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{"created":"2022-01-31T12:37:46.856071+00:00","id":"lit4482","links":{},"metadata":{"alternative":"Philosophische Studien","contributors":[{"name":"Mosch, Erich","role":"author"}],"detailsRefDisplay":"Philosophische Studien 20: 215-231","fulltext":[{"file":"p0215.txt","language":"de","ocr_de":"Ueber den Zusammenhang\nzwischen der Methode der Minimal\u00e4nderungen und der Methode der richtigen und falschen F\u00e4lle.\nVon\nErich Mosch.\n(Leipzig.)\nMit 2 Figuren.\n1. Vorbemerkungen.\nVon den Ma\u00dfmethoden der Psychophysik liefert nur die M. d. M.-Ae.1) den Werth der Unterschiedsschwelle direct; die andern Methoden ergeben gewisse Gr\u00f6\u00dfen, mit deren H\u00fclfe man zwar auch die Unterschiedsempfindlichkeit misst, die aber nicht in engerem Zusammenh\u00e4nge mit der Unterschiedsschwelle stehen; nur die M. d. r. u. f. F.2) liefert einen Werth, dem zuweilen auch der Charakter einer Unterschiedsschwelle zugesprochen worden ist. Die M. d. r. u. f. F. sowie die der M.-Ae. sind daher auch oft mit einander verglichen worden, die Ergebnisse dieser Untersuchungen stimmen aber durchaus nicht \u00fcberein. In der M. d. r. u. f. F. kommen zwei Gr\u00f6\u00dfen vor, die zur Messung der Unterschiedsempfindlickeit benutzt worden sind, n\u00e4mlich das aus der Fehlertheorie bekannte Gau\u00df\u2019sehe Pr\u00e4cisions-ma\u00df h und die im Folgenden mit x (bezw. x0 und xu) hezeichnete M\u00fcll er\u2019sehe Schwelle, d. i. diejenige Reizdifferenz, bei der die relative H\u00e4ufigkeit der r. bezw. f. F\u00e4lle ebenso gro\u00df ist, wie die der andern Urtheile zusammen. Um die Berechtigung dieser beiden Gr\u00f6\u00dfen zur Messung der Unterschiedsempfindlichkeit handelt es sich; bald\n1)\tZur Abk\u00fcrzung f\u00fcr Methode der Minimal\u00e4nderungen.\n2)\tZur Abk\u00fcrzung f\u00fcr Methode der richtigen und falschen F\u00e4lle.","page":215},{"file":"p0216.txt","language":"de","ocr_de":"216\nErich Mosch.\nergaben die Versuche h allein als hierf\u00fcr geeignet, bald wurde indirect mit der Schwelle der M. d. M.-Ae. in Zusammenhang gebracht. So sagt Lorenz1): \u00bbMan kann behaupten, dass der nach der M. d. M.-Ae. gefundene Schwellenwerth, als Reizunterschied D in\nder M. d. r. u. f. F. verwendet, ~ = ~ ergibt\u00ab. Nach ihm ist also\niv\tdi\ndie Fechner\u2019sche Schwelle (eine der M\u00fcller\u2019schen Schwelle entsprechende Gr\u00f6\u00dfe) die Schwelle der M. d. M.-Ae. M\u00fcller selbst nimmt x als Ma\u00df der Unterschiedsempfindlichkeit an. Merkel folgert aus seinen Untersuchungen2): \u00bbDie Schwellenwerthe der M. d. M.-Ae. und der M. d. r. u. f. F. sind wesentlich verschieden\u00ab. Derselbe sagt an anderer Stelle3): \u00bbMithin ist das Pr\u00e4cisionsma\u00df umgekehrt proportional der Unterschiedsschwelle\u00ab. Bei K\u00e4mpfe4 5) lesen wir: \u00bbDas Pr\u00e4cisionsma\u00df h bew\u00e4hrte sich innerhalb weiter Grenzen einzig und allgemein als Ma\u00df der Unterschiedsempfindlichkeit\u00ab. Durch Experimente ist also zur Schlichtung des Streites nicht viel beigetragen worden. Eine vermittelnde Stellung nimmt Wundt ein; er betrachtet h als Ma\u00df der Unterschiedsempfindlichkeit und sagt von den x6), sie seien nicht nur von der Unterschiedsempfindlichkeit, sondern auch von anderen Bedingungen des Bewusstseins abh\u00e4ngig, so dass sie zwar in gewissen F\u00e4llen den eigentlichen Schwellenwerthen analog gehen, niemals ihnen aber entsprechen werden. Im Folgenden soll der Versuch gemacht werden, das Problem von einer anderen Seite her in Angriff zu nehmen, es mathematisch zu formuliren und einen functioneilen Zusammenhang zwischen S (der Schwelle der M. d. M.