebiete der | ein gewisses Theilgebiet (\u00a7), das man nicht verlassen darf, wenn nicht die J Werthe au\u00dferhalb der zul\u00e4ssigen Grenzen erhalten sollen. Dem Bereiche (|) entspricht dann im Gebiete der v ein bestimmter Fehlerbereich (v), den man erh\u00e4lt, wenn man sich f\u00fcr alle v den Fehlerspielraum abgegrenzt denkt. Je kleiner die Fehlergrenzen sind, desto kleiner sind dann auch die Theilgebiete (|) und (v). Soll nun die lineare Form f\u00fcr das ganze Gebiet (\u00a3) ohne merklichen Fehler anwendbar sein, so darf die Ausdehnung von (\u00a3) und (v) gewisse, durch die Natur der jedesmal behandelten Aufgabe gesteckte Grenzen nicht \u00fcberschreiten. Das dr\u00fcckt man gew\u00f6hnlich dadurch aus, dass man sagt, die Beobachtungsfehler m\u00fcssen klein oder, genauer gesprochen, hinreichend klein sein. Wie man sieht, ist diese","page":15},{"file":"p0016.txt","language":"de","ocr_de":"16\nU. Bruns.\nForderung kleiner Fehler aus rein praktischen Ursachen entsprungen, n\u00e4mlich aus dem Bed\u00fcrfniss, immer nur mit linearen Gleichungen zu operiren. Wir werden die Voraussetzung hinreichend kleiner Fehler f\u00fcr die allgemeine fehleitheoretische Er\u00f6rterung hier ebenfalls annehmen, denn man kann es als einen Erfahrungssatz hinstellen, dass Beobachtungen schon sehr roh sein m\u00fcssen, wenn die Reduction auf die lineare Form unzul\u00e4ssig sein soll. Die er\u00f6rterte Schwierigkeit f\u00e4llt \u00fcbrigens ganz fort, wenn die Gleichungen (4) von Hause aus linear sind, denn dann wird hei dem Uebergange auf (6) oder (7) \u00fcberhaupt nichts vernachl\u00e4ssigt. Dass ferner, wenn es sich nur um die Verbesserung einer angen\u00e4herten L\u00f6sung handelt, die Gr\u00f6\u00dfe der Fehler gleichg\u00fcltig ist, wurde bereits oben hervor-\ngehoben.\nDie lineare Form der Beobachtungsgleichungen vorausgesetzt laufen alle AusgleichungsVorschriften darauf hinaus, dass man aus den q Gleichungen (6) auf irgend eine Weise so viele Verbindungen oder \u00bbNormalgleichungen\u00ab herleitet, als Unbekannte vorhanden sind, n\u00e4mlich n. Aus diesen Normalgleichungen leitet man dann durch Aufl\u00f6sung die \u00bbFinalgleichungen\u00ab ab, die die Unbekannten rj in expliciter Weise liefern. Es w\u00fcrde nun keinen Sinn haben, zur Bildung der Normalgleichungen nichtlineare Verbindungen des Systems (6) zu benutzen, nachdem man erst absichtlich diesem System die lineare Form gegeben hat. Erzeugt man aber die Normalgleichungen aus (6) auf linearem Wege, so gilt dasselbe auch sofort von der Erzeugung der Finalgleichungen und man kann dann beide Schritte in einen einzigen zusammenziehen, oder direct aus (6) die Finalgleichungen durch lineare Verbindung herleiten. Das l\u00e4uft, algebraisch gesprochen, auf Folgendes hinaus :\nJedem Coefficienten Fafl in (6) wird ein gewisser Multipli-cator 6rK\u201e zugeordnet. Diese Multiplicatoren sind den Bedingungen\n(\u00ab == 1, 2 . . . q\\ fi, v = 1, 2 . . . n)\n(8)\nunterworfen, sonst aber beliebig, so lange \u00fcber das Ausgleichungsverfahren nichts N\u00e4heres festgesetzt ist; das Zeichen e[xv bedeutet hierbei den Werth Null oder Eins, je nachdem die beiden Indices","page":16},{"file":"p0017.txt","language":"de","ocr_de":"Ueber die Ausgleichung statistischer Z\u00e4hlungen in der Psychophysik.\n17\nungleich oder gleich sind. Multiplicirt man (6) mit Gav und summirt nach a, so erh\u00e4lt man\n\\ (}\t--- N- p ( \u25a0\n~*\\va J-uwKJuv\tIf* au, av\n'lavav t\n\u201c(*a F\u00abo> ^Tuv rtv I\n(9)\nwomit die verlangte explicite Darstellung der r] geleistet ist.\nBezeichnen wir jede bestimmt festgesetzte Ausgleichungsvorschrift als \u00bbAusgleichungsmodus\u00ab (abgek\u00fcrzt A.-MjsJ so entspricht jedem A.-M. ein bestimmtes Multiplicatorensystem, und umgekehrt kann jedes den Bedingungen (8) gen\u00fcgende System von Multipli-catoren als ein A.-M. angesehen werden. Da die Zahl der Multipli-catoren gleich qn, die der Bedingungen (8) gleich n2 ist, so bildet die Gesammtheit aller A.-M. eine Mannigfaltigkeit von [q\u2014n) n Dimensionen. Verbindet man die Gleichungen (7) in derselben Weise mit einander, wie (6), so wird\n-\u25a0^a Gav = -(\u00ae\u00ab \u2014 Fa0) Gut,\n2ri F\niLlX {\nC1\nau av j\noder wegen (9)\n~Jct Gav = 0\n(10)\nDiese n Gleichungen (10) sind der algebraische Ausdruck f\u00fcr die Bedingungen, die zu den q Gleichungen (7) hinzutreten m\u00fcssen, um die Aufgabe, gleichzeitig die | und die /J zu finden, zu einer-v\u00f6llig bestimmten zu machen.\nSetzt man in (7) f\u00fcr die r, ihre wahren Werthe rj' ein, so sind, damit die Gleichungen richtig bleiben, f\u00fcr die Ja die wahren Beobachtungsfehler xa zu setzen, also\n= K\nF )____.S F r\nM aol \" * au.ii i\nworaus auf dieselbe Weise wie oben\nj r fr\n\u2018 \u25a0*' a J a v\n(\u00ae\u00ab \u2014 F\u201en) G\u201e,. \u2014 v' =\nVv\nund weiter der Reihe nach\nWundt, Pinlos. Studien. IX.\n2\n\u2022 \u2022 (11)","page":17},{"file":"p0018.txt","language":"de","ocr_de":"18\nH. Bruns.\n^ a\txa\t-jf-F ctfiiV [i\t*]/*)\u25a0, |\nJ \u2014 x   ~ZxaF Gj\tI ........(12)\nzu xu\tI\nfolgt. Die Gleichungen (12) geben an, wie die nach der Ausgleichung \u00fcbrig bleibenden Widerspr\u00fcche von den wahren Beobachtungsfehlern abh\u00e4ngen.\nIV.\nZu der in Abschnitt II gestellten Aufgabe zur\u00fcckkehrend, haben wir zun\u00e4chst die Pr\u00e4missen f\u00fcr die beiden dort genannten Formen der L\u00f6sung zu er\u00f6rtern. Da das, was \u00fcber die wahrscheinlichste L\u00f6sung zu sagen ist, sich in K\u00fcrze, zusammen mit dem Ansatz f\u00fcr diese L\u00f6sung, erledigen l\u00e4sst, so ist hier nur auf die Voraussetzungen f\u00fcr die plausibelste L\u00f6sung n\u00e4her einzugehen. Der besseren Ueber-sicht wegen will ich die Pr\u00e4missen in die Form von f\u00fcnf Thesen kleiden und jedesmal die erforderlichen Erl\u00e4uterungen sogleich anf\u00fcgen. Bez\u00fcglich der daraus folgenden Lehrs\u00e4tze wird es gen\u00fcgen, das, was weiterhin gebraucht wird, kurz zusammenzustellen; die Beweise und ebenso die Vorschriften f\u00fcr die numerische Rechnung findet man in den zahlreichen Lehrb\u00fcchern und Abhandlungen \u00fcber die Methode der kl. Qu. mit allen Einzelheiten auseinandergesetzt. Die erw\u00e4hnten Thesen lauten folgenderma\u00dfen.\nErste These. Jedem Beobachtungsfehler x entspricht eine bestimmte Fehlerfunction cp{x) ; diese Function ist der mathematische Ausdruck f\u00fcr den Beobachtungsmodus, durch den die Beobachtung mit dem Fehler x erhalten worden ist; der Sinn der Bezeichnung B.-M. war oben angegeben worden. Bilden die x eine discrete Mannigfaltigkeit, so ist cp[x) direct gleich der Wahrscheinlichkeit, den Fehler x zu begehen. Bilden dagegen die x ein Continuum, so ist die Wahrscheinlichkeit f\u00fcr das Bestehen der Ungleichung\na x <C. l>\ngleich dem Integral\nb\n^cp{x)dx,\na\ndas f\u00fcr a \u2014 y, b = y -f- dy in cp{y) dy \u00fcbergeht. Da rp(x) auch den Werth Null annehmen darf, so kann man als Fehlergrenzen oo","page":18},{"file":"p0019.txt","language":"de","ocr_de":"Ueber die Ausgleichung statistischer Z\u00e4hlungen in der Psychophysik.\n19\nund \u2014 oo annehmen, indem cp [sc) f\u00fcr alle unzul\u00e4ssigen Werthe von x einfach gleich Null zu setzen ist.\nDiese These ist der gemeinsame Ausgangspunkt aller Fehlertheorien.\nZweite These. Ist Virgend eine Function des Fehlers x mit der Fehlerfunction cp ix), so soll das Zeichen D(U) den \u00bbDurchschnittswerth\u00ab von U bedeuten; dieser Durchschnitt ist zu bilden mit R\u00fccksicht auf die H\u00e4ufigkeit des Vorkommens der x. Je nachdem die x discret oder stetig verlaufen, hat man\nwo die Summation oder Integration \u00fcber das Intervall \u2014 oo bis oo auszudehnen ist. Die Durchschnittsgr\u00f6\u00dfen\n= D[x), m2 \u2014 VD(x2)\nhei\u00dfen \u00bbDurchschnittsfehler\u00ab und \u00bbmittlerer Fehlerer (abgek\u00fcrzt m. F.) des betreffenden B.-M. Der K\u00fcrze halber spricht man gew\u00f6hnlich von dem m. F. einer Beobachtung, obgleich dies streng genommen unlogisch ist. Denn der einzelnen Beobachtung kommt immer nur ein bestimmter wahrer Fehler zu, w\u00e4hrend die Bildung des Durchschnittes begrifflich die Gesammtheit aller m\u00f6glichen Fehler und ihr Fehlergesetz als gegeben voraussetzt. Die Vernachl\u00e4ssigung dieses Unterschiedes ist f\u00fcr gew\u00f6hnlich unsch\u00e4dlich, kann aber unter Umst\u00e4nden zu Fehlschl\u00fcssen verleiten. Wenn innerhalb einer Untersuchung verschiedene B.-M. mit den m.F. m2u mn. mTi... auf-treten, so werden die entsprechenden \u00bbGewichte\u00ab px, p2, p3... durch die Gleichungen\nih\u00bb*212 = j\u00fc2\u00bb*222 = j\u00bbAs2 = \u2022 \u2022 \u2022 = \u00bb*202\ndefinirt, wo m20 eine willk\u00fcrlich zu w\u00e4hlende. Constante ist, die als \u00bbm.F. der Gewichtseinheit\u00ab bezeichnet wird. Man benutzt die Gewichte f\u00fcr den gew\u00f6hnlich eintretenden Fall, wo bei Beginn der Ausgleichung nicht die m. F. selbst, sondern nur ihre Verh\u00e4ltnisse bekannt sind.