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{"created":"2022-01-31T12:23:04.340669+00:00","id":"lit4561","links":{},"metadata":{"alternative":"Philosophische Studien","contributors":[{"name":"Lipps, Gottlieb Friedrich","role":"author"}],"detailsRefDisplay":"Philosophische Studien 17: 467-575","fulltext":[{"file":"p0467.txt","language":"de","ocr_de":"Die Theorie der Collectivgegenst\u00e4nde.\nVon\nGottl. Friedr. Lipps.\nMit 6 Figuren im Text.\nIII. Eigenschaften der Mittelwerthe.\n\u00a7 1. Ungleichungen f\u00fcr die aus den symmetrischen Grundfunctionen gebildeten Mittelwerthe beliebiger reeller, absoluter Gr\u00f6\u00dfen.\nWenn die O. G. durch Mittelwerthe charakterisirt werden sollen, so ist es unerl\u00e4sslich, sich \u00fcber die Eigenschaften der Mittelwerthe zu orientiren. Ich beginne mit der Ableitung von Ungleichungen, welche f\u00fcr die aus den symmetrischen Grundfunctionen reeller, absoluter Gr\u00f6\u00dfen gebildeten Mittelwerthe allgemeine Geltung haben.\nDurch \u00abJ, a2 . . . a\u201e m\u00f6gen n reelle Gr\u00f6\u00dfen dem absoluten Werthe nach bestimmt werden. Sie sollen nicht alle einander gleich sein, so dass es einen kleinsten Werth \u00ab, und einen hiervon verschiedenen gr\u00f6\u00dften Werth an gibt.\nEntwickelt man nun das Prodm t\n(x \u2014 ax) . (x \u2014 a2' . . . [x \u2014 a\u201e) nach Potenzen von x, so dass\nxn \u2014 (iy xn~x -{-\tx*~-2 \u2014 \u25a0 \u25a0\u25a0 dz a\u201e\nfesultirt, so werden durch\n% = al + a2 + ' 1 ' + an\n= \u00bbr \u00ab2 + ffl \u2022 \u00ab3 \u25a0)----h \u00abm\u20141 \u2022 O\u00bb\t/-) 1\nClyi --- (Xl * 0^2 * * \u2019 (Xfi\nWunat, Philos. Studien. XVII.\n31","page":467},{"file":"p0468.txt","language":"de","ocr_de":"468\nGotti. Friedr. Lipps.\ndie symmetrischen Grundfunctionen von au a2 . . . \u00ab\u201e dargestellt Setzt man ferner\nn ' \u00dfi \u2014 \u00aej == ai + a2 + \u25a0 \u2022 \u2022 + an, n(n \u2014 1) 2\n- t 2 \u2018l ~a2~al ' a<2 + al \u2022 \u00ab3 + \u2022 \u2022 \u2022 + \u00abH\u20141 \u2022 U\u201e ,\nPn an \u2014 (x^ \u2022 o?2 \u2022 \u2022 \u2022\t>\nbringt man also die Gleichung \u00abden Grades, deren Wurzeln \u00ab1( a.\n. . . a\u201e sind, in die Form\t\t\n\u2022xM \u2014 j \u00dft xn-' -j-\tgk\to II +i i\nso dass allgemein f\u00fcr * = 1,2.\t. . n\t\nln\\ j \u00dfi \u2014\t= ai\t\u2022 \u00ab2 \u2022 \u2022\t\nwo (n\\ n[n \u2014\t1)...\t[n \u2014 i + 1)\n1*7\t1 \u2022 2 .\t. . i\t\u2019\nso sind \u00dft, \u00df2 ... \u00dfn die aus den symmetrischen Grundfunctionen gebildeten Mittelwerthe von a1} \u00ab2 \u2022 \u2022 \u2022 \u00ab\u00bb\u25a0\nSie sind in der That Mittelwerthe. Da n\u00e4mlich ai der kleinste und c<n der gr\u00f6\u00dfte von den gegebenen Werthen ist, so ist\n(\u201c)^> (\u201d)\u201c>* \"\"d oder f\u00fcr * = 1,2...\u00bb.\n\u00ab1 < \u00dfi < <*n\t(3)\nInsbesondere ist \u00dfY das arithmetische und \u00dfn das geometrische Mittel der gegebenen Gr\u00f6\u00dfen.\nNach einem bekannten Satze1) ist das arithmetische Mittel reeller absoluter Gr\u00f6\u00dfen stets gr\u00f6\u00dfer als das geometrische Mittel der n\u00e4m-\n1) Von der Richtigkeit dieses Satzes \u00fcberzeugt man sich leicht in folgender Weise. Es sei\n.\t1\t,\t41\u20141 _________\u2014\nAn~l \u2014 n ~l ^ + a2 H-----h CCn\u2014l) ; Gn\u2014l \u2014\t]/ \u00abj \u2022 \u00ab2 . . . \u00abm\u20141 i\nAn = \u2014\u2022 (\u00abi + \u00ab2 + * * * + \u00ab\u00bb) = \u2014-- An\u20141 -f- \u2014 ;\nn\tn\tn\n___________ V----------\nGn=Y a l * \u00ab2 \u2022 \u2022 * \u00ab\u00bb \u2014 V @n\u2014{ \u2018 \u00abn ;","page":468},{"file":"p0469.txt","language":"de","ocr_de":"Die Theorie der Collectivgegenst\u00e4nde.\n469\nliehen Gr\u00f6\u00dfen, und nur dann, wenn die Gr\u00f6\u00dfen alle einander gleich sind, erhalten auch die beiden Mittel denselben Werth. Es ist daher\n> \u00df\u201e. Dann ist aber auch f\u00fcr die j Prodncte von der Form\n\u00abJ. \u00ab2 \u2022 \u25a0 \u2022 \u00abi > deren i Factoren auf alle m\u00f6glichen Arten der Reihe ai: a-2 . . \u25a0 an zu entnehmen sind, das arithmetische Mittel gr\u00f6\u00dfer als das geometrische Mittel. Das arithmetische Mittel ist nach (2) gleich\n\u00df\\. Das geometrische Mittel findet sich gleich der ( . j ten Wurzel\ndes, aus den Producten von der Form otj \u2022 \u00ab2 . . . \u00ab,\u2022 gebildeten\nGesammtproductes, das aus i \u25a0 Factoren besteht und jedes Glied\n(77/ \u2014\u201c 1 \\\ni _ A ten Potenz enth\u00e4lt. Da nun\ndie l^jte Wurzel aus der\tj j ten Potenz einer Zahl sich auf\ndie nie Wurzel aus der *\u2018ten Potenz eben jener Zahl reducirt, so erh\u00e4lt man f\u00fcr das geometrische Mittel den Werth\nn ______________\nf/(\u00dfj \u2022 (/. } . . . Cf,,)1 \u25a0 \u2014 - \u00dfn\nDemgem\u00e4\u00df ist f\u00fcr z = 1,2. . . n \u2014 1\n$> \u00dfn oder \u00dfi > \u00dfn\t(4)\nEs gilt sonach der Satz: Bringt man eine Gleichung raten Grades\nDenkt man sich nun die Werthe \u00ab|, \u00abs \u2022 \u2022 \u2022 \u00ab\u00ab\u2014l beliebig, aber fest gew\u00e4hlt, w\u00e4hrend c\u00bb variabel ist, so erreicht die Differenz An \u2014 Qn als Function von an betrachtet ihr Minimum f\u00fcr den Werth\nIn diesem Falle ist\nOn\nan = On\u20141 11 \u20141\nn\n(An\u2014I-\u2014 Gn\u2014l).\nSomit bleibt An \u2014 On durchweg positiv, wenn An\u20141 \u2014 On\u2014l durchweg positiv ist, und es kann nur dann An = GW werden, wenn zuvor An\u20141 = On\u2014l \u2022 Es ist aber\nA2\u2014O2\u2014 | (V \u00ab1 \u2014V \u00ab2)-\ndurchweg positiv und nur dann gleich Null, wenn \u00ab1 = \u00ab2. Somit ist auch 43\u2014\u00f63, A4\u2014O4. ... An\u2014On durchweg positiv und nur dann gleich Null, wenn \u00ab, = \u00ab2 = \u00ab3 =,,.=\u00ab\u00bb.\n31*","page":469},{"file":"p0470.txt","language":"de","ocr_de":"470\tGotti. Friedr. Lipps.\nmit reellen positiven Wurzeln, die nicht alle einander gleich sind jn die Form\n*\" \u2014 (\u201c) \u00dfi x,l~l + (g ) \u00dfl xH~2-\u00b1 \u00dfl = 0\nso ist\n\u00dfl ^ \u00dfn 7 \u00dfl \u00dfn 1 \u00dfz \u00dfn ! \u2022 \u2022 \u2022 \u00dfn\u20141 ^ \u00dfn \u2022\nSind aber die Wurzeln dieser Gleichung s\u00e4mmtlich reell und positiv, so gilt bekanntlich dasselbe von den Wurzeln der Gleichungen die man durch successive Differentiation nach x erh\u00e4lt. Diese Gleichungen sind\n\u00ae\"-\u2018 - (\u201d Y1 ) AJ1 x'1-2 + (* ~ ] j \u00dfl x*-s-\u00b1 fifi = 0\nXn~2 - (n~2) \u00dfl x\u201c~:i + J^\u00dfl x\u201d~4-----------\u00b1 fi ll = 0\nx2 \u2014 2\u00dfx x -}- \u00dfl \u2014 0.\nEs ist daher dem angegebenen Satze zufolge\n\u00dfl fi \u00dfn\u2014l 7 \u00dfl fi> \u00dfn\u20141 ) \u2022 \u25a0 \u2022 \u00dfn\u20142 \u00dfn\u2014i 7 \u00dfl \u00dfn\u201427 \u00df\u20192 \u00dfn\u201427 \u2022 \u25a0 \u25a0 \u00dfn\u20143 \u00dfn\u20142:\n\u00dfl \u00df> \u00df% \u25a0\nDie Zusammenfassung dieser Ungleichungen f\u00fchrt im Verein mit den Ungleichungen (4) und (3) zu folgendem Satze:\nBerechnet man aus den symmetrischen Grundfunctionen der reellen, positiven Gr\u00f6\u00dfen ax, a2...an, deren kleinste er, und deren gr\u00f6\u00dfte an ist, die Mittelwerthe \u00dfu \u00df-i \u2022 \u2022 \u2022 \u00dfn, oder bringt man die Gleichung n ten Grades\nxn \u2014 av x**-1 -f- a2 xn~2-- \u2022 \u00b1 a\u201e = 0 ,\nderen Wurzeln er,,a2 . . . an sind, in die Form\nXn \u2014 (\u201d) \u00dfl x>\u2018~' + I\u201d) \u00dfl X>\u2018-2--\u00b1\u00dfn = 0 ,\nso ist\n\u00ab\u00bb>&>&>\u2022\u2022\u2022> \u00dfn-1 > \u00dfn >\u00ab1 \u2022\t(5)\nUnd es sind nur dann zwei auf einander folgende Mittelwerthe gleich, wenn sie alle einander gleich sind und die Werthe a,, \u00ab2 \u2022 \u2022 \u2022 a\u201c insgesammt \u00fchereinstimmen.","page":470},{"file":"p0471.txt","language":"de","ocr_de":"Die Theorie der Collectivgegenst\u00e4nde.\n471\nAuf Grund dieses Satzes lassen sich weitere Ungleichungen aufstellen, die ebenso wie (5) Eigenschaften der aus den symmetrischen Grundfunctionen reeller, positiver Gr\u00f6\u00dfen gebildeten Mittelwerthe oder \u2014 mit anderen Worten \u2014 nothwendige (aber nicht hinreichende) Bedingungen daf\u00fcr, dass die n Wurzeln einer Gleichung n ten Grades alle reell und positiv sind, angeben.\nZu diesem Zwecke leite man aus der Gleichung\nxn \u2014 \u00dfi + Q \u00dfl ---------------------\u00b1 \u00dfl = 0\t(6)\nmit den Wurzeln \u00ab,,\tan neue Gleichungen ab, deren Coeffi-\ncienten bestimmte Functionen von \u00dfu \u00df2. \u25a0 \u25a0 \u00dfn sind und deren Wurzeln insgesammt reelle, positive Werthe erhalten, wenn at, a2 ... an in beliebiger Weise dem reellen, positiven Zahlengebiete entnommen werden. Hat n\u00e4mlich eine solche Gleichung den Grad r und wird sie in die Form\n*\u2019\u2022\tx\u2019-' + (g) Bl -----------\u00b1Brr = 0 ,\t(7)\ngebracht, so ist\n->Br.\nDiese Ungleichung\u00e9n bieten aber, da i?, , Bl... Bl Functionen von \u00dft, \u00df2 \u2022 \u2022 \u2022 \u00dfn sind, neue Beziehungen zwischen den \u00df dar.\nSoll z. B. die Gleichung (7) die reciproken Werthe von , a2 \u25a0 \u25a0 . un zu Wurzeln haben, so ist r = n,\nBi =\n\u00ab\u00bb-1\nPn\u20141 ,\n\nD\u00bb-l \u00dfl . \u2019 ' ' \u2022 Bn-1 = ~~n ,\nPn\nT>n\n1\n#\nund aus )> i?2 > \u2022 \u2022 \u2022 > Bn folgt\nAndererseits ist, wenn (7) die Comhinationen at \u2022 a2 ; \u00ab1 \u2022 \u00ab3 ; \u2022 \u2022 \u00ab>1\u20141 \u2022 \u00ab\u00bb *u Wurzeln haben soll,\nn (n\u20141)\n~T72~~ ;\nBi=\u00dfI;\n^ \u2022\nSn (n\u2014 1) \u2014 6\n[in\u00dfi\u00dfl \u2014 (n \u2014 3)/?|];","page":471},{"file":"p0472.txt","language":"de","ocr_de":"472\nGotti. Friedr. Lipps.\nso dass aus Bx > Bt die Ungleichung\n& > 3\u00ab ,> -!)-6 ^n\u00dfi $ ~ {n ~ 3) ^\t(9)\nfolgt, wo 4 n \u00dfx (B, O [n\u2014 3) \u00dft, da B\\ nicht negativ werden kann.\nTst die Gleichung (7) so beschaffen, dass ihre Wurzeln ins_ gesammt reell und positiv sind, wenn die Wurzeln von (6) positive oder negative reelle Werthe darstellen, so erh\u00e4lt man aus A -B2 > \u2022 \u2022 \u2022 > Br nothwendige Bedingungen f\u00fcr das Vorhandensein von n reellen Wurzeln der Gleichung (6). Beispielsweise hat die Gleichung\n\u2014 {(3) '\t2 \u2022 (4) ' (a)\u2019 ^\t2'(s) ' (?) '^*\u2018A 2'(0) '^a?1-*\n+ ---\u00b1\u00c4\u2018 = 0\ndie Quadrate von al} 0% ... an zu Wurzeln. Es ergibt sich somit als nothwendige Bedingung daf\u00fcr, dass die n Wurzeln von (6) reell sind,\n\nji !\t1\\02 -^1 n(n\u20141)^4\t2n[n\u2014 2) \u201e\nn\u00df\\ \u2014 (n \u2014 l)/?2 >I / 1 0\u2014-\u00df\u2018i---5----\u00dfi\u00dfi-\n(n\u20142)(n\u20143)ai ------6----\u00dfi\nn{n-\\){n-2)^m(ot-1)(\u00ab-3)\t, w(w-3)(to-4)^\t(^3)(tz-4)(w-5)^\n6\n\n\n10\nm-\n60\n>\n>\n(M\n\u00a7 2. Ungleichungen f\u00fcr die aus Potenzsummen gebildeten Mittelwerthe beliebiger reeller, absoluter Gr\u00f6\u00dfen.\nEs m\u00f6gen, unter Zusammenfassung etwa vorhandener gleicher Gr\u00f6\u00dfen, %x Gr\u00f6\u00dfen z2 Gr\u00f6\u00dfen \u00ab2 \u2022 \u2022 \u2022 xn Gr\u00f6\u00dfen a\u201e gegeben sein; und es sei m \u2014 xi + ^2 + \u2022 \u2022 \u2022 4~ ~n\\ 0 <C ai ft2 \u2018\ta\"\u2018\nSetzt man nun\n>1 =\n% . m \u2019\nP 2\nm\nPn =\nm\n>\nso bestimmt die reelle (bei geradem v dem absoluten Werthe genommene) v-te Wurzel der Potenzsumme:\n8* = P\\ al + P2 a2 + \u2022 \u25a0 \u25a0 + Pn <*n\nnach\n(11)","page":472},{"file":"p0473.txt","language":"de","ocr_de":"Die Theorie der Collectivgegenst\u00e4nde.\n473\nden Mittelwerth r-ter Ordnung f\u00fcr jeden positiven und negativen ganzzahligen Werth v. Demgem\u00e4\u00df ist f\u00fcr positive\nIndices:\t_________________________\nEv =YPi \u00ab\u00cf + P2\u00ab2 + \u2022 \u2022 \u2022 + Pnan\nund f\u00fcr negative Indices:\n= |/P\\ClTV + P2a2V + \u2022 ' ' + Pn<y-nV oder in anderer Schreibweise:\nw\u00e4hrend e0 = 1 f\u00fcr s0 jeden Zahlenwerth vorauszusetzen gestattet. Da \u00abj < \u00df2 < \u2022 \u2022 \u2022 <C \u00ab\u00ab, so ist f\u00fcr positive Exponenten\n\u00ab1 < \u00ab2 < \u2022 \u2022 \u2022 < \u00ab\u201e , dagegen f\u00fcr negative Exponenten\n\u00abrv > \u00abr > \u2022 \u2022 \u2022 > \u00ab7\u201d.\nMithin ist\n(Pi + \u2022 \u2022 \u2022 + p,i)\u00ab\u00ce < Px \u00abi + \u2022 \u2022 \u2022 + Pn<*n < {Pt + \u2022 \u2022 \u2022 + Pn)\u00abm ;\nP\\ + \u2022 \u25a0 \u25a0 + Pn)(*7V 7>P\\a7V + \u2022 \u2022 \u2022 + Pn<*n \u2018 7> (Pl + ' ' ' + Pn)\u00ab\u00bb V) sodass, da pt + p2 + \u2022 \u2022 \u2022 + Pn = 1, die Ungleichungen\nCfr 7> v IT-* j\tv <~7\ngelten. Die Werthe e\u201e sind somit (f\u00fcr positive und negative Indices) in der That Mittelwerthe. Insbesondere ist \u00a3, das arithmetische Mittel der gegebenen Gr\u00f6\u00dfen.\nEs ist ferner\n(pi \u00ab1 -f--h p\u201e \u00ab*) \u00abi <Jh \u00abi+1H-----H JP\u00bb \u00f6\u00bb+1\t-----7Pn \u00ab\u00bb) \u00ab\u00bb\noder\n\u00abv\u00abi < e\u00bb+\u00ee <\t(1^)\nf\u00fcr jeden (positiven oder negativen) ganzzahligen Werth v. Ist nun ai O 1, sodass alle \u00ab gr\u00f6\u00dfer als 1 sind, so ist um so mein-\nV\t*+l\n\u00abv\tBy-j-1 \u25a0","page":473},{"file":"p0474.txt","language":"de","ocr_de":"474\tGrottl. Friedr. Lipps.\nIst hingegen \u00ab\u201e<1, so dass alle a kleiner als 1 sind, so ist um so mehr\nr+1\t-- v\nDie Mittelwerthpotenzen\n-3\t\u20142\t\u20141 \u25a0*\t2\t3\n\u2022 \u2022 \u2022 s-3, \u00ab-2, e-1, 1, \u00ab1, \u00ab2, e-i . . .\nbilden somit eine st\u00e4ndig wachsende oder st\u00e4ndig abnehmende Reihe je nachdem die Gr\u00f6\u00dfen a s\u00e4mmtlich gr\u00f6\u00dfer oder s\u00e4mmtlich kleiner als 1 sind.\nDemgem\u00e4\u00df bestehen zwischen je zwei aufeinanderfolgenden Mittelwerthpotenzen keine allgemein g\u00fcltigen Ungleichungen. Solche Ungleichungen lassen sich hingegen f\u00fcr die aufeinanderfolgenden Mittel-werthe selbst nachweisen. Man bedarf hierzu des Vergleichs gleich hoher Potenzen von Mittelwerthen.\nUm beispielsweise e\\ mit e? zu vergleichen, multiplicirt man\n\u00ab1 =\t\u00ab1 + i?2a2 + \u2022 \u2022 \u25a0 + Pn<*l\\\nmit Pi -j- p2 -f- \u2022 \u2022 \u2022 -f- pn = 1, so dass\n\u00ab2 = Pl \u00ab? + Pi \u00ab2 (\u00abl + \u00f6l) + p\\ \u00df2 + \u2022 \u2022 \u2022 sich ergiebt. Subtrahirt man hiervon\n\u2014 Plal + %p2 \u00abi \u00ab2 + ^>2\u00ab2 + \u2022 \u2022 \u2022 ,\nso resultirt\n\u00ab2 \u2014 ef = PiPi{ar \u2014 or2)2 + P1P3 (\u00abi \u2014 \u00ab3)2 + \u2022 \u2022 \u25a0 .\nDa nun die rechte Seite dieser Gleichung aus wesentlich positiven Gr\u00f6\u00dfen besteht, so ist stets\ne'i <C e2 ; \u00a3i <C \u00ae2\t(14)\nund nur dann, wenn alle Gr\u00f6\u00dfen \u00ab einander gleich sind, ist auch \u00a31 \u2014 e2. In gleicher Weise findet man f\u00fcr die Werthe\n4+4+ \u2022\t-i- -1$\n\u00ab1 \u00ab2\t\n\t. + Pn\n\u00ab1\ta2\tctn\ndie Beziehung\n\u00a3_i >e_2.\n(15)","page":474},{"file":"p0475.txt","language":"de","ocr_de":"Die Theorie der Collectivgegenst\u00e4nde.\n475\nZu analogen Ergebnissen f\u00fchrt der Vergleich der Werthe\ndnerseits und\n>+1)\u00bb_ \u00a3>>+1 \u2014\t(Pl\u00ab\u00ef+1 + \u2022\t\u2022 \u2022 + PnU\u201e+1\n\u00bb(r+l)\t Cp\t\t\t(Pi a\u00ef + \u2022 \u2022\t\u2022 +PnCclY+i\n\u2014(\u00bb+l)v \u00ae\u2014r\u20141\t= (B, + \u25a0 \\\u00ab\u00ef+1\t. . . + V + \u00ab;+1/\n-v(v+l) C_p\t+ II\t\u25a0 + \u00ab\u00ab/\nandererseits f\u00fcr v = 1, 2, 3 ...\nMultiplicirt man die r-te Potenz von mit pt + p% + \u2022 \u2022 \u2022 + p\u00ab \u2014 1, so erh\u00e4lt man durch Entwicklung der Polynome:\n\u00abv+1\nV\\\ny-]'- \u25a0\u25a0\u25a0 x,\nr(v+l)\nCp\n=22\nx\\..y.n Xi..Xn\n\u201eZl+^l\tXn+in\t(v+1 )xi\ny Pi \u25a0\u25a0\u25a0 Pn \u2022 \u00ab1\n\nPn'- '\n\na\n(v-f-l)x\u00bb . n\t?\nwo die Summationen \u00fcber alle Werthe x von 0 bis v, \u00fcber alle Werthe l gleich 0 und 1 und \u00fcber alle Werthe p von 0 bis v + 1 auszudehnen sind, die den Bedingungen\n*1 + 'Z-2\t+\t\u2022\t\u2019\t-\t+\ty-n =\tV\nK + ^2\t+\t-\t'\t\u2022\t+\t\u00c4\u00ab =\t1\n+ ft\t+\t'\t'\t'\t+\tPn \u2014\tV + 1\ngen\u00fcgen. Da es nun n Systeme\t/j,\t\u00c42 .\t. .\tln gibt, f\u00fcr welche\n^+^ + \u2022\u2022\u2022+4=1 (indem der Eeihe nach jeder A.-Werth gleich 1 und zugleich jeder der \u00fcbrigen gleich Null sein kann), so geh\u00f6ren zu einem beliebig, aber fest gew\u00e4hlten Systeme pu p2 ... /.im stets n Systeme x1; x2 ... x\u201e, so dass xt h \u2014 Pi> x2 + A2 = \u00ab2 \u2022 \u2022\u2022, *n + A\u201e = j\u00ab\u201e. Es sind dies die Systeme\nXj \u2014 Pl ^-1 , X2 \u2014 ^2\t^2 )\t... XH \u2014\t\u00c0,,.\nUnter denselben treten solche mit einem negativen Werthe \u2014 1 auf, s\u00b0bald mindestens einer der Werthe ut, p2 \u2022 \u2022 \u2022 Pn gleich Null ist. Man kann aber ohne R\u00fccksicht auf dieselben in dem Summenausdruck \u00ab\u00a3fil)r die Werthe xj, x2 . .. x\u00bb durch ut \u2014 '/.u /t2 \u2014 \u00c02, . .., ftn\u2014\u00c0\u00bb Hetzen, da bekanntlich\nv\\\n(Pl \u2014 X])! \u2022 \u2022 \u2022 [Pn \u2014 X,ij!\n0,","page":475},{"file":"p0476.txt","language":"de","ocr_de":"476\nGotti. Friedr. Lipps.\nwenn einer der Werthe /<, \u2014 lx, p2 \u2014 hh ..pn \u2014 Xn negativ ist Demgem\u00e4\u00df besteht die Differenz\n(v+l)v r(v+l)\naus Gliedern von der Form\nv\\\n^ [p 1 \u2014 Aj)!... (fin\u2014 In)!\n2\n/. 1.. u\nPl'.\n\u25a0P'n\nPl\n\nPn \u25a0\n\u25a0P\n\u00dfn\ntt(v+l)(j\u00abl\u2014?.,) . . \u00df(v+l)(,\n\u00abr.\na\nVfAn\nn \u2022\nSetzt man hier zur Abk\u00fcrzung\n___ \u201e(H-lKfU-l) (v-t-l)Mz\t\u201e(\u00bb + l)^n\n= Ct\\\t\u2022 \u00ab2\t\u2022 \u2022 \u2022 ccn\n___ ,JV+1)/G\t(v+l)(^2-l)\t(v+l),U\u00bb\n= wi\t\u25a0 (X2\t...\n/I _____ (v-f-l)Mi\n\n\u00ab\n.(\u00bb+!) (fin\u20141)\nso lassen sich jene Glieder in der Form\n~ . \u2014\u2014iPl'--- P',T\\\t1 (Pl dl + /<2-4 + \u2022 \u2022 ' + PnAn) \u2014 \u00abi\u2019\u201c...\u00abr!\nP\\ ! \u2022 \u2022 \u2022 pn !\tIV -f- 1\t1\ndarstellen. Es ist aber\n^ j ~ j (f<l4 +\tH-------1 PnA\u201e)\ndas arithmetische Mittel der px Gr\u00f6\u00dfen Ax, p2 Gr\u00f6\u00dfen A2, \u25a0 \u25a0 \u25a0 ii,L Gr\u00f6\u00dfen An, da p i -f- p2 d- \u25a0 \u25a0 \u2022 d~ pn = v d- 1. Ferner ist\nvui v\u00df2\tvan\n\u00ab1\t\u2022 \u00ab2\t. \u2022 \u2022 \u00abn\ndas geometische Mittel der n\u00e4mlichen Gr\u00f6\u00dfen. Denn es ist\n___\t(v+l)(v+l)fti-(>'+l)fti\n\u2014 \u00ab1\n4\u201c \u2022 AS2... AS\"\n(r+l)(v+l)jU2 \u2014 (r+l),\u00ab2 \u00ab2\na\n(v+l)(v+i )M\u2019> 11\n\u2014 (v+l)lWw\nso dass\n= \u00ab\nV.Ua\tWt\u00bb\\i'+1\n\u00ab2 ... j ,\n\u00abr- \u00abr... \u00abr\n=V+V/ 4' \u2022 AS2... A'n\nUnd dies gilt unabh\u00e4ngig davon, ob die eine oder die andere der Anzahlen px, p2 \u25a0 \u25a0 . pn gleich Null oder nicht gleich Null ist, wenD nur Pi + P2 + \u25a0 \u25a0 \u25a0 + Pn \u2014 v + 1. Da aber das arithmetisch","page":476},{"file":"p0477.txt","language":"de","ocr_de":"Die Theorie der Collectivgegenst\u00e4nde.\n477\nMittel endlicher absoluter Gr\u00f6\u00dfen stets gr\u00f6\u00dfer als das geometrische Mittel der n\u00e4mlichen Gr\u00f6\u00dfen ist, so besteht die Differenz\nJH-lJv .\u00bb(\u00bb+1)\naus lauter wesentlich positiven Gliedern, die nur dann, wenn \u00ab, = \u00ab2 an ist, insgesammt gleich Null werden.\nEs ist somit\nef+l) < 4?1,)V; h < \u00abv+1\t(16)\nf\u00fcr v = 1, 2, 3 . . . und nur dann, wenn die gegebenen Gr\u00f6\u00dfen au \u00ab2 .. . au alle einander gleich sind, ist ev = e,+i \u2022\nIn derselben Weise findet man, dass\n\u00a3i;(V+1) < S=tr-l)V; 6-v>fi-r-l\t(17)\nf\u00fcr v = 1, 2, 3 . . . und dass nur dann, wenn \u00abi = \u00ab2 \u2014 \u2022 \u2022 \u2022 = auch\nUeberdies erh\u00e4lt man aus\n\u00ab1 \u2014Pl\u00ab 1 +f32\u00ab2 + \u2022 \u2022 \u2022 + iht\u00df\u00ab\n-1 Pi ,\n\u00a3-1 =-------\\-\n\u00ab1\nB _|___________&\n\u00ab2 \u00ab\u00bb\ndurch Multiplication\n\u00a31 \u2022 eI\u00ce = pl + pi + \u2022 \u2022 \u2022 + p\u00bb + P1P2 \u25a0+ j + \u2022 ' \u2022\n= 1 +\nso dass\n\u00ab2\t\u00ab1 \u00ab3\n\u00a3j \u2022 el{ > 1 oder \u00a3t > e_i .\n(18)\nAus (16), (17) und (18) folgt in Verbindung mit (12) die Erkenntnis :\nBildet man aus den Potenzsummen reeller absoluter Gr\u00f6\u00dfen, deren kleinste und deren gr\u00f6\u00dfte \u00ab\u201e ist, die Mittelwerthe \u00ab1} \u00a32, \u00a33 \u2022 . \u2022 ; \u00a3-t, \u00a3-2, \u00a3-3 \u25a0 . so ist stets\n\u00ab1 < \u2022 \u2022 \u2022 < \u00a3~2 < *-1 < \u00ab1 < \u00ab2 < \u2022 \u2022 \u2022 \u00ab\u00bb\u2022\t(I9)\nDa hiernach die Mittelwerthe mit wachsender positiver Ordnungszahl immer gr\u00f6\u00dfer und mit wachsender negativer Ordnungszahl immer kleiner werden und dabei zwischen den endlichen Grenzen at und an ^geschlossen bleiben, so besitzen sie eine obere und eine untere","page":477},{"file":"p0478.txt","language":"de","ocr_de":"478\nGotti. Friedr. Lipps.\nH\u00e4ufungsstelle. Diese Stellen werden durch a\u201e und al bestim Denn aus\tn,t\nfolgt zun\u00e4chst unter Ber\u00fccksichtigung, dass die aus den ^-Werthen gebildeten Quotienten endlich und die Br\u00fcche\tUi i . (f\n\u00abi : \u00ab2 \u2022 \u2022 \u2022 \u00abi : o\u00bb der \u00fcber die a getroffenen Bestimmung zufolge kleiner als 1 sind, f\u00fcr unbegrenzt wachsendes v\nlim bv \u2014 p>\\ ccn , lim = p* 1 v.