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{"created":"2022-01-31T12:37:27.374400+00:00","id":"lit4281","links":{},"metadata":{"alternative":"Philosophische Studien","contributors":[{"name":"Werner, Friedrich","role":"author"}],"detailsRefDisplay":"Philosophische Studien 15: 453-500","fulltext":[{"file":"p0453.txt","language":"de","ocr_de":"Beitr\u00e4ge zur Collectivmafslehre.\nVon\nFriedrich Werner.\nMit 6 Figuren im Text.\n1. Das Grau\u00df\u2019sehe Gesetz derYertheilung von Beobachtungsfehlern hat nach zwei Richtungen hin eine Erweiterung erfahren. Die Wahrscheinlichkeitsrechnung, die ja im Grunde eine H\u00e4ufigkeitslehre gleich m\u00f6glicher F\u00e4lle ist, hat von diesem Gesetz, das auch als das \u00bbeinfache Exponentialgesetz\u00ab bezeichnet wird, Gebrauch gemacht und hat es nicht nur auf die Vertheilung von Beobachtungsfehlern angewendet, sondern allgemein auf Erscheinungen, die f\u00fcr uns den Charakter des Zuf\u00e4lligen tragen. Die erste derartige Erweiterung des Anwendungsbereiches r\u00fchrt von Quetelet her. Wenn er auch nicht die Gau\u00df\u2019sehe Darstellung von Wahrscheinlichkeitscurven hei seinen Er\u00f6rterungen zu Grunde gelegt hat, sondern die aufgestellten Wahrscheinlichkeitscurven \u2014 oder hier besser Vertheilungscurven \u2014 mit H\u00fclfe von Binomialcoefficienten ausdr\u00fcckte, so sind doch seine Betrachtungen nichts anderes als eine erweiterte Anwendung des Gau\u00df\u2019sehen Fehlervertheilungsgesetzes. Das spricht sich insbesondere darin aus, dass Quetelet durchaus an dem arithmetischen Mittelwerthe einer Reihe von Messungen als dem wahrscheinlichsten Werthe festh\u00e4lt, seihst wenn die streng symmetrische Vertheilung in Bezug auf diesen Mittelwerth, die das Gau\u00df\u2019sehe Exponentialgesetz fordert, nicht mit der Erfahrung \u00fchereinstimmt.\nEine Uebersicht \u00fcber weitere Anwendungen des Exponential-gesetzes auf andere Gebiete als die Fehlertheorie hat neuerdings Ludwig gegeben.1) Erw\u00e4hnenswerth sind danach die Arbeiten von\n1) Schl\u00f6milch\u2019s Zeitschrift f\u00fcr Mathematik u. Physik (herausgegeben von Mehmke n. Cantor) Band 43, Heft 4, 5, Seite 230 ff.\nWundt, Philos. Studien. XV.\n31","page":453},{"file":"p0454.txt","language":"de","ocr_de":"454\nFriedrich Werner.\nGalton, welche sich an die von Quetelet anschlie\u00dfen und vielfach die Grundlage f\u00fcr die Untersuchungen gehen, die auf zoologischem und botanischem Gebiete von Verschaffelt, de Vries, Ludwig u.a. angestellt worden sind. Als zusammenfassendes Ergebniss der in einem ausf\u00fchrlichen Litteraturverzeichniss angegebenen Arbeiten bietet Ludwig eine Eintheilung der bisher aufgefundenen Typen von \u00bbVariationscurven\u00ab, und zwar gr\u00fcndet sich diese Eintheilung wesentlich auf die Abweichungen der einzelnen Variationscurven von der normalen Wahrscheinlichkeitscurve, wie sie in dem Gau\u00df\u2019schen Exponential-gesetz sich darstellt. Bei der Besprechung der Versuche, diese Variationscurven analytisch auf das einfache Exponentialgesetz zu reduciren, hebt allerdings Ludwig hervor, dass nur in vereinzelten F\u00e4llen diese analytische Reduction gelungen sei, es dagegen in weitaus den meisten F\u00e4llen noch an einer solchen fehle; und hier sei daher der Punkt, wo \u00bbder Fachmathematiker der Variationsstatistik h\u00fclfreiche Hand leisten m\u00fcsse\u00ab.\nIn diesen Worten findet das Bed\u00fcrfnis einer Erweiterung des einfachen Exponentialgesetzes nach der formalen Seite hin seinen Ausdruck. Schon in der Theorie der Beobachtungsfehler, die ja den Anlass zur Formulirung des Exponentialgesetzes gegeben hatte, war von Bessel nachgewiesen worden, dass die G\u00fcltigkeit desselben keine unbeschr\u00e4nkte sei. Mit der Ausdehnung des Anwendungsbereiches musste die Nothwendigkeit einer formalen Erweiterung des Gau\u00dfschen Gesetzes sich noch f\u00fchlbarer machen, vorausgesetzt, dass man eine analytische Darstellung des der Erfahrung entnommenen Materiales \u00fcberhaupt noch erstrebte und sich nicht damit begn\u00fcgen wollte, die Variations- oder Vertheilungscurve mit denselben absoluten Zahlen darzustellen, wie die Erfahrung und die einfache Abz\u00e4hlung und Ordnung sie ergeben hatten.\n2. Ludwig h\u00e4tte seinen Bericht \u00fcber die Beziehungen zwischen der \u00bbVariabilit\u00e4t der Lebewesen\u00ab und dem \u00bbGau\u00df\u2019schen Fehlergesetz\u00ab mit mehr positiven Ergebnissen beschlie\u00dfen k\u00f6nnen, wenn die \u00bbOollectivma\u00dflehre\u00ab Fechner\u2019s fr\u00fcher erschienen w\u00e4re. Dieses Werk w\u00fcrde in dem erw\u00e4hnten Litteraturverzeichniss zwar die letzte, nichtsdestoweniger aber die bedeutsamste Stelle eingenommen haben, da F echner den Gegenstand von allgemeineren Gesichtspunkten aufgefasst hat, als sie bisher geltend gemacht worden sind, und zudem","page":454},{"file":"p0455.txt","language":"de","ocr_de":"Beitr\u00e4ge zur Coilectivma\u00dflehre.\n455\nauch in formaler Hinsicht eine Erweiterung bringt. Eine eingehende W\u00fcrdigung der Arbeit Fechner\u2019s bietet der Bericht, den der Herausgeber des Werkes, G. E. Lipps, in Wundt\u2019s Philosophischen Studien1) gegeben hat, sowie die Abhandlung von Bruns \u00bbZur Coilectivma\u00dflehre\u00ab, die ebendaselbst2), erschienen ist.\nEs sei erlaubt, hier kurz zu wiederholen, worin Bruns das Verdienst der \u00bbCoilectivma\u00dflehre\u00ab erblickt. Die rein mathematischen Theile der Wahrscheinlichkeitsrechnung sind nur eine Lehre von der relativen H\u00e4ufigkeit gleich m\u00f6glicher F\u00e4lle, und die daselbst betrachteten theoretischen H\u00e4ufigkeitscurven beruhen auf der gleichm\u00e4\u00dfigen Ersch\u00f6pfung einer gegebenen Gesammtheit gleich m\u00f6glicher F\u00e4lle. Diese gleichm\u00e4\u00dfige Ersch\u00f6pfung ist nur logisch ausf\u00fchrbar, und die Anwendungen der Wahrscheinlichkeitsrechnung sind daher an die Bedingung gekn\u00fcpft, dass Dinge existiren, die wenigstens n\u00e4herungsweise die \u00bbzuf\u00e4lligen\u00ab Ereignisse und die theoretischen H\u00e4ufigkeitscurven der Wahrscheinlichkeitsrechnung verwirklichen. Der Nachweis, dass diese Bedingung erf\u00fcllt sei, bleibt nothwendig Gegen- -stand der Erfahrung, und Fechner hat es zuerst unternommen, diesen Nachweis in systematischer Weise zu f\u00fchren. Weiterhin stellt sich als Ergebniss dar, dass die von Fechner untersuchten H\u00e4ufigkeitscurven einem bestimmten Typus angeh\u00f6ren, und zwar dem Typus des \u00bbzweiseitigen Gau\u00df\u2019sehen Gesetzes\u00ab, welches gestattet, den Verlauf der H\u00e4ufigkeitscurve darzustellen, auch wenn er nicht symmetrisch ist in Bezug auf den arithmetischen Mittelwerth der Ma\u00dfe des betreffenden \u00bbOollectivgegenstandes\u00ab, welchen Namen Fechner f\u00fcr die der Untersuchung zu Grunde hegenden Vielheiten aus den verschiedensten Gebieten der Statistik einf\u00fchrt.\nBruns zeigt jedoch in der erw\u00e4hnten Abhandlung, dass das Verfahren Fechner\u2019s nach der rechnerischen, also formalen Seite hin einer Verbesserung f\u00e4hig sei, und dass auch die Begriffsbestimmung eines Oollectivgegenstandes noch eine andere, weitergehende Fassung zulasse. Ein Oollectivgegenstand ist nach Fechner ein Gegenstand, \u00bbder aus unbestimmt vielen, nach Zufall variirenden Exemplaren besteht, die durch einen Art- oder Gattungsbegriff zusammengehalten werden\u00ab. Bruns definirt einen Oollectivgegenstand als \u00bbeine Vielheit\n1) Band XIII; S. 579 ff.\n2) Band XIV; S. 339 ff.\n31*","page":455},{"file":"p0456.txt","language":"de","ocr_de":"456\nFriedrich Werner.\nyon gleichartigen Dingen, die nach einem ver\u00e4nderlichen Merkmal statistisch geordnet werden kann\u00ab. Das ver\u00e4nderliche Merkmal, nach welchem geordnet wird, ist als Argument des Collectivgegenstandes bezeichnet. L\u00e4sst man nun die von Fechner heihehaltenen Einschr\u00e4nkungen fallen, dass die Werthe des Argumentes eine stetige Mannigfaltigkeit bilden sollen, und dass das ver\u00e4nderliche Merkmal von einem Gliede des Collectivgegenstandes zum n\u00e4chsten \u00bbnach Zufall\u00ab variire, so erweitert sich das Gebiet, aus dem die Collectiv-ma\u00dflehre ihr Untersuchungsmaterial entnehmen kann, ganz betr\u00e4chtlich. Bei den \u00bbunstetigen\u00ab Collectivgegenst\u00e4nden sind dann die m\u00f6glichen Werthe des Argumentes auf ein System discreter Werthe beschr\u00e4nkt, so z. B. wenn man Zeilen gleichm\u00e4\u00dfigen Druckes daraufhin durchz\u00e4hlt, wie oft in jeder Zeile ein bestimmter Buchstabe auftritt, und nun die Zahlen 0, 1, 2, u. s. w. als Argumente des auf diese Weise construirten Collectivgegenstandes auf fasst. Ja, wie hier schon vorgreifend bemerkt sein mag, das Material, welches diese unstetigen Collectivgegenst\u00e4nde liefern, hat nicht nur den Vorzug, mit verh\u00e4ltniss-m\u00e4\u00dfig geringer M\u00fche beschafft werden zu k\u00f6nnen, sondern es entspricht oft in h\u00f6herem Grade den Anforderungen der Gleichartigkeit als dasjenige, welches Fechner durch m\u00fchevolle Messungen sich herstellen musste.\nHierauf werden wir im Verlaufe dieser Er\u00f6rterungen noch zur\u00fcckkommen, zun\u00e4chst aber ist auf das rechnerische Verfahren, welches Bruns vorschl\u00e4gt, einzugehen. Bereits in einer Note in den Astronomischen Nachrichten ') hat Bruns gezeigt, dass es m\u00f6glich sei, die bei der Untersuchung von Collectivgegenst\u00e4nden beobachteten Curven in einer die Beobachtung ersch\u00f6pfenden Weise darzustellen durch eine endliche, aber im voraus nicht feststehende Anzahl von Gliedern einer gewissen Reihenentwicklung. Der Anschluss zwischen Beobachtung und Rechnung wird dabei bewirkt durch die passende Bestimmung einer Anzahl von verf\u00fcgbaren Constanten oder \u00bbParametern\u00ab. Die Abhandlung \u00bbZur Collectivma\u00dflehre\u00ab bringt eine speciellere Auseinandersetzung, und es wird an dieser Stelle nur n\u00f6thig sein, auf die daselbst abgeleiteten Resultate hinzuweisen mit dem Bemerken,\n1) Ueber die Darstellung von Fehlergesetzen. Astronomische Nachrichten Band 143, Nr. 3429.","page":456},{"file":"p0457.txt","language":"de","ocr_de":"Beitr\u00e4ge zur Collectivma\u00dflehre.\t457\ndass die weiterhin angef\u00fchrten Gleichungsnummern sich auf diese Abhandlung ') beziehen.\n3. Ehe wir jedoch zu der ausf\u00fchrlichen Rechnung \u00fcbergehen, erscheint es angebracht, eine Uebersicht \u00fcber das zu behandelnde Material zu gehen.\nVon den Fechner\u2019schen Beispielen sind in Betracht gezogen worden :\nTafel I und II \u00fcber den Vertical- beziehentlich Horizontal-nmfang von 450 europ\u00e4ischen M\u00e4nnersch\u00e4deln in der Reductions-stufe i = 5 mm1 2).\nTafel m von 2047 Studentenrecrutenma\u00dfen in der Reductions-stufe i = 1 Zoll3).\nTafel IV der Ma\u00dfe des obersten Gliedes von 217 sechsgliedrigen Roggenhalmen in 2 Reductionsstufen, i = 2 cm, i \u2014 4 cm.4)\nDimensionen der Galleriegem\u00e4lde, und zwar erschienen von den bei Fechner angef\u00fchrten Tafeln5) wegen der unvollst\u00e4ndigen Angabe extremer Werthe am besten die ersten beiden Tafeln geeignet, die Tafeln f\u00fcr Genre (h > b), weil die daselbst unter der Bezeichnung \u00bbRest\u00ab angef\u00fchrten Werthe der Gr\u00f6\u00dfen z dem Werthe m \u2014 2z gegen\u00fcber nicht so stark hervortreten wie hei den \u00fcbrigen Tafeln, die an dieser Stelle vereinigt sind. Wir wollen die ausgew\u00e4hlten Tafeln mit Vi und Vb bezeichnen.\nVon den meteorologischen Collectivgegenst\u00e4nden sind die Regenh\u00f6hen des Monates Januar f\u00fcr Genf nach der arithmetisch reducirten Vertheilungstafel6) als Beispiel VT gew\u00e4hlt werden.\nEs sind die ersten tausend Spalten des Thesaurus logarithmorum von Vega daraufhin durchgez\u00e4hlt worden, wie oft in jeder Spalte eine Null in der zehnten D\u00e9cimale auf tritt. Herr Professor Bruns hat mir das Ergehniss zur weiteren rechnerischen Behandlung g\u00fctigst zur Verf\u00fcgung gestellt. Diese Tafel, die fortan durch \u00bbLzz\u00ab bezeichnet werden soll, sei hier mitgetheilt :\n1)\tPhilosophische Studien, Band XIV, S. 339 ff.\n2)\tPechner, Collectivma\u00dflehre, S. 121 u. 280.\n3)\tS. 129 u. 281.\n4)\tS. 131.\n5)\tS. 424.\n6)\tS. 345.","page":457},{"file":"p0458.txt","language":"de","ocr_de":"458\nFriedrich Werner.