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{"created":"2022-01-31T12:57:40.721972+00:00","id":"lit4512","links":{},"metadata":{"alternative":"Philosophische Studien","contributors":[{"name":"Bruns, Heinrich","role":"author"}],"detailsRefDisplay":"Philosophische Studien 14: 339-375","fulltext":[{"file":"p0339.txt","language":"de","ocr_de":"Zur Collectiv-Mafslehre.\nYon\nH. Bruns.\n1. Jbechner hat in seinem nachgelassenen Werke \u00bbCollectiv-Ma\u00dflehre\u00ab 1j ein Verfahren zur Untersuchung der von ihm als \u00bbCollectiv-Gegenst\u00e4nde\u00ab (kurz C.-G.) bezeichneten Vielheiten entwickelt, das nach der rechnerischen Seite hin der Verbesserung f\u00e4hig ist, sobald man \u00fcber gewisse dabei n\u00f6thige H\u00fclfstafeln verf\u00fcgt. Diese Tafeln, die ich schon vor etwa Jahresfrist habe berechnen lassen, sollen am Schl\u00fcsse des vorliegenden Aufsatzes mitgetheilt werden; Zweck der nachstehenden Zeilen ist, ihre Einrichtung und ihren Gebrauch aus einander zu setzen. Betreffs der hierbei zu l\u00f6senden Aufgabe k\u00f6nnte ich unmittelbar auf das Werk Fechner\u2019s oder auf den ausf\u00fchrlichen, von Herrn Lipps gegebenen Bericht2) verweisen. Da jedoch der befolgte Gedankengang in einigen Punkten von dem Verfahren Fechner\u2019s ahweicht, so erscheint es zweckm\u00e4\u00dfiger, das, was zum Verst\u00e4ndniss n\u00f6thig ist, hier kurz zusammenzustellen. Der Deutlichkeit halber beginne ich mit einem einfachen Beispiel.\nVorgelegt sei f\u00fcr etliche Jahre die Liste der Becrutenma\u00dfe x aus einem bestimmten Aushehungsbezirk und f\u00fcr eine bestimmte Altersklasse, wobei die Werthe der x auf volle Centimeter abgerundet sein m\u00f6gen, so dass z. B. der Werth x \u2014 171 cm allen denjenigen Individuen zukommt, deren genaue K\u00f6rperl\u00e4nge zwischen 170,5 und 171,5 cm liegt. Werden die einzelnen x, deren Gesammtmenge wir\n1)\tHerausgegeben von G. F. Lipps. Leipzig 1897. W. Engelmann.\n2)\tPhilos. Stud. Bd. Xni. S. 579 ff.\nWandt, Philos. Studien. XIV.\n23","page":339},{"file":"p0340.txt","language":"de","ocr_de":"340\nH. Bruns.\nmit m bezeichnen wollen, zun\u00e4chst in der Reihenfolge hingeschrieben, in der sie gemessen worden sind, so l\u00e4sst die so entstandene \u00bbUrliste\u00ab keinerlei Regel oder Gesetz erkennen, indem die einzelnen Zahlen regellos hin und her springen. Anders stellt sich dagegen die Sache, wenn man \u2014 ein gen\u00fcgend gro\u00dfes m vorausgesetzt \u2014 die x nach ihrer Gr\u00f6\u00dfe geordnet hinschreibt oder, nach Fechner\u2019s Ausdruck, aus der Urliste die \u00bbprim\u00e4re Vertheilungstafel\u00ab herstellt. Es zeigt sich dann in der H\u00e4ufigkeit, mit der die einzelnen x auf-treten, ein ausgesprochener Gang, indem die Zahl der mehrfach vorkommenden x von den Extremen her deutlich nach einer mittleren Stelle hin zunimmt. Noch auff\u00e4lliger wird dieses Verhalten, wenn man den Verlauf dieser Vertheilungstafel geometrisch darstellt. Man denke sich zu dem Ende auf einer Abscissenachse vom Nullpunkte ausgehend eine Centimetertheilung abgetragen, dann sind die vorkommenden x unter den Abscissen der Theilungspunkte enthalten. Weiter trage man zu jeder Abscisse x als Ordinate y die Anzahl der Individuen ab, denen die betreffende Abscisse als K\u00f6rperl\u00e4nge zukommt, und verbinde die Endpunkte der Ordinaten durch geradlinige Strecken. Dadurch entsteht ein Linienzug, den man als \u00bbH\u00e4ufigkeitscurve\u00ab (kurz H.-O.) bezeichnen kann, und der folgendes Verhalten zeigt. Die Curve verl\u00e4uft anfangs in der Abscissenachse, da ja f\u00fcr negative oder sehr kleine x die Ordinate best\u00e4ndig null ist, dann beginnt ein Aufw\u00e4rtssteigen mit gelegentlichen Zickzackspr\u00fcngen bis zu einem Maximum, weiterhin sinkt die Curve in derselben Weise, um schlie\u00dflich wieder in die Abscissenachse \u00fcberzugehen.\nBetrachtet man jetzt die Curve nach ihrem Verhalten im ganzen, so gelangt man zu dem Satze, dass ihr Verlauf, trotz der erw\u00e4hnten und von unausgeglichenen Zuf\u00e4lligkeiten herr\u00fchrenden Spr\u00fcnge, deutlich Regel und Gesetz erkennen l\u00e4sst, und zwar in demselben Sinne, in dem man z. B. bei der Erdgestalt, trotz der handgreiflichen Gegens\u00e4tze zwischen Berg und Thal, von einer Kugel oder einem Ellipsoid spricht.\nDie bildliche Darstellung der beobachteten Zahlen kann auch noch auf andere Weise, als soeben angegeben, erfolgen. So kann man als Ordinaten statt der unmittelbar gez\u00e4hlten Mengen y die Quotienten y : m abtragen, also die H\u00e4ufigkeit eines x in Bruch-","page":340},{"file":"p0341.txt","language":"de","ocr_de":"Zur Collectiv-Ma\u00dflehre.\n341\ntheilen der G-esammtmenge m ausdr\u00fccken, wodurch eine Curve der \u00bbrelativen\u00ab H\u00e4ufigkeiten entsteht. Ferner k\u00f6nnte man die Menge der Individuen ermitteln, deren K\u00f6rperl\u00e4nge ein bestimmtes x nicht \u00fcberschreitet, und dann diese Menge als Ordinate zu dem betreffenden x einzeichnen, und dergleichen mehr. Alle so erhaltenen Ourven h\u00e4ngen in gesetzm\u00e4\u00dfiger Weise mit einander zusammen, so dass aus einer von ihnen die \u00fcbrigen hergeleitet werden k\u00f6nnen. Infolge dessen macht es keinen grunds\u00e4tzlichen Unterschied, welche Curve man wirklich benutzt, und man darf sich bei der schlie\u00dflichen Wahl von Gr\u00fcnden der \u00e4u\u00dferen Zweckm\u00e4\u00dfigkeit leiten lassen.\n2. H\u00e4ufigkeitscurven von der Art des betrachteten Beispiels lassen sich nun zu den verschiedensten Dingen construiren, und man kann dabei sowohl G-egenst\u00e4nde der uns umgebenden Wirklichkeit, als auch reine Gedankendinge heranziehen. Auch reicht die Besch\u00e4ftigung mit solchen Curven zeitlich recht weit zur\u00fcck. So sind die theoretischen H\u00e4ufigkeitscurven, die bei manchen Aufgaben der Wahrscheinlichkeitsrechnung auftreten, ziemlich so alt, wie der erste Ausbau dieses Theiles der angewandten Mathematik. Um das zu erl\u00e4utern, denke man sich eine Urne mit wei\u00dfen und schwarzen Kugeln, aus der % Z\u00fcge unter jedesmaliger Zur\u00fccklegung der Kugel erfolgen. Bedeuten p und q die Wahrscheinlichkeiten f\u00fcr das einmalige Ziehen von wei\u00df und von schwarz, so ist die Wahrscheinlichkeit, dass bei % Z\u00fcgen wei\u00df a>mal und schwarz y-mal auftrete, durch den Ausdruck\nwix) = -f-J,! pX(iy > (* = * + y)\ngegeben, wo x die Werthe 0, 1, ... % anzunehmen hat, w\u00e4hrend f\u00fcr solche x, die au\u00dferhalb dieser Zahlenreihe liegen, W(x) durchweg gleich Kuli zu setzen ist. Die entstehende Werthreihe liefert eine H.-C. der vorhin betrachteten Art, denn die mathematische Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses ist ihrer Definition nach nichts anderes, als die relative H\u00e4ufigkeit der dem Ereigniss g\u00fcnstigen F\u00e4lle, so dass jedes W(x) die relative H\u00e4ufigkeit angibt, mit der bei % Z\u00fcgen x ^ei\u00dfe Kugeln zu erwarten sind. Wie man wei\u00df, f\u00fchrt die weitere Untersuchung der betrachteten Curve f\u00fcr gro\u00dfe \u00ab auf den ber\u00fchmten Uernoulli\u2019schen Satz von den \u00bbgro\u00dfen Zahlen\u00ab.\n23*","page":341},{"file":"p0342.txt","language":"de","ocr_de":"342\nH. Bruns.\nEin anderer wohlbekannter Fall ist das Gesetz f\u00fcr die Vertheilung der Beobachtungsfehler, das zuerst von Gau\u00df theoretisch formulirt wurde, und von dem dann sp\u00e4ter Bessel nachwies, dass'es unter gewissen, h\u00e4ufig erf\u00fcllten Bedingungen der \"Wirklichkeit sehr nahe entspreche. Ebenso k\u00f6nnen hier die Curven f\u00fcr die Vertheilung der Lebensalter genannt werden; diese Curven mussten vorhanden sein, als man daran ging, das Versicherungswesen f\u00fcr Lehen und Todesfall auf eine feste mathematische Grundlage zu stellen.\nDas Buch von Fechner besch\u00e4ftigt sich nun von Anfang bis Ende mit H\u00e4ufigkeitscurven, denn das, was Fechner mit dem Namen \u00bb Collectiv-Gegenstand\u00ab bezeichnet, ist nur der arithmetische Ausdruck f\u00fcr eine Sache, deren geometrische Darstellung eben die H.-C. liefert. Da diese Dinge, wie vorhin bemerkt wurde, an sich nicht neu sind, so kann man fragen, worin denn eigentlich die Bedeutung des Fechner\u2019sehen Werkes liege. In dieser Hinsicht ist nun zun\u00e4chst hervorzuheben, dass Fechner den Gegenstand sogleich von allgemeinen und umfassenden Gesichtspunkten aus angreift. Wenn z. B. in der Theorie der Beobachtungsfehler die H\u00e4ufigkeit dieser Fehler untersucht wird, so erscheint das in den gew\u00f6hnlichen Darstellungen immer als etwas, das dem betrachteten Gebiete eigenth\u00fcmlich ist und keine engeren Beziehungen zu \u00e4hnlichen Aufgaben in anderen Gebieten besitzt. Dem gegen\u00fcber zeigt nun Fechner, dass es sich bei solchen Aufgaben immer nur um die wechselnden Einkleidungen eines und desselben, stets wiederkehrenden, Problems handelt, und dass diesem Problem \u00fcberall auch die gleiche Untersuchungsmethode zuzuweisen ist, mag es sich nun um Recrutenma\u00dfe, um Sch\u00e4delmessungen, um Roggenhalme, um Gem\u00e4ldeformate, um meteorologische Beobachtungen, um Beobachtungsfehler oder um noch andere Dinge handeln. Der Kern der Sache liegt dabei in dem von Fechner zuerst mit voller Bestimmtheit formulirten Erfahrungssatze, dass man, sobald gewisse \u00bbRequisiten\u00ab erf\u00fcllt sind, eine H.