\nDr itte These. Die Gr\u00f6\u00dfe ml = D (x) hei\u00dft auch der systematische oder constante Fehler, die Differenz x \u2014 w, dagegen der","page":19},{"file":"p0020.txt","language":"de","ocr_de":"20\nH. Bruns.\nzuf\u00e4llige Fehler des betreffenden B.-M.; bei der Herleitung der plausibelsten L\u00f6sung wird stets die Bedingung D (x) = 0 als erf\u00fcllt vorausgesetzt. Diese Bedingung besagt, dass die Beobachtungen vor Beginn der Ausgleichung wegen des systematischen Fehlerbestaudtheils corrigirt sein sollen.\nIn den herk\u00f6mmlichen Darstellungen wird gew\u00f6hnlich die Bedingung gestellt, cp [x) solle eine gerade Function von x, oder\ncp{\u2014x) =<p[x)\nsein. Bei der Beweisf\u00fchrung wird aber nur die weniger enge Bedingung D[x) ~ 0 wirklich gebraucht.\nDie Vorschriften zur Erkennung und Beseitigung systematischer Fehler sind von dem Object und der Methode der Beobachtungen abh\u00e4ngig, k\u00f6nnen also nicht in einer alle Fehler umfassenden Ausgleichungstheorie behandelt werden; sie geh\u00f6ren in die Theorie der betreffenden Beobachtungsmethode. Hierdurch ist die Forderung gerechtfertigt, dass die systematischen Fehler vor der Ausgleichung beseitigt sein sollen.\nVierte These. . Der \u00bbmittlere Fehler\u00ab liefert das Ma\u00df f\u00fcr das Zutrauen, das dem B.-M. zu schenken ist. Von zwei gegebenen B.-M. ist derjenige der bessere, zu dem der kleinere m.F. oder das gr\u00f6\u00dfere Gewicht geh\u00f6rt.\nDieser Satz ist ein Axiom und zwar das eigentliche Grund-axiom f\u00fcr den Gedankengang, den Gau\u00df in der Theoria combina-tionis bei der Ableitung der plausibelsten L\u00f6sung eingeschlagen hat. Die Unbeweisbarkeit des Satzes ergibt sich aus dem Umstande, dass man mit demselben Hechte wie das Quadrat irgend eine andere gerade Potenz des Fehlers x f\u00fcr die Aufstellung des G\u00fctema\u00dfes benutzen k\u00f6nnte. Wenn sich nun aber auch das Axiom nicht beweisen l\u00e4sst, so kann man es doch motiviren, d. h. durch Gr\u00fcnde annehmbar machen. Seine Motivirung beruht darauf, dass bisher kein anderes G\u00fctema\u00df gefunden worden ist, das auf hinl\u00e4nglich einfache Rechnungsvorschriften f\u00fchrt.\nWenn man die Definition des G\u00fctema\u00dfes eines B.-M. nicht als eine rein formale Sache betrachten will, so erlegt die dem m. F. zuertheilte Holle den Fehlerfunctionen in Wahrheit eine gewisse Einschr\u00e4nkung auf. Das Axiom setzt voraus, dass, wenn mehrere","page":20},{"file":"p0021.txt","language":"de","ocr_de":"Ueber die Ausgleichung statistischer Z\u00e4hlungen in der Psychophysik.\t21\nB.-M. in Bezug auf ihre G\u00fcte verglichen werden sollen, bereits eine einzige Ma\u00dfzahl ausreiche, um jeden einzelnen B.-M. vollst\u00e4ndig zu charakterisiren. Diese Bedingung ist, wie eine genauere Untersuchung lehrt, erf\u00fcllt, wenn die Fehlerfunctionen cp (x) au\u00dfer der Variablen x nur einen einzigen willk\u00fcrlichen Parameter enthalten, der von einem B.-M. zum anderen verschiedene \"Werthe annehmen kann, aber f\u00fcr denselben B.-M. constant ist. Jeder m. F. ist dann durch den Parameter vollst\u00e4ndig bestimmt, und umgekehrt. Wenn dagegen die (p (x) mehrere Parameter enthalten, so sind letztere durch die m. F. doch nicht vollst\u00e4ndig bestimmt. Man kann recht wohl Fehlerfunctionen mit mehreren Parametern aussinnen, die denselben m. F. besitzen und deren zugeh\u00f6rige B.-M. man trotzdem nicht f\u00fcr gleich vertrauensw\u00fcrdig ansehen wird.\nF\u00fcnfte These. Ist die Gr\u00f6\u00dfe v nicht direct beobachtet, sondern aus den beobachteten Gr\u00f6\u00dfen uuu^ . . . berechnet, also\n\u00ab = /H> \u00ab2, \u25a0 \u2022 \u2022)*\nso entspricht den Fehlern xl; z2 . . . der u ein bestimmter Fehler y in v. Ferner geh\u00f6rt zu y eine Fehlerfunction ip (y), deren Form in ganz bestimmter Weise von y und den Fehlerfunctionen rpt, cp2.. . der u abh\u00e4ngt. Mit tp ly) denken wir uns die Durchschnitte D ly) und D (y2) gebildet. Ist y eine lineare Function der x, so wird D [y]. nach dem oben Gesagten gleich Null ; sind die x stets hinreichend klein, wie wir mit R\u00fccksicht auf eine fr\u00fchere Bemerkung voraussetzen, so ist y mit hinreichender Ann\u00e4herung linear durch die x ausdr\u00fcckbar, also D (y) wieder gleich Null zu setzen. Dies vorausgeschickt soll der Ausdruck\nVD{y2) = m.F.(y)\nals G\u00fctema\u00df f\u00fcr die vorliegende Bestimmung von v gelten. Die hier vorgenommene Erweiterung l\u00e4uft darauf hinaus, dass an Stelle des Beobachtungsmodus der allgemeinere Begriff \u00bbBestimmungsmodus\u00ab gesetzt wird.\nZu diesen f\u00fcnf Thesen w\u00e4re, um die Gau\u00df\u2019sehen Voraussetzungen vollst\u00e4ndig zu erhalten, als sechste noch der Satz \u00fcber die Bestimmung des m. F. der Gewichtseinheit hinzuzuf\u00fcgen. Da wir jedoch diesen Satz weiterhin nicht brauchen, so will ich hier","page":21},{"file":"p0022.txt","language":"de","ocr_de":"22\nH. Bruns.\nnur bemerken, dass die Gau\u00df\u2019sche Festsetzung angefochten worden ist, z. B. von Bertrand, dass aber eine genauere Untersuchung den Satz als durchaus berechtigt erkennen l\u00e4sst.\nZum besseren Yerst\u00e4ndniss des Sp\u00e4teren ist nun noch der auf Grund obiger Thesen aufzustellende Ansatz f\u00fcr die plausibelste L\u00f6sung zu besprechen.\nEs seien wieder (vgl. (6) und (7) in Abschnitt III) die Beob-\nachtungsgleichungen\nva ~ Fu0 \u201ct\" Y\u00ab ......................(* 3)\nnebst den Widerspruchsgleichungen\n^a ~ (vu Fa0) ' SFttftV/t ................ . (14)\nvorgelegt. Die v seien, wie wir der gr\u00f6\u00dferen Allgemeinheit wegen annehmen wollen, auf irgend eine Weise aus beobachteten Gr\u00f6\u00dfen berechnet, und yt, y%, . . . yq ihre wahren Fehler. Wenn Gau irgend ein Ausgleichungsmodus ist, so ergeben sich nach (9) die rj in der Form\nVv = ~ Fa0)OttV ......................(15j\nCf\nund die wahren Fehler, die dieser Bestimmungsweise der rj anhaften, nach (11) in der Form\nVv rl v = ^av.........................(16)\ntf\nDas wahre Ma\u00df f\u00fcr die G\u00fcte dieser Bestimmung der rj, n\u00e4mlich die Gr\u00f6\u00dfe der wahren Fehler, l\u00e4sst sich nicht finden; als Ersatz hierf\u00fcr tritt die G\u00fcte des Bestimmungsmodus ein, d. h. also die Gr\u00f6\u00dfe\nD[{yv \u2014 v'r)ri =\t\u00bb\t.......(I7)\nsobald\nF{yv \u2014 y\u2019v) = 0\nist. Hiernach ist der beste A.-M. derjenige, welcher den Ausdruck (17) zu einem Minimum macht. Um das Minimum zu finden, hat man zu (17) die Bedingungen (8), d. h. die allgemeine Voraussetzung aller A.-M., mit gewissen vorl\u00e4ufig unbestimmten Multiplicatoren versehen hinzuzuf\u00fcgen, und die partiellen Ableitungen nach den G einzeln gleich Null zu setzen. Ist","page":22},{"file":"p0023.txt","language":"de","ocr_de":"Ueber die Ausgleichung statistischer Z\u00e4hlungen in der Psychophysik.\t23\n2Gav GpvD[yayp) + 22gflv(\u00dfFafl Gav \u2014 e^)\nder zu diiferentiirende Ausdruck, dann erh\u00e4lt man die Minimumsbedingungen, wenn nach Gyy differentiirt wird, in der Form\n0 = 2 Ggv 1) {y.y y g) + 2 G avJD{y ay y) + 2 2g\u201evFy,x\noder\n0 = 2GavD(yayY) + ^g;JVFy;l ,\t........(18)\nwozu noch die allgemeinen Bedingungen (8) oder\n?Fau Gav = e....................(19)\n\u00ab \u2018 1\nhinzutreten. Die Indices a, y, n, v haben die Werthe\na, y = 1,2 ... q , u, v = 1, 2 ... n\nanzunehmen. Die Zahl der Gleichungen, die f\u00fcr ein gegebenes v aus (18) und (19) entspringen, ist q und n ; ebenso gro\u00df ist auch die Zahl der darin vorkommenden Unbekannten G und g. Da ferner ein Minimum von (17) sicher existirt, so muss auch immer wenigstens eine L\u00f6sung der Systeme (18) und (19) vorhanden sein.\nDie Anwendung der Bedingungen (18) und (19) w\u00fcrde nun f\u00fcr gew\u00f6hnlich auf eine beschwerliche Rechnung f\u00fchren, wenn es nicht m\u00f6glich w\u00e4re, von vorn herein durch angemessene Bildung der Beobachtungsgleichungen eine erhebliche Vereinfachung herbeizuf\u00fchren. Von den v haben wir vorausgesetzt, dass sie auf irgend eine Weise aus direct beobachteten Gr\u00f6\u00dfen abgeleitet worden seien. Sind xu x<i . . . die Fehler der direct beobachteten Gr\u00f6\u00dfen, dann sind die Fehler der v oder die y bestimmte Functionen der x, und zwar, unter der hier gemachten Voraussetzung hinreichend kleiner x, lineare Functionen. Ist nun U eine Function der x, die die Form des Productes\nU = L\\ . Tj\\ .\t...\nbesitzt, und kommt jedes x immer nur in einem einzigen der Factoren U\\, Ui . . vor, so ist, wie eine einfache Ueberlegung lehrt,\nD{U) \u2014 D{UX) . D(U<,) . D(U3) ....\nRichtet man es also so ein, dass jedes x immer nur in einem ein-","page":23},{"file":"p0024.txt","language":"de","ocr_de":"24\nH. Bruns.\nzigen j vorkommt, so gilt f\u00fcr den Durchschnitt D[yay\u00df\\, wenn die Indices verschieden sind, die Gleichung\nD{yay\u00df) = D(ya) . D(y\u00df) = 0 ,\nund das System (18) nimmt die erheblich einfachere Gestalt\n0 = Gyj,D(yyt) +\t..............