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{"created":"2022-01-31T14:24:53.149681+00:00","id":"lit4516","links":{},"metadata":{"alternative":"Philosophische Studien","contributors":[{"name":"Mosch, Erich","role":"author"}],"detailsRefDisplay":"Philosophische Studien 14: 491-549","fulltext":[{"file":"p0491.txt","language":"de","ocr_de":"Zur Methode der richtigen und falschen F\u00e4lle im Gebiete der Schallempfindungen.\nVon\nErich Mosch.\nMit 11 Figuren im Text.\n1. Einleitung.\nUnter den psychophysischen Methoden zeichnet sich die Methode der richtigen und falschen F\u00e4lle zweifellos dadurch aus, dass \u00fcber ihre Anwendbarkeit die widersprechendsten Ansichten geherrscht haben und wohl noch herrschen. Eine Anzahl Fragen, die theils die mathematischen Grundlagen, theils die Deutung der Formelgr\u00f6\u00dfen betrafen, gab Anlass zu den lebhaftesten Controversen, ohne dass eine Einigung erzielt worden w\u00e4re. Nach diesen Streitigkeiten ist dann ein Stillstand eingetreten; seit etwa 5 Jahren ist keine Arbeit erschienen, die zur Kl\u00e4rung der Fragen heigetragen h\u00e4tte. Die letzte gr\u00f6\u00dfere experimentelle Untersuchung \u00fcber den Gegenstand ist die Dissertation von K\u00e4mpfe: \u00bbBeitr\u00e4ge zur experimentellen Pr\u00fcfung der Methode der richtigen und falschen F\u00e4lle\u00ab ') ; von theoretischen Untersuchungen kommt nur die aus Anlass der K\u00e4mpfe\u2019schen Arbeit entstandene Abhandlung von Bruns in Betracht: \u00bbUeber die Ausgleichung statistischer Z\u00e4hlungen in der Psychophysik\u00ab1 2). In der K\u00e4mpfe\u2019schen Arbeit ist ein \u00e4u\u00dferst umfassendes Material zur Discussion verschiedener Fragen verwendet worden, die sich haupts\u00e4chlich auf die Anwendbarkeit der in den Fechner\u2019schen und M\u00fcller\u2019schen Formeln f\u00fcr die Methode der richtigen und falschen F\u00e4lle auftretenden mathe-\n1) Philos. Studien, VIEL Bd. S. 511.\nWundt, Philos. Studien. XIV.\n2) Ebenda, IX. Bd. S. 1. 33","page":491},{"file":"p0492.txt","language":"de","ocr_de":"r\n492\tErich Mosch.\nmatischen H\u00fclfsgr\u00f6\u00dfen, insbesondere auf die Aufstellung eines Ma\u00dfes f\u00fcr die Unterschiedsempfindlichkeit beziehen. Die Bruns\u2019sehe Abhandlung, die zum Theil auch die Veranlassung der vorliegenden Arbeit war, zeigt, dass die in der Astronomie und Physik schon seit langem angewandten Regeln der Ausgleichungsrechnung auch f\u00fcr die Psychophysik verwendbar seien, und er\u00f6ffnet damit zum ersten Male einen Weg, auf dem es m\u00f6glich ist, jene schon erw\u00e4hnten Streitfragen auf exactere Weise und daher mit gr\u00f6\u00dferer Hoffnung auf Erfolg in Angriff zu nehmen. In vorliegender Arbeit soll daher der Versuch gemacht werden, die in dem Bruns\u2019schen Aufsatze ausgesprochenen Gedanken auf dem Gebiete der Schallempfindungen in Anwendung zu bringen; au\u00dferdem war aber noch ein anderes Ziel gesteckt. E\u00fcr die rechnerische Verwerthung der Methode der richtigen und falschen F\u00e4lle existirten n\u00e4mlich verschiedene Formeln, und es kam zumeist auf den pers\u00f6nlichen Geschmack des Einzelnen an, f\u00fcr welche Behandlungsweise er sich entschied. Ueber die Anwendbarkeit dieser Grundformeln, die s\u00e4mmtlich auf dem Gau\u00df\u2019sehen Fehlergesetze beruhten, zerbrach man sich nicht weiter den Kopf, h\u00f6chstens dass man, wenn man keine allzu gro\u00dfen Differenzen zwischen Beobachtung und Rechnung gefunden hatte, diesen Punkt durch die Bemerkung erledigt glaubte, dass die Formel die Beobachtungen gen\u00fcgend gut darstellte. Zweck dieser Arbeit soll es nun sein, auch einmal die Grundformeln, die nichts anderes als eine Anwendung des Gau\u00df \u2019sehen Fehlergesetzes auf die Psychophysik darstellen, auf ihre Brauchbarkeit hin zu pr\u00fcfen. Diese Pr\u00fcfung kann nur auf Grund einer exacten mathematischen Behandlung des Zahlenmaterials, auf Grund einer Ausgleichung vorgenommen werden ; die bei der Ausgleichung zur\u00fcckbleibenden Widerspr\u00fcche werden dann den Hauptgegenstand der Discussion bilden. Diese Behandlung, die Pr\u00fcfung der Anwendbarkeit des Gau\u00df\u2019sehen Fehlergesetzes, ist um so mehr jetzt eine dringende Forderung geworden, als Fechner selbst in einem nachgelassenen Werke1) gezeigt hat, dass das Gau\u00df\u2019sche Fehlergesetz durchaus nicht jene allgemeine Anwendbarkeit besitzt, die man bisher bei ihm voraus-\n1) Collectivma\u00dflehre von G. Th. Fechner, herausgegeben von Gottl. Friedr. Lipps. Eine Darstellung der Fechner\u2019schen Lehren gibt Lipps in Philos. Studien, XIII. Bd. S. 611: Ueber Fechner\u2019s Collectivma\u00dflehre und die Vertheilungsgesetze der Collectivgegenst\u00e4nde.","page":492},{"file":"p0493.txt","language":"de","ocr_de":"Zur Methode der richtigen und falschen F\u00e4lle im Gebiete der Schallempfindungen. 493\ngesetzt hatte, dass es vielmehr oft durch allgemeinere Vertheilungsgesetze ersetzt werden muss, von denen Fechner selbst mehrere auf inductivem Wege ableitet. Eine mathematisch strenge Ableitung solcher allgemeiner Fehlergesetze hat dann Bruns1) gegeben.\nDer Schwerpunkt dieser Arbeit wird nach dem Gesagten mehr auf mathematischem als auf psychologischem Gebiete liegen, erst wenn die Formeln einer eingehenden Pr\u00fcfung unterzogen sind, wird man zu Auseinandersetzungen psychologischen Charakters \u00fcbergehen k\u00f6nnen, insbesondere zu Fragen nach der Bedeutung der Formelgr\u00f6\u00dfen und zur Frage des Weber\u2019schen Gesetzes; indessen werden wir uns bez\u00fcglich des letzteren auf wenige Bemerkungen beschr\u00e4nken k\u00f6nnen, besonders da es auf dem Gebiete, auf dem die hier zu beschreibenden Experimente ausgef\u00fchrt worden sind, auf dem Gebiete der Schallempfindungen wohl hinreichend best\u00e4tigt worden ist.\nWas- die experimentelle Seite der Arbeit anbetrifft, so ist hier der Versuch gemacht worden, die Versuchsbedingungen m\u00f6glichst zu verallgemeinern, es wurde nicht, wie bisher, nur mit 2 Schallreizen gearbeitet, sondern deren 4 benutzt; au\u00dferdem sind neben den gew\u00f6hnlich angewandten Urtlieilen \u00bbgr\u00f6\u00dfer\u00ab, \u00bbgleich\u00ab, \u00bbkleiner\u00ab noch die Urtheile \u00bbviel gr\u00f6\u00dfer\u00ab und \u00bbviel kleiner\u00ab angewandt worden. Urspr\u00fcnglich wurden auch die Urtheile \u00bbundeutlich gr\u00f6\u00dfer\u00ab und \u00bbundeutlich kleiner\u00ab benutzt, doch ergab sich hier in der ersten Zeit ein ganz geringer Procentsatz dieser Urtheile, bis sie sp\u00e4ter ganz wegfielen, was \u00fcbrigens auch mit den Angaben fr\u00fcherer Beobachter \u00fcbereinstimmt. Diese beiden Klassen von Urtheilen konnten daher zur Berechnung nicht verwendet werden.\nDie Urtheile \u00bbviel gr\u00f6\u00dfer\u00ab und \u00bbviel kleiner\u00ab sind \u00fcbrigens in j\u00fcngster Zeit auch auf einem anderen Gebiete in Anwendung gekommen, und zwar wurden sie von Wreschner2) zur Beurtheilung von Druckdifferenzen hei der Hebung von Gewichten benutzt. Wreschner hat in der Hauptsache die Urtheilsklassen \u00bbviel gr\u00f6\u00dfer\u00ab, \u00bbgr\u00f6\u00dfer\u00ab, \u00bbgleich\u00ab, \u00bbkleiner\u00ab und \u00bbviel kleiner\u00ab, und erh\u00e4lt f\u00fcr jede derselben einen regelm\u00e4\u00dfigen Gang der Urtheile. Was allerdings die\n1)\tBruns, Ueber die Darstellung von Fehlergesetzen. Astron. Nachr. 143. S. 329 und \u00bbZur Collectivma\u00dflehre\u00ab in Philos. Studien, XIV. Bd. S. 339.\n2)\tWreschner, Methodologische Beitr\u00e4ge zu psychophysischen Messungen.\n33*","page":493},{"file":"p0494.txt","language":"de","ocr_de":"494\nErich Mosch.\nVerwerthung der Zahlen anbelangt, so ist von einer exacten, d. h. mathematischen Verarbeitung des Zahlenmaterials keine Rede. Alle Resultate werden vielmehr auf Grund allgemeiner Ueberlegungen \u00fcber den Zahlenverlauf der Urtheile erlangt, dass man aber auf diesem Wege zu sicheren Ergebnissen \u00fcber Unterschiedsempfindlichkeit und \u00e4hnliche Begriffe nicht gelangen kann, liegt auf der Hand ; eine streng mathematische Behandlung ist f\u00fcr psychophysische Experimente unerl\u00e4sslich. Es liegt daher f\u00fcr uns kein Grund vor, weiter auf die Wreschner\u2019schen Ergebnisse Bezug zu nehmen.\nNach diesen allgemeinen Vorbemerkungen \u00fcber die Ziele unserer Untersuchung gehen wir zun\u00e4chst zu einigen Erl\u00e4uterungen, die die mathematische Seite der Methode betreffen, \u00fcber.\n2. Mathematische Entwicklungen.\nDie Anwendbarkeit der Methode der richtigen und falschen F\u00e4lle beruht bekanntlich darauf, dass eine gewisse, vom Experimentator festgesetzte Reizdifferenz D von der Versuchsperson nicht immer richtig erkannt wird, sondern dass diese bald ein richtiges, bald ein falsches Urtheil \u00fcber D abgeben wird. Exacter ausgedr\u00fcckt : Es werden 2 Beize If, und Ri erzeugt, ihre Differenz D \u2014 Pt \u2014 If, wird beobachtet. Es werden dann die Urtheile auftreten: D 0, d. h. der 1. Reiz gr\u00f6\u00dfer als der zweite; D \u2014 0, d. h. beide Reize werden als gleich aufgefasst ; und D < 0, d. h. der 2. Reiz erscheint gr\u00f6\u00dfer als der erste. F\u00fcr jede Differenz werden die Urtheile gesammelt und unter den Rubriken D > 0, D = 0, D 0 zusammengestellt. Von Differenz zu Differenz \u00e4ndern sich dabei nat\u00fcrlich die Anzahlen der in den einzelnen Klassen abgegebenen Urtheile. Es fragt sich, ob man diese Ver\u00e4nderung der Anzahl der Urtheile mit den eingestellten Differenzen durch Formeln darstellen kann. Der erste, der dies versuchte, war Fechner. Bezeichnet man die Anzahl der in der Klasse D 0 abgegebenen Urtheile mit P, die entsprechende Anzahl in der Klasse D = 0 mit Z und die in der Klasse J) < 0 mit N, sowie die Gesammtzahl der abgegebenen Urtheile mit F, so dass P + Z + N = V ist, so leitet Fechner auf Grund des bekannten Gau\u00df\u2019sehen Fehlergesetzes die Gleichung ab:","page":494},{"file":"p0495.txt","language":"de","ocr_de":"Zur Methode der richtigen und falschen F\u00e4lle im Gebiete der Schallempfindungen. 495\nhD\nP + \\Z il \u00c7 .\n\u2014rL=\u00ef\u00ee + vsJ\u0153pH *1'if\u2019\n0\nwo h das Q-au\u00df\u2019sclie Pr\u00e4cisionsma\u00df ist und exp (\u2014t) die Exponen-tialfunction von \u2014 f bedeutet. Aus dieser Formel findet er dann, da P, Z und V aus den Beobachtungen bekannt sind, hD und hieraus h, das er als Ma\u00df der Unterschiedsempfindlichkeit betrachtet. Setzen wir noch P = pV, Z - xV, N \u2014 nV,\nX\ny= ^exp (\u2014 f)dy = 0(x),\n0\nso dass p, x und n die relativen H\u00e4ufigkeiten der 3 Urtheile D > 0, D = 0, D < 0 bezeichnen, so lautet die Fechner\u2019sche Formel:\nP +\t\\\noder:\nQ[hD) = 2 p\t\u2014 1 .\nAuf andere Weise geht Gr. E. M\u00fcller vor, dem sich \u00fcbrigens sp\u00e4ter Fechner auch zum Theil angeschlossen hat. Die Fechner\u2019sche Formel beruht n\u00e4mlich auf der Voraussetzung, dass es erlaubt ist, die Grleichheitsf\u00e4lle zu halbiren und die eine H\u00e4lfte den \u00bbgr\u00f6\u00dfer\u00ab-Urtheilen, die andere den \u00bb kleiner \u00ab-Urtlieilen hinzuzuf\u00fcgen. Gegen diese Vertheilung wendet sich M\u00fcller und gelangt zu den Formeln:\n2p \u2014 1 = 0[h{D \u2014 S)}\n2{p + *) \u2014 1 = 0[h{D + S)] ,\naus denen er h und S berechnet, wobei 2 S die Gr\u00f6\u00dfe des Gebietes ist, innerhalb dessen Gleichheitsf\u00e4lle auftreten; das 8 ist nach M\u00fcller die Unterschiedsschwelle. Nicht h, sondern S liefert f\u00fcr ihn ein Ma\u00df der Unterschiedsempfindlichkeit.\nWir wenden uns nunmehr zu den Bruns\u2019schen Formeln1). Die 3 Urtheile: >,=,\u2022< werden auf einer Abscissenachse verzeichnet,\n1) Bruns, lieber die Ausgleichung etc. S. 5.","page":495},{"file":"p0496.txt","language":"de","ocr_de":"496\nErich Mosch.\nauf der auch die Beizdifferenzen von 0 an nach beiden Seiten abgetragen sind. Dann werden die Gr\u00f6\u00dfer-Urtheile eine gewisse obere Schwelle von + oo bis x\u201e, die Gleich-Urtheile eine Zwischenstrecke von x0 bis xu, endlich die Kleiner-Urtheile eine untere Strecke von xu bis \u2014 oo umfassen. Bezeichnet man das Fehlergesetz allgemein mit <p(z), setzt man ferner\nX\ntp(x)=j\u2018'cp [y)dy,\n*0\nso findet Bruns nach den Gesetzen der Wahrscheinlichkeitsrechnung folgende Formeln:\np = ip(cc) \u2014 xp[x0 \u2014 D)\n% = ip(x0 \u2014 D) \u2014 ip[xu \u2014 D) n = VK \u2014 D) \u2014 tp(\u2014 oo) ;\ndiese 3 Gleichungen sind aber nicht unabh\u00e4ngig von einander, sondern durch die Relation verbunden: p + x + n = 1. In diesen Beobachtungsgleichungen ist zun\u00e4chst die Form des Fehlergesetzes vollkommen unbestimmt gelassen. Die am n\u00e4chsten liegende Annahme, die wir ja auch bei Fechner und M\u00fcller fanden, ist die, dass das Gau\u00df\u2019sche Fehlergesetz auch hier gilt. Es w\u00e4re also:\nhx\n9>(x) = exp (\u2014 Wx*) ip [x) =\texp (\u2014 f)dt\n0\noder, wenn wir wieder die Bezeichnung anwenden:\nX\n= exp ^~ y^ \u2019 o\nso lassen sich die Beobachtungsgleichungen folgenderma\u00dfen schreiben:\n2p \u2014 1 = <B[h(D \u2014 x0)]\n2* = 0[h[D - xu)] - Q[h(D - x0j\\\n1-2\u00bb = \u00ae[h(D - xu)},","page":496},{"file":"p0497.txt","language":"de","ocr_de":"Zur Methode der richtigen und falschen F\u00e4lle im Gebiete der Sohallempfindungen. 497\nwovon aber eine, etwa die mittlere, \u00fcberfl\u00fcssig ist. Vergleicht man die Bruns\u2019scben mit den M\u00fcller\u2019scben Formeln, so erkennt man, dass letztere aus ersteren dadurch bervorgeben, dass man setzt: x0 == 8, %u =\t^ *\nUm x0 und xu noch etwas sch\u00e4rfer zu definiren, setzen wir einmal in der 1. Formel D = x0, das andere Mal in der 3. Formel D = xu.\n1 1\nF\u00fcr U = x0 kommt p =\t; f\u00fcr D = xu kommt n \u2014 ~ ; d. h. x0 ist\ndiejenige Beizdifferenz, bei der die relative H\u00e4ufigkeit der G-r\u00f6\u00dfer-Urtheile ebenso gro\u00df ist, wie die aller anderen zusammen, bei der also die Wahrscheinlichkeit, dass das Urtheil D > 0 abgegeben wird,\ngenau \\ ist; entsprechend ist xu diejenige Reizdifferenz, bei der die\nJi\nrelative H\u00e4ufigkeit der Kleiner-Urtheile ebenso gro\u00df ist, wie die aller andern zusammen.\nHierbei m\u00f6chte ich gleich auf einen Punkt zu sprechen kommen, der stets ein Streitobject in den Anschauungen der Psychologen gebildet hat: auf die Bedeutung des 8, bezw. in unseren Formeln auf die Bedeutung von x0 und xu. M\u00fcller nennt ja 8 direct die Unterschiedsschwelle und will nur sie als Ma\u00df der Unterschiedsempfind-lichkeit eingef\u00fchrt wissen, andere leugnen die Bedeutung von 8 und gehen wieder auf das Fechner\u2019sche h zur\u00fcck.