\nV\u2014QO\tr=QO\nDaraus ergibt sich sodann, wenn der echte Bruch pn gleich 1 - 7 und der echte Bruch Pl gleich 1 \u2014 \u00d6 gesetzt wird, mit R\u00fccksicht auf\nVpn = 1 ~\n\u2014v \t-\nVpi = 1 + \u2014 \u2022 \u00d4 H--------\nV\nf\u00fcr unbegrenzt wachsendes v\nlim ev \u2014 a\u201e ; lim \u00e9_\u201e = a{ .\t(20)\nv=cc\tv=ao\nDieser Schluss ist indessen nur dann bindend, wenn \u2014 wie vorausgesetzt wurde \u2014 die Werthe von au \u00ab2. .. an endlich sind. Wachsen dieselben \u00fcber alle Grenzen jedoch so, dass ihre Differenzen endlich bleiben, so erhalten die Br\u00fcche ct1 : an .. . \u00ab\u201e_i : aH, \u00abi : \u00ab2 \u2022 \u2022 \u25a0 \u00ab, : ct\u201e den Grenzwerth 1 und eine bestimmte H\u00e4ufungsstelle ist nicht mehr angehbar.\nAus den abgeleiteten Beziehungen folgt, dass jeder einzelne der Br\u00fcche\n. . . \u00a3ri _\u00a3l \u00a3g\ne-2 \u2019 \u00a3-i \u2019 \u00abi \u2019 e2\ngr\u00f6\u00dfer als 1 ist. F\u00fcr die Werthe von je zwei aufeinanderfolgenden Br\u00fcchen l\u00e4sst sich aber keine allgemein g\u00fcltige Ungleichung aufstellen, da z. B. der Werth von","page":478},{"file":"p0479.txt","language":"de","ocr_de":"Die Theorie der Collectivgegenst\u00e4nde.\t479\nje nach Umst\u00e4nden positiv oder negativ und somit\n\u2014 gr\u00f6\u00dfer oder kleiner als \u2014\nel\tf'2\nist. Es ist hingegen stets\n2\t3\n4  \t3\tj\t\u00ab2 ^--\u00a33\n\u00ab2 < \u00ab1 \u2022 \u00ab3 oder \u2014 < \u2014 .\nei\nUm diese Gesetzm\u00e4\u00dfigkeit in ihrer Allgemeinheit zu erkennen, sub-trahire man von dem Producte\n\u00e9-elZXl=pU?+*+v+$\u00ab2+ll+v-t- \u2022 \u2022 \u2022\n+ lhlh (\u00ab1 \u2022 \u00ab2+'u+r + \u00ab2 \u2022 \u00abi+,\u2018+v) H-\ndas Product\neltZ \u25a0\t= pW^+v +p\u00efa?+fl+v + \u2022 \u2022 \u2022\nPlP\u00ef\t\u2022 \u00ab)+V + \u00ab2+fl ' \u00dfl + J) + \u2022 \u25a0 \u2022\nAlsdann ist die Differenz\n\u00ab1 \u2022 eitutl - elZ \u2022 \u00ab\u00ce+; =PiPi \u2022 0} <4 (a? - \u00ab2\u201c) (\u00abI - \u00ab2) H- (21)\npositiv oder negativ, je nachdem die ganzen Zahlen u und v gleiche oder entgegengesetzte Vorzeichen haben. Es ist daher f\u00fcr jeden positiven oder negativen ganzzahligen Werth /.\n\nl+n\n\u00a3?.+v\noder\nA*J*u\nx\nex\n<\n;.+,ii+v\ncA-f*ju4*v X+v \u2018 ty+v\n(21a)\nwenn von den ganzzahligen Werthen u und v jeder positiv oder jeder Negativ ist; es ist hingegen\nA+jtt\tA-t-At+v\ne\u00ef-e\u00efZXKeiZ-exXl oder \u00a3AUi>^+|\u00b1^,\t(21b)\n^A\t^A+v\nwenn von den ganzen Zahlen ft und v die eine positiv und die andere negativ ist.\nAus diesen, sich gegenseitig bedingenden Ungleichungen (21a) Nnd (21b) resultirt unter Ber\u00fccksichtigung von (13) die Erkenntniss:\nBerechnet man aus den Potenzsummen reeller abso-uter Gr\u00f6\u00dfen, deren kleinste \u00abj und deren gr\u00f6\u00dfte an ist, die","page":479},{"file":"p0480.txt","language":"de","ocr_de":"480\nGotti. Friedr. Lipps.\nMittelwerthpotenzen ist stets1)\n\u00a3ii\n2\n\u00ab2,\n:s\n\u00ab3\n-1\n\u00ab-1,\n\u00ab=i,\n\u00ab3\n\u25a0 \u2022 ! So\n-1-1\t2\t\u201e3\n^ \u00a3-l___ -*\u25a0\t\u00ab1\t\u00ab2\t\u00ab3\t^\nC(1\t\u2018 ' <C _2 _i i <C 2 <C '\n\u00a3-2\t\u00a3-1\t1\t\u00a3l\t\u00a32\n< \u00ab\u00ab\n(22)\nAus (21) ergibt sich insbesondere\nettl-e\u00bb \u2022 bI =\t(a?-aj?)(\u00abi \u2014 \u00abs) + \u2022 \u2022 .\n\u00a32a \u2014 4*\t=PlP2 (\u00ab1 \u2014 \u00ab2j2 +B^3 (\u00ab1 \u2014 \u00ab\u00cf)2 + \u2022 \u2022 \u2022\n4\u00ef \u2014 4\u201d\t=1?1 P2 (a\u00ef \u2014 a\u00ef)2 + Pift (\u00ab\u00ef \u2014 a\u00ef)2 + \u2022 \u2022 \u2022 ,\nsodass die Differenz\n(4? - 4\u201c) \u2022 (4: - 40 - (\u00abm+v - 4 \u2022 4)2\n=PiP2 \u25a0 PiPi {(\u00abi\u2018 \u2014 \u00ab2) (\u00ab1 \u2014 a\u00ef) \u2014 (a\u00ef \u2014 a\u00ef) (a1\u201c \u2014 a\u00a3)}2 + \u2022 \u2022 \u25a0 aus einer Summe wesentlich positiver Glieder besteht. Mithin gilt f\u00fcr beliebige positive und negative Werthe u und v die Ungleichung\n(4u - 40 \u2022 (4; - 40 > (4\u00ce\u00cf - 4 \u2022 4)2 \u2022\t(23a)\nAus den, durch unmittelbares Vergleichen gefundenen Eigenschaften der Mittelwerthe ev und der Mittelwerthpotenzen 4 k\u00f6nnen weitere Ungleichungen in folgender Weise abgeleitet werden.\n1) Aus dem angegebenen Satze folgt:\n\u00a3V I\nr\u20141\nr_l\nev-\\\n<\npv+l\nS+l\nfc\t\u20141\n- \u2022 wenn e\\ >\t,\nV\u20141\nV\u20141 F-l\n->\n\u00aer+l\n, wenn 4<eJ_\u00ee,\nso dass im ersteren Falle\n_r\u20141\n\u201ev jv\u20141 ^\nPv+1 .\n<)<\np\u00bb+l\n'V+l\nund im letzteren Falle\n.v _ r+1\tv\n\u2018 *r i\tv\u2014 1\nv\u20141\nund somit in beiden F\u00e4llen\n(C\u00ee-0<C\u00ee-<.\ne\nr+1\nr+l\n+ 4-\u00ce\n> 2 \u2022 \u00a3\nV\nV\nwas \u00fcbrigens ohne weiteres aus a'y+i + \u00ab^ 1 > 2avx durch Multiplication mit f> und Summation von x = 1 bis x = n sich ergibt.","page":480},{"file":"p0481.txt","language":"de","ocr_de":"Die Theorie der Collectivgegenst\u00e4nde.\n481\nMan bezeichne die % Gr\u00f6\u00dfen \u00abj, Gr\u00f6\u00dfen \u00ab2... %n Gr\u00f6\u00dfen \u00ab\u201e, deren Gesammtzabl gleich m ist, vor\u00fcbergebend durch a', a\", a\"... \u00ab(m) und erzeuge aus denselben die Reihe der Gr\u00f6\u00dfen Alt A% ... A,, so dass erstens jedes A reell und positiv wird, wenn die \u00ab in beliebiger Meise dem reellen, positiven Zahlengebiete entnommen werden, und zweitens die symmetrischen Functionen von Al, A2 ... Ar zugleich symmetrisch bez\u00fcglich a, a\", a\" . . . a(m> sind. Alsdann gelten f\u00fcr die aus den Potenzsummen der A gebildeten und durch\ndefinirten Mittelwerthe Et die bereits gefundenen Ungleichungen. Da aber die Potenzsummen der A symmetrisch bez\u00fcglich a\", a\"... \u00abW sind, so sind sie durch die Potenzsummen der a und somit durch die Werte svv ausdr\u00fcckbar. Man erh\u00e4lt daher neue Ungleichungen f\u00fcr die Mittelwerte ev.\nSetzt man z. B.\nSO' dass\nso wird\nund man erh\u00e4lt auf Grund von\n\u2022 \u2022 \u2022 <C -\u00ae-2 < E_i <C Ei < Ei <( \u2022 \u2022 \u2022\nTPV jpH-i\n-&V\ndie Ungleichungen\nund f\u00fcr jedes positive oder negative ganzzahlige v:\n(25)\n^omit sich, da El wesentlich positiv ist, die Bedingung\n2v\n\u00ab2v<\u00a3.' \u25a0 Vm; \u20ac-v<^\u00a3-2y \u25a0 Vm\njedes positive ganzzahlige v verbindet.\n(26)","page":481},{"file":"p0482.txt","language":"de","ocr_de":"482\nGotti. Friedr. Lipps.\nReihe\nW\u00e4hlt man ferner die Producte von je drei Gliedern\n\u00ab , a\na'\" \u25a0 \u2022 \u2022 cd\u201c) als Werthe A, so dass\naus der\n m(m \u2014 1)(to \u2014 2)\n1-2-3\t\u2019\nr \u25a0 E'v = (\u00ab' - a\" \u25a0 a\"')v -|---------\nso sind in die Ungleichungen\n\u2022. \u2022<\u00e6,_2<j?_1<\u00e6;1<\u00e62< ...\n77\u00bb V\t77TV+1\nT7\u00bbv\u2014 1 \\\t77\u00bbV\n^r-1\t-&V\ndie Werthe\n(27)\n\u25a0ffv________________o3v\t3 to ^2v nt ,\t2\t3v\n'v>\u2019 ~~ (to\u20141)(to\u20142)e\u2019' ~ (to\u20141)(to\u20142) \u00a32v\u2019\u00a3r + (to\u20141)(to\u20142)\u00a33v (27a)\neinzusetzen. Sollen hingegen die to (to\u2014 1) Quotienten von je zwei Werthen a\", \u00ab\"'\u2022 \u2022 - cd\u201c) durch A,, A2 \u25a0 \u25a0 \u25a0 Ar dargestellt werden, so werden die in (27) einzusetzenden Werthe bestimmt durch\ne:=-\nTO -\n6\u201cv \u2022 v \u2014v\nm \u2022\n(27b)\nAndererseits resultirt, wenn man die A aus den Quadraten der \\m(m \u2014 1) Differenzen (cd \u2014 \u00ab\"); (\u00ab' \u2014 \u00ab'\"); (a''\u2014\u00ab'\") \u2022 \u2022 \u2022 bildet, f\u00fcr positive ganzzahlige v\nso dass\n2 TO TO \u2014 1\n(*2 \u2014 \u00a3i) < V(\u00ab4 \u20144ej\u00abi+34)\n<V(4 - 64\u00abi +15 6\u00ce ei -10 4) < \u2022\nej-4efo+3ej 4-66^+15^4-104 \u00ab1 \u2014 4\t\u00ab4 4 \u20ac3 +\u25a0 3 \u00a32\n(29)\nDer Vollst\u00e4ndigkeit wegen sei noch erw\u00e4hnt, dass aus jeder, \u00bbuf diese oder \u00e4hnliche Weise gefundenen Eigenschaft der Mittelwert\u00ae Ey eine entsprechende Eigenschaft der aus den symmetrischen Grund' functionen von a\",\tgebildeten Mittelwerthe \u00dfi,","page":482},{"file":"p0483.txt","language":"de","ocr_de":"Die Theorie der Collectivgegenst\u00e4nde.\n483\nabgeleitet und zugleich als notwendige (aber nicht hinreichende) Bedingung daf\u00fcr, dass die to Wurzeln einer Gleichung TO-ten Grades alle reell und positiv sind, gedeutet werden kann.\nBringt man n\u00e4mlich die Gleichung TO-ten Grades, deren Wurzeln die to reellen, positiven Werthe a!, a\", a'\" . . . a(m> sind, in die Form\naf - (\u2122) \u00c4*\u201c-1 +\t-----\u00b1 \u00dfZ= 0,\t(30)\nso k\u00f6nnen die s durch die \u00df und auch die \u00df durch die e mittelst der Newton\u2019schen Formeln ausgedr\u00fcckt werden. Diese, die Potenzsummen der Wurzeln einer Gleichung mit ihren Coefficienten verkn\u00fcpfenden Formeln lauten, wenn an Stelle der Potenzsummen die s-Werthe und an Stelle der Coefficienten die \u00df-Werthe gesetzt werden:\n\u00a3i \u2014 \u00dfi \u2014 0\n\u00a32 \u2014 me\u00b1 \u00dfx + (to \u2014 l)\u00df\\ = 0 \u2014 TO \u00a32 ft +\t\u00ab1 \u00dfl ~ (W 2 1)^==0\noder allgemein f\u00fcr jedes positive ganzzahlige v:\nwo f\u00fcr to die Glieder, in denen \u00dfm+i, \u00dfm+2- \u25a0 \u25a0 auftreten w\u00fcrde, von selbst wegfallen. F\u00fcr negative Indices gilt entsprechend:\ngesetzt wird. \u2014 Bleibt die Eigenschaft der \u00a3-Werthe, aus der die Bedingung f\u00fcr die /?-Werthe oder f\u00fcr die Coefficienten der Gleichung (30) abgeleitet wird, bestehen, wenn die a positiv oder negativ reell sind, so erh\u00e4lt man auf diese Weise nothwendige Bedingungen f\u00fcr die Realit\u00e4t der to Wurzeln von (30).\nWundt, Philoe. Studien. XVII.\n32","page":483},{"file":"p0484.txt","language":"de","ocr_de":"484\nGotti. Friedr. Lipps.\n\u00a7 3. Abh\u00e4ngigkeit der aus Potenzsummen gebildet Mittelwerthe absoluter Gr\u00f6\u00dfen von den Gr\u00f6\u00dfenstufen\n\u00abi, \u00ab2 \u2022 \u25a0 \u2022 \u00ab\u00ab\u25a0\nAus der Ungleichung (13) folgt f\u00fcr jedes positive, ganzzahlige \u201e\n\u25a0V+l ___ V __________________\n^y+1 V * &n j &\u2014v Ve -\u00bb+i ' \u00abi \u2022\t(33)\nEs liegt somit ev+i, dessen Werth nach (16) gr\u00f6\u00dfer als derjenige von sv ist, zwischen ev und dem geometrischen Mittel aus an und dem y-fach gez\u00e4hlten ev; entsprechend liegt e_\u201e zwischen e_v+1 und dem geometrischen Mittel aus \u00ab, und dem [v\u2014l)-fach gez\u00e4hlten e_\u201e+1.\nAllgemeinere Bedingungen, welche die Ungleichungen (13) und (33) in sich fassen, erh\u00e4lt man in folgender Weise.\n(34)\nIn dem Systeme\t\tder i +\t1 Gleichungen\t\t\nP\\ul\t+\tP2\u00ab2\t+ \u2022\t\u2022 \u2022 + pnan =\tV = \u00abV\nPi\t+\tB\u00ab2+\u201c\t+ \u2022 \u25a0\t\u25a0 \u2022 + pnan+\u2018u =\t_ \u00bb + ^ - tv+p\n\u201e v+2a Pi a i\t+\tp2\u00ab2+2'\u201c\t+ \u2022 \u2022\t' \u2019 + Pn 0)^+2,l =\t\u2014 u+2,t\nPi\u00ab\u00ef+,>\t+\tP2\u00ab2+,>\t+ \u2022 \u2022\t' ' + PnUn+tfl ~\tii to \u2022\u00bb2 t\u00ee + + \"ei:' '\nwo v eine positive oder negative, u eine positive ganze Zahl bedeutet und i gleich 1, 2, 3 ... n sein kann, multiplicire man die beiderseitigen Glieder der ersten, zweiten . . . i-ten Gleichung mit yt und subtrahire die entsprechenden Glieder der unmittelbar folgenden Gleichung. Man gelangt so zu dem Systeme der i Gleichungen\nPi \u00ab\u00cf (yt \u2014 at) + p2a\\ {yt \u2014 \u00ab\u00a3) + \u2022 \u2022 \u25a0 = yt \u25a0 s\\ \u2014\nPi\u00abi'+'u {yt - at) + p2ul+l* {yt - \u00ab5) + \u25a0 \u2022 \u2022 = yt \u25a0 elZ - \u00ab3S\nMit den Gleichungen dieses Systems verfahre man in \u00e4hnlicher Weise, indem man die Glieder der i\u20141 ersten Gleichungen mit yt multi-plicirt und die Glieder der jeweils folgenden Gleichung subtrahirt. Man erh\u00e4lt alsdann die i\u2014 1 Gleichungen\nPi ul {yt \u2014 at) {yt \u2014 at) + p2al (yt \u2014 at) {yt \u2014 \u00ab\u00a3)+\u2022\u2022\u2022\n= yt \u2022 yt \u25a0 \u00a3 \u2014 {yt + yt)elZ + \u00ab\u00c4 Pi \u00ab\u00ef+\" {yt - at) {yt - at) + p2a^{yt - at){yt -<#)+\u25a0\u25a0\u25a0\n= yt \u25a0 yt - slZ - {yt + yt)& + \u00abh*","page":484},{"file":"p0485.txt","language":"de","ocr_de":"Die Theorie der Collectivgegenst\u00e4nde.\n485\nDurch die Fortsetzung dieses Verfahrens, durch welches der Reihe nach die H\u00fclfsgr\u00f6\u00dfen y$ \u25a0 \u25a0 \u25a0 yt eingef\u00fchrt werden, gewinnt man schlie\u00dflich die Gleichung\nPi ally i \u2014 \u00abi) ... {'/i \u2014 a\u201c) + p^aliyi \u2014 \u00ab\u00a3)\u2022\u2022\u2022 [yt \u2014 02) + \u2022\u2022 -1 gg\nn r? C\t1 n rv+V\t\u201e'\u25a0+*>\tI '\t'\n= Oj \u2022 6, \u2014 L-i\u2014 1 \u2022 Ey+fi \u201cT 2 \u2022 \u00a3v-j.2/1 \u2014\t\u2014 \u00abr-Hf*\t)\nwo durch Ct, C,_i . .. Ui die symmetrischen Grundfunctionen yon yu y-2 \u25a0 \u2022 \u2022 Yi iu der Weise bezeichnet werden, dass\n(j/f \u2014 \u00ab)(y2 \u2014 a) ... (yf \u2014 a) = G \u2014 Cy-ia + C,-2a2 \u2014 \u2022 \u2022 \u2022 dz\nNun kann man die H\u00fclfsgr\u00f6\u00dfen yf, ya . .. yt dem Bereiche der reellen, positiven Zahlen so entnehmen, dass von den n Producten\nPx \u2022 \u00ab* (yi\u2018 \u2014 \u00ab*)\u2022\u2022\u2022 (Yi \u2014 \u00ab\u00d6 i y. = l, 2 ... n entweder keines positiv oder keines negativ wird. Dann wird, wenn nicht alle Producte gleich Null werden,\nri ,v\tri\tr+fi ,\t_i_\nLsj \u2022 cv\tOi\u2014i * Cp+jj, ~p * * * \u2014 tv+ifi\nentweder kleiner oder gr\u00f6\u00dfer als Null. Dies l\u00e4sst sich insbesondere dadurch erreichen, dass man y y, y% \u25a0 \u25a0 \u25a0 Yi aus der Reihe der W erthe , \u00ab2 . . . un mit R\u00fccksicht auf die Voraussetzung \u00ab1 < ct2 < . . . O ccn w\u00e4hlt.\nSetzt man zun\u00e4chst i = 1, so findet man\n\u2014 al) + P2a2{yi \u2014 \u00ab?)+\u2022\u2022\u2022+ Pnttniyi \u2014 an)\nf\u00fcr yy \u2014 an positiv und f\u00fcr yt \u2014 a y negativ. Es ist daher\n\u00abc. si - 4+\u00ee > 0 ;\t\u00ab!\t\u2022 - siv; < o,\t(36)\nworaus f\u00fcr jr == 1 die Ungleichungen (13) und (33) sich wiederum ergeben.\nF\u00fcr i= 2 fernei; wird\nPl (/l \u2014 \u00abl)(y2 \u2014 Ul*) + \u2022 \u25a0 \u2022 + Pnan{y\\ Ct'n){y2 Un) positiv, wenn y y = an, y2 = i oder wenn yt = at, y% \u2014 ct2, hingegen negativ, wenn y y = ctn, y 2 = cty. Es ist folglich\n\u00abit \u2022 ctn-\\ \u2022\tSy \u2014\t(ft\u00ab + a\u00ab-i) \u2022\tsvv%p +\t>\t0 ,\t|\nof \u2022 cc\u20182 \u2022\t6\u00ce -\t(of + of)\t\u2022\t+\t\u00abSS\t>\t0 ,\t(37)\nai \u2022 a((\t\u2022\tSy \u2014\t(ccy + ctn)\t\u2022\t\u00ab*+\u00a3 +\ter+2p\t<C\t0 \u25a0 J\n32*","page":485},{"file":"p0486.txt","language":"de","ocr_de":"486\nGotti. Friedr. Lipps.\nDementsprechend ist auch f\u00fcr i = 3, 4 . . . n\u20141 einerseits\nCt \u2022 erv -\nelZ+---\u00b1e:W> 0,\t(38a)\nwenn die Werthe y2 \u2022 \u2022 \u2022 in beliebiger Reihenfolge mit den\nv+\u00ab> \u25a0\nWerthen \u00ab, a.i\u2014t-j-3 , oti , u2 oder mit cf\u00bb, o:\u00bb\u2014^ . . . cy\u00bb\u2014\n\u00bb, \u00ab\u00bb_i . . . \u00df\u00bb_,+i oder mit den Werthen a\u201e,\n\u2022 \u00ab4 oder mit aB)\n\u00ab\u00bb-I . . . \u00abn-t+7, \u00abi . . . ae u. s. w. \u00fcbereinstimmen, und anderseits\nCi . \u00a3; - c^i \u2022 \u00abSS + \u2022 \u2022 \u2022 \u00b1 \u00ab3\u00ff < o, (38b)\nwenn die Werthe yu y2 \u25a0 \u25a0 \u25a0 7> den Werthen au \u00ab\u00bb_, ... aM_(.+J oder \u00ab1; \u00ab2, a3, an ... an_,'+4 oder a2 ... as, an .. . a\u00bb_,+6 oder a, ... a7, a\u00bb . . . a\u00bb_,+8 u. s. w. gleich gesetzt werden. Denn es besteht alsdann die linke Seite der Gleichung (35) im ersteren Falle aus wesentlich positiven Gliedern, da die nicht verschwindenden Pro-ducte aus positiven und einer geraden Anzahl negativer Factoren zusammengesetzt sind; im letzteren Falle dagegen aus wesentlich negativen Gliedern, da jedes nicht verschwindende Product aus positiven und einer ungeraden Anzahl negativer Factoren zusammengesetzt ist.\nSchlie\u00dflich ist f\u00fcr i \u2014 n\nCn \u00abJ - <7\u00bb_i\t+ C*-2 eltl;------------\u00b1 \u00ab\u00c4 = 0,\t(39)\nwenn die Werthe , y2 . . \u25a0 yn in beliebiger Folge den Werthen at, a2 . . . a\u00bb gleichgesetzt werden. Denn es werden alsdann s\u00e4mmt-liche Producte auf der linken Seite von (35) gleich Null.\nDie durch (34) definirte Reihe von Mittelwerthpotenzen el, eit; \u25a0\u25a0\u25a0 \u00ab\u00bb+\u2022> ist somit f\u00fcr i = 1, 2, 3 . . . n\u20141 mittelst der Ungleichungen (36), (37), (38) und f\u00fcr i \u2014 n mittelst der Gleichung (39) an die Gr\u00f6\u00dfenstufen at, a2 \u2022 \u2022 \u2022 gebunden.\nF\u00fcr v \u2014 0, u = 1 ergibt sich insbesondere, dass in der Reihe der Mittelwerthe e2 . .. e\u201e_i jeder Werth durch die vorhergehenden und die Gr\u00f6\u00dfenstufen a auf gewisse Bereiche eingeschr\u00e4nkt wird, w\u00e4hrend \u00ab\u00bb, en+l ... \u00a3_i, \u00ab_2 ... vollst\u00e4ndig durch et, e2 \u25a0 \u25a0 \u25a0 s\u00ab-1 und \u00ab!, \u00ab2 ... bestimmt ist. Beispielsweise m\u00f6gen die ganzen Zahlen von 4 bis 15 als Gr\u00f6\u00dfenstufen a angenommen und ihre H\u00e4ufigkeiten \u00ab durch die Vertheilungstafel1):\n1) Entnommen aus: \u00bbExperimentelle Beitr\u00e4ge d\u00e4chtnisses\u00ab von G. E. M\u00fcller und F. Schumann\nzur Untersuchung des Q&\n; Zeitschrift f\u00fcr Psychologie","page":486},{"file":"p0487.txt","language":"de","ocr_de":"Die Theorie der Collectivgegenst\u00e4nde.\n487\na\t4\t5\t6\t7\t8\t9\t10\t11\t12\t13\t14\t15\nz\t1\t12\t13\t16\t7\t4\t4\t4\t1\t0\t1\t1\nbestimmt werden. Die Berechnung des arithmetischen Mittels ergibt \u00abi \u2014 7,4. Auf Grund dieses Werthes liefern die Ungleichungen\n(37)\tdie Bestimmung 47 < \u00ab2 < 81. Die Berechnung f\u00fchrt zu \u00ab1=59,2; \u00a3, = 7,7. Mit Benutzung dieses Werthes gelangt man vermittelst\n(38)\tf\u00fcr i= 3 zu 460 < \u00a33 < 574. Die Berechnung l\u00e4sst 4 = 523,9; \u00a33 = 8,1 finden. Dieser Werth gestattet aus (38) f\u00fcr i = 4 die Ungleichung 4919 <ej< 6061 abzuleiten, w\u00e4hrend der berechnete Werth 4 = 5098; e4 = 8,4 ist; u. s. w.\n\u00a7 4. Die aus Potenzsummen gebildeten Mittelwerthe reeller, algebraischer Gr\u00f6\u00dfen.\nAn Stelle der absoluten Gr\u00f6\u00dfen a{, a2 ... an sollen nun algebraische Gr\u00f6\u00dfen au \u00ab, ... a\u201e, die positiv oder negativ oder theils positiv, theils negativ sein k\u00f6nnen, vorausgesetzt und auf den beliebigen, positiven oder negativen Ausgangswerth b bezogen werden. Es seien demgem\u00e4\u00df Abweichungen at \u2014 b, z2 Abweichungen \u00ab2 \u2014\tb,\t...\t%n Abweichungen an \u2014\tb gegeben, so dass\tm = zt +\n\u20141\u201c\t* *\t* \u20141\u2014\tj Px == ^1 * j P\u20181 \u2014\t\u2022 \u2022 \u2022 Pn \u2014 %n \u2022 Und mit\nR\u00fccksicht auf die algebraischen (nicht absoluten) Werthe % \u2014 b < \u00ab2 \u2014 b < \u2022 \u2022 \u2022 < an \u2014 b.\nBildet man nun die Summe\nel = Pi (<h \u2014 b)v + J>2 (\u00ab2 \u2014 &f + \u25a0 \u2022 ' + Pn(an \u2014 b)v,\t(40)\nso kann sv nur f\u00fcr positive, ganzzahlige v in jedem Falle -als Mittelwerth in Anspruch genommen werden. Denn f\u00fcr negative Werthe \u2014 v wird eZ\\ unendlich gro\u00df und mithin e_r = 0, wenn b mit einem der Werthe , a*2 ... an zusammenf\u00e4llt, so dass in diesem Falle von den Werthen pt, p2 . . . pn unabh\u00e4ngig und zur\nund Physiologie der Sinnesorgane; VI, 1894; S. 269. \u2014 Die Werthe a geben an, wie oft eine gegebene Silbenreihe durchlesen werden musste, um sie auswendig hersagen zu k\u00f6nnen. Die Anzahlen \u00bb bezeichnen die H\u00e4ufigkeiten der Beobach-tungswerthe a.","page":487},{"file":"p0488.txt","language":"de","ocr_de":"488\nGotti. Friedr. Lipps.\nBestimmung dieser Werthe nicht verwendbar ist. Es gibt femer f\u00fcr negative, ungeradzahlige Werthe \u2014 2v \u2014 1 stets solche zwischen at und an liegende Werthe b, f\u00fcr welche e~llz{ \u2014 0 und mithin \u00a3_2t_i unendlich gro\u00df wird. F\u00fcr positive Werthe 2v und 2v -p j hingegen liegt eiv stets zwischen dem kleinsten und dem gr\u00f6\u00dften der absoluten Betr\u00e4ge von a\u2014 b, a2 \u2014 b ... a\u201e \u2014 b und \u00ab2,+i zwischen % \u2014 b und an \u2014 b. Es wird somit durch e\u201e f\u00fcr jedes positive ganzzahlige v ein auf b als Ausgangswerth bezogener Mittelwerth dargestellt. Derselbe ist f\u00fcr ein ungerades v positiv oder negativ je nachdem die Summe (40) positiv oder negativ ist; f\u00fcr ein gerades v hingegen ergeben sich aus der, nunmehr stets positiven Summe (40) zwei entgegengesetzte Werthe \u00b1 ev, deren absoluter Betrag durch ev mit Beiseitelassen der Vorzeichen bezeichnet werden soll.\na. Die Mittelwerthe als Functionen des variablen Aus gangs werthe s.\nSetzt man f\u00fcr v = 1, 2, 3 . . .\ny\\ =p1(al \u2014 b \u2014 x)v + p2{a2 \u2014 b \u2014 x)r + \u2022\u2022\u2022 + pn{an \u2014 b \u2014 x)\\ (41) so ist yv der auf den Ausgangswerth b + x bezogene Mittelwerth v-ter Ordnung. Die Entwicklung nach Potenzen von x f\u00fchrt zu\nyl \u2014 ev\u2014 j \u2022 6^1} \u2018 x + (2) ' ^ \u25a0 x2 \u2014 \u25a0\u25a0\u25a0 \u00b1 x\\ (41a)\nso dass yy durch e,, e2 . . . ev und x v\u00f6llig bestimmt ist. Der Mittelwerth yv soll nun als Function von x betrachtet werden.