-Ae.), x und h herzustellen. ,\n2. Einf\u00fchrung der Gr\u00f6 l'sen s, und st.\nAls Ausgangspunkt unserer Betrachtungen soll eine Bemerkung Wundt\u2019s6) dienen. Durch die Methode der M.-Ae. erh\u00e4lt man bekanntlich die Unterschiedsschwelle, indem man von zwei gleichen Reizen ausgeht und den einen so lange steigert, bis er merklich\n1) Philos. Studien II, 469.\t2) Philos. Studien IV, 289.\n3) Philos. Studien VII, 618.\t4) Philos. Studien VIII, 589.\n5) Physiol. Psychologie 4 I, 351.\t6) Physiol. Psychologie 4 I, 344.","page":216},{"file":"p0217.txt","language":"de","ocr_de":"Zusammenhang zwischen der Methode der Minimal\u00e4ndernngen u. s. w. 217\ngr\u00f6\u00dfer als der andere erscheint, dann wieder zur\u00fcckgeht und den Punkt feststellt, wo er wieder dem ersten gleich erscheint u. s. w. Wundt will nun an Stelle der regelm\u00e4\u00dfigen eine unregelm\u00e4\u00dfige Variation des Vergleichsreizes treten lassen: \u00bbMan gebe in einer Reihe von Versuchen successiv zu dem Normalreiz r die Vergleichsreize rt r, r, \u25a0 \u2022 -, die unregelm\u00e4\u00dfig \u00fcber und unter r gelegen sind, so aber, dass keiner von ihnen die Unterschiedsschwelle erheblich \u00fcberschreitet. Aus einer Reihe so ausgef\u00fchrter Versuche sind 1) die unter dem Normalreiz r gelegenen Werthe des Vergleichsreizes r', bei denen r \u2014 r empfunden wurde, zu einem Mittel zu vereinigen, 2) die ebenso gelegenen, denen r' eben merklich < r entsprach, sodann 3) die \u00fcber r gelegenen Werthe r' = r, 4) die ebenso gelegenen r' eben merklich > r. Aus 1) und 2) erh\u00e4lt man dann die untere, aus 3) und 4) die obere Unterschiedsschwelle. Hierbei tr\u00e4gt aber zugleich das Verfahren den Charakter einer combinirten Methode an sich, da man alle Ergebnisse r' < r, r' > r und r' = r, ohne R\u00fccksicht auf die gleichzeitige Bedeutung von Schwellenwerthen, die einzelnen F\u00e4llen der Ungleichungen r' < r und r' > r zukommt, nach der M. d. r. u. f. E. behandeln kann. Es ergibt sich dadurch die M\u00f6glichkeit, aus dem n\u00e4mlichen Versuchsmateriai die beiden zur Messung der Unterschiedsempfindlichkeit verwerthbaren Gr\u00f6\u00dfen, die Unterschiedsschwelle und das Pr\u00e4cisionsma\u00df, nebeneinander zu bestimmen\u00ab.\nEs soll versucht werden, den Gedanken, der hier ausgesprochen ist, in mathematische Form zu kleiden, und zwar wollen wir, um den Gedankengang zu vereinfachen, uns darauf beschr\u00e4nken, zun\u00e4chst nur die obere Unterschiedsschwelle zu berechnen. Wir gehen von der M. d. r. u. f. F. aus und stellen erst noch einmal kurz die hier in Betracht kommenden Formeln zusammen, um die Bezeichnungen zu fixiren. Gegeben ist ein Normalreiz R, mit diesem werden eine Anzahl Reize Rx verglichen, die von R um die Gr\u00f6\u00dfe \u00f6x unterschieden sind, wo \u00f6x > 0 ist. Notirt werden f\u00fcr jedes \u00e4x die Anzahlen der Urtheile Rx < R, Rx \u2014 R und Rx > R, es seien f\u00fcr die Differenz D = \u00f6x die Anzahlen Nx, Zx und Px. Aus diesen Zahlen berechnet man die Wahrscheinlichkeiten nx, xx und px der Urtheile, es ist:","page":217},{"file":"p0218.txt","language":"de","ocr_de":"218\nErich Mosch.