(20)\nan. Man sagt in diesem Falle, die \u00bb seien unabh\u00e4ngig von einander bestimmt. Die weitere Verfolgung der Bedingungen (20) und (19) f\u00fchrt dann auf das bekannte Schema der Methode der kleinsten Quadrate. Aus dem angef\u00fchrten Grunde hat sich f\u00fcr die genannte Methode die Norm eingeb\u00fcrgert, die Beobachtungsgleichungen so anzusetzen, dass die v in dem angegebenen Sinne unabh\u00e4ngig von einander sind. Theoretisch nothwendig ist jedoch diese Unabh\u00e4ngigkeit nicht, obgleich sie sich, beil\u00e4ufig bemerkt, immer herbeif\u00fchren l\u00e4sst; es gibt F\u00e4lle, wo es vortheilhafter ist, die Beobachtungsgleichungen in abh\u00e4ngiger Gestalt anzusetzen. Ein Beispiel hierf\u00fcr ist, wie wir sehen werden, gerade die Aufgabe des Abschnittes II.\nBez\u00fcglich des Falles unabh\u00e4ngiger Gleichungen ist nun noch wegen des Sp\u00e4teren an die nachstehenden S\u00e4tze zu erinnern. Es sei f\u00fcr die unabh\u00e4ngigen Beobachtungsgleichungen\n~ Fuo \u2014 ^Fafirlu \u2019\n(.t\nD iVa) = \u00ab2u ,\t= const- = \u00bb*202 .\ndann ist m-lu der m. F. zu yax iiu das entsprechende Gewicht und ?tt20 der m. F. f\u00fcr die Gewichtseinheit. Multiplicirt man die Beobachtungsgleichungen mit\nv\u2014 _ \u212220 CC\t?\n\u00bbha\nso erh\u00e4lt man die \u00bbFehlergleichungen\u00ab\n(vcc Fao)\t= \u25a0\" 'tu Fua y :l a >\nfl\ndie sich von dem urspr\u00fcnglichen System dadurch unterscheiden, dass an die Stelle der Gr\u00f6\u00dfen m2u und ita die Gr\u00f6\u00dfen mV] und 1 getreten sind. Die Widerspr\u00fcche der Fehlergleichungen sind dann\n=4\u00ab.\t= (\u00ab\u00ab \u2014 Fao) y^x \u2014 ~ y'7C<x \u25a0","page":24},{"file":"p0025.txt","language":"de","ocr_de":"Ueber die Ausgleichung statistischer Z\u00e4hlungen in der Psychophysik.\n25\nDer urspr\u00fcngliche Gedankengang f\u00fcr die plausibelste L\u00f6sung fordert, dass man den in. F. jedes einzelnen >] f\u00fcr sich zu einem Minimum mache. Diese n Minima lassen sich aber aus einer einzigen Bedingung, n\u00e4mlich\n2(z/' a)2 = Minimum....................(21)\n\u00ab\nableiten, die der Methode ihren Namen gegeben hat. Aus (21) flie\u00dfen dann weiter die Normalgleichungen\n7\t. y y\\ (>\nVv\tUu V'uv ?\nf-l\n1 'S Tf (\t1 V\nVv ~JLu \\ a\tcto)ctv i\n\nT? 7?\t--- n\nJL a x ap \u00b1 av\t*\nBildet man aus den n. n Elementen c die Determinante C und setzt die Unterdeterminanten\nC,\n[J,V\ni)C \u00d4 c\nfif\nan, so wird das Gewicht der Bestimmung von r;v gleich C : C\u201e und der m. F. gleich\n\u00bb*20\nn\nvv\nG\n(22)\nwobei es unwesentlich ist, dass bei der numerischen Rechnung gew\u00f6hnlich nicht mit Determinanten operirt wird.\ny.\nNach den vorstehenden Auseinandersetzungen k\u00f6nnen wir an die in Abschnitt II gestellte Aufgabe gehen, wobei die Buchstaben F, P, p, u, f, E die dort gegebene Bedeutung haben sollen. Zur Abk\u00fcrzung des Ausdruckes setzen wir fest, dass in den Formeln und namentlich bei den Summationen als Indices die Buchstabengruppen a, \u00df, y . I, p, v . . ., o, t, cp . . . in der Weise gebraucht werden sollen, dass sich immer die Buchstaben\na, \u00df, y .\t.\t.\tauf\tdie\tReihennummer,\nu, v .\t.\t.\tauf\tdie\tEreignissnummer\nff, t, <p .\t.\t.\tauf\tdie\tUnbekanntennummer\nbeziehen, w\u00e4hrend et/, wieder die fr\u00fcher angegebene Bedeutung hat. Die Beobachtungsgleichungen haben die Form","page":25},{"file":"p0026.txt","language":"de","ocr_de":"26\nH. Bruns.\nPaX ' ^\u00abaGs! \u2022 \u2022 \u2022 Sn) i ..............(23)\ndie wahren Werthe nu-K der Wahrscheinlichkeiten f\u00fcr das Eintreten der Ereignisse El} E2, \u2022 \u2022 \u2022 Er sind aus den Gleichungen\nuccX \u2014 -\u00aetrf(\u00a3l \u2022 \u2022 \u2022 sn)...........(24)\nmit den wahren Werthen der \u00a7 zu berechnen. Bei der Anwendung der in Abschnitt III und IY entwickelten Beziehungen ist zu beachten, dass an die Stelle des Index einer Gleichung jetzt immer eine Doppelnummer a, Z tritt, n\u00e4mlich die Nummer der \u00bbReihe\u00ab und dazu die Nummer des Ereignisses in der Reihe.\nZu dem Ansatz f\u00fcr die wahrscheinlichste L\u00f6sung brauchen wir folgende S\u00e4tze der Wahrscheinlichkeits-Rechnung. Sind die Versuche noch nicht angestellt, so wei\u00df man \u00fcber die \u00a3 einstweilen weiter nichts, als dass sie innerhalb eines gewissen Gebietes irgend welche Werthe annehmen k\u00f6nnen, und die verschiedenen Werthsysteme, die man ansetzen kann, haben vorl\u00e4ufig gleiche Berechtigung. Bei irgend einer Hypothese \u00fcber die \u00a7 ist dann die Wahrscheinlichkeit daf\u00fcr, dass in der Gruppe von Versuchen die Ereignisse E mit den H\u00e4ufigkeiten P auftreten werden, durch den Ausdruck\n\"\u2018\u25a0\u2022'(\"\u25a0't'l ......................<25>\ngegeben. Hat nun die Ausf\u00fchrung der Versuche die H\u00e4ufigkeiten P wirklich ergeben, so ist die Berechtigung nicht mehr f\u00fcr alle Hypothesen die gleiche, sondern proportional dem Ausdrucke (25). Die berechtigtste oder wahrscheinlichste Hypothese ist also diejenige, welche (25) zu einem Maximum macht. Durch logarith-mische Differentiation erh\u00e4lt man die Maximumsbedingung in der Form\n\nui.\n\nE.\n= 0\nuX\nwof\u00fcr man wegen der Gleichungen\n\u2014 Vu , Pui \u25a0\u2014- I aPaX i ^-EgX -\u2014 1 i ~,c^^uX \u25a0\u2014 0 auch schreiben kann\n\n(26)","page":26},{"file":"p0027.txt","language":"de","ocr_de":"Ueber die Ausgleichung statistischer Z\u00e4hlungen in der Psychophysik.\n27\nBezeichnet man mit \u00a3ff0 die angen\u00e4herten Werthe der wahrscheinlichsten L\u00f6sung und mit\nVit ~ 1er IrrO die kleinen Verbesserungen, setzt ferner\n-\u00aecdl(llO \u2022 \u2022 \u2022 sm) = Mo ; {aty(j \u2014\t;\n0 SffO\nEal{%i \u2022 \u2022 \u2022 I\u00bb) = Mo + fhtiMff-\nso kann man f\u00fcr (26) angen\u00e4hert schreiben\n\u00ab, i [a A/o\nDiese Bedingung l\u00e4uft aber darauf hinaus, die Beobachtungs-gleichungen\n= Eai = (\u00ab1)0 +\nnach der Methode der kl. Qu. unter der Voraussetzung auszugleichen, dass den einzelnen Gleichungen die Gewichte Va:(cd)B beizulegen seien, denn diese Aufgabe fordert das Minimum von\nV\nv r a\na,}. (\u00df l)o\n{Pc\u00e4 \u2014 EaX? \u25a0\nStellt sich nach der Ausgleichung heraus, dass die f\u00fcr die Gewichte benutzten (a/t)0 noch zu stark von den verbesserten Werthen der Eai ahweichen, so hat man die Ausgleichung mit verbesserten Gewichten zu wiederholen, u. s. w., bis die Rechnung zum Stehen kommt. Hiermit ist offenbar die Auffindung der wahrscheinlichsten L\u00f6sung erledigt.\nWollen wir jetzt ebenso die plausibelste L\u00f6sung finden, so ist zun\u00e4chst zu pr\u00fcfen, oh die Voraussetzungen f\u00fcr die Methode der kl. Qu., die wir oben in den f\u00fcnf Thesen des Abschnittes IV formul\u00e2t haben, vollst\u00e4ndig oder doch hinreichend erf\u00fcllt sind. In Betracht kommen hierbei folgende drei Punkte: 1) Existenz einer Fehlerfunction, 2) Verschwinden des Durchschnittsfehlers, 3) Werthabsch\u00e4tzung des Beobachtungsmodus auf Gmnd eines einzigen Parameters.\nDie relative H\u00e4ufigkeit pui ist der beobachtete Werth f\u00fcr die Gr\u00f6\u00dfe uai, also","page":27},{"file":"p0028.txt","language":"de","ocr_de":"28\nH. Bruns.\nxaX PaX uaX der Beobachtungsfehler und\nP a k \u2014 Va \\uaX + xod) ................(27)\ndie gez\u00e4hlte H\u00e4ufigkeit des Ereignisses Ei in der \u00ab-ten Versuchsreihe. Die Beobachtungsfehler bilden also eine discrete Mannigfaltigkeit und sind, wenn wir die Versuchsanzahlen V constant halten, Vielfache der Br\u00fcche 1 : Va. Die Wahrscheinlichkeit f\u00fcr das Eintreten der H\u00e4ufigkeit Pui ist durch den Ausdruck\nV 1\n' a \u2022\n[UgX)PaX U \u2014 uak)Va Ful iPal) ! [Va-Pa^\n(28)\ngegeben, und dieser Ausdruck enth\u00e4lt zugleich, wenn nach (27) P durch x ausgedr\u00fcckt wird, das Gesetz f\u00fcr den Fehler x. Die Fehlerfunction ist also vorhanden.\nZu dem Durchschnittsfehler bemerke ich, dass weiterhin eine Eeihe von Durchschnittsgr\u00f6\u00dfen zu berechnen ist, und dass dabei das Verschwinden von D[x) sich von selbst mit ergeben wird.\nL\u00e4sst man endlich in (28) der K\u00fcrze halber f\u00fcr den Augenblick die Indices fort und setzt\nup(\\\u2014u\\ v-p\nr! /\u2018-fr-, ;>;!\tP=V(u + x),\nso ist die Wahrscheinlichkeit f\u00fcr das Bestehen der Ungleichung\na <0 x <) b\ndurch 2<D {x) gegeben, wo sich die Summirung nach x \u00fcber die in dem Intervall von a bis b enthaltenen Werthe der Reihe\nK\nV\u2019 V\u2019 \u2018\t\u25a0 V\nzu erstrecken hat. In der Wahrscheinlichkeitsrechnung wird nun bei dem Beweise des Bernoulli\u2019schen Theorems \u00fcber die gro\u00dfen Zahlen gezeigt, dass sich jene Summe n\u00e4herungsweise durch ein Integral\nJ\nrp[x)dx","page":28},{"file":"p0029.txt","language":"de","ocr_de":"Ueber die Ausgleichung statistischer Z\u00e4hlungen in der Psychophysik.