\nUm den Functionsverlauf anschaulich vor Augen zu stellen, m\u00f6gen die Werthe yv als Ordinaten und die Werthe x als Abscissen eines rechtwinkeligen Coordinatensystems gedeutet werden. Dann repr\u00e4sentirt yv = <pv (x) eine algebraische Curve, die f\u00fcr ein ungerades v aus einem einzigen Zuge, f\u00fcr ein gerades v aus zwei zur Abscissen-axe symmetrischen Z\u00fcgen besteht.\nF\u00fcr v \u2014 1 erh\u00e4lt man die Gleichung der Geraden\nyi = \u00ab1 \u2014 x,\tl42)\nwelche die Abscissenaxe im Punkte x \u2014 el schneidet und mit der negativen Richtung der Abscissenaxe einen Winkel von 45\u00b0 bildet Die Ordinaten der symmetrisch verlaufenden Geraden, welche ^","page":488},{"file":"p0489.txt","language":"de","ocr_de":"Die Theorie der Collectivgegenst\u00e4nde.\n489\nder positiven Richtung der Abscissenaxe einen Winkel von 45\u00b0 bildet,\nm\u00f6gen durch\n\u00ff = x \u2014 \u00abt\nbezeichnet werden.\nR\u00fcr v = 2 ergibt sich\n(42 a)\ny\\ = \u00a32 \u2014 2siX X2 = ei \u2014 \u00a3'l + (% \u2014 *l)\noder, da e| \u2014 st (wie die Herleitungsweise der Ungleichung (14) in \u00a7 2 zeigt) durch die wesentlich positive Gr\u00f6\u00dfe\nC2 = PiPiicti \u2014\t+ P\\Pz (^1 \u2014 \u00ab3f + \u25a0 \u2022 \u2022 + Pn-\\Pn{an-1 an)\ndarstellbar ist,\nyl = c> + [x-ej.\t(43)\nDie Curve y2 = <p2{x) ist somit eine gleichseitige Hyperbel, deren reelle Axe im Punkte x = et auf der Abscissenaxe senkrecht steht, und deren Asymptoten die beiden Geraden\n= gj \u2014 x und y' = x \u2014 ei\nsind. F\u00fcr x = sx erreicht der absolute Werth von y2 mit dem Betrage c sein Minimum.\nErsetzt man in (41) f\u00fcr i \u2014 1, 2 ... n\n(ai \u2014 b \u2014 x)v durch {(\u00ab< \u2014 b \u2014 %) + (\u00abi \u2014 x)f und entwickelt man nach Potenzen von \u00abi \u2014 x, so gelangt man zu\nV \u201e\t/ V \\ v-\\\tlv\\ v-2 2\ny, \u2014 Sv \u2014 I p 1 e\u00bb-i \u00abl + I 2 I e\u00bb-2 \u00a3l-------\n+ (p)(\u00a3i \u2014 *){\u00a3\u00ef-i \u2014 (^ p 1)\u00a3v-2\u00a3i + f 2 )e\"-\u00e4\u00a3i\n+ (;)(6l-*r2 {*!-*?}\n+ (\u00abi \u2014 \u00e6)v.\nF\u00fcr einen hinreichend gro\u00dfen absoluten Betrag von % \u2014 x darf man demnach\nyl = {ex-x)v{lH- (g)\n2\t2\n\u00c62 \u2014 Ei (\u00ae1 \u2014 X)\nsetzen. Geht man jetzt zu den Wurzelwerthen \u00fcber, so ist, wenn die geradzahligen Indices 2v von den ungeradzahligen 2v 1 getrennt werden,","page":489},{"file":"p0490.txt","language":"de","ocr_de":"490\nGotti. Friedr. Lipps.\ny-iv-i = (\u00ab1 \u2014 x) l +\n2v \u2014 2\t\u00a32 \u2014 \u00ab1\ny2v = \u00b1 (\u00ab1 \u2014 x) jl +\n2 (ei \u2014 xf 2v \u2014 1\t\u00a32 \u2014\n(45)\n(\u00ab1 \u2014 x)\nDemzufolge n\u00e4hern sich die Werthe von y2r-\\ dem Betrage \u00a3l __ und die Werthe von y2v den beiden Betr\u00e4gen dt (\u00a3t \u2014 x), wenn x dem absoluten Betrage nach in positiver oder negativer Richtung unbegrenzt w\u00e4chst. Die Curven y%-\\ = cp2v-\\[x) schmiegen sich daher der Geraden y^ = e\\\u2014x und die Curven y2y = ^2,{x) den beiden Geraden v/x = ex \u2014 x und \u00ff = x \u2014 \u00a3t asymp. totisch an.\nDifferentiirt man (41) nach x, so resultirt\nEs ist daher\nV\u25a0\nv \u2022 yv\ni\ndyv\ndx\nV\u2014 v \u25a0 Vv-\nl\nl \u2022\n(46)\nDa nun f\u00fcr ungerade Indices 2v \u2014 1 der Differentialquotient\ndy-2v-i _ _ / yiv-2 \\2v~2\ndx\t\\ \u00ab/2v-l /\nstets negativ ist, weil die (2 p \u2014 2)te Potenz einer reellen Gr\u00f6\u00dfe stets einen positiven Werth hat, so nimmt y2v~i st\u00e4ndig ab, wenn x die Werthe von \u2014 oo bis + oo durchl\u00e4uft; y2v~\\ erh\u00e4lt daher jeden reellen Werth, also auch den Werth Null, nur einmal; d. h. die Curve y2v-\\ schneidet die Ahscissenaxe und jede zu derselben parallele Gerade nur in einem Punkte. Im Schnittpunkte mit der Ahscissenaxe wird der Differentialquotient unendlich gro\u00df, so dass die Tangente senkrecht auf der Ahscissenaxe steht. Zugleich tritt die Curve von der einen Seite der Tangente auf die andere; der Ber\u00fchrungspunkt ist daher ein Inflexionspunkt. \u2014 Da ferner f\u00fcr gerade Indices 2v\ndy-iv _ _ / yiv-i l2*\"1 dx\t\\ y2v J \u2019\nso bleibt f\u00fcr positive y2v der Differentialquotient negativ, so lan#6 y2>-i positiv ist, und er wird positiv f\u00fcr negative Werthe von y\u00bb-1'","page":490},{"file":"p0491.txt","language":"de","ocr_de":"Die Theorie der Collectivgegenst\u00e4nde.\n491\nUmgekehrt ist es f\u00fcr die negativen 2/2v. Die beiden symmetrisch zur Abscissenaxe verlaufenden Zweige der Curve ?/2v = cplv (x) n\u00e4hern sich daher, wenn x von \u2014 oo bis zu + oo anw\u00e4chst, zun\u00e4chst der Abscissenaxe st\u00e4ndig, bis sie f\u00fcr den Nullpunkt der Curve \u00ab/2v-i den kleinsten Abstand mit einem bestimmten endlichen Werthe erreichen, um sodann sich wieder in \u00e4hnlicher Weise von der Abscissenaxe zu entfernen. Die Curve \u00ee/2v bleibt daher der Abscissenaxe fern und schneidet nur diejenigen Parallelen zur Abscissenaxe, deren Abst\u00e4nde von der letzteren dem absoluten Werthe nach das Minimum der absoluten Betr\u00e4ge von 2/2v \u00fcbersteigen, in je zwei Punkten.\nWird wie \u00fcblich der absolute Betrag einer algebraischen Gr\u00f6\u00dfe a durch \\a\\ bezeichnet und\n4\u2014Pi \u25a0 1%\u2014b\u2014x\\v+p2 \u25a0 \\a2-b\u2014x\\v+- \u25a0 -+pn - \\an \u2014 b\u2014x\\ (47) gesetzt, so ist f\u00fcr jeden endlichen Werth von x [nach (19), \u00a7 2]\nZl<%2<%3< \u2022 \u2022 * \u2022\nEs ist nun \u2014 wie aus der Definitionsgleichung (41) unmittelbar folgt \u2014 f\u00fcr jeden Werth von x\n= y-2v \u2022\nEs ist ferner mit R\u00fccksicht darauf, dass ax \u2014 b \u2014 x<^a2 \u2014 b -x<^ - \u25a0 \u25a0 <ian \u2014 b \u2014 x:\n%2v\u2014i \u2014 y-iv-i, wenn x <[ a{ \u2014 b\\\n\u2014\t~2,-i < y-iv-i < -2v-i, wenn ax \u2014 &<*<\u00ab\u201e \u2014 b\\\n\u2014\t%2r-i = &2r\u2014i, wenn x a\u201e \u2014 b.\nDemzufolge erf\u00fcllen die Werthe von yv folgende Bedingungen: erstens, wenn x < ay \u2014 b:\n-----Vi< \u2014 2/2<0<2/i <-+-z/a<2/3<-h2/4-C \u2022 - - ,\nzweitens, wenn aY \u2014 b<C^x <an \u2014 b:\n\u2022 \u2022 \u2022 Vi <C \u2014 y 2 <C o <+Vi <C+Vi < \u2022 \u2022 \u2022\n\u2014 z/2v< \u2014^2v-i<\u00bb/2v-i<-2v-i< + z/2v und somit \u2014 Z/2r<Z/2v-l< + \u00ab/2v f\u00fcr v = l, 2, 3 \u2022 \u2022 \u2022, drittens, wenn x)>a\u201e\u2014 b:\n\u2014\t2/4 < 2/3 < \u2014 2/2 < 2/1 < 0 < H- 2/2 < -+- 2/4 < \u25a0 \u2022 \u2022","page":491},{"file":"p0492.txt","language":"de","ocr_de":"492\nGotti. Friedr. Lipps.\nHieraus erhellt, dass einerseits f\u00fcr jeden Werth von x:\n\u2014 Dir \u2014 yiv-u <C 0 <C + y-iv-n O + yiv ; A \u2014 1, 2 \u2022.. v \u2014 i\n\u2014 y%\\\ty2\\\u20142^+1\t+ y2v ; A = l, 2 \u2022 \u2022 anderseits, wenn x <( av \u2014 b :\t\u2022 V\t} (48)\ny-iv-i Z> + y-iv-22 O 0 o \u2014 yiv-2x\t; A \u20141, 2 \u2022\t\u2022 \u2022 v \u2014 11\n*/2r-l O y2v-2X+l i A = 2 , 3 \u2022 \u2022 \u2022\tV\tf (49)\nund wenn x )> an \u2014 b :\t\t\ny-iv-i < \u2014 yiv-2i < 0\t+ y2v-2x\t; A = 1, 2 \u2022\t\u2022 \u2022v\u20141]\ny-iv-i<Zy2v-2x+\\; A = 2, 3 \u2022 \u2022 \u2022\tV\tf (50)\nDemnach wird auf Grund von (48) eine Curve y2v \u2014 cpiv{x) mit gerader Ordnungszahl von keiner Curve mit niedrigerer Ordnungszahl geschnitten; w\u00e4hrend aus (49) und (50) mit R\u00fccksicht auf die Stetigkeit des Curvenverlaufs gefolgert werden muss, dass eine Curve yh_, = cp2r-\\[x) mit ungerader Ordnungszahl von jeder Curve mit niedrigerer und ungerader Ordnungszahl und ebenso von jedem Zweig der Curven mit niedrigerer und gerader Ordnungszahl in mindestens einem Punkte, dessen Abscisse zwischen % \u2014 b und an \u2014 b liegt, geschnitten wird.\nEs ist somit jedenfalls je ein Werth x vorhanden, f\u00fcr den\ny-lv-l = + y2v-2X\u2018i ?/2v-l = \u2014 y2r-2X, WO A = 1, 2 \u25a0 \u25a0 \u2022 V \u2014 l\\ y%v-i = y2v-u+i; wo 2 = 2, 3 v.\nUnd da auch ein Werth x vorhanden ist, f\u00fcr den y2v\u2014i = \u2014 yiv-u+i (da die Werthe y2v-i zuerst positiv und dann negativ und die Werthe \u2014 2/2v\u20142z+i zuerst negativ und dann positiv sind, wenn x von \u2014 <x> bis + oo w\u00e4chst), so kann man sagen, dass jedenfalls je ein Werth x existirt, f\u00fcr den\ny~iv\u2014i== \u201d|\u2014 yiv\u2014i\u2014x und y2v-i = \u2014 y2v-i-x, WO 1=1, 2-\u2022 -2v-2. Dann ist auch f\u00fcr die n\u00e4mlichen Werthe von x\nyll-1 = + yll-l-x und yll-\\ \u2014 \u2014 yll\u2014i-x oder yl-\\ - yl-\\-x = 0; yl:\\ + ylz\u00ee_, = 0 .\ndylz\\\ndx\n= -{2v- l)yllZl,\n= -(2v-\n1)Z/2Z\u20141\u2014P.\n2v-2-*\ny-lv\u20142-X\n1\nDa aber","page":492},{"file":"p0493.txt","language":"de","ocr_de":"Die Theorie der Collectivgegenst\u00e4nde.\n493\nso ist\nUnd dieser Differentialquotient ist in jedem Falle stets negativ. Denn \u00ee/2\u00bb-2 ist positiv und nach (48) gr\u00f6\u00dfer als der absolute Betrag jedes \u00ff-Werthes mit niedrigerer Ordnungszahl. Es ist daher auch, je nachdem l \u2014 l oder X \u2014 2, 3 \u2022 \u2022 \u2022 2v \u2014 2\n(52)\nnimmt folglich best\u00e4ndig ah und erreicht einen bestimmten Werth, also auch den Werth Null, nur einmal. Es gibt demgem\u00e4\u00df nur je einen Werth x, f\u00fcr den einestheils\nyh-1 = + yll-i-i und somit y2v-i = + 2/2v\u2014i\u2014a\nund anderntheils\nyll-l \u2014 \u2014 yll-1-x und somit y2v-i \u2014 \u2014 y%v-\\-i \u25a0\nDie Curve y2t-\\ \u2014 g>2V-\\ (x) schneidet daher jede Curve mit niedrigerer und ungerader Ordnungszahl und jeden Zweig der Curven mit niedrigerer und gerader Ordnungszahl in nur einem Punkte.\nDie beiden Ourven yr \u2014 cpv[x) und 2/\u201e = cp^x) haben demgem\u00e4\u00df keinen reellen, im Endlichen liegenden Schnittpunkt, wenn die gr\u00f6\u00dfere der beiden Ordnungszahlen gerade ist; sie haben einen und nur einen derartigen Schnitt-Punkt, wenn beide Ordnungszahlen ungerade sind; sie kaben zwei solche Schnittpunkte, den einen im Gebiete der positiven, den anderen im Gebiete der negativen Or-dinaten, wenn die gr\u00f6\u00dfere der beiden Ordnungszahlen ungerade, die kleinere gerade ist.","page":493},{"file":"p0494.txt","language":"de","ocr_de":"494\nGotti. Friedr. Lipps.\nIn .Fig. 1 wird der Verlauf der Curven yv \u2014 cpv(x) f\u00fcr v __\n2, 3, 4, 5 vor Augen gestellt. Dabei wurde die am Schluss'\"*\u2019 \u00a7 3 mitgetheilte Vertheilungstafel zu Grunde gelegt. Die Ourven werd^ somit, wenn der Ooordinatenanfangspunkt in den arithmetischen Mittel werth 7,36 der Vertheilungstafel verlegt wird, durch die Mittelwerth n % = 0; s! = 5,04; el = 14,0; 4 = 114 ; 4 - 670 und mithin durch die Gleichungen\nyi = \u2014 x\\ \u00ab/' = *;\nyl = 5,04 \u2014 *2;\nyl = 14,0 \u2014 15,1 x \u2014 x3;\ny\\ = 114 - 56,0* + 30,2 *2 + *4;\nyl = 670 - 570* + 140*2 - 50,4*3 - *5\nbestimmt.\nb. Das arithmetische Mittel als Ausgangswerth.\nAus diesen Angaben \u00fcber den Verlauf der Mittelwerthe erhell dass als Ausgangswerthe insbesondere solche Werth e in Betracht\n1) Siehe V; \u00a7 1; d; erstes Beispiel.","page":494},{"file":"p0495.txt","language":"de","ocr_de":"Die Theorie der Collectivgegenst\u00e4nde.\n495\nziehen sind, f\u00fcr welche der Mittelwerth von der [2v \u2014 l)-ten Ordnung einem Mittelwerthe niedrigerer Ordnung gleich oder selbst gleich Null wird. Unter denselben ist das arithmetische Mittel der gegebenen Wer the\nb\t+ P2a2 + \u2022 \u2022 \u2022 + pnan,\t(53)\nf\u00fcr welches ^ = 0 wird, durch die Einfachheit seiner Bestimmungsweise ausgezeichnet, so dass es schon aus diesem Grunde als bevorzugter Ausgangswerth zu gelten hat. Es besitzt aber \u00fcberdies eine bemerkenswerthe Eigenschaft, zu deren Erkenntniss ich in folgender Weise gelange.\nAuf Grund von (41a) ist\nyi = *i \u2014 x\nyi = \u00ab1 \u2014 2 x + x1\nyl = e 3 \u2014 3\u00ab2u: + 3 eya? \u2014 a?\nHieraus folgt, dass\n2 2 2 2 y-2 \u2014 y\\ \u2014 \u00ab2 \u2014 \u00abi\nyi \u2014 3 y\\ \u25a0 y ! + 2?/i = \u00ab3 \u2014 3 62 \u2022 Ci + 2e\\\nund allgemein f\u00fcr v = 2, 3, 4 \u2022 \u2022 \u25a0\n\nV\\ v-2\t2\n* y y\u20142 * 2/i \u25a0\n\nV V\\ ,_1\ttv\\ r\u20142 2\nv \u2014 LI 1 \u25a0\t+ ! 21 '\u00a3'\u20142 \u2019\u00a3l\u2014\n(2) \u25a0 2/22/\u00ce 2=f{v\u2014l)-y\\\nQ-ehr^(v-l).el\nEs ist somit die auf der linken Seite von (54) stehende, aus yx,\tyv\ngebildete Function vom Ausgangswerthe unabh\u00e4ngig. Dies findet Dian durch Differentiation nach der Yariabeln x best\u00e4tigt, indem sich so die Identit\u00e4t 0 = 0 ergibt.\nW\u00e4hlt man nun das arithmetische Mittel (53) als Ausgangswerth b, so wird c| gleich Null und man erh\u00e4lt\n= yl \u2014\t\u2022 yl-\u00ee \u25a0 2/1 + \u2022 \u2022 \u2022 \u00b1 (g) * 2/2 \u2022 2/\u00cf 2 =p {v \u2014 1) \u2022 y\\ \u25a0 (55)\ndemnach stellen die auf das arithmetische Mittel als Aus-gangswerth bezogenen Mittelwerthe unmittelbar die in-","page":495},{"file":"p0496.txt","language":"de","ocr_de":"496\nGotti. I\u2019riedr. Lipps.\nVarianten (vom Ausgangswerthe unabh\u00e4ngigen) Werthe (54) dar.\nDiese Eigenschaft sichert dem arithmetischen Mittel, auch -wenn man von der Leichtigkeit seiner Bestimmung absieht, aus rein theoretischen Gesichtspunkten den Vorzug vor jedem anderen Ausgangswerthe. Es empfiehlt sich darum, bei Anwendung der im II. Oapitel (\u00a7 3) entwickelten Methode zur Bestimmung eines aus Gr\u00f6\u00dfen a, z2 Gr\u00f6\u00dfen a2 . . ., zn Gr\u00f6\u00dfen an bestehenden O. G. die auf das arithmetische Mittel dieser Gr\u00f6\u00dfen bezogenen Mittelwerthe zu benutzen. Die so bedingte Wahl des Ausgangswerthes stimmt mit der in der Eehlertheorie \u00fcblichen \u00fcberein; sie ist aber von dem Vertheilungsgesetze des 0. G. und insbesondere von der Hypothese, dass fin arithmetischen Mittel der theoretisch wahrscheinlichste Werth sich darbiete (vergl. H; \u00a7 4; a), unabh\u00e4ngig.\nc. Symmetrie und Asymmetrie in ihrem Zusammenhang mit, den Mittelwerthen ungerader Ordnung.\nSind von den n Abweichungswerthen ax \u2014 b, a2 \u2014 b...an \u2014 b l hinsichtlich der absoluten Betr\u00e4ge dl, d2 ... dx verschieden und benutzt man die letzteren zur Darstellung der Mittelwerthe, so erh\u00e4lt man f\u00fcr v = 1, 2, 3 . . .\ne\u00ef~\\ = x!.\t+ x2 \u2022 df1 + \u2014h x, \u2022 d2rl\n= V\\ \u2022 $ + Vi \u2022 d2v + \u25a0 \u2022 \u2022 + y>. \u2022 di ,\nwo (f\u00fcr * = 1, 2 ... X) Xi gleich der Differenz und ?y, gleich der Summe der beiden, auf Grund von (40) zu + dt und \u2014 di geh\u00f6renden p -Werthe ist.\nDer Werth xt kann positiv oder negativ oder gleich Null sein. Er ist gleich Null, wenn die Abweichungen + dt und \u2014 d, mit dem n\u00e4mlichen jj-Werthe behaftet sind. Es ist daher, wenn alle Werthe x1; x2 ... Xi gleich Null sind, das System der gegebenen Gr\u00f6\u00dfen symmetrisch. Dann ist jeder Mittelwerth ungerader Ordnung gleich Null, und der Ausgangswerth b ist, da insbesondere = 0, zugleie*1 das arithmetische Mittel. Sind anderseits die X Mittelwerthe un gerader Ordnung\t. . . \u00ab2Z-1 gleich Null, so ist das System\ngegebenen Gr\u00f6\u00dfen symmetrisch. Denn die X Gleichungen","page":496},{"file":"p0497.txt","language":"de","ocr_de":"Die Theorie der Collectivgegenst\u00e4nde.\t497\n\u00a3,=*!\u2022 dx\t+ x2 \u25a0 d2\t+ \u2022\t\u25a0 -\\-Xx \u25a0 dx\t\n3\tj3 \u20ac3 \t Xy \u2022 dl\tx2 \u25a0 d2\t+ \u2022\t\u2022 \u2022 + Xx \u25a0 d\\\t.\t(57)\n22\u20141 \u201e ,22-*22\u20141 = Xx \u25a0 di\t-1\t.\tJll- + ^2 * m-2\t-1 + -\t\u25a0 + XX- df-1\t\nk\u00f6nnen f\u00fcr = e3 = . . . = \u00a32;.-i = 0 nur dann bestehen, wenn Xi = x2 \u2014 \u25a0 \u25a0 \u25a0 = xx = 0.\nBin System von % G-r\u00f6\u00dfen au %2 Gr\u00f6\u00dfen a2, \u2022 \u25a0 % Gr\u00f6\u00dfen ist daher symmetrisch, wenn die l auf das arithmetische Mittel als Ausgangswerth bezogenenMittelwerthe ungerader Ordnung et, \u00ab3 . . . i gleich Null sind, wo l die Anzahl der von einander verschiedenen absoluten Betr\u00e4ge der Ab-weichungswerthe angiht.\nEin durch v Mittelwerthe ex, \u00a32 . . . ev charakterisirtes Gr\u00f6\u00dfensystem ist demzufolge bei verschwindenden Mittelwerthen ungerader Ordnung nur dann nothwendig symmetrisch, wenn die Anzahl der Mittelwerthe ungerader Ordnung nicht kleiner als die Anzahl der verschiedenen absoluten Betr\u00e4ge der Ahweichungswerthe ist.\nSind nicht alle Werthe x,,\t... Xx gleich Null, so ist das\ngegebene Gr\u00f6\u00dfensystem asymmetrisch. Es ist dann zwar stets = 0, da das arithmetische Mittel als Ausgangswerth dienen soll; es sind aber jedenfalls nicht alle Mittelwerthe es . . . s2;._i gleich Null. Dieselben k\u00f6nnen \u00fcbrigens positive und negative Werthe in beliebiger Folge aufweisen. Ersetzt man n\u00e4mlich in (57) st, \u00a33, ...s22Zj durch die willk\u00fcrlich gew\u00e4hlten, reellen Werthe e,, e3, . . . exx-i, so kann stets ein System reeller Werthe xt, x2 ... xx aus den Gleichungen berechnet werden. Weist man nun auf Grund derselben den Abweichungen -j- dlt \u2014 dx ; -j- d2, \u2014 d2 ; . . . + dx, \u2014 dx bestimmte p-Werthe zu, so wird allerdings die Summe der letzteren im allgemeinen nicht gleich 1 sein. Es l\u00e4sst sich aber stets ein Factor a angeben, so dass die aus axY, ax2 . . . axx abgeleiteten p-Werthe nk Summe 1 haben. Folglich gibt es stets ein System von Ab-Weichungswerthen mit den absoluten Betr\u00e4gen dx, d2 ... dx, deren Mittelwerthe durch\n3\t22-1\nfij = (7 .\t;\t\u00a33 = ff . e3 ;\t...\t= a \u25a0 e22-i\nbestimmt werden. Es k\u00f6nnen daher auch die auf das arithmetische Mittel als Ausgangswerth bezogenen Mittelwerthe e3, \u00a35, ... e2x-i","page":497},{"file":"p0498.txt","language":"de","ocr_de":"498\nGotti. Friedr. Lipps.\nunabh\u00e4ngig von einander positiv oder negativ oder auch \u201e1 \u2022 Null sein.\t8\u00dflch\nDie Asymmetrie eines auf das arithmetische Mittel al. Ausgangswerth bezogenen Gr\u00f6\u00dfensystems, das l dem ab soluten Werthe nach verschiedene Abweichungswerthe auf weist, wird somit vollst\u00e4ndig durch die Mittelwerthe \u00a3 \u00a35 . . . \u20ac%%\u20141 bestimmt und kann so vielgestaltig sein, wie die Reihe dieser Werthe.\nNeben den Mittelwerthen ungerader Ordnung k\u00f6nnen auch die Werthe\ne2V \u2014 Xy \u2022\t-f- x2 \u25a0 c\u00df? + \u2022 \u25a0 \u2022 + Xi \u2022 da ; v \u2014 0, 1, 2 \u2022 . .\nals Kennzeichen f\u00fcr Symmetrie und Asymmetrie verwendet werden Sie sind der Differenz aus den beiden Summen der 2r-ten Potenzen der positiven und der negativen Abweichungen vom arithmetischen Mittel proportional. Insbesondere ist\ne0 \u2014 Xy + #2 \u25a0+\u25a0 \u2022 \u2022 \u2022 + Xi\ngleich dem Unterschied zwischen den Anzahlen der positiven und der negativen Abweichungen, dividirt durch ihre Gesammtzahl.\nDen Werth e0 legt Rechner der Beurtheilung der Asymmetrie zu Grunde. Pearson hingegen benutzt einen von den Momenten p2 j Pa, p4 oder den Mittelwerthen zweiter, dritter und vierter Ordnung abh\u00e4ngigen und hinsichtlich des Vorzeichens mit dem Mittelwerthe dritter Ordnung \u00fcbereinstimmenden Factor als Ma\u00dfstab der Asymmetrie. Eine solche auf nur einen, positiver und negativer Schwankungen f\u00e4higen Zahlenwerth gest\u00fctzte Auffassung der Asymmetrie ist aber offenbar zu eng; und wenn man auch nicht die zur vollst\u00e4ndigen Bestimmung der Asymmetrie und zweifelsfreien Sicherstellung der Symmetrie nothwendige Reihe von Mittelwerthen ungerader Ordnung oder von Werthen e0, e2, e4 . . . bis zum letzten Gliede berechnen wird, so wird man doch neben dem Mittelwerthe dritter Ordnung auch diejenigen von h\u00f6herer ungerader Ordnung, soweit man sie kennen lernt, und, falls man \u00fcberhaupt die Werthe e-2v in Rechnung zieht, neben dem Werthe e0 auch e2, e4 201 Oharakterisirung der Asymmetrie benutzen. Es wird so zugleich der Irrthum vermieden, als m\u00fcsste die Asymmetrie ihrem Wesen nau eine ausgesprochen positive oder negative Richtung besitzen.","page":498},{"file":"p0499.txt","language":"de","ocr_de":"Die Theorie der Collectivgegenst\u00e4nde.\n499\nd. Allgemein g\u00fcltige Beziehungen zwischen den Mittelwerthen.\nJede Beziehung zwischen Mittelwerthen besteht entweder zwischen Mittelwerthen ungerader Ordnung oder zwischen Mittelwerthen gerader Ordnung oder zwischen Mittelwerthen gerader und ungerader Ordnung.\nF\u00fcr die Mittelwerthe ungerader Ordnung e1; e3, \u00a35 ... gibt es keine von den Gr\u00f6\u00dfenstufen unabh\u00e4ngige, allgemein g\u00fcltige Beziehungen. Denn es lassen sich, wie soeben bemerkt wurde, stets Gr\u00f6\u00dfensysteme mit dem absoluten Werthe nach bestimmten Ab-weichungswerthen aufstellen, f\u00fcr welche die Mittelwerthpotenzen e1( \u00a3|, 4 . . . den beliebig gew\u00e4hlten reellen Zahlen ex, e3, e5 ... proportional sind.