\nF\u00fcr nx, zx und px haben zuerst Fechner und M\u00fcller aus den Principien der Wahrscheinlichkeitsrechnung Formeln auf gestellt, dann hat Bruns1) den Gegenstand noch einmal behandelt und ist dabei zu \u00e4hnlichen Formeln wie M\u00fcller gelangt. Im Folgenden sollen die Bruns\u2019schen Formeln benutzt werden. Sie lauten, wenn man das Fehlergesetz mit cp (z) bezeichnet und au\u00dferdem\no\nsetzt :\nPK \u2014 Xp{<x>) \u2014 xp(x0 \u2014 \u00f6x) zx = ip{x0 \u2014 dx) \u2014 tp(xu \u2014 dx) nx=ip(xu\u2014\u00f6x) -ifj(-co)\nHierin sind x0 und xu die im Anf\u00e4nge dieser Arbeit definirten, der M\u00fcll er\u2019sehen Schwelle entsprechenden Gr\u00f6\u00dfen.\nAls Fehlergesetz werden wir das Gau\u00df\u2019sche annehmen, da dasselbe in der Psychophysik mit gro\u00dfer Ann\u00e4herung gilt; es lautet\nwo exp (t) die Exponentialfunction von t bedeutet und h das Gau\u00dfsche Pr\u00e4cisionsma\u00df ist. Es wird dann:\ner.\ther.\nIn welcher Weise kann man nun das Zahlenmaterial der M. d. r. u. f. F. zugleich f\u00fcr die M. d. M.-Ae. verwenden? Betrachten wir Tabelle I, die uns das Zahlenmaterial, wie es sich bei Anwendung der M. d. r. u. f. F. ergibt, veranschaulicht. F\u00fcr jede Reizdifferenz D seien gleichviel Versuche gemacht worden; . dann sagt unsere Tabelle aus, dass bei der Differenz dx Nx Kleiner-, Zx Gleich- und Px Gr\u00f6\u00dfer-Urteile abgegeben worden sind. Die letzte Differenz, bei\n1) Philos. Studien IX, 1.","page":218},{"file":"p0219.txt","language":"de","ocr_de":"Zusammenhang zwischen der Methode der Minimal\u00e4nderungen, u. s. w. 219\nder noch Kleiner- bezw. Gleich-Urtheile Vorkommen, sei \u00f6r. Diese Tabelle deuten wir uns jetzt im Sinne der M. d. M.-Ae., indem wir sie in eine Anzahl einzelner Tabellen zerlegen und zwar folgenderma\u00dfen: Da bei der \u00e4u\u00dfersten Differenz 6V noch Nv Kleiner- und Zv Gleich-Urtheile Vorkommen, so w\u00fcrde hei Anwendung der M. d. M.-Ae. (Nv + Zv) mal der Fall eingetreten sein, dass erst bei D > \u00f6v\nTabelle I.\nD\tR\u2019<R\tR'=R\tR\u2019> R\n\tN0\tZ0\tPo\n\tJV.\tzt\tPl\n\tN\tZ>\tP2\n#v-l\tiV,_,\tZv \u2014 1\tPv-v\n\tNv\tZv\tPv\nTabelle II.\nD\tR' < \u00c4 oder R\u2019 = R\tRr>R\n*0\tN0+Z0 \u2014 (Nv + Zv)\tPo\n\tNt + Zt \u2014 [Nv + Zi:)\tPv\n\tNt+ Zi \u2014 (Nv 4- Z,)\tpi\n\u00e0r-i\tNy-I+Zv- 1 \u2014 [Nv + Z\u201e)\tP,-t\nder Vergleichsreiz fortgesetzt ' gr\u00f6\u00dfer als der Normalreiz gesch\u00e4tzt worden ist, vorher aber immer die Urtheile R' \u2022< R oder R' \u2014 R abgegeben worden sind. [Nv + Zv) mal wird also \u00f6v als letzte Reizdifferenz, als Unterschiedsschwelle, zu setzen sein. Lassen wir jetzt diese Nv + Z\u201e Versuchsreihen bei Seite, so erhalten wir Tabelle II, in der sich die Reizdifferenzen nur noch bis \u00f6v_t erstrecken. Aus","page":219},{"file":"p0220.txt","language":"de","ocr_de":"220\nErich Mosch.\nihr ersehen wir, dass in N\u201e_i + Zl,_i \u2014 (Ny -f- Zv) F\u00e4llen die Reiz-differenz \u00f6y_{ als \u00e4u\u00dferste Differenz, als Schwelle erfasst wurde. Lassen wir wiederum diesen Fall hei Seite, so bleiben f\u00fcr die Differenz D \u2014\tiV\u201e_.2 + Zy_j \u2014 [Ny_t -f- Zy_i) F\u00e4lle, in denen als\nSchwelle empfunden wurde u. s. w. So zerlegen wir die ganze Tabelle I in eine Anzahl Einzeltabellen; diese Zerlegung soll hier nicht weiter gef\u00fchrt werden, da wir nicht die Zahlen Nx, Zx und Px) sondern nur die relativen H\u00e4ufigkeiten nx, zx und px kennen; zu diesen gehen wir jetzt \u00fcber. Aus der obigen Betrachtung ziehen wir ohne weiteres den Schluss: Die Wahrscheinlichkeit daf\u00fcr, dass erst nach der Differenz dy nur Gfr\u00f6\u00dfer-Urtheile Vorkommen, ist %v + ny) die W. daf\u00fcr, dass erst nach D = dy_l nur >-Urtheile Vorkommen,\nTabelle III.