-C. von erkennbar regelm\u00e4\u00dfigem Verlaufe zu erwarten habe.\nDer genannte Satz ist von weitreichender principieller Bedeutung, namentlich f\u00fcr die Wahrscheinlichkeitsrechnung. Die rein mathematischen Theile dieser Disciplin sind n\u00e4mlich, wenn man ihren Inhalt analysirt, in Wahrheit nichts anderes, als eine Lehre von der H\u00e4ufigkeit gleich m\u00f6glicher F\u00e4lle, und die daselbst betrachteten","page":342},{"file":"p0343.txt","language":"de","ocr_de":"Zur Collectiv-Ma\u00dflehre.\n343\ntheoretischen H.-C. beruhen jedesmal auf der gleichm\u00e4\u00dfigen Ersch\u00f6pfung einer gegebenen Gesammtheit gleich m\u00f6glicher F\u00e4lle. Da es sich dabei immer nur um logische Operationen handelt, so ist die geforderte gleichm\u00e4\u00dfige Ersch\u00f6pfung ausf\u00fchrbar, und aus dem gleichen Grunde kommt den S\u00e4tzen der Wahrscheinlichkeitsrechnung dieselbe Gewissheit zu, wie den S\u00e4tzen der Geometrie oder Arithmetik. Wie nun aber die Anwendung der Geometrie, z. B. zur Construction eines R\u00e4dergetriebes oder einer Dampfmaschine, an die Voraussetzung gebunden ist, dass die Begriffe \u00bbPunkt, Gerade, Kreis u. s. w.\u00ab wenigstens n\u00e4herungsweise physisch verwirklicht werden k\u00f6nnen, so sind auch die Anwendungen der Wahrscheinlichkeitsrechnung an die Bedingung gekn\u00fcpft, dass Dinge existiren, die wenigstens n\u00e4herungsweise die \u00bbzuf\u00e4lligen\u00ab Ereignisse und die theoretischen H.-C. der Wahrscheinlichkeitsrechnung verwirklichen. Andernfalls w\u00e4ren solche Anwendungen wenig mehr, als ein m\u00fc\u00dfiges Spiel mit Ziffern und Zahlen. Der Nachweis, dass jene Bedingung erf\u00fcllt sei, l\u00e4sst sich nun aber auf keine Weise durch blo\u00dfe logische Deductionen erbringen, bleibt vielmehr nothwendig Gegenstand der Erfahrung, und im Anschl\u00fcsse hieran kann man sagen, dass Fechner zuerst es unternommen habe, den verlangten Nachweis in systematischer Weise zu f\u00fchren. Oder anders ausgedr\u00fcckt: in der \u00bbCollectiv-Ma\u00dflehre\u00ab ist zum ersten Male der Versuch gemacht worden, ein System der experimentellen Wahrscheinlichkeitsrechnung oder, wie man noch besser sagen kann, der empirischen H\u00e4ufigkeitslehre aufzubauen.\n3. Ein zweiter Punkt, der hier hervorzuheben ist, bezieht sich auf den Satz, dass in den von Fechner untersuchten H.-C. ein bestimmter Typus wiederkehrt. Der Nachweis hierf\u00fcr verlangt, dass man den Verlauf der Curven durch eine bestimmte Formel mit ausreichender Genauigkeit darstellen k\u00f6nne. Zu diesem Zwecke ist ' fr\u00fcher fast ausschlie\u00dflich das Gau\u00df\u2019sche Gesetz oder, wie wir lieber sagen wollen, das \u00bbeinfache Exponentialgesetz\u00ab benutzt worden. Das genannte Gesetz besagt, dass zwischen den Coordinaten x, y der H.-C. die Gleichung\ny = a exp (\u2014 b(x \u2014 cf)\t(1)\nbestehe, wo exp das Zeichen f\u00fcr die gew\u00f6hnlich in der Gestalt ez geschriebene Exponentialfunction ist, w\u00e4hrend die Gr\u00f6\u00dfen a, b, c","page":343},{"file":"p0344.txt","language":"de","ocr_de":"344\nH. Bruns.\ngewisse Constanten bedeuten, von denen die beiden ersten stets positiv sein m\u00fcssen. Der Grund f\u00fcr eine solche Bevorzugung des einfachen Exponentialgesetzes d\u00fcrfte zu suchen sein einerseits in der wichtigen Bolle, die dieser Ausdruck in der Entwickelung der Fehlertheorie gespielt hat, andererseits in seiner Uebereinstimmung mit dem Bernoulli\u2019schen Gesetze von den gro\u00dfen Zahlen. Das genannte Gesetz ist nun aber, wie Fechner zeigt, zur genaueren Darstellung beobachteter H\u00e4ufigkeitscurven, von besonderen F\u00e4llen abgesehen, durchaus ungeeignet, weil die Formel (1) einen zur gr\u00f6\u00dften Ordinate symmetrischen Curvenverlauf liefert, w\u00e4hrend bei den beobachteten H.-C. der unsymmetrische Verlauf nachweisbar die Begel bildet. Um diesen Umstand zu ber\u00fccksichtigen, legt sich Fechner einen Ausdruck zurecht, den er als -zweitheiliges\u00ab Gau\u00df\u2019sches Gesetz bezeichnet. Es ist nicht n\u00f6thig, auf diese Formel n\u00e4her einzugehen, vielmehr gen\u00fcgt hier die Bemerkung, dass der von Fechner gew\u00e4hlte Ausdruck den zun\u00e4chst beabsichtigten Zweck \u2014 n\u00e4mlich den Nachweis eines typischen Verlaufes der untersuchten H.-0. \u2014 in ausreichender Weise erf\u00fcllt. Auf der anderen Seite erkennt aber der mathematisch geschulte Leser der \u00bbCollectiv-Ma\u00dflehre\u00ab sofort, dass jenes zweitheilige Gesetz nur ein vorl\u00e4ufiger Behelf ist, und dass an dieser Stelle die weitere Entwickelung der Methode einzusetzen hat.\n4. Nach den vorstehenden Bemerkungen wollen wir uns jetzt zu der interpolatorischen Darstellung der Collectiv-Gegenst\u00e4nde wenden, wobei wir den Begriff des C.-G. etwas weiter fassen werden, als es bei Fechner der Fall ist. In dem eingangs benutzten Beispiel von den Becrutenma\u00dfen handelt es sich um eine Vielheit von Dingen (Individuen), die als gleichartig angesehen werden, weil sie in gewissen, f\u00fcr die Betrachtung herausgehobenen, Merkmalen \u00fcbereinstimmen. Diese \u00bbartbildenden\u00ab und innerhalb der betrachteten Vielheit \u00bbconstanten\u00ab Merkmale bestehen bei dem gew\u00e4hlten Beispiel aus Geschlecht, Alter und Aushebungsbezirk. Dar\u00fcber hinaus kommen nun aber den einzelnen Gliedern der vorgelegten Vielheit noch unendlich viele andere Merkmale zu, die wir als die \u00bbver\u00e4nderlichen\u00ab bezeichnen, weil sie innerhalb der Vielheit nicht durchaus constant sind. Von diesen ver\u00e4nderlichen Merkmalen wird eines (die K\u00f6rperl\u00e4nge) ausgew\u00e4hlt und nach ihm die gegebene Gesammtheit","page":344},{"file":"p0345.txt","language":"de","ocr_de":"Zur Collectiv-Ma\u00dflehre.\n345\ngeordnet. Diese Ordnung k\u00f6nnen wir als eine \u00bbstatistische\u00ab bezeichnen, weil dahei die Glieder, die in dem ausgew\u00e4hlten ver\u00e4nderlichen Merkmal \u00fcbereinstimmen, nicht weiter unterschieden, sondern lediglich nach der H\u00e4ufigkeit ihres Vorkommens gez\u00e4hlt werden.\nIm Anschl\u00fcsse an die bisherigen Ausf\u00fchrungen wird es jetzt unmittelbar verst\u00e4ndlich sein, wenn wir folgende S\u00e4tze aussprechen. Ein Collectiv-Gegenstand ist eine Vielheit von gleichartigen Dingen, die nach einem ver\u00e4nderlichen Merkmal statistisch geordnet werden kann. Die \u00bbUrliste\u00ab enth\u00e4lt die Beobachtungen \u00fcber den vorgelegten 0.-G-. in der Form, in der sie unmittelbar gewonnen worden sind; durch das Ordnen geht die Urliste in die \u00bbprim\u00e4re Vertheilungstafel\u00ab \u00fcber, deren graphische Darstellung zu einer H\u00e4ufigkeitscurve f\u00fchrt. Die Collectiv-Ma\u00dflehre hat zur Aufgabe die Untersuchung der durch die statistische Ordnung erzeugten Gebilde.\nDas ver\u00e4nderliche Merkmal, nach dem geordnet wird, wollen wir auch als das \u00bbArgument\u00ab des C.-G. bezeichnen. Da als Argument unendlich viele Merkmale ausgew\u00e4hlt werden k\u00f6nnen, so l\u00e4sst sich ein O.-G. sofort auch nach zwei, drei, u. s. w. Merkmalen ordnen. Es ist jedoch nicht n\u00f6thig, diesen Fall besonders zu betrachten, weil er sich stets auf den Fall mit nur einem Argument zur\u00fcckf\u00fchren l\u00e4sst.\nDie in einem O.-G. zu einer Reihe vereinigten Glieder sollen gleichartig sein, d. h. durch einen Art- oder Gattungsbegriff zusammengehalten werden. Diese Festsetzung l\u00e4sst wegen ihrer ganz allgemein gehaltenen Fassung offenbar einen weiten Spielraum f\u00fcr die Aufsuchung und Zusammenstellung der O.-G. offen, und es wird jedesmal von den besonderen Umst\u00e4nden der gerade vorgelegten Aufgabe abh\u00e4ngen, wie weit oder wie eng der Kreis der constanten Merkmale zu stecken ist. Aehnliches gilt von der Bezeichnung \u00bbVielheit\u00ab: es l\u00e4sst sich nicht im voraus angehen, wie gro\u00df der Umfang eines O.-G. sein m\u00fcsse, damit man ihn erfolgreich der Rechnung unterwerfen k\u00f6nne.\nDie angegebene Bestimmung der O.-G. ist etwas enger, als das, was Lexis unter dem allgemeinen Namen \u00bbMassenerscheinungen\u00ab zusammenfasst, dagegen weiter, als die vonFechner thats\u00e4chlich in Anwendung gebrachte Definition. Denn Fechner geht hei den von ihm behandelten O.-G. davon aus, dass das Argument stets nach Zahl und Ma\u00df bestimmt sei, und dass ferner die Gesammtheit der","page":345},{"file":"p0346.txt","language":"de","ocr_de":"346\nH. Bruns.