Open Access

JSON Export

{"created":"2022-01-31T12:29:26.904597+00:00","id":"lit4225","links":{},"metadata":{"alternative":"Philosophische Studien","contributors":[{"name":"Merkel, Julius","role":"author"}],"detailsRefDisplay":"Philosophische Studien 9: 53-65","fulltext":[{"file":"p0053.txt","language":"de","ocr_de":"Die Methode der mittleren Fehler, experimentell begr\u00fcndet durch Versuche aus dem Gebiete des Raummaises.\nVon\nDr. Julius Merkel\nin Zittau.\nIn meiner Abhandlung ') \u00fcber die theoretische und experimentelle Begr\u00fcndung der Fehlermethoden, die sich zun\u00e4chst nur mit der Methode der richtigen und falschen F\u00e4lle und ihren verschiedenartigen Anwendungen, sowie mit der Methode der Gleich-heits- und Ungleichheitsf\u00e4lle befasste, habe ich eine eingehendere Untersuchung der Methode der mittleren Fehler bereits angek\u00fcndigt. Mit R\u00fccksicht auf die Ergebnisse meiner neuesten Versuche und im Hinblick auf die Untersuchungen von Angell1 2) \u00fcber die Sch\u00e4tzung von Schallintensit\u00e4ten nach der Methode der mittleren Abstufungen m\u00f6chte ich zun\u00e4chst jene Abhandlung in zwei Punkten erg\u00e4nzen.\nZuv\u00f6rderst muss ich betonen, dass die Anwendbarkeit der N\u00e4herungsformeln des Abschnittes III2) in jedem Sinnesgebiete erst gepr\u00fcft werden muss. Soweit meine Erfahrung reicht, gen\u00fcgt in den F\u00e4llen, in welchen man die genauen Formeln nicht ben\u00f6thigt, auch die Benutzung des Werthes A = 1 statt der angegebenen N\u00e4herungsformel. Dies bezieht sich jedoch nur auf die Methode der mittleren Abstufungen, hinsichtlich der andern Methode habe ich noch keine Erfahrungen gesammelt. Dagegen sind die N\u00e4herungs-\n1)\tPhil. Stud. VII, S. 558\u2014629; VIII, S. 97\u2014137.\n2)\tPhil. Stud. VII, S. 613\u2014617.","page":53},{"file":"p0054.txt","language":"de","ocr_de":"54\nJulius Merkel.\nformeln bei den Methoden der richtigen und falschen F\u00e4lle und der Gleichheits- und Ungleichheitsf\u00e4lle \u00fcberall anwendbar.\nSodann m\u00f6chte ich noch auf folgende Erfahrung hinweisen. Die Methode der richtigen und falschen F\u00e4lle wurde von mir fr\u00fcher im Gebiete des Schallma\u00dfes zu vielfachen Bestimmungen des Gleichheitspunktes verwandt. Bei jenen Versuchen zeigte die Versuchstechnik noch gewisse M\u00e4ngel. Die einzelnen Schalle waren gewissen Schwankungen unterworfen, welche die Bildung der Urtheile richtig und falsch erleichterten. Aber auch damals war die geringste Verschiedenheit, die sich vielleicht nicht einmal auf die Intensit\u00e4t bezog, bestimmend f\u00fcr die Abgabe des Urtheils richtig oder falsch. Dieser Umstand veranlasste mich, die Pr\u00fcfung des Web ersehen Gesetzes auf Grund der Methode der richtigen und falschen F\u00e4lle sp\u00e4ter ganz fallen zu lassen und diese Methode nur zur Bestimmung des Gleichheitspunktes zu verwenden. Zur Pr\u00fcfung des Weber\u2019scheu Gesetzes benutzte ich die Methode der Gleichheits- und Ungleichheitsf\u00e4lle, deren