\nD\tW. f\u00fcr die Schwelle D\n<*0\tn0+x o\u2014 (re, + *,)\n\tni + *1 \u2014 (\u00ab2 + *2)\n\t\t (% + *3)\n*r-i\t* v)\n<*V\tnv + %v\nist n\u201e_i + xy_t \u2014 (ny + zy) \u2022 \u25a0 \u2022, die W. daf\u00fcr, dass nach D \u2014 \u00f6x nur noch -Urtheile Vorkommen, ist nx_, \u2014 xy_{ \u2014 [nx -\\-%x) \u2022 \u2022 -, die W. daf\u00fcr, dass nach D \u2014 \u00f60 nur Urtheile Vorkommen, ist n\u201e -)- za \u2014 (n{ + z{). Dieses Resultat ist in Tabelle IH nochmals veranschaulicht, wo den einzelnen Reizdifferenzen die Wahrscheinlichkeiten daf\u00fcr, dass jene die \u00e4u\u00dfersten Grenzen der <- und =-Urtheile bilden, zugeordnet sind. Wo liegt \u00e4her die wahre Unterschiedsschwelle? Die M. d. M.-Ae. definirt ja als Schwelle die \u00e4u\u00dferste Reizdifferenz, \u00fcber die hinaus keine <- oder =-Urtheile mehr Vorkommen. Theoretisch w\u00e4re diese Differenz hei der M. d. r. u. f. F. unendlich gro\u00df. So kommen wir also nicht weiter. Wir wollen vielmehr zun\u00e4chst einen gewissen Mittelwerth s, berechnen, den wir","page":220},{"file":"p0221.txt","language":"de","ocr_de":"Zusammenhang zwischen der Methode der Mmimal\u00e4nderungen u. s. w. 221\nmit H\u00fclfe des folgenden Satzes der \"Wahrscheinlichkeitsrechnung ableiten :\nSind zur Bestimmung des Werthes einer unbekannten Gr\u00f6\u00dfe A,t x% 4- . . + l- Beobachtungen angestellt worden, von denen l{ den \"Werth xK, den \"Werth x\u00ef) \u2022 \u25a0 \u2022 \u25a0 Xi den Werth ergaben, so ist der angen\u00e4herte Mittelwerth dieser Beobachtungen:\nTij-\u2014j\u2014\tl~ * * * ~1\t'\nK + +\u2022\u2022\u2022\u2022+\nNach diesem Satze ergibt sich als Mittelwerth unserer Schwelle:\n__(w0 -j- %0 \u2014 nt \u2014^)d0 + (ni\t%8) dt -\\\t\u2022 \u2022\t-{-%,) \u00e0 y\ns\u2018 ~~ (\u00bbo +\t\u2014 nK \u2014 *\u00ab) + K +zi \u2014 nt \u2014 %t)+----------1\" K + *<\u2019)\n(^o+^Jdo+K+^iK^\u2014d0)+K+^)(d\u00e4\u2014 d,)-j-----------Hny+Zv)^y \u2014 ^y-i)\ns* \u2014\tn\u201e + \u00abo\nUm die Berechnung dieses Werthes wird es sich nachher handeln; jetzt stellen wir erst \u00e4hnliche Betrachtungen wie die fr\u00fcheren f\u00fcr die Spalte der Urtheile R' > R an. Wir kommen zu dem Resultat:\nDie Wahrscheinlichkeit daf\u00fcr, dass schon von D = d0 an der Vergleichsreiz stets gr\u00f6\u00dfer als der Normalreiz gesch\u00e4tzt wird, ist p0, die W. daf\u00fcr, dass erst von D = d, an diese Sch\u00e4tzung eintritt, ist p \u2014 po . . \u2022, die W. daf\u00fcr, dass die Schwelle bei \u00f6x ist, betr\u00e4gt px \u2014PK-\\ \u2022 \u2022 \u2022 \u2022, die W., dass erst von \u00f6\u201e an stets R' > R gesch\u00e4tzt\nTabelle IV.\nD\tW. f\u00fcr die Schwelle D\n\tPo\n\tPi\u2014Po\n\t\u2022 \u2022 1 5\n*r\tp,, \u2014 p,_,\nwird, ist pv \u2014 pv-i- S. Tab. IV. Einen mittleren Werth s4 dieser Schwellen erhalten wir wieder wie oben:","page":221},{"file":"p0222.txt","language":"de","ocr_de":"222\nErich Mosch.\n ff0d Q + (g, \u2014 Po) ji + (Pt \u2014 jh| <?, + \u2022 \u2022 \u2022 + (Pv\u2014Pv-i)\n*\tPv\n(2) s2 =\nP\u00bb <k\u2014Po(\u00f4i \u2014 *o) \u2014P* (g\u00bb \u2014 jt) '\n\" Pv\u20141 (jy\t\u2014<)\n\n3. Berechnung von s, und ss.