\nm\u00f6glichen Werthe des Arguments eine stetige Mannigfaltigkeit bilde, also nicht auf eine endliche Anzahl von discreten Werthen beschr\u00e4nkt sei. Diese von Fechner festgehaltenen Einschr\u00e4nkungen sind entbehrlich. Beispielsweise k\u00f6nnte man auf Grund einer passenden Farbenscala zu der Farbe der Haare oder der Augen bei den Schulkindern einer Gro\u00dfstadt sehr wohl eine H\u00e4ufigkeitscurve construiren, denn es hindert nichts, die einzelnen T\u00f6ne der Scala durch Nummern zu unterscheiden und diese Nummern als Abscissen abzutragen. Ebenso ist die Forderung der Stetigkeit des Arguments durch nichts geboten, wie das folgende Beispiel lehrt. Schon vor l\u00e4ngeren Jahren habe ich gelegentlich einer anderen Frage die ersten tausend Spalten des Thesaurus logarithmorum von Yega darauf hin ausgez\u00e4hlt, wie oft in jeder Spalte eine Null in der zehnten D\u00e9cimale auftritt. Stellt man nun das Ergebniss dieser Z\u00e4hlung graphisch dar, so erh\u00e4lt man eine Curve, die ein vortreffliches Beispiel zu dem von Fechner behandelten Typus abgibt. Es ist sehr merkw\u00fcrdig, dass Fechner nirgends in seinem Buche angibt, weshalb er solche \u00bbunstetigen\u00ab Collectiv-Gegenst\u00e4nde beiseite gelassen hat, zumal sich gerade zu dieser Classe der C.-G. gute Beispiele mit verh\u00e4ltnissm\u00e4\u00dfig geringer M\u00fche herbeischaffen lassen.\nEine andere Bestimmung, die Fechner einf\u00fchrt und der er bei der Besprechung der \u00bbSuccessionsabh\u00e4ngigkeit\u00ab eine eingehende Er\u00f6rterung widmet, besteht darin, dass in der Urliste das ver\u00e4nderliche Merkmal von einem Gliede zum n\u00e4chsten nach Zufall variire. Auch diese Beschr\u00e4nkung kann man fallen lassen, denn bei dem eben erw\u00e4hnten Beispiel von den Endnullen einer Logarithmentafel ist das Spiel des Zufalls von vornherein und in aller Strenge ausgeschlossen.\n5. Fasst man jetzt den Begriff des O.-G. in der oben angegebenen Weise, so kann es sich offenbar nicht mehr darum handeln, nachzuweisen, dass alle C.-G. auf einen und denselben Curventypus f\u00fchren, wie ihn z. B. Fechner durch sein \u00bbzweitheiliges\u00ab Gesetz vorschreibt. Denn da in unserem Falle auch k\u00fcnstlich zurecht gemachte C.-G. nicht ausgeschlossen sind, so kann man ohne Schwierigkeit H\u00e4ufigkeitscurven erhalten, die sich dem von Fechner behandelten Typus nicht einordnen. Die zu l\u00f6sende Aufgabe ist deshalb jetzt anders zu fassen; das Wie? m\u00f6ge zun\u00e4chst an einem Beispiel erl\u00e4utert werden, das einem ganz anderen Gebiete entnommen ist.","page":346},{"file":"p0347.txt","language":"de","ocr_de":"Zur Collectiv-Ma\u00dflehre.\n347\nWenn ein musikalischer Ton von einem bestimmten Instrument erregt wird, so vollf\u00fchrt jeder Punkt der umgebenden Luft gewisse periodische Schwingungen. Ist y die Ausweichung des betrachteten Punktes aus seiner Ruhelage, t die Zeit, T die Schwingungsdauer, und setzt man\n2nt \u2014 xT,\nso l\u00e4sst sich die Beziehung zwischen x und y, wie man wei\u00df, durch eine Fourier\u2019sche Reihe von der Form\n</ = \u00ab + \u00ab! cos x + \u00ab2 cos 2x + a3 cos 3\u00e6 + ...\n+\tsin x + b2 sin 2x + bs sin 3x + \u2022 \u2022 \u2022\ndarstellen, wo die a, b gewisse, f\u00fcr den betrachteten Ton constante, Ooefficienten bedeuten. Durch diese Ooefficienten wird der Ton nach St\u00e4rke und Klangfarbe vollst\u00e4ndig charakterisirt, w\u00e4hrend die H\u00f6he von der in x enthaltenen Schwingungsdauer T abh\u00e4ngt. Die Anzahl der von Null verschiedenen a, b ist, streng genommen und von besonderen F\u00e4llen abgesehen, unendlich gro\u00df, jedoch kommt bei der Darstellung eines beobachteten Tones nur eine begrenzte Anzahl von Ooefficienten als merklich in Betracht, so dass die \u00fcbrigen ohne Nachtheil gleich Null gesetzt werden d\u00fcrfen.\nDas Wesentliche bei dem vorstehenden Beispiel besteht offenbar darin, dass eine beobachtete Curve in einer die Beobachtungen ersch\u00f6pfenden Weise dargestellt wird durch eine endliche, aber im voraus nicht feststehende, Anzahl von Gliedern einer gewissen Reihenentwickelung, und dass dabei der Anschluss zwischen Beobachtung und Rechnung bewirkt wird durch die passende Bestimmung einer Anzahl von verf\u00fcgbaren Constanten oder \u00bbParametern\u00ab.\nMan kann nun fragen, ob \u00e4hnliches nicht auch bei den Curven der C.-G. m\u00f6glich sei. Diese Frage ist, wie ich vor einiger Zeit in einer kleinen Note1) gezeigt habe, zu bejahen. Man bezeichne mit x das Argument eines C.-G. oder die Abscisse der zugeh\u00f6rigen H.-C., Dut h und c zwei passend gew\u00e4hlte Constanten, mit y das Product aus h und der Differenz x \u2014 c, mit <D(y) eine gewisse noch n\u00e4her zu\n1) Heber die Darstellung von Fehlergesetzen. Astronomische Nachrichten, Bd. 143. Nr. 3429.","page":347},{"file":"p0348.txt","language":"de","ocr_de":"348\nH. Bruns.\nbestimmende Function von y, mit \u00ae{y)t, <D{y)2, ... die successiven Ableitungen von \u00ae, endlich mit A, Au Alt . . . ein gewisses System von Coefficienten, dann l\u00e4sst sieb der Verlauf der C.-Gr. mit H\u00fclfe einer Reihenentwickelung von der Form\nAO{y) + A\\d>{y\\ + A2<D(y) 2 + \u2022 \u25a0.\t(3)\ndarstellen. Man erkennt sofort, wie sich hierdurch die Fragestellung Fechner\u2019s modificirt: es handelt sich nicht mehr um den Nachweis, dass die C.-Gr. auf einen bestimmten einfachen Curventypus, n\u00e4mlich das zweitheilige Gesetz f\u00fchren, sondern darum, jedesmal das f\u00fcr einen C.-G. charakteristische \"Werthsystem der Gr\u00f6\u00dfen h, c, A zu ermitteln und die weitere Untersuchung der vorgelegten Vielheit auf die Beschaffenheit dieses Werthsystems zu gr\u00fcnden.\nBevor ich zu der Herleitung der in (3) angedeuteten Reihenentwickelung \u00fcbergehe, m\u00f6ge \u00fcber ihre Corivergenz folgende Bemerkung vorausgeschickt werden. Bei der periodischen Darstellung (2) hat man, wie in der Lehre von den trigonometrischen Reihen gezeigt wird, von vom herein die Gewissheit, dass jede periodische Curve mit absoluter Genauigkeit durch eine convergente Reihe von der Form (2) wiedergegeben werden kann. Der entsprechende Satz f\u00fcr die Darstellung von H\u00e4ufigkeitscurven scheint bei der Reihe (3) nicht zu gelten, jedoch kann man, wie ich a. a. O. gezeigt habe, convergente Reihen von der Gestalt (3) bilden, die eine vorgelegte H.-C., wenn auch nicht mit absoluter Genauigkeit, so doch innerhalb beliebig enger Grenzen wiedergeben. Letzteres reicht aber bei beobachteten Curven vollst\u00e4ndig aus, denn bei diesen sind die Ordinaten theils mit Beobachtungsfehlern, theils mit den Resten unausgeglichener Zuf\u00e4lligkeiten behaftet, so dass eine absolute Uebereinstimmung zwischen Beobachtung und Rechnung nicht einmal theoretisch noth-wendig ist.\n6. Zur Herstellung der Entwickelung (3) k\u00f6nnen unendlich viele Functionen G> dienen; selbstverst\u00e4ndlich wird man, wenn nicht besondere Gr\u00fcnde vorliegen, die einfachste bevorzugen. Zu dem Ende f\u00fchren wir die aus der Wahrscheinlichkeitsrechnung wohlbekannte Transcendente O (x) ein, die durch die Gleichung","page":348},{"file":"p0349.txt","language":"de","ocr_de":"Zur Colleetiv-Ma\u00dflehre.\n349\n(4)\no\ndefinirt wird. Tafeln f\u00fcr diese Function finden sich an vielen Stellen, meistens allerdings mit \u00fcberfl\u00fcssigen Decimalen und mit unbequem gro\u00dfem Intervall. In der Colleetiv-Ma\u00dflehre kommt man in der Regel mit der bandbehen vierstelbgen Tafel aus, die Herr K\u00e4mpfe1) aus einer gr\u00f6\u00dferen Tafel interpolirt bat. In dem Fechner\u2019schen Buche hat Herr Lipps diese vierstellige Tafel reproducirt und eine f\u00fcr manche Zwecke angenehme f\u00fcnfstellige Tafel hinzugef\u00fcgt.\nDie successiven Ableitungen von d> bezeichnen wir durch Anh\u00e4ngung der Indices 1, 2, 3, ... ; die halbe erste Ableitung ist, wie aus der Gleichung\ny Tr <D[x\\ \u2014 2 exp (\u2014x2)\t(5)\nhervorgeht, nichts anderes als das einfache Exponentialgesetz.\nAu\u00dfer der Darstellung (4) benutzen wir noch die andere\nCO\n7t<X>[x) = j\u2018~~ sin (2xv) exp (\u2014v2) .\t(6)\n\u2014GO\nDie Uebereinstimmung der beiden Gleichungen (4) und (6) l\u00e4sst sich mit H\u00fclfe der in der Integralrechnung entwickelten Eigenschaften der sogenannten Gamma-Functionen unschwer nachweisen, sobald man in (4) und (6) die rechten Seiten nach Potenzen von x entwickelt.\nBedeutet a eine positive Constante und setzt man in (6) f\u00fcr v das Product aw und f\u00fcr x den Quotienten y : a, so wird\nr\nV7t d>[x) \u2014 2 | dt exp (\u2014 t2)\n7t (P\nsin (2yw) exp (\u2014 a2iv2).\nL\u00e4sst man a gegen Null gehen, so geht y : a gegen -(- oo oder \u2014 oo, je nachdem y positiv oder negativ ist. Nun ist 0{y) eine ungerade function von y, die nach Ausweis der Tafeln f\u00fcr y \u2014 \u00b1 oo gleich\n1) Philos. Studien, Bd. IX. S. 147\u2014150.","page":349},{"file":"p0350.txt","language":"de","ocr_de":"350\nH. Bruns.\n\u00b1 1 wird. Man erh\u00e4lt also, wenn a \u2014 0 gesetzt wird, je nach dem Vorzeichen von y,\nsin (2 yw),\nsin (2yw),\n(jf>0),\n[y < 0) \u2022\nWird hierin y von vom herein gleich Null gesetzt, so nehmen die vorstehenden Integrale statt des Werthes \u00b1 rt den Werth Null an. Um die hiernach m\u00f6glichen drei F\u00e4lle zusammenzufassen, f\u00fchren wir das Symbol sg (y) (gesprochen signum von y), ein, das den Werth + 1 oder 0 oder \u2014 1 bedeuten soll, je nachdem y positiv oder null oder negativ ist. Man hat dann\ntc sg(y)\n00\n__(' dw\n-J ^r\nsin (2yw).