\nAuch in der schon erw\u00e4hnten K\u00e4mpfe\u2019schen Arbeit wird [gesagt1): \u00bbF\u00fcr das. M\u00fcller\u2019sche S ergaben sich nur beim wissentlichen Verfahren Werthe, die als Ma\u00df der Unterschiedsempfindhchkeit dienen konnten. Sonst \u00fcberall war 8 unregelm\u00e4\u00dfig und auffallend klein, es nahm mit wachsendem D rasch ab und wurde sehr zeitig Null.\n__ S ist daher mit der Unterschiedsschwelle im allgemeinen nicht\nidentisch, sondern in seiner Gr\u00f6\u00dfe von den verschiedensten, namentlich wechselnden subjectiven Bedingungen abh\u00e4ngig\u00ab. Nun ist aber\noffenbar die Stelle, wo p = \u201e wird, d. h. wo die Wahrscheinlichkeit,\ndas Urtheil D > 0 abzugeben, ebenso gro\u00df ist wie die Wahrscheinlichkeit, eins der beiden Urtheile D ^ 0 abzugeben, eine ganz bestimmte. Eine Voraussetzung, die jedenfalls sehr nahe liegt, besteht\n1) K\u00e4mpfe, 1. c. S. 589.","page":497},{"file":"p0498.txt","language":"de","ocr_de":"498\nErich Mosch.\noffenbar darin, diese Werthe x0 und xu als f\u00fcr alle Differenzen einer Reihe constante Gr\u00f6\u00dfen zu betrachten. Zum mindesten kann man ja sehen, wie weit man mit dieser einfachsten Voraussetzung kommt, ehe man zu anderen \u00fchergeht. H\u00e4lt man an dieser Bedingung fest, so sieht man, dass eine unregelm\u00e4\u00dfige Variation und ein Nullwerden von S, von dem K\u00e4mpfe spricht, unm\u00f6glich ist. Auf diese Beobachtungen werden wir \u00fcbrigens bei einer sp\u00e4teren Gelegenheit ausf\u00fchrlicher zur\u00fcckkommen.\nWenden wir uns nun wieder zu den Bruns\u2019schen Formeln. Diese bezogen sich auf die 3 Urtheilsklassen D > 0, D \u2014 0 und D o. Wie schon gesagt, ist nun der Versuch gemacht worden, noch weitere Urtheilsklassen einzuf\u00fchren, n\u00e4mlich \u00bbviel gr\u00f6\u00dfer\u00ab (;>) und \u00bbviel kleiner\u00ab (<;). Die Formeln k\u00f6nnen ohne weiteres auf diesen Fall \u00fcbertragen werden. Bezeichnen wir die relative H\u00e4ufigkeit der >-Urtheile mit p', die der <;-Urtheile mit m, so lauten die Formeln jetzt, wenn wir noch mit Bruns statt des Pr\u00e4cisionsma\u00dfes h das \u00bbUnsicherheitsma\u00df\u00ab TJ = 1 : h einf\u00fchren:\nBei den folgenden Versuchen wurde aber nur mit D 0 operirt, es fiel daher naturgem\u00e4\u00df die Anzahl der <;-Urtheile so gering aus, dass diese Urtheile zur weiteren Rechnung unbrauchbar waren und daher zu den <yUrtheilen hinzugerechnet wurden. Es bleiben daher noch 4 Gleichungen, von denen wegen der Beziehung p'+p-\\-x + n\u2014\\ nur 3 von einander unabh\u00e4ngig sind. Diese 3 unabh\u00e4ngigen kann man folgenderma\u00dfen schreiben:","page":498},{"file":"p0499.txt","language":"de","ocr_de":"Zur Methode der richtigen und falschen F\u00e4lle im Gebiete der Schallempfindungen. 499\nDies sind die Grundgleichungen, von denen wir ausgehen. Der Gang der Rechnung gestaltet sich dann folgenderma\u00dfen: Aus den durch die Beobachtungen erlangten Tabellen f\u00fcr p', p, z, n schreibt man die Gr\u00f6\u00dfen 1 \u2014 2p, 1 \u2014 2(p -f- p) und 2n \u2014 1 heraus und sucht dann aus einer Tafel der \u00a9-Functiondie Argumente, f\u00fcr die die betreffenden \u00a9-Functionen die Werthe 1 \u2014 2p', 1 \u2014 2 [p + p), 2 n \u2014 1 besitzen. Bezeichnen wir dies Auf suchen des Argumentes B einer \u00a9-Function, die den Werth A hat, durch das Symbol Arg \u00a9(A), so dass:\nB = Arg \u00a9 (A)\t0(B) \u2014 A\nist, so erh\u00e4lt man demnach jetzt die Gleichungen: r '______________ T)\n-lT-- = Arg \u00a9(1 - 2p') \u2014 \u2014 Nt = Arg \u00a9(1 \u2014 2p + p') = Nt = Arg \u00a9(2\u00bb \u2014 1) = \u2014 N3,\nwobei die Gr\u00f6\u00dfen Nlt Nt, N3 aus den Beobachtungen zu entnehmen, also bekannte Zahlen sind, w\u00e4hrend auf den linken Seiten neben der bekannten Reizdifferenz D sich auch die gesuchten Unbekannten U, x0', x0 und xu befinden. Man erh\u00e4lt demnach f\u00fcr jede Differenz D ein Gleichungensystem von 3 Gleichungen mit 4 Unbekannten:\nx0' \u2014 NJJ \u2014 D \u2014 0\nx0 NJJ \u2014 D \u2014 0\n__________ xuA-N.JJ\u2014D = 0.\n1) In dieser Arbeit wurde die von K\u00e4mpfe in Philos. Studien, IX. Bd. zu-sammengestellte Tafel benutzt.","page":499},{"file":"p0500.txt","language":"de","ocr_de":"500\nErich Mosch.\nHat man eine gr\u00f6\u00dfere Anzahl Reizdifferenzen benutzt, so erh\u00e4lt man f\u00fcr jede der obigen 3 Formeln eine ebenso gro\u00dfe Anzahl Gleichungen als Reizdifferenzen, die dann am besten nach der Methode der kleinsten Quadrate auszugleichen sind, um die plausibelsten Werthe der Unbekannten zu erhalten. Schlie\u00dflich sind dann noch die \u00fcbrig bleibenden Widerspr\u00fcche zu discutiren.\nDabei ist aber ein Punkt \u00fcbergangen worden: es kann ja aus irgend welchen Gr\u00fcnden ein constanter Fehler in den Beobachtungen stecken. Der constante Fehler, der die Gr\u00f6\u00dfe c haben m\u00f6ge, wird auf die Differenz D derart eingewirkt haben, dass man nicht D, sondern etwa D \u2014 c beurtheilt hat, man hat also einfach in obigen Formeln statt DD \u2014 c zu schreiben, oder, was auf dasselbe herauskommt, man schl\u00e4gt das c zu den x und f\u00fchrt daher als neue Unbekannte ein: x0' + c =\t, x0 + c = \u00a30 , xu + c = \u00a7u , wodurch\nunsere Grundgleichungen aber ihre Gestalt bewahren. Bei der Berechnung des c aus den schlie\u00dflich gefundenen Werthen \u00a30 und \u00c7u kann man dann ann\u00e4herungsweise x0 = \u2014 xu setzen, dann folgt f\u00fcr den constanten Fehler:\nc \u2014 2 (\u00a3o + \u00a3\u00ab) >\nund zwar mit einer f\u00fcr die meisten F\u00e4lle gen\u00fcgenden Sch\u00e4rfe. Auf den constanten Fehler werden wir daher zun\u00e4chst keine R\u00fccksicht zu nehmen brauchen.\n3. Die Versuchsanordnung.\nDie Versuche bezogen sich auf die Unterscheidung von Schallst\u00e4rken. Als Apparat diente das Fallphonometer1), dessen Princip kurz angedeutet werden mag: An 4 senkrecht zum Fu\u00dfboden stehenden Stahlst\u00e4ben mit Millimetertheilung sind 4 Elektromagnete verstellbar angebracht. An jedem Elektromagnet befindet sich eine Vorrichtung, durch die bei Stromschluss eine Elfenheinkugel festgeklemmt werden kann; wird der Strom dann unterbrochen, so l\u00e4sst diese Klemmvorrichtung nach und die Kugel f\u00e4llt auf eine kleine Ebenholzplatte.\n1) Genaue Beschreibung dieses Apparates siehe Wundt, Physiol. Psychol. 4. Aufl. 1. Bd. S. 363.","page":500},{"file":"p0501.txt","language":"de","ocr_de":"Zur Methode der richtigen und falschen F\u00e4lle im Gebiete der Schallempfmdungen. 501\nSolcher Ebenholzplatten sind also vier vorhanden, f\u00fcr jeden Elektromagnet eine; wesentlich war, dass dieselben genau gleichen Klang besa\u00dfen. Es wurden daher ein Dutzend solcher Platten geschnitten und durch Probiren vier davon herausgesucht, die am genauesten unter einander \u00fcbereinstimmten, diese wurden dann, ohne zu wechseln, fortan benutzt. Die Ebenholzplatten liegen auf einem dicken Pilze, welch letzterer auf einem Brett aus hartem Holze befestigt ist. Dies Brett ruhte aber hei unseren Versuchen nicht \u2014 wie in der \u00bb Physiol. Psychol.\u00ab gezeichnet ist \u2014 auf einem Kasten, der auf dem Boden steht; diese Anordnung ergab starke Klangst\u00f6rungen. Das Brett wurde vielmehr vermittels einiger St\u00fctzen direct an den die Stahlstangen tragenden Untersatz geschraubt, so dass es nur durch diesen mit dem Erdboden in Verbindung stand. In der That fielen nun auch die starken Klangst\u00f6rungen zum gro\u00dfen Theil fort. Die Kugeln fielen in mit Watte ausgef\u00fcllte Pangk\u00e4sten; die au\u00dfer allem Zusammenhang mit dem eigentlichen Apparat auf dem Fu\u00dfboden standen.\nDie vor der erw\u00e4hnten Verbesserung des Pallbrettes zu Stande gekommenen Versuche mussten, da sie wegen der starken Klangver-schiedenheiten sehr unsicher waren, ganz fortgelassen werden. Dass eine vollkommene Beseitigung aller Fehlerquellen hei dem Apparate ausgeschlossen ist, geht aus der Anordnung desselben von selbst hervor. Die vier Ebenholzplatten waren unm\u00f6glich ganz genau gleich zu erhalten; ebenso blieben trotz der Verbesserung des Fallbrettes noch andere Fehlerquellen wirksam, die sich nicht ganz fort,bringen lie\u00dfen. Immerhin waren die St\u00f6rungen doch so weit beseitigt, dass sie nur sehr wenig empfunden wurden und ein sicheres Urtheil m\u00f6glich war.\nDie elektrische Ausl\u00f6sung der einzelnen Kugeln, wie sie in der Physiologischen Psychologie beschrieben ist, wurde, um Zeit zu sparen, nicht benutzt; die Versuche beanspruchten dann n\u00e4mlich noch einmal so viel Zeit, als wenn man die Klemmvorrichtungen mit der Hand bediente. Letzteres Verfahren wurde daher bei der Ausf\u00fchrung der Versuche angewendet; die Klemmvorrichtungen waren so gestellt, dass die Kugeln von selbst festgehalten wurden; durch einen kurzen Druck der Hand gegen das Laufgewicht auf dem Elektromagneten konnte dann die Klemmvorrichtung gelockert und die Kugel fallen gelassen werden.","page":501},{"file":"p0502.txt","language":"de","ocr_de":"502\nErich Mosch.\nEs wurde mit allen 4 am. Phonometer befindlichen Eallapparaten gearbeitet \u2014 sie sind in der Folge mit 1, 2, 3, 4 bezeichnet \u2014 und zwar nach folgendem Verfahren: Ein Reiz diente als Vormalreiz und wurde f\u00fcr dieselbe Versuchsperson w\u00e4hrend einer vollen Versuchsreihe beibehalten. Die andern 3 Reize wurden nach je 24 Versuchen in ihrer Gr\u00f6\u00dfe variirt, w\u00e4hrend 24 Versuche waren also die H\u00f6hen, von denen die Kugeln fielen, constant, nur wurden alle m\u00f6glichen Combinationen in Bezug auf Raum- und Zeitlage, f\u00fcr 3 Vergleichsreize also 6 Combinationen, nach einem bestimmten, in jeder Stunde neuen Programm hervorgehracht. In jeder Stunde wurde f\u00fcr jede Kugel auf im Ganzen 6 Differenzen eingestellt, so dass pro Stunde 4.6.6 = 144 Versuche gemacht wurden. W\u00e4hrend der Versuche wurden \u00f6fters Pausen eingeschoben, im allgemeinen 2 pro Stunde, jede 5 bis 10 Minuten lang, so dass die Versuchspersonen die ganze Zeit hindurch den Experimenten ohne Erm\u00fcdung mit derselben Aufmerksamkeit folgen konnten. Das Verfahren war vollkommen unwissentlich, die Versuchspersonen sa\u00dfen mit dem R\u00fccken gegen den Apparat und wussten weder von der Gr\u00f6\u00dfe noch der Zeitfolge der Reize, noch der sonstigen Anordnung das Geringste. Die Urtheile wurden von den Versuchspersonen selbst notirt, welch letztere durch eine gro\u00dfe Anzahl von Vorversuchen gen\u00fcgend einge\u00fcbt waren. Waren je 6 Urtheile notirt, so wurden dieselben durch ein Blatt Papier verd\u00e9ckt, um die Reagenten vor jeder Beeinflussung durch fr\u00fchere Urtheile zu sch\u00fctzen. Als Versuchspersonen dienten eine Anzahl Mitglieder des psychologischen Instituts; f\u00fcr die Rechnung in Betracht gezogen wurden nur die Beohachtungsreihen der Herren Donath (Dth), Mohs (Ms), Dr. M\u00fcller (Mr) und Pflaum (P), da nur mit ihnen eine gr\u00f6\u00dfere Anzahl von Reihen beendet werden konnte. Allen Mitarbeitern an diesen Versuchen sei auch hier f\u00fcr ihre Liebensw\u00fcrdigkeit bestens gedankt.\nDie beiden Kugeln, mit denen die Schallreize hervorgebracht \u25a0wurden, waren fast genau gleich schwer, sie wogen 15,90 bezw. 15,92 Gramm.\nJeder Versuch gestaltete sich nun folgenderma\u00dfen: Die Versuchspersonen \u2014 gew\u00f6hnlich waren zu gleicher Zeit 2 Reagenten anwesend \u2014 sa\u00dfen an zwei verschiedenen Tischen, so dass eine Beeinflussung ausgeschlossen war, die eine etwa 3, die andere etwa 4 m","page":502},{"file":"p0503.txt","language":"de","ocr_de":"Zur Methode der richtigen und falschen F\u00e4lle im Gebiete der Schallempfmdungen. 503\nvom Apparat entfernt, diesem den R\u00fccken zukehrend. Nach einem vorher festgesetzten Programm waren die 4 Pallapparate auf bestimmte H\u00f6hen eingestellt; einer gab den Normalreiz ah. Dieser Normalreiz bestand f\u00fcr Ms und Mr in dem Schall der von 27 cm H\u00f6he, f\u00fcr Dth und P im Schall der von 37 cm H\u00f6he herabfallenden Kugel. Die andern 3 Reize dienten als Vergleichsreize und waren auf bestimmte Differenzen eingestellt, die, wie schon bemerkt, w\u00e4hrend 24 Versuche dieselben blieben; die Klemmvorrichtungen waren so eingestellt, dass die Kugeln festgehalten wurden und erst durch einen leichten Druck, den der Experimentator gegen die Elektromagnete aus\u00fcbte, fallen konnten. Nun gingen die Versuche so vor sich: Lieferte z. B. 3 den Normalreiz, 1, 2, 4 also die Vergleichsreize, die auf die betreffenden H\u00f6hen eingestellt waren, und kam nun nach dem Programm der Versuch 4.3 an die Reihe, d. h. musste zuerst 4, dann 3 fallen, so wurde eine Kugel bei 4, die andere hei 3 eingeklemmt. Auf ein \u00bbJetzt\u00ab des Experimentators machten sich die Versuchspersonen zum Reagiren fertig, nach etwa 2 Secunden fiel die Kugel aus 4, nach abermals 1*/2 Secunden \u2014 diese Zwischenzeit war durch lange vorherige Uehung constant geworden \u2014 fiel die Kugel aus 3. Die Reagenten waren angewiesen, nun sofort das Ur-theil zu notiren. Die meisten urtheilten nach der zuletzt gefallenen Kugel, so dass (hei Ms, Dth, P) das Urtheil > in unserem angenommenen Falle bedeutet: 3 > 4 ; nur Mr heurtheilte die 2. Kugel nach der ersten, so dass hei ihm das Urtheil > in unserm Falle 4 > 3 bedeutete. Die auf diese Weise zu Stande gekommenen Protokolle wurden dann vom Experimentator zu Tabellen verarbeitet.\n4. Die Versuchsergehnisse.\nF\u00fcr jeden Beobachter ergaben sich schlie\u00dflich 4 Klassen von Tabellen, die sich durch die Wahl des Normalreizes unterschieden, es wurden n\u00e4mlich alle Beobachtungen zusammengenommen, hei denen 1 den Normalreiz lieferte, also der 1. Fallapparat constant auf der H\u00f6he 27 bezw. 37 cm blieb; dies gab eine Klasse von Tabellen; analog f\u00fcr 2, 3 und 4. In jeder Klasse finden sich 3 Tabellen, die sich durch die Wahl des Vergleichsreizes unterschieden; z. B. gab es in der 1. Klasse die 3 Tabellen, die die F\u00e4lle enthielten: 1.2; 1.3;","page":503},{"file":"p0504.txt","language":"de","ocr_de":"504\nErich Mosch.\n1.4. Im Folgenden soll die Bezeichnung des Normalreizes durch die 1. Zahl, des Yergleichsreizes durch die zweite heibehalten werden, so dass also 3.2 bei einer Tabelle bedeutet: 3 war Normalreiz, 2 Vergleichsreiz.