\nLn\na\tX\ta\tX\ta\t%\n0\t0\t5\t161\t10\t34\n1\t6\t6\t183\t11\t19\n2\t36\t7\t134\t12\t10\n3\t78\t8\t114\t13\t0\n4\t149\t9\t74\t14\t2\nund es bedeutet also\na :\t8\nx : 114\ndass unter den 1000 durchgesehenen Spalten 114 Spalten vorkamen, in denen die Null 8 mal in der letzten D\u00e9cimale auftrat.\nFerner verschaffte ich mir in gr\u00f6\u00dferer Zahl Beispiele, wie sie bereits Hagen in seiner Wahrscheinlichkeitsrechnung gebracht hat, wo er das Vorkommen des Buchstaben \u00bbe\u00ab in Zeilen gleichm\u00e4\u00dfigen Druckes dazu benutzt, das Grau\u00df\u2019sehe Fehlergesetz empirisch zu begr\u00fcnden. Ich w\u00e4hlte als Unterlage Kant\u2019s Naturgeschichte und Theorie des Himmels1) und z\u00e4hlte ab, wie oft die Buchstaben \u00bbe\u00ab, \u00bbnt, \u00bbr*, \u00bbs\u00ab, \u00bbL in 1000 Zeilen dieses Druckes vorkamen. Alle nicht vollen Zeilen, sowie diejenigen, welche gesperrten Druck enthielten, waren nat\u00fcrlich vorher gestrichen worden. Die in solcher Weise zusammengestellten Tafeln m\u00f6gen in der Folge durch die Bezeichnungen Be, Bn, Br, Bs, Bt hervorgehoben sein.\nBe\na\tX\ta\t%\ta\tX\n2\t1\t7\t132\t12\t62\n3\t3\t8\t184\t13\t15\n4\t4\t9\t187\t14\t6\n5\t37\t10\t177\t15\t1\n6\t68\t11\t122\t16\t1\n1) Ausgabe in Reclam\u2019s Universal-Bibliothek.","page":458},{"file":"p0459.txt","language":"de","ocr_de":"Beitr\u00e4ge zur Collectivma\u00dflehre.\n459\nBn\na\t%\ta\tZ\nn\t3\t6\t166\nl\t17\t7\t128\n2\t56\t8\t75\n8\t128\t9\t31\n4\t172\t10\t10\n5\t210\t11\t4\nBr\na\tZ\ta\tZ\n0\t32\t5\t116\n1\t108\t6\t54\n2\t223\t7\t4\n3\t249\t8\t3\n4\t210\t9\t1\nBs\na\t&\ta\tZ\n0\t37\t6\t48\n1\t127\t7\t19\n2\t223\t8\t2\n3\t234\t9\t0\n4\t185\t10\t1\n5\t124\t\t\nBt\na\t&\ta\tZ\n0\t56\t5\t55\n1\t208\t6\t23\n2\t294\t7\t3\n3\t244\t8\t3\n4\t114\t\t\nZu diesen Beispielen unstetiger Oollectivgegenst\u00e4nde kommen noch mehrere, die ich nach den Angaben von Ludwig theils dem Botanischen Centralblatt1), theils Hoffmanns Zeitschrift f\u00fcr mathematischen und naturwissenschaftlichen Unterricht2) entnommen habe. Es geh\u00f6ren dahin die Tafeln f\u00fcr das Vorkommen der Bandstrahlen hei Achillea pharmica (.R Ap), bei Centaurea Cyanus ill Ce), bei Chrysanthemum inodorum (R Ci), hei Chrysanthemum Leucanthemum [R CI), und zwar sind diese Tafeln so zu verstehen, dass die Zahl der Bandstrahlen oder Bandbl\u00fcthen in den einzelnen Bl\u00fcthenk\u00f6pfen dieser Compositen als Argument des Collectivgegenstandes betrachtet\nwird.\nRAp\na\t%\ta\t%\n6\t11\th\t451\n7\t82\t12\t391\n8\t731\t13\t305\n9\t550\t14\t19\n10\t546\t15\t4\n1) Jahrgang 1895.\n2) Jahrgang 1888.","page":459},{"file":"p0460.txt","language":"de","ocr_de":"460\nFriedrich Werner.\nR Ce\na = e, 7,\t8,\t9,\t10,\t11,\t12\n* = 6,\t36,\t210,\t149,\t82,\t14,\t3\nR Ci\na\t%\ta\t%\ta\t%\n10\t1\t18\t23\t26\t8\n11\t1\t19\t57\t27\t4\n12\t0\t20\t136\t28\t1\n13\t13\t21\t516\t29\t1\n14\t5\t22\t112\t30\tlo\n15\t13\t23\t46\t31\t4\n16\t15\t24\t19\t32\t2\n17\t14\t25\t9\t\t\nR Cl\na\t%\ta\t&\ta\t%\n8\t2\t18\t132\t28\t55\n9\t0\t19\t175\t29\t36\n10\t4\t20\t321\t30\t35\n11\t3\t21\t739\t31\t41\n12\t21\t22\t330\t32\t38\n13\t71\t23\t229\t33\t41\n14\t79\t24\t130\t34\t32\n15\t75\t25\t88\t35\t11\n16\t100\t26\t68\t36\t3\n17\t94\t27\t45\t37\t2\nWie aus den Bemerkungen zu diesen Tafeln zu ersehen war, resultiren die Abz\u00e4hlungen, die \u00fcber 3090, 500, 1000, 3000 Exemplare sich erstrecken, zuweilen aus mehreren Serien, und jede Serie geh\u00f6rt einem anderen Standorte an. Deshalb d\u00fcrften diese Beispiele an Werth der Tafel IV von Fechner nachstehen, denn Fechner hebt ausdr\u00fccklich hervor, dass die Abz\u00e4hlungen an Exemplaren von demselben Standort vorgenommen seien.\nZu derselben Categorie von Beispielen geh\u00f6ren endlich zwei","page":460},{"file":"p0461.txt","language":"de","ocr_de":"Beitr\u00e4ge zur Collectivma\u00dflehre.\n461\nTafeln, in denen als Argument die Zahl der Fiederpaare der Bl\u00e4tter bei Fraxinus excelsior [FFe) und bei Pirus aucuparia [FPa] gilt. An je 1000 Bl\u00e4ttern sind diese Abz\u00e4hlungen ausgef\u00fchrt worden.\nF Fe\na = 2,\t3,\t4,\t5,\t6,\t7\n* = 9,\t64,\t227,\t340,\t307,\t53\nFPa\na \u2014 3,\t4,\t5,\t6,\t7,\t8\n% \u2014 1,\t23,\t178,\t518,\t232,\t42\nNach einer Bemerkung von Ludwig hat Gralton nachgewiesen, dass die Vertheilung der menschlichen Begabungen dem Gr au \u00df\u2019sehen Gesetze folge, indem er sich \u00fcber die Abstufung der Pr\u00fcfungsnoten hei den Mathematikpr\u00fcfungen zu Cambridge eine Uehersicht hergestellt habe. Auch Adolph Wagner schl\u00e4gt, obschon weniger in der Voraussicht, die Vertheilung nach dem Exponentialgesetze dabei bew\u00e4hrt zu finden, eine Statistik der geistigen Leistungen von Schulkindern vor. *) Ich habe nach diesen Anregungen aus den mir zu Gebote stehenden Jahresberichten der Drei-K\u00f6nig-Schule zu Dresden die Ergebnisse der Pr\u00fcfungen von 190 Abiturienten in folgender Tafel zusammengestellt:\t,\nPr\nI\tIb\tHa\tII\tHb\tm>\tIH\na = 1,\t2,\t3,\t4,\t5,\t6,\t7\n% = 2,\t16,\t23,\t38,\t46,\t45,\t20\nSoweit man zugehen will, dass die Vertheilung von Pr\u00fcfungsnoten der Vertheilung der menschlichen Begabungen entspreche, best\u00e4tigt dieses Beispiel auch wohl die Behauptung Galton\u2019s, wenn man nur statt des einfachen Exponentialgesetzes die von Bruns gegebene Beihenentwicklung annimmt.\n4. An den zuletzt angef\u00fchrten unstetigen Oollectivgegenst\u00e4nden soll nun das vorgeschlagene Bechnungsverfahren zun\u00e4chst auseinandergesetzt werden.\nNach der Herstellung der Vertheilungstafel ist die Berechnung\n1) Die Gesetzm\u00e4\u00dfigkeit in den scheinbar willk\u00fcrlichen menschlichen Handlungen. Seite 59.","page":461},{"file":"p0462.txt","language":"de","ocr_de":"462\nFriedrich Werner.\nder Werthe der H\u00e4ufigkeitsfunction H[x) f\u00fcr die Wechselpunkte x auszuf\u00fchren, die in der Mitte zwischen den Werthen a des Argumentes hegen. Da es in der Reihenentwicklung (14) aber auf die Werthe von A0 ankommt, so werden wir uns, wie Bruns angibt, zweckm\u00e4\u00dfiger sogleich die Werthe 2 H[x)\u2014 1 verschaffen, indem wir den \u00ab-Gr\u00f6\u00dfen den Werth a \u2014 \u2014 oo vorlegen, schrittweise die Werthe % aufsummiren und aus den so gewonnenen Summen, welche die Werthe von y2 m [2 TI (x) \u2014 1] darstellen, durch Division mit 1/2 m die Werthe\n2 H(x) \u2014 1\nberechnen. Da die sp\u00e4terhin n\u00f6thigen Tabellen \u00fcber die Ableitungen der \u00a9-Function bis zu 4 Decimalen gebraucht werden sollen, so sind nat\u00fcrlich auch die Werthe von\n2 H{x) - 1\nstets nur 4-stellig zu rechnen.\nIm Fortgange der Rechnung haben wir die vorl\u00e4ufigen Werthe von D (x) und h zu bestimmen. Da die Zahl der Argumentwerthe a, ausgenommen hei den Tafeln RCi und R CI, \u00fcber 15 nicht hinausging, so sind diese Werthe von vornherein mit m\u00f6glichster Genauigkeit berechnet worden, denn auch die sp\u00e4tere Ausgleichung, die vorgenommen werden kann, um die genauen Werthe von c und h, beziehentlich s, zu erhalten und damit wirklich die ersten Coefficienten Ay und A2 in der Reihenentwicklung zum Verschwinden zu bringen, erfordert immerhin einige Zeit, wenn sie auch praktisch nicht den Umfang annimmt, wie es nach der allgemeinen Auseinandersetzung scheinen k\u00f6nnte, die Bruns in seiner Abhandlung gibt.1) Die daselbst eingef\u00fchrten H\u00fclfsgr\u00f6\u00dfen f und k sind echte Br\u00fcche von zumeist so geringem Betrage, dass ihre h\u00f6heren Potenzen hei vierstelliger Rechnung nicht mehr ber\u00fccksichtigt zu werden brauchen, und die H\u00fclfsgr\u00f6\u00dfe g wird selten stark von der Einheit abweichen.\nBei dem Beispiel, das die Endnullen der Logarithmen behandelt, Ln, fand sich:\nc = (iaz) : (2z) = 6,024\nund es ergab dann die Bestimmung von h aus der Gleichung 2A*[(5*(o \u2014 cf) : (2*)] = 1\n1) Wundt, Philosophische Studien, Bd. XIV, S. 364.","page":462},{"file":"p0463.txt","language":"de","ocr_de":"Beitr\u00e4ge zur Collectivma\u00dflehre.\n463\nden Werth h = 0,3179, w\u00e4hrend die vergleichsweise nach \u00ab(A \u2022 [(2*(a \u2014 c)) : (2*)3* = 1\nausgef\u00fchrte Bestimmung von h den Werth 0,3199 lieferte, sodass die letztere Art, da sie praktisch einen so geringen Unterschied von der theoretisch genaueren zeigt, f\u00fcr eine rasche Rechnung vortheilhafter ist. Da aber hei den unstetigen Oollectivgegenst\u00e4nden die Argumente a immer um die Einheit wachsen, so l\u00e4sst sich die Bildung der Quadrate [a\u2014e)2 vereinfachen, und es erschien daher angebracht, in allen F\u00e4llen h aus der Gleichung (30) zu bestimmen.\nAn die Bestimmung von c und h, beziehentlich s, schlie\u00dft sich die Auswahl der Wechselpunkte x, um nach\ny = h(X \u2014 C)\ndie Argumente y f\u00fcr die \u00a9-Function und ihre Ableitungen berechnen zu k\u00f6nnen. Da, wie schon erw\u00e4hnt, die Zahl der Argument-werthe a au\u00dfer in zwei F\u00e4llen \u00fcber 15 nicht hinausging, so w\u00e4ren die Gleichungen (28 b) f\u00fcr s\u00e4mmtliche Wechselpunkte x zu bilden gewesen. Mittels dieser Gleichungen (28b) h\u00e4tten sich dann, etwa durch das Mayer\u2019sche Ausgleichungsverfahren, die Werthe der unbekannten Coefficienten A, ..., Ae berechnen lassen, vorausgesetzt, dass wir in der Reihenentwicklung bis zum sechsten Gliede gehen.\n5. Bei den vorliegenden Beispielen empfahl sich aber statt eines mehr oder minder willk\u00fcrlichen Ausgleichungsverfahrens die sogleich zu er\u00f6rternde directe Bestimmungsart der Coefficienten.\nNach den Gleichungen (14) und (15), sowie (28 a) sind die Coefficienten A lineare Verbindungen der Durchschnitte D(y), D(y2),.., D(z/6),.. und zwar haben f\u00fcr die sechs ersten Coefficienten die folgenden Werthe Geltung:\nA = \u2014 D(y)\nA2 =\tD(z/2) - |\nA3 = \u2014 I D(y*) + D(y)\n= \\D(yi) - D(z/2) + 1\nA5 = - j\\D(y5) + !Dfy*) - \\D(y)\nA = AW) -\t+ i-W) - A\nderart, dass die Coefficienten mit ungeradem Index von den Durchschnitten aus den ungeraden Potenzen der y, die mit geradem Index","page":463},{"file":"p0464.txt","language":"de","ocr_de":"464\nFriedrich Werner.\nvon den Durchschnitten aus den geraden Potenzen abh\u00e4ngen. Dabei ist zu bedenken, dass in den Gleichungen (28 a) das Argument y der Gr\u00f6\u00dfen D[R(y)n] und D(y), D(y2), u. s. w. eine andre Bedeutung bat als das Argument y in den Werth en 0(y), 0{y)u <I> (y) 2, u. s. w. Wenn wir die Gleichung (27) ber\u00fccksichtigen, so ist offenbar als Argument der Durchschnittsgr\u00f6\u00dfen zu nehmen\ny = h(a \u2014 c) ,\nwo a jedesmal der dem zugeh\u00f6rigen Wechselpunkt x voraufgehende Werth des Argumentes des Collectivgegenstandes ist. Zur directen Bestimmung der Coefficienten Al bis A6) oder vielmehr der A:, bis A;, da ja At = A2 \u2014 0 sein soll, war es also n\u00f6thig, f\u00fcr jedes der betreffenden Beispiele die Durchschnitte\nB[h (a \u2014 c) ] = [2zh [a \u2014 c) ] : [2 z] ,\nD[h2(a \u2014 e)2] = [2zh*[a \u2014 c)2] : [2z],\nD[h3[a \u2014 c)3] = [2zh3[a \u2014 e)3] : [2z\\ ,\nzu bilden. Nat\u00fcrlich ist dabei von Yortheil, wenn die Werte c und h so genau als m\u00f6glich bestimmt worden sind. Dann wird sich das Resultat\n[2zh (a \u2014 c) ] : [2z] = 0\n[2zh2(a \u2014 c)2] : [2z] \u2014 + 0,5\nheraussteilen m\u00fcssen. Die etwaigen Abweichungen hiervon geben einen Ma\u00dfstab daf\u00fcr, wie weit die fr\u00fcher ausgef\u00fchrte Bestimmung von c und h den Anforderungen der Theorie entspricht, und man wh\u2019d daher, ehe man zur Bildung der Durchschnitte aus den dritten und h\u00f6heren Potenzen schreitet, erst die obige Controllrechnung durchf\u00fchren, um eventuell die Werthe c und h verbessern zu k\u00f6nnen. Dies empfiehlt sich umsomehr, als bei den Durchschnitten aus den 5 ten und 6 ten Potenzen die extremen Werthe eines Collectivgegenstandes sich unter Umst\u00e4nden unverh\u00e4ltnissm\u00e4\u00dfig stark bemerkbar machen, so dass man bei sonst genauer vierstelliger Rechnung doch f\u00fcr die letzten Coefficienten auf die Sicherheit der 4 ten und manchmal auch der 3 ten Decimalstelle verzichten muss. Wenn demgegen\u00fcber die linearen Verbindungen der Durchschnittswerthe der i\u00fc-Gr\u00f6\u00dfen so beschaffen sind, dass D(yb) und D(ye) mit wesentlich geringeren Betr\u00e4gen in die A-Gr\u00f6\u00dfen eingehen, als die Werthe B {yl), Z%3),","page":464},{"file":"p0465.txt","language":"de","ocr_de":"Beitr\u00e4ge zur Colleetivma\u00dflehre.