\nAuf die Mittelwerthe gerader Ordnung e2, \u00ab4> ee \u2022 \u2022 \u2022 hingegen sind alle Beziehungen \u00fcbertragbar, die f\u00fcr die Mittelwerthe reeller absoluter Gr\u00f6\u00dfen abgeleitet werden k\u00f6nnen. Setzt man n\u00e4mlich\n(ah \u2014 b)2 = \u00ab1 ;\t(\u00ab2 \u2014 b)2 = \u00ab2 i \u2022 \u2022 \u2022 (an b)2 = ccn,\nso sind ax, cc2 ... ccn reell und positiv und es ist\nPl (a, - bfv -1------1- pn(a\u00bb \u2014 bfr \u2014 pi \u00abi 4------b P\u00bb\u00abn-\nMan erh\u00e4lt daher aus jeder Bclation zwischen den Mittelwerthen absoluter Gr\u00f6\u00dfen au a2 ... an eine solche f\u00fcr die auf den Ausgangswerth b bezogenen Mittelwerthe der algebraischen Gr\u00f6\u00dfen au a2 ... an von gerader Ordnungszahl, wenn ax, cc2 ... ccn durch (\u00aei\tb)2,\n[a2 \u2014 b)2, ... [a\u201e \u2014 b)2 ersetzt und die Mittelwerthe r-ter Ordnung als Mittelwerthe 2v-ter Ordnung auf gefasst werden.\nF\u00fcr die Mittelwerthe gerader und ungerader Ordnung e,, \u00ab2> \u00ab3 ... gelten ferner in gleicher W eise wie f\u00fcr die Mittelwerthe der absoluten Gr\u00f6\u00dfen au a2 ... \u00ab\u201e diejenigen Ungleichungen, hei deren Begr\u00fcndung nur gerade Potenzen der u oder von Functionen der \u00ab in Betracht kommen, so dass die Beziehungen erhalten bleiben, wenn die absoluten Gr\u00f6\u00dfen durch algebraische ersetzt werden.\nEin anderer Weg zur Ableitung solcher Beziehungen er\u00f6ffnet sich in der Aufstellung von Gleichungen, deren Coefficienten Functionen der Mittelwerthe e2, \u00ab3 . . . sind, wenn man die Anzahlen der reellen Wurzeln kennt. Wird n\u00e4mlich yv in der Form (41a)\nWundt, Philos. Studien. XVII.\t33","page":499},{"file":"p0500.txt","language":"de","ocr_de":"500\nGotti. Friedr. Lipps.\noder (44) vorausgesetzt, so lehrt die Untersuchung der Mittel als Functionen des variablen Ausgangswerthes (\u00a7 4, a), dass 6 6\nyl = o,\nals Gleichung f\u00fcr x betrachtet, keine oder nur eine reelle Wurz\nhat, je nachdem v gerade oder ungerade ist; dass ferner die Gleich * \u00a7\nunR\nyV1\nyr\nkeine oder nur eine reelle, endliche Wurzel oder deren zwei besitzt je nachdem die gr\u00f6\u00dfere der beiden ganzen Zahlen y und v gerade oder jede ungerade oder die gr\u00f6\u00dfere ungerade, die kleinere gerade ist. Ueberdies haben, wie ohne weiteres erhellt, die Gleichungen\ny:Z = \u00b1y;-y;-, y#&l = \u00b1y:...\nkeine oder nur eine reelle, endliche Wurzel, je nachdem u + v (i + v + k, ... gerade oder ungerade ist. \u2014 F\u00fcr die Mittelwerthe \u00ab2 und \u00abi ergibt sich so die Ungleichung \u00ab!>\u00ab?; denn auf Grund derselben hat weder die Gleichung y\\ = 0, noch die Gleichung yi\u2014 \u2014 y\\ eine reelle L\u00f6sung. Die Mittelwerthe \u00ab3, e2, \u00a3j hingegen zeigen sich an keine besondere Bedingung gebunden, da die Gleichungen y\\ = 0 ; yl = \u00b1y\\ ; y\\ = \u00b1 Vl . y\\ blo\u00df eine reelle Wurzel haben, wenn \u00abi, und da die Gleichung y\\ = y\\ wegen der Beschaffenheit der Ooefficienten von vorn herein zwei reelle und zwei complexe Wurzeln hat. F\u00fcr die Mittelwerthe \u00ab4, es, e2, \u00abj findet sich ferner die Bedingung\n(\u00a33 \u2014 3e2 \u00abi + 2elf O (e2 \u2014 t'f) (4 \u2014 4et \u2014J- 6elei \u2014 3ef) \u2014 (e2 \u2014 \u00abi)3> oder\nSie ist nothwendig, damit von den beiden Wurzeln der Gleichung y\\ \u2014 y\\, und hinreichend, damit von den Wurzeln der Gleichungen 2/4 = 0; y\\ = \u00b1 yf-, yi = \u00b1y1-yl; y\\=\u00b1y\\.y\\] yt = \" V* keine reell sei. Sie gen\u00fcgt zugleich, um den Gleichungen yl = yi> 2/5 = 2/1 ' 2/21 2/5 = 2/1 \u25a0 2/3; 2/i = 2/1 - yl\\ yl \u2014 yl \u25a0 yl eine und nur eine reelle Wurzel zu sichern, so dass aus diesen Gleichungen keine besondere Bedingung f\u00fcr die Mittelwerthe ersten bis f\u00fcnften Grades resultirt.","page":500},{"file":"p0501.txt","language":"de","ocr_de":"Die Theorie der Collectivgegenst\u00e4nde.\n501\nZu allgemeineren Bedingungen f\u00fchren jedoch die, in \u00a7 2 und \u00a7 3 f\u00fcr die Mittelwerthe absoluter Gr\u00f6\u00dfen angegebenen Beziehungen. \"Werden dieselben in der soeben angegebenen Weise auf die Mittelwerthe algebraischer Gr\u00f6\u00dfen \u00fcbertragen, so erh\u00e4lt man zun\u00e4chst auf Grund der Ableitung der Formeln (16), (19), (21), (22), (23) den Satz:\nSind \u00abu e2> \u00ab3 \u2022 \u2022 \u2022 die auf den Ausgangswerth b bezogenen Mittelwerthe der Gr\u00f6\u00dfen au z2 Gr\u00f6\u00dfen \u00ab2, ,. . %n Gr\u00f6\u00dfen an, so ist:\n0 <C \u00ab2 <C \u00ab4\t*6 <C \u2022 \u2022 \u2022\n\u00ab*<4; *3<4; 4<eh ...\noder f\u00fcr v = 1, 2, 3 . . . Es ist ferner:\n2 2\n\u00ab2v\t\u00ab2r+2 )\t\u00ab2r\u20141\t\u00ab2v \u2022\n2\t4-^6\t4\t\u201e6\t\u201e10.\n\u00ab2 \u2022 \u00ab4\t\u00ab3 j\t\u00ab4 ' \u00ab6\t\u00ab5 )\n2\t4\t6\n\u00a32 ^ \u00ab4\t^\t\u00a36\t^\n1\t2\t^\t4\t^\t'\n1\t\u00ab2\t\u00a34\n(58)\n(59 a)\nund allgemein f\u00fcr 1 = 1, 2, 3 ... ; ft = 1, 2, 3 ... ; v \u2014 0, 1, 2 ...\nfi \u2014 1:\n2Jl U+2fi \\\t22+fi-r n+fi+r\t,KQ\\\n\u00ab22 \u2022 \u00ab22+2\u00ceI > \u00ab2X+fi-v \u25a0 \u00ab22+fi+v \u2022\nWeiterhin besteht f\u00fcr ft = 1, 2,3...; v = 1, 2, 3 . . . die Ungleichung\n(\u00ab\u00fc - 4') \u25a0 \u00ab - <:\u2022) > (\u00c6 - \u00ab; \u2022 \u00ab:)\\ m\nso dass f\u00fcr die nach H, \u00a7 3 berechneten mittleren Fehler Mf, und Mv, die bei der Bestimmung von und e'r zu bef\u00fcrchten sind, die Bedingung\nMf, \u25a0 Mr >\nU+V\tfl A\nSfiJrv\t&fi *\nm\n(60a)\nresultirt.\nAu\u00dferdem gelten als Folge von (24), (25), (26) die Ungleichungen:\nme 2\n4<\nm \u2014 1 und f\u00fcr v = 1, 2, 3\nV\nm 64\n\u00ab8\nm \u2014 1\n<\n1 fmef \u2014 \u00ab\nm \u2014 1\n12\n\u00ab12\n<\n4v\nm B2r\n4v\u20144\t\u25a0\u00bb. t\nm \u00ab2y_2 \u2014 \u00ab4\u00bb\u20144\n4v\t4v+4\t4r+4\n\u00ab4r\t\u00ab2r+2\t\u2014\t\u00ab4r+4\n4^\u20144\t4v\tT\u00efv \u2019\nm \u00ab2v\t\u2014\t\u00ab4\u00bb\n(61)\n(62)\n33*","page":501},{"file":"p0502.txt","language":"de","ocr_de":"502\nGotti. Friedr. Lipps.\n4v .\nmit der Bedingung\n\u00ab4v < \u00ab2v\u00ffm ;\nund als Uebertragung von (29):\n2 7\nm \u25a0\n2m , 2 i\\ J\\/ 2m i i . 3\t. \u201e 4\\\n----7 (\u00ab2 \u2014 *i) < \\ \u2014-----7 (\u00ab4 \u2014 4\u00a33et + 3e2)\n\u2014 X\tHt ~~~ X\n(\u00a3\u00ab - 6^\u00ab1 + 15\u00a34\u00ab2 - 104) < \u2022 \u2022\n(63)\n(64)\n4 \u2014 44\u00abi + 34 ^ \u00abe \u2014 6\u00ab5\u00abi + 154ei \u2014 10e3\n2\t2\t^\t4\t.3\t, q 4\t\\\t'\t(65)\n\u00a32 \u2014\t\u20ac4 \u2014\t-f- O\u00df2\nUm schlie\u00dflich auch noch die Abh\u00e4ngigkeit der Mittelwerthe von den Abweichungsgr\u00f6\u00dfen festzustellen, ist zu beachten, dass einerseits auf Grund von a{ \u2014 b O a2 \u2014 5 < \u2022 \u2022 \u2022 <( an \u2014 b f\u00fcr ft = 1, 2, 3 . . .\n(\u00abi - bf~x < (\u00ab2 - bff\u2018-1 <\u25a0\u2022\u25a0<(\u00ab\u201e- h)2'1\"1 und anderseits, wenn durch dy <[ d2 <C \u2022 \u25a0 \u25a0 < d? die \u00e7 verschiedenen absoluten Betr\u00e4ge der Abweichungswerthe % \u2014 &, a-,_ \u2014 b) ... an \u2014 b, der Gr\u00f6\u00dfe nach geordnet angegeben werden,\nd\u00efu < 4\u201c < \u2022 \u2022 \u2022 < df.\nMan kann daher in (35) die H\u00fclfsgr\u00f6\u00dfen yu y2 ... yt f\u00fcr ungeradzahlige Werthe 2/t \u2014 1 der Reihe at \u2014 b, a2 \u2014 b ... an \u2014 b und f\u00fcr geradzahlige Werthe 2/t der Reihe dx, d2 ... d\u201e so entnehmen, wie es f\u00fcr die Bestimmung von yu y2 ... yt durch Glieder der Reihe \u00ab!, a2 \u2022 \u2022 \u2022 \u00dfn hei der Erl\u00e4uterung der Formeln (38 a) und (38 b) vor-geschrieben wurde. Auf diese Weise gelangt man f\u00fcr geradzahlige Werthe 2v auf Grund von (35) zu den Bedingungen:\nK - bf'1- \u00ab\u00a3 -\t> 0; (\u00ab1 - bf~l- 4: -\t<0 (66)\ndf \u2022 4: - 4I\u00ce2C > 0; di\" \u2022 4: - el:t% < 0\t(67)\n(a\u00bb - bf-1 \u25a0 K_t - h)2^-1 \u2022 4:\n-\t[(\u00ab\u201e - bf-1 + (\u00ab\u201e_! - z^-1]. \u00a3i:\u00ee^=\u00ee + 4:\u00ee\u00eepl > 0 (\u00ab4 - fc)2^1 \u2022 (\u00ab2 - fc)2^1 \u2022 4;\n-\t[(\u00ab! - h)2\"-1 + (\u00ab2 - &)2\"-1] \u2022 4S\u00a3=i + iltt-l > 0\n(o, - bf-1 \u25a0 (an - h)2\u201c\u201c1 \u2022 el:\n-\t[(\u00ab1 - 5)2'\u201c\u20191 + (an - bf-1] \u25a0 eltlfl + ellttfl < \u00b0\n(68)","page":502},{"file":"p0503.txt","language":"de","ocr_de":"Die Theorie der Collectivgegenst\u00e4nde.\n503\ndf \u2022\t\u25a0 4; - \u00ab + 4-i) \u2022 4:XY + &xt > o\ndY \u25a0 dY \u25a0 & - (dY + 41 \u2022 \u00ab + 4## > 0\t(69)\ndY \u25a0 df \u2022 el - (4\" + O \u2022 ellZY +\t< 0.\nu. s. w.\nDie Gleichung (39) hingegen bleibt f\u00fcr alle ganzzahligen Werthe v und fi in Geltung, so dass\nwo Cn, Cn-1 ... Ct die aus den n Abweichungspotenzen [a[ \u2014 b)'\\ (a2 \u2014 b'f . . . (an \u2014 hf gebildeten symmetrischen Grundfunctionen sind.\n\u00a7 5. Vertheilungsgesetze und Mittelwerthe.\nAus einem System von z0 W erthen 0,\tW erthen 1,... zn~W erthen n\nwerde eine Vertheilungstafel in der Form\n0, 1, 2, . . . n\n(71)\nhergestellt, und es soll za f\u00fcr a = 0, 1, 2 . . . als der zu a geh\u00f6rige Werth einer Function F(a) aufgefasst werden, die mittelst der H\u00fclfs-function [II; (45)]\nfP(a) \u2014 i^Ja)\t(72)\ndarstellbar sei. Die darstellende Function werde, da nur positive ganze Zahlen als Argumentwerthe in Betracht kommen, in der Form\n\u00a9(a) = y0 \u2022 <Po(a) + Yi \u2022 cPda) + Yt \u25a0 <pi[a) + ' \u2018 \u25a0\t(^)\nvorausgesetzt, wo\n9o(a) = <p(a)\\ 9P,,(a) = 9Pfl_i(\u00ab) \u2014fpft-ifa \u20141) f\u00fcr fi = 1, 2, 3 ... Es ist demgem\u00e4\u00df\n9V(\u00ab) = <5Po(\u00ab) \u2022 U(a) ;\n\u00ab.)-i-0\u00ef+(\u00ef)\n'fi\\a{cc \u2014 1)\t, q(a\u2014!)\u2022 \u2022(\u00ab\u2014M+l)\n,2/ F\t^","page":503},{"file":"p0504.txt","language":"de","ocr_de":"504\nG-ottl. Friedr. Lipps.\nDie so definirte rationale Function /)*(\u201c) besitzt die leicht nach weisbare Eigenschaft, dass\n/\u00bb=&(\u00ab-!)- \u20141);\nU (\u00ab)=f/i{a \u2014 v) \u2014 Q ^ 4,-1 (\u00ab \u2014 \u00bb) \u25a0+ (g)\t4m-2 (e\u2014*)---,\nwo die Reihe bis zum Abbrechen der Glieder, n\u00e4mlich bis zum (v + l)-ten, wenn t*y>v, und bis zum (11 + l)-ten, wenn /t <( v, fortzusetzen ist.\nAls empirisch bekannte Werthe sollen an Stelle der Summen [vergl. II; (36); (39)]\nJ\u00a3(a \u2014 by \u2022 F(a) = s\u201e,\ndie \u00fcber die Zahlen a = 0, 1 ... n erstreckten Summen\n\u25a0 W = S.\t(76)\nzu Grunde gelegt werden, was gestattet ist, da s0, st... sv einerseits und S0, Sy ... Sy anderseits in eindeutiger Beziehung zu einander stehen. Setzt man n\u00e4mlich\n= Clr \u00f6 + [v \u2014 l) + ' \u2019 ' + Cw (l) *\nso wird\nSy = {Cj^Sy + \u2022 \u2022 \u2022 -f- C^y/SJ - + \u2022 \u2022 \u2019 + Cy_l)V-l^l}\n+ -\"\u00b1\nwonach\nSq - Sq ,\nsi \u2014 $1 \u2014 b \u2022 S0,\ns2 = 2S2 + S{ - 2b \u25a0 Si + 52 . s0,\ns3 = 6S3 + 6S2 + Si - 36(2^2 + Sy + 3b*St - b*S0\nu. s. w.","page":504},{"file":"p0505.txt","language":"de","ocr_de":"Die Theorie der Collectivgegenst\u00e4nde.\n505\nMan erh\u00e4lt daher zur Bestimmung der Coefficienten y0, yu y2 \u2022 \u2022 jn (73) auf Grund von (76) die Gleichungen:\n&== 2\\Z\\ ' (y\u00ae ' ^(\u201c) + yi \u2022 ?i(\u00f6) + 72 \u2022 \u00e7pj(o) h\u2014}\n^ (77)\n= j o \"V 'S<f>^a~y)\u25a0 {70 + 7i \u25a0 A(a) + 72 \u2022 A(\u00ab) + \u2022\u2022\u2022})\nff0 die Summation nunmehr \u00fcber alle positiven ganzen Zahlen \u00ab = 0, 1 2 ... zu erstrecken ist. Da aber mit R\u00fccksicht auf (75) und (74)\nund\nq>o(<* \u2014 v) \u25a0 f\u00bb(a) = <Pp(<* \u2014 v) \u2014 ( * ) y (pfi\u2014i [a \u2014 v) +\n=J\u00a3(P\u00c4a) = 0 f\u00fcr n == 1, 2, 3 . . . J?<p0 [a \u2014 v)= 2?q>o{a) = exp (X),\nso wird\n\\ fl(fl \u2014 1) \u2022 '\t\u2022 \u2022 1\n)\tA^\t\n= (- 1)\nAus (77) resultirt somit f\u00fcr v = 0, 1, 2 . . . o ^-expW,.. v v{v \u2014 l)\nSv -\t\u201c t * +~nr~ ~\nworaus sich\n\u201e _ Av-exp(\u2014k)fa\tv 0 , v[v\u2014 1) c\nh~ T\u00e4^rr \u201c x +\t-\nergibt. Es ist demgem\u00e4\u00df\n70\t= exp (\u2014 A) \u2022 S0\n71\t= exp (\u2014 A) \u2022 jy \u2022 S0 \u2014 S, |\n72\nf . v(y ~ 1) \u2022 \u2022. (v \u2014 (i + 1)\nA*\nexp (A)\nexp (A).\n\u2022 2.1\nA\u00bb\n7\u00bb} (78)\n\u00efr1*} <79)\n= exp (\u2014 A) \u25a0\t\u2022 S0 \u2014 y \u2022 Si + S21\n7s \u2014 exp (\u2014 A) \u2022 jy|y \u2022 So \u2014 yy *\t+ y \u2022 #2 \u2014\t}\n\nu. s. W.\nDie Kenntniss der Summenwerthe S0, S1; S2 ... wird in einfacher eise durch successives Aufsummiren erlangt, vue in Cap. V, \u00a7 3, wird.","page":505},{"file":"p0506.txt","language":"de","ocr_de":"506\nGotti. Friedr. Lipps.\nDie Anwendung dieser Darstellungsweise setzt voraus, dass nur eine beschr\u00e4nkte Anzahl von Coefficienten y0, y,\tberechnet\nwerden muss. Dies trifft zu, wenn yv+1 \u2014 yv+2 = \u2022 \u2022 \u2022 == 0. Dann ist, (79) zufolge, f\u00fcr fi = 1, 2, 3 . . .\no v + n 0 , [v+fi)(v+n \u2014 l) 0\tJ_(v+/<)-\"2-l o\n-----X----\u00f6l H---------p----------------\u2014\t\u2014 V.\u00ab = 0\noder, wenn zur Abk\u00fcrzung f\u00fcr x \u2014 0, 1, 2 . . .\ngesetzt wird,\nEs ist daher1)\n1) Um die G\u00fcltigkeit dieser Formeln zu beweisen, setze man:\nfv+uW = c0^+fl \u201c (\u201d t **) ' Ci ' *V+'U_1 + \u2018 ' ' \u00b1 W \u2019\nso dass\n(*) = (\"+i\u201c) \u2022 fv+p-i (\u00ae) ;\t/;+fl (*) = (\"+1\u201c) (\"+f* -1) \u2022 fv+n-2 (*);\u2022\u25a0 \u2022\nDa nun fv+fi(x) sammt den {j, \u2014 1 ersten Ableitungen f\u00fcr x = 1 den Werth Null erhalten soll, so ist auch:\n= (r0xv - (i) h*\u2019\"1 + \u2022 \u2022 \u2022 \u00b1 y,) (* - 1)fl>\nwo die Werthe von y , yt . . . yv so zu bestimmen sind, dass die Coefficienten gleich hoher Potenzen von x f\u00fcr beide Darstellungsformen \u00fcbereinstimmen. Es ist somit einerseits yv = c,,+ u und anderseits\nBer\u00fccksichtigt man nun, dass","page":506},{"file":"p0507.txt","language":"de","ocr_de":"Die Theorie der Collectivgegenst\u00e4nde.\n507\ntv+ 1\\\t(v+ 1\\\t\u25a0 CV_1 + \u2022\t\u2014 iv+l\\\t\n( \u00bb )\t\"\u25a0-U\t\t\u2022 + ( 1 )\tCy \u00b1 C0 ,\nft2)\t\u2014Hl-l)\t\u2022 Cv-1 + \u25a0 1\t\u2014 lv + 2\\ + 1 )\t|c1\u00b1(\u00ab'+l)-c0\nund allgemein f\u00fcr (i = 1, 2, 3 . . .\nAus diesen Beziehungen zwischen den S-Werthen erh\u00e4lt man durch den Uebergang zu den s -Werthen, mit welchen die Mittelwerthe \u00a3U \u00ab2, \u00ab3 \u2022 \u2022 \u25a0 durch\nSq '\t= Sy , V\t0 J 1 J 2 ...\nverkn\u00fcpft sind, Bedingungen f\u00fcr die Mittelwerthe.\nEs gilt folglich der Satz:\nIst die Vertheilungstafel (71) durch die Function\n\u00a9(a) = 7o9>o(\u00ab) + 7i <P\\ (\u00ab)+\u2022* \u25a0 + }VjPv(\u00ab)\t(82)\ndarstellbar, so sind die Mittelwerthe eu s3 . . . an die, aus den Gleichungen\nGW?\n\n(^+1) l/l+V-l\n\nft1'\nXu+2\n\u25a05,:\n(/.i+v\u2014 1\nV\n\u25a0\n/1-2--(u+2)\n/\u00ce2H\u00cf\n\u2022^_2|\n(,\u00ab+\u00bb')\n\u2022Sn\n(83)\nsich ergebenden Bedingungen gebunden.\nIst z. B.\n\u00a9(a) = 7o \u2022 <jPo(\u00ab),\nso erh\u00e4lt man:\nDabei ist zu beachten, dass das Zeichen jj auch f\u00fcr v^>fi einen Sinn hat,\n'adern es den Zahlenwerth 0 vorstellt. Die gegebene Ableitung des Werthes von K g\u00fct daher f\u00fcr alle Zahlenpaare v und (u.","page":507},{"file":"p0508.txt","language":"de","ocr_de":"508\nQ-ottl. Friedr. Lipps.\nso erh\u00e4lt man f\u00fcr fi = 1, 2, 3 . . .\na .\t^ o\n\" \u2014 1 \u2022 2 \u2022 \u2022 fi \u2018\t\u2019\nworaus f\u00fcr die auf das arithmetische Mittel als Ausgangswerth be zogenen Mittelwerthe sich die Bedingungen\n\u00ab1\u20140; \u00ab2 = A; \u00ab3 = A; e| \u20143A2 + A;\n\u00ab5 = 10 A2 + A; \u00ab\u00dc = 15AS + 25A2 + A; ...\nergehen. \u2014 Ist hingegen\n0(a) = y0 \u2022 qco (\u00ab) + ft \u2022 ?>i (\u00ab),\nso wird\no _\t^ o\tf1 \u2019 ^+1 O\n'1+1 \u2014 l-2-./t\t1\t1-2-. (,4+1)\t\u00b0>\nund demgem\u00e4\u00df, wenn 5 das arithmetische Mittel bezeichnet,\n\u00abi = 0; \u00ab2 = 5 \u2014 (5 \u2014 A)2 ;\n\u00ab33 = 5 - 3(5 - A)2 + 2(5 - A)3 ;\n\u00ab\u00ce = 5 + 352 - (5 - A)2- (7 + 6A) + 6(5 - Af - 3(5 - A)4 ;\nEs werde anderseits aus einem Systeme von z, Werthen ab Zj Werthen a2, \u2022 \u2022 \u2022 zn Werthen an eine Vertheilungstafel\nft ft \u2022 \u2022 \u2022 ftt\t/Q4\\\nZi z2 . . . z\u201e\nhergestellt, deren z nicht den a unmittelbar, sondern den aneinandergrenzenden Intervallen\n\u00ab1 \u00b1 \\h , \u00ab2\t\u2022\u2022\u2022 ft*\u00b1\u00a34\nzuertheilt zu denken sind, so dass auf jeden, der Vertheilungstafel angeh\u00f6renden, von den Werthen a und a + da begrenzten Bereich ein bestimmter Werth f(a) . da f\u00e4llt. Die so definirte Function f[a)t die au\u00dferhalb des Gebietes der Vertheilungstafel durchweg gleich Null ist, soll mittelst der Hilfsfunction [II, (57)]\nq>[h(a \u2014 5)] = ~^= exp [\u2014 k2(a \u2014 5)2]\n\\ it\n(85)","page":508},{"file":"p0509.txt","language":"de","ocr_de":"Die Theorie der Collectivgegenst\u00e4nde.\n509\nlarstellbar sein, wo b als Ausgangswerth der Abweichungen dient, pie darstellende Function werde, wenn\nh[a \u2014 b) \u2014 t\\ h \u25a0 da \u2014 dt\ngesetzt wird, in der Form\n0{t) \u2014 yo<p(t) + ft \u2022 g>'(t) + ft \u25a0 <p\"$ + \u2022 \u2022 \u2022\t(86)\nangenommen, wo\n<p{t) = exp (\u2014 P) ;\t<p' (t)) =\t<p[tt) ; ?>\"(*) =\t<?'(*) i \u2022 \u2022 \u2022\nA.ls empirisch gegebene Werthe m\u00f6gen die \u00fcber das Gebiet der Ver-theilungstafel erstreckten Integrale\ns\u201e =y*i(a \u2014 \u00e8)v \u25a0 /\u25a0(\u00ab) \u2022 d\u00ab\t(87)\nzu Grunde gelegt werden, die, wie aus V, \u00a7 2, erhellt, mit einer im allgemeinen als ausreichend zu betrachtenden Ann\u00e4herung durch die Summen\n*1 (\u00ab1 \u2014 by + ft (\u00ab2 \u2014 by h---------h %n[an \u2014 by\ndargestellt werden. Aus denselben werden mittelst der Gleichungen\nsv \u2014\t\u2022 s0\t(87 a)\ndie Mittelwerthe der Vertheilungstafel gewonnen.\nDie Bestimmung der Coefficienten ft, ft , ft \u2022 \u2022 \u2022 in (86) ist daher auf Grund der Gleichungen\n= ft\nh? \u2022 sv =JP \u2022 0(f) \u25a0 dt )\u25a0 <p(t) \u25a0 dt + yxj'p \u25a0 q>'{t) \u2022 dt + y-ijp \u25a0 cp\"[t) \u25a0 dt + \u2022 \u2022 \u2022\n(88)\nzu leisten, wo die Integration nunmehr von \u2014 oo bis + oo zu erstrecken ist.\nDa aber bekanntlich f\u00fcr v = 1, 2, 3 . . .\n1-35- (2\u00bb/ \u2014 1)__ (2v)l\n2\" 22v \u2022\n^d, wenn den p-ten Differentialquotienten von <p bezeichnet (so dass \u00e7p(\u00bb) \u2014 \u00e7p)? f\u00fcr /a = 1, 2, 3 . . .","page":509},{"file":"p0510.txt","language":"de","ocr_de":"510\nGotti. \u00ef\u2019riedr. Lipps.\nf \u25a0 dt = 0 ; JP \u2022 q>W[t) \u25a0 dt \u2014 \u2014 vjfv_1 \u25a0 cp^-i) (f) . dt, wonach f\u00fcr alle Werthenpaare v und ft Jtr \u25a0 <pW{t) \u25a0 dt \u2014 (\u2014 iy* \u2022 v(v \u2014 1) - \u2022 (v \u2014 fi + 1) -Jip-v \u25a0 50(f). dt gesetzt werden kann, so erh\u00e4lt man aus (88) f\u00fcr v = 0, 1, 2 . .,\nh2v \u2022 s2v\t7o\t1 ^2 1\t\u25a0 ' +\t7%v\n(2v)\\\t22v \u2022 v\\\t1 22v~2[v\u20141)! 1\t\t20-0!\nA2v+1S2v+1\t7i\t\t\u2022 \u2022 +\t72v+l\n[2v + 1)!\t22v \u2022 v\\\t1 22x~2(v\u20141)! 1\t\t2\u00b0 \u2022 0!\nworaus sich\n72t =\n\u00c42v \u25a0 S2r\nA2*-2 \u2022 \u00ab2*-\n(2v)\\\t{2v\u20142)}\t22-1!\nA2*+l-s2r+1\tA2\u2019\u2019-1 \u25a0 &2v-i\ny2v+1\u2014 [2v -j- 1)!\t(2v\u20141)1 22-1!\nergibt. Es ist somit\n+ \u2022\u2022\u2022 \u00b1\n+\n0! 22r \u2022 v\\ Ast\n1! 22v \u25a0 v\\\n(89)\n(90)\n7 0 = so;\n7\\ \u2014 \u2014\t;\nA2s2\ts0 _\n^2 \u2014 \u201d2\t4 \u2019\nA3S3 Asx y3 = --6- + ^;\nu. s. w.\nDiese Darstellungsweise kann Verwendung finden, wenn die Berechnung einer kleinen Anzahl von Coefficienten zu einer hinreichenden Ann\u00e4herung f\u00fchrt. Setzt man demgem\u00e4\u00df voraus, dass f\u00fcr die Coefficienten mit geradzahligen Indices y2v+2 = 7%+i = \u25a0 \u25a0 \u2022 = 0 und f\u00fcr die Coefficienten mit ungeradzahhgen Indices 72^+3 = 72/1+5 = \u2022 \u2022 \u2022=0 ist, wo v und ft unabh\u00e4ngig von einander sind, da die Coefficienten 7\u00bbi 7\u2018ii 74 \u25a0 \u25a0 \u25a0 einerseits und 71, 73, 7s \u25a0\u25a0 \u25a0 anderseits nicht aneinander gebunden sind, so resultiren aus (90) Bedingungen, die man, wenn zur Abk\u00fcrzung f\u00fcr x = 0, 1, 2 ...\n22* \u25a0 A2* \u25a0 s,y. \u2022 x !\t, _ 22* \u2022 h2x+i \u25a0 s2x+i_jJL:\nc* \u2014\t(2x) !\t\u2019 C* \u201c\t(2* + 1) !\ngesetzt wird, in der Form","page":510},{"file":"p0511.txt","language":"de","ocr_de":"Die Theorie der Collectivgegenst\u00e4nde.\n511\nf\u00fcr i = 1, 2, 3 ... darstellen kann. Man findet demzufolge \u2014 wie die Ableitung von (81) aus (80) zeigt \u2014\nHierdurch werden, wenn sx \u2014 e* \u2022 s0 gesetzt wird, Bedingungen f\u00fcr die Mittelwerthe , t2, f3 \u2022 \u2022 \u25a0 angegeben.\nMan gewinnt so die Erkenntniss:\nIst die Vertheilungstafel (84) durch die Function\no(t) = y0<p(t) +\t+ \u25a0 \u25a0 \u25a0 +\t1\tg3>\n+\tH--------b- y2,+i<p{2fl+l>(t) I\ndarstellbar, so m\u00fcssen die Mittelwerthe e1? e2, \u00a33 \u25a0 \u25a0 \u25a0 die Bedingungen\n2a\u00bb+u.\u00c4*+M EllXll{v+X)\\ \t/v+X)\t22r-h2v-e%-r!\n(2v + 2 X)\\ h tv+i\\22v-2tfr-*-\u00a3i:il(r\u2014iy.,\t\\ V j M+l\\\t(2r)l /r+A\\2^-4A2v-4-4;=t(^-2)!\n1|\\y-i)\t(2v \u2014 2)\\\t\\ 2 J\\v-21\t[2v \u2014 4)! -\u00b1(i+r1)> \u00df+l\\2^-h2fl+i-el;t\\-^\t\n{2p+ 21 + 1)! \u00fc|g+A2>-2.