\nSo waren f\u00fcr jede Versuchsperson 12 Tabellen vorhanden. In jeder Tabelle waren f\u00fcr jede Differenz die Anzahl der verschiedenen Urtheile j>, =, <[, eingetragen, wobei diese Zeichen stets den Vergleichsreiz auf den Normalreiz beziehen, so dass bedeutet: der Vergleichsreiz war \u00bbviel gr\u00f6\u00dfer\u00ab als der Normalreiz. Eingestellt wurde auf folgende Differenzen: hei dem Normalreiz 27 cm auf 0, + 3, + 6, +9, +12, +15 cm, bei dem Normalreiz 37 cm auf 0, + 4, + 8, +12, +16, +20 cm Differenz; das positive Vorzeichen soll andeuten, dass mit dem Vergleichsreiz stets nach oben gegangen wurde, dass also der Vergleichsreiz stets gr\u00f6\u00dfer war als der Normalreiz. F\u00fcr jede Differenz in jeder Tabelle wurden 40 bis 48 Versuche angestellt, so dass in jeder Tabelle 210 bis 288 Versuche verzeichnet waren, im Ganzen also f\u00fcr jede Versuchsperson etwa 3000 Versuche Vorlagen.\nNoch einige wenige Worte \u00fcber die Wahl der Beizdifferenzen. Diese waren nach vielfachen Versuchen nach der Methode der Minimal\u00e4nderungen so gew\u00e4hlt worden, dass sie weder zu klein noch zu gro\u00df waren, vielmehr eine richtige Vergleichung der Beize schon ziemlich sicher zulie\u00dfen. Es waren nach der genannten Methode eine Anzahl Beihen mit Herrn cand. med. F\u00f6rster ausgef\u00fchrt worden und zwar an den Beizen 1, 2 in der H\u00f6he von 37 cm, nachdem zuvor con-statirt worden war, dass der Beagent diese beiden Beize, wenn sie sich in der Nulllage befanden, fast genau gleich sch\u00e4tzte. Als constante Differenzen, um die der Normalreiz gegen\u00fcber dem Vergleichsreiz ge\u00e4ndert wurde, dienten nach einander Differenzen von 1, 2 und 3 cm. Als arithmetische Mittel der Schwellenwerthe bei Anwendung dieser verschiedenen Differenzen wurden bezw. 7,9, 8,5 und 8,1 cm, also nahezu gleiche Werthe gefunden. Es zeigte sich ferner, dass die Abweichungen der Schwellenwerthe der einzelnen Beihen von diesen Mitteln bei der Differenz 1 cm am st\u00e4rksten, dass sie bei 2 cm schon weniger stark, bei 3 cm am geringsten waren. Als Differenz, die hei der Methode der richtigen und falschen F\u00e4lle in Anwendung kommen sollte, wurde 4 cm angenommen, da bei dieser Differenz zu vermuthen war, dass die Urtheile eine ziemlich gro\u00dfe Sicherheit","page":504},{"file":"p0505.txt","language":"de","ocr_de":"Zur Methode der richtigen und falschen F\u00e4lle im Gebiete der Schallempfindungen. 505\nbesa\u00dfen. Dem Web er\u2019sehen Gesetz entsprechend musste dann bei der H\u00f6he von 27 cm die Differenz von 3 cm gew\u00e4hlt werden. Bei den sp\u00e4ter angegebenen, f\u00fcr die \u00fcbrigen Beobachter nach der Methode der Minimal\u00e4nderungen gefundenen Schwellen betrug die Differenz immer je 2 cm; die Anzahl der Einzelreihen betrug f\u00fcr jede Schwelle etwa 15, es wurden damit ganz constante Schwellenwerthe erzielt.\nEhe wir auf die Tabellen weiter eingehen, sei zun\u00e4chst noch kurz der Zeitfehler erw\u00e4hnt, der sich bei Durchsicht der Tabellen herausstellte. Vergleicht man die Tabellen nach der Zeitfolge, d. h. vergleicht man die Versuche, bei denen ein bestimmter Normalreiz voranging, mit den Versuchen, bei denen derselbe folgte, so zeigt sich bei allen Versuchspersonen das gleiche Besultat. Alle \u00fcbersch\u00e4tzten den Schall der zuletzt gefallenen Kugel, wie dies auch von fr\u00fcheren Beobachtern meist constatirt worden ist. Der Zeitfehler ist, da bei den Versuchen mit der Zeitlage gleichm\u00e4\u00dfig gewechselt wurde und die f\u00fcr beide Zeitlagen gefundenen Zahlen zusammengefasst wurden, in den folgenden Tabellen als eliminirt zu betrachten.\nAls nun die Tabellen einzeln f\u00fcr die Rechnung fertig gestellt wurden, zeigte es sich, dass wegen der geringen Anzahl der F\u00e4lle die Zahlen noch einen zu unregelm\u00e4\u00dfigen Gang zeigten, die zuf\u00e4lligen Fehler also noch nicht hinreichend ausgeglichen waren. Es mussten demnach verschiedene Tabellen zu einer einzigen zusammengefasst werden. Bei genauerer Durchsicht der Tabellen und einigen Ueber-schlagsrechnungen ergab sich nun Folgendes : Bei Dth und Ms wurden die Reize 1, 2 und 4 nach ihrer wirklichen Intensit\u00e4t beurtheilt; bei der Einstellung auf Gleichheit war die Anzahl der )>-Urtheile ann\u00e4hernd gleich der Anzahl der <-Urtheile, und auch sonst verhielten sich die Tabellen in ihrem Verlaufe einander \u00e4hnlich; es wurden daher die Tabellen 12, 21, 14, 41, 24, 42 zu einer Tabelle (124) zusammengefasst. Der Reiz 3 dagegen wurde von den zwei Beobachtern untersch\u00e4tzt, statt des Reizes 3 wurde also ein Reiz (3) \u2014 C gesetzt, wo C der constante Fehler ist. Es wurden daher zu einer Tabelle (124.3) die Urtheile der Reihen 13, 23, 43, zu einer andern (3 . 124) die Urtheile der Reihen 31, 32, 34 zusammengefasst. Zun\u00e4chst seien daher die f\u00fcr Dth und Ms auf diese Weise berechneten Tabellen hier zusammengestellt. In diesen Tabellen sind aber nicht die absoluten Anzahlen der Urtheile f\u00fcr jede Differenzeinstellung gegeben,","page":505},{"file":"p0506.txt","language":"de","ocr_de":"506\nErich Mosch.\nsondern diese Zahlen, dividirt durch die G-esammtzahl der bei jeder Einstellung erlangten Urtheile, d. h. die relativen H\u00e4ufigkeiten der einzelnen Urtheile. Au\u00dferdem wurden diese relativen H\u00e4ufigkeiten noch mit 2 multiplicirt, da f\u00fcr die sp\u00e4teren Rechnungen nicht p', p, x, n, n (in der fr\u00fcheren Bezeichnungsweise), sondern 2p, 2p, 2z, 2n, 2 n' gebraucht werden. Jede Horizontalreihe in den folgenden Tabellen umfasst also die doppelten relativen H\u00e4ufigkeiten der einzelnen Urtheile f\u00fcr eine bestimmte Differenz. Die Quersumme jeder solchen Reihe muss daher 2 [p' -\\- p -f- * + n -\\- n') = 2 sein.\nIn der Tabelle Ms (124) sind \u00fcbrigens die Urtheile f\u00fcr D \u2014 0 nicht zur Verwendung gekommen, da sie durch Klangverschiedenheiten stark gest\u00f6rt worden waren.\nWir kommen nun zu den Tabellen von Mr. Mit diesem wurden wegen Zeitmangels im wesentlichen nur Versuche an den 3 Reizen 234 angestellt, bei der Normalh\u00f6he h \u2014 27 cm. Bei der Ausz\u00e4hlung ergab sich, dass die Reize 34 in der Nulllage auch wirklich gleich gesch\u00e4tzt wurden, dass dagegen der Reiz 2 \u00fcbersch\u00e4tzt wurde, so dass f\u00fcr Mr 3 Tabellen angefertigt wurden: erstens wurden die Tabellen 34 und 43 zu einer einzigen (34) zusammengefasst, dann die Tabellen 23 und 24 zu einer: (2.34), endlich die Tabellen 32 und 42 zu einer einzigen (34.2). Im Uebrigen ist die Anordnung der Tabellen dieselbe wie bei denjenigen f\u00fcr Dth und Ms. Nur wurde noch eine Vereinfachung vorgenommen: schon bei den Tabellen f\u00fcr Dth und Ms erkennt man, dass die in den Spalten 2 n' stehenden Zahlen f\u00fcr die weitere Rechnung unbrauchbar, weil zu klein sind, man wird also die Zahlen 2 n' zu den Zahlen 2 n hinzunehmen. Dies ist bei Mr geschehen, da auch hier die 2 n' f\u00fcr die Rechnung unverwendbar waren.\nEs bleiben schlie\u00dflich noch die Tabellen von P. Diese weichen von allen \u00fcbrigen dadurch ah, dass in ihnen fast gar keine Gleich-heitsurtheile Vorkommen, bei mehr als 3000 Versuchen finden sich im Ganzen 8 Gleichheitsurtheile. Diese wurden daher in den Tabellen ganz fortgelassen. In Betreff der \u00fcbrigen Urtheile ist eine ziemlich gro\u00dfe Unsicherheit zu bemerken, die Urtheile zeigen von Differenz zu Differenz ziemlich starke Schwankungen. Ungef\u00e4hr gleich wurden gesch\u00e4tzt bei der Nullstellung die Reize 124, also wie bei Ms und Dth. Wurden jedoch die Tabellen 12, 14, 21, 24, 41, 42 zusammen-","page":506},{"file":"p0507.txt","language":"de","ocr_de":"Tabelle I. Dth.\nZur Methode der richtigen und falschen F\u00e4lle im Gebiete der Schallempfindungen. 507\nWundt Philos. Studien. XIV.\n34","page":507},{"file":"p0508.txt","language":"de","ocr_de":"508\nErich Mosch.\nTabelle III. Mr.\n\t34\t\t\t\t\t2.\t34\t\t\t34\t. 2\t\nD\t2 n\t2*\t2 P\t2 p'\t2 n\t1%\t2 P\t2 p'\t2 n\t2*\t2 P\t2jT\n0\t0,825\t0,275\t0,900\t\t1,675\t0,100\t0,200\t0,025\t0,308\t0,103\t1,384\t0,205\n3\t0,785\t0,152\t0,987\t0,076\t1,350\t0,125\t0,500\t0,025\t0,025\t0,025\t1,575\t0,375\n6\t0,325\t0,100\t1,450\t0,125\t0,950\t0,150\t0,750\t0,150\t0,025\t\t1,100\t0,875\n9\t0,225\t0,100\t1,400\t0,275\t0,506\t0,076\t1,266\t0,152\t0,075\t\t0,700\t1,225\n12\t0,150\t0,025\t1,300\t0,525\t0,325\t0,050\t1,250\t0,375\t\t0,025\t0,900\t1,075\n15\t0,076\t0,025\t1,114\t0,785\t0,175\t0,075\t1,325\t0,425\t0,025\t0,025\t0,425\t1,25\ngefasst, so waren immer noch so starke Unregelm\u00e4\u00dfigkeiten vorhanden, dass auf die Benutzung verzichtet werden musste. Der Reiz 3 wurde, wie hei Dth und Ms, untersch\u00e4tzt; es wurden daher die Tabellen 13, 23, 43 einerseits und 31, 32, 34 andrerseits zusammengefasst, und diese konnten nun f\u00fcr die Rechnung Verwendung finden. Das Fehlen der G-leichheitsurtheile und der unregelm\u00e4\u00dfige Gang der einzelnen Tabellen schreibt sich wohl daher, dass der Reagent nach eigener Angabe durch die Klangverschiedenheiten des Apparats stark im Ur-theilen behindert wurde, vor allem konnte er auch wegen dieser Klangdifferenzen nie 2 Reize als genau gleich stark wahmehmen. Den \u00fcbrigen Reagenten war es gelungen, von diesen Klangverschiedenheiten zu abstrahiren, sich also bei Beurtheilung der Schallst\u00e4rke nicht durch die verschiedene Qualit\u00e4t des Schalls beeinflussen zu lassen. Und noch eine Besonderheit ist hei P hervorzuhehen: es war ihm unm\u00f6glich, sich einen Ma\u00df stab daf\u00fcr zu schaffen, oh ein Schall \u00bbgr\u00f6\u00dfer\u00ab oder \u00bbviel gr\u00f6\u00dfer\u00ab hezw. \u00bbkleiner\u00ab oder \u00bbviel kleiner\u00ab als ein anderer ist. Es finden sich hei ihm nur sehr wenig ;>-Ur-theile, die daher zu den >-Urtheilen geschlagen wurden, so dass die P-sehen Tabellen nur die beiden Spalten 2p und ln umfassen. Aus unseren fr\u00fchen Formeln f\u00fcr die Berechnung folgt \u00fcbrigens aus dem Fehlen der Gleichheitsurtheile, dass f\u00fcr P x0 = xu = 0 ist.\nSchlie\u00dflich sei hier gleich noch eine Tabelle angesetzt, die sp\u00e4ter auch benutzt werden wird. Sie entstammt der bereits erw\u00e4hnten","page":508},{"file":"p0509.txt","language":"de","ocr_de":"Zur Methode der richtigen und falschen F\u00e4lle im Gebiete der Schallempfindungen. 509 Tabelle IV. P.\n\t124.3\t\t3.124\t\nD\t2 n\t2p\t2 n\t2p\n0\t1,359\t0,641\t0,847\t1,153\n4\t0,800\t1,200\t0,514\t1,486\n8\t0,762\t1,238\t0,222\t1,778\n12\t0,268\t1,732\t0,083\t1,917\n16\t0,175\t1,825\t0,042\t1,958\n20\t0,125\t1,875\t0,014\t1,986\nArbeit von K\u00e4mpfe1). Die Bezeichnungsweise bei K\u00e4mpfe ist derart, dass sein r gleich kommt 100 p, sein f\u2014 100?\u00ab, g\u2014 100 z ist. Ber\u00fccksichtigt man dies und schreibt au\u00dferdem statt der bei K\u00e4mpfe sich findenden Differenzen 0\u00b0, 1/2\u00b0, 1\u00b0 etc. sofort die entsprechenden Differenzen, ausgedr\u00fcckt in Normalintensit\u00e4t2), so gewinnt man die folgende Tabelle.\nTabelle V. K.\n\t0,000\t0,015\t0,030\t0,046\t0,061\t0,077\t0,092\t0,108\t0,123\t0,139\t0,155\t0,171\n\u25a02p\t0,633\t1,020\t1,213\t1,346\t1,426\t1,520\t1,620\t1,693\t1,800\t1,808\t1,896\t1,912\n\u00cfX,\t0,720\t0,173\t0,047\t0,020\t0,028\t0,026\t0,027\t0,013\t\t0,008\t0,008\t\n2 n\t0,647\t0,807\t0,740\t0,634\t0,546\t0,454\t0,353\t0,293\t0,200\t0,184\t0,096\t0,088\n5. Die Ausgleichung der Beobachtungen.\nWir wenden uns nun zur Verwerthung der in den Tabellen gewonnenen Zahlen und gehen daher zu den S. 499 aufgestellten Fundamentalformeln zur\u00fcck. Dieselben hatten die Form:\n1)\t1. c. S. 545, Tabelle IVa.\n2)\t1. c. S. 534, Tabelle III, Reihe: 60\u00b0.\n34*","page":509},{"file":"p0510.txt","language":"de","ocr_de":"510\nErich Mosch.\nr0' \u2014 NtU \u2014 D \u2014 0 x0 -f- N^U\u2014 D = 0 Xy \u2014{\u2014 JVg TJ \u2014 D = 0 .\nHierbei war N{ das zu \u00a9 \u2014 1 \u2014 2p' geh\u00f6rige, aus der Tafel f\u00fcr die \u00a9-Function zu entnehmende Argument, analog war\n-V2 = Arg <D(2p Ar p' \u2014 1), N3 \u2014 Arg \u00a9(1 \u2014 2n).\nDiese Zahlen w\u00e4ren also zuerst zu ermitteln. Ferner kommt in den Formeln D vor, die Reizdifferenz. Als Normalreiz hatten wir den Schall einer von der H\u00f6he von 27 bezw. 37 cm herabfallenden Kugel angenommen; es fragt sich daher, wie die Schallintensit\u00e4t mit der H\u00f6he variirt. Nun hat mit demselben Apparat und unter denselben Bedingungen wie hier \u2014 es fielen Elfenheinkugeln auf die als Fallunterlage benutzte Ebenholzplatte \u2014 Paul Starke diesbez\u00fcgliche Experimente angestellt '), auf Grund deren er zu dem Ergebniss gelangt, dass die Schallst\u00e4rke in Grenzen, die weiter waren, als die in dieser Arbeit benutzten, sowohl bei constantem Gewicht proportional der Fallh\u00f6he wie bei constanter H\u00f6he proportional dem Gewichte zunimmt, dass also zwischen Schallst\u00e4rke und lebendiger Kraft genaue Proportionalit\u00e4t bestehe2). Dasselbe hat auch K\u00e4mpfe bei dem von ihm benutzten Apparat (Schallpendel) nachgewiesen3), so dass kein Grund besteht, von dieser Annahme abzugehen. Wir werden daher annehmen, dass die Schallintensit\u00e4t proportional der H\u00f6he zunimmt. Dann d\u00fcrfen wir die Normalintensit\u00e4ten direct durch die betreffenden H\u00f6hen (27 und 37 cm), ebenso die Schalldifferenzen durch die H\u00f6hendifferenzen messen, und daher in obigen Formeln f\u00fcr die Schalldifferenzen D die in den Tabellen verzeichneten Werthe der H\u00f6hendifferenzen D einsetzen, wobei noch der Vortheil herausspringt, dass die auf diese Weise aus den Formeln errechneten Gr\u00f6\u00dfen x und TJ sofort in einem bekannten Ma\u00dfe erscheinen, also sofort vorstellbar sind.\nAlle Coefficienten der Grundgleichungen sind demnach jetzt bekannt, und die n\u00e4chste Aufgabe best\u00e4nde darin, die Beobachtungen\n1) Philos. Studien, V. Bd. S. 157 ff.\n3) K\u00e4mpfe, Beitr\u00e4ge u. s. w. S. 534.\n2) 1. e. S. 169.","page":510},{"file":"p0511.txt","language":"de","ocr_de":"Zur Methode der richtigen und falschen F\u00e4lle im Gebiete der Schallempfindungen. 