\t29\nausdr\u00fccken l\u00e4sst, worin cp [x] folgenderma\u00dfen bestimmt ist. Es sei exp t das Zeichen f\u00fcr die Exponentialfunction von t, ferner\n- F\u2014\n\u2014 2\u00ab(1 \u2014 u)\u2019\ndann ist\ncp [x) = -^= exp (\u2014 Ifix1).\n\\rt\nDieser Ausdruck erh\u00e4lt nur einen Parameter, n\u00e4mlich h, und ist identisch mit dem Gau\u00df\u2019schen Fehlergesetz. N\u00e4herungsweise ist also auch die dritte Forderung erf\u00fcllt. Der Grad der Ann\u00e4herung w\u00e4chst bei festgehaltenem u mit wachsendem V, nimmt dagegen bei festgehaltenem V ab, wenn sich u seinen extremen Werthen Eins oder Null n\u00e4hert.\nHiernach ist die Methode der kl. Qu. zul\u00e4ssig, sobald man zu kleine Wertlie der V und ferner bei den v die extremen F\u00e4lle vermeidet. Beide Bedingungen wird man aber schon aus anderen Gr\u00fcnden zu erf\u00fcllen suchen. Genauere Ma\u00dfbestimmungen nach statistischer Methode setzen immer umfangreiche Versuchsreihen voraus, und betreffs der extremen F\u00e4lle ist zu beachten, dass die Ereignisse E Urtheile sind, die unter dem Einfl\u00fcsse unvermeidlicher Fehler zu Stande kommen. Wenn nun z. B. bei den eingangs besprochenen Beizversuchen die Keizdifferenz D so gro\u00df positiv ist, dass das Urtheil D < 0 unter 100 F\u00e4llen nur einmal zu erwarten ist, so wird man sagen m\u00fcssen, dass dieses eine Urtheil nur durch ein besonderes Zusammentreffen gr\u00f6\u00dferer Fehler zu Stande gekommen ist und nahe bei der Grenze liegt, wo die unvermeidlichen Fehler aufh\u00f6ren und die \u00bbVersehen\u00ab anfangen. Versuchsreihen, die solche extremen F\u00e4lle enthalten, sind deshalb im Grunde genommen eine Arbeitsvergeudung, es sei denn, dass man an Stelle einer Untersuchung \u00fcber das Verhalten der Hauptmasse der Fehler eine Studie \u00fcber die extremen, unter gewissen Umst\u00e4nden noch m\u00f6glichen, Fehler ausf\u00fchren will. Man wird solche Versuchsreihen entweder von vornherein vermeiden oder aber, wenn sie angestellt sind, bei der Ausgleichung nachtr\u00e4glich ausschlie\u00dfen.","page":29},{"file":"p0030.txt","language":"de","ocr_de":"30\nH. Bruns.\nVI.\nBei den weiteren Entwickelungen bed\u00fcrfen wir der Ausdr\u00fccke f\u00fcr die Durchschnitte von gewissen Producten, deren Factoren die Fehlergr\u00f6\u00dfen\nfaX = PaX\tuaX\nsind. Ist ein solches Product U in der Form U = Uy .U2. ... Us\ndargestellt, wo Ua nur von den f der \u00df-ten Reihe ahh\u00e4ngt, so ist. wie bereits erw\u00e4hnt wurde,\nD[U) = D{17t) . D(U2) ... D[Us)-,\nman darf sich also auf den Fall beschr\u00e4nken, wo nur eine einzige Versuchsreihe, sagen wir mit der Nummer a, vorliegt, wo deshalb die Fehlerfunction durch den Ausdruck\nw = v\u00ab ! n , Pax = K Kx + *\u00ab*)\n* P aX) \u25a0\ngegeben ist. Der Durchschnitt eines nur von der betrachteten Reihe abh\u00e4ngigen U hat dann die Form\nI)[U) = 2UW,\nwo die Summation \u00fcber alle ganzzahligen, mit der Bedingung\nuX\n\n(29)\nvertr\u00e4glichen P erstreckt werden kann, wenn man den Umstand beachtet, dass f\u00fcr ein ganzzahliges negatives P die Gr\u00f6\u00dfe P! unendlich wird.\nEs seien jetzt: ty ... tr gewisse H\u00fclfsvariable, ferner\nL = 2uux . expfy, M \u2014 -'\"aih , N=Lv<*exp(\u2014MVa). 2 2\ndann gibt die Entwickelung nach dem polynomischen Lehrsatz\nl/U j Pal t*'\t' P'\nje \u2014 v IN [ cttl__________-\n\u00b1y \u2014 * ct \u25a0 ip\tip\n\\J ai)... . V-I I\n-\u2022 exp [2tx(PaX-Vaual)],\narl\nwo wieder die Summe \u00fcber alle ganzzahligen, der Bedingung (29) gen\u00fcgenden P zu erstrecken ist. Differentiirt man N partiell nach","page":30},{"file":"p0031.txt","language":"de","ocr_de":"Ueber dit) Ausgleichung statistischer Z\u00e4hlungen in der Psychophysik.\n31\nbeliebig ausgew\u00e4hlten t, z. B. t^, ty, . . ., so reproduciren sich die Summanden, jedoch unter Hinzutreten der Factoren\np ____Vu P ___________V n\nctfi r a \u201c'ap t olv r a *\t\u2022 \u2022 \u2022 \u2022\nSetzt man nach ausgef\u00fchrter Differentiation die t gleich Null, so geht die Summe in den Durchschnitt\nV(xuau) I^ki' Vauuv) \u2022 \u2022 \u2022 \u2022]\n\u00fcber, also von den Factoren Va abgesehen, gerade in die Ausdr\u00fccke, die wir suchen. Man hat also nur N nach den t zu entwickeln, angemessen zu differentiiren und dann die t gleich Null zu setzen.\nDie Entwickelung von L schreiben wir unter Zusammenfassung der Glieder gleicher Dimension in der Form\nX- = io + Yj+2f+3T + -- -- , Lk = 2ua)i (tx)k , wo, wegen\n= 1 )\nL0 = 1 und \u2014 M ist. Weiter wird\nlog N = Vu jlog (1 + M + ^\tAf} .\nEntwickelt man rechts nach den t, geht dann von dem Logarithmus zum Numerus \u00fcber und setzt endlich, die Glieder gleicher Dimension in den t wieder zusammenfassend,\nN = N0 + Ni + N2 + . . . . ,\nso wird No \u2014 1 Ni = 0\nN2 = \\VU (L2 - A/2)\nN3 = -1 Va [L, \u2014 3A/L2 + 2 AP)\nN4 = ~ Va [Li -3 Z22 + 4ML, + 12APZ, - 6Af\u00ab) +\t.\nUm die gesuchten Durchschnitte zu erhalten, ist jetzt Nj nach L, N2 nach und tv, u. s. w. zu differentiiren und noch durch die","page":31},{"file":"p0032.txt","language":"de","ocr_de":"32\nH. Bruns.\nentsprechende Potenz von V zu dividiren. Darnach erh\u00e4lt man\nzun\u00e4chst\nD(fa/J= ............................(3\u00b0)\nd. h. die Durchschnittsfehler sind, wie bereits fr\u00fcher erw\u00e4hnt wurde, s\u00e4mmtlich gleich Null. Ferner wird\nD [fccfifai') =z uafie/tv uafiuav).........(31)\nSind die Indices a und \u00df ungleich, so wird mit R\u00fccksicht auf (30)\nD ifavf\u00dfr) = D (/\u00abJ D [f\u00dfv] = 0 , so dass man auch schreiben darf\nD{fafif\u00dfv) = ea\u00dfD{foi^fav).................(32)\nDie Durchschnitte dritter Ordnung werden weiterhin nicht gebraucht. Sie sind nicht gleich Null. Dieser Umstand ist ohne Belang, da, wie oben hervorgehoben wurde, die Annahme, dass die Fehlerfunctionen gerade seien, f\u00fcr die Begr\u00fcndung der Methode der kl. Qu. thats\u00e4chlich \u00fcberfl\u00fcssig ist. Die Durchschnitte vierter Ordnung werden weiterhin nur in der Verbindung\nB = D ifaufaJuifun) ~ D {fau,fuv) D [fagfan)\n\u2014 B (fafifa'il 2) if uv fan) ~ J) \\fauf un) B ifavfat)\ngebraucht. Bildet man in Nt von dem Term \u25a0- (N^\u00df die Ableitung\nnach tv, G, tn. so bekommt man, von dem Factor (Va)1 abgesehen, gerade die drei Subtrahenden auf der rechten Seite von B. Man erh\u00e4lt daher, wenn nach den vier angegebenen t der Ausdruck\nML3 M2L2 Mi 24\t8\t6\t+\t2\t4\u2019\ndiflerentiirt wird, gerade B{ P^)4. Spaltet man, die Glieder gleicher Dimension in u zusammenfassend, das B in\nB \u2014 B{ -|- B\u2018, + B3 Bi,\nso wird\nB\\[\t== uafi efig efin !\t.....................................(33)\nB\u2018i{ V(ti~ =\tuu7ie{A.\u00a3enr \u201ck uaveanevgl uaiiuuvevgeV7i\nuavuagegrieg[x uaguanen^env uan ua/i e(iv efig > \u2022 \u2022 (34)","page":32},{"file":"p0033.txt","language":"de","ocr_de":"Heber die Ausgleichung statistischer Z\u00e4hlungen in der PsychophysiL\t33\n-\u00aes(^7a)3 = 2uci/j.{uuvuageg7i + ualuu.nenv + ucmuavev$)\n+ - ua[* {uu$uane[iv + uanuavep'g + uavual efxn) \u2022 \u2022 (35)\n!'(tu\tAl ....................(36)\nWir setzen jetzt die Beobachtungsgleichungen, wie oben bei der wahrscheinlichsten L\u00f6sung, in der linearen Form\nPcA \u2014 M)o =\t................(37)\nan, wo f\u00fcr die einzelnen Gr\u00f6\u00dfen die Relationen\n~\u201cPaX \u25a0\u201c (\u00df^)o 1 : 1 \u00bb\t== 6\t........(38)\nbestehen und die rj die gesuchten Verbesserungen der provisorischen \u00a3 bedeuten, mit denen die [aX) berechnet sind. Die Multiplicatoren des gesuchten Ausgleichungsmodus lassen sich, wie fr\u00fcher bemerkt, einzeln den Coefficienten der rj in den Beobachtungsgleichungen zuordnen. Wir bezeichnen den Multiplicator, der dem Coefficienten [afya entspricht, mit [ceX]ff. Dann nehmen die Bedingungen (18) und (19) f\u00fcr den plausibelsten A.-M. die Form\n0 = 2[al]aD{faif\u00df ) + ~grT<r(\u00df(i)T ..........(39)\n<X,X\t\u2018 1\tT\t'\neOT =\t(\u00ab*)*\t.................(40)\na,7.\nan. Die Bedingung (39) geht mit R\u00fccksicht auf (31) und (32) \u00fcber in\nUo 3\n0 =\t~y~ (eV \u00ab\u00df\u00bb) + 2gra{\u00dfti)r\nr\nUou\n=\t-yj ~ [\u00df^\\autn + ZffT(T(\u00dfn)T .\nMit der Abk\u00fcrzung\n{\u00df) a = Sl\u00dfX^it\u00df .....................(41)\nerhalten wir\n[\u00dft-i\\au\u00dffi = [\u00dfjtyU\u00dfp \u2014 2ffTff Vg(\u00dffi)T .......(42)\noder\n[\u00dfP](T =\nV\u00df{\u00dfP)x\n(43)\nSummirt man (42) nach u. so erh\u00e4lt man wegen (38) die Relation\nWundt, Philos. Studien. IX.\to","page":33},{"file":"p0034.txt","language":"de","ocr_de":"34\nH. Bruns.\nJCftO au\u00dfn = [\u00df)o~\u00ab\u00df(i,\ndie eine Identit\u00e4t ist, weil\ni*\nu\u00dffi =\n1 .\nDie q.r.n Gleichungen (42) zerfallen also in q.n Gruppen von je r Gleichungen, mit der Eigenschaft, dass innerhalb einer Gruppe jede Gleichung eine Folge der \u00fcbrigen ist. Hiernach gehen qn Bedingungen verloren und es existiren unendlich viele plausibelste A.