\n465\nD(yi), so kann dieser g\u00fcnstige Umstand doch die mit der Bildung h\u00f6herer Potenzen nothwendigerweise verbundene Ungenauigkeit nicht v\u00f6llig aufheben. Man wird daher in den Coefficienten As und \u00c46 die letzte D\u00e9cimale als mehr oder minder unsicher betrachten. Der Werth 2% = m sinkt in allen Beispielen nicht unter 100, und ich habe deshalb f\u00fcr die Werthe 2zh(a \u2014 c), 2zh2(a \u2014 c)2, u. s. w. dreistellige Rechnung als vollst\u00e4ndig ausreichend angesehen. In mehreren F\u00e4llen lieferte zwar die angegebene Controllrechnung f\u00fcr die Werthe At und A2 nicht den genauen Werth 0,0000, aber die Unterschiede beschr\u00e4nkten sich auf wenige Einheiten der 4 ten D\u00e9cimale, so dass bei Abrundung auf 3 Decimalen allein f\u00fcr die Tafeln Bs, Br, Bn und f\u00fcr die Tafel RAp die Werthe A2 \u2014 \u00b1 0,001 sich ergehen w\u00fcrden. In einem einzigen Falle, hei der Tafel R Cc, machte sich wegen des nicht verschwindenden Werthes von A2 eine Correction der Gr\u00f6\u00dfe h n\u00f6thig.\nIn folgender Tabelle sind die Ergebnisse der Rechnung zusammengestellt:\n\tLn\tBe\tBn\tBr\tBs\tBt\nm\t1000\t1000\t1000\t1000\t1000\t1000\nG\t6,024\t8,865\t5,166\t3,106\t3,082\t2,442\nh\t0,318\t0,360\t0,365\t0,470\t0,441\t0,502\ns\t2,224\t1,963\t1,937\t1,506\tr* O co\t1,117\nA\u00df\t\u2014 0,0838\t+ 0,0078\t\u2014 0,0411\t\u2014 0,0533\t\u2014 0,0806\t\u2014 0,1427\nA4\t\u2014 0,0079\t\u2014 0,0033\t\u2014 0,0178\t\u2014 0,0116\t\u2014 0,0077\t+ 0,0424\n-4\t+ 0,0096\t\u2014 0,0051\t+ 0,0074\t\u2014 0,0045\t\u2014 0,0018\t\u2014 0,0037\nA\u00df\t+ 0,0056\t+ 0,0053\t-1- 0,0023\t+ 0,0107\t+ 0,0174\t+ 0,0116\n\tRAp\tRCe\tF Fe\tFPa\tPr\nm\t3090\t500\t1000\t1000\t190\ne\t9,981\t8,638\t5,031\t6,071\t4,71\nh\t0,402\t0,702\t0,680\t0,829\t0,478\ns\t1,758\t1,007\t1,040\t0,853\t1,478\nA3\t\u2014 0,0666\t\u2014 0,0875\t+ 0,0737\t+ 0,0525\t+ 0,0815\nA4\t\u2014 0,0786\t+ 0,0231\t\u2014 0,0243\t+ 0,0699\t\u2014 0,0548\nA5\t+ 0,0350\t+ 0,0197\t\u2014 0,0166\t+ 0,0390\t\u2014 0,0344\nA\u00df\t+ 0,0284\t+ 0,0001\t+ 0,0071\t\u2014 0,0053\t+ 0,0142","page":465},{"file":"p0466.txt","language":"de","ocr_de":"466\nFriedrich Werner.\nWenn man, wie es geschehen ist, die Coefficienten A in der Weise bestimmt, dass die ersten beiden nahezu verschwinden, so ist selbstverst\u00e4ndlich nicht mehr n\u00f6thig, in den Gleichungen (14) f\u00fcr die Argumente y = h[x \u2014 c) die s\u00e4mmtlichen sieben Werthreihen\n<%)>\t\u00ae{y) 1,\t\u00ae{y)2:2,......., \u00f6>(y)6: 32\nzu bilden. Wir k\u00f6nnen vielmehr die Werthreihen \u00d6>(\u00ab/)i und O(?/)2: 2 auslassen, da wir sicher sein d\u00fcrfen, dass die Bestandtheile A!\u00a9(?/), und A2d>(y)2 : 2 auf den rechten Seiten der Gleichungen (28 b) nur ganz geringe Beitr\u00e4ge liefern k\u00f6nnen, zumal nach Ausweis der Tafeln \u00ae [y)i : 2 h\u00f6chstens den Werth \u00b1 0,4839 erreicht.\nDiese etwaigen Beitr\u00e4ge bleiben immer noch zur\u00fcck gegen die Widerspr\u00fcche, die sich endlich bei der Vergleichung der linken Seiten Xa mit den rechten Seiten\nA3 + Ax A4 + ASXS -j- AfiXn\nals \u00bbunausgeglichene Zuf\u00e4lligkeiten\u00ab herausstellen. Der Gang dieser Widerspr\u00fcche\nW=X\u00fc-Sr,\nder f\u00fcr die einzelnen Beispiele in folgenden Tabellen dargestellt wird, ist ma\u00dfgebend daf\u00fcr, oh es m\u00f6glich ist, mit der Bruns \u2019sehen Reihenentwicklung eine der Erfahrung m\u00f6glichst entsprechende Darstellung der Vertheilungsgesetze von Collectivgegenst\u00e4nden zu geben.","page":466},{"file":"p0467.txt","language":"de","ocr_de":"Beitr\u00e4ge zur Collectivma\u00dflehre.\t467\nLn\na\t%\tX\tXo\tsr\tW\t\u25a0Jm W\n0\t0\t0,5\t\u2014 0,0130\t\u2014 0,0130\t0,0000\t0\n1\t6\t1,5\t\u2014 0,0299\t\u2014 0,0241\t\u2014 0,0058\t\u2014 3\n2\t36\t2,5\t\u2014 0,0290\t\u2014 0,0220\t\u2014 0,0070\t\u2014 4\n3\t78\t3,5\t\u2014 0,0163\t\u2014 0,0058\t\u2014 0,0105\t\u2014 5\n4\t149\t4,5\t+ 0,0449\t+ 0,0417\t+ 0,0032\t+ 2\n5\t161\t5,5\t+ 0,0463\t+ 0,0564\t\u2014 0,0101\t\u2014 5\n6\t183\t6,5\t+ 0,0565\t+ 0,0457\t+ 0,0108\t+ 5\n7\t134\t7,5\t+ 0,0008\t+ 0,0248\t\u2014 0,0240\t\u2014 12\n8\t114\t8,5\t\u2014 0,0125\t\u2014 0,0166\t+ 0,0039\t+ 2\n9\t74\t9,5\t\u2014 0,0120\t\u2014 0,0236\t+ 0,0116\t+ 6\n10\t34\t10,5\t\u2014 0,0179\t\u2014 0,0171\t\u2014 0,0008\t0\n11\t19\t11,5\t\u2014 0,0102\t\u2014 0,0088\t\u2014 0,0014\t\u2014 1\n12\t10\t12,5\t\u2014 0,0004\t\u2014 0,0036\t+ 0,0032\t+ 2\n13\t0\t13,5\t\u2014 0,0032\t\u2014 0,0012\t\u2014 0,0020\t\u2014 1\n14\t2\t14,5\t+ 0,0001\t\u2014 0,0004\t+ 0,0005\t0\nDie graphische Darstellung des Verlaufes dieser Vertheilungstafel ist ebenso wie die einiger anderer typischer Tafeln, die weiterhin folgen, so zu verstehen, dass der ausgezogene Linienzug die beobachteten Ourvenpunkte verbindet, der durch die Punktirung hervorgehobene Linienzug aber die mit H\u00fclfe der Bruns\u2019schen Reihen-","page":467},{"file":"p0468.txt","language":"de","ocr_de":"468\nFriedrich Werner.\nentwicklung theoretisch berechneten Curvenpunkte. Der Ma\u00df stab f\u00fcr die als Ordinaten zn jeder Abscisse x geh\u00f6rigen Werthe % ist f\u00fcr jede Figur beigegeben und l\u00e4sst erkennen, in welcher Weise das Ver-h\u00e4ltniss zwischen den x und % in den einzelnen F\u00e4llen gew\u00e4hlt worden ist.\nBe\na\t%\tX\t-Xd\tSr\tW\t\\mW\n2\t1\t2,5\t+ 0,0008\t0,0000\t+ 0,0008\t0\n3\t3\t3,5\t+ 0,0017\t\u2014 0,0005\t+ 0,0022\t+ 1\n4\t4\t4,5\t\u2014 0,0103\t\u2014 0,0008\t\u2014 0,0095\t\u2014 5\n5\t37\t5,5\t+ 0,0033\t+ 0,0013\t+ 0,0020\t+ 1\n6\t68\t6,5\t\u2014 0,0026\t+ 0,0058\t\u2014 0,0084\t\u2014 4\n7\t132\t7,5\t+ 0,0028\t+ 0,0050\t\u2014 0,0022\t\u2014 1\n8\t184\t8,5\t+ 0,0053\t\u2014 0,0051\t+ 0,0104\t+ 5\n9\t187\t9,5\t\u2014 0,0216\t\u2014 0,0129\t\u2014 0,0087\t\u2014 4\n10\t177\t10,5\t\u2014 0,0088\t\u2014 0,0074\t\u2014 0,0014\t\u2014 1\n11\t122\t11,5\t+ 0,0098\t+ 0,0032\t+ 0,0066\t+ 3\n12\t62\t12,5\t+ 0,0202\t+ 0,0063\t+ 0,0139\t+ T\n13\t15\t13,5\t+ 0,0023\t+ 0,0032\t\u2014 0,0009\t0\n14\t6\t14,5\t+ 0,0001\t+ 0,0003\t\u2014 0,0002\t0\n15\t1\t15,5\t\u2014 0,0013\t\u2014 0,0004\t\u2014 0,0009\t0\n16\t1\t16,5\t+ 0,0001\t\u2014 0,0003\t+ 0,0004\t0\n30 i 20 | 10\nFig. 2.\n10.3","page":468},{"file":"p0469.txt","language":"de","ocr_de":"Beitr\u00e4ge zur Collectivma\u00dflehre.\t469\nBn\nX\t\u2022Xo\tSr\tw\t\\m W\n0,5\t\u2014 0,0100\t\u2014 0,0079\t\u2014 0,0021\t\u2014 1\n1,5\t\u2014 0,0185\t\u2014 0,0145\t\u2014 0,0040\t\u2014 2\n2,5\t\u2014 0,0168\t\u2014 0,0079\t\u2014 0,0089\t\u2014 4\n3,5\t+ 0,0182\t+ 0,0146\t+ 0,0036\t+ 2\n4,5\t+ 0,0210\t+ 0,0327\t\u2014 0,0117\t\u2014 6\n5,5\t+ 0,0360\t+ 0,0238\t+ 0,0122\t+ 6\n6,5\t+ 0,0040\t\u2014 0,0017\t+ 0,0057\t+ 3\n7,5\t\u2014 0,0117\t\u2014 0,0153\t+ 0,0036\t+ 2\n8,5\t\u2014 0,0048\t\u2014 0,0121\t+ 0,0073\t+ 4\n9,5\t\u2014 0,0027\t\u2014 0,0044\t+ 0,0017\t+ 1\n10,5\t\u2014 0,0021\t\u2014 0,0006\t\u2014 0,0015\t\u2014 1\n11,5\t+ 0,0011\t+ 0,0001\t+ 0,0010\tH\u201c 1\nBr\t\t\t\t\nX\tXi\tSr\tW\tfmW\n0,5\t\u2014 0,0193\t\u2014 0,0164\t\u2014 0,0029\t\u2014 1\n1,5\t\u2014 0,0057\t+ 0,0113\t\u2014 0,0056\t\u2014 3\n2,5\t+ 0,0389\t+ 0,0367\t+ 0,0022\t\u25a0 +1\n3,5\t+ 0,0174\t+ 0,0139\t+ 0,0035\t+ 2\n4,5\t\u2014 0,0018\t\u2014 0,0114\t+ 0,0096\t+ 5\n5,5\t\u2014 0,0125\t\u2014 0,0082\t\u2014 0,0043\t\u2014 2\n6,5\t+ 0,0081\t\u2014 0,0040\t+ 0,0121\t+ 6\n7,5\t\u2014 0,0045\t\u2014 0,0028\t\u2014 0,0017\t\u2014 1\n8,5\t\u2014 0,0017\t\u2014 0,0011\t\u2014 0,0006\t0\n9,5\t0,0000\t\u2014 0,0003\t+ 0,0003\t0\nBs\t\t\t\t\nX\tXo\tSr\tw\t\\m W\n0,5\t\u2014 0,0333\t\u2014 0,0248\t\u2014 0,0085\t\u2014 4\n1,5\t+ 0,0042\t+ 0,0183\t\u2014 0,0161\t\u2014 8\n2,5\t+ 0,0574\t+ 0,0552\t+ 0,0022\t+ 1\n3,5\t+ 0,0364\t+ 0,0248\t+ 0,0116\t+ 6\n4,5\t\u2014 0,0114\t\u2014 0,0135\t+ 0,0021\t+ 1\n5,5\t\u2014 0,0084\t\u2014 0,0148\t+ 0,0064\t+ 3\n6,5\t\u2014 0,0110\t\u2014 0,0081\t\u2014 0,0029\t\u2014 1\n7,5\t\u2014 0,0001\t\u2014 0,0053\t+ 0,0052\t+ 3\n8,5\t\u2014 0,0013\t\u2014 0,0026\t+ 0,0013\t+ i\n9,5\t\u2014 0,0019\t\u2014 0,0006\t\u2014 0,0013\t\u2014 i\n10,5\t0,0000\t\u2014 0,0001\t+ 0,0001\t0\nW un dt, Philos. Studien. XV.\t32","page":469},{"file":"p0470.txt","language":"de","ocr_de":"470\nFriedrich Werner.\nBt\na\t%\tX\tXo\tsr\tW\tW\n0\t56\t0,5\t\u2014 0,0559\t\u2014 0,0379\t\u2014 0,0180\t\u2014 9\n1\t208\t1,5\t+ 0,0244\t+ 0,0268\t\u2014 0,0024\t\u2014 1\n2\t294\t2,5\t+ 0,0832\t+ 0,0813\t+ 0,0019\t+ 1\n3\t244\t3,5\t+ 0,0566\t+ 0,0386\t+ 0,0180\t+ 9\n4\t114\t4,5\t\u2014 0,0240\t\u2014 0,0211\t\u2014 0,0029\t\u2014 1\n5\t55\t5,5\t\u2014 0,0281\t\u2014 0,0304\t+ 0,0023\t+ 1\n6\t23\t6,5\t\u2014 0,00S0\t\u2014 0,0143\t+ 0,0063\t+ 3\n7\t3\t7,5\t\u2014 0,0057\t\u2014 0,0035\t- 0,0022\t\u2014 1\n8\t3\t8,5\t0,0000\t\u2014 0,0004\t+ 0,0004\t0\nJ 00\nFig. 3.","page":470},{"file":"p0471.txt","language":"de","ocr_de":"Beitr\u00e4ge zur Collectivma\u00dflehrc.\nRAp\n471\nX\tX\u00ab\tSr\tW\tW\n6,5\t\u2014 0,0406\t\u2014 0,0447\t+ 0,0041\t+ 6\n7,5\t\u2014 0,0961\t\u2014 0,0180\t- 0,0781\t\u2014 121\n8,5\t+ 0,1338\t+ 0,0732\t+ 0,0606\t+ 94\n9,5\t+ 0,1051\t+ 0,1036\t+ 0,0015\t+ 2\n10,5\t+ 0,0106\t+ 0,0070\t+ 0,0036\t+ 6\n11,5\t\u2014 0,0778\t\u2014 0,0690\t\u2014 0,0088\t\u2014 14\n12,5\t\u2014 0,0603\t\u2014 0,0437\t\u2014 0,0166\t\u2014 26\n13,5\t+ 0,0304\t+ 0,0004\t+ 0,0300\t+ 46\n14,5\t+ 0,0076\t+ 0,0117\t\u2014 0,0041\t\u2014 6\n15,5\t+ 0,0017\t+ 0,0037\t\u2014 0,0020\t\u2014\t3\nR Cc\t\t\t\t\nX\tXo\tSr\tw\tW\n6,5\t\u2014 0,0098\t\u2014 0,0172\t+ 0,0074\t+ 2\n7,5\t\u2014 0,0905\t\u2014 0,0254\t\u2014 0,0651\t\u2014 16\n8,5\t+ 0,1170\t+ 0,0603\t+ 0,0567\t+ 14\n9,5\t\u2014 0,0040\t+ 0,0182\t\u2014 0,0222\t\u2014 6\n10,5\t\u2014 0,0199\t\u2014 0,0286\t+ 0,0087\t+ 2\n11,5\t\u2014 0,0075\t\u2014 0,0066\t\u2014 0,0009\t0\n12,5\t+ 0,0001\t\u2014 0,0002\t+ 0,0003\t0\nF Fe\t\t\t\t\nX\tX0\tSr\tW\t\u25a0j?\u00bb W\n2,5\t+ 0,0025\t+ 0,0047\t\u2014 0,0022\t\u2014 1\n3,5\t+ 0,0051\t+ 0,0276\t\u2014 0,0225\t\u2014 11\n4,5\t\u2014 0,0096\t\u2014 0,0133\t+ 0,0037\t+ 2\n5jD\t\u2014 0,0680\t\u2014 0,0522\t\u2014 0,0128\t\u2014 6\n6,5\t+ 0,0517\t+ 0,0193\t+ 0,0324\t+ 16\n7,5\t+ 0,0176\t+ 0,0167\t+ 0,0009\t0\nFPa\t\t\t\t\nX\tX0\t&r\tW\t\\mW\n3,5\t+ 0,0114\t+ 0,0115\t\u2014 0,0001\t0\n4,5\t\u2014 0,0056\t+ 0,0023\t\u2014 0,0079\t\u2014 4\n5,5\t\u2014 0,0873\t\u2014 0,0528\t\u2014 0,0345\t\u2014 17\n6,5\t+ 0,0671\t+ 0,0353\t+ 0,0318\t+ 16\n7,5\t+ 0,0100\t\u2014 0,0030\t+ 0,0130\t+ 6\n8.5\t+ 0,0044\t+ 0,0005\t+ 0,0039\t+ 2\n32*","page":471},{"file":"p0472.txt","language":"de","ocr_de":"472\nFriedrich Werner.\nPr\nX\tV)\tSr\tW\t\\mW\n1,5\t\u2014 0,0088\t+ 0,0055\t\u2014 0,0143\t\u2014 1\n2,5\t+ 0,0546\t+ 0,0406\t+ 0,0140\t+ 1\n3,5\t+ 0,0186\t+ 0,0373\t\u2014 0,0187\t\u2014 2\n4,5\t\u2014 0,0554\t\u2014 0,0575\t+ 0,0021\t0\n5,5\t\u2014 0,0914\t\u2014 0,0838\t\u2014 0,0076\t\u2014 1\n6,5\t+ 0,0154\t+ 0,0035\t+ 0,0119\t\"b 1\n7,5\t+ 0,0590\t+ 0,0401\t+ 0,0189\t+ 2\nSchon aus der Uebersicht \u00fcber die Coefficienten A k\u00f6nnen wir schlie\u00dfen, dass bei einigen dieser Beispiele es \u00fcberfl\u00fcssig gewesen ist, die Berechnung der Coefficienten bis zum 6 ten auszudehnen. Die Widerspr\u00fcche \u00fcberschreiten zum Theil das letzte Glied der Reihenentwicklung. Freilich l\u00e4sst sich von vornherein f\u00fcr einen bestimmten Collectivgegenstand nicht angeben, wie weit man zu gehen habe, denn wenn auch einzelne Coefficienten A gering ausfallen, so gilt das noch nicht f\u00fcr die folgenden Coefficienten. Dass die Rechnung in allen F\u00e4llen bis zu dem Gliede A,\u00ae{y\\ : 32 gef\u00fchrt wurde, geschah nur, um hei dieser ersten Anwendung des Verfahrens f\u00fcr die Betr\u00e4ge der' h\u00f6heren Glieder nicht auf Muthma\u00dfungen angewiesen zu sein. Sollte das Verfahren weiterhin Anwendung finden, so wird man schrittweise vorgehen und wird abbrechen, sobald der regelm\u00e4\u00dfige Gang der Abweichungen vom Gau\u00df\u2019schen Gesetze verschwindet.\nNach den bisher angegebenen Beispielen best\u00e4tigt sich, wie der Theorie gem\u00e4\u00df vorauszusehen war, die Behauptung, dass die Abweichungen der Vertheilungstafeln vom einfachen Exponentialgesetz haupts\u00e4chlich durch den Coefficienten A. bedingt werden. Dieser und nach ihm die Coefficienten mit ungerader Nummer geben in ihrem Betrage einen Ma\u00df stab dessen, wasFechner die asymmetrische Ver-theilung der Collectivgegenst\u00e4nde nennt. Dass gerade durch die ungeraden Glieder der Reihenentwicklung die Asymmetrie entsteht, geht aus der Bildungsweise der \u00c43, \u00c45, u. s. w. und aus dem Umstande hervor, dass <%)3, Q[y)s, u. s. w. gerade Functionen ihrer Argumente sind. Die Coefficienten mit gerader Nummer dagegen bedingen diejenigen Abweichungen vom Gau\u00df \u2019sehen Gesetz, die sich symmetrisch zu beiden Seiten des arithmetischen Mittels der Beobachtungen vertheilen.","page":472},{"file":"p0473.txt","language":"de","ocr_de":"Beitr\u00e4ge zur Collectivma\u00dflehre.