511\nnach der Methode der kleinsten Quadrate auszugleichen. Dies kann aber auf zweierlei Weise geschehen. Am einfachsten ist es, das \u00a37 als eine f\u00fcr alle drei Grundgleichungen constante Gr\u00f6\u00dfe, also als unabh\u00e4ngig von der Art der abgegebenen Urtheile zu betrachten. Thut man dies, so erh\u00e4lt man z. B. f\u00fcr 6 Differenzen 6.3 = 18 Gleichungen mit den 4 Unbekannten \u00a37, x0', x0, xu zur Ausgleichung. Will man das \u00a37 nicht als constant ansehen, sondern f\u00fcr jede der 3 Gleichungen ein besonderes \u00a37 annehmen, so w\u00fcrde man bei 6 Differenzen zun\u00e4chst die 6 Gleichungen x0' \u2014 Nt \u00a37 \u2014 D \u2014 0 auszugleichen haben, worin also 2 Unbekannte Vorkommen, entsprechend die beiden andern Gleichungen, und man erhielte f\u00fcr x0 und xu je einen, f\u00fcr \u00a37 3 Werthe. Diese Rechnung w\u00e4re aber deshalb nicht sehr zweckm\u00e4\u00dfig, weil nicht viele \u00fcbersch\u00fcssige Gleichungen vorliegen und daher zuf\u00e4llige Umst\u00e4nde in den Beobachtungen einen ziemlich gro\u00dfen Einfluss auf die Resultate aus\u00fchen w\u00fcrden. Um zun\u00e4chst die Frage zu entscheiden, oh das \u00a37 f\u00fcr die 3 Gleichungen einen ann\u00e4hernd constanten Werth erhalte, wurden die Reihen von Mr nach der 2. Methode behandelt; hier wurde also jede der 3 Gleichungen f\u00fcr sich ausgeglichen, dabei ergaben sich folgende Werthe von U:\nF\u00fcr (34) die\t3\tWerthe:\t\u00a37 = 10,78\t\u00a37 =\t11,24\t\u00a37 = 12,36\n\u00bb (2.34) \u00bb\t\u00bb\t*\t\u00a37=12,12\t\u00a37=\t8,53\t\u00a37=\t8,84\n\u00bb\t(34.2)\u00bb\t\u00bb\t\u00bb\t\u00a3\u00a3=10,18\t\u00a37=\t9,26\t\u00a37=\t8,65\nVergleicht man die Zahlen einer Tabelle unter einander, so kann man sie als constant ansehen, denn die Abweichungen, die sie von einander zeigen, folgen offenbar gar keiner Regel, sondern sind wohl mehr durch zuf\u00e4llige Umst\u00e4nde bedingt. Die Tabellen der \u00fcbrigen Versuchspersonen wurden daher in der Voraussetzung, dass \u00a37 f\u00fcr die 3 Gleichungen constant bleibt, nach der 1. Methode ausgeglichen. Ueher die Ausgleichung selbst ist nichts weiter zu sagen, sie wurde nach dem bekannten Schema der Methode der kleinsten Quadrate vorgenommen, wie es sich sehr \u00fcbersichtlich z. B. bei Encke1) findet.\n1) J. F. Encke, Gesammelte mathematische und astronomische Abhandlungen. 2. Bd. S. 80 ff.","page":511},{"file":"p0512.txt","language":"de","ocr_de":"512\nErich Mosch.\nDie Gewichte der Unbekannten wurden durch Wiederholung der Rechnung mit umgekehrter Reihenfolge der Unbekannten gefunden, wobei diese doppelte Rechnung zugleich eine Pr\u00fcfung f\u00fcr die Werthe der Unbekannten seihst gab. Sodann wurden noch die mittleren Fehler der Unbekannten berechnet. Es ergibt sich als Resultat dieser Rechnungen die folgende Tabelle, in der die schlie\u00dflich erhaltenen Werthe der Unbekannten bis auf 2 Stellen genau (die Rechnung wurde mit 4 Decimalen gef\u00fchrt) zusammengestellt sind.\nTabelle VI.\nReihe\tU\tx0'\tx0\t\n(124)\t9,94 \u00b1 1,23\t15,42 \u00b11,16\t5,45 \u00b1 0,95\t\u2014 1,81 \u00b1 1,58\nMs. (124.3)\t9,57 \u00b10,81\t16,93 \u00b1 1,07\t7,00 \u00b10,72\t\u2014 1,07 \u00b11,02\n(3.124)\t9,62 \u00b1 0,40\t16,94 \u00b1 0,47\t4,91 \u00b10,31\t\u2014 11,19 \u00b10,71\n1. Gl.\t10,78 \u00b10,59\t17,09 \u00b10,49\t\t\nMr. 2. Gl. (34)\t11,24 \u00b10,95\t\t1,23 \u00b1 0,68\t\n3. Gl.\t12,36 \u00b1 1,31\t\t\t\u2014 1,10 \u00b1 1,06\n1. Gl.\t12,12 \u00b1 1,77\t20,41 \u00b1 2,02\t\t\nMr. 2. Gl. (2.34)\t8,53 \u00b1 0,65\t\t6,88 \u00b1 0,36\t\n3. Gl.\t8,84 \u00b10,31\t\t\t5,80 \u00b10,17\n1. Gl.\t10,18 \u00b1 1,59\t8,96 \u00b1 0,80\t\t\nMr. (34.2) 2,GL\t9,26 \u00b1 4,97\t\t\u2014 4,46 \u00b17,99\t\n3. Gl.\t8,65 \u00b1 7,46\t\t\t\u2014 5,05 \u00b1 10,36\n-\t(124)\t14,29 \u00b11,08\t22,37 \u00b11,28\t2,91 \u00b1 1,02\t\u2014 2,58 \u00b1 1,15\nDth. (124.3)\t12,56 \u00b1 0,64\t23,16 \u00b10,79\t5,63 \u00b1 (t,57\t2,02 \u00b1 0,66\n(3.124)\t11,90 \u00b10,88\t16,65 \u00b10,92\t\u2014 1,83 \u00b1 1,17\t\u2014 6,08 \u00b11,41\n(124.3) p\t15,25 \u00b12,52\t\t4,05 \u00b1 1,43\t4,05 \u00b1 1,43\n(3.124)\t25,24 \u00b1 5,90\t\t\u2014 6,30 \u00b1 4,07\t\u2014 6,30 \u00b1 4,07","page":512},{"file":"p0513.txt","language":"de","ocr_de":"Zur Methode der richtigen und falschen F\u00e4lle im Gebiete der Schallempfindungen. 513\nDie mit dr versehenen beigefiigten Zahlen sind die mittleren Fehler der betreffenden Unbekannten.\nF\u00fcr die K\u00e4mpfe\u2019sehe Tabelle ergab sich:\nZ7 = 0,164 \u00b1 0,021 x0 = 0,008 \u00b1 0,013 xu= \u2014 0,007 \u00b1 0,014\nEhe wir nun zur Discussion der Zahlen ohenstehender Tabelle \u00fcbergehen, muss zun\u00e4chstf noch die mathematische Untersuchung weiter gef\u00fchrt werden, da wir ja auf Grund der Ausgleichung die Richtigkeit unserer Grundformeln pr\u00fcfen wollten. Zu diesem Zwecke wollen wir die Widerspr\u00fcche berechnen. Im allgemeinen, hei astronomischen und physikalischen Rechnungen zum Beispiel, wird man diese Rechnung ja nur vornehmen, um eine letzte Contr\u00f4le der Ausgleichung zu haben, da bekanntlich die durch directes Einsetzen der f\u00fcr die Unbekannten berechneten Werthe in die Beobachtungsgleichungen gefundene Quadratsumme der Widerspr\u00fcche gleich sein muss dem letzten hei der Ausgleichung selbst auftretenden Coefficienten [nn.j] in der Gau\u00df\u2019sehen Bezeichnungsweise. Bei uns jedoch hat die Berechnung der Widerspr\u00fcche noch einen andern Grund. W\u00e4hrend man es in der Astronomie und Physik meistens mit Formeln zu thun hat, die keinem Zweifel unterworfen sind, handelt es sich hei uns gerade darum, die Fundamentalformeln zu pr\u00fcfen, und diese Pr\u00fcfung kann auf Grund der Widerspr\u00fcche vorgenommen werden. Findet es sich, dass die Widerspr\u00fcche der einzelnen Beobachtungsgleichungen regellos vertheilt sind, dass ihr Vorzeichen beliebig wechselt und sie in ihrer Gr\u00f6\u00dfe ohne erkennbares Gesetz variiren, so werden wir sagen k\u00f6nnen, dass unsere Formeln sich hinreichend zur Darstellung des Ganges der Beobachtungen eignen, und werden keinen Grund haben, davon abzugehen. Stellt es sich jedoch heraus, dass die Widerspr\u00fcche zweifellos einem erkennbaren Gesetze folgen, dass sie nicht regellos vertheilt sind, sondern einen stetigen Verlauf zeigen, so werden wir zun\u00e4chst sagen m\u00fcssen, dass die Ausgleichung aus irgend welchen Ursachen als noch nicht vollendet zu betrachten ist, und werden dann die weiteren Schritte zu \u00fcberlegen haben. In der That werden wir sehen, dass gerade dieser letzte Fall eintritt.","page":513},{"file":"p0514.txt","language":"de","ocr_de":"514\nErich Mosch.\nWir werden folgenderma\u00dfen verf\u00e4hren: Haben wir f\u00fcr eine bestimmte Tabelle, z. B. Dtb (124), die Unbekannten 17=14,29 x0' = 22,37 u. s. w., so setzen wir in die Ausdr\u00fccke x0' \u2014 Nl \u00dc \u2014 I), xt) -(- NJJ\u2014 D, xu + N3U-D die f\u00fcr die Unbekannten gefundenen Werthe ein und erhalten so im allgemeinen von Null abweichende Werthe, die Widerspr\u00fcche. Auf diese Weise erhalten wir den in den folgenden Tabellen dargestellten Verlauf der Widerspr\u00fcche. Dabei bezeichnet 7, die aus der Gleichung x0' \u2014 Ntl7\u2014 D \u2014 0 , A2 die aus x0 +- V4Z7 \u2014 D \u2014 0 und z/3 die aus xu + N.JJ \u2014 D \u2014 0 folgenden Widerspr\u00fcche.\nTabelle VH. Ms.\n\t(124)\t\t\t(124.3)\t\t\t(3. 124)\t\t\nD\tA\t^2\tz/3\tA\t\t4%\t\t^2\t^3\n0\t\t\t\t+ 0,47\t\u2014 0,30\t-j\u2014 0,85\t+ 0,22\t\u2014 0,45\t\u2014 0,76\n3\t\u2014 0,80\t\u2014 1,06\t+ 2,30\t+ 0,49\t\u2014 2,00\t+ 2,99\t+ 0,11\t+ 0,60\t+ 0,76\n6\t\u2014 0,70\t+ 0,63\t+ 2,89\t\u2014 1,46\t+ 0,30\t+ 0,71\t\u2014 0,85\t+ 0,83\t\n9\t+ 0,31\t+ 0,58\t+ 0,75\t+ 0,21\t+ 0,91\t\u2014 0,16\t+ 0,83\t+ 0,13\t\n12\t+ 0,93\t+ 0,62\t\u2014 0,12\t+ 0,77\t+1,32\t+ 0,31\t\u2014 0,11\t\u2014 1,06\t\n15\t+ 0,30\t\u2014 0,76 j \u2014 2,17\t\t\u2014 0,50\t\u2014 0,22\t\u2014 4,74\t\u2014 0,23\t\u2014 0,03\t\nTabelle VIH. Mr.\n\t(34)\t\t\t(2.34)\t\t\t(34.2)\t\t\nD\tA\t^2\t^3\t\t^2\t^3\tA\t^2\t^3\n0\t\t+ 0,24\t+ 0,83\t+ 1,21\t\u2014 0,44\t\u2014 0,35\t\u2014 0,16\t+ 0,93\t+ 1,19\n3\t+ 0,57\t-1,14\t-1,72\t\u2014 1,80\t+ 0,05\t\u2014 0,04\t\u2014 0,43\t+ 5,38\t+ 5,66\n6\t\u2014 0,60\t+ 1,58\t+ 1,50\t+ 2,07\t+ 0,13\t+ 0,19\t+1,83\t+ 4,28\t+ 2,66\n9\t\u2014 0,22\t+ 0,05\t+ 0,50\t- 0,,87\t+ 1,20\t+ 0,96\t+ 2,02\t\u2014 1,79\t\u2014 3,16\n12\t+ 0,25\t+ 0,01\t\u2014 0,52\t+ 0,81\t+ 0,24\t\u2014 0,04\t\u2014 2,36\t-1,77\t\n15\t+ 0,01\t\u2014 0,73\t\u2014 0,59\t\u2014 1,43\t\u2014 1,18\t\u2014 0,72\t\u2014 0,90\t\u2014 6,62\t\u2014 6,34","page":514},{"file":"p0515.txt","language":"de","ocr_de":"Zur Methode der richtigen und falschen F\u00e4lle im Gebiete der Schallempflndungen. 515 Tabelle IX. P.\n\t(124.3)\t(3.124)\nD\tJ\t\n0\t\u2014 1,87\t\u2014 1,98\n4\t+ 3,45\t+ 2,53\n8\t+ 0,08\t+ 4,10\n12\t+ 2,73\t+ 2,02\n16\t\u2014 0,40\t\u2014 1,48\n20\t\u2014 3,98\t\u2014 5,17\nTabelle X. Dth.\n\t(124)\t\t\t(124.3)\t\t\t(3 . 124)\t\t\nD\tA\t^2\t^3\tA\t^2\t^3\tA\tA\t^3\n0\t\u2014 4,42\t+ 0,04\t\u2014 0,11\t\t-1,41\t\u2014 0,36\t\u2014 1,96\t\u2014 2,13\t+ 2,07\n4\t+ 2,40\t+ 1,00\t+ 1,60\t\t+ 0,78\t+ 1,14\t+ 1,39\t\u2014 0,14\t+ 0,20\n8\t+ 2,16\t+ 1,58\t+ 1,52\t+ 1,09\t+ 1,02\t+ 1,23\t+ 2,21\t+ 1,80\t\n12\t+ 0,93\t\u2014 0,03\t+ 0,63\t+ 0,88\t\u2014 0,38\t\u2014 1,35\t+ 2,11\t+ 2,32\t\u2014 0,89\n16\t\u2014 1,03\t+ 0,81\t\u2014 0,65\t\u2014 0,02\t\u2014 0,49\t\u2014 1,88\t-1,72\t\u2014 0,72\t\u2014 1,40\n20\t\u2014 0,05\t\u2014 3,42\t\u2014 3,03\t\u2014 1,94\t+ 0,46\t+ 1,18\t\u2014 2,03\t\u2014 1,15\t\nBei einer Durchsicht dieser Zahlen erkennt man eine gewisse Regelm\u00e4\u00dfigkeit im Verlaufe derselben. Man findet n\u00e4mlich, dass die Zahlen im allgemeinen von einem Minimum regelm\u00e4\u00dfig anwachsen zu einem Maximum, um dann wieder stetig abzufallen. Sind \u2014 wie in Tabelle X 4. Spalte \u2014 die ersten Reizdifferenzen f\u00fcr die Rechnung unbrauchbar gewesen, so kommt doch noch deutlich das Sinken von einem positiven zu einem negativen Werthe zum Ausdruck. Am leichtesten \u00fcbersieht man den gemeinsamen Charakter des Verlaufs dieser Widerspr\u00fcche, wenn man die einzelnen Werthe graphisch darstellt; es kommt dann als gemeinsames Kennzeichen aller Tabellen","page":515},{"file":"p0516.txt","language":"de","ocr_de":"516\nErich Mosch.\neine gegen die Abscissenachse concave Curve zum Vorschein. Hier seien nur einige Curven auf diese \"Weise vor Augen gef\u00fchrt, n\u00e4mlich\ndie aus Tabelle IX Spalte 2 und die aus Tabelle X Spalte 1 bis 3 entstehenden.\nMan erkennt deutlich den \u00fcbereinstimmenden Verlauf. Allerdings kommen ab und zu Spr\u00fcnge vor; vergleicht man jedoch die Beiz-differenzen, an denen solche Unstetigkeiten Vorkommen, mit denen in den Ausgangstabellen I bis IV, so sieht man sofort, dass genau an\nFig. 1.\ndiesen Stellen auch die zu Grunde gelegten, den Beobachtungen entnommenen Werthe 2 p', 2p, 2n starke Spr\u00fcnge zeigen, was darauf\nFig. 2.\nhindeutet, dass jene Unstetigkeiten in den Curven zum gro\u00dfen Theil von der Unsicherheit der Beobachtungen herr\u00fchrt, die durch die Fehler des Apparats, namentlich durch Klangverschiedenheiten hervorgerufen worden ist.\nWie steht es nun aber mit der K\u2019schen Beihe? K hatte unter bedeutend g\u00fcnstigeren Bedingungen gearbeitet, als dies bei dem hier verwendeten Apparat m\u00f6glich war. Er hatte zu seinen Versuchen das Schallpendel1) gew\u00e4hlt, und von diesem nur den einen Arm benutzt, so dass dieselbe Kugel stets an derselben Stelle den Schalleindruck erzeugte, was nat\u00fcrlich Klangverschiedenheiten so gut wie v\u00f6llig ausschlie\u00dfen musste, w\u00e4hrend in unserem Fall, wo 2 Kugeln auf 4 verschiedene Ebenholzplatten fallen, die Bedingungen nat\u00fcrlich\n1) Wundt, Physiol. Psychol. 4. Auf!. I. Bd. S. 361.","page":516},{"file":"p0517.txt","language":"de","ocr_de":"Zur Methode der richtigen und falschen F\u00e4lle im Gebiete der Schallempfindungen. 517\nung\u00fcnstiger waren. Bei ihm m\u00fcsste also ein stetiger Verlauf der Widerspr\u00fcche noch st\u00e4rker hervortreten als bei unseren Curven. Aus diesem Gr\u00fcnde, um eine Contr\u00f4le unserer eigenen Resultate zu haben, ist die oben angef\u00fchrte Reihe mit ausgeglichen worden und wird von jetzt an stets neben unseren eigenen Reihen betrachtet werden. Von allen Reihen, die K in seiner Arbeit mitgetheilt hat, ist die obige deshalb gew\u00e4hlt worden, weil gerade sie von K\u00e4mpfe besonders als Beweis f\u00fcr die Unverwendbarkeit der M\u00fcller\u2019schen Schwelle, die unserem x0 und xu entspricht, angezogen wird, und sie sich in der That von allen Tabellen in der K\u2019schen Behandlungsweise am unregelm\u00e4\u00dfigsten ausnimmt. Behandelt man sie indess, wie es hier gethan ist, mit H\u00fclfe der Ausgleichungsrechnung und bildet dann die \u00fcbrig bleibenden Widerspr\u00fcche, so zeigen diese in der That einen ganz regelm\u00e4\u00dfigen Verlauf, der wieder die oben besprochenen Kennzeichen an sich tr\u00e4gt; namentlich ist dies bei der Widerspruchs-curve der Gleichung f\u00fcr x0 sichtbar, w\u00e4hrend die Widerspruchscurve f\u00fcr xu von den \u00fcbrigen in so fern abweicht, als sie mit einem extremen Werth beginnt; im \u00fcbrigen verl\u00e4uft sie dann aber wie gew\u00f6hnlich; jedenfalls zeigt auch sie einen ganz stetigen Verlauf. Es m\u00f6gen nun die auf den K\u2019schen Eall bez\u00fcglichen Tabellen und Widerspruchscurven folgen.\nAuf Grund dieser Bemerkungen darf man daher wohl sagen, dass die aus den Ausgangsformeln gefundenen Werthe der Unbekannten in den Gleichungen Wider-","page":517},{"file":"p0518.txt","language":"de","ocr_de":"518\nErich Mosch.\nSpr\u00fcche hinterlassen, die nicht regellos gelagert sind, sondern die einen stetigen und f\u00fcr alle Beobachter \u00e4hnlichen Verlauf darbieten.\nEhe man jetzt zu weiteren Schl\u00fcssen aus diesem Ergebnisse \u00fcbergeht, wird man, um ganz sicher zu gehen, dass diese Eegelm\u00e4\u00dfig-keiten nicht doch vielleicht nur zuf\u00e4llige sind und nur f\u00fcr die durch die Ausgleichung gefundenen Werthe der Unbekannten auftreten,","page":518},{"file":"p0519.txt","language":"de","ocr_de":"Zur Methode der richtigen und falschen F\u00e4lle im Gebiete der Schallempfindungen. 