-M., die zusammen eine q M-fach ausgedehnte Mannigfaltigkeit bilden. Multiplicirt man (43) mit \u00dffi)m und summirt nach \u00df und /t, so wird wegen (40)\neiJ\u00fc]\n\u2014 ~ l\u00df)a (\u00df fOoj\t-\u20189m\n\u00dftfl\tT\n\\ V\u00df{\u00dfP)T i\u00dft*),\u00bb\nDie erste Summe rechts verschwindet wegen (38). Wir setzen\nV\u00df \\\u00df 9-)t i\u00df 9)w\nU\u00dfp\t\u2014co)t,\nbilden aus den n. n Elementen c die Determinante C und setzen die Unterdeterminanten\nbC\nb\n= cv\nan. Aus der gefundenen Bedingung\ne(JC\u00dc - --9t(JCTW\nfolgt dann nach bekannten Determinantens\u00e4tzen sofort\nalso\n9t(j \u2014\np\nWi\nc\n>\n[\u00df\u00df]<j \u2014 i\u00df'la 4- ^\nV\u00df '\u00df 9)t\nU\u00dffX\n(44)\nWir wollen uns jetzt die [/Sjit] durch (44) definirt denken unter der Annahme, dass die Gr\u00f6\u00dfen [\u00df)a irgend welche willk\u00fcrlich gew\u00e4hlte Werthe besitzen, und dann weiter untersuchen, wie es sich mit der Erf\u00fcllung der Bedingungen (39) und (40) f\u00fcr den plausibelsten A.-M. in diesem Falle verh\u00e4lt. Substituirt man nun das durch (44) bestimmte [\u00dfp] in (40), so fallen die willk\u00fcrlichen Gr\u00f6\u00dfen (\u00df)a","page":34},{"file":"p0035.txt","language":"de","ocr_de":"Ueber die Ausgleichung statistischer Z\u00e4hlungen in der Psychophysik.\n35\nvon selbst heraus, und der Rest verwandelt sich nach geh\u00f6riger Reduction in eine Identit\u00e4t. Damit ist also die allgemeine Bedingung aller A.-M. erf\u00fcllt. Substituirt man weiter in (39), so fallen die [\u00df)a wiederum von selbst heraus, und man erh\u00e4lt nach geh\u00f6riger Reduction die q .r.n Bedingungen\n(\"C1 ^rff) = 0 \u2019\ndie gleichzeitig durch die Annahme\n_ cT(J\nffzij - Q\nerf\u00fcllt werden. Es sind also s\u00e4mmtliche Bedingungen unabh\u00e4ngig von den Werthen der [\u00df)a erf\u00fcllt.\nSucht man ferner den Werth von rj(y aus\n% = - M]<r (pai \u2014 (\u00ab \u00fc)0) |\t............(45)\nCt,l\nso f\u00e4llt i\u00df)n heraus und man erh\u00e4lt\nVa = 2 (PaX ~ Mo) %\t,\t.........(46)\na,l,%\tUa%\nd. h. einen einzigen bestimmten Werth f\u00fcr jedes rj. Setzt man in (46) f\u00fcr rj und p die wahren Werthe rf und u, so erh\u00e4lt man\nVa~Va\n= -faX p\na,X,v\tis\nVa(aX)T\nua\\\nund hiermit zur Berechnung des m. F. der tj\n\nVV)2] = 2 2 2 D [falf\u00dffl) 9ja^L T^\u00c9:a3l\u00cbfh\na,\u00df 1,(1 t,w\t\u2018 C\tuaXU\u00dffl\nDieser Ausdruck gibt, geh\u00f6rig reducirt,\nm. E. {ij\u201e)\n\u2022 (47)\nDa nach dem Vorstehenden die Werthe der (\u00df)a v\u00f6llig gleichg\u00fcltig sind, so wollen wir den plausibelsten A.-M. fortan in der Form\n[\u00df \u2014 2\n1\nV\u00dfi\u00dftl)t\nU\u00df,u\n3*\n(48)","page":35},{"file":"p0036.txt","language":"de","ocr_de":"36\nH. Bruns.\nbenutzen, d. h. die genannten willk\u00fcrlichen Gr\u00f6\u00dfen einfach gleich Null annehmen.\nSetzen wir jetzt die nach der Ausgleichung \u00fcbrig bleibenden Widerspr\u00fcche\n^\u00ab% \u2014 iPaX\u2014 Mo) \u2014\t.........(49)\nan, so bestehen nach (10) die Gleichungen\n..................(50)\n\u00df't*\ndie, wenn man f\u00fcr die J ihre Ausdr\u00fccke (49) einsetzt, in die Finalgleichungen (45) oder (46) \u00fcbergehen. Nach (48) k\u00f6nnen wir das System (50) in der Form\n22 J\n\u00df't* T\n\u00c4\u201c\nCTIT VjiMr C u\u00df(.i\n= 0\nschreiben. Diese n Gleichungen ersetzen wir durch ein \u00e4quivalentes System, wenn wir mit c0)(T multipliciren und nach a summiren. Man erh\u00e4lt dann\n\u00df,p\n7\u00dfp\nv\u00a7 \\\u00df f*L\nu\u00dffi\n(51)\nWir bilden jetzt den Ausdruck\n\u00df,/A, U\u00dfp\n\ndann ist die Bedingung (51) identisch mit\n1\tbS_\n2\t\u00f4\u00ee7w\n(52)\nDa nun S als wesentlich positive Function der rj zwar ein Minimum, aber kein Maximum besitzt, so besagt (51), dass S f\u00fcr die plausibelste L\u00f6sung ein Minimum wird. Damit sind wir wieder bei dem gew\u00f6hnlichen Schema der Methode der kl. Qu. angelangt. Beachtet man noch die in (22) und (47) gegebenen Ausdr\u00fccke f\u00fcr die m. F., so erh\u00e4lt man folgende Vorschrift zur Auffindung der plausibelsten Werthe der rj und ihrer m. F. :\naus den Beobachtungsgleichungen\nPaX \u2014 Mo =","page":36},{"file":"p0037.txt","language":"de","ocr_de":"Ueber die Ausgleichung statistischer Z\u00e4hlungen in der Psychophysik.\n37\nleite man mit den \u00bbfingirten\u00ab Gewichten\nZ*\n\u00bbcd\ndie Fehlergleichungen\nab und behandle diese ohne R\u00fccksicht auf ihre gegenseitige Abh\u00e4ngigkeit nach dem gew\u00f6hnlichen Schema, sowohl hei der Bildung der Normalgleichungen, als auch hei ihrer Aufl\u00f6sung und hei der Berechnung der Gewichte der Unbekannten, indem man als m. F. der Gewichtseinheit den Werth Eins annimmt.\nDie H\u00fclfsgr\u00f6\u00dfen, welche hier die Stelle der Gewichte vertreten, habe ich als fingirte Gewichte bezeichnet, denn die wahren Gewichte der einzelnen Beobachtungsgleichungen sind wegen (31) den Ausdr\u00fccken\nV\n_____ ec____\nm\u00aba(\u00cf \u2014 \u00bbcd\nproportional. Da die Gr\u00f6\u00dfen u, mit denen die fingirten Gewichte zu berechnen sind, unbekannt bleiben, so wird man als Ersatz hierf\u00fcr die Werthe der JEa^, also bei Beginn der Rechnung die Gr\u00f6\u00dfen (a/.)\u201e als erste Ann\u00e4herung benutzen, wobei dann wegen der etwa nothwendigen weiteren Verbesserung der (a/.)n die fr\u00fcher bei der wahrscheinlichsten L\u00f6sung gemachte Bemerkung gilt. Hieraus folgt zugleich, dass in Wahrheit, wie bereits fr\u00fcher erw\u00e4hnt, statt der plausibelsten L\u00f6sung die wahrscheinlichste gefunden wird. Dieser Umstand ist indessen ohne Belang, sobald die Beobachtungen \u00fcberhaupt so beschaffen sind, dass sie zur sicheren Bestimmung der Unbekannten dienen k\u00f6nnen. Man kann es als einen durch hundertf\u00e4ltige Erprobung erh\u00e4rteten Erfahrungssatz aussprechen, dass in diesem Falle m\u00e4\u00dfige Aenderungen der Gewichte ohne Bedeutung sind; die Anwendung der Methode der kl. Qu. w\u00e4re eine \u00fcberfl\u00fcssige und deshalb sch\u00e4dliche Spielerei, w7enn sie eine genaue Kenntniss der Gewichte voraussetzte.\nZu den vorstehenden Rechnungsvorschriften waren wir gelangt, indem wir die oben mit bezeichneten H\u00fclfsgr\u00f6\u00dfen einfach gleich Null setzten. Man kann nun, wie hier noch erw\u00e4hnt werden mag,","page":37},{"file":"p0038.txt","language":"de","ocr_de":"38\nH. Bruns.\ndiese Hiilfsgr\u00f6\u00dfen auf unendlich viele Arten so w\u00e4hlen, dass man auf das herk\u00f6mmliche Ausgleichungsschema kommt. Man kann es au\u00dferdem so einrichten, dass von den r Gleichungen jeder Versuchsreihe eine bestimmte nicht benutzt wird, also von vornherein als nicht vorhanden betrachtet werden darf. Alle diese Wege stehen jedoch dem hier gew\u00e4hlten an Einfachheit der Rechnung und an Uebersichtlichkeit nach.\nVII.\nAls letzter Theil der in Abschnitt II gestellten Aufgabe ist nun noch die Entwickelung der Fehlerkriterien vorzunehmen. Die Grundlage dazu bilden die nach der Ausgleichung \u00fcbrig bleibenden Widerspr\u00fcche J. Hierbei sind mehrere M\u00f6glichkeiten gegeben.\nEin erster Schritt besteht darin, dass man die /J darauf hin durchmustert, ob in ihrem Verhalten, was Gr\u00f6\u00dfe oder Vorzeichen betrifft, gewisse Regelm\u00e4\u00dfigkeiten Vorkommen. Das Eintreten solcher Regelm\u00e4\u00dfigkeiten kann durch Zufall verursacht sein; bei der geringen Wahrscheinlichkeit dieser Annahme wird man es indessen vorziehen, auf eine systematisch wirkende Ursache zu schlie\u00dfen, die in letzter Instanz darin zu suchen ist, dass die Ausdr\u00fccke f\u00fcr die Eui unvollst\u00e4ndig oder unrichtig angesetzt sind. Bei der Vielgestaltigkeit der denkbaren F\u00e4lle lassen sich jedoch hierf\u00fcr keine allgemeinen Vorschriften aufstellen. Es kann aber auch Vorkommen, dass sich in den zl der Einfluss systematischer Fehlerquellen nach-weisen l\u00e4sst, ohne dass er gerade augenf\u00e4llig hervortritt. Ein Pr\u00fcfungsmittel, das z. B. von Lexis bei anderen statistischen Aufgaben wiederholt mit Erfolg benutzt worden ist, besteht in der Untersuchung der Fehlerdispersion. Ist eine Reihe wahrer Beobachtungsfehler x gegeben, zu denen eine und dieselbe Fehlerfunction <p [x'j geh\u00f6rt, und ist cp [x] voraussetzungsweise bekannt, so kann man aus cp f\u00fcr passend gew\u00e4hlte Intervalle die zu erwartenden relativen H\u00e4ufigkeiten der zwischen den Intervallgrenzen liegenden Fehler berechnen und diese mit entsprechenden beobachteten H\u00e4ufigkeiten vergleichen. Findet zwischen Beobachtung und Rechnung eine befriedigende Uebereinstimmung statt, so ist die Dispersion \u00bbnormal\u00ab, und der angenommene Ausdruck von cp[x) als richtig","page":38},{"file":"p0039.txt","language":"de","ocr_de":"Ueber die Ausgleichung statistischer Z\u00e4hlungen in der Psychophysik.