\n473\nVon den angef\u00fchrten Beispielen zeigt Bt die st\u00e4rkste Asymmetrie, hei RAp und FPa findet sich A4 gr\u00f6\u00dfer als A3, was immerhin be-merkenswerth ist. Die schw\u00e4chste Asymmetrie und \u00fcberhaupt die geringsten Abweichungen vom Gau\u00df \u2019sehen Gesetze bietet die Tafel Be. Es ist daher wohl erkl\u00e4rlich, dass Hagen, obwohl er nur 110 Zeilen der Vorrede von Eytelwein\u2019s Mechanik durchgez\u00e4hlt hat, das Vorkommen des Buchstaben \u00bbe\u00ab zur empirischen Begr\u00fcndung des Gau\u00dfschen Eehlergesetzes mit Erfolg heranziehen konnte.\nDas Schema, nach dem wir die Ergebnisse der Bechnung mit-getheilt haben, gestattet, die betrachteten Oollectivgegenst\u00e4nde in Bezug auf die Widerspr\u00fcche, \u2014 die sich ja auch unter Zugrundelegung des erweiterten Exponentialgesetzes der unausgeglichenen Zuf\u00e4lligkeiten wegen noch ergeben m\u00fcssen \u2014, untereinander zu vergleichen, und es ist dabei nicht verwunderlich, dass Oollectivgegenst\u00e4nde mit einer geringen Anzahl von Argumenten wesentlich gr\u00f6\u00dfere Betr\u00e4ge der Widerspr\u00fcche aufweisen als solche mit einer gr\u00f6\u00dferen Anzahl von Argumenten. Eine anschauliche Vorstellung von der Gr\u00f6\u00dfe der Widerspr\u00fcche erhalten wir erst durch die Angabe der Verbesserungen der einzelnen Werthe z, welche an diesen angebracht werden m\u00fcssten, um vollkommene Uebereinstimmung mit der Erfahrung zu erzielen. Diese Verbesserungen der W erthe z sind von dem Betrage m W und finden sich ebenfalls in der Uehersicht f\u00fcr jedes a, beziehentlich das darauf folgende x verzeichnet. Wenn wir hiernach in den Vertheilungstafeln die Werthe z corrigireft, d. h. um die angegebenen Werthe V2 m 1F vermindern, so stellen die nach dem Verfahren von Bruns berechneten Vertheilungstafeln die Ergebnisse der Erfahrung mit absoluter Genauigkeit dar.\n6. Die Tafel RAp zeigt an mehreren Stellen Widerspr\u00fcche von ziemlich hohem Betrage. Betrachten wir aber hier die Coefficienten A, so bemerken wir, dass zum mindesten das Glied A7 X.7 sich in der Reihenentwicklung wohl noch bemerkbar machen w\u00fcrde, und die Ver-muthung, dass die in diesem Falle etwas complicirtere Vertheilungs-curve bei Ber\u00fccksichtigung solcher h\u00f6herer Glieder eine bessere Darstellung finden k\u00f6nne, liegt sehr nahe. Noch unangenehmer macht sich der Umstand, dass wir an der Hand der bisher vorliegenden Tafeln f\u00fcr die Ableitungen der \u00a9-Function die Reihenentwicklung nur bis zum sechsten Gliede verfolgen k\u00f6nnen, hei den Beispielen RCi","page":473},{"file":"p0474.txt","language":"de","ocr_de":"474\nFriedrich Werner.\nund R CI geltend, die deshalb auch in der vorangehenden Uebersicht ausgelassen sind und hier eine besondere Besprechung finden sollen.\nF\u00fcr die Tafel RCi erhielt ich, wenn ich nach dem bisher angewendeten Schema verfuhr:\nm\tc\th\ts\tAi\tAi\tAe\n1000\t20,75\t0,3303\t2,141\t+0,0743\t+0,5771\t\u20140,1611\t+0,2647\nBilden wir mit H\u00fclfe dieser Werthe f\u00fcr s\u00e4mmtliche Wechselpunkte die Widerspr\u00fcche, so zeigt sich, dass die Zahl der ber\u00fccksichtigten Glieder f\u00fcr die mittleren Werthe der Tafel nicht gen\u00fcgt, um den Gang der Widerspr\u00fcche unregelm\u00e4\u00dfig zu machen. Man kann aber die Coefficienten A mit h\u00f6herer Nummer in ihrem numerischen Betrage herabsetzen, wenn man darauf verzichtet, A, und A2 verschwinden zu lassen. Zun\u00e4chst habe ich von der Bedingung At = 0 abgesehen und die Reihe der Coefficienten unter der Voraussetzung c = 21 berechnet. Wir n\u00e4hern uns damit dem Verfahren Fe diner\u2019s, indem wir n\u00e4mlich statt der Abweichungen vom arithmetischen Mittel die Abweichungen vom dichtesten Werthe d in R\u00fccksicht ziehen. TJebrigens gewinnen wir dabei den Vortheil, dass die Berechnung von h einfacher ausf\u00e4llt. Indem ich so in gewissem Sinne den Werth c durch den dichtesten Werth d ersetzte, erhielt ich f\u00fcr die beiden Tafeln die folgenden Resultate:\n\tRCi\tRCI\nm\t1000\t3000\nd\t21\t21\nh\t0,3281\t0,1602\ns\t2,155\t4,415\nAi\t+ 0,0820\t\u2014 0,0690\na2\t\u2014 0,0020\t0,0000\nA3\t+ 0,0631\t\u2014 0,1520\nAt\t+ 0,5727\t+ 0,1187\nA-0\t\u2014 0,0568\t\u2014 0,0001\nA$\t+ 0,2286\t\u2014 0,0424\nSchlie\u00dflich k\u00f6nnte man auch von der Bedingung\nA2 = 0\nabgehen, womit allerdings die Bedeutung von h und s in \u00e4hnlicher Weise wie die in c zu modificiren w\u00e4re. Voraussichtlich w\u00fcrden","page":474},{"file":"p0475.txt","language":"de","ocr_de":"Beitr\u00e4ge zur Collectivma\u00dflehre.\n475\naber auch dann noch 6 Glieder der Reihenentwicklung nicht ausreichen, um die Regelm\u00e4\u00dfigkeit im Gang der Widerspr\u00fcche aufzulieben, denn die Aenderungen, welche die Coefficienten A durch Einf\u00fchrung von d erfahren haben, sind nicht sehr bedeutend. Ich habe deshalb die Rechnung mit den angegebenen Werthen von d, k, Aj, (A2), A3,\t, A\u00df durchgef\u00fchrt und dabei an den einzelnen Wechsel-\npunkten erhalten:\nR Ci\nX\tX,\tsr\tW\t\\mW\n10,5\t+ 0,0020\t+ 0,0007\t+ 0,0013\t+ 1\n11,5\t+ 0,0040\t+ 0,0031\t+ 0,0009\t0\n12,5\t+ 0,0039\t+ 0,0116\t\u2014 0,0077\t\u2014\t4\n13,5\t+ 0,0295\t+ 0,0303\t\u2014 0,0008\t0\n14,5\t+ 0,0374\t+ 0,0531\t\u2014 0,0157\t- 8\n15,5\t+ 0,0553\t+ 0,0515\t+ 0,0038\t+ 2\n16,5\t+ 0,0592\t+ 0,0012\t+ 0,0480\t+ 24\n17,5\t+ 0,0196\t\u2014 0,0587\t+ 0,0783\t+ 39\n18,5\t\u2014 0,0761\t\u2014 0,0540\t\u2014 0,0221\t\u2014 11\n19,5\t\u2014 0,2025\t\u2014 0,0020\t\u2014 0,2005\t\u2014 100\n20,5\t\u2014 0,2606\t+ 0,0120\t\u2014 0,2726\t\u2014 136\n21,5\t+ 0,3046\t+ 0,0190\t+ 0,2856\t+ 144\n22,5\t+ 0,2985\t+ 0,1102\t+ 0,1883\t+ 94\n23,5\t+ 0,1501\t+ 0,2144\t\u2014 0,0643\t\u2014 32\n24,5\t+ 0,0464\t+ 0,1899\t\u2014 0,1435\t\u2014 72\n25,5\t\u2014 0,0032\t+ 0,0618\t\u2014 0,0650\t\u2014 33\n26,5\t\u2014 0,0133\t\u2014 0,0369\t+ 0,0236\t+ 12\n27,5\t\u2014 0,0134\t\u2014 0,0555\t+ 0,0421\t+ 21\n28,5\t\u2014 0,0135\t\u2014 0,0339\t+ 0,0204\t+ io\n29,5\t\u2014 0,0119\t\u2014 0,0132\t+ 0,0013\t+ 1\n30,5\t\u2014 0,0120\t\u2014 0,0037\t\u2014 0,0087\t-\t4\n31,5\t\u2014 0,0040\t\u2014 0,0009\t\u2014 0,0031\t\u2014 2\n32,5\t0,0000\t\u2014 0,0001\t+ 0,0001\t0","page":475},{"file":"p0476.txt","language":"de","ocr_de":"476\nFriedrich Werner.\nR Cl\n\tAo\tSr\tW\tim W\t\n8,5\t\u2014 0,0034\t+ 0,0003\t\u2014 0,0037\t\u2014\t6\n9,5\t0,0079\t0,0014\t0,0093\t\u2014\t14\n10,5\t+ 0,0134\t+ 0,0009\t0,0143\t\u2014\t21\n11,5\t0,0254\t\u2014 0,0043\t0,0211\t\u2014\t32\n12,5\t0,0342\t0,0172\t\u2014 0,0170\t\u2014\t26\n13,5\t0,0221\t0,0400\t+ 0,0179\t+\t27\n14,5\t0,0210\t0,0714\t0,0504\t+\t76\n15,5\t0,0429\t0,1060\t0,0631\t+\t95\n16,5\t0,0714\t0,1338\t0,0584\t+\t88\n17,5\t0,1287\t0,1432\t+ 0,0145\t+\t22\n18,5\t0,1839\t0,1264\t\u2014 0,0575\t\u2014\t86\n19,5\t0,2301\t0,0834\t0,1467\t\u2014\t220\n20,5\t\u2014 0,1918\t\u2014 0,0235\t\u2014 0,1683\t\u2014\t252\n21,5\t+ 0,1205\t+ 0,0367\t+ 0,0838\t+\t126\n22,5\t0,1648\t0,0794\t0,0854\t+\t128\n23,5\t0,1545\t0,0930\t0,0615\t+\t92\n24,5\t0,0980\t0,0760\t+ 0,0220\t+\t33\n25,5\t+ 0,0368\t+ 0,0372\t\u2014 0,0004\t\u2014\t1\n26,5\t\u2014 0,0131\t\u2014 0,0090\t0,0041\t\u2014\t6\n27,5\t0,0550\t0,0488\t\u2014 0,0062\t\u2014\t9\n28,5\t0,0699\t0,0732\t+ 0,0033\tH-\t5\n29,5\t0,0811\t0,0800\t\u2014 0,0011\t\u2014\t2\n30,5\t0,0806\t0,0725\t0,0081\t\u2014\t12\n31,5\t0,0673\t0,0573\t0,0100\t\u2014\t15\n32,5\t0,0501\t0,0400\t0,0101\t\u2014\t15\n33,5\t0,0273\t0,0249\t\u2014 0,0024\t\u2014\t4\n34,5\t0,0084\t0,0139\t+ 0,0055\t+\t8\n35,5\t0,0013\t0,0067\t0,0054\t+\t8\n36,5\t\u2014 0,0008\t0,0029\t0,0021\t+\t3\n37,5\t+ 0,0002\t\u2014 0,0008\t+ 0,0010\t+\t2\nAls das Gemeinsame dieser beiden Beispiele hat zu gelten, dass die Abweichungen vom einfachen Gau\u00df\u2019sehen Gesetze, welche sich symmetrisch zu dem dichtesten AYerthe vertheilen, bedeutend sind gegen\u00fcber den Abweichungen, welche die Asymmetrie hervorbringen. Da die G\u00fcltigkeit der Beihenentwicklung theoretisch feststeht, so d\u00fcrfen wir, wenn auch die bisherige Bechnung in diesen Beispielen nicht","page":476},{"file":"p0477.txt","language":"de","ocr_de":"Beitr\u00e4ge zur Collectivma\u00dflehre.\n477\nausreichend ist, doch schlie\u00dfen, dass die Reihenentwicklung, gen\u00fcgend weit fortgesetzt, eine ebenso gute Darstellung der empirischen Ver-theilungscurven geben w\u00fcrde als in den vorangehenden Beispielen.\n7. Ehe wir zur Behandlung der Yertheilungstafeln von stetigen Oollectivgegenst\u00e4nden \u00fcbergehen, wollen wir auf die beil\u00e4ufig schon erw\u00e4hnte Bestimmung der Coefficienten A durch Ausgleichung zur\u00fcckkommen.\nUm eine Anschauung davon zu gewinnen, wie weit die Resultate der Ausgleichung von der directen Rechnung abweichen, wendete ich auf das Beispiel An das May er\u2019sehe Ausgleichungsverfahren an, ohne jedoch dasselbe bis zum Schl\u00fcsse durchzuf\u00fchren. In dem System der f\u00fcr s\u00e4mmtliclie Wechselpunkte gebildeten Gleichungen (28 b)\nA\u201e = Ai _Xj -j- A2 -Xj + . . . + A\u00df A\u00df wurde jede Gleichuug von der folgenden abgezogen, nachdem am Anfang und am Ende die Gleichungen f\u00fcr x \u2014 + oo hinzugef\u00fcgt worden waren. In dieser \"Weise entstand das System\nT0 = At Ty + A2 T2 + \u2022 \u2022 \u2022 + A6 T6 .\nHieraus bildete ich in der vorgeschriebenen Weise die Normalgleichungen. Indem ich also jede Gleichung mit sg(l\\) multiplicirte und die Producte addirte, erhielt ich die erste Normalgleichung, multiplicirte ich jede Gleichung mit sg (2\\) und addirte die Producte, so ergab sich die zweite Normalgleichung, u. s. w. E\u00fcr die linken Seiten der sechs Normalgleichungen\nZT0 sg (W,) , ZT0 sg (T2) ,\t...,\t2T0 sg (P6)\nfolgten damit die Werthe,\n+ 0,1130\t\u2014 0,0076\t\u2014 0,1950\t\u20140.0938\t+ 0,1682\t+0,0338 .\nSetzte ich in den rechten Seiten der Normalgleichungen, die ja lineare Verbindungen der Gr\u00f6\u00dfen A,, ..., A\u00df sind, die bereits berechneten Werthe dieser Gr\u00f6\u00dfen ein, so erhielten damit die rechten Seiten die Werthe\n+ 0,1057\t+0,0200\t\u20140,1908\t\u2014 0,0226\t+0,1578\t\u20140,0080 .\nDa die Unterschiede dieser beiden Zahlenreihen nicht sehr bedeutend sind, so w\u00fcrde die Berechnung der Coefficienten A aus den Normalgleichungen Werthe ergeben, die wohl als brauchbar gelten d\u00fcrften. Theoretisch bietet zwar die Aufl\u00f6sung der 6 Normalgleichungen","page":477},{"file":"p0478.txt","language":"de","ocr_de":"478\nFriedrich Werner.\nnach den Unbekannten A keine Schwierigkeit, in praktischer Hinsicht aber ist die fr\u00fchere directe Berechnung der A aus den Durchschnittsgr\u00f6\u00dfen D(y), ..., I){if1) in unserem Falle selbstverst\u00e4ndlich vorzuziehen. Auch wenn man auf die in der Ausgleichungsrechnung \u00fcbliche Weise die Aufl\u00f6sung der sechs .Normalgleichungen ahk\u00fcrzt, so erfordert doch die Bildung der Normalgleichungen und das Aufl\u00f6sungsverfahren, verbunden mit der Correction, die wegen des Nichtverschwindens der Werthe A, und A2 sich n\u00f6thig machen wird, schlie\u00dflich ebensoviel Zeitaufwand, als die directe Berechnung der Coefficienten A, an die wir uns bisher gehalten haben.\nEine Ausgleichung wird vielmehr vortheilliaft nur dann angewendet werden k\u00f6nnen, wenn die Gleichungen (28h) f\u00fcr ein System der Gr\u00f6\u00dfen y gebildet werden, das ein f\u00fcr allemal fest vorgeschriehen ist. Die Gr\u00f6\u00dfen JV,, A2, ... sind dann constant, und es besteht die Aufl\u00f6sung der Normalgleichungen nur in der Bildung bestimmter linearer Verbindungen aus den Gr\u00f6\u00dfen X() und gewissen festen Multiplicatoren.\nFreilich ist hierbei Bedingung, dass die //-Gr\u00f6\u00dfen f\u00fcr jeden beliebigen Wechselpunkt x mit hinreichender Sicherheit bestimmt sind. Obwohl diese Bedingung nur bei einer Minderzahl der stetigen Collectivgegenst\u00e4nde erf\u00fcllt sein d\u00fcrfte \u2014 von den ber\u00fccksichtigten Beispielen Fe diner\u2019s k\u00e4me nur die Tafel IV in Betracht \u2014, so soll doch ein derartiges Ausgleichungsverfahren hier kurz auseinandergesetzt werden, damit f\u00fcr k\u00fcnftige F\u00e4lle ein solches sofort zur Hand sei.