^-1-\u20ac^=l(M-l)! , /\tft I 1+1W\t(2 #* + !)! u+X\\22fl~4-k2>l~3-\t\u20142)!\nl)V-l)\ti2ft \u2014 1)!\t+(\t2 M\tft-2/\t(2 ft \u2014 3)!\n\t.. _i_ \u00df + f1 \u2014\t\n1 = 1, 2, 3 ... erf\u00fcllen.\t\tft\t/","page":511},{"file":"p0512.txt","language":"de","ocr_de":"512\nGotti. Friedr. Lipps.\n1st z. B.\nmt) = y() \u25a0\ty0 \u2014 s0,\ngilt also das gew\u00f6hnliche Fehlergesetz, so muss\n\u00ab1 \u2014 \u00ab3 \u2014 \u00a3b \u2014 \u25a0 \u25a0 \u2022 \u2014 0 ;\n,\t22__1 \u2022 3 \u2022 \u2022 (2\u00c0 \u2014 1)\n(2\u00dc)!\t\u201d 1 oder\t2'- \u25a0 K11\nsein. Ist hingegen, wenn das arithmetische Mittel als Ausgangswerth dient und somit et und yl gleich Null ist,\n\u2014 7o \u25a0 <p[t) + Yi \u2022 <p\"[t) + Yz \u2022 <p\"'(t) ;\n1.2-2\t1 v\t,3 3\nYo = so erh\u00e4lt man\nttf 4\t1\\\nso )\t72 \u2014 \u00bb02--j j i 73 \u2014\n\u00abo \u2022\n1.3 3\nh s3\n6\n\u00ab8\u00ab =1 \u2022 |gt\t11 {(i +1)2 k\\\\ - 1} ,\n\u201e22+3   1 \u2022 3 \u2022 \u2022 (2 \u00c0 + 3) n , 1,2\t3\ne22+3\t22+1 . ^22+3\t' (^ + 1) g ^ \u00ab3 \u2022\nWird \u00fcberdies\nA2 =\n24\ngesetzt, so dass y2 \u2014 0, so gilt f\u00fcr\n= 7o \u2022 (pit) + 73 \u2022 9\"'it) ;\n7o \u2014 s0 ; Yz \u2014 \u2014 s0\n\u00ab3\n2\u00ab2 -V2\ndie Bedingung\n\u00ab22+2 = 1 \u2022 3 . . [21 + 1) \u2022 \u00ab2\n,22+2\n\u00abIltis = 5 \u2022 7 .. (2\u00c0 + 3) (1 + 1) \u2022 \u00ab?\u2022 \u00ab3 \u2022\nU 3\nWird die Function f(a), welche die Vertheilung der \u00bb auf die Intervalle der Vertheilungstafel (84) regelt, lediglich der Einschr\u00e4nkung unterworfen, bei wachsendem absoluten Betrage der Abweichungswerth e (.a \u2014 b) abzunehmen oder wenigstens nicht zu wachsen, so","page":512},{"file":"p0513.txt","language":"de","ocr_de":"Die Theorie der Collectivgegenst\u00e4nde.\n513\nnach einer Bemerkung von Gauss1) f\u00fcr die auf b bezogenen Mittelwerte\n9 4\n4\nfi4 ;\n\u00ab2-\n(95a)\ngs ist zugleich \u2014 wie Kr\u00fcger2) bewiesen hat \u2014\n4y ^ [2v + l)2\n2*\n\u00ab2\u00bb H\u00fc\n3\u201d\n2v + 1\n2\u00bb . \u00a32 :\nEiv\n+ 1\niv\n&2v \u2022\n(95)\n\u00a7 6. Die aus Potenzsummen reeller Gr\u00f6\u00dfenpaare gebildeten Mittelwerthe.\nWie aus den Potenzsummen einzelner Gr\u00f6\u00dfen, so lassen sich auch aus den Potenzsummen paarweise zusammengeh\u00f6riger reeller Gr\u00f6\u00dfen Mittelwerthe bilden und hinsichtlich ihrer Eigenschaften untersuchen.\nF\u00fcr eine endliche Anzahl solcher Gr\u00f6\u00dfenpaare k\u00f6nnen stets zwei Werthenreihen ay < (h < \u2022 \u2022 \u2022 < ar und \\ < b2 < \u2022 \u2022 \u2022 <[ bs bestimmt werden, so dass die gegebenen Gr\u00f6\u00dfen Combinationen der r Werthe a und der s Werthe b sind. Wird alsdann die Anzahl der Werthenpaare (ax, bx) durch zxi bezeichnet, so l\u00e4sst sich das System der Gr\u00f6\u00dfenpaare in der fr\u00fcher [II; (58 a)] mitgetheilten Form der Yertheilungstafel eines C. G. mit einer Doppelreihe von Varianten darstellen. Zugleich werden die Mittelwerthe erj\u201e durch II; (59) de-finirt.\nBei dieser Darstellungsweise treten jedoch im allgemeinen leere (\u00b0x) bi) auf, deren zxx gleich Null ist. Will man dieselben von vorn herein bei Seite lassen, so empfiehlt es sich, die von einander verschiedenen Werthenpaare irgendwie in eine einzige Reihe zu ordnen und das erste Glied durch [ay, by), das zweite durch (\u00bb,, b2) u. s. w. bezeichnen. Die beiden Reihen a,, \u00ab2 \u2022 \u2022 \u2022 und by, h2 . .. zeigen im allgemeinen zwar keine Regelm\u00e4\u00dfigkeit; denn f\u00fcr zwei Werthenpaare (ax, bx) und b)) kann ax gr\u00f6\u00dfer oder kleiner als \u00b0der auch gleich a-,. sein, desgleichen kann bx mit bx \u00fcberein-8\u201cmuien oder von bx in positivem oder negativem Sinne abweichen,\n1) Theoria combinationis observ. error, min. obn. Art. 11.\n.\t2) Ueber einen Satz der Theoria Combinationis. G\u00f6ttinger Nachrichten,\nS. 147.","page":513},{"file":"p0514.txt","language":"de","ocr_de":"514\nGrottl. Friedr. Lipps.\nwenn nur nicht sowohl ax \u2014 a2 als auch bx = bk ist. Es ist aber vielfach bequemer, mit einer einfachen Reihe von Werthenpaaren statt mit einer Doppelreihe zu operiren.\nEs seien demgem\u00e4\u00df Werthenpaare (av, by), z2 Werthenpaare (\u00ab2, b2), . . . ' Zn Werthenpaare (\u00ab\u201e, b\u201e) gegeben. Bezieht man die. seihen auf das Werthenpaar (c, d), so dass ax \u2014 c an Stelle von a und bx \u2014 d an Stelle von bx tritt, und ist m = % -f- *2 + \u2022 \u2022 \u25a0 + z\u201e Pi = Zy : m, ... pn = zn : m, so werden die auf (c, d) bezogenen Mittelwerthe v der gegebenen Werthenpaare durch\n= Pi (\u00ab1 - cf . (by - df + p2 (a2 - cf .(b2-df +\u25a0\u25a0\u25a0 I\n+ Pn [an \u2014 cf \u25a0 (bn \u2014 df\tJ ^\ndefinirt.\na. D ie Bedeutung der Mittelwerthe.\nUm die Bedeutung dieser Mittelwerthe klarzustellen, sollen die Abweichungen ax \u2014c, by\u2014d, ... a\u201e\u2014c, bn\u2014d als Abscissen x und Ordinaten y eines rechtwinkeligen Coordinatensystems gedeutet und durch xv, y y, ... xn, yn bezeichnet werden. Dann bestimmt jedes Paar von Ahweichungswerthen (xx, yfj einen Punkt der Ebene, und es handelt sich nun um die Bedeutung des durch\nfff =P\\xiy[ + Pixfyl + \u2022 \u2022 \u2022 + pnxfyl\t(96a)\ndefinirten Werthes v f\u00fcr das System der gegebenen Punkte, wenn y und v irgend welche positive oder negative ganzzahlige Werthe annehmen (ausgenommen p = v \u2014 0, da in diesem Falle \u00ab00 jeden endlichen Werth bezeichnen kann). Dabei m\u00f6ge zun\u00e4chst vorausgesetzt werden, dass keiner von den Werthen Xy, y y, x2, y2.. \u25a0 xn, V\u00ab gleich Null sei, und dass auch fff einen von Null verschiedenen endlichen Werth darstelle.\nDer Werth von fff bleibt unver\u00e4ndert, wenn die Punkte (xy, yf, (x2 ? !/i) \u25a0 . . (x\u201e, yn) auf den zugeh\u00f6rigen Curven\na? \u25a0 f = xui \u25a0 yl ; xfl \u25a0 y'= xf \u25a0 y\\- ... v? \u25a0 yv = x\u201cn \u25a0 yl (97) sich bewegen, die dem Ourvenb\u00fcschel\nx\u00bb \u2022 y \u2014 a\t(98)\nmit dem Parameter a angeh\u00f6ren. Dieses B\u00fcschel besteht aus hyper holischen Ourven, welche die Coordinatenaxen zu Asymptoten habe\u00bb)","page":514},{"file":"p0515.txt","language":"de","ocr_de":"Die Theorie der Collectivgegenst\u00e4nde.\n515\noder aus parabolischen Ourven, die durch den Punkt x = 0, y = 0 gehen, je nachdem die ganzen Zahlen u und v gleiche oder entgegengesetzte Vorzeichen haben; und je zwei Curven des B\u00fcschels\nUV\tU \u201e V\nx \u2022 y \u2014 ax , x \u2022 y = a2\nhaben au\u00dfer den allen gemeinsamen Grundpunkten (den unendlich fernen Punkten der Ooordinatenaxen oder dem Nullpunkte des Co-ordinatensystems) keinen Schnittpunkt, so dass sie jede Curve, deren Parameter zwischen \u00ab, und a2 liegt, vollst\u00e4ndig umschlie\u00dfen und so einen Bereich der Ebene abgrenzen, dem alle Curven mit mittleren Parameterwerthen zugeh\u00f6ren. Es wird daher auch durch die Curven (97) ein Bereich der Ebene bestimmt, in welchem die Curven verlaufen, deren Parameterwerthe zwischen dem gr\u00f6\u00dften und dem kleinsten der Werthe\nxi \u2022 yi | x-, \u2022 y-i ;\t... x,, \u25a0 ijn\nliegen. Er soll der Bereich der Curven (97) hei\u00dfen.\nHiernach ist e\"47 nicht zu den Punkten (%, yi)1 (x2, y2i \u25a0. \u25a0 [xn,yn), sondern zu den durch diese Punkte gehenden Curven (97) des B\u00fcschels (98) in Beziehung zu setzen. Nun geh\u00f6rt auch zu eff\u00ee eine Curve des B\u00fcschels, n\u00e4mlich\n\u2022 f = e;\u201c+; \u2022\t(99)\nSie verl\u00e4uft innerhalb des Bereichs der Curven (97) und ist somit eine mittlere Curve, da ihr Parameter auf Grund von (96a) zwischen dem kleinsten und gr\u00f6\u00dften Parameterwerthe der Ourven (97) sich h\u00e4lt.\nAuf dieser Curve befinden sich, wenn u -j- v nicht gleich Null ist, stets vier oder zwei Punkte, deren Abscisse und Ordinate in ihrem absoluten Betrage \u00fcbereinstimmen.\nIst n\u00e4mlich u und v geradzahlig, so ist ejjjy , wie aus (96) folgt, wesentlich positiv, und es gibt stets einen reellen, positiven Werth \u00abu, v, der die (u + r)-te Wurzel von \u00a3;\u201c+,v darstellt. Es sind daher die vier Punkte\nX - \u2014 vi y \u2019 \u20141\u2014 , V\nPunkte der Curve (99). \u2014 Ist ferner von den beiden Zahlen u und v die eine gerade und die andere ungerade, so kann positiv oder Negativ sein. Wird die reelle (u + v)-te Wurzel dieses Werthes ^undt, PLilos. Studien. XYII.\t34","page":515},{"file":"p0516.txt","language":"de","ocr_de":"516\nGotti. Friedr. Lipps.\ndurch \u00a3Mi \u201e bezeichnet, so liegen, wenn /t gerade und v ungerade ist die beiden Punkte\nX \u2014 \u2014 Sfii y , y \u2014 v\nund, wenn y ungerade und v gerade ist, die beiden Punkte x = v; y \u2014 \u00b1 eft,*\nauf der Curve (99). \u2014 Ist weiterhin y und v ungeradzahlig und \u00a3\u25a0\u201c+' zugleich mit dem reellen Wurzelwerth e\u201e[V positiv, so geh\u00f6ren die beiden Punkte\nx \u2014-\tv , y \u2014 v und x\ty, y -\tv\nder Curve (99) an. Ist aber e;\u201c,+\u201ev negativ, so gibt es keine reelle (fi + r)-te Wurzel. Bringt man jedoch \u2014 in Uebereinstimmung mit der in II; \u00a7 6 getroffenen Vereinbarung \u2014 die Wurzel in die Form\n|U+\\___\ne\u201ejt,-y\u20141, so dass \u00a3Uj v die (u + r)-tc Wurzel des absoluten Betrags von \u00ab\u00a3+vv angibt, so ist\nx \u2014 y, y \u2014\t\u00a3</, v und er \u2014 v, y \u2014 v\nje ein Punkt der Curve (99).\nDemnach stellt der aus (96) in der angegebenen Weise abgeleitete reelle Werth eu, v einen die mittlere Curve (99) bestimmenden Coordinatenwerth dar.\nWird hingegen y + v = 0, ohne dass u \u2014 p \u2014 0 ist, so ist die Curve (99) eine Gerade, die durch den Nullpunkt des Coordinaten-systems geht. Dann gibt es, wenn \u00a3\u201e(*7 nicht gleich 1 ist, au\u00dfer x = 0, y \u2014 0, keinen weiteren Punkt, dessen Abscisse gleich der Ordinate sei. Dementsprechend kann nicht bestimmt werden, w\u00e4hrend v den, aus (96) resultirenden Werth erhalten muss.\nZwei endliche, von Null verschiedene Mittelwerthpotenzen \u00a3;\"(V und s^a bestimmen somit die beiden mittleren Curven\nf\u00fcr die Curven\nU\nx \u25a0 y\nx \u25a0 y\nu4-v . o o\n\u00ab:\u00ab;>' ; x \u25a0 y\nbp, o\n(100)\nund\nxfi \u25a0 y\\ ; ... a? \u25a0 yv = x\u201c \u2022 yvH\t(100a)\nx\u00ab.ya = xi.yar, ... x\u00ab.y\u00b0 = xi.yan.\t(lOObJ\nIst nun y a \u2014 vq = 0 oder q = X \u25a0 y ; a \u2014 X \u2022 v, so geh\u00f6ren die Curven (100a) und (100b) einem und demselben B\u00fcschel an; und die beiden mittleren Curven (100) verlaufen, ohne sich (au\u00dfer in den","page":516},{"file":"p0517.txt","language":"de","ocr_de":"Die Theorie der Collectivgegenst\u00e4nde.\n517\nGrundpunkten des B\u00fcschels) zu schneiden, in dem durch beide (jurvensysteme gemeinsam bestimmten Bereiche. Ist aber y a \u2014 vq von Null verschieden, so schneiden sich je zwei Ourven\nUV\tUV\t0(7\t0\t0\nx \u25a0 y = aZ \u25a0 yx ; x- \u2022 y = xvx \u25a0 yx\nin dem Punkte (xx, yy). Die Curven (100a) und (100 b) geh\u00f6ren daher, nebst den zugeh\u00f6rigen mittleren Ourven, zu zwei verschiedenen B\u00fcscheln, und die mittleren Curven k\u00f6nnen gleichfalls einen Schnittpunkt haben. Dieser Schnittpunkt liegt sowohl in dem Bereiche der Ourven (100 a), als auch in dem Bereiche der Curven (100 b); er geh\u00f6rt daher dem gemeinsamen Theile der beiden Bereiche an, der auch die Punkte (fi ; \u00ffj); (a;2, y3) ...\t, y\u00bb) umfasst. Seine Ooordinaten ergeben sich\naus\n____ (ft+r)o\nxb\t  y\n{ta\u2014vq ________ ((j+o),a\nV\t\u2014 \u00a3{>, o\n(o+o)v\nbQ,G\nJfj.+V)Q\nv ;\n(101)\nworaus zugleich ersichtlich wird, dass ein Schnittpunkt immer vorhanden ist, wenn y a\u2014 vq ungeradzahlig ist oder wenn \u2014 bei be-\nliebigen Werthen von y a \u2014 vq \u2014 nur positive Werthe und sf+f in Betracht kommen. Er ist ein durch e\u00a3%v und e$+f bestimmter mittlerer Punkt und seine Ooordinaten (x, y) stellen ein mittleres Werthenpaar dar.\nHebt man jetzt die Beschr\u00e4nkung, dass von den Werthen xx, yx,\nU+V O+\u00d6\n%ni ]Jn 7 \u20ac,\u00ab, v 7\t0\nkeiner gleich Null sein soll, auf, so k\u00f6nnen als Parameter der Ourven (97) und (99) oder (100), (100a), (100b) die Werthe 0 und oo auftreten. Der Parameter kann blo\u00df gleich 0, nicht gleich oo werden, wenn die Werthe von y und v, q und a auf positive ganze Zahlen eingeschr\u00e4nkt bleiben. Dann zerf\u00e4llt die zugeh\u00f6rige Curve xJL \u25a0 yv = 0 oder x'-' \u25a0 y\" = 0 in die beiden Coordinaten-axen, und die Bestimmung mittlerer Curven und ihrer Schnittpunkte wird nicht gehindert. Bei der Zulassung negativer Indices tritt aber auch der Parameter oo auf. Beispielsweise wird x\\ \u25a0 y\\ f\u00fcr xx = 0 und negatives y unendlich gro\u00df. Dann zerf\u00e4llt die zugeh\u00f6rige Curve \u25a0 if = oo in die durch x = 0 bestimmte y-Axe und in die durch II = oo charakterisirte unendlich ferne Gerade, so dass die unendlich ferne Gerade in den Bereich der Curven f\u00e4llt und ein Bestandtheil 'fer mittleren Curve sein kann. Dies trifft zu, wenn f\u00fcr negatives y <li(\u2018 Mittelwerthpotenz gleich 0 ist und somit die mittlere Curve\n34*","page":517},{"file":"p0518.txt","language":"de","ocr_de":"518\nGotti. Friedr. Lipps.\ndurch aV* \u2022 yv = 0 bestimmt wird. Die Angabe mittlerer Curven und ihrer Schnittpunkte ist dann nicht ausf\u00fchrbar.\nHiernach darf man, falls die Wer the xt, yt . .. xn, yn irgend welche positive oder negative reelle Zahlen vorstellen, nur die aus (96) f\u00fcr positive ganze Zahlen fi = 0, 1, 2 . . .; v = 0, 1, 2 . . , (mit Ausnahme von y = v = 0) resultirenden eU) r in jedem Falle als Mittelwerthe in Anspruch nehmen. Bedeuten aber , yv yn positive, von Null verschiedene, reelle Zahlen, so ist auch f\u00fcr positive und negative ganze Zahlen y \u2014 0, \u00b11, \u00b12 ...; r = 0, \u00b1 1, \u00b12 ... reell und positiv, so dass * f\u00fcr positive und negative y und v, wofern y + v nicht gleich Null, ein Mittelwerth ist.\nBeispielsweise ist f\u00fcr die doppelreihige Vertheilungstafel, die V; \u00a7 4 zur Erl\u00e4uterung dient,\n\u00a3io == fioi = 0; \u00abxi = 2,4; \u00a320 \u2014 3,0; \u00a302 \u2014 3,0; \u00a32l = 1,5;\n\u00a312 == 1,4; \u00ab22 = 18,6.\nDiese Werthe bestimmen somit folgende, in Fig. 2 veranschaulichte, mittlere Curven:\n1) die Geraden x = 0 und y = 0, welche die Coordinatenaxen AXAA und 71,BB darstellen; die Richtung der wachsenden","page":518},{"file":"p0519.txt","language":"de","ocr_de":"Die Theorie der Collectivgegenst\u00e4nde.\n519\nx geht von nach B, die Richtung der wachsenden y von A y nach A ;\n2)\tdie Hyperbel x - y \u2014 2,4, welche die Coordinatenaxen zu Asymptoten hat; sie besteht aus den beiden durch \u00ab mar-kirten Curvenz\u00fcgen ;\n3)\tdie Geradenpaare x2 = 3,0 und yl \u2014 3,0, von welchen das erste CCj, CCI der y-Axe und das zweite DDh D\u2019\u00dc\\ der x-Axe parallel ist;\n4)\tdie durch \u00df, y, \u00f6 markirten hyperbolischen Ourven x2-y= 1,5; x \u2022 y2 \u2014 1,9; x2 \u25a0 y2 \u2014 18,6.\nIhre Schnittpunkte gehen mittlere Werthenpaare an. Yon denselben fallen die Punkte % = \u00b1 0,3 ; y \u2014 +12,4 und x \u2014 +13,3 ; y = \u00b1 0,3, in welchen d die Ourven \u00df und y schneidet, nicht in den gezeichneten Theil.\nb. Eigenschaften der Mittelwerthe.\nZwei Mittelwerthe und eQ)\u201e zeigen ein verschiedenes Verhalten, je nachdem y a \u2014 qv gleich Null oder verschieden von Null ist. Ist\n\u2014 Pi xi ' lh + \u2022 \u2022 \u2022 + pnXn \u25a0 yl 1\t(102)\ne'^a \u2014 Pixf \u2022 yl + \u25a0 \u2022 \u2022 + pnX'n \u25a0 yn I\nund y a \u2014 qv nicht gleich Null, so kann man stets n Paare von einander unabh\u00e4ngiger, reeller absoluter Werthe u{, V\\ \\ \u25a0 \u25a0 \u25a0 un, vn bestimmen und f\u00fcr x = 1, 2 ... n\nxx = \u00b1 ux : vl ; yx = \u00b1 vx : ui\nsetzen, so dass\nxAx-yl = \u00b1 uia~sv = Ux xl-yax=\u00b1 via~sv = Vx\nund somit\n\u2014 Pl C] -)- P\u2018i LT\u2018> + \u2022 \u2022 \u2022 + PnCn = Pl J7! + P\u00ef ^2 + ' ' \u2018 + Pn Vn \u25a0\n1\n/\n(103)\nsind sonach die beiden Mittelwerthe eU)v und eft\u201e, wenn \u2014 qv nicht gleich Null ist, im allgemeinen von einander Unabh\u00e4ngig.","page":519},{"file":"p0520.txt","language":"de","ocr_de":"520\nG-ottl. Friedr. Lipps.\nIst hingegen y a\u2014 qv \u2014 0, so lassen sich vier ganze Zahlen a, \u00df, y, d angeben, so dass\nft \u2014 y a ; v = y\u00df q = da ; n = d\u00df .\nSetzt man nun f\u00fcr x \u2014 1, 2 ... n\na n \u00df\nXy \u2022 yfy. = Uy\nund bezeichnet man die aus ut ... un gebildeten Mittelwerthe durch Vj, so wird\niu+vV = Piu\\ + P2U2 + \u2022 \u2022 \u2022 + Pn un \u2014 t]r\n4?<ra \u2014 PlUl + PlM 2 + \u2022 \u2022 \u2022 + Pnui = \u00eff\u00f4\noder\n<+/ = %; C<f = Vi-\t(3.04;\nDemgem\u00e4\u00df gelten f\u00fcr zwei Mittelwerthe \u00a3(ljv und \u00a3?j\u201e, wenn ftff \u2014 \u00a3>^ = 0, die Beziehungen, an welche zwei, aus Einzelgr\u00f6\u00dfen gebildete Mittelwerthe gebunden sind, deren Ordnungszahlen durch die gr\u00f6\u00dften gemeinsamen Theiler von ft und v resp. q und ff angegeben werden.\nEine allgemein g\u00fcltige Beziehung zwischen drei Mittelwerthen erh\u00e4lt man auf Grund der Bemerkung, dass f\u00fcr x = 1, 2 ... n, wenn xx nicht gleich yx ist,\n(xx \u2014 yl)2 )> 0 oder xx -f- y2x ~\u00df> 2xx \u2022 yx .\nEs ist daher f\u00fcr die aus beliebigen reellen Gr\u00f6\u00dfenpaaren r%, y, ; ... xn, yn gebildeten Mittelwerthe \u00ab2^,0> \u00a30,2*} \u00ab\u00ab,,v\n4,0 + \u00a3c*2\u00bb > 2 \u25a0 <t\\\t(105)\nWerden aber die Gr\u00f6\u00dfenpaare dem Gebiete der reellen, positiven Zahlenwerthe entnommen, so ist\nx,\nju+p v-\\-0 1\tu\u20140\n\u2022 yx\t+\t'\nv\u20140 ^ ci \u00df v\nVx > 2 \u2022 Xx \u25a0 yx.\nDenn\nxt \u25a0 yl ist das geometrische Mittel aus xx+' \u25a0 yl+\" und x\n\u25a0H-9\ny*\nSomit gilt f\u00fcr die aus reellen positiven Gr\u00f6\u00dfenpaaren xu >h xn, y\u201e gebildeten Mittelwerthe\ngleichung\nu+s+r+a , u-g+v\u2014a ^ n u+v Cjit+\u00e7, v-\\-a\t\\P tfi\u2014p, v\u20140  a ' ct\u00ab, v \u2022\neludie Un-(106)\nEntsprechend ist f\u00fcr positive und negative xx, yx\nr-2<?\n2a (u\nyy. [Xx\ny y) {xl \u2014 y y) > 0 ,","page":520},{"file":"p0521.txt","language":"de","ocr_de":"Die Theorie der Collectivgegenst\u00e4nde.\t521\nwenn y und v gleiches Vorzeichen haben, und f\u00fcr positive xx, yx\n4+e \u2022 yT +\t\u2022 yl+v +\t\u25a0 yl7\u00b0-v\n>3\ny*:\nSO\ndass unter der angegebenen Bedingung\nlo+lo+ft+v |\t2p+2\u00f6+,u+v\t2\u00ff+2o+u+v\n\u00ca2p+,u + >-,2(T \u201cT\" Go,20 + i.i+r ^> *2g+ft,2<r+v\n2p+2o+lu+\u00bb Gp+r, 2 a+fi\n(107)\nf\u00fcr die aus beliebigen reellen Gr\u00f6\u00dfenpaaren gebildeten Mittelwerthe und\nu+v+f+o I\tu+v+t+v , li+r-Q-t-a-v\tQ\u201ef\u2018+\u00bb\tM081\nV + \u00f6' *1 ^jU+'\u00ef, V+D 1~ *,u\u2014 \u00a3>\u2014r\u2014o\u2014V ^\t\\-LKJO)\nf\u00fcr die aus reellen, positiven Gr\u00f6\u00dfenpaaren gebildeten Mittelwerthe.\nIn diesen beispielsweise angef\u00fchrten F\u00e4llen werden Functionen der Argumente xx und yx hergestellt, deren Wer the gewissen Einschr\u00e4nkungen unterworfen sind. Bei der Herleitung der Relationen (104) hingegen wurde eine Function ux der Argumente xx und yx gebildet, um aus ux, w2 ... un Mittelwerthe zu gewinnen, deren Beziehungen sich auf die Mittelwerthe \u00a3Ui,, und ee> \u201e \u00fcbertragen. Hiernach stehen \u00fcberhaupt zwei Wege offen, um Beziehungen f\u00fcr die aus Gr\u00f6\u00dfenpaaren gebildeten Mittelwerthe abzuleiten. Bezeichnet n\u00e4mlich f(xx, yx) f\u00fcr x = 1, 2 . . . n eine aus Potenzwerthen xx \u25a0 yl bestehende Summe, so ist\nPi \u2022 f ixi > ?/l) + P\u20181 \u2022 f[\u00b0h j yi )+\u2022\u2022\u2022+ Pn \u2022 f(xn) yn)\nrational durch Mittelwerthpotenzen \u00abj)*\u2019 darstellbar. Sind nun die Werthe von f[xx, yx) gewissen Einschr\u00e4nkungen unterworfen, so gewinnt man auf Grund derselben Ungleichungen f\u00fcr die Mittelwerthe G, v Setzt man aber % = f[xj,\tz\u00ab2 = f[xt, |/2); . .. u\u201e = f(xn, \u00ab/,,),\nso \u00fcbertragen sich die f\u00fcr die Mittelwerthe\n7jl \u2014 Pilll + p\u00efU'l -{- \u2022 \u2022 \u2022 + pn, un\ngeltenden Beziehungen auf die aus den Gr\u00f6\u00dfenpaaren xx, yx gebildeten Mittelwerthe e\u201e,r.","page":521},{"file":"p0522.txt","language":"de","ocr_de":"522\nGotti. Friedr. Lipps.\nIV. Abh\u00e4ngigkeit,sbestinimuiigen.\n\u00a7 1.\tC.G., die von variirbaren Oonstanten abh\u00e4ngen.\nFehlerreihen.\nWird eine und dieselbe Gr\u00f6\u00dfe wiederholt beobachtet, so ergibt sich im allgemeinen, in Folge der unvermeidlichen Beobachtungsfehler eine Reihe von mehr oder minder verschiedenen Werthen, die einen C.G. bilden. Die Exemplare des O.G. \u2014 die einzelnen Beobachtungen \u2014 sind von der beobachteten Gr\u00f6\u00dfe abh\u00e4ngig; denn nur unter dieser Voraussetzung hat es einen Sinn, Beobachtungen anzustellen. Und die Abh\u00e4ngigkeit muss sich darin zeigen, dass eine Ver\u00e4nderung der beobachteten Gr\u00f6\u00dfe zu einer in bestimmter Weise ver\u00e4nderten Beobachtungsreihe f\u00fchrt. Die beobachtete Gr\u00f6\u00dfe ist somit ein Parameter der Beobachtungsreihe.