Theorie ich1) vor f\u00fcnf Jahren bereits in ihren Grundz\u00fcgen entwickelt habe. Bei meinem gegenw\u00e4rtig zur Verwendung kommenden Apparat, welcher tadellose Schalle zu erzeugen gestattet, erwies sich bei normaler Aufmerksamkeit die Methode der richtigen und falschen F\u00e4lle \u00fcberhaupt als untauglich. Da ich jedoch wiederum die eventuelle Zunahme oder Abnahme der Schallst\u00e4rke mit der Fallh\u00f6he pr\u00fcfen wollte, musste ich ein anderes Verfahren zur Bestimmung der Gleichheitspunkte einschlagen. Ich benutzte auch hierzu die Methode der Gleichheits- und Ungleichheitsf\u00e4lle, bestimmte zum gesuchten Reiz R die ebenmerklich verschiedenen Reize R0 und Ru und berechnete R aus der Formel: R \u2014 VR0RU. Die dabei zu Grunde gelegte Annahme, die Reizst\u00e4rke wachse proportional der Fallh\u00f6he, wurde dabei sehr angen\u00e4hert als richtig erwiesen. Sollte \u00fcbrigens der nach den Angaben Wundt\u2019s construire Fallapparat des Leipziger Laboratoriums wesentlich besser sein als der meinige, so ist es sogar denkbar, dass die Methode der richtigen und falschen F\u00e4lle auch bei Bestimmung der mittleren Abstufung versagt, d. h., dass man mit Benutzung der Urtheile )>, =, < M (31 der mittlere Reiz) bei normaler Auf-\n1) Phil. Stud. IV, S. 257-261. Ausf\u00fchrl. Phil. Stud. VII, S. 606\u2014612.","page":54},{"file":"p0055.txt","language":"de","ocr_de":"Die Methode der mittleren Fehler etc.\n55\nmerksamkeit auf Fehlschl\u00e4ge ger\u00e4th. Vorausgesetzt wird dabei, dass die Versuche nur f\u00fcr eine Zeitlage ausgef\u00fchrt werden; durch den Wechsel der Zeitlage und die Anwendung der Methode der unvollst\u00e4ndigen Elimination constanter Fehler kann man den Fehlschl\u00e4gen leicht entgehen, nat\u00fcrlich auch bei Anwendung der Methode der richtigen und falschen F\u00e4lle zur Bestimmung des Gleichheitspunktes. Doch erheischt die Elimination des Zeitfehlers noch eine genauere Untersuchung. Sollten die oben genannten Fehlschl\u00e4ge wirklich eintreten, so m\u00fcsste man auch hier die Methode der Gleichheits- und Ungleichheitsf\u00e4lle anwenden und die obere und untere Grenze von M ermitteln. Bei Bestimmung der oberen Grenze h\u00e4tte man nur die Urtheile M und = M und bei Bestimmung der unteren Grenze nur die Urtheile <[ M und = M zuzulassen. Vereinzelt auftretende Urtheile \u2022< M im ersten und M im zweiten Falle w\u00fcrden zu den Gleichheits-urtheilen zu schlagen sein. Ich werde diese Methode und den Einfluss der Zeitfolge an anderer Stelle eingehender besprechen.\nIch wende mich nunmehr zur Methode der mittleren Fehler. Eine eingehende Untersuchung dieser Methode ist als ein dringendes Bed\u00fcrfniss zu bezeichnen, einerseits wegen ihrer hohen Bedeutung f\u00fcr die Psychophysik, anderseits weil die bis jetzt vorliegenden Versuche und zwar insonderheit gerade die in den letzten Jahren ver\u00f6ffentlichten nur einzelnen, nicht allen Forderungen einer strengen Theorie gerecht werden. Die vorliegende Untersuchung d\u00fcrfte voraussichtlich auch zum Verst\u00e4ndniss dessen beitragen, was in meiner Arbeit \u00fcber die vorhin erw\u00e4hnten Fehlermethoden noch einer eingehenderen Erkl\u00e4rung bedarf.