\nAls ein geeignetes System empfiehlt Bruns dasjenige, in welchem die Gr\u00f6\u00dfen y die Wurzelwerthe der A-Gro\u00df en sind, weil dadurch die Maxima und Minima der Ableitungen der \u00a9-Function zur Geltung kommen. Es waren hiernach zun\u00e4chst diese Wurzelwerthe y genauer zu bestimmen, als sich dieselben aus den Tafeln der Ableitungen der \u00a9-Function entnehmen lie\u00dfen. Da wir uns in der Reihenentwicklung auf sechs Glieder beschr\u00e4nken, so kann die Ermittlung der Wurzeln y durch Aufl\u00f6sung algebraischer Gleichungen von h\u00f6chstens drittem Grade geschehen, und wir erhalten so, geordnet nach ihrer Gr\u00f6\u00dfe, folgende Werthe, wobei die danebengesetzten Zeichen A[, ..., A6 andeuten sollen, von welchen A-Gr\u00f6\u00dfen die betreffenden y die Wurzelwerthe sind :","page":478},{"file":"p0479.txt","language":"de","ocr_de":"Beitr\u00e4ge zur Collectivma\u00dflehre.\n479\ny 0,0000\tBl B3 li-a\tm 0,0000\n\u00b10,4361\tBe\t\u00b1 0,4626\n\u00b1 0,5246\tBt\t\u00b10,5418\n\u00b10,7072\t\t\u00b1 0,6827\n\u00b1 0,9586\tB-o\t\u00b1 0,8248\n\u00b1 1,2247\tb3\t\u00b10,9167\n\u00b1 1,3358\tB\u00df\t\u00b10,9412\n\u00b1 1,6507\tBi\t\u00b1 0,9804\n\u00b12,0202\tB-0\t\u00b1 0,9957\n\u00b1 2,3506\tRe\t\u00b10,9991\nEntsprechend diesen 19 Argumenten ist nun ein System von 19 Gleichungen zu bilden. Die einzelnen Collectivgegenst\u00e4nde unterscheiden sich bis hierher nur darin, dass die linken Seiten dieser Gleichungen\n_Xo oder 2 H[x) \u2014 1 \u2014 <D[y),\nd. h. die mit H\u00fclfe der H\u00e4ufigkeitsfunction ausgedr\u00fcckten Abweichungen vom einfachen Exponentialgesetz, verschiedene Werthe besitzen. Die \"Werthe H(x) sind dabei als relative H\u00e4ufigkeiten bis zu den Punkten x hin zu verstehen, die sich bestimmen aus den Gleichungen\n\u2014\t2,3506 \u2014 h{x \u2014 c)\n\u2014\t2,0202 = h[x \u2014 c)\n+ 2,0202 \u2014 k(x \u2014 c)\n+ 2,3506 = h(x \u2014 c) .\nWir wollen die rechten Seiten Xt) der 19 Gleichungen nunmehr in leicht verst\u00e4ndlicher Weise durch Indices auszeichnen, so dass\nA0\n\u20149\ny\u20148\ty\u20142\tW\u20141\n^L0 >\t\u2022 \u2666 \u2022 7\t-^0 >\t-A0 ?\nyO\tyrl -y-2\ty8 -rr9\n-\u00c4-0 7 -AO j -Ao 7 \u2022 \u2022 \u2022 7 -\u00c4-O 7 -A-0\ndie Reihe der Werthe von A0 oder 2 H[x) \u2014 1 \u2014 (D (y) ist. Die n\u00f6thigen Werthe 0[y) sind bereits bei der Tabelle der y angegeben worden.\nAls erste Normalgleichung, welche das Maximum von \u00ae[y)\\ ber\u00fccksichtigt, nehmen wir dann die Gleichung, deren linke Seite wir soeben durch Aj} bezeichnet haben. Die zweite Normalgleichung","page":479},{"file":"p0480.txt","language":"de","ocr_de":"Friedrich Werner.\n480\nw\u00e4hlen wir derart, dass das Maximum und das Minimum von 0(y)% zur Geltung kommt. Wir subtrahiren die Gleichung mit der linken Seite X3 von der entsprechenden mit der linken Seite X~3- Da der Werth y = 0, als Wurzelwerth von Ri, bereits ber\u00fccksichtigt ist, so setzen wir als dritte Normalgleichung diejenige, deren linke Seite wir andeuten k\u00f6nnen durch X\"5 + X(;. Die Art der Bildung der vierten, f\u00fcnften und sechsten Normalgleichung wird schlie\u00dflich auf die einfachste Weise durch die folgenden, zur Abk\u00fcrzung dienenden Formeln erl\u00e4utert:\n(1) = (2) =\n(3)\t=\n(4)\t\u2014\n(5)\t=\n(6)\t\u2014\nT\u00b0\n\u2022Ao\n\"V\u20143 -\\r3 -A\u00df   -AO\nxr + x^\n(X(T7 - Xl) - (XT2 - X2o)\n(X0 8 + Xo) \u2014 (X0 4 + Xo)\n(AT9 - X\u00dc) - (Xo-6 - Xo6) + (X^1 - Xl)\nund die Coefficienten der A in den einzelnen Normalgleichungen sind dann aus dem folgenden Schema zu ersehen:\n\tA.,\t\t-^3\tA4\t^5\t\n(1)\t+ 1,1284\t\t\u2014 0,5642\t\t+ 0,8463\t\n(2)\t\t+ 0,9678\t\t\u2014 0,9678\t\t+ 1,4517\n(3)\t+ 0,5036\t\t+ 0,5036\t\t\u2014 0,7554\t\n(4)\t\t\u2014 0,6549\t\t+ 1,4003\t\t\u2014 2,8006\n(5)\t\u2014 0,8623\t\t\u2014 0,2408\t\t+ 1,2432\t\n(6)\t\t+ 0,3287\t\t\u2014 1,1245\t\t+ 3,4539\nDass die Auswahl der 19 Gleichungen und diese Zusammenstellung in Normalgleichungen rechnerisch vortheilhaft ist, geht schon daraus hervor, dass das System von sechs Normalgleichungen mit sechs Unbekannten in zwei Systeme mit je drei Unbekannten zerf\u00e4llt. Es kommt darin auch zum Ausdruck, dass die Coefficienten A von gerader Nummer unabh\u00e4ngig sind von denen mit ungerader Nummer, nur dass es hier nicht die Durchschnitte aus den geraden oder ungeraden Potenzen von y sind, von denen die Coefficienten A bestimmt werden, sondern die Gr\u00f6\u00dfen Xjj, X\u201c1, X+1, u- s. w.","page":480},{"file":"p0481.txt","language":"de","ocr_de":"Beitr\u00e4ge zur Collectivma\u00dflehre.\n481\nDas Resultat der Aufl\u00f6sung der sechs Normalgleichungen ist in folgender Tafel enthalten:\n0,6619\nEs sind also, um beispielsweise J;) zu bestimmen, die Werthe (1), (3), (5) mit den auf der Zeile A:t angegebenen Ooefficienten + 0,0337, + 2,8367, + 1,7007 zu multipliciren und dann zu addiren.\nWie schon bemerkt, ist aber dieses einfache Verfahren zur Berechnung der Ooefficienten A nur hei wenigen Oollectivgegenst\u00e4nden anwendbar. Aus mehreren Gr\u00fcnden k\u00f6nnen die H-Gr\u00f6\u00dfen nicht f\u00fcr jeden Wechselpunkt x mit hinreichender Sicherheit bestimmt werden.\nW\u00e4hlt man die \u00ab-Intervalle so klein, dass die z trotz eines gro\u00dfen m nur kleinere Werthe besitzen, so stellt sich der Uebelstand ein, dass die Vertheilungstafel keinen ann\u00e4hernd regelm\u00e4\u00dfigen Gang zeigt. Eine Reduction der prim\u00e4ren Tafeln wird sich immer n\u00f6thig machen, denn wenn es auch denkbar w\u00e4re, dass man durch \u00fcberm\u00e4\u00dfige Steigerung der Zahl in schlie\u00dflich einen regelm\u00e4\u00dfigen Verlauf der Zahlen % hei kleinem \u00ab-Intervall erreichen k\u00f6nnte, so steht dann jedenfalls das gewonnene Resultat in keinem Verh\u00e4ltniss zum Arbeitsaufwand.\nDie Wahl der Reductionsstufe ist weniger mit Willk\u00fcr verbunden als die der Reductionslage, denn f\u00fcr erstere kann man sich eben an die Vorschrift halten, dass eine Vertheilungstafel hergestellt werden soll, deren mittlere Werthe einen regelm\u00e4\u00dfigen Gang zeigen. Dabei bleibt es dem Zufall \u00fcberlassen, auf welche Reductionslage wir schlie\u00dflich kommen. Es ist sehr wohl m\u00f6glich, dass eine Tafel von bestimmter Reductionsstufe in mehreren verschiedenen Reductions-lagen den Anforderungen gen\u00fcgt, die wir im Interesse der Rechnung an den betreffenden Collectivgegenstand stellen. Welche Reductionslage dann der Rechnung zu unterwerfen sei, kann man nicht vorschreiben. Man wird aber nicht fehlgehen, wenn man die Ab-","page":481},{"file":"p0482.txt","language":"de","ocr_de":"482\nFriedrich Werner.\nweicliungen der verschiedenen Reductionslagen voneinander als gleichwertig dem Betrage der unausgeglichenen Zuf\u00e4lligkeiten ansieht.\n8. Vielleicht kann man die Schwierigkeiten, welche eine Interpolation hei den Vertheilungstafeln mit sich bringt, dadurch umgehen, dass man auf jede Art von Ausgleichung verzichtet und die stetigen Collectivgegenst\u00e4nde ganz nach dem fr\u00fcher mitgetheilten Schema f\u00fcr die unstetigen behandelt. Dabei sieht man freilich auch die Fehler, mit denen durch die Abrundung der Argumente des stetigen Collectiv-gegenstandes die Durchschnittswerthe D (y), I) (i/1), ..., D(yr\u2019), ... behaftet werden, als unbedeutend an. F\u00fcr die Durchschnitte aus den niederen Potenzen von y ist das v\u00f6llig unbedenklich, f\u00fcr die aus h\u00f6heren Potenzen k\u00f6nnen die Aenderungen unter Umst\u00e4nden merkliche, aber keineswegs die Gr\u00f6\u00dfenstufe von unausgeglichenen Zuf\u00e4lligkeiten \u00fcberschreitende Betr\u00e4ge erreichen.\nMan w\u00e4hlt also au\u00dfer einer geeigneten Reductionsstufe eine bestimmte Reductionslage f\u00fcr die Vertheilungstafel und sieht auch die Unterschiede, die daraus entspringen, dass man sich auf eine beliebige von mehreren gleich berechtigten Reductionslagen beschr\u00e4nkt, als irrelevant an. Die Anzahl der Argumente a ist dann in den meisten F\u00e4llen nicht allzu bedeutend, sodass man die den Collectivgegenstand charakterisirenden Bestimmungsst\u00fccke c, s und die Reihe der Coeffi-cienten A3, At, u. s. w, auf directem Wege ermitteln kann.\nIm Grunde geschieht bei diesem Verfahren nichts anderes, als dass man aus der Zahl der Gleichungen, die nach dem Ansatz\n1H(x)\t1 Q[y) =\t\u00ae{y)i + A% (D [y)3: 2 + ...\nf\u00fcr jeden Werth des Argumentes a der prim\u00e4ren, also nicht redu-cirten Vertheilungstafel zu bilden w\u00e4ren, eine beschr\u00e4nkte Anzahl nach Zweckm\u00e4\u00dfigkeitsr\u00fccksichten ausw\u00e4hlt, aber diese Gleichungen nicht einem Ausgleichungsverfahren unterwirft, um die charakterisirenden Bestimmungsst\u00fccke zu erhalten, sondern dazu den beschriebenen directen Weg einschl\u00e4gt.\nWiewohl die H\u00e4ufigkeitsfunction bei den stetigen Collectivgegen-st\u00e4nden auch f\u00fcr andere Werthe als die angegebenen Argumente a eine durchaus bestimmte Bedeutung hat, so benutzen wir zun\u00e4chst nur die Werthe a der reducirten Tafel. Nachdem wir auf Grund der ausgew\u00e4hlten a und z eine Reihenentwicklung gewonnen haben, bleibt","page":482},{"file":"p0483.txt","language":"de","ocr_de":"Beitr\u00e4ge zur Collectivma\u00dflehre.\n483\nes unserem Belieben \u00fcberlassen, ob wir auch f\u00fcr einen in der redu-cirten Vertheilungstafel nicht angegebenen Werth a die Gr\u00f6\u00dfen 2 H(x) \u2014 1 mit der Reihenentwicklung Q(y) 4- At 0[y\\ + \u2022 \u2022 \u2022 vergleichen wollen, und wir k\u00f6nnen alsdann zur Ermittlung yon 2H(x) \u2014 1, analog dem Verfahren Fechner\u2019s], bei der Interpolation zweite und h\u00f6here Differenzen ber\u00fccksichtigen, wenn wir damit eine bessere Ueber-einstimmung zu erzielen glauben.\nBei der Ausf\u00fchrung an den bereits aufgez\u00e4hlten Beispielen Fechner\u2019s habe ich davon abgesehen, denn es schien nicht zweifelhaft, dass eine solche Vergleichung Werthe f\u00fcr die Abweichungen ergeben w\u00fcrde, die mit den von unausgeglichenen Zuf\u00e4lligkeiten herr\u00fchrenden auf eine Stufe zu setzen w\u00e4ren. Die Wahl der Reductions-stufen und Reductionslagen war dieselbe wie bei Fechner, um gegebenen Falles die Ergebnisse mit denen Fechner\u2019s vergleichen zu k\u00f6nnen. Die Tafel IV wurde in zwei Reductionsstufen zur Berechnung herangezogen. So gelangte ich zu folgenden Resultaten f\u00fcr die charakterisirenden Bestimmungsst\u00fccke :\n\ti\tII\tm\nm\t450\t450\t2047\nc\t408,24\t522,34\t71,75\nh\t0,0511\t0,0447\t0,1298\ns\t13,827\t15,831\t2,551\n\t+ 0,0050\t\u2014 0,0110\t+ 0,0129\nA*\t\u2014 0,0150\t\u2014 0,0040\t+ 0,0213\n^-5\t\u2014 0,0102\t\u2014 0,0119\t\u2014 0,0028\nAq\t\u2014 0,0002\t+ 0,0019\t+ 0,0133\n\tIV\tiy2\tVh\tVt\nm\t217\t217\t775\t775\nh\t86,48\t86,67\t54,01\t43,42\nc\t0,0558\t0,0548\t0,0226\t0,0268\ns\t12,684\t12,900\t31,315\t26,390\n-^3\t+ 0,1215\t+ 0,1134\t\u2014 0,3298\t\u2014 0,3891\nAi\t+ 0,0232\t+ 0,0131\t+ 0,1417\t+ 0,2818\nA5\t\u2014 0,0042\t\u2014 0,0127\t+ 0,0363\t\u2014 0,1266\nA\u00df\t+ 0,0028\t+ 0,0059\t\u2014 0,0137\t+ 0,1100\nDie Tafel VI bleibe, wie fr\u00fcher die Tafeln R Ci und R CI, einer besonderen Besprechung Vorbehalten.","page":483},{"file":"p0484.txt","language":"de","ocr_de":"484\nFriedrich Werner.\nDie mit diesen Bestimmungsst\u00fccken ausgef\u00fchrten Berechnungen f\u00fcr A0 und Sr = -f. A3 \u2014|- .1 j A4 \u2014+5 A5 \u25a0 j \u25a0\u25a0 A\u00a7. sowie f\u00fcr W = A0 \u2014 Sr ergaben f\u00fcr die bezeichnten Wechselpunkte:\nI.\na\t%\tX\tA>\tSr\tw\t\\mW\n363\t0\t365,5\t\u2014 0,0020\t\u2014 0,0017\t\u2014 0,0003\t0\n368\t1\t370,5\t\u2014 0,0019\t\u2014 0,0024\t+ 0,0005\t0\n373\t2\t375,5\t\u2014 0,0036\t\u2014 0,0014\t\u2014 0,0022\t-0,5\n378\t5\t380,5\t\u2014 0,0093\t+ 0,0015\t\u2014 0,0108\t-2,5\n383\t17\t385,5\t+ 0,0110\t+ 0,0064\t+ 0,0046\t+ 1\n388\t24\t390,5\t+ 0,0182\t+ 0,0106\t+ 0,0076\t+ 1,5\n393\t36\t395,5\t+ 0,0209\t+ 0,0098\t+ 0,0111\t+ 2,5\n398\t41\t400,5\t\u2014 0,0158\t+ 0,0026\t\u2014 0,0184\t\u2014 4\n403\t59\t405,5\t\u2014 0,0208\t\u2014 0,0074\t\u2014 0,0134\t\u2014 3\n408\t65\t410,5\t\u2014 0,0187\t\u2014 0,0138\t\u2014 0,0049\t\u2014 1\n413\t65\t415,5\t\u2014 0,0004\t\u2014 0,0129\t+ 0,0125\t+ 3\n418\t51\t420,5\t+ 0,0021\t\u2014 0,0062\t+ 0,0083\t+ 2\n423\t40\t425,5\t+ 0,0164\t+ 0,0009\t+ 0,0155\t+ 3,5\n428\t17\t430,5\t\u2014 0,0125\t+ 0,0045\t\u2014 0,0170\t\u2014 4\n433\t19\t435,5\t+ 0,0131\t+ 0,0048\t+ 0,0083\t+ 2\n438\t4\t440,5\t+ 0,0018\t+ 0,0029\t\u2014 0,0011\t0\n443\t2\t445,5\t\u2014 (.,0019\t+ 0,0014\t\u2014 0,0033\t\u2014 1\n448\t2\t450,5\t+ 0,0023\t+ 0,0004\t+ 0,0019\t+ 0,5\n453\t0\t455,5\t+ 0,0006\t0,0000\t+ 0,0006\t0\nII.