\nUm die folgenden Entwicklungen nicht durch l\u00e4ngere Zwischenrechnungen un\u00fcbersichtlich zu machen, schicken wir einige Bemerkungen voraus. Es war\n(3)\nexp (\u2014 tfz* )\nX\n*p(x) =f<p{y)dv =\n0\nFerner ist:\nxp[<x>) =f\nEndlich haben wir:\nnx = ip[xu \u2014 dj + \\\n(4)\tzx =tp(x0 \u2014 dj \u2014 xp(xu \u2014 dx)\npx \u2014 i \u2014 y>ixo \u2014s*)-\nZun\u00e4chst berechnen wir den Ausdruck\nm\nxp(x \u2014 Ad) = ip(x) + xp(x \u2014 d) + %fj{x \u2014 2d) \u25a0+\u2022*\u2022\u2022+ *P(X \u2014 m\nl\nEntwickeln wir die einzelnen Ausdr\u00fccke nach Potenzen von Ad, und fassen wir dann die Glieder in geeigneter Weise zusammen, so erhalten wir:\n(5) ^xip(x \u2014 Ad) = mip[x) \u2014\t11 \u00c4 y(x)\n1\n+ \u00ab\"l\u00bb + 1)(2\"+l!. I) r[t) _\t|! y\u2019\"{X) + \u25a0\u25a0\u25a0\u25a0","page":222},{"file":"p0223.txt","language":"de","ocr_de":"Zusammenhang zwischen der Methode der Minimal\u00e4nderungen u. s. w. 223\nWir f\u00fchren neben tp(x) noch die Function %{x) durch folgende Formel ein:\nX\n(6)\t%(x) =J'xp(y)dy,\n0\nsodass also:\nX'(x) = tp{x), xp'(x) = (p[x) ist.\nF\u00fcr tp(x) und %(x) erh\u00e4lt man folgende Reihen:\n(7)\ny7t \u25a0 ip(x) = hx\n(hx)3\n3H1\n(hx)3\nb72\\\nM7 -4-\n7. 3! \u2014 ' \"\nhVn \u25a0 x(x) =\n(hxf\n~2~~\n(hx)*\t, (hxf (hxf _j_\n\u00c4XTl + 6701\t8. 7. 3! \u201c\nMan sieht, es ist\nip(\u2014 x) = \u2014 V(x)\nXi\u2014x)\u2014 %(x).\nF\u00fcr gro\u00dfe Werthe von hx erh\u00e4lt man aber bequemere Reihen, indem man die Ausdr\u00fccke ip(x) und x(x) durch wiederholte partielle Integration berechnet. Als Resultat gewinnt man folgerfde Reihenentwicklungen :\n, ,\t, exp(\u2014\u00c2\u00ee\u00e6\u00ee)f1 1\t1.3\t1.3.5\t]\n= i \u00ab L 2\u00c4*a? + (2h'x'f\t(2\u00a5^f \u00b1\t\u2018 \u2018J\n(8)\n+\ni\u00e9s+2+\n\\\nexp(\u2014 /&*#*) [1\t1.3\t1. 3. 5 __\nL 2A* x1 + (2^*)*\t\"\"\nZwischen ip(x) und x(x) besteht \u00fcbrigens noch die Beziehung:\n(9)\nX(x) = xxp(x) +\nexp(\u2014 h? x*)\n2 kVre\nl\n2 hV 7t\nIst hx sehr gro\u00df, so kann man, wie aus (8) hervorgeht, ann\u00e4herungs-\nweise schreiben:\nX(x) \u2014 x(\u2014 x) \u2014 |\n1\n2 hVn\n(10)","page":223},{"file":"p0224.txt","language":"de","ocr_de":"224\nErich Mosch.\nEntwickle ich %(x \u2014 a) nach Potenzen von a, so erhalte ich:\nX(x \u2014 a) = x(\u00ae) \u2014 aV(x) +\t\u00b1 \u2022 \u2022 *\nd. h. es ist:\n(11)\t0^(35) -\t=F \u2022 \u2022 \u2022 = *(*) - *(* - \u00ab)\u2022\nEbenso wird\n\u00ab^(*) 4-\t-------- *(* + \u00ab) \u2014 *(*)\u2022\nWir machen noch einige Voraussetzungen \u00fcber die Reizdifferenzen \u00f6x. Wir setzen <50 = 0, stufen au\u00dferdem die Reize gleichm\u00e4\u00dfig ah, lassen also die Differenzen immer um dieselbe Gr\u00f6\u00dfe \u00f4 wachsen, so\n\u00a3\ty-\u00ab.-*.-'\n\u00d6\u00ab = xt\nwird. Ist ferner \u00f4,, \u2014 v\u00f6 die gr\u00f6\u00dfte Reizdifferenz, die hei Berechnung der Mittelwerthe vorkommt, so setzen wir \u00f6v = a; \u00ab ist also das Reizintervall, innerhalb dessen die Experimente angestellt worden sind. Die gr\u00f6\u00dfte Genauigkeit w\u00fcrden diese Experimente offenbar dann erreichen, wenn wir unendlich viele Versuche anstellen k\u00f6nnten, wenn also v \u2014 oo w\u00e4re und wenn au\u00dferdem alle m\u00f6glichen Reizdifferenzen untersucht werden k\u00f6nnten, also \u00f4 unendlich klein genommen w\u00fcrde. Diesen Idealzustand wollen wir uns sp\u00e4ter wirklich erreicht denken und werden dadurch Vereinfachungen in den Formeln erzielen.\nNach diesen Vorbemerkungen wenden wir uns nun zur Berechnung von s, und s\u00e4. Wir hatten gefunden:\n(1) =\na.(*.+reo)+(at \u2014 a0)(^ +?hH\u2014 \u2014h(dy\u2014\u00f6v,){\u00a3.\u201e \u00bb,)\nx0-\\-na\nBer\u00fccksichtigen wir die Voraussetzungen (12), so erhalten wir\n(la)\noder:\n fa + nt) + fa + nt) +------------------f- {xv + nt) $\nz0 + n\u00fc\nV\n(*\u00bb + \u00bb0K = a 2* (zx + n*)","page":224},{"file":"p0225.txt","language":"de","ocr_de":"Zusammenhang zwischen der Methode der Minimal\u00e4nderungen u. s. w. 225\nodei\u2019 nach (4)\n= \u00f6jg*{if>(x0 \u2014 xd) + i)\nv\u00f6\noder nach (5)\n(*o + n0)s,\nv\u00f6\n~2 + s2* v;(*o \u2014 v[v + 1) d\n2 +<?