\nMerkw\u00fcrdig ist es, dass die Methode der mittleren Fehler in der Psychophysik noch so wenig Verwendung gefunden hat, dass sie in einzelnen Gebieten \u00fcberhaupt v\u00f6llig unbeachtet geblieben ist. Dies erscheint um so auff\u00e4lliger, als gerade diese Methode einfach aus den Gebieten der Astronomie und Physik her\u00fcber genommen worden ist, d. h. aus Gebieten, in denen sie eine eingehende theoretische Begr\u00fcndung und vielfache praktische Anwendung gefunden hat. Ohne auf die Gr\u00fcnde dieser Thatsache jetzt n\u00e4her einzugehen, will ich zun\u00e4chst die Theorie dieser Methode entwickeln mit R\u00fccksicht auf ihre Anwendbarkeit im Gebiete der Psychophysik. Sodann","page":55},{"file":"p0056.txt","language":"de","ocr_de":"56\nJulius Merkel.\nwill ich die Methodik der Versuche n\u00e4her charakterisiren, wie sie die entwickelte Theorie erheischt. Schlie\u00dflich will ich die neueren Untersuchungen an diesem Ma\u00dfstabe pr\u00fcfen und an einer Reihe von eigenen Untersuchungen die Vorz\u00fcglichkeit dieser Methode nachzuweisen suchen.\nI. Theorie der Methode der mittleren Fehler.\nBei der Methode der mittleren Fehler wird vorausgesetzt, dass eine gesuchte Gr\u00f6\u00dfe x viele Male beobachtet worden sei. Die einzelnen Ergebnisse (xt, x2, xu..........xn) werden naturgem\u00e4\u00df mit\ngr\u00f6\u00dferen oder kleineren Fehlern behaftet sein. Der wahrscheinlichste Werth von x wird das arithmetische Mittel M der einzelnen Beobachtungen sein. Die Gr\u00f6\u00dfen Aj = M \u2014 xl} X2 = M \u2014 x2 . . . .\n. . . ln = M \u2014 x\u201e stellen dann die Abweichungen (Fehler) der beobachteten Werthe vom arithmetischen Mittel dar. Unter dem wahrscheinlichen Fehler versteht man dann diejenige Fehlergrenze, welche gleich h\u00e4ufig nicht erreicht als \u00fcberschritten wird. Als durchschnittlichen Fehler bezeichnet man das arithmetische Mittel aus allen Fehlern, d. h. also:\ny?__^1 +\t+ . \u25a0 . + ln __ jT]\tm\nJ\tn\tn\nDabei werden die Vorzeichen der Fehler au\u00dfer Acht gelassen. Der durchschnittliche Fehler wird gr\u00f6\u00dfer als F ausfallen, wenn kleinere Beobachtungsfehler \u00fcberwiegen, er wird gleich F sein, wenn die Beobachtungsfehler gleichm\u00e4\u00dfig wachsen ; er wird kleiner als F werden, wenn die gr\u00f6\u00dferen Beobachtungsfehler h\u00e4ufiger auftreten. Entsprechen aber die Ergebnisse einer Versuchsreihe den beiden letzten F\u00e4llen, so hat \u00fcberhaupt die Anwendung der Gau\u00df\u2019schen Theorie der Beobachtungsfehler keinen Sinn, dann gen\u00fcgt die Bestimmung von F und_/ in der oben angedeuteten Weise vollst\u00e4ndig. Namentlich dann, wenn die Fehler angen\u00e4hert regelm\u00e4\u00dfig wachsen, wie es so oft bei Beobachtungsreihen der Fall ist, welche nur aus einer geringen Zahl von Einzelversuchen bestehen, gen\u00fcgt es v\u00f6llig, den mit dem wahrscheinlichen Fehler \u00fcbereinstimmenden durchschnittlichen Fehler zu berechnen.","page":56},{"file":"p0057.txt","language":"de","ocr_de":"Die Methode der mittleren Fehler etc.