519\nnoch versuchen m\u00fcssen, sie durch eine Variation der Unbekannten zu beseitigen; man wird den Unbekannten andere Werthe ertheilen, die man aber nat\u00fcrlich, um die Widerspr\u00fcche nicht allzu gro\u00df zu machen, in der N\u00e4he der gefundenen Werthe annehmen wird. Auf diese Weise sind f\u00fcr P (3.124), f\u00fcr Dth (124) und f\u00fcr K die Unbekannten variirt und die Widerspr\u00fcche berechnet worden. Durch Aendern der Werthe der x erreicht man nun offenbar keine andere Gestalt der Widerspruchscurven, da die x in den Gleichungen nur als additive Gr\u00f6\u00dfen auftreten, die neuen Widerspr\u00fcche w\u00e4ren also von den alten nur durch ein constantes Glied unterschieden, was auf die Gestalt der Curve offenbar gar keinen Einfluss hat. Man braucht daher nur das U zu variiren; so wurde hei P. (3.124), wo das U = 25,24 gefunden worden war, einmal U= 20, dann U\u2014 30 gesetzt und x der Einfachheit halber = \u2014 6 angenommen. Analog wurden die f\u00fcr Dth und K gefundenen Werthe in der aus den folgenden Tabellen ersichtlichen Weise ge\u00e4ndert.\nMan sieht aus diesen Tabellen ohne weiteres, dass sich im Verlaufe der Zahlen nichts ge\u00e4ndert hat, sie zeigen nach wie vor einen stetigen Gang und zwar denselben, den wir bei den fr\u00fcheren Curven getroffen haben. Durch neue Hypothesen \u00fcber die Werthe der Unbekannten wird also nichts im Wesen der Widerspr\u00fcche ge\u00e4ndert. Andrerseits aber zeigt der regelm\u00e4\u00dfige Verlauf derselben, dass noch keine v\u00f6llige Ausgleichung erzielt worden ist, dass also die Rechnungen noch unvollst\u00e4ndig waren. Da dies nun an den Unbekannten, demgem\u00e4\u00df also am Ausgleichungsverfahren nicht hegen kann, so m\u00fcssen wir die Ursache davon tiefer suchen. Dann bleibt aber in unseren Formeln nur ein Glied \u00fcbrig, das diese Regelm\u00e4\u00dfigkeit der Widerspr\u00fcche bedingen kann: die Gr\u00f6\u00dfen N; diese aber h\u00e4ngen ah von der \u00a9-Function, mit anderen Worten, von der Form des Fehlergesetzes. W\u00fcrde das Vertheilungsgesetz in der Gau\u00df\u2019schen Form Beobachtung und Rechnung gut mit einander in Einklang bringen k\u00f6nnen, so d\u00fcrften die \u00fcbrig bleibenden Widerspr\u00fcche keinen regelm\u00e4\u00dfigen Gang zeigen, sondern m\u00fcssten regellos vertheilt sein. Es muss daher der Schluss gezogen werden, dass das Gau\u00df\u2019sehe Fehlergesetz zur genaueren Darstellung der Beobachtungen nicht ausreicht.\nZun\u00e4chst wird es sich also darum handeln, N\u00e4heres \u00fcber ein Vertheilungsgesetz zu sagen, das den an dasselbe zu stellenden","page":519},{"file":"p0520.txt","language":"de","ocr_de":"Tabelle XE P.\tTabelle XIII. Dth.\n520\nErich Mosch,\no CO il b\t\t\u2014 0,87\t+ 4,75\ti o' +\t+ 5,85\t+ 1,26\t\u2014 0,89\nO II b\tb\t\u2014 2,58\tT\u20141 o' +\t+ 0,57\tO o' 1\t\u2014 5,51\t-9,26\n\tb\to\t\t00\t\tCO\t20\nM","page":520},{"file":"p0521.txt","language":"de","ocr_de":"Zur Methode der richtigen und falschen F\u00e4lle im Gebiete der Schallempfindungen. 521\nAnspr\u00fcchen besser gen\u00fcgt als das einfache Gau\u00df\u2019sehe. In der That ist ja, wie bereits fr\u00fcher gesagt, von Fechner in einer ganzen Anzahl von F\u00e4llen nachgewiesen worden, dass das Gau\u00df\u2019sehe Fehlergesetz nicht allgemeine G\u00fcltigkeit hat, ja dass es als ein Ausnahmefall gelten darf, wenn es die Yertheilung von Collectivgegenst\u00e4nden hinreichend genau darstellt; dass aber im allgemeinen ein anderes, erweitertes Gesetz an seine Stelle treten muss.\n6, Die Erweiterung des Gaufs\u2019schen Felilergesetzes.\nFechner, der in der \u00bbCollectivma\u00dflehre\u00ab sich mit der Aufstellung neuer Vertheilungsgesetze besch\u00e4ftigt, geht dabei von dem Gau\u00df\u2019sehen Gesetz aus. Dies haut sich bekanntlich auf der Voraussetzung auf, dass bei einer Anzahl Einzelbeobachtungen desselben Objects das arithmetische Mittel aus allen diesen Einzelbestimmungen den wahrscheinlichsten \"VVerth der zu messenden Gr\u00f6\u00dfe repr\u00e4sentirt, und setzt dann die Wahrscheinlichkeit W, dass eine Abweichung x vom arithmetischen Mittel innerhalb der unendlich nahen Grenzen x und dx vorkomme, gleich\nW = h exp (\u2014 h^x^dx .\ny st\nh ist dabei das Pr\u00e4cisionsma\u00df. Aus diesem Gesetze geht zun\u00e4chst hervor, dass bei gleichbleibendem Pr\u00e4cisionsma\u00df die Wahrscheinlichkeit f\u00fcr gr\u00f6\u00dfere Fehler x geringer wird. Andrerseits aber ist in diesem Gesetze noch die Annahme enthalten, dass positive und negative Fehler gleich h\u00e4ufig Vorkommen, dass also in der Vertheilung der Abweichungen zu beiden Seiten des arithmetischen Mittels Symmetrie herrsche. Letzteres ist nun aber, wie Fechner an verschiedenen Collectiv-Gegenst\u00e4nden zeigt, durchaus nicht immer der Fall; vielmehr zeigt die Vertheilung der Abweichungen oft eine deutliche Asymmetrie, und damit ist man dann vor die Aufgabe gestellt, ein neues diese letztere Erscheinung ber\u00fccksichtigendes Vertheilungsgesetz aufzustellen. Wie Fechner diese Aufgabe l\u00f6st, interessirt uns hier weniger, da sein Gedankengang auf unsern speciellen Fall keine Anwendung finden kann. Hier liegt die Sache anders. Wir haben es nicht mit einfachen Ausz\u00e4hlungen wie in der Collectivma\u00dflehre zu","page":521},{"file":"p0522.txt","language":"de","ocr_de":"522\nErich Mosch.\nthun, bei uns handelt es sich vielmehr um die zum Vertheilungsgesetze geh\u00f6rige Integralformel. Um eine Ausz\u00e4hlung zu erm\u00f6glichen, m\u00fcsste man jedes einzelne Urtheil auch durch einen numerischen Werth ausdr\u00fccken k\u00f6nnen. Solche Sch\u00e4tzungen von Schallintensit\u00e4ten sind aber bei kleinen Beizdifferenzen unm\u00f6glich, und wir haben es daher mit ganzen Urtheilsklassen zu thun, daher auch nicht mehr mit dem urspr\u00fcnglichen Gau\u00df\u2019sehen Gesetz, sondern mit der aus diesem abgeleiteten Integralformel. Wir konnten also auch nicht, wie bei gew\u00f6hnlichen Oollectivgegenst\u00e4nden, die Frage nach der G\u00fcltigkeit des Gau\u00df\u2019schen Gesetzes durch eine einfache Ausz\u00e4hlung erledigen, sondern mussten uns complicirterer Methoden bedienen.\nW\u00e4hrend nun Fechner seine Gesetze mehr durch begriffliche Ueberlegungen ahleitete und weniger auf streng mathematische Deduction achtete, hat Bruns die gleiche Frage, die sich Fechner vorgelegt hatte, auf streng mathematischem Wege gel\u00f6st. Wir gehen daher nur auf die von Bruns auf gestellten Formeln ein, deren Ableitung1) sich mit kurzen Worten etwa folgenderma\u00dfen darstellen l\u00e4sst.\nSei H(b) die Wahrscheinlichkeit daf\u00fcr, dass gewisse Gr\u00f6\u00dfen x zwischen den Grenzen \u2014 oo und b Vorkommen; oder anders ausgedr\u00fcckt: H(b) bezeichne die relative H\u00e4ufigkeit der x in den Grenzen \u2014 oo \u2014 b. Seien nun zun\u00e4chst die x in dem betrachteten Gebiete discret vertheilt und zwar seien die Wahrscheinlichkeiten, mit denen die verschiedenen xr auftreten, durch yr bezeichnet. F\u00e4llt dann b nicht mit einem der x zusammen, so ist offenbar die Wahrscheinlichkeit daf\u00fcr, dass eins von den x im Gebiete \u2014 ca .... b eintrifft, durch die Summe der Wahrscheinlichkeiten gegeben, mit der die einzelnen x eintreten, d. h.\nH{b) = 2 yr.\nF\u00e4llt nun b mit einem x zusammen, so setzt Bruns fest, dass in diesem Falle nicht der ganze Betrag der zu x \u2014 b geh\u00f6rigen y zur Summe hinzugef\u00fcgt wird, sondern nur der halbe. Bezeichnet noch sg(z) die Werthe +1,0 oder \u2014 1, je nachdem * )>, = oder < 0 ist, und setzt man\n2 E(x) = sg (b \u2014 x) + 1,\n1) Bruns, Zur Collectivma\u00dflehre. Philos. Studien, Bd. XIV. S. 355.","page":522},{"file":"p0523.txt","language":"de","ocr_de":"Zur Methode der richtigen und falschen F\u00e4lle im Gebiete der Schallempfmdungen. 523\nso wird diese Festsetzung zusammen mit der fr\u00fcheren Formel ausgedr\u00fcckt durch die Gleichung\nH{b) = 2 yrE(xr).\nIn der That, f\u00e4llt x nicht mit b zusammen, so dass x < b ist, so wird sg(b \u2014 x) = + 1, 2E[x) \u2014 2, d. h. E(x) = 1 und Hb) = 2yf, wie wir fr\u00fcher fanden. F\u00e4llt aber x mit b zusammen, so wird\n1 1\nsg{b \u2014 x) \u2014 0 , E(x) = \u2014, also H[b) = j yb, wo yh die zu x = b\ngeh\u00f6rige Wahrscheinlichkeit bezeichnet. Die Formel deckt also alle vorkommenden F\u00e4lle. Um dieselbe aber praktisch anwendbar zu machen, muss noch die Gr\u00f6\u00dfe sg(b \u2014 x) durch andere Functionen ersetzt werden, mit denen man rechnen kann. Das Wesentliche der Bruns\u2019schen Abhandlung besteht nun eben gerade darin, dass in ihr f\u00fcr sg[y \u2014 x) eine Darstellung in Form einer convergenten Reihe gegeben wird. Auf diese Weise gelangt man zur Darstellung von 11(b) in Reihenform. Bruns zeigt noch, dass die erhaltene Reihe auch f\u00fcr stetige H\u00e4ufigkeiten Anwendung findet; er f\u00fchrt dann verschiedene Vereinfachungen ein und gelangt schlie\u00dflich zu dem Resultat, dass sich eine beliebige relative H\u00e4ufigkeit zwischen den Grenzen \u2014 oo und b darstellen l\u00e4sst durch die folgende convergente Reihe :\n2H(b) \u2014 1 = 0{x) + \u00ab!\u00a9,(\u00bb) + a^fb^x) + ...,\nwobei 0(x) die aus dem Gau\u00df\u2019sehen Fehlergesetz stammende Trans-cendente\nX\n\u00ae(\u00bbJ = 17= ldy exP (\u2014 y2)\nVa.)\no\nist, w\u00e4hrend \u00dc>, (x), Ot[x) u. s. w. die 1., 2., u. s. w. Ableitung dieser Function bedeuten, also:\n(\u00aeJ =\texP (\u2014 *\")\nV n\n4\n0^(x) = \u2014 \u2014 x exp (\u2014 x2) u. s. w.\n\u00abi .. . sind dabei gewisse constante Gr\u00f6\u00dfen, die f\u00fcr die Collectiv-gegenst\u00e4nde anschauliche Bedeutung haben, da sie gewisse Durch-\nWundt, Philos. Studien. XIV.\t35","page":523},{"file":"p0524.txt","language":"de","ocr_de":"524\nErich Mosch.\nschnittswerthe repr\u00e4sentiren ; bei uns f\u00e4llt diese Anschaulichkeit so gut wie ganz weg, wir betrachten sie einfach als Coefficienten.\nWill man das H\u00e4ufigkeitsgesetz f\u00fcr die Gr\u00f6\u00dfen x nicht zwischen den Grenzen \u2014 co und b, sondern allgemein zwischen a und b, also H[ab) haben, so erkennt man ohne weiteres, dass hier eine ganz analoge Reihe entsteht. Es ist ja:\n2II {ab) = 211(b) \u2014 2 H(a)\n= - [sg {b \u2014 x) \u2014- sg (a \u2014 x)) yr = 2 ar(Dr(x).\nAus obiger Formel erkennt man aus dem Umstande, dass das erste Glied der Reihenentwicklung die \u00a9-Function ist, dass in der That das Gau\u00df\u2019sche Gesetz im allgemeinen nur eine n\u00e4herungsweise Darstellung eines allgemeineren Vertheilungsgesetzes ist.\n7. Anwendung des verallgemeinerten Vertheilnngsgesetzes.\nEs wird nun unsere Aufgabe sein, dies Vertheilungsgesetz f\u00fcr unseren Zweck zu verwerthen. Bei uns hegt, um dies kurz zu wiederholen, die Sache folgenderma\u00dfen. Wir hatten zun\u00e4chst die G\u00fcltigkeit des Gesetzes 2 H(ab) \u2014 0(x) angenommen, wodurch wir die Formeln erhielten:\n1 \u2014 %{P + p') = \u00ae ( X\u00b0 jj\n2n \u2014 1 = (D\t.\nUm nicht fortw\u00e4hrend diese 3 Gleichungen anzuf\u00fchren, sei es gestattet, nur die erste zu behandeln ; f\u00fcr die beiden andern gilt dann genau dasselbe. Wir gingen also aus von der Gleichung\nsahen jedoch, dass diese Gleichung ihren Zweck nicht erf\u00fcllt. Run thun wir einen Schritt weiter und benutzen das erweiterte Vertheilungsgesetz. Wir stellen also jetzt die Formel auf:","page":524},{"file":"p0525.txt","language":"de","ocr_de":"Zur Methode der richtigen und falschen F\u00e4lle im Gebiete der Schallempfindungen. 525\n+ 8,0\n\n+\n+ ...\niind sehen zu, ob eine solche Formel den Verlauf der Zahlen besser darstellt. Jetzt sind\n*\u00ab=i -\ndie Widerspr\u00fcche, die zwischen Rechnung und Beobachtung \u00fcbrig bleiben, es sind dies zwar andere Widerspr\u00fcche, als diejenigen, die f\u00fcr die Gleichung x\u201e \u2014 N, TJ \u2014 D = 0 galten, da aber diese beiden Formeln genau mit einander \u00fcbereinstimmen, so werden wir erwarten, dass auch die Widerspr\u00fcche <5, einen regelm\u00e4\u00dfigen Gang zeigen, was in der That auch der Fall ist, wovon man sich aus sp\u00e4teren Tabellen \u00fcberzeugen kann. Man hat demnach die Gleichungen:\nwo die s, t, u noch unbekannte Constante sind. Links stehen die bekannten Widerspr\u00fcche, rechts stehen zum Theil die Derivirten der \u00a9-Function, deren numerische Werthe f\u00fcr die fr\u00fcher berechneten Unbekannten man aus Tafeln zu entnehmen hat, zum Theil die Con-stanten s, t, u. Die Aufgabe besteht nun einfach darin, f\u00fcr die s, t, u solche Werthe zu finden, dass die links stehenden Widerspr\u00fcche ihren regelm\u00e4\u00dfigen Gang verlieren. W\u00e4re dies auf keine Weise zu erreichen, so m\u00fcssten wir auch von der Annahme, dass jene Regelm\u00e4\u00dfigkeit der Widerspr\u00fcche durch das Gau\u00df\u2019sehe Gesetz bedingt ist, abgehen.\nBis zu welcher Ableitung von \u00a9 man dabei gehen muss, l\u00e4sst sich nicht von vorn herein sagen, dies h\u00e4ngt zum Theil auch von der Genauigkeit der Beobachtungen ah. Man hat also f\u00fcr jede Differenz eine Gleichung f\u00fcr die >~Urtheile\ndt = Sj\u00a9, +\t+\n35*","page":525},{"file":"p0526.txt","language":"de","ocr_de":"526\nErich Mosch.\nund entsprechend f\u00fcr die andern Urtheile. Im allgemeinen hat man also in jeder Tabelle f\u00fcr jede Art Widerspr\u00fcche je 6 Gleichungen mit einer zun\u00e4chst noch dahinstehenden Anzahl von Unbekannten. Diese sind auszugleichen. Welche Methode man f\u00fcr diese Ausgleichung anwendet, ist ziemlich unwesentlich, da jedoch die Methode der kleinsten Quadrate recht unangenehme Zahlenrechnungen erfordert, so ist diese nicht gew\u00e4hlt worden. Mit Vortheil bedient man sich des Cauchy\u2019sehen Ausgleichungsyer fahr ens1). Die Methode ist sehr einfach und kurz, ist auch insofern bequem, als man, wenn man zun\u00e4chst z. B. obige Gleichungen f\u00fcr 3 Unbekannte ausgeglichen hat und sieht, dass diese Zahl noch nicht gen\u00fcgt, noch eine weitere Unbekannte hinzunehmen kann, ohne dass dadurch etwas an den fr\u00fcheren Rechnungen sich \u00e4ndert.