| vip{x0)\u2014 2\t1;\nn>'ixo) +\n+- ^-3V^ \u00b1...\nSetzen wir jetzt v\u00f6 = a und lassen d unendlich klein werden, so erhalten wir, wenn wir noch f\u00fcr x\u201e und n0 ihre Werthe aus (4) einf\u00fchren :\n[| + V'W]*\u00ab = | + uH\u2019(xo) \u2014\t+ ^y\"{xo) + \u2014\noder nach Formel (11):\n[| + </-K)]si = | + xW - x(\u00ab \u2014 *\u00abJ.\nW\u00e4hlen wir jetzt das Intervall a, innerhalb dessen die Versuche vor sich gegangen sind, sehr gro\u00df, so wird nach Formel (10) schlie\u00dflich:\n[\u00ee + f <*\u201d>] *\u2022 = \u00cf + * W \u201c (\u201cT^ -\n\n= + f +X(*o)\nAlso erhalten wir f\u00fcr s4:\n= + Y + Xixo)\n(13)\n2 hVrt\n2 + V\u00bb(*o)\nWenden wir uns jetzt zur Berechnung von st. Es war\nPv\u00d4,, \u2014\u2014 dp) \u2014 pt (dt d4)\t\u2022 \u2022 \u2022 * Pr-K (jy \u2014\u00ab)\n(2)\nPr\nPr^r+l \u2014Pn (d< \u2014 ^o) \u2014\tZI jil\nPr\nPri^r +1 \u2014 <U\nWundt, Philos. Studien. XX.\n15","page":225},{"file":"p0226.txt","language":"de","ocr_de":"226\nErich Mosch.\nWir setzen wieder \u00f4x=x\u00f4 und bedenken au\u00dferdem, dass wir dr immer so gro\u00df w\u00e4hlen k\u00f6nnen, dass p\u201e = 1 wird. Dann erhalten wir:\ns* = (v + 1) \u00e0 \u2014 (Po + Pi + \u25a0 \u2022 \u2022 \u2022 + Pi) \u00e0\n= {v + l)d \u2014\t\u2014 tPixo~ <**)]\n= V-4r~ \u00e0 + \u00f4j?* ip(x0\u2014dy).\nF\u00fchren wir hier die Rechnung in derselben Weise weiter wie oben, so erhalten wir schlie\u00dflich\n(14)\t.\tS* = \u00cfW~ + f + X{X\u00b0}-\n4. Berechnung eines N\u00e4herungswerthes der Unterschiedsschwelle.\nWir haben f\u00fcr s, und st im Vorhergehenden folgende Werthe gefunden:\n(13)\n(14)\nsi\u00ff\u00ef + T + xW\n2+'P(xo)\n1 , =\n2hV7t 2\nX(x<i)\nund wollen jetzt zur Berechnung der Unterschiedsschwelle selbst \u00fcbergehen. Bei Anwendung der M. d. r. u. f. F. erstrecken sich, wie wir gesehen haben, die Unterschiedsschwellen von d0 = 0 bis zu einem \u00e4u\u00dfersten Werthe \u00e0,,, st und s\u00ef waren die Mittelwerthe dieser Unterschiedsschwellen. Nach der M. d. M.-\u00c2. aber ist die Unterschiedsschwelle kein Mittelwerth, sondern ein \u00e4u\u00dferster Grenzwerth, in unserm Falle w\u00e4re d,, dieser Grenzwerth. Die Formeln der M. d. r. u. f. F. aber liefern, wie auch schon bemerkt wurde, f\u00fcr d\u201e den Werth oo, w\u00e4hrend in praxi die Kleiner- und Gleich-Urtheile schon bei der endlichen Differenz \u00f6t, \u2014 S, der Unterschiedsschwelle, aufh\u00f6ren. Im Folgenden begn\u00fcgen wir uns damit, f\u00fcr die Gr\u00f6\u00dfe S einen","page":226},{"file":"p0227.txt","language":"de","ocr_de":"Zusammenhang zwischen der Methode der Minimal\u00e4nderungen u. s.w. 227\nangen\u00e4herten Werth zu finden, der von der wirklichen Schwelle allerdings etwas verschieden ist, doch werden wir an einigen Beispielen sehen, dass die Abweichungen ziemlich gering sind. Um diesen N\u00e4herungswerth zu finden, machen wir die Annahme, dass die Gr\u00f6\u00dfen zx + nx und px mit wachsender Reizdifferenz gleichm\u00e4\u00dfig ah- hezw. zunehmen, mit andern Worten: Tragen wir die nx + *x, bezw. px als Ordinaten, die \u00f6x als Ahscissen in einem rechtwinkligen Coordinatensystem ein, so wollen wir die Curve, die die Endpunkte\nFig. 1.\nFig. 2.\nn\nder Ordinaten verbindet, durch eine Gerade ersetzen, die die Punkte 0, z0 + na bezw. 0, p0 mit den Punkten D = Sy \u2014 S, %v + nv = 0 bezw. D = d\u201e = 8, pv = 1 verbindet. Dass man bei dieser Annahme nicht allzu stark vom wahren Verlaufe der Curven abweicht, sieht man aus graphischen Darstellungen derselben, wie sie sich z. B. bei K\u00e4mpf e\u00bb) vorfinden. Fig. 1 stelle die Gerade der nx, Fig. 2 die Gerade der px dar.