\t\t\t\t\t\t\na\tX\tX\tA\tsr\tw\t\\mW\n482\t3\t484,5\t\u2014 0,0035\t\u2014 0,0031\t\u2014 0,0004\t0\n487\t6\t489,5\t+ 0,0020\t\u2014 0,0021\t+ 0,0001\t0\n492\t10\t494,5\t+ 0,0058\t+ 0,0005\t+ 0,0053\t+ 1\n497\t13\t499,5\t\u2014 0,0068\t+ 0,0041\t\u2014 0,0109\t-2,5\n502\t30\t504,5\t+ 0,0159\t+ 0,0070\t+ 0,0089\t+ 2\n507\t28\t509,5\t\u2014 0,0171\t+ 0,0069\t\u2014 0,0240\t-5,5\n512\t52\t514,5\t+ 0,0109\t+ 0,0034\t+ 0,0075\t+ 1,5\n517\t50\t519,5\t\u2014 0,0042\t\u2014 0,0016\t\u2014 0,0026\t\u2014 0,5\n522\t60\t524,5\t+ 0,0117\t\u2014 0,0050\t+ 0,0167\t+ 4\n527\t53\t529,5\t+ 0,0069\t\u2014 0,0048\t+ 0,0117\t+ 2,5\n532\t\u202239\t534,5\t\u2014 0,0286\t\u2014 0,0018\t\u2014 0,0268\t\u2014 6\n537\t43\t539,5\t\u2014 0,0015\t+ 0,0015\t\u2014 0,0030\t\u2014 0,5\n542\t30\t544,5\t+ 0,0150\t+ 0,0032\t+ 0,0118\t+ 2,5\n547\t14\t549,5\t+ 0,0019\t+ 0,0027\t\u2014 0.0008\t0\n552\t12\t554,5\t+ 0,0111\t+ 0,0009\t+ 0,0102\t+ 2,5\n557\t3\t559,5\t+ 0,0011\t\u2014 0,0006\t+ 0,0017\t+ 0,5\n562\t1\t564,5\t\u2014 0,0056\t\u2014 0,0014\t\u2014 0,0042\t\u2014 1\n567\t2\t569,5\t\u2014 0,0015\t\u2014 0,0015\t0,0000\t0\n572\t0\t574,5\t\u2014 0,0034\t\u2014 0,0010\t\u2014 0,0024\t\u2014 0,5\n577\t1\t579,5\t+ 0,0003\t\u2014 0,0006\t+ 0,0009\t0","page":484},{"file":"p0485.txt","language":"de","ocr_de":"Beitr\u00e4ge zur Collectivma\u00dflehre.\t485\nIII.\na\t%\tX\t\tsr\tw\t\\mW\n60\t1\t60,5\t+ 0,0010\t+ 0,0001\t+ 0,0009\t+ 1\n61\t0\t61,5\t+ 0,0009\t+ 0.0007\t+ 0,0002\t0\n62 .\t0\t62,5\t+ 0,0007\t+ 0,0012\t\u2014 0,0005\t\u2014 0,5\n63\t0\t63,5\t\u2014 0,0003\t+ 0,0022\t\u2014 0,0025\t- 2,5\n64\t2\t64,5\t\u2014 0,0016\t+ 0,0027\t\u2014 0,0043\t\u2014 4,5\n65\t15,5\t65,5\t+ 0,0037\t+ 0,0019\t+ 0,0018\t+ 2\n66\t26\t66,5\t+ 0,0037\t\u2014 0,0004\t+ 0,0041\t+ 4\n67\t54\t67,5\t+ 0,0002\t\u2014 0,0021\t+ 0,0023\t+ 2,5\n68\t108\t68,5\t\u2014 0,0013\t\u2014 0,0013\t0,0000\t0\n69\t172\t69,5\t\u2014 0,0084\t+ 0,0055\t\u2014 0,0139\t\u2014 14\n70\t253\t70,5\t\u2014 0,0074\t\u2014 0,0019\t\u2014 0,0055\t\u2014 5,5\n71\t290\t71,5\t\u2014 0,0218\t\u2014 0,0084\t\u2014 0,0134\t\u2014 14\n72\t330,5\t72,5\t\u2014 0,0078\t\u2014 0,0122\t+ 0,0044\t+ 4,5\n73\t296\t73,5\t+ 0,0057\t\u2014 0,0072\t+ 0,0129\t+ 13\n74\t223,5\t74,5\t+ 0,0122\t+ 0,0035\t+ 0,0087\t+ 9\n75\t142\t75,5\t+ 0,0115\t+ 0,0103\t+ 0,0008\t+ 1\n76\t75\t76,5\t+ 0,0056\t+ 0,0093\t\u2014 0,0037\t\u2014 4\n77\t38\t77,5\t+ 0,0043\t+ 0,0040\t+ 0,0003\t+ 0,5\n78\t13\t78,5\t+ 0,0009\t\u2014 0,0003\t+ 0,0012\t+ 1\n79\t3,5\t79,5\t\u2014 0,0015\t\u2014 0,0019\t\u2014 0,0004\t\u2014 0,5\n80\t2\t80,5\t\u2014 0,0014\t\u2014 0,0016\t+ 0,0002\t0\n81\t1\t81,5\t\u2014 0,0009\t\u2014 0,0009\t0,0000\t0\n82\t0,5\t82,5\t\u2014 0,0005\t\u2014 0,0003\t\u2014 0,0002\t0\n83\t0,5\t83,5\t0,0000\t\u2014 0,0001\t+ 0,0001\t0\nWundt, Philos. Studien. XV.\t33","page":485},{"file":"p0486.txt","language":"de","ocr_de":"486\nFriedrich Werner,\nIV,.\na\t\u00a3\tX\t^0\tSr\tW\t\\mW\n42\t1\t44\t+ 0,0084\t+ 0,0034\t+ 0,0050\t+ 0,5\n46\t0\t48\t0,0068\t0,0070\t\u2014 0,0002\t0\n50\t1\t52\t0,0117\t0,0130\t\u2014 0,0013\t0\n54\t2\t56\t0,0207\t0,0208\t\u2014 0,0001\t0\n58\t3\t60\t0,0277\t0,0284\t\u2014 0,0007\t0\n62\t5\t64\t0,0343\t0,0312\t+ 0,0031\t+ 0,5\n66\t6\t68\t+ 0,0208\t0,0241\t\u2014 0,0033\t\u2014 0,5\n70\t8\t72\t\u2014 0,0140\t+ 0,0046\t\u2014 0,0186\t\u2014 2\n74\t15\t76\t0,0308\t\u2014 0,0248\t\u2014 0,0060\t\u2014 0,5\n78\t20\t80\t0,0472\t0,0543\t+ 0,0071\t+ 1\n82\t25\t84\t0,0524\t0,0716\t+ 0,0192\t+ 2\n86\t25\t88\t0,0724\t0,0682\t\u2014 0,0042\t\u2014 0,5\n90\t32\t92\t0,0186\t0,0451\t+ 0,0265\t+ 3\n94\t19,5\t96\t\u2014 0,0494\t\u2014 0,0128\t\u2014 0,0366\t\u2014 4\n98\t24,5\t100\t+ 0,0100\t+ 0,0157\t\u2014 0,0057\t-0,5\n102\t10.D\t104\t0,0336\t0,0317\t+ 0,0019\t0\n106\t10\t108\t0,0483\t0,0339\t+ 0,0144\t+ 1,5\n110\t3\t112\t0,0304\t0,0271\t+ 0,0033\t+ 0,5\n114\t1,5\t116\t0,0199\t0,0176\t+ 0,0023\t0\n118\t0\t120\t+ 0,0082\t+ 0,0094\t\u2014 0,0012\t0\nIV,.\t\t\t\t\t\t\na\t%\tX\t-So\tsr\tW\t\u25a0jm W\n44\t1\t48\t+ 0,0065\t+ 0,0057\t+ 0,0008\t0\n52\t3\t56\t0,0195\t0,0180\t+ 0,0015\t0\n60\t8\t64\t+ 0,0317\t0,0309\t+ 0,0008\t0\n68\t14\t72\t\u2014 0,0158\t+ 0,0135\t\u2014 0,0023\t0\n76\t35\t80\t0,0429\t\u2014 0,0439\t+ 0,0010\t0\n84\t50\t88\t0,0591\t0,0735\t+ 0,0146\t+ 1>3\n92\t51,5\t96\t\u2014 0,0328\t\u2014 0,0233\t\u2014 0,0095\t\u2014 1\n100\t40\t104\t+ 0,0455\t+ 0,0307\t+ 0,0148\t+ 1,5\n108\t13\t112\t0,0358\t0,0307\t\u2014{\u2014 0,00ol\t+ 0,5\n116\t1,5\t120\t+ 0,0088\t+ 0,0108\t\u2014 0,0020\t0\nFig. 5.","page":486},{"file":"p0487.txt","language":"de","ocr_de":"Beitr\u00fcge zur Collectivma\u00dflehre.\t487\nV*\na\t%\tX\tZ0\t\tW\t\\m W\n15\t30,5\t20\t\u2014 0,1988\t\u2014 0,1064\t\u2014 0,0924\t\u2014 36\n25\t133\t30\t\u2014 0,0214\t\u2014 0,0370\t+ 0,0156\t+ 6\n35\t161\t40\t+ 0,1827\t+ 0,0732\t+ 0,1095\t+ 42,5\n45\t127,5\t50\t0,2684\t0,1844\t+ 0,0840\t+ 32,5\n55\t75,5\t60\t0,2096\t0,2429\t\u2014 0,0333\t\u2014 13\n65\t70\t70\t0,1515\t0,2187\t\u2014 0,0672\t\u2014 26\n75\t47\t80\t0,0698\t0,1267\t\u2014 0,0569\t\u2014 22\n85\t39,5\t90\t+ 0,0156\t+ 0,0144\t+ 0,0012\t+ 0,5\n95\t20,5\t100\t\u2014 0,0400\t\u2014 0,0704\t+ 0,0304\t+ 12\n105\t12,5\t110\t0,0760\t0,1056\t+ 0,0296\t+ 11,5\n115\t11,5\t120\t0,0849\t0,0986\t+ 0,0137\t+ 5,5\n125\t12,5\t130\t0,0725\t0,0708\t\u2014 0,0017\t\u2014 0,5\n135\t12,5\t140\t0,0495\t0,0415\t\u2014 0,0080\t\u2014 3\n145\t7,5\t150\t0,0340\t0,0203\t\u2014 0,0137\t\u2014 5,5\n155\t11\t160\t\u2014 0,0070\t0,0084\t+ 0,0014\t+ 0,5\n165\t3\t170\t+ 0,0002\t\u2014 0,0030\t+ 0,0032\t+ 1\nYb-\t\t\t\t\t\t\na\t%\tX\tZa\tSr\tW\t\\m W\n5\t5\t10\t\u2014 0,1924\t\u2014 0,0646\t\u2014 0,1278\t\u2014 49,5\n15\t88\t20\t\u2014 0,1348\t+ 0,0109\t\u2014 0,1457\t\u2014 56,5\n25\t190,5\t30\t+ 0,1204\t0,0801\t+ 0,0403\t+ 15,5\n35\t167,5\t40\t0,2670\t0,1101\t0,1569\t+ 61\n45\t100,5\t50\t0,2263\t0,1120\t0,1143\t+ 44,5\n55\t62,5\t60\t0,1143\t0,1102\t+ 0,0041\t+ 1,5\n65\t58,5\t70\t+ 0,0494\t0,0994\t\u2014 0,0500\t\u2014 19,5\n75\t31,5\t80\t\u2014 0,0175\t+ 0,0591\t0,0766\t\u2014 29,5\n85\t18\t90\t0,0592\t\u2014 0,0050\t\u2014 0,0542\t\u2014 21\n95\t21\t100\t0,0506\t0,0590\t+ 0,0084\t+ 3,5\n105\t8\t110\t0,0503\t0,0777\t0,0274\t+ 10,5\n115\t10\t120\t0,0324\t0,0644\t0,0320\t+ 12,5\n125\t2,5\t130\t0,0287\t0,0396\t+ 0,0109\t+ 4\n135\t1,5\t140\t0,0256\t0,0192\t\u2014 0,0064\t- 2,5\n145\t5\t150\t0,0129\t0,0075\t0,0054\t\t 2\n155\t2,5\t160\t\u2014 0,0065\t0,0023\t\u2014 0,0042\t- 1,5\n165\t2,5\t170\t0,0000\t\u2014 0,0005\t+ 0,0005\t0\n33*","page":487},{"file":"p0488.txt","language":"de","ocr_de":"488\nFriedrich Werner.\nZur befriedigenden Darstellung der Tafeln VA und V6 ist hiernach die Reihenentwicklung noch um einige Glieder weiterzuf\u00fchren; f\u00fcr die anderen Tafeln aber erweist sich das Verfahren in dem angewendeten Umfange als v\u00f6llig ausreichend.\n9. Fechner hat die Tafeln I und III einer vergleichsweisen Berechnung nach dem einfachen und nach dem zweiseitigen Gau\u00dfschen Gesetze unterworfen. Sein Verfahren, die empirischen Werthe der x mit den theoretischen in Vergleich zu setzen, weicht etwas von dem unsrigen ab. Wir erhalten als absolute Summe der Abweichungen der z-Werthe vom einfachen Exponentialgesetz bei Tafel I die Gr\u00f6\u00dfe 39, Fechner dagegen 46; wir finden weiter unter Zugrundelegung der Reihenentwicklung als theoretisches Gesetz f\u00fcr die absolute Summe der noch vorhandenen Abweichungen den Werth 32. Bei Fechner ergibt sich als absolute Summe der Abweichungen der z-Werthe bei Annahme des zweiseitigen Gau\u00df\u2019sehen Gesetzes die Gr\u00f6\u00dfe 42. Das Verh\u00e4ltniss 39 : 32 ist hier g\u00fcnstiger als das Verh\u00e4ltniss 46 : 42. Es spricht sich darin aus, dass die absolute Summe der Abweichungen von dem theoretischen Gesetz bei der Reihenentwicklung sich st\u00e4rker verringert als beim zweiseitigen Gau\u00df\u2019sehen Gesetz. Bei der TafelIII gibt Fechner zwischen den Absolutsummen der Abweichungen der z-Werthe vom einfachen und vom zweiseitigen Gau\u00df\u2019sehen Gesetz das Verh\u00e4ltniss 90 : 72 an. Wir finden ein ung\u00fcnstigeres Verh\u00e4ltniss. Die absolute Summe der Abweichungen der z-Werthe vom einfachen Exponentialgesetz ist 105,5, diejenige der Abweichungen von dem zu einer Reihenentwicklung erweiterten Vertheilungsgesetz ist 84,5.\nDiese Thatsachen w\u00fcrden wenig zu Gunsten des abweichend von Fechner eingeschlagenen Verfahrens zur Behandlung der Collectiv-gegenst\u00e4nde sprechen, wenn wir nicht erw\u00e4gen wollten, wie starke Spr\u00fcnge sich noch in den angewendeten Vertheilungstafeln zeigen. Eine weitere Reduction derselben ist nicht wohl ang\u00e4ngig, und es dr\u00e4ngt sich die Vermuthung auf, dass weder das Fechner\u2019sche Verfahren, noch auch das von Bruns hier zu einer genauen Darstellung der Beobachtung f\u00fchren kann, und zwar deshalb, weil das Beobachtungsmaterial selbst kein geeignetes ist. Wir werden bei stetigen Collectivgegenst\u00e4nden von der besprochenen Art zu dem Schl\u00fcsse koimnen, dass Ungleichartigkeit des Materiales die unausgeglichenen Zuf\u00e4lligkeiten zu relativ hohen Betr\u00e4gen anwachsen l\u00e4sst. Auch","page":488},{"file":"p0489.txt","language":"de","ocr_de":"Beitr\u00e4ge zur Collectivma\u00dflehre.\n489\nandre Rechnungsmethoden, denen sich Collectivgegenst\u00e4nde unterwerfen lie\u00dfen, w\u00fcrden daran nichts \u00e4ndern: die Thatsache, dass selbst eine so allgemeine Reihenentwicklung zur genauen Darstellung nicht gen\u00fcgt, ist darin begr\u00fcndet, dass das Material ungleichartig ist, nicht ausreicht, oder sonstwie unseren Forderungen nicht entspricht.\nNur eine weitgehende Reduction der Vertheilungstafeln vermag in solchen F\u00e4llen, wie etwa aus IVi und IV2 hervorgeht, eine bessere Uebereinstimmung zwischen dem theoretischen und dem empirischen Vertheilungsgesetze herzustellen. Dabei aber werden die Erfahrungsgrundlagen, aus denen wir das theoretische Vertheilungsgesetz ableiten, immer mehr beschr\u00e4nkt, und immer weniger haben wir das Recht, das gewonnene Vertheilungsgesetz anzuwenden auch f\u00fcr andere AVer the des Argumentes a, als sie gerade in der Vertheilungstafel angegeben sind.\n10. Unter den unstetigen Collectivgegenst\u00e4nden waren uns in den Tafeln lid und IICI solche begegnet, die Fechner als Collectivgegenst\u00e4nde mit verh\u00e4ltnissm\u00e4\u00dfig starker Schwankung bezeichnet. Bei den stetigen Collectivgegenst\u00e4nden haben wir uns die Tafel VI f\u00fcr eine besondere Betrachtung zur\u00fcckgestellt. Diese Tafel unterscheidet sich von allen bisher behandelten dadurch, dass sie v\u00f6llig asymmetrische Vertheilung der AVerthe % auf weist, zugleich aber zeigt sie, wie die Tafeln li Ci und li CI, eine sehr starke Schwankung. Fechner bemerkt nun, dass das Gau\u00df\u2019sehe Gesetz bei sehr starker Schwankung in seiner gew\u00f6hnlichen Anwendungsweise nicht mehr ausreicht, und f\u00fchrt deshalb die logarithmische Behandlung der Collectivgegenst\u00e4nde ein. So vortheilhaft nun auch nach Fe ohne r\u2019s Beispielen diese Behandlungsweise sein kann, so f\u00fchrt sie doch, hei der Tafel VI wenigstens, zu einer sehr willk\u00fcrlichen Annahme \u00fcber die Bedeutung von log 0, indem statt der Regenh\u00f6he 0,0 mm die Regenh\u00f6he 0,05 mm gesetzt wird. Mit mehr Recht h\u00e4tte man, um das Auftreten von log 0 zu vermeiden, jedes Argument a in der arithmetischen Vertheilungstafel um einen bestimmten AVerth vermehren k\u00f6nnen und h\u00e4tte versuchen m\u00fcssen, die Schwierigkeiten in der Deutung der Resultate dann auf irgend eine AVeisc zu l\u00f6sen.\nIch habe versucht, die Tafel VI rein arithmetisch zu behandeln, jedoch unter Zugrundelegung der Abweichungen nicht vom arithmetischen Mittelwerth c, sondern vom dichtesten AVerthe d = 0,5. Ich","page":489},{"file":"p0490.txt","language":"de","ocr_de":"490\nFriedrich Werner.