\nHieraus erhellt, dass Beobachtungsreihen Beispiele von C.G. darbieten, deren Besonderheit in der Abh\u00e4ngigkeit von Parametern besteht. F\u00fcr einen und denselben C.G. bleiben die Parameter constant. Ver\u00e4ndern sich aber ihre Werthe, so entsteht ein neuer C.G., der eine Transformation des urspr\u00fcnglichen darstellt; und die Ge-sammtheit aller Werthe, die den Parametern zuertheilt werden k\u00f6nnen, bestimmt eine Gruppe zusammengeh\u00f6riger C.G.\nZwei in dieser Weise zusammengeh\u00f6rige C.G. besitzen verschiedene Mittelwerthe. Ihre Verschiedenheit beruht auf der Verschiedenheit der Parameter. In der Gesetzm\u00e4\u00dfigkeit, mit der sich die Mittelwerthe \u00e4ndern, tritt daher die Abh\u00e4ngigkeit des C.-G. von den Parametern zu Tage.\nIst z. B. ein C.G. gegeben, dessen Exemplare (in der Anzahl m) ohne R\u00fccksicht auf Gleichheit und Verschiedenheit durch U\\, a2... n\u00bb mit dem arithmetischen Mittel b = (% + a2 + \u2022 \u2022 \u2022 + am) : m und den auf b bezogenen Mittelwerthen t, = 0, e2, \u00ab3 ... bezeichnet werden, und ist nur ein Parameter vorhanden, dessen Aenderung um y eine gleich gro\u00dfe Aenderung aller Exemplare des C.G. erzeugt, \u2014 so ist, wenn durch a\\, a'2 . . , a'm die Exemplare, durch b' das arithmetische Mittel, durch t\\ = 0, s2, 4 . . . die auf b' bezogenen Mittelwerthe des transformirten C.G. angegeben werden,\nax = ax -j- y","page":522},{"file":"p0523.txt","language":"de","ocr_de":"Die Theorie der Collectivgegenst\u00e4nde.\n523\nx = 1, 2 ... m und folglich\nV = b -(- y ; e[ \u2014 e' \u2014 0 ;\t= \u00a32 i 83 ==\t! \u2022 \u2022 \u2022\t(-M\njeder Abweichung a'x \u2014 V eine gleich gro\u00dfe ax \u2014 b zur Seite steht, \u25a0^ird hingegen neben jenem Parameter noch ein zweiter vorausgesetzt, dessen Aenderung die Werthe au a2 ... am in gleichem Verh\u00e4ltnisse beeinflusst, so dass\n(ly = \u00c4 * dy \u20141\u201c\nf\u00fcr sc = 1, 2 ... w, so wird\ny = l \u2022 b + y ; i'i = l \u25a0 \u00a31 = 0; e-2 \u2014 A \u2022 e2 ; e'3 == A \u25a0 e3 ; ... (2)\nda nunmehr a\u2019x \u2014 b' = l \u25a0 (ax \u2014 6) zu setzen ist. Im ersten Palle \u00e4ndert sich somit nur das arithmetische Mittel um den n\u00e4mlichen Betrag wie der Parameter, w\u00e4hrend die auf das jeweilige arithmetische Mittel bezogenen Mittelwerthe dieselben bleiben; im zweiten Falle dagegen erleidet das arithmetische Mittel die n\u00e4mliche lineare Transformation wie die Einzelwerthe und es sind die Verh\u00e4ltnisse der Mittelwerthe unver\u00e4nderlich.\nDemnach muss eine Annahme bez\u00fcglich der Parameter eines C.Gr. durch, das Verhalten der Mittelwerthe bei einer Ver\u00e4nderung der Parameter ihre Best\u00e4tigung finden; und es ist anderseits m\u00f6glich, auf Grund einer f\u00fcr die Mittelwerthe zusammengeh\u00f6riger C.G. constatirten Gesetzm\u00e4\u00dfigkeit die Form zu erschlie\u00dfen, in der die C.G. von ihren Parametern abh\u00e4ngen.\nEin die Transformation ax = ax y bedingender Parameter ist offenbar vorhanden, wenn eine objectiv gegebene Gr\u00f6\u00dfe gemessen wird. Denn es ist im allgemeinen gleichg\u00fcltig, ob man unter gleichen Umst\u00e4nden etwa eine Strecke von 20 oder 30 mm auf einem Ma\u00dfstabe abtr\u00e4gt, oder die Gr\u00f6\u00dfe eines Winkels von 15\u00b0 oder 30\u00b0 bestimmt, so dass die beobachteten Werthe hei ver\u00e4nderter Gr\u00f6\u00dfe in der Hauptsache und im Durchschnitt vieler F\u00e4lle nur um den Betrag der Gr\u00f6\u00dfen\u00e4nderung sich unterscheiden1). Man wird daher erwarten,\n1) Sehnlich sagt Fe ebner (Collectivma\u00dflebre, S. 78): \u00bbBeobachtungsfehler 8md, allgemein gesprochen, wenigstens bez\u00fcglich der Messung von Baumlangen, Wesentlich unabh\u00e4ngig von der Gr\u00f6\u00dfe des zu messenden Gegenstandes, insofern akht mit dessen Gr\u00f6\u00dfe die Ma\u00dfmittel sich \u00e4ndern, sich zusammensetzen, com-P\u00fcciren ; denn freilich die Beobachtungsfehler bei Messung einer Meile werden","page":523},{"file":"p0524.txt","language":"de","ocr_de":"524\nGotti. Briedr. Lipps.\ndass die in den \u00e4u\u00dferen Verh\u00e4ltnissen und in der Individualit\u00e4t des Beobachters begr\u00fcndeten Fehlbetr\u00e4ge das eine wie das andere Mal unabh\u00e4ngig von der Gr\u00f6\u00dfe des gemessenen Gegenstandes, zu nahe den gleichen Mittelwerthen f\u00fchren, und nur der jeweilige Werth des arithmetischen Mittels verschieden ausf\u00e4llt.\nDann ist das arithmetische Mittel das Kennzeichen f\u00fcr die wirkliche Gr\u00f6\u00dfe des gemessenen Gegenstandes, und zwar in der Weise, dass einer Aenderung des Mittels eine gleich gro\u00dfe Aenderung des Gegenstandes zur Seite steht. Mangels eines Anhalts \u00fcber die etwaige Abweichung des arithmetischen Mittels, die durch besondere, bei jeder Gr\u00f6\u00dfenstufe in gleicher Weise wirkende Fehlerquellen veranlasst werden m\u00fcsste, wird man daher das arithmetische Mittel ohne weiteres als den gesuchten Gr\u00f6\u00dfenwerth in Anspruch nehmen.\nDies gilt ohne R\u00fccksicht auf die Mittelwerthe = 0, e2, e3 . . ., welche die Gruppirung der Fehler um das arithmetische Mittel bestimmen. Die Annahme, dass im arithmetischen Mittel der gesuchte Werth einer wiederholt gemessenen Gr\u00f6\u00dfe sich darbiete, ist daher von der Voraussetzung eines Fehlergesetzes und insbesondere von der Hypothese, dass das arithmetische Mittel der wahrscheinlichste Werth sei, unabh\u00e4ngig.\nSind die Messungsfehler von der Gr\u00f6\u00dfe des gemessenen Gegenstandes unabh\u00e4ngig, so ist es gestattet, zwei oder mehr unter gleichen Umst\u00e4nden entstandene Fehlerreihen wie eine einzige zu betrachten, und \u00fcberhaupt die Fehler der, unter \u00fcbereinstimmenden Bedingungen vorgenommenen Messungen einer Reihe gleichartiger Gr\u00f6\u00dfen so aufzufassen, wie wenn sie bei der wiederholten Messung eines einzelnen Gegenstandes entstanden w\u00e4ren.\nDies kommt insbesondere dann zur Geltung, wenn es sich um die Beobachtung verschiedener, von einander abh\u00e4ngiger Gr\u00f6\u00dfen handelt. Dann bestehen Relationen, welche die Abh\u00e4ngigkeit zum Ausdruck bringen. Die verschiedenen Gr\u00f6\u00dfen sind daher als Func-\ngr\u00f6\u00dfer sein als bei Messung einer Fu\u00dflange, aber nur, weil mehr und zusammen-gesetztere Operationen zur Messung der ersteren geh\u00f6ren ; indess die Beobachtungsfehler bei Messung eines hohen Thermometer- oder Barometerstandes, allge\u00aeein gesprochen, nicht gr\u00f6\u00dfer sind als bei Messung eines niedrigen.\u00ab","page":524},{"file":"p0525.txt","language":"de","ocr_de":"Die Theorie der Collectivgegenst\u00e4nde.\n525\ntionen einer kleineren \u25a0 Anzahl unabh\u00e4ngiger Variablen f, y, \u00c7 aufzufassen, deren Werthe auf Grund der Beobachtungen zu berechnen sind. Ist aber f(S, rj, | . , .) eine solche Function, so kann s;e bekannthch in eine lineare Form gebracht werden, da man stets hinreichend angen\u00e4herte Werthe %, Co \u2022 \u2022 \u2022 angehen kann, so dass die Function f\u00fcr den in Betracht kommenden Bereich der Argumente r(i 4- x, \u00ee?0 + .//, &>+*\u2022\u2022\u2022 durch\n\u201e\tbf ,\t\u00f6/- ,\t\u00f6/1\n/il, \u00ee, S. \u2022 0C. \u2022\u2022\u2022! + *\u2022-51 + !\u00bb\tW + \" '\ndarstellbar ist, wo h\u00f6here Potenzen und die Producte von x, y, % .. . vernachl\u00e4ssigt werden d\u00fcrfen. Jedem beobachteten Werthe tritt somit eine lineare Gleichung von der Form\na + \u00dfx + yy + \u00f6z + \u2022 \u2022 \u2022 \u2014 0\nzur Seite, wo a die Differenz des vorl\u00e4ufig berechneten Werthes /\u25a0(Io, \u00bbio, Co\t\u25a0\t\u2022\t\u2022)\tund des beobachteten\tWerthes\t/\"(!,\trj,\t\u00c7\t. . .) ist.\nUnd es gilt\tnun,\taus dem Systeme der\tlinearen\tGleichungen\n\u00abi + fit\u00ae + nv +\t\u25a0 \u2022 \u2022 = 0\n\u00ab2 ~b \u00dfix \u201cb JiV -r\t' \u2022 p \u2014 0\n\u00ab3 -i- tV\u2018 ~b 'Ml -;\u2022\u2022\u2022\u2022 --- 0\nderen Anzahl gr\u00f6\u00dfer als die Anzahl der Unbekannten x, y, ... ist, ein Werthensystem der Unbekannten zu bestimmen.\nNun hat die Einsetzung irgend eines Systems von Werthen x,y,... f\u00fcr die Unbekannten das Auftreten einer Fehlerreihe Ju /!$... auf Grund der Gleichungen\nai + \u00dfi\u00ae + YiV + \u2018 \u2019 ' =\n\u00ab2 ~lr \u00df-ix -b YtV ~b \u00ab3 -b \u00dfsx + yaV + ' \u2018 \u2022 = ^3\nzur Folge, so dass im allgemeinen verschiedenen Werthensystemen *,?/... verschiedene Fehlerreihen entsprechen, und umgekehrt durch (be Aufstellung einer geeigneten Bedingung, der die Fehlerreihe ge-n\u00dcgen soll, die Unbekannten bestimmt werden k\u00f6nnen.\nZu einer solchen Bedingung f\u00fchrt die Anerkennung des Grandies , dass die Beobachtungen einer Reihe zusammengeh\u00f6riger","page":525},{"file":"p0526.txt","language":"de","ocr_de":"526\nGotti. Friedr. Lipps.\nGr\u00f6\u00dfen so zu behandeln sind, wie wenn sie aus den wiederholten Beobachtungen au a^, a3 . . . einer und derselben Gr\u00f6\u00dfe herr\u00fchrten In diesem Fall ist das arithmetische Mittel b der gesuchte Werth F\u00fcr denselben ist die Summe aus den Quadraten der Fehler 4<l \u2014 \u00ab2 \u2014 b\\ Vi = a:t \u2014 b; ... kleiner als f\u00fcr jeden anderen, von b verschiedenen Werth. Es muss daher auch f\u00fcr die Gleichungen (3)\nA +4 2 + 4 H-----\nein Minimum sein. Dies f\u00fchrt dazu, die Unbekannten x, y . . . nach der Methode der kleinsten Quadrate aus den Gleichungen\n\nIx\nbjy\nby\n+\n+ ^2\nbx\n2\nby\n+ <^3\n+ ^ 3\nbjdg\nbx\nb_\u00a33 by\n+ \u2022\n= 0 = 0\nzu berechnen.\nDie Anwendung der Methode der kleinsten Quadrate beruht demnach wesentlich auf der Voraussetzung, dass die Beobachtungsfehler von der beobachteten Gr\u00f6\u00dfe unabh\u00e4ngig sind1). Denn nur unter dieser Voraussetzung d\u00fcrfen die bei der Messung verschiedener, zusammengeh\u00f6riger Gr\u00f6\u00dfen auftreten-den Fehler so aufgefasst werden, wie wenn sie bei der wiederholten Messung einer und derselben Gr\u00f6\u00dfe entstanden w\u00e4ren. \u2014 Die H\u00e4ufigkeit, mit welcher die verschiedenen Fehler sich einstellen, kommt hingegen ebenso wenig wie bei der Annahme, dass das arithmetische Mittel aus den wiederholten Messungen einer Gr\u00f6\u00dfe den gesuchten Werth angebe, in Betracht. Die Methode der kleinsten Quadrate ist daher nicht an die Geltung eines bestimmten Fehlergesetzes gebunden. Sie ist insbesondere von dem Bestehen des gew\u00f6hnlichen Fehlergesetzes, auf welches sie in der Hegel gegr\u00fcndet wird, unabh\u00e4ngig.\nIst jedoch die Beobachtungsreihe nicht in der einfachen (die Transformation a'x = ff* -f- y bedingenden) Weise von der Gr\u00f6\u00dfe des\n1} Man kann noch hinzuf\u00fcgen, dass die Fehler f\u00fcr den Fall nicht linearer Functionen f :$. \u2022/;, \u00c7 . . .; klein genug sein m\u00fcssen, um in der n\u00e4herungsweise g\u00fcltigen linearen Form (3) darstellbar zu sein.","page":526},{"file":"p0527.txt","language":"de","ocr_de":"Die Theorie der Collectivgegenst\u00e4nde.\n527\nbeobachteten Objectes abh\u00e4ngig, so ist das arithmetische Mittel f\u00fcr sich allein zur Charakterisirung der Abh\u00e4ngigkeit nicht ausreichend: es m\u00fcssen noch die auf das arithmetische Mittel bezogenen Mittel-Berthe hinzutreten, die alsdann eine Bedeutung f\u00fcr das beobachtete Object gewinnen, und nicht mehr blo\u00df durch die zuf\u00e4llig wechselnden \u00e4u\u00dferen Umst\u00e4nde und durch die individuellen Besonderheiten des Beobachters bedingt werden1).\nDie Abh\u00e4ngigkeit von Parametern ist aber nicht etwa auf Beobachtungsreihen eingeschr\u00e4nkt. Jede Gruppe zusammengeh\u00f6riger C.G. fordert vielmehr die Annahme von Parametern und, wenn m\u00f6glich, die Zerf\u00e4llung in solche Untergruppen, die nur von einem Parameter abh\u00e4ngen. Und zur Feststellung der Abh\u00e4ngigkeit dient die Angabe der Ver\u00e4nderung, welche der Ausgangswerth und die auf den Ausgangswerth bezogenen Mittelwerthe des O.G. bei einer Ver\u00e4nderung des Parameters erleiden. In dieser Weise ist z. B. die Variation einer Pflanzen- oder Thierspecies im Zusammenhang mit dem Wechsel bestimmter Existenzbedingungen (wie Bodenbeschaffenheit, Klima, Ern\u00e4hrungsweise) zu untersuchen und festzustellen. Die Theorie der C.G. tritt alsdann in den Dienst entwicklungsgeschichtlicher Probleme und wird zur Grundlage f\u00fcr eine mit mathematischen H\u00fclfsmitteln arbeitende Entwicklungslehre.\nEin besonderer Fall solcher Abh\u00e4ngigkeit liegt vor, wenn ein C.G. aus zwei oder mehr C.G. von bestimmter Beschaffenheit zusammengesetzt ist. Werden z. B. nur zwei C.G. als Componenten vorausgesetzt, von welchen der eine durch das arithmetische Mittel h und die auf bL bezogenen Mittelwerthe eu = 0, \u00ab12, \u00abJ3 . . . und der andere durch das arithmetische Mittel b2 und die auf b2 bezogenen Mittelwerthe e2i =0, e22, e23 . . . bestimmt wird, und verhalten sich die Anzahlen der Exemplare beider C.G. wie p '\u25a0 Q, wo P + q = 1, so gelten f\u00fcr den zusammengesetzten C.G. mit dem arithmetischen Mittel b und den auf b bezogenen Mittelwerthen e\u201e die Beziehungen:\n1) Dies gilt insbesondere bez\u00fcglich der Beobachtungsreihen der experimen-len Psychologie und der Psychophysik.","page":527},{"file":"p0528.txt","language":"de","ocr_de":"528\nGotti. Friedr. Lipps.\nh = pby + qbp,\ne\\. \u2014 p \u2022 |e\u00eejV + I ^ j \u00ab\u00cf, v\u2014l (b\\ \u2014&)+\u2022\u25a0\u2022 + (5j \u2014 &)\u2019j\n+ \u00cf \u25a0 je2, V + I j \u00ab2, y-V (b\u2018> \u2014 b) + \u2022 \u25a0 \u2022 + (b-2 \u2014 ft)\u201d j\n(4)\nv=l, 2, 3....\nHieraus erkennt man, wie die Werthe 5 und er des zusammengesetzten C.G. sich \u00e4ndern m\u00fcssen, wenn die Art und Weise der Zusammensetzung, die in den Werthen p und q zum Ausdruck gelangt, und die Constanten bu e12, s13.. oder b2, ei2, \u00a3is \u2022\u2022 in Folge eines Entwicklungs-processes der einen oder der anderen Componente variiren.\n\u00a7 2. C.G., deren Merkmale in wechselweiser Abh\u00e4ngigkeit variiren. Correlation.\nWird ein C.G. durch das Variiren von zwei Merkmalen a und b erzeugt, so k\u00f6nnen die Exemplare des C.G. sowohl mit R\u00fccksicht auf a oder b allein wie auch mit R\u00fccksicht auf beide Merkmale zugleich geordnet werden. Man findet alsdann, wenn der ganze Be-griffsumfang des C.G. oder ein dem Gesammtumfange \u00e4hnlicher Theil untersucht wird, f\u00fcr jede Abstufung des einen und des anderen Merkmals und f\u00fcr jede Combination der Abstufungen den zugeh\u00f6rigen H\u00e4ufigkeits- oder Wahrscheinlichkeitswerth. Werden die m\u00f6glichen Abstufungen von a und b durch die reellen, ihrer Gr\u00f6\u00dfe nach aufeinanderfolgenden Zahlen a2 ... ar und bu b2 ... bs bezeichnet, und findet man f\u00fcr ax, hx und die Combination (ax, b-,) die Wahr-scheinlichkeitswertlie ux, Vx, pxi (wo x die Werthe 1, 2 ... r\\ l die Werthe 1, 2 ... s annehmen kann), so stellt sich der Ertrag der Untersuchung des C.G. in folgenden drei Vertheilungstafein dar.\n\u00ae|\tCh\t... .\tClr\tjgj\nl(y\tU%\t...\tUy\nh\tb2\t...\tbs\t(g)\ni\\\tv2\t...\tvs\n\tctv\t\u00ab2 \u2022\t. ar\nh\tPu\tPi 1 \u2022\t\u25a0 Prl\n^2\tPli\tPli \u2022\t\u2022 Pri\nbs\tPu\tPis \u25a0\t. PrS\n(T","page":528},{"file":"p0529.txt","language":"de","ocr_de":"Die Theorie der Collectivgegenst\u00e4nde.\n529\nEs ist hier:\nux \u2014 Px 1 + Pxl\t+ \u2022 \u2022 \u25a0 \u25a0+\u25a0 Pxs\nvx \u2014 Pa + Pu\t+ \u25a0 \u25a0 \u2022 + Prx\n1 = yj U-x = ^ n =^J PxX\nNun\tlassen\tsich jedem der r Werthe ux je s\tWerthe\tvyA)\tvx%\t...\n\u00ff und jedem\tder\ts Werthe rA je\tr Werthe Uu.,\tu-u\t\u25a0\t\u25a0\t\u25a0\turx\tzuord-\nnen, so dass einerseits f\u00fcr 1, 2 ... r\nPxl \u2014 Ux \u25a0 v\u201el ; pxl = Ux \u2022 Vx2 ;\t... Pxs = Ux * V*\nVxl + Vx2 +\u2022\u2022\u2022\u201c)\u201c vxs = 1 ,\nund anderseits f\u00fcr\tl = 1, 2 ... 8\t\nPa = Vx \u25a0 Uix ; Pli = VX \u2022 U%1 ;\t\u2022 \u2022 \u2022 Pf). \u2014 Uu + Uu + \u2022 \u2022 \u2022 + UrX = 1. Die Yertheilungstafel (7) kann daher ebensowohl in\t\t\n\t\u00abi\ta-2\t...\tar\nh bi\ttl\u00b1 \u2022\tU^ * ^21 * \u2022 \u2022 Ui * Vn U2 \u2022 Vn \u2022 \u2022 \u2022\tUf \u2022 Vfi U, \u2022 Vr2\nbs j\t11*1 \u2022 v-)$ \u2022 \u2022 \u2022 wie auch in der Form\t\tUy * Vfs\n\ta-i\t...\tar\nh h\t\u00ee/\u2019i \u2022 Ua\ti\\ \u2022\t\u2022 \u2022 \u2022 9% \u25a0 Uyi\tV2 \u25a0 U\u201822 \u25a0 . .\t\u00ee/j \u2022 Uyi \u2022 \"22^2\nbs\tVs * UU Vs \u2022 U<is . \u2022 .\t\n(7a)\n(7b)\ndargestellt werden.\nEs wird sonach hei Festhalten der Abstufung ax das Variiren des Merkmals b innerhalb der Reihe blt b.2 ... bs durch die Wahr-8cheinlicbkeitswcrtbe vxi, v-xi \u25a0 \u25a0 \u25a0 vxs geregelt, w\u00e4hrend nach Be-8luninung einer Abstufung bi die Abstufungen ar, a2 ... ar des Merkmals a den Wahrscheinlichkeitswerthen \u00abu, uu . \u25a0 . urx entbrechend auftreten. Das Yariiren des Merkmals b erfolgt daher in","page":529},{"file":"p0530.txt","language":"de","ocr_de":"530\nGotti. Friedr. Lipps.\nAbh\u00e4ngigkeit von dem Merkmal a, wenn die Wer the vyA} vy2 . v mit x sich \u00e4ndern. Dann \u00e4ndern sich zugleich die Werthe \u00abU) ,,** . . . uri mit l, so dass alsdann auch das Merkmal a in Abh\u00e4ngig]^ von dem Merkmale b variirt. Es ist hingegen keine Abh\u00e4ngig]^ vorhanden, wenn vxi, vx2 . . . vxs von x und mithin auch \u00bbU) Un uri von l unabh\u00e4ngig ist. In diesem Falle wird\nVx = Vu = Vu = \u2022 \u2022 \u2022 = Vrx ,\n\u2014- UyA\t' * \u2019 ~~~ 't't'y.s i\nso dass die Darstellungsformen (7 a) und (7 h) mit einander \u00fcbereinstimmen und jede in der Gestalt\naY a2 ... ar\n%\t' Vy\t\u00ab2 \u2022\t\u25a0Vy . .\t. . ur \u25a0\t\u2022 Vy\t\nlly \u25a0\t\u25a0 Z>2\t\u00ab2 '\tV2 . .\t. Ur \u2022\t\u25a0 v2\t(7c)\nUy \u25a0\t\u2022 v,\tUt\t\u2022 Vs \u25a0\t. . Ur\t\u25a0 vs\t\nsich darbietet.\nMan gewinnt hieraus die Erkenntniss:\nZwei Merkmale a und b eines C.G. variiren unabh\u00e4ngig von einander, wenn f\u00fcr die Wahrscheinlichkeitswerthe n, v,p der Vertheilungstafeln (5), (6), (7) die Relationen\nPx>. = ux \u25a0 vx\t(8)\nf\u00fcr x = 1, 2 ...?\u25a0; I \u2014 1, 2 ... s Geltung haben. Die Merkmale variiren hingegen in wechselweiser Abh\u00e4ngigkeit \u2014 es besteht Correlation \u2014 wenn die Wahrscheinlichkeitswerthe diesen Relationen nicht oder nur theilweise gen\u00fcgen.\nDemgem\u00e4\u00df ist das Bestehen von Correlation der allgemeine, in der Regel auftretende Fall, w\u00e4hrend das g\u00e4nzliche Fehlen von Correlation nur ausnahmsweise zu erwarten ist \u2014 ganz ebenso, wie die Symmetrie eines C.G. nur einen Ausnahmefall gegen\u00fcber der Asymmetrie darstellt.\nDie Anwendbarkeit der Relationen (8) wird aber dadurch beeintr\u00e4chtigt, dass die Wahrscheinlichkeitswerthe im allgemeinen nur innerhalb gewisser Grenzen zuverl\u00e4ssig bestimmt werden k\u00f6nnen. Es ist daher angezeigt, auf Grund jener Relationen andere Kennzeichen","page":530},{"file":"p0531.txt","language":"de","ocr_de":"Die Theorie der Collectivgegenst\u00e4nde.\n531\nder Correlation zu entwickeln, die sich auf die Mittelwerthe der Vertheilungstafel (7) st\u00fctzen.\nWerden die auf ein beliebiges Wertbenpaar (c, d) bezogenen Mittelwerthe f\u00fcr q \u2014 0, 1, 2 . . . ; a = 0, 1, 2 . . . durch\n2 PAa* \u2014 cf \u2022\t\u2014 d)\u00b0\t(9)\nx,A\ndefinirt, so ist, wenn keine Correlation besteht, mit R\u00fccksicht auf (8)\n4V=2 u* (\u00ab* - c)e \u2022 2v>- ^ ~ d\"F-\nx\t/L\nEs ist aber der Bedeutung von ux und Vi zufolge\n4,0 == 'M'xiP'x\tj\nX\n\u00ab:;,\u00bb=^v,[h~d)\\\ni\nso dass\n4+o\u00b0 = 4o \u2022 \u00ab\u00ab%.\t(io)\nUmgekehrt folgen aus dem Bestehen dieser Gleichungen f\u00fcr \u00e7 = 0, 1... r \u2014 1; a \u2014 0, 1 ... s \u2014 1 die Beziehungen pxx \u2014 ux \u25a0 vx, so dass die Relationen (10) an die Stelle der Relationen (8) treten k\u00f6nnen. Demgem\u00e4\u00df gilt der Satz :\nZwei Merkmale a und b eines C.G. variiren unabh\u00e4ngig von einander, wenn die Mittelwerthe der Vertheilungstafel (7) den Bedingungen\n\u00e7+ij _ q a\na \u2014 Sy, 0 * \u00ab0,(1\nf\u00fcr \u00e7 \u2014 1, 2 ... r \u2014 1; a = 1, 2 ... s \u2014 1 gen\u00fcgen. Es besteht hingegen Correlation zwischen den Merkmalen, wenn diese Bedingungen nicht oder nur theilweise erf\u00fcllt werden.\nDie Werthe der Differenzen\n4%\u00b0 ~ 4o '\t(H)\nf\u00fcr (> = 1 f 2 . . . r \u2014 1; a \u2014 1, 2 . . . s \u2014 1 bieten sich somit afs Kennzeichen der Correlation dar. Sie m\u00fcssen s\u00e4mmtlich gleich\nWon at, Philos. Studien. XVII.\t35","page":531},{"file":"p0532.txt","language":"de","ocr_de":"532\nGotti, Friedr. Lipps.\nNull sein, wenn das Fehlen der Correlation sicher gestellt sein soll-w\u00e4hrend jeder von Null verschiedene Werth das Vorhandensein von Correlation bezeugt.