\nBedeutet i, wie \u00fcblich, die imagin\u00e4re Einheit V \u2014 statt der Gleichungen (6) und (7) auch schreiben\n1,\n(?)\nso kann man\nC dv\nTi 0[x) = I exp (2ixv \u2014 v2),\n\u2014oo\n= fdw J il\nTC sg\nexp (2 iyw),\n(8)\n(9)\nwenn man hinzuf\u00fcgt, dass am Schl\u00fcsse der Rechnung die imagin\u00e4ren Bestandtheile einfach fortzulassen sind.\n7. Bildet man von (8) j\u00ee-mal nach einander die Ableitung nach x, so erh\u00e4lt man\ntc 0(x)}\n_ \u00c7dv\nJ iv\n(2iv)P exp (2ixv \u2014 v2).\n(10)\nNeben dieser Integraldarstellung der Ableitungen ist noch eine andere vorhanden, die sich unmittelbar aus (4) ergibt. Schreibt man die aus (4) folgende Gleichung (5) in der Gestalt","page":350},{"file":"p0351.txt","language":"de","ocr_de":"Zur Collectiv-Ma\u00dflehre.\n351\n(11)\n(12)\nVit \u00ae(x -|- v\\ = 2 exp (\u2014 (x + fl)2)\n= 2 exp (\u2014 x1 \u2014 *lxv \u2014 fl2)\n= y TT <&(*)! exp (\u2014 2xa \u2014 fl2), und entwickelt den letzten Exponentialfactor nach Potenzen von fl in die Heike\nexp (\u2014 Ixv \u2014 fl2) = 2 R[x)q{2fl)9 , \u2018\n(? = 0, 1, 2, \u2022 \u2022 \u2022),\nso erh\u00e4lt man aus (11)\n<D{x + fl)i = 0[x\\ | J2(\u00e6)(2fl)\u00ae .\nDifferenzirt man links und rechts j\u00f6-mal nach v und setzt dann fl gleich Null, so wird\nO {x)p+l = 2Pp\\R{x)p 0 (*), .\t(13)\nDas Bildungsgesetz der R ergibt sich ohne Schwierigkeit, wenn man in (12) die beiden Ausdr\u00fccke\nexp (\u2014 2xv) und exp (\u2014 fl2)\nf\u00fcr sich nach v entwickelt und die beiden Reihen ausmultiplicirt. Mau erh\u00e4lt dann f\u00fcr die geraden R\n1\n2*R[x\\ = 2\u00efR[x)i =\n1,\n0! 0!\n(2x)2\n0! 2! 1 ! 0! \u2019\n1\nvmA _ M! _ M!\ni\tq, 4j 11 2!\n+\n1\n2! 0!\u2019\n(14)\nund f\u00fcr die ungeraden R\n2 oo\n2xR[x)^ = qJX! \u2019\n2 *R{x)3 2bR{x)t>\n(2a:)3 2x\n0! 3!\t1! 1 ! \u2019\n(2a:)5 , (2 a:)3\t2a;\nr \u00eelot\n(15)\n0! 5! ' 1! 3!\t2!1 !\u2019\n.........\nwo das Gesetz des Fortschreitens unmittelbar ersichtlich ist.","page":351},{"file":"p0352.txt","language":"de","ocr_de":"352\nfl. Bruns.\nDie R sind gerade oder ungerade Polynome von x, deren Grad mit der Nummer des betreffenden R \u00fcbereinstimmt. Beachtet man nun den Verlauf von <I\\, so erkennt man aus (13), dass die \u00a9p f\u00fcr gro\u00dfe Werthe von x in \u00e4hnlicher Weise gegen Null gehen, wie Ou wenn auch die Abnahme mit wachsendem Index immer langsamer erfolgt. Werden ferner die \u00a9 als Ordinaten zu den Abscissen x \u00fcber derselben Abscissenachse abgetragen, so entspricht jedem Maximum oder Minimum einer \u00a9-Curve bei dem n\u00e4chstfolgenden \u00a9 ein Schnitt mit der Abscissenachse. Beachtet man nun den Satz, dass bei einer stetigen Curve zwischen zwei Schnitten mit der Abscissenachse stets wenigstens ein Maximum oder Minimum liegt, so gelangt man zu dem Ergebniss, dass \u00a9p im endlichen p Maxima und Minima besitzt und die Abscissenachse in p \u2014 1 verschiedenen Punkten schneidet. Daraus folgt dann noch, dass Rp gerade p reelle und von einander verschiedene Wurzeln besitzt, und dass die von den Wurzeln eingenommene Strecke mit zunehmendem Index der R w\u00e4chst.\n8. Bezeichnet man die Ableitung eines R mit R' und bildet von (12) die Ableitung nach x, so wird\nexp (\u2014 2xv \u2014 v2) = \u2014 2 R' (x)q(2vf~l, woraus durch Vergleichung mit (12) sofort\n\u2014 R'[x)g = R(x)q_ i\t(16)\nfolgt. Ferner liefert die Ableitung von (13)\n\u00a9P+2 = 2Pp\\ R'p<Dx + 2Pp\\RpQ2.\nDr\u00fcckt man hierin die \u00a9 und R' nach (13) und (16) aus, so gelangt man zu der Recursionsformel\n0 = (2p -f- 2)Rp+i + 2xRp + Rp_t,\t(17)\naus der dann noch\n0 = \u00a9p+2 + 2\u00e6\u00a9p+1 -f- 2p<Dp\t(18)\nfolgt. Man kann (18) benutzen, um die h\u00f6heren \u00a9 aus den niedrigeren zu berechnen, indessen nimmt dabei f\u00fcr gr\u00f6\u00dfere x oder p die Genauigkeit der Rechnung rasch ab, weil dann die Fehler der niedrigeren \u00a9 vergr\u00f6\u00dfert in die h\u00f6heren eingehen.","page":352},{"file":"p0353.txt","language":"de","ocr_de":"Zur Collectiv-Ma\u00dflehrc.\n353\nSchreibt man die Gleichung (9) in der Gestalt -r^- exp (2 iyv \u2014 2 ixv)\nexp (2%t; \u2014 z>2) . exp (\u2014 2 ixv + vr),\nso l\u00e4sst sich f\u00fcr den zweiten Exponentialfactor nach (12) die Reihenentwicklung\nexp (\u2014 2ixv + v2) = 2 B(x)q(2iv)q\t(21)\nansetzen, womit\ntc sg [y \u2014 x) \u2014 2 R(x)\nwird. Hieraus flie\u00dft aber unter Ber\u00fccksichtigung von (10) sofort die Reihenentwicklung\nsg [y \u2014 x) = ~ R[x)q<D(y)q , (q = 0, 1, 2, ...),\t(22)\nwo unter <Z>0 die Function <D selber zu verstehen ist. Diese Gleichung wird uns dazu dienen, die gesuchte Darstellung der H\u00e4ufigkeitscurven herzustellen.\n9. F\u00fcr das Folgende ist es zun\u00e4chst erforderlich, den Begriff der H.-C. sch\u00e4rfer festzusetzen, als es oben geschehen war. Hierbei werden wir die C.-G. in \u00bbstetige\u00ab und \u00bbunstetige\u00ab scheiden, je nachdem die m\u00f6glichen Werthe des Arguments eine stetige Mannigfaltigkeit bilden oder' aber auf ein System discreter Werthe beschr\u00e4nkt bleiben.\nWenn man hei einem stetigen O.-G. die m\u00f6glichen Werthe des Arguments als Abscissen ahtr\u00e4gt, so werden sie im allgemeinen eine gewisse endliche Strecke stetig erf\u00fcllen. Man kann jedoch, z. B. hei den Beobachtungsfehlem, F\u00e4lle construiren, bei denen das Gebiet der m\u00f6glichen Argumente in mehrere getrennte Strecken zerf\u00e4llt, also \u00bbL\u00fccken\u00ab besitzt. Es ist indessen nicht n\u00f6thig, darauf besonders einzugehen, weil der Fall eines l\u00fcckenhaften Arguments gerade so zu behandeln ist, wie der eines l\u00fcckenfreien. Ferner kann es, namentlich hei theoretisch construirten C.-G., Vorkommen, dass die\n\u2022/\ndv\niv\n(2iv)q exp(2iyv \u2014 v2)","page":353},{"file":"p0354.txt","language":"de","ocr_de":"354\nH. Bruns.\nArgumentstrecke nach einer oder nach beiden Seiten hin ins Unendliche reicht. Um diesen Grenzfall nicht besonders ber\u00fccksichtigen zu m\u00fcssen, benutzen wir den Umstand, dass die Festsetzung des ver\u00e4nderlichen Merkmals eines O.-G. noch keineswegs vorschreibt, wie dieses Merkmal in Zahlen auszudr\u00fccken sei. Wenn z. B. bei einer Becrutentafel die gemessenen K\u00f6rperl\u00e4ngen in Centimetern angegeben sind, so ist es allerdings naheliegend, mit diesen Zahlen weiter zu rechnen. Es hindert aber nichts, dass man als Argument des C.-G. statt der K\u00f6rperl\u00e4ngen ihre Logarithmen oder irgend eine andere passende Function zu Grunde legt. Demgem\u00e4\u00df ist es erlaubt, wenn das Gebiet des ver\u00e4nderlichen Merkmals x ins Unendliche reicht, als Argument z. B. die Gr\u00f6\u00dfe\ny \u2014 arc tg x\neinzuf\u00fchren, wodurch die Argumentstrecke sofort ins Endliche ger\u00fcckt wird. Da die gleiche Bemerkung auch- f\u00fcr unstetige C.-G. zutrifft, so wollen wir weiterhin voraussetzen, dass die Argumentwerthe, denen Glieder eines C.-G. entsprechen oder entsprechen k\u00f6nnen, stets endlich seien.\nIn der Urliste erscheint der C.-G. als eine Zahlenreihe, deren Glieder die einzelnen Beobachtungen in derjenigen Anordnung wiedergeben, in der sie zun\u00e4chst erhalten worden sind. Die als beobachtet notirten Werthe des Arguments m\u00f6gen mit a, die Gesammtmenge der einzelnen Glieder des C.-G. mit m bezeichnet werden, wobei wir uns die a zugleich immer als Punkte auf einer Abscissenachse denken. Durch Umordnen der Urliste entsteht die Vertheilungstafel, die wir uns mit Fechner zweispaltig denken. Die erste Spalte enth\u00e4lt die beobachteten a nach ihrer Gr\u00f6\u00dfe geordnet, jedoch unter Fortlassung der Wiederholungen, so dass die aufgef\u00fchrten a s\u00e4mmt-lich verschieden sind. Daf\u00fcr wird in der zweiten Spalte neben jedem a die Zahl x gesetzt, die angibt, wie oft das betreffende a in der Urliste vorkommt. Die Summe der % ist offenbar gleich m. F\u00fcgt man der Tafel ein nicht beobachtetes a hinzu und setzt f\u00fcr das entsprechende \u00ab den Werth Null an, so wird dadurch an der Bedeutung der Tafel nichts ge\u00e4ndert, im Besonderen bleibt der Satz m = 2% bestehen. Unterscheidet man mit Fechner \u00bbvolle\u00ab und \u00bbleere\u00ab a, je nachdem das zugeh\u00f6rige \u00ab von Null verschieden ist oder nicht,","page":354},{"file":"p0355.txt","language":"de","ocr_de":"Zur Collectiv-Ma\u00dflelire.\n355\ng0 kann man demnach die Tafel durch Hinzuf\u00fcgung beliebig vieler leerer a erweitern, ohne etwas wesentliches zu \u00e4ndern. Eine solche Erweiterung denken wir uns im besonderen stets nach den Stellen oo der Abscissenachse hin vorgenommen.\n10. Ist nun zun\u00e4chst ein stetiger C.