\nnahm an, dass hier gleichsam die H\u00e4lfte einer Gau\u00df\u2019sehen Expo-nentialcurve vorliege, die ihre gr\u00f6\u00dfte Ordinate im Abscissenwerthe Null erreicht. Demgem\u00e4\u00df sah ich die Yertheilungscurve als vollst\u00e4ndig symmetrisch zur Ordinatenachse an, verzichtete aber darauf, ihr f\u00fcr negative Werthe der Abscissen a eine Bedeutung beizulegen. Unter solchen Voraussetzungen verschwinden nat\u00fcrlich die Coefficienten At, A3, A-0, u. s. w. Die Berechnung von h geschieht ganz nach dem fr\u00fcheren Schema, da ja die v\u00f6llige Symmetrie hergestellt ist durch Annahme von bedeutungslosen negativen Argumenten a mit denselben Werthen z, die zu den entsprechenden positiven Argumenten a geh\u00f6ren. Es ergibt sich dann\nd = 0,5 , h \u2014 0,1068 , s = 6,618\nDie Berechnung der Coefficienten mit gerader Nummer liefert\nA2 = 0,0000 , \u00c44 = + 0,5043 , A, = + 0,4393 .\nVorauszusehen war auch hier, dass 6 Glieder, oder in unserem Falle vielmehr 2 Glieder der Reihenentwicklung nicht ausreichen. Es findet sich sogar, dass in der N\u00e4he des dichtesten Werthes die Ber\u00fccksichtigung von A4(D[y)4 : 8 allein eine bessere Uebereinstimmung ergibt, als wenn man noch J6Q>(\u00ee/)6 : 32 hinzunimmt. K\u00f6nnte man die Glieder, deren Betrag durch As und AU) bestimmt wird, noch heranziehen, so w\u00fcrde jedenfalls dieser Nachtheil wieder aufgehoben werden. Aus dem eben erw\u00e4hnten Grunde sind die Resultate der weiteren Rechnung nach dem bisherigen Schema unter R\u00fccksichtnahme allein auf das Glied AiO(y)i : 8 angegeben:","page":490},{"file":"p0491.txt","language":"de","ocr_de":"Beitr\u00e4ge zur Collectivma\u00dflehre.\t491\nVI.\na\t\u00a3\tX\tV)\tSr\tw\tW\n0,5\t133\t1\t+ 0,2298\t+ 0,0453\t+ 0,1845\t+ 44\n1,5\t88\t2\t0,2840\t0,1311\t0,1529\t+ 36,5\n2,5\t43,5\t3\t0,2601\t0,2022\t+ 0,0579\t+ 14\n3,5\t28\t4\t0,2102\t0,2516\t\u2014 0,0414\t\u2014 10\n4,5\t27\t5\t0,1664\t0,2754\t0,1090\t\u2014 26\n5,5\t28\t6\t0,1345\t0,2733\t0,1388\t\u2014 33\n6,5\t27,5\t7\t0,1122\t0,2183\t0,1361\t\u2014 32,5\n7,5\t14,5\t8\t0,0737\t0,2059\t0,1322\t\u2014 31,5\n8,5\t16\t9\t0,0491\t0,1530\t0,1039\t\u2014 25\n9,5\t11,5\t10\t0,0254\t0,0968\t0,0714\t\u2014 17\n10,5\t12\t11\t0,0121\t+ 0,0438\t\u2014 0,0317\t- 7,5\n11,5\t10\t12\t+ 0,0026\t\u2014 0,0015\t+ 0,0041\t+ 1\n12,5\t6,5\t13\t\u2014 0,0071\t0,0362\t0,0291\t+ 7\n13,5\t5,5\t14\t0,0131\t0,0595\t0,0464\t+ 11\n14,5\t3\t15\t0,0197\t0,0720\t0,0523\t+ 12,5\n15,5\t3\t16\t0,0227\t0,0754\t0,0527\t+ 12,5\n16,5\t2\t17\t0,0250\t0,0721\t0,0471\t+ 11\n17,5\t5\t18\t0,0191\t0,0644\t0,0453\t+ 11\n18,5\t1\t19\t0,0200\t0,0544\t0,0344\t+ 8\n19,5\t3\t20\t\u2014 0,0157\t\u2014 0,0439\t+ 0,0282\t+ 6,8\n21,5\t3\t22\t\u2014 0,0115\t\u2014 0,0252\t+ 0,0137\t+ 3,5\n23,5\t2\t24\t\u2014 0,0080\t\u2014 0,0126\t+ 0,0046\t+ 1\n28,5\t1\t29\t\u2014 0,0063\t\u2014 0,0013\t\u2014 0,0050\t\u2014 1\n30,5\t1\t31\t\u2014 0,0042\t\u2014 0,0004\t\u2014 0,0038\t\u2014 1\n32,5\t1\t33\t\u2014 0,0021\t\u2014 0,0001\t\u2014 0,0020\t\u2014 0,5\n40,5\t1\t41\t0,0000\t0,0000\t0,0000\t0\nWollten wir hiernach die Werthe x der Vertheilungstafel verbessern, so w\u00fcrden wir bereits beim Argument a =13 auf negative Werthe x sto\u00dfen. In diesem Sinne ist aber die obige Rechnung gar nicht aufzufassen. Es sollte vielmehr nur gezeigt werden, dass die Ahsolutsumme der Abweichungen vom theoretischen Gesetz ahnimmt, wenn wir statt des einfachen Exponentialgesetzes die Reihenentwicklung benutzen, sei dieselbe auch nur unvollst\u00e4ndig.\nVergleichen wir trotz der Unzul\u00e4nglichkeit unsrer Rechnung die","page":491},{"file":"p0492.txt","language":"de","ocr_de":"492\nFriedrich Werner.\nErgebnisse mit denen Fechner\u2019s, so erkennen wir, dass f\u00fcr die arithmetische Behandlungsweise die Beihenentwicklung nicht nur theoretisch, sondern auch praktisch einen Fortschritt bedeutet. Leugnen l\u00e4sst sich freilich nicht, dass unter Umst\u00e4nden die logarithmische Behandlungsweise weniger Arbeitsaufwand erfordern kann, und es wird, auch wenn die Tafeln f\u00fcr die Ableitung der Function O erweitert w\u00fcrden, das Fechner\u2019sche Verfahren in manchen F\u00e4llen vorzuziehen sein, vorausgesetzt nat\u00fcrlich, dass man Willk\u00fcrlichkeiten von der besprochenen Art vermeidet.\n11. Im Anschluss an die Tafel VI sei hier noch einigen Bemerkungen \u00fcber einen wichtigen Typus von Vertheilungscurven Baum gegeben. Es sind dies die Curven f\u00fcr die Vertheilung der Lebensalter oder auch die Absterbetafeln einer bestimmten Generation. Dieselben haben bisher keine vollst\u00e4ndige Behandlung erfahren.\nWie solche Tafeln eingerichtet sind, darf an dieser Stelle wohl als bekannt vorausgesetzt werden. Es sei nur kurz erw\u00e4hnt, dass f\u00fcr unsre Zwecke die einzelnen Lebensalter, in Jahren oder l\u00e4ngeren Zeitr\u00e4umen ausgedr\u00fcckt, als Argumentwerthe a des Collectivgegen-standes gelten, die Zahl von Personen ein und derselben Generation, welche in diesen Lebensaltern mit dem Tode abgehen, aber ist der zugeh\u00f6rige Werth z. Dass man gew\u00f6hnlich umgekehrt verf\u00e4hrt und demnach von den w\u00e4hrend eines bestimmten Zeitraumes Gestorbenen die erreichten Lebensalter als Argumente a und die Zahlen, welche angeben, wie oft diese Lebensalter erreicht worden sind, als die %-Werthe anzusehen hat, kommt auf dasselbe hinaus. Lexis hat nun1), um ein gewisses Normalalter definiren zu k\u00f6nnen, nach einer starken Beduction der Argumente a, \u2014 die Intervalle zwischen den a sind n\u00e4mlich auf 5 Jahre angenommen, \u2014 die Vertheilungscurve der Werthe % erst vom Argumente a = 22,5 (20 bis 25) oder gar von a = 42,5 (40 bis 45) an ber\u00fccksichtigt. Die Zahlen, welche Lexis angibt, sind bereits einer Ausgleichung unterworfen, trotzdem aber zeigen sie nur zu deutlich, dass das einfache Exponentialgesetz zur Darstellung der Beobachtung nicht gen\u00fcgt. Obgleich diese Zahlen kein reines Beobachtungsmaterial sind und, was noch schwerer wiegt,\n1) Zur Theorie der Massenerscheinungen in der menschlichen Gesellschaft. Programm. Freiburg 1877.","page":492},{"file":"p0493.txt","language":"de","ocr_de":"Beitr\u00e4ge zur Collectivma\u00dflehre.\n493\nder in ihnen vorliegende Collectivgegenstand als unvollst\u00e4ndig gelten muss, so habe ich doch an den beiden Sterblichkeitstahelien, die Lexis von der franz\u00f6sischen m\u00e4nnlichen und weiblichen Bev\u00f6lkerung mittheilt, einmal versucht, ob die Darstellung der Yertheilungscurve mittels Reihenentwicklung nicht bessere Resultate liefere. Diese Erwartung ist durchaus erf\u00fcllt worden. Die Vertheilungscurven auch f\u00fcr diese unvollst\u00e4ndigen Oollectivgegenst\u00e4nde, die ich aber vorderhand als vollst\u00e4ndige behandelt habe, sind von \u00e4hnlichem Typus wie die bei einigen unstetigen Collectivgegenst\u00e4nden berechneten Curven. Es fand sich f\u00fcr diese Sterblichkeitstafeln:\nm\tM\u00e4nnl. Bev\u00f6lkerung 264\tWeibl. Bev\u00f6lkerung 269\nc\t67,23\t68,02\nh\t0,0566\t0,0562\n\t+ 0,0604\t+ 0,0618\nAi\t\u2014 0,0595\t\u2014 0,0523\nA\t\u2014 0,0330\t\u2014 0,0325\nA\u00df\t+ 0,0141\t+ 0,0098\nDer Gang der noch \u00fcbrig bleibenden Widerspr\u00fcche ist, wie aus Folgendem zu ersehen, unregelm\u00e4\u00dfig, und die Betr\u00e4ge der Widerspr\u00fcche sind ziemlich gering, so dass, nach diesem Beispiele wenigstens zu schlie\u00dfen, das Rechnungsverfahren von Bruns auf solche Sterblichkeitstafeln mit Vortheil angewendet werden k\u00f6nnte.\nM\u00e4nnliche Bev\u00f6lkerung.\na\t%\tX\tXq\tSr\tW\t\\mW\n42,5\t15\t45\t+ 0,0386\t+ 0,0182\t+ 0,0204\t+ 3\n47,5\t16\t50\t0,0672\t0,0483\t+ 0,0249\t+ 3\n52,5\t19\t55\t+ 0,0515\t0,0497\t+ 0,0018\t0\n57,5\t24\t60\t\u2014 0,0018\t+ 0,0191\t\u2014 0,0209\t\u2014 3\n62,5\t32\t65\t0,0550\t\u2014 0,0388\t\u2014 0,0162\t\u2014 2\n67,5\t38\t70\t0,0843\t0,0804\t\u2014 0,0039\t\u2014 1\n72,5\t40\t75\t0,0719\t0,0720\t+ 0,0001\t0\n77,5\t38\t80\t\u2014 0,0114\t\u2014 0,0250\t+ 0,0136\t+ 2\n82,5\t26\t85\t+ 0,0337\t+ 0,0194\t+ 0,0143\t+ 2\n87,5\t12\t90\t0,0380\t0,0349\t+ 0,0031\t0\n92,5\t4\t95\t+ 0,0262\t+ 0,0270\t\u2014 0,0008\t0","page":493},{"file":"p0494.txt","language":"de","ocr_de":"494\nFriedrich Werner.\nWeibliche Bev\u00f6lkerung.\na\t%\tX\tV)\tSr\tW\t\\mW\n42,5\t14\t45\t+ 0,0370\t+ 0,0179\t+ 0,0191\t+ 3\n47,5\t15\t50\t0,0638\t0,0387\t+ 0,0251\t+ 3\n52,5\t18\t55\t+ 0,0489\t0,0445\t+ 0,0044\t+ 1\n57,5\t23\t60\t\u2014 0,0032\t+ 0,0172\t\u2014 0,0204\t\u2014 3\n62,5\t31\t65\t0,0593\t\u2014 0,0346\t\u2014 0,0247\t\u2014 3\n67,5\t39\t70\t0,0843\t0,0736\t\u2014 0,0107\t\u2014 1\n72,5\t44\t75\t0,0532\t0,0684\t+ 0,0152\t+ 2\n77,5\t38\t80\t\u2014 0,0087\t\u2014 0,0270\t+ 0,0183\t+ 2\n82,5\t26\t85\t+ 0,0207\t+ 0,0151\t+ 0,0056\t+ 1\n87,5\t14\t90\t0,0285\t0,0325\t\u2014 0,0040\t\u2014 1\n92,5\t7\t95\t+ 0,0319\t+ 0,0269\t+ 0,0050\t+ 1\nNicht hierin jedoch liegt die Uebereinstimmung dieser Art von Vertheilungscurven mit Curven vom Typus der Tafel YI. Man hat vielmehr die s\u00e4mmtlichen Werthe a einer solchen Absterbetafel in R\u00fccksicht zu ziehen, wenn man zwischen beiden einen Vergleich anstellen will. Die Sterblichkeit erreicht im ersten Lebensjahre ihren Maximalwerth, dann sinkt die Verth eilungscurve verh\u00e4ltnissm\u00e4\u00dfig rasch bis zu einem Minimum, welches etwa f\u00fcr die Lebensalter von 15 bis 20 Jahren eintritt. Bis hierher bietet die Curve ganz dasselbe Bild wie die Curve VI, nur dass die Schwankung noch st\u00e4rker ist. Dann setzt sich gleichsam auf die Curve, deren Ordinaten bei weiterem regul\u00e4ren Verlauf immer mehr abnehmen sollten, ein zweiter Curven-zug von eben der Art, wie wir ihn oben kennen gelernt haben. Aus","page":494},{"file":"p0495.txt","language":"de","ocr_de":"Beitr\u00e4ge zur Collectivma\u00dflehre.\n495\ndieser secund\u00e4ren Erhebung oder Welle der Vertheilungscurve berechnete, wie erw\u00e4hnt, Lexis das sogenannte Normalalter.\nGem\u00e4\u00df dieser Zusammensetzung der vollst\u00e4ndigen Vertheilungs-curve aus zwei Theilen \u00fcber je einen unvollst\u00e4ndigen Collectivgegen-stand lie\u00dfe sich nun eine theoretische Darstellung der Sterblichkeitstafeln geben, und auf ein derartiges Verfahren ist auch bereits von Lexis hingewiesen worden. Dabei w\u00e4ren die Andeutungen, welche Bruns \u00fcber die Modification des Bechnungsverfahrens bei unvollst\u00e4ndigen Collectivgegenst\u00e4nden gibtl), zu benutzen. In welcher Weise dies aber zu geschehen h\u00e4tte, dar\u00fcber k\u00f6nnte erst die Ausf\u00fchrung an einem Beispiele Aufschluss geben. Ein solches Beispiel auszuf\u00fchren, schien nach den bisher gemachten Erfahrungen \u00fcber Oollectivgegenst\u00e4nde mit verh\u00e4ltnissm\u00e4\u00dfig starker Schwankung nicht ang\u00e4ngig, denn wir sind mit den bisher vorliegenden Tafeln \u00fcber die Ableitungen der \u00a9-Function nicht im Stande, die Reihenentwicklung weit genug zu verfolgen, wenn wir auch die h\u00f6heren Coefficienten As, Al0, u. s. w. auf Grund der Formeln (14), (15) und (28a) ohne M\u00fche berechnen k\u00f6nnen.\n12. Die logarithmische Behandlungsweise w\u00e4re vielleicht f\u00e4hig, wie man an der Rechnung Fechner\u2019s \u00fcber die Tafel VI2) sieht, bessere Resultate als die arithmetische auch bei den Sterblichkeitstafeln zu liefern. Auf eine Methode, die unter Umst\u00e4nden den bisher erw\u00e4hnten weit \u00fcberlegen sein kann, deutet aber Bruns in der Bemerkung, dass sich zur Darstellung der Vertheilungscurven auch eine Reihe herleiten lasse, deren Glieder s\u00e4mmtlich von der Form\nl. <D(h(x \u2014 e))\nsind. Die (konstanten h und c sollen f\u00fcr jedes Glied einen anderen Werth besitzen, und ebenso soll sich der Betrag der gegen fr\u00fcher neu hinzutretenden (konstanten l von Glied zu Glied \u00e4ndern; nur ist die Summe s\u00e4mmtlicher l gleich Eins zu setzen. Diese Darstellung deutet, sobald s\u00e4mmtliche l positiv sind, darauf, dass eine Mischung mehrerer Oollectivgegenst\u00e4nde vorliegt, die einzeln dem einfachen Exponentialgesetz gehorchen. Die Anzahl der Glieder dieser Reihenentwicklung wird sich je nach dem vorhegenden Falle richten. Be-\n1)\t\"Wundt, Philosophische Studien, Bd. XIV., S. 367.\n2)\tCollectivma\u00dflehre S. 346.","page":495},{"file":"p0496.txt","language":"de","ocr_de":"496\nFriedrich Werner.