\n39\nanzusehen. Treten die kleinen Fehler h\u00e4ufiger auf, als sie nach der Formel sollen, so ist die Dispersion \u00bbunternormal\u00ab. In diesem Falle schlie\u00dft man auf eine Ursache, die die Tendenz hat, die Fehler zu verkleinern und die hei der Bildung des Ausdruckes cp[x) unber\u00fccksichtigt geblieben ist. Als solcheJUrsache kann der Umstand wirken, dass der Beobachter die wahren Werthe der zu beobachtenden Gr\u00f6\u00dfen kennt und sich nicht von der daraus folgenden Voreingenommenheit frei zu machen vermag. Treten anderseits die gro\u00dfen Fehler h\u00e4ufiger auf, als sie sollen, so ist die Dispersion \u00bb\u00fcbernormal\u00ab. In diesem Falle schlie\u00dft man auf eine Ursache, die die Fehler vergr\u00f6\u00dfert, und die wiederum in cp[x) nicht ber\u00fccksichtigt ist. Als solche kann der Umstand wirken, dass der Beobachtungsmodus innerhalb der Reihe nicht constant gewesen ist, und dass dem entsprechend das zu jeder Beobachtung geh\u00f6rige cp[x) um einen mittleren Ausdruck herumgeschwankt hat. Bei der numerischen Anwendung dieser Dispersionsmethode ersetzt man die unbekannt bleibenden x durch die nach der Ausgleichung \u00fcbrig bleibenden Widerspr\u00fcche z/, wobei die J n\u00f6tigenfalls durch Division mit den zugeh\u00f6rigen m. F. auf einerlei Gewicht zu bringen sind.\nDas angegebene Verfahren setzt voraus, dass eine gr\u00f6\u00dfere Anzahl von Fehlern vorliegt, da sonst die beobachteten H\u00e4ufigkeiten zu stark durch den Zufall beeinflusst werden. Es ist deshalb w\u00fcnschenswerth, einen Weg ausfindig zu machen, der auch noch f\u00fcr k\u00fcrzere Fehlerreihen anwendbar ist. Man gelangt dazu, wenn man den Gedankengang verfolgt, den Gau\u00df bei der Herleitung des Ausdruckes f\u00fcr den m. F. der Gewichtseinheit eingeschlagen hat. Die Entwickelung hierf\u00fcr ist zwar etwas weitl\u00e4ufig, jedoch sind die Endformeln einfach genug. Eine nicht unwesentliche Abk\u00fcrzung der Rechnung erlangt man durch folgende Bemerkung.\nDie von den t] abh\u00e4ngigen Theile der Normalgleichungen sind nichts anderes als die partiellen Ableitungen der quadratischen Form\n1 v\nCaT t]T ,\nL CUT\nund diese wiederum ist die Quadratsumme aus den rechten Seiten der Fehlergleichungen. F\u00fchrt man nun statt der 17 neue Unbekannte 0 durch eine lineare Transformation ein. so \u00e4ndern sich dadurch","page":39},{"file":"p0040.txt","language":"de","ocr_de":"40\nH. Bruns.\ndie Coefficienten der Fehlergleichungen und ebenso der Normal-gleichungen, dagegen bleibt jene Eigenschaft der Quadratsumme erhalten; au\u00dferdem werden die Werthe der z/ durch die Transformation nicht ber\u00fchrt. Man erh\u00e4lt also die Normalgleichungen, wenn die transformirte quadratische Form\ni ^ c ijt\nbildet und partiell nach den 0 differ en tiirt. Nun kann man es immer so einrichten, dass die transformirte Form sich in die Quadratsumme\n1 + $22 + \u2022 \u25a0 \u2022 + $\u00bb2)\nverwandelt, also die c'ar = e\u00dfT werden. Denkt man sich daher eine solche Transformation vor Beginn der ganzen Ausgleichung vorgenommen, so d\u00fcrfen wir setzen\n'\u2014\u2019\nC = 1\n\u00dfUT \u2014' e(TT \u2022\nworaus nach (48)\nl \u2014\nV '\u00df P)<7 v\u00e4---------\n1 U\u00df(l\nfolgt.\nIn (12) war die Relation zwischen den Widerspr\u00fcchen J und den wahren Fehlern x aufgestellt worden. Daraus ergibt sich bei unserer Aufgabe mit der in V und VI gebrauchten Bezeichnungsweise\nU=fak-2Zfllti'fiWAa,\nf'./t a 1 \u2018\nwof\u00fcr wir schreiben wollen\n\n,al, \u00dfp) = eaf} eltx \u2014 A (c\u00e4)a [\u00dffi]c\nV,\n^a\u00dfeXu i\u00dftya \\\u00dfll)(f\nI r a\tU\u00dfp\n(53)\nDie Rechnung mit dem Symbol (\u00ab \u00c2, \u00df(i) wird erleichtert, wenn man folgende unschwer zu verificirende Relationen ber\u00fccksichtigt\nr M> \u00dffl) = eaS r - la\u00df \u00dfp)u\u00dfu = eaSu\u00dfx .... (54)","page":40},{"file":"p0041.txt","language":"de","ocr_de":"Ueber die Ausgleichung statistischer Z\u00e4hlungen in der Psychophysik.\n41\n- (al, \u00dfp) (al, yv) = (\u00dfp, yv) ^ = (yv, \u00dfp) -K,\n7\t// -. rt\t7/ -i\tW\n*ul\tu\u00dfp\tuyv\n2 (c\u00e4, yv) [\u00dffi, yv) = (al, \u00dfp) ^ = (\u00dfp, al) ^ ,\nY\nV\u201e\n\nHiermit wird\nF,\tFy\n(\u00c4\u201c, pp) -A- = (yi-, \u00dfp) .\nu\u00dfp\nu.\u201e,\n(55)\n(56)\n(57)\nD'\\^al^\u00dfp) = ~g -Ja'l, yv) (\u00dfp, d\u00ef) D{fyvfd\u00a3l\nUyv\n= ~ 2 M, yv) [\u00dfp, y\u00a3)y- (erf \u2014 Myl),\n'\ty\nworaus mit R\u00fccksicht auf (54)\u2014(57)\nD\t= -^{falf\u00dfp) \u2022\u201c(\u00df^)(T {\u00dfp)ir |\n... (58)\n-- \u00bb fu\u00eet\nG\t\u2019\nfolgt. Die letzte Gleichung lehrt, dass der m. F. eines D stets kleiner ist, als der m. F. des entsprechenden p. F\u00fcr die Quadratsumme S aus den Widerspr\u00fcchen der Fehlergleichungen erh\u00e4lt man\nV z/2 , .y_________ v '_c_ pk\ncc,?.\nual\n= A{al, \u00dfp) (al, yv) ^ f ual\nS= 3-\nworaus\n*liu\n(M yv) frlu fyv ,\nD (S)\nV*\nv __\u00a3\n~ U\npp\n(\u00dfu, \u00dfv) Jb(f^f^),\nD(S) = 2{\u00dfp,\u00dfp) \u2014 S(\u00dfp, \u00dfv)U(1\nv m/v\u00df\\\nG U\n= ? V\npill '\ni-lp\nr u\u00dfp\nj\\U 1 *\n= qr \u2014 2c0\n. . . (59) . . . (60)\nD(S) = q(r \u2014 1) \u2014 n .........................(61)\nfolgt. Dieser Durchschnittswerth hat offenbar folgende Bedeutung. Angenommen, man k\u00f6nnte die \u00bbGruppe\u00ab von Versuchen unter genauer Innehaltung des einmal festgesetzten Programms unendlich","page":41},{"file":"p0042.txt","language":"de","ocr_de":"42\nH. Bruns.\noft in der Weise wiederholen, dass auch die B.-M. sich genau wiederholten, dann erh\u00e4lt man f\u00fcr die S Werthe, die sich nach einem bestimmten H\u00e4ufigkeitsgesetz gruppiren. Der mit R\u00fccksicht auf dieses Gesetz gebildete Mittelwerth aus den S ist dann D(S). Wenn nur eine Gruppe beobachtet worden ist, so kann S nach oben oder unten von D(S) ahweichen; jedoch werden starke Abweichungen nur eine geringe Wahrscheinlichkeit besitzen. Um nun einen Anhalt zu haben, oh die Abweichung als gro\u00df oder klein anzusehen sei, bilden wir den Durchschnitt\nT = D[(S \u2014 D[S))2} = D{S2) \u2014 (D(S) )2;\nd. h. wir sehen. D(S) als den Sollwerth von S an und suchen zu letzterem den m. F. Die Differenz\nS \u25a0\u2014 D(S)\ntritt dann an die Stelle der Fehlerdispersion und der Werth von T muss dazu dienen, anzugeben, ob die Dispersion als unternormal oder normal oder \u00fcbernormal anzusehen ist. Selbstverst\u00e4ndlich sind die dabei zu ziehenden Schl\u00fcsse immer nur Wahrscheinlichkeitsschl\u00fcsse, da ja in Wirklichkeit das S bei einer bestimmten Versuchsgruppe durch besonderes Walten des Zufalls jeden mit den Bedingungen der Aufgabe vertr\u00e4glichen Werth annehmen kann.\nAus (59) folgt zun\u00e4chst\nDIS2) = A\t(\u00dfu. yv) (d|, en) D{f^fyv/^ff7l) .\nU\u00df(A U01\nIn dieser Stimme verschwinden rechts alle T), bei denen nicht f\u00fcr die Indices \u00df, y, \u00f6, e einer der vier F\u00e4lle\n\u00df = y = \u00f6=:e = g,\n\u00df = y = $r> 3 = s = h,\n\u00df = \u00f6 = g, y = e \u2014 h,\n\u00df \u2014 s = g, y = \u00f6 = h,\nstattfindet, wo g und h zwei von einander verschiedene Zahlen aus der Reihe 1, 2 . . . q bedeuten. Mit R\u00fccksicht hierauf d\u00fcrfen wir in der Form","page":42},{"file":"p0043.txt","language":"de","ocr_de":"Ueber die Ausgleichung statistischer Z\u00e4hlungen in der Psychophysik.\n43\n^\t(fft*, 9V) (9\u00a7> 9n) D(fgufgvfgifgn)\nugp u!)%\n+ 3 ^ (gg, gv) [hl Kn) D(fmfgi) D{fhlfhn) (1 - egh)\nugti uh$\n+\t(gu, hv) (g\u00c7, hn) D[fgflfg$ D{fhrfhn) (1 \u2014 egh)\nugg wgz\n+\t- [gg, H (K\u00a7, gn) T)(fgu fgn) D[fhvf$ (1 \u2014 egh)\nugp uh\u00a3\nschreiben, wo wegen des hinzugef\u00fcgten Factors (1 \u2014 egh) die Indices g und h jetzt auch einander gleich sein d\u00fcrfen. Schreibt man f\u00fcr g und h wieder \u00df und y, und erinnert sich des in Abschnitt VI mit B bezeichneten Ausdruckes, so erh\u00e4lt man f\u00fcr f):S~)\n+ - ~\t~ i\u00dfg, \u00dfv) (\u00df\u00a3, \u00dfrc) . B\nw\u00dfg u\u00dfI\n+ Ul/-(\u00dfg, \u00dfv) Difofp) ]\nL J\n+ -\t\u2014 i\u00df9, yv) (/?\u00a3, yvc) D[fpuff\u00e8) D{f f )\n+ -\t^J\u25a0 (\u00dfg, yv) {yt \u00dfn) TJ(f\u00dfflf\u00df7I) D(fyvfyt)\nu\u00dfg uyfi\nVon diesen vier Termen ist der zweite wegen (60) das Quadrat von D(S). Der vierte Term ist identisch mit dem dritten, wie sich aus der Relation (57) und durch Vertauschung der Summationsbuchstaben i' und tc ergibt. Summirt man in dem dritten Term zun\u00e4chst nach v und ber\u00fccksichtigt die Gleichung\n~ i\u00dfg, yv) D[fyvfyn) = p U\u00dffb V \u2122) ~ e\u00dfy %] ,\nso erh\u00e4lt man zun\u00e4chst f\u00fcr den dritten Term\n- ~ (\u00dfl tn) \u2022 p (Pib y*) \u25a0 -p- l>'\\f\u00dfgf\u00df$) u\u00df\u00a3\tu\u00dfg\tf y\n{\u00df\u00a7, \u00dfDif\u00dfgf\u00dff) \u2022 \u00ab\u00dfn\nMat\ttii\nPb\nV","page":43},{"file":"p0044.txt","language":"de","ocr_de":"44\nH. Bruns.\noder mit R\u00fccksicht auf (57)\n= - ~ [yn, \u00dfp) [yn, \u00dfSi D[f\u00dfixf\u00df\u00a3i \u2014 ~v\u00df i\u00df\u2122, \u00df\u00fc) Dif^ff\u00e8)\nuyn\n= 2p- i\u00df* \u00df\u00a7)\t.