\n57\nIm ersten Falle jedoch, in dem also kleinere Fehler h\u00e4ufiger auftreten als gr\u00f6\u00dfere, berechnet man den wahrscheinlichen und mittleren Fehler Fm der einzelnen Beobachtung auf Grund der Theorie der Beobachtungsfehler nach den Formeln:\nUm den wahrscheinlichen oder mittleren Fehler des arithmetischen\nMittels zu finden, muss man F bez. Fm mit \u2014L: multipliciren.\nVn\nDie Formel (II) gilt nur f\u00fcr einen sehr gro\u00dfen Werth von n; f\u00fcr kleinere Werthe von n liegt F innerhalb der Grenzen:\nf(l-il)<F<-F(t + il)\u2019 .................(IV|\nworin u \u2014 0,4769 ist. F\u00fcr n\u2014 10, 40, 100, 1000 lauten diese Grenz-werthe :\n0,85 _F<.F<1,15 F,\n0,925 F <_F< 1,075 F,\n0,95 F<F< 1,05 F,\n0,985 F\u2019<F\u2019< 1,015 F.\nIn der Regel wird man sich mit der Berechnung des mittleren Werthes von F auf Grund der Formel (II) begn\u00fcgen ; man muss nur im Auge behalten, dass die Abweichungen zwischen den berechneten Werthen und den etwa aus den Versuchen unmittelbar entnommenen Werthen um so gr\u00f6\u00dfer ausfallen werden, je kleiner n ist.\nIndessen ist die Berechnung der Summe der Quadrate der einzelnen Fehler bei gro\u00dfem n sehr zeitraubend. Man hat daher bequemere Formeln abgeleitet, in denen die Summe der Quadrate durch die einfache Summe der Abweichungen ersetzt ist. Gegen die von Gau\u00df aufgestellte Formel:\n0,8453 [l]\nVn [n \u2014 1)\nF =\n(V)","page":57},{"file":"p0058.txt","language":"de","ocr_de":"58\nJulius Merkel.\nerhebt Fechner1) das Bedenken, dass sie f\u00fcr den Fall n = 2 keinen richtigen Werth liefere. F\u00fcr n \u2014 2 m\u00fcssen die Abweichungen vom Mittel offenbar denselben Werth haben. F\u00fcr = l2\u2014 2 gibt Formel (II) den Werth 1,91, w\u00e4hrend Formel (V) den Werth 2,37 liefert. Offenbar sind hier beide Werthe falsch, denn in dem vorliegenden Falle ist die Hauptbedingung der Gau\u00df\u2019sehen Theorie nicht erf\u00fcllt, d. h. es treten nicht kleinere Fehler h\u00e4ufiger auf als gr\u00f6\u00dfere. Hier ist der wahrscheinliche wie auch der durchschnittliche bez. mittlere Fehler gleich 2.\nWenn sonach die Nothwendigkeit einer Corrector der Formel (V) gar nicht vorliegt, will ich doch die von Fechner abgeleitete Formel etwas genauer pr\u00fcfen. Sie lautet unter der Annahme n \u2014 3 :\nF_ 1,1955\t[/]\nV'2 n \u2014 1 \u2018 \u00bb\nund ist in dieser Form der Formel (V) auf keinen Fall vorzuziehen. Die genauere Form ist:\nF= 0,6745\nV\n3,14159\nin + 3,14159 \u2014 4\nn\nBeide Formeln beziehen sich auf den wahrscheinlichen Fehler des arithmetischen Mittels. Der letzten Formel lassen sich folgende Umformungen geben :\nP= 0.6,45 y-i!