-G. vorgelegt, so sind die a, ff6il es sich um die Messungen einer stetigen Ver\u00e4nderlichen handelt, nicht mit absoluter Sch\u00e4rfe, sondern nur abgerundet gegeben. Ein bestimmtes a ist also jedesmal der Vertreter aller Argumentwerthe, die zwischen zwei, den Punkt a einschlie\u00dfenden Punkten x' und x [x' < *\") liegen. Geht das Argument durch x oder x\" hindurch, so \u00e4ndert sich das entsprechende, als beobachtet notirte a sprungweise, zugleich wechselt die Abrundung ihr Vorzeichen. Wir wollen deshalb die Punkte x, x\" kurz als \u00bbWechselpunkte\u00ab bezeichnen. Dies vorausgeschickt bilden wir jetzt die Summe aller z, deren a unterhalb eines vorgeschriebenen Wechselpunktes x hegen, und setzen diese Summe gleich mH[x)P Da das Product mH die Menge der Glieder unterhalb x angibt, so k\u00f6nnen wir H selber als die \u00bbrelative H\u00e4ufigkeit bis zu der Stelle x hin\u00ab bezeichnen. Tr\u00e4gt man zu allen Wechselpunkten x, die auf der Abscissenachse Vorkommen k\u00f6nnen, die entsprechenden H[x) als Ordinaten ab, so erh\u00e4lt man eine Punktreihe P, die anfangs in der Abscissenachse verl\u00e4uft, dann auf steigt und schlie\u00dflich in eine Parallele zur Achse mit dem Abstande Eins \u00fcbergeht. Da man von der Punktreihe P ausgehend den Inhalt der Vertheilungstafel r\u00fcckw\u00e4rts wieder herstellen kann, so ist in P offenbar alles enthalten, was die vorgelegten Beobachtungen \u00fcber den betrachteten C.-G. auszusagen gestatten.\nAus der Summentafel, die zu jedem Wechselpunkte * das zugeh\u00f6rige H(x) liefert, k\u00f6nnen wir uns jetzt durch irgend ein Interpolation sverfahren Werthe von H[x) f\u00fcr andere, nicht zu den Wechselpunkten geh\u00f6rige x abgeleitet denken, wodurch die Punktreihe P zu einer H\u00e4ufigkeitscurve erweitert wird. Der Sinn dieser Curve besteht dann darin, dass sie angibt, wie viele Glieder unterhalb irgend eines beliebigen x im Falle abrundungsfreier Messungen erhalten worden w\u00e4ren. Die Unbestimmtheit, die mit der vorgenommenen Interpolation vorl\u00e4ufig verbunden ist, lassen wir einstweilen auf sich beruhen sie liegt in der Natur der Sache, weil die Ergebnisse aus Messungen stetiger Gr\u00f6\u00dfen wegen der Abrundung im allgemeinen stets nur Wundt Philos. Studien. XIV.\t24","page":355},{"file":"p0356.txt","language":"de","ocr_de":"356\nH. Bruns.\ninnerhalb eines gewissen Spielraumes bestimmt sind. Um jedoch die Unbestimmtheit tliunlichst einzuengen, f\u00fcgen wir die, durch passende Ausf\u00fchrung der Interpolation zu erf\u00fcllende, Voraussetzung hinzu, dass die interpolirte Function II(x) stetig sei, ferner eine im allgemeinen stetige Ableitung <p(x) besitze und niemals abnehme. Die . Ableitung cp(x) bezeichnen wir als das \u00bb Vertheilungsgesetz \u00ab des betrachteten C.-Gr. und die entsprechende Curve als die \u00bbVertheilungs-curve\u00ab.\nAus der Entstehung des Vertheilungsgesetzes flie\u00dfen sofort folgende S\u00e4tze. Die Function cp ist niemals negativ und f\u00fcr hinreichend gro\u00dfe absolute Betr\u00e4ge von x constant gleich Null. Da H(\u2014 oo) gleich Null, und H(+ oo) gleich Eins ist, so wird\nX\nH(x) =J\u2018cp(t)dt, II (oo)\n\u2014oo\nFerner ist der Ausdruck\nc\n11(c)-11(b) \u2014J cp(t)dt 6\neinerseits gleich der relativen H\u00e4ufigkeit der zwischen den Argumenten b und e liegenden Glieder des C.-G., anderseits gleich dem Inhalt des Fl\u00e4chenst\u00fccks, das von der Vertheilungscurve, der Ab-scissenachse und den beiden zu b und c geh\u00f6rigen Ordinaten begrenzt wird.\nWenn X(x) eine beliebige Function des Arguments x bedeutet, so denke man sich f\u00fcr alle Werthe von x zwischen den Grenzen \u2014 oo die entsprechenden Werthe von X berechnet und daraus, unter Ber\u00fccksichtigung der H\u00e4ufigkeit, mit der die einzelnen x nach dem Vertheilungsgesetz cp(x) auf treten, das arithmetische Mittel gebildet. Dieses Mittel nennen wir den \u00bbnach cp(x) gebildeten Durchschnitt von X\u00ab und bezeichnen es kurz durch das Symbol D(X), wobei dann jedesmal das zu Grunde gelegte Vertheilungsgesetz hinzu zu denken ist. Da die H\u00e4ufigkeit der x in dem Intervall von x bis x -f- dx durch das Product cp (x) dx gemessen wird, und da ferner die Summe dieser Producte den Werth Eins besitzt, so erh\u00e4lt man f\u00fcr den betrachteten Durchschnitt den Ausdruck","page":356},{"file":"p0357.txt","language":"de","ocr_de":"Zur Collectiv-Ma\u00dflehre.\n357\nD(X) = I X{x)q>{x)dx\n(24)\n---00\n11. Gehen wir jetzt zu den unstetigen C.-G. \u00fcber, f\u00fcr die als Beispiel die oben erw\u00e4hnte Ausz\u00e4hlung der Endnullen einer Logarithmentafel dienen kann, so ist zun\u00e4chst ersichtlich, dass die beobachteten a ahrundungsfrei sind; das einzelne a ist nicht mehr der Vertreter aller Punkte einer Strecke, sondern bedeutet ausschlie\u00dflich den hingeschriebenen Zahlenwerth. In Folge dessen liefert der zu einem a geh\u00f6rige Quotient\nx[)(a) = * : m\nsofort das Vertheilungsgesetz der a. An die Stelle der Function cp(x) bei den stetigen O.-G. tritt also jetzt eine Function ip[x), die im allgemeinen Null ist und nur f\u00fcr die discreten Werthe x = a die positiven und echt gebrochenen Werthe ip(a) annimmt, wobei zugleich die Summe aller ip{a) gleich Eins wird. Ferner nimmt der nach ip{x) gebildete Durchschnitt einer beliebigen Function X(x) jetzt die Gestalt\nD(X) \u2014 2 X(a)xp(a)\t(24 a)\nan, wo die Summe \u00fcber alle vollen a der Vertheilungstafel auszudehnen ist.\nUm hei der Behandlung der unstetigen O.-G. das f\u00fcr die stetigen geltende Schema heibehalten zu k\u00f6nnen, wollen wir neben tp[x) noch ein stetiges Vertheilungsgesetz tp[x) einf\u00fchren. Zu dem Ende denke man sich die Strecken zwischen je zwei auf einander folgenden a halbirt und behandle diese Halbirungspunkte x genau so, wie vorhin die Wechselpunkte. Danach hat man also, um zu jedem angesetzten x das entsprechende II (x) zu erhalten, die Summe der % f\u00fcr alle a unterhalb x zu bilden und diese Summe gleich mH[x) zu setzen. Die gefundenen H{x) f\u00fchren dann, wie vorhin, durch Interpolation zu einem stetigen Vertheilungsgesetz <p(x), und der Ausdruck\nx\n(25)\ngibt die relative H\u00e4ufigkeit derjenigen a an, die unterhalb x liegen.\n24*","page":357},{"file":"p0358.txt","language":"de","ocr_de":"358\nH. Bruns.\nWird die vorstehende G-leichung benutzt, um aus einem bekannten rp(x) die II[x) zu berechnen, so sind selbstverst\u00e4ndlich die x auf die Halbirungspunkte zwischen den a zu beschr\u00e4nken, wenn die H die Summen der unterhalb x liegenden xp{a) angeben sollen. Auch ist zu beachten, dass die Punktreihe, die den Verlauf von ip(x) darstellt, im allgemeinen nicht auf der qo-Curve liegen wird.\n12. Nach diesen Vorbereitungen k\u00f6nnen wir jetzt die gesuchte Reihenentwickelung rasch herleiten. Wir f\u00fchren die von x abh\u00e4ngende Gr\u00f6\u00dfe E(x) durch die Gleichung\n2 E[x) = sg (b \u2014 x) + 1\nein, in der b eine Constante bedeutet. Offenbar wird E gleich Eins oder Null, je nachdem x unterhalb oder oberhalb b liegt, w\u00e4hrend man f\u00fcr x \u2014 b den Werth E \u2014 \\ erh\u00e4lt. Bildet man also mit dem stetigen Vertheilungsgesetz cp(x) nach (24) aus E den Durchschnitt\na\n-f\nD[E[x)] \u2014 I E(x)cp(x)dx ,\nso l\u00e4sst sich die rechte Seite unter Ber\u00fccksichtigung von (23) auch in der Gestalt\n6\n/'\ncp (x) dx\nschreiben, d. h. man erh\u00e4lt der Reihe nach\nH(b) = D[E(x)],\n2H(b) = D[sg{b \u2014 x) + 1],\n= D[sg[b \u2014 x)] + 1,\n2H(b) \u2014 1 = JD[sg (b \u2014 x)].\t(26)\nBedeuten h und c zwei beliebige Constanten, mit der Einschr\u00e4nkung, dass h stets positiv sein soll, und setzt man in (22) f\u00fcr x und y die beiden Verbindungen\nh(x \u2014 c) und h(y \u2014 c), so wird, weil sg (hy \u2014 hx) \u2014 sg [y \u2014 x) ist,","page":358},{"file":"p0359.txt","language":"de","ocr_de":"Zur Collectiv-Ma\u00dflehre.\n359\nsg(y \u2014 x) = 2 R[h[x \u2014 c)q] . <D[h{y \u2014 e)]q .\nBildet man hiervon den Durchschnitt nach der Ver\u00e4nderlichen x und nach dem Vertheilungsgesetz <p (x), so wird nach (26)\n2E{y) \u2014 1 = | DIR [h{x \u2014 c)]q). <D [h(y \u2014 c)]q ,\n(<7 = 0, 1, 2, ...).\nDamit ist die verlangte Entwicklung zun\u00e4chst f\u00fcr ein stetiges Vertheilungsgesetz hergestellt. Sie enth\u00e4lt in den (P-Functionen die beiden verf\u00fcgbaren Constanten h und c, w\u00e4hrend die Coefficienten als Durchschnitte der R-Gr\u00f6\u00dfen auftreten und die Constanten &, c ebenfalls enthalten.\nF\u00fcr die unstetigen C.-Gf. l\u00e4sst sich die vorstehende Rechnung mit dem gleichen Erfolge durchf\u00fchren, indessen ist es bequemer, statt der unstetigen Function xp{x) die stetige Function qv(x) zu benutzen, die in der oben angegebenen Weise aus ip hergeleitet werden kann.\nUm \u00fcbersichtlichere Formeln zu erhalten, wollen wir (27) mit etwas ver\u00e4nderten Bezeichnungen ansetzen. Ist\ny = h[x \u2014 C),\t\\\n2nXn = 2<D(y)n, 2An = 2nD[R(y)n], (n = 1,2,...),' (28a) JQ, = 2H(x) - 1 - <%),\t)\nso wird, weil R\u00fc und D{R0) constant gleich Eins sind,\n-Xo = -dj-V, + X2V2 +\t+ \u2022 \u2022 \u2022\t(28b)\nDie Gr\u00f6\u00dfen X^, W2, ... sind aus den am Schl\u00fcsse angeh\u00e4ngten und unmittelbar verst\u00e4ndlichen Tafeln direct zu entnehmen. Die gesuchten Werthe sind dort vierstellig bis zu dem Index 6 und dem Argument 4,00 gegeben, was bis auf weiteres mehr als ausreichend sein d\u00fcrfte. In der Regel wird die scharfe Rechnung mit drei Stellen ausreichen, so dass man, auch bei vierstelliger Rechnung, sich gew\u00f6hnlich um die zweiten Differenzen nicht zu k\u00fcmmern hat.