\n\u00dfiu\nDie erste von diesen beiden Summen ist, wie der Vergleich mit (60) lehrt, gleich D(S), die zweite ist Null, da\nHiermit erhalten wir f\u00fcr T die Gleichung\nT= 2 D(S) + 2\t\u00dfv) (\u00dfl \u00dfn).B .\nu\u00dffi u\u00dfS\nSetzt man f\u00fcr B seinen Ausdruck ein und ber\u00fccksichtigt wieder die Gleichungen (54) \u2014 (57), so wird nach geh\u00f6riger Reduction\nT= 2 DIS) + 2\ni\u00dfP,\u00dft*)2\nV\u00df u\u00df\u00df\n\u20144r ((\u00dfp> \u00df\u00df) [\u00dfv, \u00dfv) + 2 i\u00dffi, \u00dfv) {\u00dfv, \u00dffi)) + 22\t.\n\u00df'W V \u00df\tV \u00df\nDie [\u00df[i, \u00dfv) sind bekannte Functionen der Coefficienten der Fehlergleichungen. Indessen w\u00fcrde die Berechnung des vorstehenden Ausdruckes von T im allgemeinen so beschwerlich sein, dass sie praktisch nicht in Frage kommt. Da es sich aber bei der Ermittelung von T schlie\u00dflich nur um eine Sch\u00e4tzung handelt, so darf man sich mit einer Ann\u00e4herung begn\u00fcgen. Aus (53) und (58) leitet man ohne M\u00fche die Relation\nV\u00df\n[\u00df\u00dfl \u00dfV) = U\u00dfu + \u201c D^\u00dfp d\u00dfy) ah. Die Substitution dieses Ausdruckes in T liefert\nT = 2 D(S) + 2 i (D [J^)\u0178 - 2 -p\u2014 D[J\u00dff?) D{J8v\nP'/tU\u00dfp3\t<r\t\u00df-vv U\u00dfp U\u00dfv\tCr\n\n2 2 fi\u2019W U\u00dfp Ujjy\n","page":44},{"file":"p0045.txt","language":"de","ocr_de":"Ueber die Ausgleichung statistischer Z\u00e4hlungen in der Psychophysik.\n45\nMan k\u00f6nnte versuchen, diesen Ausdruck dadurch zu vereinfachen, dass man f\u00fcr die plausibelsten Widerspr\u00fcche J als Ann\u00e4herung die wahren Widerspr\u00fcche/ setzt. Dies kommt, wegen der Relation (58)\nG\ndarauf hinaus, dass man die (al)g s\u00e4mmtlich gleich Null setzt, w\u00e4hrend sie in Wirklichkeit von Null verschieden sind, aber mit wachsenden V gegen Null convergiren, wie aus der Gleichung\n1\nPl\u201c U\u00dfLl\nhervorgeht. Setzt man die {a\\)\u201e gleich Null, so geht (\u00dfu, \u00dfv) in e\u00dfv \u00fcber und man erh\u00e4lt f\u00fcr T den Ausdruck\nT= 2 D(S) +\nV,\n- (a '\n\u00bb* \\ f* 'M'\u00dffA\n+ 2\n\u2022 2 T\nder sich f\u00fcr sehr gro\u00dfe V dem ersten Gliede 2 D(S) n\u00e4hert. Es gibt jedoch noch einen andern, f\u00fcr die Rechnung nur wenig umst\u00e4ndlicheren Weg, der die Annahme sehr gro\u00dfer Werthe der V nicht macht und der darin besteht, dass man f\u00fcr die D als Ann\u00e4herung die aus den Beobachtungen folgenden J selber setzt. Schreibt man f\u00fcr die Widerspr\u00fcche der Fehlergleichungen\nferner\t4 \u00dffi\t\u25a0/>> ]/ \u20141\u2014 \u2019 u\u00df[i\t\nso wird\t2, Z[J^=F\u00dfl, ^\t\u00e6\tP\t/* U\u00dffi\tp\t\n\tF\u00df 4   3 F T\u2014 2Z\u00bb(N) + N p\t? ?\tm\t... (62\nIn vielen F\u00e4llen wird zur Bestimmung von T eine rohe lleber-schlagsrechnung f\u00fcr die F gen\u00fcgen.\nDie Gr\u00f6\u00dfe\nD [S) q(r \u2014 1) \u2014 n\nist das Analogon zu dem (m. F.)2 der Gewichtseinheit bei den gew\u00f6hnlichen Anwendungen der Methode der kl. Qu., wo die Beob-","page":45},{"file":"p0046.txt","language":"de","ocr_de":"46\nH. Bruns.\nachtungsgleichungen von einander unabh\u00e4ngig sind. Man kann bei unserer Aufgabe M als den empirischen Werth des fingirten (m. E.)2 einer Fehlergleichung ansehen, w\u00e4hrend der theoretische oder Sollwerth gleich Eins ist. F\u00fcr den m. F. von M erh\u00e4lt man dann\nm.F. [M) =\t,\nwof\u00fcr man bei gro\u00dfen V mit gen\u00fcgender Ann\u00e4herung\nm.F. (M) == V-i-----2r.---\n'\t\u2019 q[r \u2014 1) \u2014 n\nwird setzen d\u00fcrfen.\nVIII.\nZur Erl\u00e4uterung der vorstehenden allgemeinen Entwicklungen m\u00f6ge schlie\u00dflich nochmals die im Eing\u00e4nge besprochene besondere Aufgabe er\u00f6rtert werden. Bei der K\u00e4mpfe\u2019sehen Untersuchung werden rasch hintereinander zwei Schallreize erzeugt, die der Zeitfolge nach als erster Rt und zweiter R2 unterschieden werden. Aufgefasst wird jedoch nur die Beizdifferenz\nD = R\\ \u2014 R^,\nund notirt werden die drei Urtheile\n> 0 , D= 0 , Z> < 0 ,\nderen relative H\u00e4ufigkeiten innerhalb einer Reihe von V Versuchen gleich den Zahlen p, z, n sein sollen. Man erh\u00e4lt dann die drei Beobachtungsgleichungen\np = yj(ao) \u2014 y (Z0 \u2014 D), j\nz=ip(Z0-D)-yj(Zu-D),\\...................(63)\nn = ip(Zu \u2014 D) \u2014 xfj (\u2014 oo) , j\nwo die Gr\u00f6\u00dfen Z0 und Zu die Endpunkte der \u00bbZwischenstrecke\u00ab bestimmen und xp von dem Beobachtungsmodus abh\u00e4ngt, der die bei der Auffassung von D begangenen Fehler beherrscht. Bei der Bildung der Gleichungen (63) wird stillschweigend vorausgesetzt, dass innerhalb der Versuchsreihe der B.-M. und die Zwischenstrecke constant oder doch nur kleinen Schwankungen zuf\u00e4lliger Art um","page":46},{"file":"p0047.txt","language":"de","ocr_de":"lieber die Ausgleichung statistischer Z\u00e4hlungen in der Psychophysik.\n47\nbestimmte Mittel herum unterworfen seien. Diese Annahme l\u00e4sst sich nicht im voraus rechtfertigen, sondern nur nachtr\u00e4glich, und zwar dadurch, dass sie sich als brauchbar erweist, um die beobachteten Zahlen zusammenfassend darzustellen.\nDie als erste Approximation am n\u00e4chsten liegende Annahme, dass der B.-M. analytisch durch das Gau\u00dfsche Fehlergesetz bestimmt sei, f\u00fchrt zu der Gleichung\nX\ntp [x) = <D [hx]\n\u2014 (f)-\nw ,\t0[x)\n\n| dy exp (\u2014 if\n0\nwo O die bekannte Transcendente, h das Pr\u00e4cisionsma\u00df und der reciproke Werth XI das \u00bbUnsicherheitsma\u00df\u00ab sind. Ob man h oder U benutzt, ist im Grunde gleichg\u00fcltig; f\u00fcr die Endresultate hat jedoch U den Vortheil, dass es eine Reizgr\u00f6\u00dfe, also direct vorstellbar ist, w\u00e4hrend der reciproke Werth einer Reizgr\u00f6\u00dfe immer nur die Bedeutung einer H\u00fclfsgr\u00f6\u00dfe f\u00fcr die Rechnung besitzt. Mit Einf\u00fchrung von \u00d6> erh\u00e4lt man\nDieses System enth\u00e4lt zun\u00e4chst drei Unbekannte, w\u00e4hrend nur zwei von einander unabh\u00e4ngige Bedingungen vorliegen. Setzt man\nZ0 \u2014 Z-> Zu = \u2014 ^ > ....................(65)\nso kann man Z und V bestimmen; ich habe jedoch bereits fr\u00fcher erw\u00e4hnt, dass es mit R\u00fccksicht auf einen etwaigen constanten Fehler nicht zweckm\u00e4\u00dfig ist, diese Bedingung von vornherein einzuf\u00fchren. Da das Gau\u00df\u2019sche Fehlergesetz fordert, dass die Fehler von constanten Bestandtheilen befreit seien, so sind die Argumente von \u00a9 m (64) vorher deswegen zu corrigiren. Bedarf das beobachtete D zur Befreiung von dem constanten Fehler der Correction + c, so l\u00e4uft dies auf dasselbe hinaus, als wenn man annimmt, dass die Beobachtung von dem constanten Fehler frei, dass aber","page":47},{"file":"p0048.txt","language":"de","ocr_de":"48\nH. Brims.\ndie zu beobachtende Gr\u00f6\u00dfe nicht D sondern D \u2014 c sei. Man h\u00e4tte also statt der Z in (64) Z-\\-c zu schreiben. Wir wollen jedoch diese Aenderung nicht vornehmen, sondern daf\u00fcr die Z als selbst\u00e4ndig zu bestimmende Unbekannte beibehalten. Wenn dann die Zwischenstrecke als symmetrisch zum Nullpunkt vorausgesetzt wird, so liefert der mit den errechneten Z gebildete Ausdruck\nI [Z0 + Zu)\nunmittelbar den Werth von c. In der Hegel wird die Annahme (65) n\u00fctzlich sein, um durch eine vorl\u00e4ufige Discussion der einzelnen Reihen sowohl angen\u00e4herte Werthe f\u00fcr die Z und U, als auch Anhaltspunkte f\u00fcr die zweckm\u00e4\u00dfige Zusammenfassung der Reihen zu Gruppen zu erhalten.\nWerden nun die Reihen gruppenweise zusammengefasst, so ist \u00fcber die etwaige Ver\u00e4nderung der Z und U von einer Reihe zur andern eine Festsetzung zu treffen. Treten innerhalb einer Gruppe nur kleine \u00c4nderungen von Rx und R2 auf, so wird man kein Bedenken tragen, als Ann\u00e4herung die Z und U constant anzunehmen. Setzt man dagegen, mit dem Vorbehalt der nachtr\u00e4glichen Rectification, das Web er\u2019sehe Gesetz als g\u00fcltig voraus, so wird man zun\u00e4chst als unbekannte, aber innerhalb der Gruppe constante Parameter die Gr\u00f6\u00dfen\nr __ffo r ____Zy,\n-\u00b0 ~ U \u2019 ~u ~~ U\nansetzen. Nimmt man ferner vorl\u00e4ufig an, dass die bei der Auffassung von Rx und R2 begangenen Fehler unabh\u00e4ngig von einander sind, und, ebenso wie D, dem Gau\u00df\u2019schen Gesetze folgen, so hat man, wenn Ux und U2 die entsprechenden Unsicherheitsma\u00dfe sind,\nUx = tRx, U2 = Ui2 ,\nTT1 = US + US = 'S {RS + KS),\nalso mit der Abk\u00fcrzung\n^___ 1\tJ-)' __ -P_______ _ Ry \u2014 R-2\n- = y \u2019\t\u201c VRS + RS ~ VRS+H# \u2019","page":48},{"file":"p0049.txt","language":"de","ocr_de":"49\nUeber die Ausgleichung statistischer Z\u00e4hlungen in der Psychophysik. P=k~{\u00aeito-yD'), z = i\u00ae (So \u2014 yV) \u2014 4\u00a9(\u00a3\u201e \u2014 yD'), w = i\u00ae(\u00a3\u00ab \u2014 yD') + |.