\u2122\u00bb \u2019\tr n \u2014 0.429\n[\u00c2]\n0,42921 ' ii\np= 0,8453 [/\u25a0]\nn yw^0^4292l '\nUm den wahrscheinlichen Fehler der einzelnen Beobachtung abzuleiten, muss man diesen Ausdruck mit Vn multipliciren. Man erh\u00e4lt :\np __\t0,8453 [A]_ /yj,\nVn [n \u2014 0,43)\nMan h\u00e4tte diese Formel, welche aus der von Fechner auf sehr umst\u00e4ndlichem Wege abgeleiteten durch blo\u00dfe Umformung erhalten\n1) Pogg. Ann. der Physik u. Chemie. Jubelband, S. 72 u. 73.","page":58},{"file":"p0059.txt","language":"de","ocr_de":"Die Methode der mittleren Fehler etc.\n59\nworden ist, mit R\u00fccksicht auf Formel (V) und in Anbetracht dessen, dass Formel (II) f\u00fcr ly \u2014 /.2 = 2 den Werth 1,91 gibt, aus der Gleichung:\nA'itt = 1,9.\nVn (n \u2014 y)\nableiten k\u00f6nnen, welche f\u00fcr y den Werth 0,43 liefert.\nDie Formeln (V) und (VI) unterscheiden sich nur durch die Ausdr\u00fccke n \u2014 1 und n \u2014 0,43 unter der Wurzel, und es ist ohne weiteres ersichtlich, dass sie bei leidlich gro\u00dfem n nur sehr wenig abweichende Werthe liefern m\u00fcssen. Im Hinblick auf die gr\u00f6\u00dferen Schwankungen bei psychophysischen Versuchen wird man ohne weiteres auf den Gedanken kommen, an Stelle des Werthes n \u2014 0,43 den Werth n zu setzen, wodurch man die einfachere Formel :\nF =\n0,8453 [A] n\nd. h. mit R\u00fccksicht auf (I):\nF \u2014 0,8453 /\t................(VII)\nerh\u00e4lt. Bezeichnet man den eben gefundenen Werth von F mit -4, so kann man die Formeln (V) und (VI) in folgender Weise schreiben:\nF =\n(V)\nF \u2014 A\nDie Wurzelgr\u00f6\u00dfen haben folgende Werthe:\n(VF)\nn =\t10\t20\t40\t100\ny \" = ' n \u2014 1\t1,054\t1,026\t1,013\t1,005\ny -\u00bb. = ' n\u20140.43\t1,022\t1,011\t1,005\t1,002\nMan kann sich hiernach bei 40 Versuchen bereits ohne jedes Bedenken der Formel (VII) bedienen. Der Factor j/^ ~ \u2014 in Formel (V') entspricht \u00fcbrigens der Correction wegen des endlichen n, f\u00fcr welche\nFechner1) den N\u00e4herungswerth\t\u2014- angibt. Diese Formel gibt\n1) Fechner, Itev. der Hauptp. d. Psyehophysik, S. 111.","page":59},{"file":"p0060.txt","language":"de","ocr_de":"60\nJulius Merkel,\nf\u00fcr n \u2014 10 den Werth 1,053, die \u00fcbrigen stimmen mit den obigen \u00fcberein.\nDie Formel (VII) l\u00e4sst sich auf folgende Weise streng ableiten.\nBekanntlich1) ist die Wahrscheinlichkeit daf\u00fcr, dass l ein Fehler zwischen o und \u00f6 sei :\nmd\nW = 4f = 4= f 'e~*dt = ^=\u00c7e-mmdl.\nN VvtJ\tVitJ\n\u00ab\t-\u00f6\nNach dem fr\u00fcheren bezeichnet f das Mittel aller Abweichungen l ohne R\u00fccksicht auf das Vorzeichen. Um daf\u00fcr einen Ausdruck zu gewinnen, muss man das Integral, anstatt es \u00fcber die Grenzen \u00f4 = \u2014 oo bis + oo auszudehnen, f\u00fcr die Grenzen 0 bis oo nehmen und verdoppeln, sowie unter dem Integralzeichen mit l multipli-ciren. Man erh\u00e4lt auf diese Weise :\nciC\n2m Cle~ncn%dl\nV*J\n\tdz\nSetzt man hierin: l2 3 = z, so wird l = Vz, dl \u2014 -^r = \u20147= und:\n21 2Vz\nAnderseits ist:\nDemnach wird:\nm V n\n<X)\nf\ne~m\\lz\nm\n1\nrrfiX' 71\tmV 7t\n= 2J-\nF=-\u00c7- s).