\nDie Rechnungen wurden nun folgenderma\u00dfen angestellt: Die \u00fcj Wurden mit den fr\u00fcheren Werthen der x und U berechnet; ferner wurden f\u00fcr jedes lx0' \u2014 D) : U etc. die Ableitungen der \u00a9-Function aus der der erw\u00e4hnten Bruns\u2019schen Abhandlung beigegebenen Tabelle2), die von \u00a9, bis \u00a96 geht, entnommen, und zwar zun\u00e4chst bis zur 3. Ableitung. Dann wurden die Gleichungen nach der Cauchy\u2019schen Methode ausgeglichen. Die 1. Ableitung bewirkte im Gange der Widerspr\u00fcche keine Aenderung, wie sich \u00fcbrigens auch schon daraus ersehen l\u00e4sst, dass \u00a94 stets positiv ist, wodurch der Gang der Widerspr\u00fcche, die sich theils auf positivem, theils auf negativem Gebiet befinden, nicht wesentlich ge\u00e4ndert werden kann. Die 2. Ableitung \u00e4nderte den Gang stets schon etwas ab, doch ohne die Regelm\u00e4\u00dfigkeiten zu beseitigen. Dies wurde in den meisten F\u00e4llen durch die 3. Ableitung bewirkt; in manchen F\u00e4llen aber blieben auch hier noch die Regelm\u00e4\u00dfigkeiten bestehen. Dann wurde auch noch \u00a94 hinzugenommen und die 4. Unbekannte nachtr\u00e4glich ausgeglichen. Jetzt war in allen F\u00e4llen Unregelm\u00e4\u00dfigkeit im Verlaufe der Widerspr\u00fcche erreicht, durch weiteres Hinzunehmen von Unbekannten erreichte man keine Steigerung der Unregelm\u00e4\u00dfigkeiten. So war mit 4 Unbekannten die Ausgleichung beendet.\n1)\tEine Darstellung dieses Verfahrens findet sich z. B. von Villarceau in der \u00bbConnaissance des temps pour l\u2019an 1852\u00ab.\n2)\tZur Collectivma\u00dflehre, 1. c. S. 368 ff.","page":526},{"file":"p0527.txt","language":"de","ocr_de":"Zur Methode der richtigen und falschen F\u00e4lle im Gebiete der Schallempfindungen. 527\nTrotz der gro\u00dfen Vortheile, die- das Cauchy\u2019sche Verfahren in Bezug auf Schnelligkeit der Rechnung bietet, sind die eben angedeuteten Rechnungen doch noch ziemlich langwierig, sobald es sich um die Ausgleichung einer gr\u00f6\u00dferen Anzahl von Tabellen handelt, wie sie hier vorliegen. Da es sich au\u00dferdem in erster Linie f\u00fcr uns darum handelt, die Anwendbarkeit der Bruns\u2019schen Formel zu zeigen, weniger darum, jene unbekannten Coefficienten der kennen zu lernen, die f\u00fcr uns ja blo\u00dfe Zahlen sind und die, wie wir sp\u00e4ter sehen werden, f\u00fcr unsere psychologischen Betrachtungen keine gro\u00dfe Bedeutung haben, so wurde darauf verzichtet, alle fr\u00fcheren Resultate nochmals vorzunehmen, sondern es wurde von jedem Beobachter eine Tabelle in der gesagten Weise behandelt, und zwar Ms (124), P (3. 124), Dth (124), Mr (2.34), und K. Diese Auswahl kann folgenderma\u00dfen gerechtfertigt werden: Die hei der allerersten Ausgleichung \u00fcbrig bleibenden Widerspr\u00fcche zeigen zwar im allgemeinen denselben Gang, sind aber doch durch die zuf\u00e4lligen Fehler des Apparats, durch schlechte Klangverh\u00e4ltnisse u. s. w. manchmal stark beeinflusst. Bei denjenigen Reihen, in denen schon hei der Ausz\u00e4hlung der Urtheile starke Unstetigkeiten in den Zahlen sich bemerkbar machten, wurde dies auch nach der Ausgleichung f\u00fchlbar, da in solchen Reihen auch die Widerspr\u00fcche starken Schwankungen unterworfen sind, w\u00e4hrend bei den Anfangsreihen, die sich schon beim ersten Anblick als gute zu erkennen gaben, auch die Widerspr\u00fcche ganz regelm\u00e4\u00dfig verlaufen, so dass wir auch das letztere durchaus als das Normale betrachten konnten. Zu den Rechnungen, die jetzt folgen sollten, konnten daher nur gute Widerspruchscurven benutzt werden, und aus diesem Grunde wurden die oben angef\u00fchrten Tabellen verwendet, die alle denselben regelm\u00e4\u00dfigen Gang der Widerspr\u00fcche ergehen; als Controlle wurden dann wieder die K\u2019schen Reihen benutzt. Die Ergebnisse der Ausgleichung sind in den folgenden Tabellen niedergelegt. Es sind darin die oben mit s, t, u bezeichneten Coefficienten der Ableitungen der \u00a9-Function verzeichnet. Das Vertheilungsgesetz tritt dann in der Form auf1):\n2H(ab) = O + Aj <Di + A2 -y + As + ....\n1) Die Bruns\u2019schen Tabellen geben nicht\t... direct, sondern\t'1>]C.","page":527},{"file":"p0528.txt","language":"de","ocr_de":"528\nErich Mosch.\nTabelle XV.\nReihe\tA\t-^-2\tM\tA4\nV\t+ 0,141\t+ 0,255 '\t+ 0,350\t\nMs f\u00fcr x0\t+ 0,222\t\u2014 0,367\t+ 0,478\t\n\t-0,119\t+ 0,183\t\u2014 0,070\t+ 0,329\nx0'\t+ 0,S65\t+ 1,283\t+ 0,676\t\nMr f\u00fcr x0\t\u2014 0,042\t\u2014 0,081\t+ 0,238\t\n\t+ 0,043\t\u2014 0,099\t+ 0,190\t\nx0'\t+ 0,008\t+ 0,202\t0,000\t+ 0,064\nDth f\u00fcr x0\t+ 0,093\t\u2014 0,171\t+ 0,294\t\n\t+ 0,343\t\u2014 0,640\t+ 0,493\t\nP\t+ 1,199\t\u2014 2,150\t+ 1,225\t\nx0\t+ 0,226\t\u2014 0,203\t+ 0,251\t+ 0,330\nxu\t\u2014 0,091\t\u2014 1,291\t+ 0,214\t\u2014 1,284\nSo h\u00e4tten wir nach dieser Tabelle z. B. f\u00fcr P die Entwicklung\n2n \u2014 1 = 0+ 1,199\u00ae, \u2014 1,075\u00ae2 + 0,613\u00a93.\nIrgend welche Gesetzm\u00e4\u00dfigkeiten wird man kaum aus der Tafel herauslesen k\u00f6nnen, die Ooefficienten f\u00fcr die verschiedenen x stimmen im allgemeinen nicht \u00fcberein, nur f\u00fcr Mr ist eine solche Ueberein-stimmung vorhanden. Bemerkenswerth ist vielleicht, dass die Coeffi-cienten f\u00fcr \u00ae2 in der Entwickelung von 1 \u2014 2 (p +- p') stets, in der Entwickelung von 2 n \u2014 1 mit einer einzigen Ausnahme (Ms) negativ sind, doch k\u00f6nnen irgend welche Gesetzm\u00e4\u00dfigkeitenn naturgem\u00e4\u00df erst mit Erfolg discutirt werden, wenn ein gr\u00f6\u00dferes Material vorliegt, als uns hier zur Verf\u00fcgung steht. Wir m\u00fcssen uns daher mit diesen Zahlenangaben begn\u00fcgen.\nUm sich eine Vorstellung davon machen zu k\u00f6nnen, wie durch Hinzunehmen der einzelnen \u00a9/>: eine Vertheilung der Widerspr\u00fcche","page":528},{"file":"p0529.txt","language":"de","ocr_de":"Zur Methode der richtigen und falschen F\u00e4lle im Gebiete der Schallempfindungen. 529\nerreicht wird, sind im Folgenden diese Widerspr\u00fcche zusammengestellt und zwar zun\u00e4chst f\u00fcr Ms, Mr, Dth und P. Dabei bedeutet \u00f4 die hei der allerersten, fr\u00fcheren Ausgleichung zur\u00fcckgebliebenen Widerspr\u00fcche ; nimmt man das Glied mit CD, hinzu, so bleiben nach dieser Ausgleichung noch die Widerspr\u00fcche A,, nimmt man das Glied mit \u00a92 hinzu, so bleiben die Widerspr\u00fcche Jt u. s. w. (s. Tabelle XVI his XIX).\nMan sieht aus diesen Tabellen, dass im allgemeinen die Ausgleichung bei \u00a93 abgebrochen werden kann, da dann schon eine hinreichende Unregelm\u00e4\u00dfigkeit im Gange der Widerspr\u00fcche eingetreten ist. Doch musste einigemale auch CD, hinzugenommen werden.\nAuch bemerkt man, dass in der That das Glied mit \u00a9, den geringsten, das Glied mit \u00a9, schon einen gr\u00f6\u00dferen Einfluss auf den Gang der Widerspr\u00fcche aus\u00fcbt, w\u00e4hrend dann in fast allen F\u00e4llen das Glied mit \u00a93 entscheidend wirkt. (D3 ist also als die Function zu betrachten, durch die die Asymmetrie des Vertheilungsgesetzes, die Abweichung vom Gau\u00df\u2019schen Gesetze dargestellt wird.\nSchlie\u00dflich bleibt dann noch die K\u2019sche Reihe \u00fcbrig. Hier musste bis \u00a94 gegangen werden. Wird dann die Ausgleichung noch weiter getrieben, so \u00e4ndert sich die Form der Widerspruchscurve nicht mehr. Dies soll in Tabelle XX u. XXI und den Figuren 5\t11\nveranschaulicht werden.\nFig. 5 stellt die urspr\u00fcngliche Widerspruchscurve dar, die Curve der \u00f6. Nimmt man das Glied mit CD, hinzu und gleicht aus, so bleiben die Widerspr\u00fcche z/,, deren Verlauf in Fig. 6 dargestellt ist. Nimmt man dann nach einander die Glieder mit \u00a92, CD3 ... CD6 hinzu, so bleiben die Widerspr\u00fcche Jt, z/3 ... J6, deren Verlauf in den Curven Figg. 7, 8 ... 11 gezeichnet ist.\nBemerkenswerth ist an diesen K\u2019schen Curven das Verhalten der ersten Ordinate. W\u00e4hrend bei allen \u00fcbrigen Beobachtern die erste, zur Differenz Null geh\u00f6rige Ordinate ein Minimum ist, ist sie hier stark positiv und l\u00e4sst sich auch durch die Ausgleichung nicht wesentlich herahdr\u00fccken, so dass die Curven einen von den Curven der andern Beobachter abweichenden Gang zeigen. Etwas Sicheres \u00fcber diese Abweichung l\u00e4sst sich nicht sagen, vielleicht hat sie ihren Grund in zuf\u00e4lligen Umst\u00e4nden bei Anstellung der Versuche.","page":529},{"file":"p0530.txt","language":"de","ocr_de":"530\nErich Mosch.\nTabelle XVI. Dth.\n\tD\t\u00e2\tA\t42\t^3\tA\n%o'\t0\t+ 0,019\t+ 0,021\t+ 0,041\t+ 0,041\t+ 0,051\n\t4\t\u2014 0,045\t\u2014 0,040\t\u2014 0,008\t\u2014 0,008\t\u2014 0,001\n\t8\t\u2014 0,072\t\u2014 0,063\t\u2014 0,025\t\u2014 0,025\t\u2014 0,029\n\t12\t\u2014 0,045\t\u2014 0,030\t\u2014 0,008\t\u2014 0,008\t\u2014 0,023\n\t16\t+ 0,064\t+ 0,085\t+ 0,063\t+ 0,063\t+ 0,052\n\t20\t+ 0,003\t+ 0,027\t\u2014 0,063\t\u2014 0,063 \\\t\u2014 0,052\n*0\t0\t\u2014 0,003\t+ 0,026\t+ 0,040\t... \u2014 y- + 0,004\t\n\t4\t\u2014 0,078\t\u2014 0,048\t\u2014 0,041\t\u2014 0,005\t\n\t8\t\u2014 0,106\t\u2014 0,079\t\u2014 0,080\t\u2014 0,029\t\n\t12\t+ 0,001\t+ 0,021\t+ 0,015\t+ 0,031\t\n\t16\t\u2014 0,026\t\u2014 0,013\t\u2014 0,020\t\u2014 0,044\t\n\t20\t+ 0,085\t+ 0,090\t+ 0,084\t+ 0,039\t\n\t0\t+ 0,008\t+ 0,059\t+ 0,055\t+ 0,011\t\n\t4\t\u2014 0,097\t\u2014 0,054\t\u2022 \u20140,053\t\u2014 0,009\t\n\t8\t\u2014 0,089\t\u2014 0,058\t\u2014 0,059\t+ 0,010\t\n\t12\t\u2014 0,017\t+ 0,002\t+ 0,004\t+ 0,001\t\n\t16\t+ 0,010\t+ 0,020\t+ 0,021\t\u2014 0,011\t\n\t20\t+ 0,028\t+ 0,032\t+ 0,033\t\u2014 0,001\t\nTabelle Xm P.\n\tD\td\tA\t^2\t^3\tA\n\t0\t+ 0,123\t+ 0,279\t+ 0,028\t\u2014 0,010\t\n\t4\t\u2014 0,050\t+ 0,090\t\u2014 0,027\t+ 0,012\t\nX\t8\t\u2014 0,201\t\u2014 0,081\t\u2014 0,074\t\u2014 0,006\t\n\t12\t\u2014 0,222\t\u2014 0,124\t\u2014 0,037\t\u2014 0,004\t\n\t16\t\u2014 0,169\t\u2014 0,093\t+ 0,039\t+ 0,017\t\n\t20\t\u2014 0,127\t\u2014 0,071\t+ 0,073\t\u2014 0,004\t","page":530},{"file":"p0531.txt","language":"de","ocr_de":"Zur Methode der richtigen und falschen F\u00e4lle im Gebiete der Schallempfnidungen. 531\nTabelle XVHI. Ms.\n\tD\t&\tA\t^2\t^3\tA\n\t0\t\t\t\t\t\n\t3\t+ 0,017\t+ 0,024\t+ 0,001\t\u2014 0,029\t\nx0'\t6\t\u2014 0,031\t+ 0,045\t+ 0,018\t+ 0,014\t\n\t9\t\u2014 0,024\t\u2014 0,002\t\u2014 0,019\t+ 0,015\t\n\t12\t\u2014 0,096\t\u2014 0,066\t\u2014 0,054\t\u2014 0,016\t\n\t15\t\u2014 0,034\t\u2014 0,001\t+ 0,053\t+ 0,015\t\n\t0\t\t\t\t\t\n\t3\t+ 0,110\t+ 0,116\t+ 0,055\t+ 0,001\t\nx0\t6\t\u2014 0,071\t\u2014 0,085\t\u2014 0,090\t\u2014 0,031\t\n\t9\t\u2014 0,057\t\u2014 0,052\t\u2014 0,039\t+ 0,031\t\n\t12\t\u2014 0,043\t\u2014 0,039\t\u2014 0,004\t\u2014 0,007\t\n\t15\t+ 0,037\t+ 0,039\t+ 0,077\t+ 0,005\t\n\t0\t\t\t\t\t\n\t3\t\u2014 0,182\t\u2014 0,074\t+ 0,059\t+ 0,027\t+ 0,010\nXu\t6\t\u2014 0,138\t\u2014 0,064\t\u2014 0,058\t\u2014 0,026\t\u2014 0,009\n\t9\t\u2014 0,024\t+ 0,018\t\u2014 0,027\t\u2014 0,027\t+ 0,005\n\t12\t+ 0,042\t+ 0,062\t- 0,018\t\u2014 0,013\t+ 0,005\n\t15\t+ 0,051\t+ 0,059\t+ 0,009\t+ 0,040\t\u2014 0,008","page":531},{"file":"p0532.txt","language":"de","ocr_de":"532\nErich Mosch.\nTabelle XIX. Mr.\n\tD\td\tA\t^2\t^3\t^4\n\t0\t\u2014 0,008\t\u2014 0,009\t\u2014 0,004\t\u2014 0,027\t\n\t3\t+ 0,017\t+ 0,015\t+ 0,023\t+ 0,005\t\n\t6\t\u2014 0,057\t\u2014 0,061\t\u2014 0,051\t\u2014 0,046\t\n\t9\t+ 0,031\t+ 0,024\t+ 0,031\t+ 0,068\t\n\t12\t\u2014 0,049\t\u2014 0,059\t\u2014 0,064\t\u2014 0,022\t\n\t15\t+ 0,103\t+ 0,090\t+ 0,064\t+ 0,021\t\n\t0\t+ 0,029\t+ 0,039\t+ 0,012\t\u2014 0,055\t\n\t3\t\u2014 0,005\t+ 0,009\t\u2014 0,015\t\u2014 0,013\t\nx0\t6\t\u2014 0,006\t+ 0,011\t+ 0,003\t+ 0,068\t\n\t9\t\u2014 0,143\t\u2014 0,127\t\u2014 0,115\t\u2014 0,055\t\n\t12\t\u2014 0,021\t\u2014 0,009\t+ 0,014\t+ 0,011\t\n\t15\t+ 0,072\t+ 0,079\t+ 0,101\t+ 0,044\t\n\t0\t+ 0,029\t+ 0,037\t+ 0,016\t\u2014 0,041\t\n\t3\t+ 0,004\t+ 0,012\t\u2014 0,004\t+ 0,002\t\n\t6\t\u2014 0,025\t\u2014 0,012\t\u2014 0,015\t+ 0,037\t\n\t9\t\u2014 0,103\t\u2014 0,092\t\u2014 0,082\t\u2014 0,041\t\n\t12\t+ 0,004\t+ 0,012\t+ 0,028\t+ 0,024\t\n\t15\t+ 0,034\t+ 0,038\t+ 0,052\t+ 0,015\t","page":532},{"file":"p0533.txt","language":"de","ocr_de":"Zur Methode der richtigen und falschen F\u00e4lle im Gebiete der Schallempfindungen. 533\nTabelle XX. K. x0.\nD\tdt\tA\tA\tA\tA\t^5\tA\n0,000\t+ 0,312\t+ 0,366\t+ 0,498\t+ 0,398\t+ 0,160\t+ 0,136\t+ 0,136\n0,015\t+ 0,028\t+ 0,082\t+ 0,185\t+ 0,152\t\u2014 0,053\t\u2014 0,077\t\u2014 0,078\n0,030\t\u2014 0,063\t\u2014 0,010\t+ 0,064\t+ 0,082\t\u2014 0,077\t\u2014 0,068\t\u2014 0,068\n0,046\t\u2014 0,089\t\u2014 0,038\t+ 0,005\t+ 0,059\t\u2014 0,042\t\u2014 0,028\t\u2014 0,028\n0,061\t\u2014 0,074\t\u2014 0,030\t\u2014 0,015\t+ 0,058\t+ 0,010\t+ 0,017\t+ 0,017\n0,077\t\u2014 0,072\t\u2014 0,027\t\u2014 0,038\t+ 0,032\t+ 0,045\t+ 0,047\t+ 0,048\n0,092\t\u2014 0,089\t\u2014 0,048\t\u2014 0,081\t\u2014 0,023\t+ 0,038\t+ 0,035\t\u2014{\u2014 0,035\n0,108\t\u2014 0,082\t\u2014 0,045\t\u2014 0,095\t\u2014 0,063\t+ 0,040\t+ 0,029\t+ 0,029\n0,123\t\u2014 0,121\t\u2014 0,088\t\u2014 0,150\t\u2014 0,146\t\u2014 0,016\t\u2014 0,027\t\u2014 0,027\n0,139\t\u2014 0,067\t\u2014 0,039\t\u2014 0,108\t\u2014 0,137\t+ 0,010\t+ 0,004\t+ 0,003\n0,155\t\u2014 0,101\t\u2014 0,077\t\u2014 0,149\t\u2014 0,208\t\u2014 0,057\t\u2014 0,050\t\u2014 0,051\n0,171\t\u2014 0,072\t\u2014 0,052\t\u2014 0,124\t\u2014 0,208\t\u2014 0,063\t\u2014 0,036\t\u2014 0,035\nTabelle XXL K. xu.\nD\t\u00e2\tA\tA\tA\t^4\n0,000\t\u2014 0,305\t\u2014 0,227\t\u2014 0,219\t\u2014 0,135\t\u2014 0,113\n0,015\t\u2014 0,043\t+ 0,033\t+ 0,039\t+ 0,067\t+ 0,081\n0,030\t\u2014 0,010\t+ 0,064\t+ U,068\t+ 0,054\t+ 0,053\n0,046\t\u2014 0,014\t+ 0,056\t+ 0,058\t+ 0,013\t+ 0,001\n0,061\t\u2014 0,012\t+ 0,054\t+ 0,055\t+ 0,002\t\u2014 0,021\n0,077\t\u2014 0,015\t+ 0,045\t+ 0,044\t\u2014 0,009\t\u2014 0,023\n0,092\t\u2014 0,040\t+ 0,014\t+ 0,012\t\u2014 0,029\t\u2014 0,024\n0,108\t\u2014 0,028\t+ 0,020\t+ 0,017\t\u2014 0,006\t+ 0,017\n0,123\t\u2014 0,062\t\u2014 0,020\t\u2014 0,023\t\u2014 0,024\t\u2014 0,001\n0,139\t\u2014 0,024\t+ 0,011\t+ 0,007\t+ 0,028\t+ 0,042\n0,155\t\u2014 0,066\t\u2014 0,037\t\u2014 0,041\t+ 0,001\t\u2014 0,005\n0,171\t\u2014 0,037\t\u2014 0,013\t\u2014 0,017\t+ 0,039\t\u2014 0,002","page":533},{"file":"p0534.txt","language":"de","ocr_de":"534\nErich Mosch.\nFig. 10.\nFig. 11.","page":534},{"file":"p0535.txt","language":"de","ocr_de":"Zur Methode der richtigen und falschen F\u00e4lle im Gebiete der Schallempfmdungeu. 