\nDie Correlation zwischen den Merkmalen a und b des durch die Vertheilungstafel (7) dargestellten C.G-. wjrd folglich durch die (r \u2014 1) \u2022 (s \u2014 1) Werthe\no \u2014 S\u00ff, a e\u00ff, 0 \u2018 \u00ab0, a\nf\u00fcr \u00e7 = 1, 2 ... r \u2014 1; a \u2014 1, 2 ... s \u2014 1 vollst\u00e4ndig bestimmt und kann so vielgestaltig sein wie die Reihe dieser Werthe.\nEs werden allerdings in der Regel \u2014 von C.G. mit sehr beschr\u00e4nkter Vertheilungstafel abgesehen \u2014 die nach (II, \u00a7 6) zur vollst\u00e4ndigen Bestimmung des C.G. erforderlichen r \u25a0 s \u2014 1 Mittel-werthe sftff und demzufolge die [r \u2014 1) \u2022 (s \u2014 1) Werthe J,h\u201e nicht insgesammt zur Verf\u00fcgung stehen. Dies hindert aber keineswegs, auch bei einem C.G., der durch eine kleinere Anzahl von Mittel-werthen charakterisirt wird, von fehlender oder vorhandener Correlation zu reden \u2014 soweit dieselbe durch die thats\u00e4chlich berechneten Mittelwerthe zur Kenntniss gebracht wird. So werden beispielsweise bei einem C.G., der durch die Mittelwerthe e10, e01, \u00abu, \u00ab20, \u00abo2\u00ee *21> \u00a3)2, \u00ab22 charakterisirt wird, die Werthe\n2\n*11 \u2014 *10 \u2022 *01 = 11\n*21 \u2014 *20 ' *01 \u2014 ^21\n\u201e3\t2\t.\n*12 \u2014 *10 \u2022 *02 = d 12\n4\t2\t2\n*22 \u2014 *20 \u2022 *02 \u2014 ^22\ndas Urtheil \u00fcber Correlation bedingen (vergl. das Beispiel in V, \u00a7 4). Es ist hingegen nur als ein Nothbehelf anzusehen, wenn blo\u00df ein einzelner Zahlenwerth als \u00bbCorrelationscoefficient\u00ab der Bestimmung der Correlation zu Grunde gelegt wird1).\n1) Zur Ableitung eines solchen Correlationscoefficienten f\u00fchrt die von Gal ton zuerst entwickelte und durch Pearson wesentlich gef\u00f6rderte Auffassung der","page":532},{"file":"p0533.txt","language":"de","ocr_de":"Die Theorie der Collectivgegenst\u00e4nde.\n533\nUm nun die Werthe a f\u00fcr besonders einfach gestaltete Ver-theilungstafeln etwas n\u00e4her zu bestimmen, m\u00f6gen die r \u25a0 s Werthen-paare [ax \u2014 e, b>. \u2014 d) mit Beiseitelassen der leeren Paare (f\u00fcr welche das zugeh\u00f6rige px% gleich Null ist) in eine einzige Reihe von n Gliedern geordnet und durch (xt, ?/,); (x2, y2) . . . (x\u201e, y\u201e) mit den zugeh\u00f6rigen Wahrscheinlichkeitswerthen p2, p2 ... pn bezeichnet werden. Zugleich sollen die Werthe x und y als rechtwinkelige Coordinaten der Ebene gedeutet werden. Dann tritt zur Definition der Mittelwerthe an Stelle von (9) [entsprechend der Formel III, (96 a)]:\n4%a \u2014 Pi \u25a0 x'iyai + Pi \u25a0 xWi +\u2022\u2022\u2022+?\u00bb\u2022 xlyl \u2022\nDurch Multiplication mit pt + p2 + \u2022 \u2022 \u2022 + pn = 1 sich hieraus\n= Pi \u25a0 xWi + pl \u2022 xhz + \u2022 \u2022 \u2022\n+ P1P2 (Ayl + rtih) + \u2022 \u2022 \u2022\nCorrelation. Galton sagt (Correlations and their measurement, chiefly from anthropometric data; Proceedings Roy. Soc. London; Yol. XLY, 1888, S. 185): >Two variable organs are said to be correlated when the variation of the one is accompanied on the average by more ore less variation of the other, and in the same direction. Thus the length of the arm is said to be correlated with that of the leg, because a person with a long arm has usually a long leg and conversely.\u00ab Dem entsprechend gr\u00fcndet Galton die Bestimmung der Correlation darauf, dass zu jedem Werthe ay ein mittlerer Werth pxlbi + px2b2 + \u2022\u2022\u2022 + pxPJs und zu jedem Werthe b2 ein mittlerer Werth p12ai ~h p22a2 + Priar Se~ h\u00f6rt. \u2014 Pearson hingegen defmirt (Mathematical contributions to the theory of evolution. HL Regression, heredity and panmixia. Philosophical Transactions Roy. Soc. London; Yol. 187 A, 1896, S. 257): >Two organs in the same individual, \u00b0r in a connected pair of individuals, are said to be correlated, when a series of the first organ of a definite size being selected, the mean of the sizes of the corresponding second organ is found to be a function of the size of the selected first organ. If the mean is independent of this size, the organs are said to be uon-correlated. Correlation is defined mathematically by any constant or series \u00b0f constants, which determine the above function.\u00ab Unter Voraussetzung des \u2018normalen Vertheilungsgesetzes\u00ab, das bei Beschr\u00e4nkung auf eine Variable in das gew\u00f6hnliche Fehlergesetz \u00fcbergeht, findet sodann Pearson die Correlation bestimmt durch den am Schluss dieses Paragraphen (15b) mitgetheilten Werth. \u2014 Eine Darlegung der Methode Galton\u2019s und Pearson\u2019s gibt Duncker \u00bbdie Methode fier Variationsstatistik\u00ab, Archiv f\u00fcr Entwicklungsmechanik der Organismen, VIII, 1899, S. 148.\n(12)\nergibt\n35*","page":533},{"file":"p0534.txt","language":"de","ocr_de":"534\nGotti. Friedr. Lipps.\nSubtrahirt man hiervon das Product\n\u00ab|,o \u2022 \u00abo,a = pl \u25a0 x\\y\\ + pi \u25a0 x\\y\\ + \u2022 \u2022 \u25a0 + P\\Pi{x\\yl + x\\yfj + \u2022 \u2022 \u2022 ,\nso erh\u00e4lt man\n4%\u00b0 \u2014 \u00ab1,0 \u25a0 \u00abo,o = PiPi (x'i \u2014 x'i) [y\\ \u2014 yt) + \u2022 \u2022 \u2022\t(13}\nDemgem\u00e4\u00df ist der durch (11) definirte Werth jedenfalls dann positiv, wenn f\u00fcr alle voneinander verschiedenen Werthenpaare [x,,, \u2019th) i (xn ?Jy) die Producte\n(4 \u2014 x'i) {yl \u2014 yi)\npositiv sind. Bieten jedoch diese Producte durchweg negative Werthe dar, so ist auch JQt0 jedenfalls negativ.\nUm diese Bestimmungen zu verdeutlichen, werde in der \u00e6y-Ebene eine Curve vorausgesetzt, auf welcher die n Punkte.^, y2), [x2, y2) . . . (x,n y\u00ab) liegen.\nBesteht diese Curve aus einem einzigen, durchweg steigenden Zuge (Fig. 3 a), der im \u00fcbrigen beliebig verlaufen m\u00f6ge, so wachsen die Ordinaten y, wenn die Abscissen x wachsen. Es ist daher, wenn Xi < x2 < \u2022 \u2022 \u2022 < x\u201e zugleich y1 <[ y2 < \u2022 \u2022 \u25a0 < y\u201e- Dann bestehen aber auch f\u00fcr q = 1, 2, 3\t= 1, 2, 3 ... die Ungleichungen\nxl*-1 < x]*-1 <\ni\u00b0~l < y\\0-1 <\n2p\u20141\n<\\ Xn ,\n____ 2o-l\nl)n !\nso dass alle Producte\nG#-1 - xin. ($-1 - ir%\nf\u00fcr welche p von v verschieden ist, positiv sind. \u2014 Diese Producte sind hingegen insgesammt negativ, wenn der Curvenzug durchweg f\u00e4llt (Fig. 3 b), so dass bei wachsenden x die y abnehmen; denn nun gelten die Ungleichungen\nFig. 3 b.\nxlQ-1 <\t<\t< a#\"1,\ny\\a~l > yla~l >\u25a0\u25a0\u25a0> yi\u00b0~l \u25a0\nVerl\u00e4uft jener Curvenzug vollst\u00e4ndig im Gebiete der positiven Ordinaten und wird demselben der zur a>Axe symmetrische (i\u00ae","page":534},{"file":"p0535.txt","language":"de","ocr_de":"Die Theorie der Collectivgegenst\u00e4nde.\n535\nGebiete der negativen Ordinaten verlaufende) beigesellt, so m\u00f6ge die aus beiden Z\u00fcgen bestehende Curve (Fig. 4) durchweg steigend oder durchweg fallend hei\u00dfen, je nachdem die absoluten Betr\u00e4ge der Ordinaten y bei wachsendem x st\u00e4ndig zunehmen oder st\u00e4ndig abnehmen. Dann ist f\u00fcr beliebige, auf den beiden Zweigen einer durchweg steigenden Curve liegende Punkte \\yt \\ <|\u00ffj|<,,,< \\y\u00bb\\ > wenn xY < x2 <\u2022 \u25a0 \u25a0 <; xn. Es bestehen daher f\u00fcr q = 1, 2, 3 . . .; a = 1, 2, 3 . . . die Ungleichungen\nIo\u20141\t\u201e2o-l ^\nXi' <C Xf <.\n1a __-\t2 a\ny i <y-i <\n\u25a0 < xl'~l, \u2022 < y\u00bb ,\nso\ndass die Producte\nt\u00e4r' - *?-') \u25a0 \u00ab' - yl\").\n/\tS.\tj\n^2p-l Fig\t\"\"\" 7* 2a P\u00b0s* 4 a.\n4,-1.2. Fig. 4 b.\nwenn ft nicht gleich r ist, positiv sind. \u2014 Zugleich erhellt, dass diese Producte insgesammt negativ sind, wenn die Curve durchweg f\u00e4llt, da alsdann die beiden Keihen von Ungleichungen\n2p\u20141\t2o\u20141\nXf < X-f <\n2o \\ \u201e,2a 2/i\t>2/2 >\n< X\n> y\\\n,2o-l\n2a\naneinander gekn\u00fcpft sind.\nGeh\u00f6rt hingegen der anf\u00e4nglich ins Auge gefasste, durchweg steigende oder durchweg fallende Curvenzug v\u00f6llig dem Gebiete der positiven Ahscissen an, und wird demselben der zur y-Axe symmetrische zugeordnet, so soll auch die aus beiden Z\u00fcgen zusammengesetzte Curve (Fig. 5) durchweg steigend oder durchweg fallend genannt werden, je nachdem das eine oder das andere von dem im positiven Abscissengebiete verlaufenden Zuge gilt. Dann sind \u2014 wie ohne weiteres klar ist \u2014 die Producte\n\t\n\t/\n1a\u2014i P0S\u2019 Pig. 5 a.\n2(7-1\nJ1o, to-1 neS-Fig. 5 b.\n\u2018)\n\u25a0 \u00abB \u2022 (y\u00ef~l - \u00a3\nf\u00fcr verschiedene Wertlie u und v alle positiv oder alle negativ, wenn","page":535},{"file":"p0536.txt","language":"de","ocr_de":"536\nGotti. Friedr. Lipps.\ndie Punkte beliebig auf einer durchweg steigenden oder durchweg fallenden Curve gelagert sind.\nSchlie\u00dflich soll eine Curve auch dann noch als durchweg steigend oder durchweg fallend gelten, wenn sie aus vier zur x-Axe und y-Axe symmetrischen Z\u00fcgen zusammengesetzt ist, von welchen jeder ganz innerhalb je eines der vier von den Coordinatenaxen gebildeten Ebenenquadranten sich h\u00e4lt, und wenn f\u00fcr jeden Zug die Zunahme des absoluten Betrags der Abscissen ausnahmslos von einer Zunahme oder Abnahme des absoluten Betrags der Ordinaten begleitet ist (Fig. 6). Dann gelten f\u00fcr beliebige Punkte dieser Curve die Ungleichungen\nFig. 6 a.\nx\\9 < %2S < \u2022 ' \u2022 < xl9 y\\a <yf<---< tu\n\u2022> bei st\u00e4ndigem \"Wachsen, und die Ungleichungen\n2o\t2p ^\t_-\u2022\t2o\n\u00abF <\u00ab*'<\u2022\u25a0\u2022 < Xn\n2er \u201e 2a ^\t\\\t2<r\nyy ^>2/2\ty\u00bb\nbei st\u00e4ndigem Fallen. Es sind daher die Producte\n(xl9 - xl9) \u25a0 (yl\u00b0 - yl\u00b0),\nwenn (i von v verschieden ist, alle positiv f\u00fcr eine st\u00e4ndig wachsende und alle negativ f\u00fcr eine st\u00e4ndig fallende Curve.\nHieraus ergibt sich folgende Erkenntniss bez\u00fcglich der Werthe f\u00fcr \u00c7 \u2014 1, 2, 3 . . a = 1, 2, 3 . . .\nLiegen die Punkte mit den Abscissen ax \u2014 c und den Ordinaten bi \u2014 d auf einem einzigen Curvenzug, so ist\tnothwendig\npositiv oder negativ, je nachdem der im \u00fcbrigen beliebig verlaufende Curvenzug durchweg steigt oder durchweg f\u00e4llt. Geh\u00f6ren jene Punkte den beiden Zweigen einer zur x-Axe symmetrischen und durch die x-Axe getrennten Curve an, so ist z/2,j_1)2o nothwendig positiv oder negativ, je nachdem der im Gebiete der positiven Ordinaten verlaufende Zug durchweg steigt oder durchweg f\u00e4llt. Besteht hingegen die Curve aus zwei zur y-Axe symmetrischen und durch die \u00ab/-Axe getrennten Zweigen, so ist z/2?i2o-i nothwendig positiv oder negativ, je nachdem der dem Gebiete der positiven Abscissen\u2019 angeh\u00f6rende","page":536},{"file":"p0537.txt","language":"de","ocr_de":"Die Theorie der Collectivgegenst\u00e4nde.\n537\n0ug durchweg steigt oder f\u00e4llt. Wird schlie\u00dflich die Curve aus vier, zUr x-Axe und y-Axe symmetrischen und durch diese Axen getrennten Z\u00fcgen gebildet, so ist ^2^,20 nothwendig positiv oder negativ, je nachdem der im Bereiche der positiven x und positiven y sich erstreckende Zweig durchweg steigt oder durchweg f\u00e4llt. \u2014 Demgem\u00e4\u00df sind alle Werthe J,h \u201e nothwendig positiv oder negativ, wenn jene Punkte einem einzigen, auf das Gebiet der positiven x und positiven y beschr\u00e4nkten, durchweg steigenden oder durchweg fallenden Curvenzuge angeh\u00f6ren. Es gilt ferner das Gleiche f\u00fcr alle Werthe 2a, wenn der Curvenzug nur das Gebiet der negativen Ordinaten meidet, und f\u00fcr alle Werthe z/20,\u201e, wenn der Curvenzug blo\u00df dem Bereiche der negativen Abscissen fern bleibt.\nIst insbesondere der durchweg steigende oder durchweg fallende Curvenzug eine Gerade, die durch den Coordinatenanfangspunkt geht, so gen\u00fcgen die Werthenpaare (x1, yx ) ; [x2, y2) . . . [x\u201e, yn) den Bedingungen v/j = XxA ; y2 \u2014 Xx2 ... yn = Xxn. Es ist daher in diesem besonderen Falle\nfff\ne+o\noder, nach Elimination von X und Ausziehen der (q + u)-ten Wurzel (wenn man bei geradzahligem q + a und negativem vom Vorzeichen absieht),\n(14)\nso dass die Differenzen \u201e hei dieser ganz speciellen Art von Correlation durch\ndargestellt werden. Nun ist f\u00fcr geradzahlige Werthe q + a stets > \u00a3(xo und \u00a3'o,o+n > \u00abo, a (da weder q noch a gleich Null ist), so dass die angegebenen Differenzen positiv und von Null verschieden sind. Man kann darum f\u00fcr geradzahlige q + a an Stelle von (11) auch die Quotienten\n(15)\nals Kennzeichen der Correlation verwenden. Man erh\u00e4lt so f\u00fcr \u00a3 = <7 = 1","page":537},{"file":"p0538.txt","language":"de","ocr_de":"538\nGrottl. Friedr. Lipps.\n(15a)\noder, wenn die Ausgangswerthe c und d \u2014 wie in der Regel ge schehen wird \u2014 so gew\u00e4hlt werden, dass e10 = e01 = 0,\n(15b)\nDieser zwischen + 1 und \u2014 1 schwankende Zahlenwerth ist der \u00bbCorrelationscoefficient\u00ab Pearson\u2019s, der hier als erstes G-lied in einer unbegrenzt fortsetzbaren Reihe von Correlationscoefficienten auftritt. Diese Quotienten k\u00f6nnen aber nur dann zweckm\u00e4\u00dfig zur Bestimmung des correlativen Verhaltens verwendet werden, wenn es sich unzweifelhaft um die angegebene ganz specielle Art von Correlation handelt. Liegen n\u00e4mlich die Punkte (x{, ?/,); [x2, y2)\n(xn, yn) nicht auf einer Geraden, sondern auf einem einfachen Curven-zuge anderer Art, so treten an Stelle von (14) andere Relationen, die in gleicher Weise die Correlation in vollkommener Ausbildung charakterisiren.\nV. Die Anwendung der Theorie.\n\u00a7 1. Die Berechnung der Mittelwerthe ev.\na. Die Biersteilung \u00e4quidistanter a und die Wahl des Ausgangswerthes.\nWollte man die Mittelwerthe ct, e2 \u2022 \u2022 \u2022 ev der Vertheilungstafel\n)\t$2 i (t'$ . . . Ctyi\nZij - ^2,\t... %H\n(1)\nf\u00fcr einen beliebig, aber bestimmt gew\u00e4hlten Ausgangswerth b ohne weiteres berechnen, so m\u00fcsste man die Abweichungswerthe\n(\u00ab* \u2014 b), (ax \u2014 bj2 ... [ax \u2014 b)v\nf\u00fcr \u25a0/. = 1, 2, 3 ... n mit den zugeh\u00f6rigen H\u00e4ufigkeitswerthen ** multipliciren, die Abweichungssummen","page":538},{"file":"p0539.txt","language":"de","ocr_de":"Die Theorie der Collectivgegenst\u00e4nde.\n539\nm \u2022 % =^ zx [ax \u2014 b) m \u25a0 e\\ = y gy\u00ae* \u2014 \u00f6)2\n(2)\n\u2018 \u00a3r = ^7\nbilden und nach Division mit m \u2014 % +\t+ \u2022 \u2022 \u2022 + schlie\u00dflich\ndie Werthe \u00abt, \u00a32 \u2022 \u2022 \u2022 ev ableiten.\nDie Ausf\u00fchrung dieser Berechnungen ist indessen so m\u00fchevoll, dass man sich in F\u00e4llen, wo die G\u00fcltigkeit des gew\u00f6hnlichen Fehlergesetzes vorausgesetzt werden darf, auf die unmittelbare Bestimmung des Mittelwerthes der einfachen, ihrem absoluten Werthe nach genommenen (auf das arithmetische Mittel als Ausgangswerth b bezogenen) Abweichungen\nbeschr\u00e4nkt und bereits den Mittelwerth zweiter Ordnung \u00ab2 auf Grund der bekannten, f\u00fcr jenes Gesetz zutreffenden Formel\nrj vn \u2014 e2 y 2\nmit einer bei gro\u00dfem m hinreichenden Ann\u00e4herung ermittelt.\nEine derartige mittelbare Bestimmungsweise ist aber hier ausgeschlossen, da die Mittelwerthe so, wie sie von der Erfahrung dargeboten werden, der Yertheilungstafel zu entnehmen sind, um in den zwischen denselben bestehenden Beziehungen etwaige Gesetzm\u00e4\u00dfigkeiten der Yertheilungstafel erkennen zu k\u00f6nnen. Man wird darum w\u00fcnschen, das Bechenverfahren m\u00f6glichst einfach zu gestalten. Diesen Wunsch soll die im Folgenden entwickelte Berechnungsweise der Mittelwerthe befriedigen, wobei nur zu ber\u00fccksichtigen ist, dass es sich nicht blo\u00df um die Aufstellung, sondern wesentlich um die Herleitung und Begr\u00fcndung der an sich einfachen Bechnungsregeln handelt.\nEs wird hierbei vorausgesetzt, dass die a-Werthe der Yertheilungstafel (1) \u00e4quidistant sind. Ist dies nicht der Fall, so sind die a-Werthe durch Einschieben leerer a (deren % gleich Null ist) \u00e4quidistant zn machen, was sich stets erreichen l\u00e4sst, da die a-Werthe als Merkzeichen f\u00fcr unterscheidbare Varianten um endliche Betr\u00e4ge von einander verschieden sind und die Gesammtheit der denkbaren und","page":539},{"file":"p0540.txt","language":"de","ocr_de":"540\nGotti. Friedr. Lipps.\nunterscheidbaren Varianten immer durch eine \u00e4quidistante Zahlen reihe markirt werden kann (vergl. H, \u00a7 3). \u2014 Nur dann, wenn die Endabtheilungen ausgedehnter Vertheilungstafeln so regellos zer streute % aufweisen, dass erst nach Einschieben einer sehr gro\u00dfen Anzahl leerer a eine \u00e4quidistante Reihe entstehen w\u00fcrde, wird man die darzulegende Berechnungsweise auf den regul\u00e4ren, mittleren Theil einschr\u00e4nken und die vereinzelten a der Endabtheilungen gesondert in Rechnung stellen. Die Behandlung solcher F\u00e4lle bedarf jedoch keiner besonderen Er\u00f6rterung.\nDa man von den f\u00fcr einen bestimmten Ausgangswerth berechneten Mittelwerthen zu den f\u00fcr einen anderen Ausgangswerth geltenden Mittelwerthen nach II, (22) nachtr\u00e4glich \u00fcbergehen kann, so ist man nicht darauf angewiesen, den durch die Bed\u00fcrfnisse der Untersuchung als Norm geforderten Ausgangswerth b (in der Regel das arithmetische Mittel) zu Grunde zu legen. Man kann vielmehr den Ausgangswerth zun\u00e4chst mit R\u00fccksicht auf die Bequemlichkeit der Rechnung w\u00e4hlen und dann erst den normalen Ausgangswerth einf\u00fchren.\nWegen der vorausgesetzten Aequidistanz der a wird man mit Vortheil einen der a-Werthe selbst als Ausgangswerth w\u00e4hlen: etwa den mit dem Maximal-^ behafteten oder den in der Tafelmitte liegenden. Die Abweichungswerthe sind alsdann positive und negative Vielfache des Intervallwerthes i, der je zwei aufeinanderfolgende a-Wer the trennt. Zugleich zerlegt der Ausgangswerth die ganze Vertheilungstafel in zwei Abtheilungen, von welchen die eine die positiven, die andere die negativen Abweichungen enth\u00e4lt.\nIst die Anzahl n der Intervalle oder der \u00ab-AVerthe so gro\u00df, dass die beiden Abtheilungen (oder je nach der Lage des Ausgangs-werthes nur die eine oder die andere) unbequem lang w\u00fcrden, so kann man statt nur eines Ausgangswerthes deren zwei (oder noch mehr) w\u00e4hlen, jedem einen Bereich der Vertheilungstafel zuweisen und f\u00fcr jeden Bereich gesondert die Abweichungssummen berechnen, um schlie\u00dflich von jedem der beiden Ausgangswerthe zu dem normalen Ausgangswerth \u00fcberzugehen und aus der Summe der beiden Abweichungssummen nach Division mit m (und Ausziehen der Wurzel) die gesuchten Mittelwerthe zu gewinnen.","page":540},{"file":"p0541.txt","language":"de","ocr_de":"Die Theorie der Collectivgegenst\u00e4nde.\n541\nSetzt man der Einfachheit wegen -voraus, dass die Annahme nur eines Ausgangswerthes, der a0 hei\u00dfen m\u00f6ge, gen\u00fcgt, so tritt an Stelle der Reihe au a2 ... a\u201e der Vertheilungstafel (1) die aus negativen und positiven Vielfachen des Intervalls i bestehende Reihe\n\u2014 % \u2022 i,\t... \u2014 2i,\t\u2014 i,\t0 ,\ti, 2i,\t... n^i,\nwo % + fh + 1 = n \u2022 Dementsprechend sind auch die H\u00e4ufigkeits-werthe %, x2 \u2022 \u2022 \u2022 durch\nZ\u2014n\\ ,\t\u25a0 \u2022 \u2022 \u00a3\u20142 ,\t1 j ^0 j -H ;\t'^2 \u25a0 - \u2022\nzu bezeichnen, so dass die Vertheilungstafel (1) in der Form\n\u2014 nxi . . . \u20142i,\t\u2014i,\t0,\ti,\t2i ,\t.\t. n2i\t,^\n%\u2014ni \u2022 \u2022 \u2022\t^\u20142 7\tj\tj %2\t\u2022 \u2022 \u2022\t^\u00ab2\nsich darstellt. Die auf den Nullwerth bezogenen Mittelwerthe dieser Tabelle, die zur Unterscheidung von den auf den normalen Ausgangswerth bezogenen\tMittelwerthen\te1? \u00ab2\t\u2022 \u25a0 \u25a0\t\u00a3v durch\trj2 ...\trjv\tangedeutet werden\tm\u00f6gen, erh\u00e4lt man\talsdann\taus den Abweichungs-\nsummen\ny.\u2014wi\tX=H2\nm \u25a0 rh = \u2014 i \u25a0 yj x\t+ i \u25a0\t^ -\nX=i\t\ny.\u2014n\\\t.\t?.=H2\n2\t*2 V7 2 m \u2022 \u00ef}i = i \u25a0 >,%\u25a0%-\t\nx=1\tA=1\nJf=Wl\t\nm- r\\v \u2014 {\u2014if -yj z\u201d\t\u25a0 xt + \u00ef-^r.zt\ny.=l\tA=1\nHieraus wird ersichtlich,\tdass es sich zun\u00e4chst darum handelt,\t\t\t\nSummen von der Form:\t\t\t\t\n1 \u2022 % -f- 2 \u2022\t+ \u2022\t\t\u2022 &x\t\t\n1 \u25a0 % + 2\t. + nKXn = Z*\t*\t\t(5)\n1 \u2022 % + 2V \u2022 X2 + \u2022\t\u2022 + nv \u2022\t\u25a0/\t* &x\t\t\nWO n den Werth von ns oder\tvon w2 darstellt, zu\tberechnen.\t\t","page":541},{"file":"p0542.txt","language":"de","ocr_de":"542\nG-ottl. Friedr. Lipps.\nb. Die Berechnung der Summen ^\t\u2022 x ; y 2* \u2022 x2 ;\t... y \u2022 xv.\nAus den zu der Reihe n, n\u20141 . . . 3, 2, 1 geh\u00f6renden H\u00e4ufig-keitswerthen zn, ... x3, z:2, % leite man durch successives Auf-summiren v weitere Reihen ab, die man in einer Tabelle von folgender Form zusammenstellen kann:\nn\t\t\tsl2)\t. \u2022 \u00bb\t\tsr\nn \u2014 1\t&n\u20141\t&\t\u00abP\t\tsr1\u00bb\t&\nv + 1\t. . +\ts(l)\ts(2) \u2014v\t\ts^>\tS[nIr\nV\tzv\t'D r+1\t\u201e(2) v-f-t\t. . .\t\u00b0.m\u2014v-j-1\ts\u201e\nV \u2014 1\t\u00abv-i\tq(d ^n\u2014r+2\t0(2) r+2\t. . .