\nm\ny = Q V7t oder : F = 0,8543 f.\nDiese Formel stimmt v\u00f6llig mit Formel (VII) \u00fcberein. Mit R\u00fccksicht auf die Beziehung:\n1)\tMeyer, Vorl. \u00fcber \"Wahrscheinlichkeitsrechnung, S. 250.\n2)\tSchl\u00f6milch, Aufg. zur Integralrechnung. S. 133, Aufg. 42.\n3)\tPhil. Stud. VII, S. 574.","page":60},{"file":"p0061.txt","language":"de","ocr_de":"Die Methode der mittleren Fehler etc.\n61\nFm = 1,4826 F oder: F= 0,6745 Fm ... . (VIII)\nerh\u00e4lt man:\nFm \u2014 1,2533 f .......................(IX)\nund schlie\u00dflich als Beziehung zwischen dem durchschnittlichen Fehler und dem Pr\u00e4cisionsma\u00df :\nm =\n0,5642\n~~T~\n(X)\nUm zu untersuchen, ob und wie weit die Abweichungen hei einer ausgef\u00fchrten Beobachtungsreihe dem Gesetze der zuf\u00e4lligen Fehler gen\u00fcgen, ob also die im Vorstehenden mitgetheilten Formeln Anwendung finden k\u00f6nnen, muss man sich folgender Formel >) bedienen:\ns\n?>-\nz = ^f \u25a0 x= \u00ae (c. y) \u00bb\t. . . (XI)\n0\nMan berechnet zun\u00e4chst den Werth F auf Grund einer der unter (V) bis (VII) mitgetheilten Formeln. Derselbe betrage, wie bei meinen Schallversuchen : F = 24,2. Alsdann berechnet man f\u00fcr die willk\u00fcrlich gew\u00e4hlten Werthe <5 = 10, 20, 30 . . . die Ausdr\u00fccke o f\u00fcr q = 0,4769. Das gibt:\nd = 10\t20\t30\t40\t50\t60\t70\t80\t90\t100\n\u00f4\nQ ~p = 0,197 0,394 0,591 0,788 0,985 1,182 1,380 1.577 1,774 1,971.\nDie Werthe o -p entsprechen den Werthen y in der Meyer\u2019schen Tabelle f\u00fcr das Integral:\nr\nO (y) = A f'e~*dt .\ny71 j\n0\nDie entsprechenden Werthe von <Z> sind:\n0,219 0,423 0,597 0,735 0,836 0,905 0,949 0,974 0,988 0,995.\n1) Phil. Stud. VII, S. 574.","page":61},{"file":"p0062.txt","language":"de","ocr_de":"62\nJulius Merkel.\nSind 100 Versuche angestellt worden, so hat man die vorstehenden Zahlen mit 100 zu multipliciren, und dann liegen zwischen 0 und\n10, 0 und 20, 0 und 30............., 0 und 100 folgende Fehler:\n21,9; 42,3; 59,7; 73,5: 83,6; 90,5; 94,9; 97,4 ; 98,8 ; 99,5. Durch Subtraction ergeben sich die Fehler zwischen 0 und 10, 10 und 20,\n20 und 30,......... 90 und 100, n\u00e4mlich: 21,9; 20,4; 17,4; 13,8;\n10,1; 6,9; 4,4; 2,5; 1,4; 0,7. F\u00fcr die n\u00e4mlichen Grenzen sind nunmehr in der Beobachtungsreihe die Fehler zu z\u00e4hlen und mit den oben berechneten zu vergleichen. Benutzen wir die genannten Fehler umgekehrt zur Berechnung von F. Wir nehmen f\u00fcr die Grenzwerthe die Mittelwerthe an, also 21,9 Fehler zu 5; 20,4 Fehler zu 15 u. s. w. und f\u00fcr die noch an 100 fehlenden 0,5 den Werth 105. Dann gibt Formel (II) [XX] \u2014 128 840 und F = 24,33. Ferner wird: [X] \u2014 2879 und mithin nach Formel (V): F= 24,46, nach Formel (VI) : F =24,39 und nach Formel (VII) : F= 34,34. Diese Werthe sind s\u00e4mmtlich etwas h\u00f6her als der Werth F\\ von welchem ausgegangen wurde (24,2). Diese Abweichung erkl\u00e4rt sich daraus, dass bei den Fehlergr\u00f6\u00dfen