535\nWir sind mit der Betrachtung des Verlaufs der Widerspr\u00fcche zu Ende. Fassen wir noch einmal kurz das Resultat zusammen. Wir sahen, dass das Gau\u00df\u2019sehe Gesetz nicht zur Darstellung der Beobachtungen ausreicht. Durch Annahme des Bruns\u2019sehen verallgemeinerten Vertheilungsgesetzes konnte jedoch dieser Mangel beseitigt werden, man konnte die aus den Beobachtungen gewonnenen Zahlen befriedigend darstellen durch die Formel:\n2 H{ab) = d> + a{ Q{ + Ot + \u00ab3 \u00a93 + .. \u25a0,\nworin die Constanten a gewisse durch Ausgleichung zu findende Gr\u00f6\u00dfen sind. lieber diese Constanten selbst, sowie bis zu welchem Gliede der Reihe man gehen muss, l\u00e4sst sich Allgemeines nicht aussprechen. Nur \u00fcber den letzteren Punkt kann man soviel sagen, dass es f\u00fcr die meisten F\u00e4lle gen\u00fcgen wird, bis \u00f6>3 zu gehen, in den wenigsten F\u00e4llen wird man noch \u00a94 benutzen m\u00fcssen. Nimmt man noch h\u00f6here Ableitungen, so \u00e4ndert sich im Verlaufe der Widerspr\u00fcche nichts, nur w\u00fcrden, wie man z. B. aus den K\u2019schen Curven sieht, die numerischen Betr\u00e4ge der Widerspr\u00fcche noch weiter heruntergedr\u00fcckt.\nUebrigens k\u00f6nnen wir nun unsere Reihenentwicklungen noch etwas vereinfachen. Die Coefficienten dieser Reihen haben n\u00e4mlich die Bedeutung gewisser Durchschnittsgr\u00f6\u00dfen1). Durch passende Wahl der in diesen Durchschnittsgr\u00f6\u00dfen vorkommenden Constanten gelingt es, die beiden ersten Coefficienten zum Verschwinden zu bringen, so dass dann die Reihe sofort mit dem Gliede 0.t anf\u00e4ngt. Die neuen Coefficienten werden folgenderma\u00dfen berechnet2). Man hat zun\u00e4chst\ndie Coefficienten At, At, A3, Ai-----, von diesen sollen At und At\nzum Verschwinden gebracht werden. Zu diesem Zwecke berechnet man:\nBt = At- Al\nB3 = \u00c43 - 2A, At - fAl\nBt = At \u2014 2At A3 + 2 A\\A, \u2014 A\\\nund mit diesen B findet man dann:\nC3 = B3 : (1 + 2BJ*\n___________ Ct = {Bt - Bt) : (1 + 2 B\u201ef .\n1) Bruns, Zur Collectivma\u00dflehre. S. 359.\n2) Bruns, 1. c. S. 364f.","page":535},{"file":"p0536.txt","language":"de","ocr_de":"536\nErich Mosch.\nDann hat die gesuchte Reihenentwicklung die Form:\n2fi\u2014 1 = 0, \u00a93+ 0,0,+ ....\nDamit haben nat\u00fcrlich auch die beiden in den Durchschnittsgr\u00f6\u00dfen Yorkommenden Constanten andere Werthe erhalten. So hat U jetzt den Werth:\n\u00fc0 = \u00fcVT+2Bt.\nEhe wir nun zur Berechnung der neuen Coefficienten \u00fcbergehen, sei noch auf einen Umstand hingewiesen: In C3 sowie in U0 kommt die Wurzelgr\u00f6\u00dfe V 1 + 2vor, und es ist klar, dass eine Umrechnung in die neue Form nur m\u00f6glich ist, wenn die Ungleichung\n1 + 2R\u00e4 > 0\nerf\u00fcllt ist, da sonst C, und TJ0 imagin\u00e4r w\u00fcrden. Es muss also sein: 1 + 2(Ai - A\\) > 0\noder:\n0,5 .\nPr\u00fcfen wir daraufhin unsere Coefficienten, so sehen wir, dass diese Ungleichung im allgemeinen zwar erf\u00fcllt ist, dass aber Ausnahmen existiren und zwar in der Reihenentwicklung Dth f\u00fcr xu, wo A\\ \u2014 At = 0.758, P, wo AI \u2014 A.2 \u2014 3.587 und K f\u00fcr xu, wo A\\ \u2014 A2 = 1.299 ist. In allen \u00fcbrigen F\u00e4llen besteht die Ungleichung und geht daher die Neuberechnung der Coefficienten glatt von statten. Was ist aber in jenen Ausnahmef\u00e4llen zu thun? Die Abweichung von der Ungleichung kann verschiedene Gr\u00fcnde haben; in unserem Fall ist die folgende Erkl\u00e4rung sehr naheliegend. Wir haben es mit einem \u00bbunvollst\u00e4ndigen Collectivgegenstande\u00ab zu thun, da wir ja nur von einem bestimmten kleinsten bis zu einem bestimmten gr\u00f6\u00dften Reizunterschiede gegangen sind, alles Uebrige also f\u00fcr uns verloren gegangen ist. Bei einem solchen unvollst\u00e4ndigen Collectivgegenstande k\u00f6nnen daher die Reihenentwicklungen auch nicht richtig sein und dies muss dann Veranlassung zu derartigen Ausnahmen gehen, wie wir sie kennen gelernt haben. In diesen F\u00e4llen verfahren wir') so, dass wir nicht die Reihe\n1) Bruns, Zur Collectivma\u00dflehre, S. 367.","page":536},{"file":"p0537.txt","language":"de","ocr_de":"Zur Methode der richtigen und falschen F\u00e4lle im Gebiete der Sehallempfindungen. 537 2H\u2014 1 = \u00a9 + Al(Dl + . .. ansetzen, sondern die Reihe\n2H\u2014 1 = E -\\~ JT0d) + Et(D{ + ...,\nworin E, E0, Kx, .... durch Ausgleichung gefunden werden m\u00fcssen. Die Gr\u00f6\u00dfen E{, K:i .... sind aber jetzt nicht die wahren Durchschnittsgr\u00f6\u00dfen, vielmehr entsprechen unseren fr\u00fcheren Coefficienten Ai, At .... jetzt die Gr\u00f6\u00dfen: E, : E(j, K, : E(n .... und mit diesen ist dann die Reduction vorzunehmen.\nAuf diese Weise wurden die Reihen von Dth (xu), P und K (xu) nochmals ausgeglichen. Die neuen Coefficienten K[ : Eb .... Ki : K\u00fc hatten dann die Werthe:\nbei Dth: \u2014 0,289,\t\u2014 0,0155,\t+ 0,1265\nbei P: \u2014 10,779 , + 14,445 ,\t\u2014 8,374\nhei K: \u2014 1,013, + 0,559,\t- 0,159, \u2014 0,120.\nPr\u00fcft man nun abermals diese Coefficienten auf die Bedingung :\nA\\ \u2014 A\u00ef < 0,5 ,\nso sieht man, dass bei Dth und K diese Bedingung erf\u00fcllt ist, dass aber bei P eine au\u00dferordentlich starke Abweichung von der Ungleichung vorhanden ist. Bei K und Dth kann also jetzt die Reduction glatt von statten gehen, w\u00e4hrend dies hei P unm\u00f6glich ist. Bei diesem ist die Abweichung so stark, dass man sie wohl der Existenz bedeutender Fehler bei Abgabe der Urtheile zuschreiben darf; in der That ist ja auch schon mehrmals auf starke Abweichungen der P\u2019schen von den andern Reihen hingewiesen worden, so dass wir wohl berechtigt sind, zu sagen: die P\u2019sche Reihe ist so stark von zuf\u00e4lligen Fehlem beeinflusst, dass sie von der weiteren Yerwerthung ausgeschlossen werden muss.\nEs seien nun noch die neuen Coefficienten C:i C4 der Reihen f\u00fcr + , x0 und xu, sowie die neuen Unsicherheitsma\u00dfe U0 in Tab. XV a zusammengenstellt. Damit ist die Ausgleichung dann vollkommen erledigt.","page":537},{"file":"p0538.txt","language":"de","ocr_de":"538\nErich Mosch.\nTabelle XVa.\nKeihe ->\tx0'\tx\u201e\t\nOs\t+ 0,149\t+ 8,863\t\u2014 0,027\nMs\tC4\t\t\t+ 0,161\nu0\t12,05\t4,08\t11,50\nGz Mr\t\u2014 0,686\t+ 0,320\t+ 0,278\nUo\t17,44\t7,79\t7,90\nGz\t\u2014 0,002\t+ 0,625\t+ 0,086\nDth Ci\t+ 0,012\t\t\nUo\t16,93\t11,43\t12,80\nGz\t\t+ 0,895\t+ 17,47\nK\tCi\t\t\u2014 0,529\t\u2014 141,25\nUo\t\t0,115\t0,042\nJetzt dr\u00e4ngt sich aber noch eine Frage auf. Wir haben bis jetzt immer mit den aus der angen\u00e4herten Formel berechneten Gr\u00f6\u00dfen U und x operirt. Offenbar m\u00fcssen sich jedoch diese durch Annahme eines neuen Fehlergesetzes auch ge\u00e4ndert haben, und man muss nun neue, dem neuen Vertheilungsgesetze angepasste Werthe von x0', x0, xu und U suchen.\nZun\u00e4chst sind die Formeln f\u00fcr diese Neuberechnung der Unbekannten aufzustellen, wobei zu bedenken ist, dass die x und U jedenfalls nur recht kleine Aenderungen erfahren werden, die wir mit dx und d U bezeichnen wollen. Wir wollen die Formeln nur f\u00fcr die Gleichungen mit p' aufstellen, f\u00fcr die \u00fcbrigen sind sie ganz analog. Au\u00dferdem bezeichnen wir abk\u00fcrzungsweise das erweiterte Fehlergesetz mit W und gehen wieder auf die noch nicht reducirten Formeln zur\u00fcck.\nDann sollen ja die >--Urtheile darstellbar sein durch die Formel:","page":538},{"file":"p0539.txt","language":"de","ocr_de":"Zur Methode der richtigen und falschen F\u00e4lle im Gebiete der Schallempflndungen. 539\nwo V die Function lF bedeuten soll, berechnet f\u00fcr die neuen, noch unbekannten Gr\u00f6\u00dfen x0' und U. Au\u00dferdem k\u00f6nnen wir mit den alten\n(/\u00a3 ^   71\u00bb\n\u2014 jj\u2014I berechnen und erhalten\ndann gewisse Werthe [p'), die von den beobachteten Gr\u00f6\u00dfen p' ab-weicben. Also :\n1 1\nM\u201c\u00cf-\u00cfT-\nSo erh\u00e4lt man durch Subtraction dieser beiden Formeln:\nDa wir nun angenommen haben, dass x0' und U sich nur wenig ver\u00e4ndern, so wird auch W nur wenig von W abweichen, wir k\u00f6nnen setzen :\nV= W + dW,\nso dass jetzt unsere Formel die Gestalt hat:\n(?')\u2014 P' = ^dW-\n[p')\u2014p' k\u00f6nnen wir auch, wie leicht einzusehen, durch die zuletzt berechneten, nach dem Cauchy\u2019schen Ausgleichungsverfahren \u00fcbrig gebliebenen Widerspr\u00fcche z/(x0') ausdr\u00fccken, indem\n1\n(p')-p' = ^Jx0'\nist, wo J[x0') die f\u00fcr die 1. Gleichung: 1 \u2014 2p' \u2014 W zur\u00fcckbleibenden Widerspr\u00fcche sind. Dann nimmt die Formel die Gestalt an:\n4(x0') = dW\noder, wenn wir dW weiter ausf\u00fchren:\nj(x0') = r\u00ab) j~dx0' - <-^Rdu\\,\nWundt, Philos. Studien. XIY.\n36","page":539},{"file":"p0540.txt","language":"de","ocr_de":"540\nErich Mosch.\nOC \u2014 - / )\nwo W'(x0') die Ableitung von W nach 0 jj\u2014 bedeutet, oder es kommt schlie\u00dflich :\nworin also:\nJ(x0\u2019) . U_ ,\nrw 0\ndU,\nr(Xo') = d>l (^F-^)+Sl\u00a9s\n+ S2\u00ae3\nist. Die linke Seite obiger Gleichung ist mit den alten Gr\u00f6\u00dfen zu berechnen, auf der rechten Seite stehen in linearer Form die Zuw\u00fcchse, die diese Gr\u00f6\u00dfen erhalten. Man hat also wieder ein System linearer Gleichungen und kann nach irgend einem Verfahren daraus die Werthe dx0' und dU berechnen. Ganz analog werden f\u00fcr die \u00fcbrigen Urtheilsklassen die folgenden Formeln in Betracht kommen:\nJ(x0) . U\t\tx0 \u2014\t-D dU\nTM \t\t\tU\t\nJ[xu) . U\t\tXu \u2014\tD dU\nv\u2019M\t\tU\t\nMit H\u00fclfe dieser Formeln wurde die K\u2019sche Reihe von neuem vorgenommen und die Zuw\u00fcchse von x0 und U berechnet. Es fand sich (nach dem Cauchy\u2019sehen Ausgleichungsverfahren):\ndU = \u2014 0,054 dx0 = + 0,010 .\nDanach w\u00fcrden die neuen Werthe von U und x0 jetzt sein:\nU = 0,164 \u2014 0,054 = 0,110 x0 = 0,008 + 0,010 = 0,018 .\nDie Correctionen beeinflussen offenbar die urspr\u00fcnglichen Werthe nur wenig. Zwar scheint die Correction f\u00fcr x0 sehr gro\u00df, da sie den Werth von x0 selbst \u00fcbersteigt, doch muss man bedenken, dass diese Correction immer noch innerhalb der Grenzen des mittleren Fehlers liegt, der ja \u00b1 0,013 betr\u00e4gt. Au\u00dferdem wird jede andere Ausgleichungsmethode als die, die wir angewendet haben, andere Werthe als Correctionsglieder hinzuf\u00fcgen, und man wird sich daher, wenn nicht Messungen vorliegen, die eine au\u00dferordentliche Genauigkeit","page":540},{"file":"p0541.txt","language":"de","ocr_de":"Zur Methode der richtigen und falschen F\u00e4lle im Gebiete der Schallempflndungen. 541\nbeanspruchen, mit den urspr\u00fcnglichen Werthen begn\u00fcgen k\u00f6nnen. F\u00fcr die folgenden Betrachtungen gen\u00fcgen die urspr\u00fcnglichen Werthe vollkommen, so dass auch nur f\u00fcr diesen einen Fall der K\u2019schen Reihe die Anwendung der Correctionsformeln gezeigt wurde, w\u00e4hrend im \u00fcbrigen diese Verbesserungen nicht ausgef\u00fchrt wurden.\n8. Psychologische Betrachtungen.\nWir haben eine Discussion der in Tabelle VI vorliegenden Werthe bis jetzt verschoben, da zun\u00e4chst unser Augenmerk darauf gerichtet war, die Formeln zu pr\u00fcfen. Jetzt wenden wir uns wieder jener Tabelle zu, die in etwas knapperer Form \u2014 au\u00dferdem sind bei Mr\ndie arithmetischen Mittel der verschiedenen U gebildet worden _________\nnochmals hier ihren Platz finden m\u00f6ge.\nTabelle XXII.\nReibe\tU\tV\tx0\t*\u00ab\n(124)\t9,94\t15,42\t5,45\t\u2014 1,81\nMs (124.3)\t!\t9,57\t16,93\t7,00\t\u2014 1,07\n(3 . 124)\t9,62\t16,94\t4,91\t\u2014 11,19\n(34)\t11,46\t17,09\t1,23\t\u2014 1,10\nMr (2.34)\t9,83\t20,41\t6,88\t5,80\n(34.2)\t9,36\t8,96\t\u2014 4,46\t\u2014 5,05\n(124)\t14,29\t22,37\t2,91\t\u2014 2,58\nDth (124.3)\t12,56\t23,16\t5,63\t2,02\n(3.124)\t11,90\t16,65\t\u2014 1,83\t\u2014 6,08\n(124.3) P\t15,25\t\t4,05\t4,05\n(3 . 124)\t25,24\t\t\u2014 6,30\t\u2014 6,30\nWas zun\u00e4chst die Uanbetrifft, so zeigen diese f\u00fcr jede einzelne Versuchsperson einen ziemlich constanten Werth, nur bei P weichen die\n36*","page":541},{"file":"p0542.txt","language":"de","ocr_de":"542\nErich Mosch.\nbeiden U stark von einander ab. Vielfach ist das TJ als eine Gr\u00f6\u00dfe angesehen worden, die der Unterschiedsempfindlichkeit parallel geht, eine Hypothese, die zuerst von Fechner gemacht wurde. Aus den Grundformeln, die zur Berechnung des U und x verwendet wurden, vermag man einen Grund dieser Annahme durchaus nicht einzusehen ; sie ist durchaus hypothetischer Natur. U bedeutet in den Formeln eine rein mathematische H\u00fclfsgr\u00f6\u00dfe, die wohl ihr Dasein dem Vorkommen des Pr\u00e4cisionsma\u00dfes in dem Gau\u00df\u2019sehen Vertheilungsgesetze verdankt; wie aber diese Gr\u00f6\u00dfe zu jener psychologischen Bedeutung kommen sollte, ist unerfindlich; au\u00dferdem liefert das Pr\u00e4cisionsma\u00df wohl eine Beurtheilung daf\u00fcr, mit welcher Genauigkeit Beobachtungen angestellt worden sind, die Beobachtungsgenauigkeit h\u00e4ngt aber doch kaum mit der Unterschiedsempfindlichkeit zusammen. Um diesen Punkt weiter zu pr\u00fcfen, wurden au\u00dferdem bei Mr, Ms und Dth nach der Methode der Minimal\u00e4nderungen Bestimmungen der beiden oberen Schwellen vorgenommen, n\u00e4mlich die Schwellen f\u00fcr die Ur-theile \u00bbgr\u00f6\u00dfer\u00ab und \u00bbviel gr\u00f6\u00dfer\u00ab. Zwischen diesen Schwellen und der Gr\u00f6\u00dfe U lie\u00df sich kein Zusammenhang erkennen.\nTm Folgenden sind die U mit diesen Schwellenwerthen zusammengestellt, und man wird die Richtigkeit des Gesagten erkennen.\nTabelle XXIH.\nReagent\tMittleres U\tS0\t\u25a0 S0'\nMs\t9,71\t7,8\t18,4\nMr\t10,22\t3,7\t10,0\nDth 1\t12,92\t6,0\t18,0\nDass sich das Unsicherheitsma\u00df proportional der Schwelle \u00e4ndert, wie man oft angenommen hat, ist nach obiger Tafel durchaus nicht der Fall.\nWir wollen nun weiterhin zun\u00e4chst zu den x0 und xu \u00fcbergehen. Dies waren ja die Differenzen, f\u00fcr welche die Wahrscheinlichkeit, einen Reiz \u00bbgr\u00f6\u00dfer\u00ab hezw. \u00bbkleiner\u00ab zu beurtheilen, nach dem einfachen Gau\u00df\u2019sehen Gesetz den Werth y, nach dem erweiterten","page":542},{"file":"p0543.txt","language":"de","ocr_de":"Zur Methode der richtigen und falschen F\u00e4lle im Gebiete der Sehallempfindungen. 543\nVertheilungsgesetz einen etwas kleineren Werth hat. Man kann wohl versucht sein, eher diese Gr\u00f6\u00dfen als das U f\u00fcr Werthe zu nehmen, die mit der Unterschiedsempfindlichkeit zu thun haben. Dass sie dagegen mit den Schwellen, die man nach der Methode der Minimal\u00e4nderungen findet, nicht Zusammenh\u00e4ngen, wird aus dem Folgenden hervorgehen.\nZun\u00e4chst sind in unseren Werthen f\u00fcr x0 und xu diese noch zum Theil mit constanten Fehlem behaftet; nur die ersten Reihen f\u00fcr jede Versuchsperson: Ms (124), Mr (34), Dth (124) darf man als frei von diesen Fehlern ansehen. Vergleicht man die zu diesen Reihen geh\u00f6rigen x0 und xu :\nMs x0 = 5,45 xu = \u20141,81\nMr\t1,23\t- 1,10\nDth\t2,91\t\u2014 2,58,\nso sieht man, dass x0 stets > \u2014 xu ist. In der That m\u00fcsste dies, wenn das Weber\u2019sche Gesetz gelten w\u00fcrde, auch der Fall sein.