\nnutzen wir 2 Glieder, so haben wir 5 Oonstanten zur Verf\u00fcgung: cu Ci, hu h2 und lu denn l), muss ja der Bedingung l{ + 1% = 1 gen\u00fcgen. Setzen wir die Reihenentwicklung mit 3 Gliedern an, so stehen 8 Constante zur Verf\u00fcgung und allgemein bei n Gliedern 3 n \u2014 1 Constante. In dieser Hinsicht gew\u00e4hrt die Methode weit mehr Spielraum als diejenige, welche die Ableitungen der \u00a9-Function braucht. Freilich lassen sich f\u00fcr die Wahl der Constanten noch keine bestimmten Rechnungsvorschriften gehen, und bis auf weiteres muss diese Wahl ein einfaches Prohiren bleiben.\nNat\u00fcrlich kann auch der Fall eintreten, dass etwa die Constanten c f\u00fcr mehrere Glieder denselben Werth besitzen. Eine Vertheilungs-curve, die v\u00f6llige Symmetrie, aber relativ starke Schwankung zeigt, kann z. B. durch 2 Glieder in folgender Weise dargestellt werden:\n2H[x) - 1 = k \u00a9(*1 [x - c)) + (1 -\\) \u00a9(\u00c42 (X - c)) . Probeweise habe ich dies unter den Voraussetzungen\nto = 2000, e = 0,0 ,\t^ = 0,5,\t\\ = 0,2 , h2 = i,0\nausgef\u00fchrt. Die Argumente a sollten dabei die Werthe besitzen \u2014 1,5, \u20140,5, +0,5, +1,5,\t....\nDann erhielt ich r\u00fcckw\u00e4rts leicht die Vertheilungstafel\na\t\u00a3\ta\t\u00a3\n\u2014 11,5\t0,5\t+ 0,5\t533\n\u2014 10,5\t1,5\t+ 1,5\t179\n\u2014 9,5\t3\t+ 2,5\t90\n\u2014 8,5\t6,5\t+ 3,5\t69\n- 7,5\t12\t+ 4,5\t50,5\n- 6,5\t21\t+ 5,5\t34\n\u2014 5,5\t34\t+ 6,5\t21\n- 4,5\t50,5\t+ 7,5\t12\n\u2014 3,5\t69\t+ 8,5\t6,5\n- 2,5\t90\t+ 9,5\t3\n- 1,5\t179\t+ 10,5\t1,5\n\u2014 0,5\t533\t+ 11,5\t0,5\nDiese symmetrische Vertheilungstafel ist offenbar die eines Collectiv-gegenstandes von sehr starker Schwankung. Aus ihr nunmehr die oben gegebene Darstellung zu gewinnen, d\u00fcrfte eine Aufgabe von ziemlicher Schwierigkeit sein. Aber die allgemeine L\u00f6sung des Probl\u00e8mes, aus der empirischen Vertheilungscurve die Constanten cu c2,.","page":496},{"file":"p0497.txt","language":"de","ocr_de":"Beitr\u00e4ge zur Collectivma\u00dflehre.\n497\ncn, hh h2, . .., hn, lu lh ..., lm unter der Bedingung 2nln \u2014 1 zu ermitteln, kann yielleiclit durch willk\u00fcrliche Construction von Verthei-lungstafeln in der Weise, wie wir es versucht haben, gef\u00f6rdert werden.\n13. Hiermit seien diese Ausf\u00fchrungen vorderhand abgeschlossen, und es mag gestattet sein, aus dem vorliegenden Materiale, wiewohl es umfassender sein k\u00f6nnte, einige Schl\u00fcsse in Bezug auf die Ge-sammtheit der Collectivgegenst\u00e4nde zu ziehen. Diese Schl\u00fcsse k\u00f6nnen nur formaler Natur sein, denn allein die formale Seite der Sache wird durch unsre Betrachtungen ber\u00fchrt. Wie das Zustandekommen der Yertheilungscurven hei Collectivgegenst\u00e4nden z. B. aus dem Gebiete der Botanik zu erkl\u00e4ren sei, welche Bedeutung die vielleicht anzunehmende Mischung von mehreren Collectivgegenst\u00e4nden habe, das entzieht sich unserer Beurtheilung und bleibt den Wissenschaftsgebieten Vorbehalten, aus denen die betreffenden Beispiele entnommen sind. Ludwig berichtet in seiner erw\u00e4hnten Abhandlung schon von einer Anzahl von Versuchen, die Ergebnisse der Rechnung in solchem Sinne zu verwerthen.\nIn rein formaler Hinsicht k\u00f6nnte nun die Ausbeute der Itechnung gering erscheinen, denn dass die Collectivgegenst\u00e4nde im allgemeinen asymmetrische Yertheilungscurven aufweisen, das hatEechner bereits gezeigt, und er hat auch durch Einf\u00fchrung des dichtesten Werthes d und durch Angabe des Unterschiedes m' \u2014 mr, der Differenz der Summen der Werthe % oberhalb und unterhalb dieses dichtesten Werthes, ein bestimmtes Ma\u00df f\u00fcr die Asymmetrie geschaffen. Aber die Reihenentwicklung von Bruns gibt uns, sobald sie praktisch anwendbar ist, \u2014 und das ist zumeist der Fall \u2014 in den numerischen Werthen der Coefficienten A:t und A-, A7, u. s. w. ein viel genaueres Ma\u00df derjenigen Abweichungen vom Gau\u00df\u2019sehen Gesetz, welche sich unsymmetrisch zum arithmetischen Mittelwerthe vertheilen, und \u00fcberdies erhalten wir in den Coefficienten Ait AS; u. s. w. einen sicheren Ma\u00dfstab zur Beurtheilung der symmetrisch zu dem Mittelwerthe vertheilten Abweichungen.\nDas Ergebniss der durchgef\u00fchrten Rechnungen steht also doch wohl hinter den Ausf\u00fchrungen Eechner\u2019s nicht zur\u00fcck. Vielleicht lie\u00dfe sich auf Grund unserer Er\u00f6rterungen zu einer Eintheilung der Collectivgegenst\u00e4nde nach rein formalen Gesichtspunkten der folgende Vorschlag machen. Der materiale Unterschied zwischen stetigen und","page":497},{"file":"p0498.txt","language":"de","ocr_de":"498\nFriedrich Werner.\nunstetigen Collectivgegenst\u00e4nden kann bei Seite gelassen oder auch als formaler aufgefasst werden.\nZun\u00e4chst scheidet man diejenigen Collectivgegenst\u00e4nde aus, die wegen des complicirten Verlaufes ihrer Vertheilungscurven auch dem zu einer Eeihenentwicklung erweiterten Exponentialgesetze nur durch Zerlegung der Curve in Theile sich anpassen lassen. \u2014 Die Collectivgegenst\u00e4nde, bei denen die Eeihenentwicklung eine die Beobachtung ersch\u00f6pfende Darstellung zu geben vermag, bilden die andere, umfangreichere Classe.\nErstes Kennzeichen eines Collectivgegenstandes ist der arithmetische Mittelwerth c der Beobachtungen und die Streuung s. Je nach dem gr\u00f6\u00dferen oder geringeren Betrage von s kann man dann von Collectivgegenst\u00e4nden mit starker und schwacher Streuung sprechen. Als \u00bbpositiv\u00ab beziehentlich \u00bbnegativ asymmetrisch abweichend in erster Ordnung\u00ab wollen wir nun solche Vertheilungscurven bezeichnen, bei denen in der Eeihendarstellung der Coefficient A3 das positive beziehentlich negative Zeichen besitzt. \u00bbPositiv\u00ab oder \u00bbnegativ asymmetrisch abweichend in der zweiten Ordnung\u00ab w\u00fcrden diejenigen Curven sein, deren Coefficient A5 mit den entsprechenden Vorzeichen behaftet ist. In dieser Weise w\u00fcrde man die Benennung fortsetzen k\u00f6nnen. Zu bemerken ist allerdings, dass wegen der Vorzeichen der h\u00f6heren Ableitungen der \u00a9-Function die Bezeichnungen \u00bbpositiv\u00ab oder \u00bbnegativ asymmetrisch abweichend\u00ab das Verhalten der Curve nicht direct kennzeichnen. Man muss vielmehr, um den Verlauf der Ver-theilungscurve durch diese Ausdr\u00fccke sich anschaulich zu machen, noch auf den Gang der abgeleiteten \u00a9-Functionen zur\u00fcckgreifen. Dabei stellt sich denn heraus, dass die Bezeichnungsweise \u00bbpositiv\u00ab oder \u00bbnegativ asymmetrisch abweichend\u00ab in den geraden Ordnungen f\u00fcr die Vertheilungscurve eigentlich den umgekehrten Sinn hat. Auch ist hinzuzuf\u00fcgen, dass die Bezeichnung \u00bbpositiv\u00ab oder \u00bbnegativ\u00ab mit der eben hervorgehobenen Einschr\u00e4nkung nur f\u00fcr die n\u00e4chste Umgebung des arithmetischen Mittelwerthes mit dem wirklichen Verhalten der Vertheilungscurve \u00fcbereinstimmt, und diese Umgebung muss umso enger begrenzt werden, je h\u00f6here \u00bbOrdnungen\u00ab von asymmetrischen Abweichungen wir f\u00fcr den Collectivgegenstand als charakteristisch heranziehen.\nIn entsprechender Weise wollen wir Collectivgegenst\u00e4nde, deren","page":498},{"file":"p0499.txt","language":"de","ocr_de":"Beitr\u00e4ge zur Collectivma\u00dflehre.\n499\nAbweichungen vom einfachen Gau\u00df\u2019sehen Gesetze sich symmetrisch zum arithmetischen Mittelwerthe vertheilen, kurz bezeichnen durch \u00bbpositiv\u00ab oder \u00bbnegativ symmetrisch abweichend\u00ab, und wollen auch hier Abweichungen \u00bbder ersten, zweiten, u. s. w. Ordnung\u00ab unterscheiden. Nennen wir demgem\u00e4\u00df \u00bbpositiv symmetrisch abweichend in der ersten \u00f6rdnung\u00ab eine Curve, f\u00fcr welche in der Reihen-darstellung Ax ein positives Vorzeichen besitzt, und f\u00fchren diese Benennung entsprechend weiter, so sind hier \u00e4hnliche Vorbehalte bez\u00fcglich der Uebereinstimmung der Bezeichnungen mit dem Gange der Vertheilungscurven zu machen wie bei den asymmetrischen Abweichungen.\nWegen der geringen Anschaulichkeit, die der vorgeschlagenen Classification der Collectivgegenst\u00e4nde zukommt, ist vielleicht eine andere vorzuziehen. Doch m\u00fcssen wir ber\u00fccksichtigen, dass wir uns auf die formale Seite der Sache beschr\u00e4nken wollen. Die numerischen Betr\u00e4ge der Abweichungen 2 H(x) \u2014 1 \u2014 0(y) sind zwar durch die Werthe der Coefficienten A3, A4, ... vollst\u00e4ndig exact und eindeutig festgelegt, aber selbst wenn man sich mit dem Verlauf der Ableitungen der Function O genau vertraut gemacht h\u00e4tte, d\u00fcrfte es sehr schwierig sein, von vornherein zu \u00fcberblicken, wie sich die einzelnen Beitr\u00e4ge der verschiedenen Glieder der Reihenentwicklung zu den Abweichungen zusammensetzen. Die Benennungen, die \u00fcbrigens so gew\u00e4hlt sind, als ob f\u00fcr die Vertheilungscurven s\u00e4mmtlicher Collectivgegenst\u00e4nde das einfache Exponentialgesetz gewisserma\u00dfen als Ideal zu gelten habe, sind also nicht in w\u00f6rtlichem Sinne aufzufassen. Die Bezeichnungen, welche Ludwig einf\u00fchrt, wie z. B. Para-binomialcurven, geben zwar sofort eine Vorstellung \u00fcber den Gang einer Vertheilungscurve, wenn man einmal einen bestimmten Typus mit einem solchen Namen belegt, aber wir haben im Verlaufe unsrer Rechnung sehr verschiedenartige Formen von Vertheilungscurven kennen gelernt und schlie\u00dfen mit Recht, dass diese die m\u00f6glichen F\u00e4lle nicht im geringsten ersch\u00f6pfen. Es schien daher gerathen, wenn man Benennungen nicht entbehren will, solche zu w\u00e4hlen, die sich auf neue F\u00e4lle ausdehnen lassen, ohne dass man in Verlegenheit umNamen kommt.\nEs er\u00fcbrigt nur noch, an einigen Beispielen zu zeigen, wie sich nach den obigen Grunds\u00e4tzen die Nomenclatur, wenn man so sagen darf, eines Oollectivgegenstandes gestaltet.","page":499},{"file":"p0500.txt","language":"de","ocr_de":"500\nFriedrich Werner. Beitr\u00e4ge zur Collectivma\u00dflchre.\nDie europ\u00e4ischen M\u00e4nnersch\u00e4del stellen einen Collectivgegenstand vor, der in Bezug auf das Merkmal des Verticalumfanges von ziemlich starker Streuung ist, positiv asymmetrisch abweichend in erster, negativ in zweiter Ordnung, negativ symmetrisch abweichend in erster und zweiter Ordnung. Die Abweichungen in h\u00f6herer als der zweiten Ordnung k\u00f6nnen sicher vernachl\u00e4ssigt werden. \u2014 Die Studenten-recrutenma\u00dfe dagegen zeigen, als Collectivgegenstand aufgefasst, keine sehr starke Streuung, die Abweichungen sind positiv asymmetrisch in erster, negativ asymmetrisch in zweiter Ordnung, positiv symmetrisch in erster und zweiter Ordnung.\nDie Tafel \u00bbBt\u00ab stellt einen Collectivgegenstand dar von schwacher Streuung, stark asymmetrisch abweichend und zwar negativ in erster und zweiter Ordnung, positiv symmetrisch abweichend in erster und zweiter Ordnung. Die Abweichungen in h\u00f6heren Ordnungen sind irrelevant. Davon abweichend bietet uns die Tafel \u00bbi? Cz\u00ab das Beispiel eines Oollectivgegenstandes von etwas st\u00e4rkerer Streuung, positiv asymmetrisch abweichend in erster, negativ in zweiter Ordnung, positiv symmetrisch abweichend in erster und zweiter Ordnung. Die symmetrischen Abweichungen sind au\u00dferordentlich bedeutend, sodass zur ersch\u00f6pfenden Darstellung die Abweichungen in den h\u00f6heren Ordnungen heranzuziehen sind.\nIn solcher Weise etwa w\u00fcrden sich Collectivgegenst\u00e4nde mit Worten charakterisiren lassen, ohne dass man numerische Wertlie der Bestimmungsst\u00fccke angibt. Zu modificiren w\u00e4re nat\u00fcrlich die vorgeschlagene Art der Eintheilung, sobald wir die Coefficienten A, und Ai von Null verschiedene Werthe annehmen lassen. Da dies aber nicht die Regel ist, so sehen wir davon ab, und ebenso verzichten wir darauf, alle die Classen aufzustellen, die sich durch die Gruppirungen der positiven, beziehentlich negativen A:i, A4, Ar>, A\u00df bilden lie\u00dfen. Schon der obige Eintheilungsversuch bietet genug des Schematismus, und \u00fcbrigens w\u00fcrde, sobald noch h\u00f6here Coefficienten A zu ber\u00fccksichtigen sind, die getroffene Eintheilung wieder hinf\u00e4llig werden.\nMit dem Ausdrucke meines herzlichen Dankes f\u00fcr die freundliche Anregung und Unterst\u00fctzung, die mir Herr Professor Bruns bei dieser Arbeit zu Theil werden lie\u00df, sei dieselbe beschlossen.","page":500}],"identifier":"lit4281","issued":"1900","language":"de","pages":"453-500","startpages":"453","title":"Beitr\u00e4ge zur Collectivma\u00dflehre","type":"Journal Article","volume":"15"},"revision":0,"updated":"2022-01-31T12:37:27.374406+00:00"}