die Mittelwerthe zu Grunde gelegt wurden, w\u00e4hrend nach der Theorie etwas geringere Werthe gew\u00e4hlt werden m\u00fcssten. Die Abweichungen zwischen den verschiedenen Werthen sind indess ganz unbedeutend. Der Werth (VII) stimmt am besten mit dem Werthe der genauen Formel (II) \u00fcberein, die Abweichung betr\u00e4gt nur 0,04^\", ist also v\u00f6llig belanglos. Diese Ergebnisse sprechen unbedingt f\u00fcr Formel (VII), welche mit \u00fcberaus gro\u00dfer Genauigkeit die gr\u00f6\u00dfte Einfachheit verbindet.\nUm ein Beispiel f\u00fcr die Abweichungen zwischen den berechneten und beobachteten Werthen zu geben, w\u00e4hle ich die im Meyer, S. 253, abgedruckte Beobachtungsreihe von Bradley1), den Laplace \u00bbdas Muster eines Beobachters\u00ab nennt. Die Beobachtungen hatten den Zweck, die Differenz der Bectascension zwischen der Sonne und den Sternen Ata\u00efr und Procyon zu bestimmen, und ergaben folgende Werthe :\nF \u2014 0,2637\", n \u2014 470 .\n1) Berliner Astronom. Jahrbuch 1834. S. 274.","page":62},{"file":"p0063.txt","language":"de","ocr_de":"Die Methode der mittleren Fehler etc.\n63\nAnzahl der Fehler\nFehlergrenze:\tnach der Theorie\tnach d. Erfahrung\tDifferenz\n0,0\" bis 0,1\"\t95\t94\t+ 1\n0,1 \u00bb 0,2\t89\t88\t+ 1\n0,2 \u00bb 0,3\t78\t78\t0\n0,3 \u00bb 0,4\t64\t58\t+ 6\n0,4 \u00bb 0,5\t50\t51\t\u2014 1\n0,5 \u00bb 0,6\t36\t36\t0\n0,6 \u00bb 0,7\t24\t26\t_ 2\n0,7 \u00bb 0,8\t15\t14\t+ 1\n0,8 \u00bb 0,9\t9\t10\t\u2014 1\n0,9 \u00bb 1,0\t5\t7\t\u2014 2\n\u00fcber 1\"\t5\t8\t\u2014 3\nim Vorstehenden charakterisirte Pr\u00fcfungsmethode\t\t\tder G\u00fcltigkeit\nder Gau\u00df\u2019schen Theorie der Beobachtungsfehler ist jedoch ebenfalls ziemlich zeitraubend. Man kann indess auch hier auf k\u00fcrzerem Wege entscheiden, ob und in wie weit die gewonnenen Versuchszahlen dem Gau\u00df\u2019schen Fehlergesetz unterliegen.\nHat man den Werth Fm mittels der Formel (III) bestimmt, so muss bei der G\u00fcltigkeit der Gau\u00df\u2019schen Theorie die Formel (IX) erf\u00fcllt sein.\nSo ergibt sich f\u00fcr die fr\u00fcher berechneten Fehler aus dem Gebiete des Schallma\u00dfes Fm = 36,075, w\u00e4hrend 1,2533 f \u2014 36,082 ist. Diese Werthe stimmen in der That sehr gut \u00fcberein. Nimmt man dagegen an, in einer Beobachtungsreihe seien die Fehler 1, 2, 3, .... 100 begangen worden, so wird [2/t] = 340850, Fm \u2014 58,76, / ~ 50,5 und 1,2533 / = 63,29. In diesem Falle ist sonach Formel (IX) nicht erf\u00fcllt. Hier w\u00fcrde, wie schon aus dem fr\u00fcheren hervorgeht: Fm \u2014 F = f sein. Ergehen sich die Fehler: zweimal 1, viermal 2, sechsmal 3 u. s. w. bis zwanzigmal 10, so erh\u00e4lt man: [iU] = 6050, Fm = 7,45,/= 7, also: 1,2533/= 8,77. Auch hier stimmt die Formel (IX) nicht. Hier m\u00fcsste F^>f ausfallen. Benutzt man jedoch die Formeln (VII) und (VIII) zur Berechnung von -Fund Fm, so kann die aus diesen Forfneln abgeleitete Formel (IX) nicht zur Pr\u00fcfung der Gau\u00df\u2019schen Theorie verwandt werden. Man verf\u00e4hrt dann wie folgt:","page":63},{"file":"p0064.txt","language":"de","ocr_de":"64\nJulius Merkel.