\nUeber die Herstellung der Tafeln m\u00f6ge noch Folgendes bemerkt werden. Die 2400 Tafelwerthe wurden einzeln mit siebenstelligen Logarithmen berechnet, dann auf sechs Stellen abgerundet und durch","page":359},{"file":"p0360.txt","language":"de","ocr_de":"360\nH. Bruns.\nDifferenzen gepr\u00fcft. Au\u00dferdem habe ich zur Contr\u00f4le noch jeden zehnten Tafelwerth unabh\u00e4ngig nach einem abweichenden Formelsystem abgeleitet. Danach ist zu hoffen, dass die vorliegenden Tafeln von der v\u00f6lligen Correctheit nur ganz vereinzelt um eine Einheit der letzten Stelle abweichen. Die Abspaltung der Potenzen von 2 ist erfolgt, um bei der Rechnung mit Zahlen von einigerma\u00dfen gleicher Gr\u00f6\u00dfenordnung zu thun zu haben.\n13. Zur Berechnung der X.-Gr\u00f6\u00dfen ist es n\u00f6thig, dass man zuvor Verf\u00fcgung \u00fcber die einstweilen unbestimmt gelassenen Con-stanten h und c getroffen habe. Selbstverst\u00e4ndlich wird man die h, c nicht willk\u00fcrlich, sondern so w\u00e4hlen, dass sie zu der Beschaffenheit des C.-G. eine bestimmte Beziehung haben.\u2019 ' Zu dem Ende wollen wir die Gr\u00f6\u00dfen h und c aus der Bedingung bestimmen,' dass die beiden Coefficienten A1 und A2 verschwinden. Damit wird zun\u00e4chst\n0 = Ai = D[B(y)i] = D[\u2014 k[x \u2014 c)] ,\n0 = \u2014 hD(x) + Ac,\ne = D(x).\t(29)\nDiesen besonderen Werth von c wollen wir mit e0 bezeichnen. Als eine erste, meistens schon recht genaue Ann\u00e4herung kann man den Durchschnitt aus den a benutzen, d. h. ansetzen\nc0 = (2 za) : (2 z).\nWeiter wird\n0 \u2014 A2 \u2014 2 D[R(y)2]\n= D[A2(\u00e6 \u2014 c)2 \u2014f],\nalso, wenn wir das gesuchte h mit h0 bezeichnen,\n2hlD[[x \u2014 e)2] = 1 .\t(30)\nF\u00fcr die D-Gr\u00f6\u00dfe erh\u00e4lt man eine N\u00e4herung, wenn man aus den Quadraten der a \u2014 c den Durchschnitt bildet, also den Quotienten\n[2 z(a \u2014 c)2] : [2 z)\nberechnet. Da indessen die Ansetzung der Quadrate bei einem umfangreichen C.-G. immerhin l\u00e4stig ist, und da ferner zun\u00e4chst nur ein vorl\u00e4ufiger Werth von h0 n\u00f6thig ist, so kann man die Rechnung auf folgende Weise abk\u00fcrzen. Wenn das Zeichen |sc| den absoluten","page":360},{"file":"p0361.txt","language":"de","ocr_de":"Zur Collectiv-Ma\u00dflehre.\n361\nBetrag von x bedeutet und wenn ferner die Vertheilung der x durch das Gi-au\u00df\u2019sche Gesetz gegeben ist, so gilt, wie in der Fehlertheorie gezeigt wird, die Gleichung\n2D[x2) \u2014 \u00eer[Z)(|\u00e6|)]2.\nGeht man nun davon aus, dass die Vertheilung der a \u2014 c in der Regel mit einer gewissen, wenn auch manchmal rohen, Ann\u00e4herung dem Gau\u00df\u2019schen Gesetze folgt, so kann man nach den Formeln\nM=[2 %\\a \u2014 e|) : [2 z),\t7t(hM)2 = 1\nrechnen.\nDie Gr\u00f6\u00dfen h0 und c0 haben in der Fehlertheorie eine wohl-bekannte Bedeutung. Unterliegen die Fehler einer gemessenen Gr\u00f6\u00dfe x dem Gau\u00df\u2019schen Gesetz, so ist e0 der wahre Werth von x, und h0 die \u00bbPr\u00e4cision\u00ab. Berechnet man ferner die Gr\u00f6\u00dfe s aus\n2 (M2 = 1,\nso ist s der \u00bbmittlere Fehler\u00ab der Messungen. Da die einfache Uebertragung dieser Worte in die Collectiv-Ma\u00dflehre zu manchen Schiefheiten f\u00fchren w\u00fcrde, so erscheint es angezeigt, andere Bezeichnungen zu w\u00e4hlen. Die Gr\u00f6\u00dfe c0 hei\u00dft bei Fechner \u00bbarithmetisches Mittel\u00ab des C.-G. ; in unserem Gedankengange ist e0 gleich D(x), kann also kurz der \u00bbDurchschnitt der x\u00ab genannt werden. Die Gr\u00f6\u00dfe s kann man passend als die \u00bbStreuung\u00ab des C.-G. bezeichnen, denn je gr\u00f6\u00dfer s ist, desto weiter dehnt sich die Strecke aus, \u00fcber die sich die Werthe der a ausbreiten. F\u00fcr h0 kann eine besondere Bezeichnung entbehrt werden, weil h0 nur als eine H\u00fclfs-gr\u00f6\u00dfe der Rechnung auftritt, sobald D[x) und s als charakteristische St\u00fccke des C.-G. aufgefasst werden. Dazu kommt noch ein anderer Umstand. Die beobachteten a sind bei den stetigen C.-G. in der Regel ausgedehnte Gr\u00f6\u00dfen, denen eine bestimmte Dimension zukommt. Die gleiche Dimension kommt dann auch den Gr\u00f6\u00dfen x, c, s zu, w\u00e4hrend h zu diesen Gr\u00f6\u00dfen hinsichtlich der Dimension reciprok ist. Zur Veranschaulichung der Resultate ist also s sicher passender als h.\nHat man einen C.-G. durch Entwicklung nach den X-Gr\u00f6\u00dfen in einer die Beobachtungen ersch\u00f6pfenden Weise dargestellt, so erscheinen als die ihn charakterisirenden Bestimmungsst\u00fccke erstlich","page":361},{"file":"p0362.txt","language":"de","ocr_de":"362\nH. Bruns.\nD[x) und s, d. h. Dursclischnitt und Streuung, zweitens die Reihe der Coefficienten A ,, Ait . . ., die als dimensionslose Zahlen auf-treten und in einfacher Weise mit den Durchschnitten D(R) Zusammenh\u00e4ngen.\n14. Es ist nun noch zu zeigen, wie sich auf Grund der bisherigen Entwicklungen der Gang der Rechnung im einzelnen gestaltet. Wenn die Vertheilungstafel vorliegt, so ist zun\u00e4chst eine \u00bbSummentafel\u00ab zur Berechnung der H(x) herzustellen. Hierbei verf\u00e4hrt man zweckm\u00e4\u00dfig in folgender Weise. Man legt in der Vertheilungstafel den \u00ab-Gr\u00f6\u00dfen einen leeren Werth, n\u00e4mlich a \u2014 \u2014 oo, vor, ordnet diesem aber nicht den ihm zukommenden Werth z = 0 zu, sondern den Werth \u2014 \\m. Mit dieser vorgelegten Zeile beginnend f\u00fchrt man nun schrittweise das Aufsummiren der z aus, das offenbar mit dem Werthe + | m schlie\u00dfen muss. Die einzelnen Summen liefern dann nicht die Gr\u00f6\u00dfen mH, sondern die Werthe von\n\\m[l\u00efl{x) \u2014 1] ,\naus denen durch Division mit \\m sofort die beiden ersten Terme des Ausdruckes von X0 hervorgehen.\nDer zweite Schritt ist die Berechnung der vorl\u00e4ufigen Werthe von D(x) und h, wor\u00fcber schon oben das Notl\u00fcge gesagt worden ist. Daran schlie\u00dft sich die Festsetzung der x, d. h. der Wechseloder Halbirungspunkte, f\u00fcr die man die Gleichungen (28 h) bilden will. Ist die Vertheilungstafel nur kurz, so wird man alle Punkte der genannten Art, die zwischen den beiden \u00e4u\u00dfersten vollen a liegen, heranziehen, w\u00e4hrend man sich bei sehr langen Vertheilungstafeln unter Umst\u00e4nden mit einer Auswahl passender Punkte begn\u00fcgen kann. Nach erfolgter Wahl der x sind die Argumente y der A-Gr\u00f6\u00dfen zu bilden und an der Hand der Tafeln die Gleichungen (28 h) anzusetzen, aus denen die gesuchten Unbekannten A ermittelt werden sollen.\nIn der Regel wird die Anzahl der Gleichungen gr\u00f6\u00dfer sein, als die der Unbekannten, so dass eine Ausgleichung erforderlich ist. Da die Gr\u00fcnde, die in der Fehlertheorie die Bevorzugung der Methode der kleinsten Quadrate rechtfertigen, im vorliegenden Falle nicht durchschlagend sind, so bleibt dem Rechner bei der Wahl des zu benutzenden Ausgleichungsmodus ein ziemlich weiter Spielraum.","page":362},{"file":"p0363.txt","language":"de","ocr_de":"Zur Collectiv-Ma\u00dflehre.\n363\nRecht brauchbar ist hier das Cauchy\u2019sche Yerfahren, zumal es wegen der schrittweise erfolgenden Elimination der Unbekannten schon w\u00e4hrend der Rechnung zu \u00fcbersehen erlaubt, wie viele von den Unbekannten \u00fcberhaupt mitzunehmen sind.\nStatt des Systems (28 b) kann man auch die Bedingungen benutzen, die aus jenem System entstehen, wenn man darin jede Gleichung von der folgenden abzieht. Hierbei wird man vor Ausf\u00fchrung der Subtraction am Anfang und Ende noch die beiden Gleichungen hinzuf\u00fcgen, die zu dem Argument x \u2014 \u00b1oo geh\u00f6ren, weil andernfalls die beiden \u00e4u\u00dfersten Gleichungen von (28 b) verloren gehen w\u00fcrden. Man gelangt damit zu derjenigen Anordnung, die bisher bei der Bearbeitung von statistischen Curven bevorzugt worden ist. In dem umgeformten System erfahren die Ooefficienten der Unbekannten um so mehr Zeichenwechsel, je h\u00f6her ihr Index ist. In Folge dessen wird das an sich sehr primitive May er\u2019sehe Yerfahren brauchbar. Werden die umgeformten Gleichungen in der Gestalt\nTo \u2014 Ai Tx + A2 T2 -f- A3 T3 + ...\t(31 )\ngeschrieben, so multiplicire man zur Bildung der ersten Normalgleichung jede Gleichung (31) mit ihrem sg(2\\) und summire die Producte. Eben so multiplicire man f\u00fcr die zweite Normalgleichung jede Gleichung (31) mit ihrem sg(T2) und summire wieder, u. s. w., bis die n\u00f6thigen Normalgleichungen gebildet sind, deren Aufl\u00f6sung dann die gesuchten A liefert. F\u00fchrt man die Rechnung aus, so erkennt man bald, dass sich die Normalgleichungen auch direct aus (28 b) nach einer einfachen Regel h\u00e4tten bilden lassen. Mau wird hierdurch auf einen Weg gef\u00fchrt, der da, wo er zul\u00e4ssig ist, vor allen anderen den Yorzug verdienen d\u00fcrfte. Angenommen, bei einem vorgelegten stetigen O.