\n1) Philos. Studien VIII, Taf. I.","page":227},{"file":"p0228.txt","language":"de","ocr_de":"228\nErich Mosch.\nDie Formeln f\u00fcr .s, und s4, von denen wir ausgegangen waren, lauteten folgenderma\u00dfen:\n (%, + TzJd, + (*4 + w4)(d4 ~ dJ H\u2014 - + (^y+ ^,.)(dy \u2014 t) ' j 'S\u2018l ~ \u00ab0 +W0\nf2] t _pjv~ Po (\u00e4,\u2014\u00e4')\u2014P,(t' \u2014 tt)--------------Pr-i (\u00d4V - *v-i)\n\u25a0\t'\tVv\nLassen wir die dx \u2014 dx_, unendlich klein werden, so stellt der Z\u00e4hler von st den Inhalt des Dreiecks OAB dar, also ^ OA \u25a0 OB \u2014 (zB + nB), also wird\nSi \u2014 4^4)\t= ^St-\nFerner ist der Z\u00e4hler von si nichts anderes als der Inhalt des Dreiecks FED, also \\EF \u25a0 ED \u2014 |S4(1\u2014pB). Also erhalten wir\n\u00ab4 = 4^(1 \u2014Po) =\t+ V'K))\nQ __\n~ 1\n2 + xP[xo)\nSetzen wir f\u00fcr s, und st wieder ihre Werthe (13) und (14) ein, so wird St = 8t und wir erhalten als erste Ann\u00e4herung f\u00fcr die obere Unterschiedsschwelle\nS\u201e\n*w+\u00ee + i\u00cfK5\n!\u2014I--------\n2 + *M\u00aeo)\nF\u00fchren wir an Stelle von %(x) vermittels (9) die Function ip(x) ein und ersetzen diese schlie\u00dflich durch die Function Q(hx), die zu rp{x) in der Beziehung steht:\n<P[hx) = 2 ip(x),\nso lautet unsere Formel:\n(15)\nS0 = 2x0 +\n2exp(\u2014 Fx^0) hVrt[ 1 -f <D(hx0)]\nF\u00fcr die untere Unterschiedsschwelle erh\u00e4lt man auf gleiche Weise den Werth:\n2exp(\u2014 Wx^J hVrt[l \u2014 \u00ae[hxu)]'\n(16)","page":228},{"file":"p0229.txt","language":"de","ocr_de":"Zusammenhang zwischen der Methode der Minimal\u00e4nderungen u. s. w. 229\n5. Discussion der Schwellenformel.\nWollen wir unsere Schwellenformel pr\u00fcfen, so m\u00fcssen noch einige Anforderungen an das Yersuchsmaterial gestellt werden, das zu dieser Pr\u00fcfung benutzt werden soll. Zun\u00e4chst m\u00fcssen die Experimente, die zur Ermittelung der Unterschiedsschwelle der M. d. M.-Ae. sowie zur Berechnung der Gr\u00f6\u00dfen h und x gef\u00fchrt haben, unter m\u00f6glichst gleichen Bedingungen zu Stande gekommen sein; S muss durch eine sehr gro\u00dfe Anzahl von Versuchen mit m\u00f6glichster Sicherheit gewonnen worden sein, ebenso darf die Berechnung von x und h nur auf Grund eines sehr umfangreichen Materials geschehen sein, da schon kleine Aenderungen in diesen Gr\u00f6\u00dfen einen nicht unbedeutenden Einfluss auf die Formel aus\u00fcben. Ueberdies sind bisher meistens h und x aus jeder Differenz einzeln berechnet worden, anstatt, worauf Bruns1) zuerst hingewiesen hat, auf Grund einer consequenten Ausgleichung bestimmt zu werden; besonders die x variiren in vielen Untersuchungen derart, dass sie eine Pr\u00fcfung der Formel unm\u00f6glich machen.\nZur Pr\u00fcfung der Formel wurden die Ergebnisse benutzt, die K\u00e4mpfe2) aus dem umfangreichen Zahlenmaterial seiner Experimente gewonnen hat, und zwar die Resultate der Tabellen XIa, Xlb, XIc und XII. Es ergaben sich f\u00fcr K\u00e4mpfe selbst nach unserer Formel als Schwellenwerthe:\nbei 30\u00b0 S \u2014 0,316 *\n40\u00b0\t0,266 *\n50\u00b0\t0,272 *\n60\u00b0\t0,242 *\nK\u00e4mpfe gibt als Schwelle bei 60\u00b0, gewonnen durch Versuche nach der M. d. M.-Ae. an: 0,2 * bis 0,23*'. * bedeutet hier \u00fcberall die Intensit\u00e4t des Normalreizes. F\u00fcr die Versuchspersonen G. und T. ergaben sich als Schwellen, nach der Formel berechnet: 0,152* und 0,202*, w\u00e4hrend sie durch Versuche nach der M. d. M.