\n1.\tMan bestimme den Mittelwerth M aller beobachteten Werthe x.\n2.\tMan addire alle Werthe, welche gr\u00f6\u00dfer als M sind. Ist ihre Summe ff und ihre Zahl z, so wird :\n/ =\n2 (ff\u2014 sM) n\n(XII)\n3.\tMan ermittle F aus Formel (VII), die meist in der vereinfachten Form: F = 0,85/\u201c hinreichen wird.\n4.\tMan bilde die Ausdr\u00fccke M dz F. Dann m\u00fcssen innerhalb\nfl\nder Grenzen M + F und M\u2014F \u2014 Versuche liegen, wenn die\nGau\u00df\u2019sehe Theorie anwendbar sein soll. Von den mit den genannten Grenzen etwa \u00fcbereinstimmenden Werthen x sind nur die H\u00e4lfte in Anrechnung zu bringen.\nBei dem oben benutzten ersten Beispiele liegen zwischen 0 und 20: 42,3 Fehler, zwischen 20 und 30 dagegen 17,4 Fehler. Da F \u2014 24,3 ist, m\u00fcssen noch 1,74 . 4,3 = 7,5 Fehler hinzugef\u00fcgt werden. Man erh\u00e4lt demnach 49,8, d. h. nahezu 50. Im zweiten Falle ist F \u2014 42,7, bis dahin liegen nur 42 bis 43 Fehler, im letzten Falle endlich hat F den Werth 6, bis dahin liegen aber nur 36 Fehler.\nDa die Werthe F. Fm und m s\u00e4mmtlich in einfachen Beziehungen zu einander stehen, gen\u00fcgt die Ermittelung einer dieser Gr\u00f6\u00dfen.\nDas Kriterium f\u00fcr die G\u00fcltigkeit des Weber \u2019sehen Gesetzes besteht darin, dass:\n= const ...................(XIII)\nM\n\u25a0werden muss. Dabei ist jedoch vorausgesetzt, dass f\u00fcr jeden Normalreiz dieselbe Zahl von Beobachtungen vorliegt, da eine gr\u00f6\u00dfere Zahl von Beobachtungen unter Umst\u00e4nden einen genaueren Mittelwerth gibt, also der wahrscheinliche Fehler der einzelnen Beobachtung mit der Zahl der Versuche abnehmen kann. Dies ist vielfach au\u00dfer Acht gelassen worden.\nIst der Werth, um dessen Bestimmung es sich handelt, von vorn herein bekannt und etwa gleich N, so erh\u00e4lt man aus :\nC = M \u2014 N.....................(XIV)\nden dem Versuchsergebnisse anhaftenden constanten Fehler.","page":64},{"file":"p0065.txt","language":"de","ocr_de":"Die Methode der mittleren Fehler etc.\n65\nIst bei dem unter 4) genannten Kriterium f\u00fcr die G\u00fcltigkeit der Gau\u00df\u2019sehen Theorie die Zahl der innerhalb der angegebenen Grenzen gelegenen Werthe wesentlich gr\u00f6\u00dfer oder wesentlich\nkleiner als \u2014, so ist die Formel (VII) nicht brauchbar. Im ersteren\nFalle enthalten die Versuchsergebnisse einen kleineren wahrscheinlichen Fehler, im letzteren Falle einen gr\u00f6\u00dferen wahrscheinlichen Fehler, als ihn Formel (VII) ergibt.\n(Fortsetzung folgt im n\u00e4chsten Heft.)\nFun dt, Philos. Studien, IX.\n&","page":65}],"identifier":"lit4225","issued":"1893","language":"de","pages":"53-65","startpages":"53","title":"Die Methode der mittleren Fehler, experimentell begr\u00fcndet durch Versuche aus dem Gebiete des Raumma\u00dfes","type":"Journal Article","volume":"9"},"revision":0,"updated":"2022-01-31T12:29:26.904603+00:00"}