\nBedeuten (/\u00bb), (2), (\u00ab), die mit den provisorischen Werthen der Unbekannten \u00e7, y berechneten rechten Seiten von (64), O' die Ableitung von O und bezeichnet man die gesuchten Verbesserungen durch das Symbol \u00f6, so erh\u00e4lt man mit den Abk\u00fcrzungen\n\u00b0o = \u00a9' (\u00a3> \u2014 yD'), \u00a9'\u201e = O' \u00c7\u00c7U \u2014 yD\u2019) die linearen Gleichungen\np \u2014 {p) = \u2014 i,Q0'.\u00f6t0\n+ \u00a5\u00a9</ D' . \u00e4y,\nz\u2014(z)=\t\\Q0> .\t.\u00f4^u + ^Ou\u2019-O0')D'.\u00f4y,\nn ~ (\u00bb) =\tW \u2022\t. dy.\n(66)\nDie Berechnung der Coefficient\u00ab! wird wesentlich erleichtert, wenn au\u00dfer einer bequemen Tafel f\u00fcr O noch ein T\u00e4felchen f\u00fcr\ni\u00a9' ix) = exp (\u2014 *2)\nK TT\nvorhanden ist, welches direct den gemeinen Logarithmus\nLog (^-(D [x)) \u2014 \u2014 4- Log 7t \u2014 x2 Log e\nmit dem Argument x liefert.\nZur Bildung der Fehlergleichung hat man Factoren\nin\n(66) noch die\nhinzuzuf\u00fcgen. Hieran schlie\u00dft sich dann die Bildung der Normalgleichungen, ihre Aufl\u00f6sung, sowie die Berechnung der \u00fcbrig bleibenden Widerspr\u00fcche und der Fehlergr\u00f6\u00dfen. Wenn die Werthe der V innerhalb einer Gruppe nur wenig von einander verschieden sind, so kann man unbedenklich einen gemeinsamen mittleren Werth ansetzen.\nDie Gleichungen (64) enthalten, wie hier nicht erst hervorzu-heben ist, den Ansatz f\u00fcr die Methode der \u00bbrichtigen und falschen\nWundt, Pliilos. Studien. IX.\t.","page":49},{"file":"p0050.txt","language":"de","ocr_de":"50\nH. Bruns.\nF\u00e4lle\u00ab. Die vieler\u00f6rterte Frage, wie man die \u00bbgleichen\u00ab F\u00e4lle auf die beiden anderen Urtlieilsklassen zu vertheilen habe, ist dabei offenbar von vornherein abgeschnitten. Die ganze Frage ist \u00fcbrigens lediglich dadurch entstanden, dass man von zwei m\u00f6glichen Wegen immer nur den einen und zwar den weniger zweckm\u00e4\u00dfigen eingeschlagen hat. Weil eine einzelne Versuchsreihe in den drei Gleichungen (64) drei Unbekannte, aber nur zwei unabh\u00e4ngige Bedingungen enth\u00e4lt, muss man die fehlende dritte Bedingung erg\u00e4nzen. Es ist aber durchaus nicht nothwendig, diese Erg\u00e4nzung, wie es bisher immer geschah, in der Weise vorzunehmen, dass man auf Grund irgend welcher Ueberlegungen eine dritte, von den Beobachtungen unabh\u00e4ngige Relation zwischen den drei Unbekannten aufstellt. Ja, noch mehr, diese Art der Erg\u00e4nzung ist nicht einmal vortheilhaft. Denn die drei Bedingungen, die man so f\u00fcr die einzelne Versuchsreihe erh\u00e4lt, sind immer streng erf\u00fcllbar, wie man auch die Zusatzbedingung und die Form der Function ip gew\u00e4hlt haben m\u00f6ge; die Pr\u00fcfung der gemachten Voraussetzungen fordert also stets noch die Heranziehung weiterer Versuchsreihen. Wenn man nun aber einmal hei solchen Untersuchungen eine ganze Gruppe von Versuchsreihen n\u00f6thig hat, so ist es das Nat\u00fcrliche, diese Reihen von Anfang zusammenzufassen und sich eben dadurch die fehlenden Bedingungen zu verschaffen. Man hat dabei keine anderen Voraussetzungen zu machen, als solche, welche man auch bei dem vorhin charakterisirten Verfahren unter allen Umst\u00e4nden, sei es zu Anfang, sei es am Schluss, machen muss. Was aber noch wesentlicher ist, die nach Gruppen zusammenfassende Behandlung tr\u00e4gt ihre Contr\u00f4le in sich; die Grundlage f\u00fcr die Pr\u00fcfung der Voraussetzungen sind die J und ihr Zusammenhang mit den Verbesserungen der Unbekannten, und diese St\u00fccke ergeben sich gerade in derjenigen Form, die f\u00fcr alle weiteren Er\u00f6rterungen die geschmeidigste ist. Will man fractioniren, so kann man das thun, aber wohlhemerkt mit den Gr\u00f6\u00dfen, die m\u00f6glichst unmittelbar von den Beobachtungen abh\u00e4ngen, n\u00e4mlich mit den Widerspr\u00fcchen der Ausgleichung und mit den Fehlergleichungen. Es ist nicht Zufall, auch nicht Willk\u00fcr der Rechner, sondern das Ergebniss einer bald hundertj\u00e4hrigen praktischen Erfahrung, wenn die Behandlung von Beobachtungen die kanonische Form angenommen hat, die man jetzt","page":50},{"file":"p0051.txt","language":"de","ocr_de":"Ueber die Ausgleichung statistischer Z\u00e4hlungen in der l\u2019sychophysik.\n51\nin den Vorschriften der A.-R. findet, und es ist eine selbstverst\u00e4ndliche wissenschaftliche Sparsamkeit, wenn das Lehrgeld, das die vorzugsweise rechnenden Wissenschaften gezahlt haben, anderswo nicht noch einmal ausgegeben wird.\nDie oben entwickelten Ausgleichungsvorschriften entsprechen dem Durchschnittstypus der statistischen Versuche in der Psycho-physik. Es k\u00f6nnen aber F\u00e4lle eintreten, wo eine Ab\u00e4nderung zweckm\u00e4\u00dfig wird. Denn die A.-R. ist kein Recept, dessen Vorschriften man immer nur rein mechanisch zu befolgen h\u00e4tte; gerade weil sie ein durchgebildetes Werkzeug zur Aufsuchung der relativ besten Resultate ist, nimmt sie unter Umst\u00e4nden das Nachdenken und das Urtheil des Rechners erst recht in Anspruch. Denkt man sich z. B. bei den Versuchen nur die jo-Urtheile gez\u00e4hlt, also die z- und w-Urtheile nicht unterschieden, so erh\u00e4lt man aus jeder Reihe nur die eine Gleichung\np - (p) = - $<B0' . \u00d4\u00c7,, + $<D0'D'. \u00f6y,\t.... (67)\nweil die andere Gleichung, welche f\u00fcr die beiden zusammengefassten Urtheilsklassen anzusetzen sein w\u00fcrde, aus (67) durch blo\u00dfe Vorzeichenumkehrung entsteht. Die Versuchsgruppe liefert dann ein System von Gleichungen der Form (67), die von einander unabh\u00e4ngig, also ohne weiteres nach dem gew\u00f6hnlichen Schema der Methode der kl. Qu. zu behandeln sind. Der \u2014 theoretische \u2014 m. F. einer Gleichung (67) ist dabei durch den Ausdruck\ngegeben. Macht man nun die Fiction, dass die Versuchsgruppe wiederholt worden sei und durch Zufall dieselben Zahlenwerthe f\u00fcr die p, z, n wie vorher ergeben habe, so kann man sich das zweite Mal nur die w-Urtheile gez\u00e4hlt und dem entsprechend die w-Glei-chungen f\u00fcr sich ausgeglichen denken. Man erh\u00e4lt dann f\u00fcr 'C0 und Qu je einen, f\u00fcr y dagegen zwei Werthe. Selbstverst\u00e4ndlich ist bei der weiteren Discussion die gemachte Fiction aufrecht zu erhalten, d. h. man hat die beiden Werthe von y als aus zwei verschiedenen Versuchsgruppen hervorgegangen zu behandeln. Diese partiellen Ausgleichungen ertheilen im allgemeinen den Unbekannten","page":51},{"file":"p0052.txt","language":"de","ocr_de":"52 H. Bruns. Ueber die Ausgleichung statistischer Z\u00e4hlungen in der Psychophysik.\nkleinere Gewichte \u2019) und stehen deshalb der fr\u00fcher entwickelten Ausgleichung in der Regel nach; gleichwohl kann es mitunter n\u00fctzlich sein, sie anzuwenden. Wenn z. B. in einer Versuchsreihe (n) sehr klein wird, ohne dass (p) und (z) dem andern Extrem Eins nahe kommen, so hat man diese Reihe aus den fr\u00fcher angegebenen Gr\u00fcnden bei der einheitlichen Ausgleichung fortzulassen, w\u00e4hrend sie bei einer partiellen Ausgleichung der ju-Urtheile noch benutzt werden kann. Da ferner bei diesen verschiedenen Ausgleichungsarten die beobachteten Zahlen mit verschiedenen Gewichten in die Rechnung eingehen, so ist damit unter Umst\u00e4nden ein Mittel gegeben, sich von gewissen Fehlern ein deutlicheres Bild zu machen.\nZum Schl\u00fcsse m\u00f6ge noch darauf hingewiesen werden, dass die A.-R., richtig gehandhabt, noch einen anderen Dienst zu leisten vermag, der oft genug eben so wichtig ist, wie die Ableitung der plausibelsten Resultate. Eine gr\u00f6\u00dfere Untersuchung zum Zwecke m\u00f6glichst sicherer Ma\u00dfbestimmungen wird man nicht auf\u2019s Gerathe-wohl, sondern nach einem bestimmten Programm ausf\u00fchren, das auf Grund fr\u00fcherer Erfahrungen oder vorl\u00e4ufiger, zu diesem besonderen Zweck unternommener Versuche entworfen ist. Man ist dann im Stande den Ansatz f\u00fcr die sp\u00e4tere Rechnung mit wenn auch nur rohen Zahlenwerthen aufzustellen und sich im voraus ein Bild von dem Gang der Rechnung zu entwerfen. Eine solche vorl\u00e4ufige oder, wenn man will, fingirte Discussion kann dazu dienen, Beobachtungen, die zur Sicherheit der Resultate nur wenig beitragen w\u00fcrden, von vornherein aus dem Programm zu streichen, anderen dagegen, die einen wesentlichen Einfluss haben, erh\u00f6hte Beachtung zuzu wenden.\nLeipzig, 12. M\u00e4rz 1893.\n1) Der Beweis hierf\u00fcr beruht auf einem Satze, der sich folgenderma\u00dfen aussprechen l\u00e4sst: wird durch irgend einen A.-M. eine bestimmte Unbekannte, und nur diese eine, ermittelt, so kann man dasselbe Resultat stets auch durch die Methode der kl. Qu. erhalten, vorausgesetzt, dass man statt der Gewichte, die den m. F. der Beobachtungen entsprechen, gewisse andere Zahlen \u2014 fingirte Gewichte \u2014 einf\u00fchrt, die unter Umst\u00e4nden auch negativ sein k\u00f6nnen.","page":52}],"identifier":"lit4224","issued":"1893","language":"de","pages":"1-52","startpages":"1","title":"Ueber die Ausgleichung statistischer Z\u00e4hlungen in der Psychophysik","type":"Journal Article","volume":"9"},"revision":0,"updated":"2022-01-31T12:28:31.370928+00:00"}