-G. seien die a-Intervalle so klein, dass trotz eines gro\u00dfen m die % im allgemeinen nur kleine Werthe besitzen, dann wird man aus der Summentafel die //-Gr\u00f6\u00dfen nicht blo\u00df f\u00fcr die angesetzten Wechselpunkte, sondern auch f\u00fcr irgend welche x durch Interpolation mit ausreichender Sicherheit entnehmen k\u00f6nnen. Damit ist nun die M\u00f6glichkeit gegeben, die Gleichungen (28 b) f\u00fcr em System der y-Gr\u00f6\u00dfen zu bilden, das im voraus und ein f\u00fcr alle-^al fest vorgeschrieben ist. Das Gleiche gilt dann aber auch f\u00fcr","page":363},{"file":"p0364.txt","language":"de","ocr_de":"364\nH. Bruns.\ndie Jl[, X.2, . . . und f\u00fcr die Eliminationsfactoren, so dass die Aufl\u00f6sung darauf hinauskommt, aus den Gr\u00f6\u00dfen Vn mit fest vorgeschriebenen Multiplicatoren gewisse lineare Verbindungen zu bilden. Ein sehr geeignetes System erh\u00e4lt man, wenn man f\u00fcr die y die Wurzelwerthe der R-Gr\u00f6\u00dfen w\u00e4hlt, weil dadurch zugleich auch die Maxima und Minima der \u00a9-Gr\u00f6\u00dfen ber\u00fccksichtigt werden. Ich unterlasse es jedoch, hier auf dieses Verfahren n\u00e4her einzugehen, weil einer meiner Sch\u00fcler damit besch\u00e4ftigt ist, die von Fechner behandelten F\u00e4lle nebst einer Anzahl neuer Beispiele nach der oben aus einander gesetzten Methode zu bearbeiten, wobei sich zugleich Gelegenheit bieten wird, verschiedene Einzelheiten zu ber\u00fchren.\n15. Die Ausgleichung schlie\u00dft mit der Aufstellung der Widerspr\u00fcche \u00bbBeobachtung minus Rechnung\u00ab. Damit sind die auszuf\u00fchrenden Rechnungen in der Regel jedoch noch nicht beendigt, weil die erste Ausgleichung f\u00fcr die Coefficienten Al und A2 meistens Werthe ergehen wird, die nicht als verschwindend anzusehen sind. Man hat in Folge dessen aus den vorl\u00e4ufigen Werthen der h, c, A noch die endg\u00fcltigen Zahlen herzuleiten. Zur Berechnung von h0 und c0 aus den gefundenen Werthen von Av und A2 hat man die Gleichungen\nAt \u2014 he \u2014 hD[x),\tA2 = h2D[[x \u2014 c)2] \u2014 f,\n0 = h0c0 \u2014 h0D(x),\t0 = h\\I){{x \u2014 e0)2] \u2014\\\nzu benutzen. Aus der ersten und dritten Gleichung folgt\nAi = h[c \u2014 c0),\t(32)\nwomit man zun\u00e4chst c0 findet. Die zweite und vierte Gleichung lassen sich, wenn man die zu h und h0 geh\u00f6renden Streuungen s und s0 durch die Bedingungen\n2 (fes)2 = 1 ,\t2(/?.0s0)2 = 1\neinf\u00fchrt, in der Gestalt\n(1 + 2A2)s2 = D[(x \u2014 c)2], sl = D[(x \u2014 c0)2] schreiben, woraus durch Subtraction\n(1 + 2 A2)s2 \u2014 s* = Z>[(2.x \u2014 c \u2014 e0)(e0 \u2014 c)] = (e0 \u2014 c)2\noder","page":364},{"file":"p0365.txt","language":"de","ocr_de":"Zur Collectiv-Ma\u00dflehre.\n365\n*S = (1 + 2A2)s2 _ (c0 _ c)2\t(33)\nfolgt. Besitzen die Verbesserungen von h und c gr\u00f6\u00dfere Werthe, so wird eine Wiederholung der Ausgleichung mit den verbesserten h, c rathsam sein. Im anderen Falle kann man die Verbesserung von A3, A,j, . . . auf folgende Weise direct finden. Man bezeichne die Co-efficienten der Reihe mit A oder B oder C, je nachdem sie mit den Werthepaaren h, c oder h, c0 oder h0, c0 gebildet worden sind, so dass\n2An = 2*D{R[h(x - c)\\n),\t2Bn = 2*D{R[h(z - e0)]\u201e),\n2 Cn = 2 nD(R[h() (x \u2014 Co)]*)\nwird, wobei die Gr\u00f6\u00dfen A0, B0, C0 gemeinsam den Werth | besitzen. Dann kann man nach (12) zun\u00e4chst ansetzen\n_D[exp (\u2014 2hxv + 2hcv \u2014 z>2)] = 2 2 Anvn,\nD[exp (\u2014 2hxv + 2hc0v \u2014 v2)] = 2 2 Bnvn.\nMit der Abk\u00fcrzung f\u2014 2h(c0 \u2014 c) liefert die Division der beiden vorstehenden Gleichungen\n- Bnvn = exp (fv) 2 Anvn,\nworaus durch Ausmultipliciren auf der rechten Seite nach einer kleinen Reduction die Gleichungen\nBt = 0,\nB2 = Ai-$p,\nBi \u2014 A3 + A%f \u2014 4/2,\nA \u2014 At + A%f + \\A2f% \u2014\t,\nBb \u2014 A5 + A4f + -\\A3f2 + hA2f3 \u2014 \u00f6V/'5 j B& = A6 + f +\t+ \\A4f% + ^*\u00eeA2/\u20194 \u2014\nfolgen. Damit ist Umwandlung der A in die B gegeben. Um die B in die C zu verwandeln, setze man mit den Abk\u00fcrzungen\nK : h \u2014 g , g* \u2014 i \u2014 k nach (12) die Gleichungen\nD[exp (\u2014 2hxgv + 2hc\u00fcgv \u2014 #2\u00bb2)] = 22 Bn(gv)n,\nI) [exp (\u2014 2haxv + 2h0c0v \u2014 v\"1)]\t=22 Cnvn\nan> deren Division auf","page":365},{"file":"p0366.txt","language":"de","ocr_de":"366\nH. Bruns.\nS Cnvn = exp (kv2) 2 Bn[gv)n\nund weiter auf\nCy = C2 = 0 ,\nC'a = \u00a33<73,\nQ \u2014 B5<p + B3g3k ,\nC6 = B,g* + B^g^lc - **\u00bb\n(35)\nf\u00fchrt. Die Anwendung der Formeln (34) und (35) wird offenbar um so bequemer, je kleiner f und k sind.\n16. Vergleicht man die hier gegebenen Rechnungsvorschriften mit dem Verfahren Fechner\u2019s, so erkennt man, dass die beiden Methoden von der prim\u00e4ren Vertheilungstafel an aus einander gehen. Fechner leitet, weil f\u00fcr ihn die Kenntniss des \u00bbdichtesten\u00ab Werthes, d. h. des Maximums von rp (x'j, unentbehrlich ist, aus der prim\u00e4ren Tafel eine \u00bbreducirte\u00ab her, in der die unregelm\u00e4\u00dfigen Spr\u00fcnge der prim\u00e4ren Tafel m\u00f6glichst ausgeglichen sind, und passt dann sein zweitheiliges Gesetz durch angemessene Wahl der drei darin enthaltenen willk\u00fcrlichen Parameter der beobachteten Curve m\u00f6glichst gut an. Im vorliegenden Falle wird das Maximum von <p nicht gebraucht. W\u00fcnscht man es zu kennen, so gen\u00fcgt es, von der rechten Seite in (27) die zweite Ableitung zu bilden, dann dazu f\u00fcr die Gegend des Maximums eine kleine Ephemeride zu rechnen und aus dieser das Argument zu entnehmen, f\u00fcr welches die genannte Ableitung verschwindet. In \u00e4hnlicher Weise l\u00e4sst sich auch der \u00bbCentralwerth\u00ab finden, d. h. die Stelle, an der H gleich \\ wird, oder die beiden Seiten von (27) verschwinden. Im \u00fcbrigen liegt offenbar der wesentliche Unterschied der beiden Methoden nicht in dem Aeu\u00dfer-lichen der Rechnung, sondern darin, dass in der Reihe (27) zur Darstellung eines vorgelegten C.-G. dem Rechner eine, theoretisch unbegrenzte, Anzahl von Constanten zur Verf\u00fcgung steht, w\u00e4hrend bei Fechner nur drei Constanten verf\u00fcgbar sind.\nZum Schl\u00fcsse mag noch ausdr\u00fccklich hervorgehohen werden, dass die angewandte Darstellung nicht die einzige denkbare und auch sicherlich nicht die einzige brauchbare ist. So kann man z. B. aus der Reihe (27) eine andere herleiten, deren Glieder s\u00e4mmtlich die Gestalt\tlO[h{x \u2014 c)]","page":366},{"file":"p0367.txt","language":"de","ocr_de":"Zur CoIIeetiv-Ma\u00dflehre.\n367\nbesitzen, und in der die Constanten l, h, c von einem Gliede zum anderen ihren Werth \u00e4ndern, w\u00e4hrend die Summe der l gleich Eins ist. Wenn ein O.-G. eine solche Darstellung mit positiven l zul\u00e4sst, so kann man das dahin deuten, dass er durch Mischung von anderen O.-G. entstanden sei, die einzeln dem einfachen Exponentialgesetz gehorchen. Derartige F\u00e4lle sind bei Reihen von Beobachtungsfehlern nachweisbar. Auf der anderen Seite l\u00e4sst sich das Auftreten negativer l dahin deuten, dass zwar eine Mischung von einfachen Ex-ponentialgesetzen vorliege, dass aber gewisse, zur Vollst\u00e4ndigkeit der Mischung nothwendige Bestandtheile fehlen. Ein solcher Fall w\u00fcrde z. B. vorhegen, wenn bei einer Messungsreihe st\u00e4rker abweichende Beobachtungen unterdr\u00fcckt und die Fehler der \u00fcbrig bleibenden Messungen zu einem O.-G. vereinigt werden.\nEine weitere Ab\u00e4nderung von (27) ergibt sich aus folgender Betrachtung. Man denke sich, dass bei der Beobachtung eines C.-G. dem Beobachter alle a, die au\u00dferhalb einer gewissen Strecke liegen, unzug\u00e4nglich bleiben, dass also der C.-G., wie wir kurz sagen k\u00f6nnen, > unvollst\u00e4ndig\u00ab ist. Behandelt man nun eine solche Reihe nach dem f\u00fcr vollst\u00e4ndige C.-G. geltenden Schema, so erhalten die in (27) n\u00f6thigen //-Gr\u00f6\u00dfen offenbar nicht die richtigen Werthe, weil sie erstlich mit einem zu kleinen m berechnet werden, und zweitens s\u00e4mmtlich um denselben constanten Betrag entstellt sind. Diesen Umstand kann man aber dadurch ber\u00fccksichtigen, dass man auf der rechten Seite von (27) ein constantes unbekanntes Glied hinzuf\u00fcgt und ferner dem Gliede, das die Function \u00ae selber enth\u00e4lt, statt des Coefficienten Eins einen vorl\u00e4ufig unbekannten Coefficienten gibt. Selbstverst\u00e4ndlich liefern dann die aus der Ausgleichung hervorgehenden Werthe der Coefficienten von \u00a9,,... nicht die Gr\u00f6\u00dfen -U(-R), sondern die mit dem Coefficienten von <l> multiplicirten Durchschnittsgr\u00f6\u00dfen.\nMit den vorstehenden Bemerkungen will ich abbrechen. F\u00fcr die weitere Entwicklung des von Fechner entworfenen Systems der \u00bbempirischen H\u00e4ufigkeitslehre\u00ab ist vor allem erforderlich, dass zun\u00e4chst einmal ausgedehnte Anwendungen vorliegen, die \u00fcber das Gebiet der blo\u00dfen Rechnungsbeispiele hinausgehen.\nLeipzig, 27. Juni 1898.","page":367},{"file":"p0368.txt","language":"de","ocr_de":"368\nH. Bruns.