-Ae. zu 0,168* und 0,213 * ermittelt wurden. Wie man sieht, sind die Abweichungen\n1)\tPhilos. Studien IX, 1.\n2)\tPhilos. Studihn \"VIII, 511.","page":229},{"file":"p0230.txt","language":"de","ocr_de":"230\nErich Mosch.\nder errechneten von den beobachteten Werthen sehr gering, sie betragen nur 1 bis 2 Hundertstel der Normalintensit\u00e4t, so dass mir die Daseinsberechtigung der Formel erwiesen zu sein scheint; muss man doch noch in Betracht ziehen, dass auch in der K\u00e4mpfe\u2019sehen Arbeit die h und x nicht durch Ausgleichung gefunden worden sind. Berechnet man f\u00fcr G. die Gr\u00f6\u00dfen x und h durch Ausgleichung, so findet man als Schwellenwerth 0,191 i, jetzt also einen zu gro\u00dfen Werth, man sieht schon hieraus, wie die Gr\u00f6\u00dfe von S bereits durch geringe Schwankungen der x und h ziemlich stark beeinflusst wird.\nWie steht es nun mit dem Zusammenhang zwischen der M. d. M.-Ae. und der M. d. r. u. f. F.? Einerseits war behauptet worden, S sei proportional, ja sogar identisch mit x, anderseits wieder, S sei umgekehrt proportional dem Pr\u00e4cisionsma\u00df h. Unsere Formel\n(15)\nSg = 2xg +\n2 exp (\u2014Wxl) &|/tf[1 + O(hx0)]\nlehrt, dass keins von beiden ausschlie\u00dflich der Fall ist, dass 8 vielmehr sowohl von h wie von x beeinflusst wird. Wir k\u00f6nnen \u00fcber diesen Punkt noch Einiges hinzuf\u00fcgen. Nehmen wir z.B. den Fall, das Pr\u00e4cisionsma\u00df h sei sehr gro\u00df, also die Fehlerstreuung eine sehr geringe, dann wird\n<D{hx\u201e) = 1, exP (~\tkann man vernachl\u00e4ssigen und man erh\u00e4lt\nhyrt\nS = 2x0,\nd. h. nur bei au\u00dferordentlich gro\u00dfer Beobachtungsgenauigkeit kann man die Schwelle der M. d. M.-Ae. mit derjenigen der r. u. f. F\u00e4lle identificiren. Der gew\u00f6hnliche Fall wird der sein, das hx ein ziemlich kleiner echter Bruch ist und dass x, in Einheiten der Intensit\u00e4t ausgedr\u00fcckt, ebenfalls einen sehr kleinen Werth annimmt. Dann wird, wie man aus der Formel ersieht, S wesentlich von der Gr\u00f6\u00dfe von h abh\u00e4ngen; das Glied 2x0 wird wegen der Kleinheit von x\u00fc nur einen unbedeutenden Einfluss aus\u00fcben, im wesentlichen wird 80 ungef\u00e4hr umgekehrt proportional dem Pr\u00e4cisionsma\u00dfe h sein. Wir sehen, beide F\u00e4lle, die behauptet worden sind, k\u00f6nnen unter besonderen Bedingungen ann\u00e4herungsweise Vorkommen; sind jedoch jene Voraussetzungen nicht erf\u00fcllt, so kann man \u00fcber die Beziehung von S zu einer der beiden Gr\u00f6\u00dfen, h und x, nichts aussagen, 8 wird von beiden beeinflusst werden, bald mehr von x, bald mehr vo\u00f6 h.","page":230},{"file":"p0231.txt","language":"de","ocr_de":"Zusammenhang zwischen der Methode der Minimalanderungen u. s.w. 231\nFassen wir das Ergebniss schlie\u00dflich noch einmal zusammen; wir sahen: Die Schwelle der M. d. M.-Ae. ist weder vom Pr\u00e4cisionsma\u00dfe noch von der Schwelle der M. d. r. u. f. F. allein abh\u00e4ngig, sondern wird von beiden beeinflusst. Eine erste Ann\u00e4herung an die wahren Schwellenwerthe stellen die folgenden Formeln dar:\n(15)\nS0 == 2x0 +\n2 exp (\u2014 Wxl)\nh [1 + (&{hx0)\\\nsu = 2a;tt 4-\n2 exp (\u2014 h'xl)\nh Y7i [1 \u2014 O'h xj]\n(16)","page":231}],"identifier":"lit4482","issued":"1902","language":"de","pages":"215-231","startpages":"215","title":"Ueber den Zusammenhang zwischen der Methode der Minimal\u00e4nderungen und der Methode der richtigen und falschen F\u00e4lle","type":"Journal Article","volume":"20"},"revision":0,"updated":"2022-01-31T12:37:46.856077+00:00"}