\nUm nun die constanten Fehler aus den \u00fcbrigen x zu eliminiren, ist es am einfachsten, dazu die x0 und xu zu benutzen. Man k\u00f6nnte etwa das Weber\u2019sche Gesetz als g\u00fcltig annehmen, also, wenn [x0) und (xu) die Werthe der von constanten Fehlern freien x0 und xu bedeuten, setzen :\nR ~f~ (gp)______j\u00df _\nR R + (xu) \u2019\nwo R den Normalreiz bedeutet, d. h. die constanten Fehler w\u00fcrden sich dann aus der Gleichung ergeben:\nR \u2014(\u2014 Xq \u2014j\u2014 c\tR\nR\tR \u2014|\u2014 x^ \u2014|\u2014 c\nWir wollen indessen eine andere Hypothese machen, die schon im Anf\u00e4nge dieser Arbeit erw\u00e4hnt wurde. Die wahren absoluten Werthe von x0 und xu werden sehr nahe einander gleich sein, und wir werden einen sehr angen\u00e4herten Werth von c erhalten, wenn wir x0 \u2014 \u2014 xu setzen. Dann wird\n; x0 + xu\nC~ 2 \u2022","page":543},{"file":"p0544.txt","language":"de","ocr_de":"544\nErich Mosch.\nAuf diese Weise erhalten wir folgende Werthe von c:\nTabelle XXIV.\nReihe\tConst. Fehler\n(124.3) Ms\t\u25a0 \u25a0 \u2014\t+ 2,97\n(3 . 124)\t\u2014 3,14\n(2.34) Mr\t+ 6,34\n(34.2)\t\u2014 4,76\n(124.3) Dth\t+ 3,88\n(3.124)\t\u2014 3,96\n(124.3) p\t+ 4,05\n(3.124)\t\u2014 6,30\nAus dieser Tabelle ersieht man, dass der Reiz 3 von Ms um etwa 11#, von Dth um etwa 11 #, von P um etwa 14% der Normalintensit\u00e4t gegen\u00fcber den Reizen 1, 2, 4 untersch\u00e4tzt wurde, w\u00e4hrend Mr den Reiz 2 gegen\u00fcber den Reizen 3, 4 um etwa 21 % der Normalintensit\u00e4t \u00fcbersch\u00e4tzte.\nGehen wir nun wieder zu den x zur\u00fcck, x0 und xu haben wir als entgegengesetzt gleich angenommen; diese beiden Werthe fallen also zu einem einzigen zusammen, den man aus der Formel erh\u00e4lt:\nX \u2014 x0 \u2014 c \u2014 xu \u2014 c.\nEntsprechend erh\u00e4lt man die wahren Werthe (x0'), worin ja auch der constante Fehler steckt, aus\nM = x0' \u2014 c.\nDie so berechneten Werthe von x0' und x findet man in folgender Tabelle f\u00fcr die einzelnen Reihen, zusammen mit den Schwellen der Methode der Minimal\u00e4nderungen zusammengestellt.","page":544},{"file":"p0545.txt","language":"de","ocr_de":"Zur Methode der richtigen und falschen F\u00e4lle im Gebiete der Schallempfmdungen. 545\nTabelle XXV.\nReihe\tX\tx0'\tS0\tSo'\n(124)\t5,45\t15,42\t7,8\t18,4\nMs (124.3)\t4,03\t13,96\t\t\n(3 . 124)\t8,05\t20,08\t\t\n(34)\t1,23\t17,09\t3,7\t10,0\nMr (2.34)\t0,54\t14,07\t\t\n(34.2)\t0,30\t13,72\t\t\n(124)\t2,91\t22,37\t6,0\t18,0\nDth (124.3)\t1,75\t19,28\t\t\n(3 .124(\t2,13\t20,61\t\t\nMan erkennt aus diesen Tabellen den Zusammenhang zwischen x und xg'\\ es findet gleichzeitiges Anwachsen und Ahnehmen dieser beiden Gr\u00f6\u00dfen statt.\nEin sehr geringer numerischer Werth von x, wie ein solcher in fr\u00fcheren Arbeiten, so auch bei K\u00e4mpfe, constatirt worden ist, l\u00e4sst sich hier nur hei Mr feststellen, hei Dth hat x schon gr\u00f6\u00dfere Werthe und hei Ms erreichen die Werthe von x sogar die Gr\u00f6\u00dfe der Unterschiedsschwellen. Die x0' sind s\u00e4mmtlich gr\u00f6\u00dfer als die entsprechenden Schwellen 80' der Methode der Minimal\u00e4nderungen. Ein erkennbarer Zusammenhang zwischen den Schwellen der Methode der Minimal\u00e4nderungen und unseren x scheint nach diesen Zahlen nicht zu bestehen. Mag man auch \u2014 und das kann der Bedeutung der x nach nat\u00fcrlich unbenommen bleiben -j- in den x eine Art von Unterschiedsschwellen erblicken, so ist doch zu bedenken, dass diese mit den Schwellen der Methode der Minimal\u00e4nderungen nicht \u00fcbereinstimmen. In der That sind ja auch die Voraussetzungen, von denen beide Methoden ausgehen, so verschieden, die Bedingungen, unter denen die Experimente zu Stande kommen, so von einander abweichend, dass es nicht einzusehen ist, wie man Werthe, die auf die","page":545},{"file":"p0546.txt","language":"de","ocr_de":"546\nErich Mosch.\neine Weise gewonnen sind, mit gewissen Gr\u00f6\u00dfen der andern Methode wegen einer entfernten Aehnlichkeit vergleichen kann.\nDie Werthe x sind insofern von psychologischen Factoren abh\u00e4ngig, als sie eine innerhalb der Reihe vollst\u00e4ndig bestimmte Reizdifferenz definiren, was man offenbar als eine Art Schwelle ansehen darf. Letzterer Grund mag vielleicht nicht stichhaltig erscheinen, da wir ja gleich am Anfang gesagt haben : wir wollen wegen der Bedeutung der x dieselben als innerhalb einer Reihe constante Gr\u00f6\u00dfen annehmen; nachdem wir aber gezeigt haben, dass, wenn man dies thut, die Beobachtungen sich dem Gau\u00df\u2019schen Gesetz nahezu, dem erweiterten Gau\u00df\u2019schen Gesetz v\u00f6llig anschmiegen, ist damit in der That der Beweis erbracht, dass es sich um Parameter handelt, die innerhalb einer Versuchsreihe jedenfalls sehr wenig variiren.\nWas die psychologische Bedeutung des Unsicherheitsma\u00dfes U anbetrifft, so l\u00e4sst sich aus unseren Reihen nichts dar\u00fcber aussagen. Mit der Unterschiedsschwelle hat U jedenfalls nicht viel zu thun. Wohl aber ist nach der Bedeutung, die U in dem Gau\u00df\u2019schen Gesetze besitzt, \u2014 je gr\u00f6\u00dfer U ist, \u00fcber eine desto gr\u00f6\u00dfere Strecke dehnen sich ja die Fehler aus; es dr\u00fcckt daher U die von Bruns sogenannte \u00bbStreuung\u00ab des Vertheilungsgesetzes ziffernm\u00e4\u00dfig aus \u2014, zu vermuthen, dass \u00fc von psychologischen Factoren abh\u00e4ngig ist. Hier k\u00e4me wohl in erster Linie die Abh\u00e4ngigkeit von der Aufmerksamkeit in Betracht, Schwankungen derselben w\u00fcrden sich wahrscheinlich in der Gr\u00f6\u00dfe von U widerspiegeln.\nDie psychologischen Bedeutungen der beiden Hauptgr\u00f6\u00dfen der Methode der richtigen und falschen F\u00e4lle liegen daher auf zwei verschiedenen Gebieten. So gro\u00dfes Interesse das Auffinden der x bietet, so w\u00fcrde es sich doch wohl verlohnen, auch einmal das Verhalten des U etwa unter verschiedenen Bedingungen der Aufmerksamkeit zu untersuchen, um damit seine psychologische Bedeutung n\u00e4her zu ergr\u00fcnden.\nWas nun die Pr\u00fcfung des Web er\u2019sehen Gesetzes anbelangt, die sich in fr\u00fcheren Untersuchungen immer an den Gebrauch der Methode der richtigen und falschen F\u00e4lle anschloss, so ist diese nach den obigen Auseinandersetzungen mit wenigen Bemerkungen abgethan. Die Pr\u00fcfung geschah immer derart, dass man innerhalb einer Reihe die Constanz von hi = i : U oder, nach einer genaueren von Merkel","page":546},{"file":"p0547.txt","language":"de","ocr_de":"Zur Methode der richtigen und falschen F\u00e4lle im Gebiete der Schallempfmdungen. 547\naufgestellten Formel die Constanz von h\tI)j, wo i die Normal-\nintensit\u00e4t, D die Reizdifferenz bedeutet, nachwies. Die Pr\u00fcfung w\u00fcrde in unserem Sinne unzul\u00e4ssig sein, da sie sich darauf gr\u00fcndet, dass das h eine die Unterschiedsempfindlichkeit repr\u00e4sentirende Gr\u00f6\u00dfe darstellt. Man hat fr\u00fcher stets eine Constanz yon hi durch alle Differenzen gefunden ; wir sind zu dem Ergebnisse gelangt, dass man in der That diese Annahme machen darf, wieder aus dem Grunde, weil mit dieser Annahme die Beobachtungen sich gut durch das Vertheilungsgesetz darstellen lassen. Ist nun hi constant, so d\u00fcrfte\nallerdings h {i ~D j keine constante Gr\u00f6\u00dfe sein, sondern m\u00fcsste\nmit D wachsen. Vergleichen wir nun mit diesem Schluss die K\u00e4mpfeschen Resultate. K\u00e4mpfe hat in einer Tabelle1) die Werthe hi\nzusammengestellt, in einer anderen2) die Werthe h + y dJ > die\nnach Merkel hei G\u00fcltigkeit des Weher\u2019sehen Gesetzes eine genauere Constanz aufweisen m\u00fcssten. In der That ist aber das Umgekehrte der Fall, die hi zeigen eine ann\u00e4hernde Constanz, w\u00e4hrend die\nwie auch K\u00e4mpfe bemerkt, ein kleines, aber immerhin\ndeutliches Wachsthum mit Zunahme yon I) zeigen. Aus dieser In-constanz wird man nat\u00fcrlich nicht schlie\u00dfen, dass das Weber\u2019sche Gesetz ung\u00fcltig ist, sondern eher zu der Annahme neigen, dass der Gr\u00f6\u00dfe h oder U nicht die angenommene psychologische Bedeutung heizulegen ist.\nAuch die Gr\u00f6\u00dfen x k\u00f6nnen wir zu einer Pr\u00fcfung des Weber\u2019sehen Gesetzes nicht benutzen. Vielmehr liegt die Sache hier folgenderma\u00dfen: Haben die Gr\u00f6\u00dfen x eine psychologische Bedeutung, wie es nach unseren Betrachtungen wahrscheinlich ist, so m\u00fcsste in der That bei G\u00fcltigkeit des Web er\u2019sehen Gesetzes f\u00fcr verschiedene Normalintensit\u00e4ten i und die bez\u00fcglichen Werthe x das Verh\u00e4ltnis x : i einen f\u00fcr alle Normalintensit\u00e4ten gleichen Werth haben. Zu dieser Pr\u00fcfung geh\u00f6ren aber weitere ausgedehnte Versuchsreihen, bei denen verschiedene Normalintensit\u00e4ten benutzt werden m\u00fcssten. Mit unserem\n1) 1. c. S. 567. Tab. II.\n2) 1. c. S. 587. Tab. XV.","page":547},{"file":"p0548.txt","language":"de","ocr_de":"548\nErich Mosch.\nVersuclismaterial kann diese Frage noch nicht discutirt, sie muss daher offen gelassen werden.\nIn Bezug auf die G\u00fcltigkeit des Weber\u2019scheif Gesetzes sind wir so zu einem befriedigenden Abschl\u00fcsse nicht gelangt. Nur soviel k\u00f6nnen wir sagen, dass \u00fc jedenfalls zu einer Pr\u00fcfung ungeeignet ist; alle anderen Fragen k\u00f6nnen erst nach Aufbringung von neuem Versuchsmaterial beantwortet werden.\nSchluss.\nIm Folgenden m\u00f6gen noch einmal die Resultate der vorhegenden Arbeit zusammengestellt werden.\nDer Zweck der Untersuchung war, die Methode der richtigen und falschen F\u00e4lle im Gebiete der Schallempfindungen vorwiegend nach der mathematischen Seite hin einer Pr\u00fcfung zu unterziehen. Die Versuche wurden am Fallphonometer mit 4 Reagenten vorgenommen. Die Methode war vollkommen unwissentlich; um dies in einem m\u00f6glichst hohen Grade zu erreichen, wurde mit 4 Schallreizen zu gleicher Zeit gearbeitet, wodurch die Reagenten \u00fcber die Art der angewandten Reizdifferenzen stets im Unklaren bleiben mussten. Als Urtheile wurden verwendet: \u00bbviel gr\u00f6\u00dfer\u00ab, \u00bbgr\u00f6\u00dfer\u00ab, \u00bbgleich\u00ab, \u00bbkleiner\u00ab und \u00bbviel kleiner\u00ab. Auch die Urtheile \u00bbviel gr\u00f6\u00dfer\u00ab und \u00bbviel kleiner\u00ab erwiesen sich \u2014 mit einer Ausnahme \u2014 als durchaus brauchbar und wohl unterscheidbar von \u00bbgr\u00f6\u00dfer\u00ab und \u00bbkleiner\u00ab.\nAls Grundlage f\u00fcr die mathematische Behandlung des Beobachtungsmaterials wurden zun\u00e4chst die von Bruns entwickelten Formeln angenommen, die den M\u00fcll er\u2019sehen Formeln einigerma\u00dfen entsprechen. Aus diesen Formeln wurden vermittels Ausgleichung durch die Methode der kleinsten Quadrate die plausibelsten Werthe der Unbekannten \u2014 des Unsicherheitsma\u00dfes U und der Grenzen der verschiedenen Urtheile x0', x0 und xu \u2014 ermittelt. Neben den eigenen Tabellen wurde zur Oontrolle noch eine K\u00e4mpfe\u2019sche Tabelle zur Berechnung herangezogen. Es wurden sodann die nach der Aus--gleichung \u00fcbrig bleibenden Widerspr\u00fcche berechnet; dieselben zeigten im allgemeinen einen und denselben regelm\u00e4\u00dfigen Verlauf. Hieraus musste geschlossen werden, dass das Gau\u00df\u2019sehe Fehlergesetz in seiner einfachen Gestalt nicht im Stande ist, die beobachteten Zahlen hin-","page":548},{"file":"p0549.txt","language":"de","ocr_de":"Zar Methode der richtigen und falschen F\u00e4lle im Gebiete der Schallempfindungen. 549\nreichend genau darzustellen. Es wurde daher zu dem von Bruns entwickelten verallgemeinerten Vertheilungsgesetz \u00fcbergegangen, das sich als eine Summe von Ableitungen der G-au\u00df\u2019schen Transcendente, multiplicirt mit gewissen unbekannten Constanten, darstellt. Es zeigte sich, dass dies Gesetz in der That im Stande ist, jenen regelm\u00e4\u00dfigen Verlauf der Widerspr\u00fcche zu einem unregelm\u00e4\u00dfigen zu gestalten, dass also das verallgemeinerte Vertheilungsgesetz den Thatsachen der Beobachtungen besser Rechnung tr\u00e4gt als das einfache Gau\u00df\u2019sehe. Bis zu welchem Gliede der Reihe man gehen muss, um eine solche genaue Darstellung zu erzielen, ist von vornherein nicht zu sagen. Doch gen\u00fcgten in den meisten F\u00e4llen die \u00a9-Function und ihre drei ersten Ableitungen. Ueber die Coefficienten des Gesetzes, die bei der Ausgleichung als Unbekannte auftreten, l\u00e4sst sich nichts Bestimmtes sagen. Um die Berechnung zu einem v\u00f6lligen Abschl\u00fcsse zu bringen, m\u00fcssen noch die Unbekannten von neuem berechnet werden, um sie dem jetzigen Vertheilungsgesetze anzupassen. Dies wurde hier nur in einem Falle durchgef\u00fchrt, da die Aenderungen, die die Unbekannten erfahren, nur klein sind und f\u00fcr die weiteren Betrachtungen unwesentlich erschienen.\nDie anfangs berechneten Werthe der Unbekannten U und x wurden sodann einer Discussion unterzogen. Dabei zeigte es sich, dass das Unsicherheitsma\u00df U wohl kaum mit der Unterschiedsem-pfindlichkeit etwas zu thun hat, vielmehr eher mit andern psychologischen Factoren in Zusammenhang steht. Ob die Werthe x0', x0 und xu mit der Unterschiedsempfindlichkeit Zusammenh\u00e4ngen, wurde dahingestellt gelassen. Das Web er\u2019sehe Gesetz konnte vermittels der Gr\u00f6\u00dfe U jedenfalls nicht gepr\u00fcft werden; wie sich die x in dieser Beziehung verhalten, muss einer sp\u00e4teren eingehenden Behandlung des Gegenstandes \u00fcberlassen bleiben.\nEs harren also, wie man sieht, noch eine ganze Anzahl Fragen ihrer Erledigung, und wenn diese Untersuchung einen Ansto\u00df dazu geben w\u00fcrde, die psychophysischen Methoden von neuem in Angriff zu nehmen, so w\u00e4re ihr Zweck vollauf erf\u00fcllt.\nZum Schl\u00fcsse m\u00f6chte ich mir noch gestatten, Herrn Professor Wundt, in dessen Laboratorium diese Versuche ausgef\u00fchrt wurden, und Herrn Professor Bruns f\u00fcr ihre vielfache liebensw\u00fcrdige Unterst\u00fctzung meinen besten Dank auszusprechen.","page":549}],"identifier":"lit4516","issued":"1898","language":"de","pages":"491-549","startpages":"491","title":"Zur Methode der richtigen und falschen F\u00e4lle im Gebiete der Schallempfindungen","type":"Journal Article","volume":"14"},"revision":0,"updated":"2022-01-31T14:24:53.149687+00:00"}