\nx\n*Wi\n9 (x)\u00ee : 2\n&{x) 3:4\n<P (\u00e6)4: 8\n<P(\u00e6)5: 16\n0(\u00e6),\n\u00ab: 32\n0.00\n.01\n.02\n\u202203\n.04\n.05\n.06\n.07\n.08\n.09\n0.10\n.II\n.12\n\u202213\n.14\n\u202215\n.16\n\u202217\n.18\n\u202219\n0.20\n.21\n.22\n\u202223\n.24\n\u202225\n.26\n.27\n.28\n.29\n0.30\n\u202231\n\u202232\n\u202233\n\u202234\n\u202235\n\u202236\n\u202237\n\u202238\n\u202239\n0.40\n.41\n.42\n\u25a043\n\u202244\n\u202245\n.46\n\u202247\n.48\n\u202249\n0.50\n+1.1284\n+1.1283 1.1279 1.1274\n+1.1266 1.1256\n1-1243\n+ 1.1229 1.1212 1.H93\n+ 1.1172\n+ 1.1148 1.1122 \u00ef.iogs\n+ 1-1065 1.1033 1.0999\n+ 1.0962 1.0924 1.0884\n+ 1.0841\n+ 1-0797 1.0751 1.0702\n+ 1.0652 1.0600 1.0546\n+ 1.0490\n1.0433\n1-0374\n+ i-\u00b03i3\n+ 1.0250 1.0186\n+ 1.0052 0.9983 0.9912\n+ 0.9840 0.9767 0.9692\n+ 0.9615\n+ 0.9538 0-9459 0.9379\n+ 0.9298 0.9215 0.9132\n+ 0.9047\n0.8962\n0.8875\n- 0.8788\n\u2022 0.0113 0.0226 0.0338\n\u25a0 0.0451 0.0563 0.0675\n- 0.0786 0.0897 0.1007\n\u25a0 0.1117\n-\t0.1226 O.I335 0.1442\n-0.1549\n0.1655\n0.1760\n-\t0.1864 0.1966 0.2068\n\u2014 0.2168\n\u2022 0.2267 0.2365 0.2462\n-0.2557\n0.2650\n0.2742\n- 0.2832 0.2921 0.3008\n\u2014 0.3094\n-0.3177\n0.3259\n0-3339\n-0.3418\n0-3494\n0.3568\n- 0.3641\n0.3711\n0.3780\n\u2014 0.3846\n-\t0.3911 0-3973\n0-4033\n-\t0.4091 0.4147 0.4201\n-\t0.4252 0.4302 0.4349\n\u2014 0.4394\n113\n113\n112\n\u201d3\n112\n112\nni\nni\n110\n110\n109\n109\n107\n107\n106\n105\n104\n102\n\u2014 0.5642\n- 0.5640 0-5635 0.5627\n-0.5615\n0.5600\n0.5581\n-0.5559\n0-5534\n0.5506\n\u2014 0-5474\n-\t0-5439 0.5401 0.5360\n-0.5316\n0.5268\n0.5218\n-\t0.5164 0.5108 0.5049\n\u2014 0.4987\n-\tO.4922\n04855\n0.4785\n-\t0.4713\n0.4638\n0.4560\n\u2022 0.4480 0-4399 0.4314\n- 0.4228\n\u25a0 0.4140 0.4050 0-3958\n- 0.3864 0.3769 0.3671\n-0-3573\n0-3473\n0.3372\n\u2014 0.3269\n-\t0.3166 0.3061 0.2955\n-\t0.2849 0.2742 0.2634\n-\t0.2525\n0.2416\n0.2307\n\u2014 0.2197\n100\n101 103 103\n105\n106\n106\n107\n108\n109 109\n109\n110\n+ 0.0169 0.0338 0.0507\n+ 0.0675 0.0843 0.1009\n+ 0.1175 0.1340 0.1503\n+ 0-1665\n+ 0.1825\n0.1983\n0.2139\n+ 0.2293 0.2445\n0.2595\n+ 0.2742 0.2886 0.3027\n+ 0.3166 + 0.3301 o-3433 0.3562\n+ 0.3688 0.3809 0.3928\n+ 0.4042\n04153\n0.4260\n- 0.4362\n-|- 0.4461\n0-4555\n0.4646\n+ 04731\n0.4813\n0.4890\n+ 0.4963\n0.5031\n0.5095\n+ 0.5154\n4- 0.5208 0.5258 0.5304\n+ 0.5344 0.5381 0.5412\n+ 0-5439 0.5461 0-5479\n+ 0.5492\n169\n169\n169\n168\n168\n166\n166\n165\n163\n162\n160\n158\n156\n154\n152\n150\n147\n144\n141\n139\n135\n132\n129\n126\n121\nII9\nII4\nIII\n107\n102\n99\n94\n91\n85\n82\n.77\n73\n68\n64\n59\n54\n5\u00b0\n46\n40\n37\n31\n27\n22\n18\n13\n+ 0.8463\n+ 0.8459 0.8446 0.8425\n+ 0.8395 0.8357 0.8311\n+ 0.8257 0.8194 0.8123\n+ 0.8045\n+ 0.7958\n0.7864\n0.7762\n+ 0.7652 0-7535 0.7411\n+ 0.7280\n0.7143\n0.6998\n+ 0.6847\n+ 0.6690 0.6527 0.6358\n+ 0.6184 0.6004\n0.5819\n+ 0.5629 0-5435 0.5236\n+ 0.5034\n+ 0.4827 0.4617 0.4404\n+ 0.4187 0.3968 0-3747\n+ 0.3523\n0.3298\n0.3071\n+ 0.2842\n+ 0.2613 0.2383 0.2152\n+ 0.1922 0.1691 0.1461\n+ 0.1231 0.1003\n0.0775\n- 0.0549\n4\n13\n21\n3\u00b0\n38\n46\n54\n63\n71\n78\n87\n94\n102\n110 117 124\n131\n137\n145\n151\n157\n163\n169\n174\n180\n185\n190\n194\n199\n202\n207\n210\n213\n217\n219\n221\n224\n225\n227 229\n229\n230\n231\n230\n231 230\n230\n228 228\n226\n0.0000\n-\t0.0423 4-: 0.0845 0.1267\n-\tO.1686 41 O.2103 1,1 0.2518 41\n-\t0.2928 4' 0-3335 o-3737\n-\t04134 3'\n-0.4525 3; 0.4909 3 0.5287 3\n-\t0.5658 3 0.6021 -J 0.6375 3\n-\t0.67215; 0.70573 0.73843\n\u2014 0.7701\n-\t0.8007 0.8302 0.8587\n-\t0.8859 0.9120 0.9368\n-\t0.9604 0.9827 1.0038\n\u2014\t1.0235\n\u2014\t1.0418 1.0588\n1.0744\n\u2014\t1.08S7 1.1015 1.1129\n\u2014\tI.I229 !\ni-i3I5 ___i+387\n\u2014\t1.14)5\n\u2014\t1.1488\n1.151S\nI-I533\n\u20141.1534 ! 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Bruns.\nx\n<P(x)l\n0(*)2: 2\n<Z>(\u00e6)3:4\n<P(x) 4:8\n<?>{\u00e6)5: 16\n& (*)e :\n32\n1.00\n.01\n.02\n\u25a0\u00b03\n.04\n\u202205\n.06\n.07\n.08\n.09\n1.10\n.II\n.12\n\u202213\n\u2022H\n\u202215\n.16\n\u202217\n.18\n.19\n1.20\n.21\n.22\n\u202223\n.24\n\u202225\n.26\n.27\n.28\n.29\n1.30\n\u202231\n\u202232\n\u202233\n\u202234\n\u202235\n.36\n\u202237\n\u202238\n\u25a039\n1.40\n\u202241\n.42\n\u202243\n\u202244\n\u202245\n.46\n\u202247\n.48\n\u202249\n1.50\n+ 0.4151\n+ 0.4068 0.3987 0.3906\n+ 0.3826\n0.3747\n0.3668\n+ 0.3591 o-35\u00ef5 0-3439\n+ 0.3365\n+ 0.3291 O.32IQ O.3I47\n+ O.3O76 0.3007 0.2938\n+ 0.2870 0.2804 0.2738\n+ 0.2673\n+ 0.2610 0.2547 0.2485\n+ 0.2425 0.2365 0.2307\n+ 0.2249 0.2192 0.2137\n+ 0.2082\n+ 0.2028 0.1976 0.1924\n+ 0.1873 0.1824 O.I775\n+ 0.1727 0.1680 0.1634\n\u25a00.1589\n+ 0.1545\n0.1502\n0.1460\n+ 0.1419 0.1378 O.I339\n+ 0.1300 0.1262 0.1225\n+ 0.1189\n\u25a00.4151\n\u25a0 0.4109 0.4066 0.4023\n\u20220-3979\n0-3934\n0.3889\n- 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9\n11\n12\n13\n15\n15\n17\n17\n18\n19\n20\n21\n22\n22\n23\n24\n25\n25\n25\n26\n27\n+ 0.1972 0.1869 0.1766\n1665\n1564\n1464\n1364\n1266 1169\n+ 0. o. o.\n+ \u00b0-o. o.\n+ 0.1073\n+ 0. o. o,\n+ o. o o\n0979\n0885\n0793\n0703\n0614\n0526\n0440\n0356\n0273\n-j- 0.0192\n+ 0.\n+ 0.\n\u2014\to,\n\u2014\to, o, o,\n\u2014\to, o, o\n0113\n0036\n0039\n0113\n0185\n0255\n0322\n0388\n0452\n-0.0514\n\u2014 o. o. o.\n0574\n0632\n0688\n\u2014\t0.0742\n0.0794\n0.0844\n\u2014\t0.0892 0.0938 0.0982\n\u2014 0.1024\n\u2014\t0.1064 0.1102 0.1138\n\u2014\t0.1172 0.1204 0.1235\n\u2014\t0.1263 0.1290 0.1315\n\u2014 0.1338\n104\n103\n103\nIOI\nIOI\nIOO\nIOO\n98\n97\n96\n94\n94\n92\n90\n89\n88\n86\n84\n83\n81\n79\n77\n75\n74\n72\n70\n67\n66\n64\n62\n60\n58\n56\n54\n52\n50\n48\n46\n44\n42\n40\n38\n36\n34\n32\n31\n28\n27\n25\n23\n-- O.5189 ;\n\u25a0 O.5166 0.5138 O.5IO6\n-\tO.5069 0.5028 0.4983 ;\n-\t0.4934\n0.4881\n0.4824\n\u2014 0.4764\n\u25a0\t0.4701 0.4634 0.4564\n\u25a0\t0.4491 0.4415\n0.4337\n- 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0.0367 0.0412\t49 47 45\t+ 0.2405 0.2307 0.2209\n+ 0.0546 0.0528 0.0510\t20 18 18\t\t O.O95I 0.0924 O.O897\t28 27 27\t+ 0.1381 0.1352 0.1324\t29 29 28\t\u2014 0.1453 0.1443 0-1433\t8 10 10\t+ 0.0456 0.0497 0.0536\t44 41 39\t+ 0.2113 0.2017 0.1922\n+ 0.0492 0.0475 0.0458\t18 17 17 16 l6 15 15\t\u2014 0.0871 0.0845 0.0820\t26 26 25\t+ 0.1295 0.1267 0.1239\t29 28 28 28 28 27 27\t\t 0.1422 O.I4IO 0.1397\t11 12 13\t+ 0.0574 0.0609 0.0643\t38 35 34\t+ 0.1828 0.1735 0.1643\n+ 0.0442\t\t\u2014 0.0795\t25\t+ 0.1211\t\t\u2014 0.1384\t13\t+ 0.0675\t32\t+ 0.1553\n+ 0.0426 0.0411 0.0396\t\t\u2014 0.0772 0.0748 0.0725\t23 24 23\t+ 0.1183 O.II56 O.II29\t\t\u2014 0.1370 0.1356 0.1341\t*4 H 15\t+ 0.0705 0.0734 0.0760\t3\u00b0 29 26\t+ 0.1464 0-1377 0.1291\n+ 0.0382 0.0368 0-0355\t14 14 13\t\u2014 0.0703 0.0681 0.0660\t22 22 21\t+ 0.1102 0.1076 0.1050\t27 26 26\t\u2014 0.1325 0.1310 0.1293\t16 15 17\t+ 0.0785 0.0809 0.0830\t25 24 21\t+ 0.I20\u00d6 0.1123 0.1042\n+ 0-0342 0.032g -__0-\u00b03i7\t\u00ab3 13 12\t\u2014 0.0639 0.0619 0.0599\t21 20 20\t+ 0.1024 0.0999 0.0974\t26 25 25\t\u2014 0.1276 0.1259 0.1242\t17 \u20227 17 18 18 19 19\t+ 0.0850 0.0869 0.0886\t20 19 17\t+ 0.0963 0.0885 0.0809\njfo.0305\t\t\u2014 0.0580\t19\t+ 0.0949\t25\t\t 0.1224\t\t+ 0.0901\t>5\t+ 0.0735\nO.O294 O.O283 0.0272\tII II\t\u2014 0.0561 0.0543 0.0525\t19 18 18\t+ 0.0925 0.0901 0.0878\t24 24 23\t\u2014 0.1206 0.1187 0.1168\t\t+ 0.0915 0.0928 0.0939\t14 13 11\t+ 0.0663 0.0593 0.0525\n+ 0.0262 0.0252 0.0242\tIO IO IO\t\u2014 0.0508 0.0491 0.0475\t17 17 16\t+ 0.0854 0.0832 0.0809\t24 22 23\t\u2014 O. II 50 O.II3I O.IIII\t18 19 20\t+ 0.0949 0.0957 0.0964\t10 8 7 7\t+ 0.0459 0.0395 0.0332\n+ 0-0233 0.0224 0.0215\t9 9 9 8\t\u2014 0.0459 0.0443 0.0428\t16 16 15\t+ 0.0787 0.0765 0.0744\t22 22 21\t\u2014 0.1092 0.1073 0.1053\t19 19 20\t+ 0.0971 0.0975 0.0979\t4 4\t+ 0.0272 0.0214 0.0158\n+ 0.0207\t\t\u2014 00413\t15\t+ 0.0723\t21\t\u2014 0.1033\t20\t+ 0.0982\t3\t+ 0.0103\nWundt, Philos. Studien. XIV.\n25","page":371},{"file":"p0372.txt","language":"de","ocr_de":"372\nH. Bruns.\nX\t\t\t<I>(x)2:\t2\t4>(x)a:\t\t4\t*(*)\u00ab:\t8\t0(x)5: 16\t\t\t\u00ae(\u00e6)e : 32\t\n2.00\t+\t0.0207\t\u2014 0.0413\t14\t+\t0.0723\t20\t\u2014 0.1033\t\t+\t0.0982\t\t+ O.OIO3\t\n.OI\t+\tO.OI99\t\u2014 0.0399\t\t+\t0.0703\t\t\t O.IOI4\t19\t+\t0.0983\t\t+o.o^r\t52\n.02\t\tO.OI9I\t0.0385\t\t\t0.0683\t\t0.0994\t20\t\t0.0984\t1\t+0.0001\t50\n\u25a0\u00b03\t\t0.0183\t0.0372\tx3\t\t0.0663\t\t0.0974\t\t\t0.0983\t\t\u2014 0.0047\t48\n.04\t+\t0.0176\t\u2014 0.0359\t13\t+\t0.0644\t19\t\u2014 0.0955\t19\t+\t0.0982\t1\t\u2014 0.0094\t471\n\u2022\u00b05\t\t0.0169\t0.0346\t*3\t\t0.0625\t\t0.0935\t\t\t0.0980\t\t0.0138\t44\n.06\t\t0.0162\t0.0334\t\t\tO.0606\t*9\t0.0916\t\t\t0.0976\t\t0.0180\t42\n.07\t+\t0.0155\t\t 0.0322\t12\t+\t0.0588\t18\t\u2014 0.0896\t20\t+\t0.0972\t4\t\u2014 0.0221\t41\n.08\t\tO.OI49\tO.O3IO\t\t\t0.0571\t18\t0.0877\t20\t\t0.0968\t6\t0.0259\t38\n.09\t\tO.OI43\t0.0299\t\t\t0-0553\t\t0.0857\t\t\t0.0962\t\t0.0296\t37\n2.10\t+\t0.0137\t\u2014 0.0288\t\t+\t0.0536\tl7\t\u2014 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