\tiS,\u2014!\t\n3\tZ3\ts(l), \u00e0/i\u20142\tS\u00ae2\t\t\t\n2\tZ2\t\t^2\t\t\t\n1\t*1\tSi\t\t\t\t\n\tSo\t\t\u2022\t\t\t\nIn derselben ist\nS-i \u2014 Zn -f- Zn\u2014\\ ,\nSn\u20142 \u2014 Zn + %n-1 + \u2022 \u2022 \u2022 + Z3 ,\nsn\u20141 \u2014 %n + %n\u2014 1 + \u2022 \u2022 \u2022 + Z3 + X2 ;\n,(2) _ JD Sl \u2014 \u00ab1 ,\n\n,(>) I \u201e(1)\nSi -r s2 ,\n\u201e(2) _ (1) , (1) , Sn\u20142 = S i +S2 +\nJl) . ~r Sn\u20142 ,\nU. S. W.,","page":542},{"file":"p0543.txt","language":"de","ocr_de":"Die Theorie der Collectivgegenst\u00e4nde.\n543\nso\ndass schlie\u00dflich durch Fortsetzen des Summationsverfahrens\n>)\n\u2022Sl\n-r \u00bb,\ns 2\nw = s\u00ab-11 + s(r'\ne, = \u00abr,) + ^-l) + --- + *sri)\nresultirt. Es ist sonach allgemein\n\u00a3>=ei + *ii\"1)\t(?)\nf\u00fcr l = 1, 2 . . . \u00bb>; x = 1, 2 . . . n \u2014 X, wenn 4 ^ === 0 und s% \u2014\t\u2014?f+i\ngesetzt wird.\nBerechnet man nun noch in (6) durch directes Summiren aller Glieder jeder Yerticalreihe die Summen\nS,\nSq\t\u25a0\t\t+\t^n\u2014\t\u25a01 + ' '\t\u2022 +\t\t\nSi\t\u2014\tQ(1) \u2014\tSi\t+\t41}\t+ \u2022 \u2022\t\u25a0 \u2022 +\ts(1) \u00b0n\u2014\t\u20221 )\ns\u00bb\t= rf\u00bb\t+\t42)\t+ \u2018\t\u2022 \u2022 +\ts{2) \u00f6n\u2014\t-2 ?\nUi\t= JT\t4) +\t4\"\t4)+ \u25a0 \u25a0\t\u2022 \u2022 +\to(>- \u00f6 n\u2014\t-i) v+l\n5\u201e\t= \u00c0*\t+\t4r)\t+ \u2022 \u25a0\t\u25a0 \u2022 +\ts(r) on\u2014\t\u2022v ?\nso ist der Bildungsweise der s-Werthe zufolge\n51\t=^(H-1) \u2022*\u201e\n52\t=2r(5tj=\u00c6=^ ' *\n-2\n1.2\n(* \u2014 !)(*- 2) (x \u2014 3)\nS,-i\n1.2.3\t\u2019 ^X )\n. (x\u2014l)(x\u20142) .. (x-\t\u2014v+l)\n1.2 .. (y \u2014\t1)\n\u25a0 (x \u2014 1} (x \u2014 2) . .\t(x \u2014 v)\n1.2 . .\n}\n''\u00bb'X 1\n(8)\n(9)\nwo durch iS die \u00fcber x = 1, 2 ... n erstreckte Summation angedeutet wird.\nAuf Grund der Bedeutung der Werthe 4-i, 4?-2 \u2022 \u2022 \u2022 4,-r+i, s\u00bb-v bestehen aber auch die Gleichungen","page":543},{"file":"p0544.txt","language":"de","ocr_de":"544\nGotti. Friedr. Lipps.\nS0 \u2014 s\u00bb\u2014i +\t,\nct\t\u201e(2)\t,\t\u201e(1)\n= S\u00ab-2 + S\u201e_i,\n$2 \u2014 4>\u20143 + 4*\u20142>\n\u00df , ______ SW of\u00bb\u201c1).\n\u2014 ^n\u2014v I \u00b0n\u2014\nr-f-l '\n(10)\nSie dienen zur Controlle f\u00fcr die Richtigkeit der nach (8) berechneten Werthe S0, 8l . .. Sv-i, so dass nur f\u00fcr S\u201e eine doppelte Ausf\u00fchrung der directen Summation zur Sicherstellung gegen Bechenfehler n\u00f6thig ist.\nHat man so durch einfache Summation die Werthe S0, Slt . . . Sv gefunden, so gelangt man auf folgende Weise zu den gesuchten Summenwerthen\n\u2022 Jt ,\tZx \u25a0 Y? ,\t...\t%x \u2022 Xv.\nAus den Gleichungen X s= (x \u2014 1) + 1 ,\nx2 = (x \u2014 1) (x \u2014 2) + 3 (x \u2014 1) + 1,\nx3 = (x \u2014 1) (x \u2014 2) (x \u2014 3) + 6 (x \u2014 1) (x \u2014 2) + 7 (x \u2014 1) + 1, u. s. w.\nergehen sich mit R\u00fccksicht darauf, dass nach (9)\n^(x-l).*, = $; 2J (* - (*-2) \u2022 *\u00bb = 2 \u2022 S2 ; y (x \u2014 1) (x \u2014 2) (x \u2014 3) \u00ab zx = 6 \u2022 S3 ; u. s. w. die Beziehungen\n^ %x \u2022 X = \u00c4j + &o 1\nzx \u2022 x2 = 2 \u2022 S2 + 3 \u2022\t+ S0,\n\u2022 X3 = \u00d6 \u2022 $3 + 12 \u2022 $2 + 7 \u2022 $1 +\t>\nu. s. w.\nUm aber allgemein den Zusammenhang von ^ %x \u2022 y mit $0, St . . . Sn f\u00fcr A = 1, 2 ... v zu erhalten, m\u00f6ge vor\u00fcbergehend das Product\n(x \u2014 1) (x \u2014 2) ... (x \u2014-1) durch x;. bezeichnet und die A-te Potenz von x in der Form\n*' = \u00ab, + 4\" \u2022\t+ 4\u2019 \u2022\t+ \u2022 \u2022 \u2022 +\t\u25a0 \u00ab, + 4\" a\u00bb","page":544},{"file":"p0545.txt","language":"de","ocr_de":"Die Theorie der Collectivgegenst\u00e4nde.\n545\nvorausgesetzt werden. Da, der Definition von x* zufolge,\nXX+1 = *x \u2022 [x \u2014 X \u2014 1) oder x \u2022\t\u2014 xi+i + [X + 1) \u25a0\t,\nso erh\u00e4lt man aus (12) durch Multiplication mit x\nxl+i = Xx+i + {cf + X + 1) XX + {cf + A \u2022 ci1\u2019) Xx-1\n+ (ci3) + (1 \u2014 1) cf) XA\u20142 + \u2022 \u2022 \u25a0 + (4** + 24A_1)) Xt + cf.\nEs ist aber auch, wenn in (12) der Index X durch X +1 ersetzt wird,\nx+i \u2014 xx+1 + 4+i \u2022 xx + 4+i \u2022 Xx-i + \u2022 \u2022 \u2022 + 4+i y~i + 4+4'.\nDer Vergleich beider Darstellungsformen f\u00fchrt daher zu den Relationen :\n+ i + *i = cf + 1-4\u201c; ...\n*, = \u00bb?> +2 \u2022cf+\u201d;\t=\naus denen das Bildungsgesetz f\u00fcr die Coefficienten c erhellt. Es ist sonach allgemein\n4\u00b0 = cfli + (A - (i + 1) \u2022 cjti11\t(13)\nf\u00fcr X = 1, 2 . . . r; (i = 1, 2 . . . X, wenn f\u00fcr p \u2014 1 c[x = 4-i + 1, also 4-i = 1\nund f\u00fcr \\i = X\ncf \u2014 42Vi1), also 4-i = 0\ngesetzt wird. Da /. = x, + 1, so ist \u00fcberdies 4l) = 1 und somit auch cf = 1.\nF\u00fcr die Werthe cf kann demgem\u00e4\u00df folgende, dem Bildungsgesetze (13) gen\u00fcgende Tabelle, die beliebig weit fortsetzbar ist, hergestellt werden:\n\tc(1)\tC(2)\tc(3)\t4\"\tC(5)\tC(6)\tc(7)\tc,8)\nCl\t1\t0\t0\t0\t0\t0\t0\t0\nC2\t3\t1\t0\t0\t0\t0\t0\t0\nc3\t6\t7\t1\t0\t0\t0\t0\t0\nCi\t10\t25\t15\t1\t0\t0\t0\t0\nCs\t15\t65\t90\t31\t1\t0\t0\t0\nC6\t21\t140\t350\t301\t63\t1\t0\t0\nc7\t28\t266\t1050\t1701\t966\t127\t1\t0\nCs\t36\t462\t2646\t6951\t7770\t3025\t255\t1","page":545},{"file":"p0546.txt","language":"de","ocr_de":"546\nGotti. Friedr. Lipps.\nHier ist \u00e9r] die in der \u00c0-ten Horizontalreihe und u-ten Verticalreihe stehende, zu Ci und c(m) geh\u00f6rige Zahl. Sie entsteht dadurch, dass die in der n\u00e4mlichen Verticalreihe unmittelbar vorangehende Zahl cf um den (l \u2014 ,u + lj-fachen Betrag der links von der letzteren stehenden Zahl ctl1* vermehrt wird.\nDie Coefficienten cf sind somit ihrem Werthe nach bekannt Um aber eine allgemein g\u00fcltige Darstellungsweise zu erhalten, setze man in (12) der Reihe nach x = 1, 2 ... ,u + 1. Man gelangt so zu den Gleichungen:\n1*\t\t7\t\t\t\t\t\t\n\t= 4\u00bb\t+\tcf\t-1)\t\u25a01,\t\t\t\nA P\t= 4\u00bb\t+\tcf\t-1)\t\u25a0(#* \u2014\t1) + \u2022 \u2022\t\u2022 + ci^+1)\t\u2022 (M 1) \u25a0 \u2022 2 \u2022 1,\n(\u00df +1)*\t= cf\t+\tcf\t-1),\t\u2022 M +\t\u2022\u25a0\u2022 + 4-\t\t2 + 4\"uJ-m..2-1\nHieraus\tergibt\tsichJ)\t\t\t\t\t\t\nCW _ ^ ;\nl-2.ciA_2)= 37' \u2014 2 \u2022 2*+ l\\\n/U ! \u2022\t= (fi+lf- ( '-rl + ( J) \u2022 {fl-lf- \u25a0 \u25a0 \u25a0 + (J4) \u2022 2* \u00b1 \u00fc.\nAuf Grund dieser Bestimmungen sind die Coefficienten cf ebenso wie beispielsweise die Binomialcoefficienten als bekannte Zahlen anzusehen und zu verwenden.\nDemgem\u00e4\u00df folgt aus (12) nach Multiplication mit xx und Ausf\u00fchrung der Summation von x = 1 bis x = n die Gleichung\nxx \u25a0 x\ty.x \u2022 xx + \u00e8i ^\tx^_i\t-f \u2022 \u2022 \u2022 -f- cl ^^2 t\naus der, da nach (9)\n1) Man ber\u00fccksichtige, dass 1) \u2022 [ft \u2014 v + 1) \u2014\t(/* \u20141) \u2022\n<= p \u2022\u2022\u2022 [p\u2014v + 1) \u2022\nfn+e\n(s)<^-2>-\nfX-V\n2\nD \u2014 \u2022\"\n= 0,\nwenn ,\u00ab von v verschieden ist.","page":546},{"file":"p0547.txt","language":"de","ocr_de":"Die Theorie der Collect! vgegenst\u00e4nde.\n547\n^ v-i \u2022 z\u201e \u2014 A! Sn ; f\u00fcr \u00c2 = 1, 2 . . . v\nschlie\u00dflich die gesuchte Beziehung in der Form\n2 x* \u2022 x* = X\\ Si + cf (\u00c0\u20141)!\t1 + cf (1-2)! \u00c4,_2 +\n+ cf-1* S, + So\nsich ergibt. Insbesondere ist\n(16)\n\u2019 Y. \u2014\t-f- Sq ,\n2zx-y? = 2.S2 + c$)-SL + S(),\n^Jzx-y = 6 \u2022\t4- C3J \u25a0 2 \u2022 $2 + cf \u2022 Si + So,\n= 24 \u2022 &t + cf \u2022 6 \u2022 \u00c43 + cf* \u25a0 2 \u2022 S2 + cf \u2022 Si + S0, ^x*-*5 = 120-S5-f-cf-24-\u00c4i-[-cf-\u00f6-\u00c4j +cf \u20222oS'2+ef-\u00a3i+\u00a3o >\n(16a)\nSetzt man hier die Werthe von cf* aus der Tabelle (14) ein, so erh\u00e4lt man wiederum die Beziehungen (11), deren Bildungsgesetz nunmehr aus (16) in Verbindung mit (14) oder (15) erhellt1).\nc. Der Uebergang zu den Mittelwerthen.\nUm nun die Mittelwerthpotenzen rji, ij2, ... rjl der in der Form (3) vorausgesetzten Vertheilungstafel zu finden, sind die S-Werthe der positiven und der negativen Abweichungen vom vorl\u00e4ufig gew\u00e4hlten Ausgangswerthe a0 durch den Summationsprocess (6) zu bilden. Werden die 6'-Werthe f\u00fcr die positiven Abweichungen durch\n1) Wird in der Tabelle (6) zv=%1= \u25a0 \u25a0 \u25a0 \u2014xn \u2014 l gesetzt, so erh\u00e4lt man die \u00bbTafel der figurirten Zahlen\u00ab von Jakob Bernoulli (Ars conjeotandi, II. Theil, Ostwald\u2019s Klassiker, Nr 107, S. 88), welche zur Bestimmung der Potenzsummen f\u00fcr die Reihe der nat\u00fcrlichen Zahlen dient. Die oben entwickelte Berechnungsweise der Summen ~ \u00bbx \u2022 xx kann daher als eine Verallgemeinerung der von Bernoulli gegebenen Ableitung der Summen 2 x* aus den Summen der figurirten Zahlen angesehen werden. Die Bestimmung der einfachen Summe 2^.* durch die Summe der sf, sf * \u2022 \u25a0 sf findet sich schon (als N-Verfahren bezeichnet) inPechner\u2019s Collectivma\u00dflehre, S. 144, 146, wo eine Abhandlung von Elliott (on the military statistics of the United States of America, Berlin 1863; international statistical congress) als Quelle bezeichnet wird. Die M\u00f6glichkeit, durch successives Aufsummiren die Potenzsummen 2 %y \u25a0 x* h\u00f6herer Ordnung zu berechnen, scheint unbeachtet geblieben zu sein.\nWundt, Philos. Studien. XVII.\n36","page":547},{"file":"p0548.txt","language":"de","ocr_de":"548\nGotti. Friedr. Lipps.\no+ c*+ o+\to+\nOo , Oi ,\t02\t\u2022 \u2022 \u2022 Ov ,\nf\u00fcr die negativen Abweichungen durch\nST, ST, st .. . ST\nbezeichnet, so erh\u00e4lt man auf Grund von (16) und (14) die Formeln-m = St + Zo + So, mrn = i \\(St - ST) + (St - So-)}, mt]2 = i {2(^2\" -j- S2 ) + 3(Si\" + Si ) + (St + So )},\n= #{6(Sf - ST) 4- 12(Sf-Sr) + 7{St - ST) + (St - S\u201e~)}, mrjt = i4i24(S?- + ST) + 60(# + ST) + 50(S? + ST)\n+ 15 (St + Si ) + (St + So ) j, mrjl = i5jl20(S5+ \u2014 ST) + 360 (St \u2014 ST) + 390 (S3+ \u2014 ST)\n+ 180 (S} \u2014 Si ) + 31 (St \u2014 Sj ) + (So\" \u2014 So ) J, mrjl == iej720(st + S6\u201c) + 2520(Ss+ + S5~) + 3360(S4+ + ST)\n+ 2100 (S3++Sr) + 602 (St+ST) + 63 (,St+ST) + (So++Su-)}, und allgemein:\nmrjl = ir\\v\\ (St \u00b1 ST) + 4\u00b0 (v\u2014 1)! (Sjti \u00b1 ST-1)\t1\n+ c\u00ae(i'\u20142)!(S,\"L2\u00b1Sv_2)H------(\u2014 ^(Sj^drSi ) + (S^drSo )j ,1\nwo f\u00fcr gerades v die Summe und f\u00fcr ungerades v die Differenz der S-Werthe zu nehmen ist.\nSoll jetzt an Stelle des Ausgangswerthes a0, welcher f\u00fcr die Yertheilungstafel (3) vorausgesetzt wurde, der als Norm geforderte Ausgangswerth b der Yertheilungstafel (1) treten, der von a0 um den Betrag l differiren m\u00f6ge, so ist der Uebergang von rjt, rp, rj\u00ee \u25a0 \u25a0 \u2022 zu den f\u00fcr den normalen Ausgangswerth geltenden Mittelwerthen in Uebereinstimmung mit II, (22) mittelst folgender Formeln auszuf\u00fchren:\n\u00ab1 = Vl \u2014 lr\n\u00a32 = rji \u2014 2rjil + l ,\n\u00ab0 = r}l \u2014 3i?2Z + 3)n l2 \u2014 t,\n(18)","page":548},{"file":"p0549.txt","language":"de","ocr_de":"Die Theorie der Collectivgegenst\u00e4nde.\n549\nDient insbesondere das arithmetische Mittel als normaler Ausgangswerth b, so ist l = rj1 und man erh\u00e4lt\nb = a0 + 7fr oder = 0,\n4 = rjl \u2014 3}/2\u00bb2i + 2r]f ,\n\u2022 (18 a)\nDiese Werthe sind noch wegen der Endlichkeit des m zu cor-rigiren, falls die hierdurch bedingte Aenderung in Betracht kommt. Dabei ist die Formel (25 a) des II. Capitels zu Grunde zu legen, wenn nicht aus der allgemein g\u00fcltigen Formel (25) ebendesselben Capitels geeignetere Specialisirungen durch wohlbegr\u00fcndete Annahmen abgeleitet werden k\u00f6nnen. Es sind ferner nach II, (23) die mittleren Fehler Mv f\u00fcr srr zu berechnen1), um einen Ma\u00dfstab f\u00fcr den Grad der Sicherheit, welcher den gefundenen Werthen zukommt, zu erhalten. In den Eigenschaften der nach M\u00f6glichkeit berichtigten und gesicherten Mittelwerthe zeigt sich schlie\u00dflich die Gesetzm\u00e4\u00dfigkeit der Vertheilungstafel. Hierbei kommen nicht nur die (im UL Cap., \u00a7 4, abgeleiteten) allgemein g\u00fcltigen Eigenschaften der Mittelwerthe, sondern auch die f\u00fcr besondere Vertheilungsgesetze (IH, \u00a7 5) zutreffenden Beziehungen zwischen den Mittelwerthen in Betracht. Insbesondere werden die das gew\u00f6hnliche Fehlergesetz charakterisirenden Beziehungen, die als Specialisirungen von HI, (94) angegeben sind, zum Vergleich heranzuziehen sein.\nd. Beispiele.\nAls erstes Beispiel m\u00f6ge die am Schluss von IH, \u00a7 3, mitgetheilte, den Untersuchungen von M\u00fcller und Schumann \u00fcber das Ge-d\u00e4chtniss entnommene Vertheilungstafel dienen. Als Ausgangswerth\n1) Der bei Berechnung des arithmetischen Mittels b oder des Mittelwerthes el = 0 zu bef\u00fcrchtende mittlere Fehler ist insbesondere gleich\n\u2014\u2014 oder\ny?n\n36*","page":549},{"file":"p0550.txt","language":"de","ocr_de":"550\nG-ottl. Friedr. Lipps.\na0 w\u00e4hle ich den Werth 7, dessen z0 = 16 ist, und erhalte durch successives Summiren die Tabelle:\na\t%\ts(1>\t(2)\ts(3)\t44)\ts(5)\ts(6>\n4\t1\t1\tl\t0\t0\t0\t0\n5\t12\t13\tl\t\t\t\t\n6\t13\t14\t\t\t\t\t\n7\t16\t\t\t\t\t\t\n8\t7\t41\t\t\t\t\t\n9\t4\t15\t58\t\t\t\t\n10\t4\t11\t26\t63\t\t\t\n11\t4\t7\t15\t32\t51\t\t\n12\t1\t3\t8\t17\t31\t27\t\n13\t0\t2\t5\t9\t14\t20\t8\n14\t1\t2\t3\t4\t5\t6\t7\n15\t1\t1\t1\t1\t1\t1\t1\nEs ist folglich ;S'o+ = 22; S\u00f6 = 26; z0 = 16; Sf = 41; ST = 14; St = 58; S\u00ef = 1; St = 63; S3 \u2014 0; u. s.w. Das Einsetzen dieser Werthe in (17) f\u00fchrt, da i = 1, zu m = 64; m?j1 = 23; mrjl = 331; mrjl = 1247 ; mrji = 8827 ; m^ = 57 263 ; mi}S = 416 451 oder rji = 0,36; ^2 = 5,17; ^ = 19,48; ^ = 137,9; ^ = 895; ^ = 6507. Das arithmetische Mittel ist daher b = 7,36, und die auf das arithmetische Mittel als Ausgangswerth bezogenen Mittelwerthe werden nach (18 a) durch\n\u00abi = 0 ; sl = 5,04 ; el = 14,0; ei = 114 ; 4 = 670; et = 4830 bestimmt. Die Correction dieser Werthe wegen Endlichkeit von rn mittelst der Correctionsformel (25 a) des IL Capitels ergibt\n(\u00a3i) = 0; (e2p = 5,12; (\u00ab,)* = 14,2; (e4)4 = H8; (e5)5 = \u21222;\n(e*)\u00ab = 5240\nmit den nach Formel (23) des n\u00e4mlichen Capitels berechneten mittleren Fehlern\nMl = \u00b1 0,28; Mi = \u00b1 1,2; M3 = \u00b1 9.\nZur Berechnung der mittleren Fehler f\u00fcr die Mittelwerthpotenzen vierter und h\u00f6herer Ordnung m\u00fcssten die Mittelwerthpotenzen achter,","page":550},{"file":"p0551.txt","language":"de","ocr_de":"Die Theorie der Colleetivgegenst\u00e4nde.\n551\nzehnter Ordnung u. s. w. bekannt sein. Eine untere Grenze f\u00fcr M,\\ erh\u00e4lt man zwar aus der Formel III, (60a), da auf Grund derselben\nif4 \u2022 Mx >\n702 64 \u2019\nM4 \u25a0 M2 >\n5240-118-5 64\t;\nund somit der absolute Betrag von Jf4 der ersten Ungleichung zufolge gr\u00f6\u00dfer als 39 und der zweiten Ungleichung zufolge gr\u00f6\u00dfer als 63 ist. In entsprechender Weise erh\u00e4lt man aus\nMh\n\u25a0 Mx>\n5240\n\u201c64\nf\u00fcr Mb die untere Grenze 292. Man gewinnt aber ohne besondere M\u00fche eine hinreichend genaue Bestimmung von if4, Mb und Jf6, wenn man die mittleren Fehler von rjt, r/J, rjt berechnet und als n\u00e4herungsweise f\u00fcr 4, 4, 4 g\u00fcltig ansieht. Aus dem hinreichend weit ausgef\u00fchrten Formelsysteme (17) folgt n\u00e4mlich ohne weiteres 4 = 363000;\t= 214.105; rj\\l = 129.107, so dass\nM4 = \u00b1 73 ; M& = \u00b1 570; M6 = \u00b1 4200.\nZu den Wurzelwerthen \u00fcbergehend findet man schlie\u00dflich, wenn die r-tcn Wurzeln von el + Mv und el \u2014 Mv dem Werthe sv in Klammern beigef\u00fcgt werden, folgendes System von Bestimmungsst\u00fccken f\u00fcr die gegebene Vertheilungstafel:\nb = 7,36 \u00b1 0,28 ; e2 = 2,26 (2,51 ; 1,99) ; e, = + 2,42 (2,85 ; 1,73); e4 = 3,30(3,72; 2,59); \u00ab6 = + 3,71(4,18; 2,66); ee = 4,17(4,60; 3,18).\nDiese Werthe bilden die Unterlage zur Beurtheilung von Besonderheiten des untersuchten C.G. und zum Vergleich mit anderen C.G. verwandter Art.\nAls zweites Beispiel entnehme ich den Beitr\u00e4gen zur Collectiv-ma\u00dflehre von F. Werner1) die von Bruns ausgef\u00fchrte Bestimmung der Anzahlen, wie oft innerhalb der ersten tausend Spalten des Thesaurus logarithmorum von Vega in jeder Spalte eine Null in der zehnten Decimalstelle auf tritt. Es fanden sich 6 Spalten mit je einer Null, 36 Spalten mit je zwei Nullen, 78 Spalten mit je drei Nullen in der zehnten Decimalstelle u. s. w., so dass, wenn a die Anzahl der Nullen und % die H\u00e4ufigkeit ihres Auftretens bezeichnet, die\n1) Philosophische Studien XV, 1900, S. 458.","page":551},{"file":"p0552.txt","language":"de","ocr_de":"552\nGotti. \u00ef'riedr. Lipps.\nfolgende Tabelle die Grundlage f\u00fcr die rechnerische Behandlung fi C.G. bildet:\t68\na\tX\ts(1)\t(2)\tS(3)\tS(4)\ta(5)\ta(0)\n0\t0\t0\t0\t0\t0\t0\t0\n1\t6\t6\t6\t6\t6\t0\t\n2\t36\t42\t48\t54\t6\t\t\n3\t78\t120\t168\t60\t\t\t\n4\t149\t269\t222\t\t\t\t\n5\t161\t437\t\t\t\t\t\n6\t183\t\t\t\t\t\t\n7\t134\t504\t\t\t\t\t\n8\t114\t253\t432\t\t\t\t\n9\t74\t139\t251\t280\t\t\t\n10\t34\t65\t112\t181\t139\t\t\n11\t19\t31\t47\t69\t99\t52\t\n12\t10\t12\t16\t22\t30\t40\t14\n13\t0\t2\t4\t6\t8\t10\t12\n14\t2\t2\t2\t2\t2\t2\t2\nDa somit 67 = 387; 67 = 430; za = 183; Sf = 504; 67 = 437 u. s. w., so erh\u00e4lt man durch Einsetzen der 6'-Werthe in (17): m = 1000; rn = 0,024 ; rjl = 4,948 ;\t^ = 4,266; ^ = 71,51;\n4 = 179,8; rjl = 1796.\nDemnach ist das arithmetische Mittel b \u2014 6,024 mit dem mittleren Fehler \u00b1 0,070. Da dieser Werth nur um einen geringen Betrag von dem anf\u00e4nglichen Ausgangswerth a0 \u2014 6 verschieden ist, so k\u00f6nnen die rj -Werthe ohne weiteres als die f\u00fcr den Ausgangswerth b g\u00fcltigen \u00ab-Werthe angesehen werden. Auch kann man auf die Correction wegen Endlichkeit von m verzichten. Man gewinnt so (wenn noch die Werthe ^ = 65770;\t= 3079-103; r$ = 1666-105 aus\nder obigen Tabelle abgeleitet werden, um die mittleren Fehler f\u00fcr J?4, 4 und 4 angeben zu k\u00f6nnen) folgende Bestimmungsst\u00fccke f\u00fcr den vorhegenden O.G.\nb = 6,02 \u00b1 0,07; \u00ab2 = 2,22 (2,27; 2,17); \u00a33 = + 1,6 (1,8; 1,4); 64 = 2,91 (2,98; 2,83); r5 = + 2,8 (3,0; 2,6); e6 = 3,5 (3,6; 3,3).","page":552},{"file":"p0553.txt","language":"de","ocr_de":"Die Theorie der Collectivgegenst\u00e4nde.\n553\nAls drittes Beispiel benutze ich die in Fechner\u2019s Collectiv-ma\u00dflehre1) behandelten Ma\u00dfe f\u00fcr den Yerticalumfang (genauer \u00bbL\u00e4nge des Scheitelbogens\u00ab) von 450 europ\u00e4ischen M\u00e4nnersch\u00e4deln. Die von Welcher gesammelten Ma\u00dfe geben die L\u00e4ngen in Millimetern an und variiren von 368 mm bis 448 mm. Um die hierdurch bedingte Ausdehnung der urspr\u00fcnglichen, \u00bbprim\u00e4ren\u00ab Vertheilungstafel zu verringern, nehme ich nach Fechner\u2019s Vorgang eine Reduction auf Intervalle von je 5 mm vor und gehe von folgender Tabelle aus:\na\t%\tS(,)\tS(2)\tS(3)\tS(4)\ts(5)\tS(0)\n368\t1\t1\t1\t1\t1\t1\t1\n373\t2\t3\t4\t5\t6\t7\t8\n378\t5\t8\t12\t17\t23\t30\t9\n383\t17\t25\t37\t54\t77\t38\t\n388\t24\t49\t86\t140\t107\t\t\n393\t36\t85\t171\t217\t\t\t\n398\t41\t126\t311\t\t\t\t\n403\t59\t297\t\t\t\t\t\n408\t65\t\t\t\t\t\t\n413\t65\t304\t\t\t\t\t\n418\t51\t135\t317\t\t\t\t\n423\t40 \u2022\t84\t169\t243\t\t\t\n428\t17\t44\t85\t148\t139\t\t\n433\t19\t27\t41\t63\t95\t58\t\n438\t4\t8\t14\t22\t32\t44\t16\n443\t2\t4\t6\t8\t10\t12\t14\n448\t2\t2\t2\t2\t2\t2\t2\nMan erh\u00e4lt folglich auf Grund von (17):\nm = 450 ; mrji = 5.22 ; mrj\\ = 25.344 ; mrjl = 5'J.292 ; mrjt = 54.74304 ; mrjl = 5\u00e4,25372; mrjt = 5e.2468784, wonach\n7i=0,24; 7/2 = 191; r/| = 81; 7/^ = 103200; 7/2 = 176000; 7/0 = 857.10'\n1) Vergl. S. 101, 134, 280 des Fechner\u2019schen Werkes.","page":553},{"file":"p0554.txt","language":"de","ocr_de":"554\nGotti. Friedr. Lipps.\nzu setzen ist; es ist ferner\nrjl = 918-10s; rj\\l = 1149-1011 ; rj\\l = 1577-1014.\nHieraus resultirt mittelst der Formeln (18 a), sowie II, (25 a) und (23). b = 408,24\u00b10,65; e2 = 13,8(14,2; 13,4); e, = _3,8 (+7,3; -7,9).\u2019 *4 = 18,0(18,5; 17,3); \u00a35 = + 8,8 (+14,1;\u201413,5); e6=21,l(21,7; 20,2), Geht man von der prim\u00e4ren Vertheilungstafel aus, so ergibt sich:\n5 = 408,54 \u00b10,65; e2 = 13,9 (14,3; 13,4); \u00a33 = \u2014 4,6(+7,0; -8,2)-\u00a34 = 18,0; \u00ab5 = \u2014 8,6; e# = 21,1.\nDer Vergleich der zusammengeh\u00f6rigen Bestimmungsst\u00fccke zeigt -dass die Mittelwerthe gerader Ordnung durch die Reduction der Vertheilungstafel nicht wesentlich ge\u00e4ndert werden, w\u00e4hrend die Mittelwerthe ungerader Ordnung innerhalb des durch die mittleren Fehler markirten Gebietes erheblich schwanken. Da diese Gebiete f\u00fcr \u00ab3 und \u00ab5 sich vom arithmetischen Mittel b nahezu gleich weit in positiver und negativer Richtung erstrecken, ist die Asymmetrie des vorliegenden C.G. als unwesentlich aufzufassen.\nAls viertes Beispiel w\u00e4hle ich aus den Untersuchungen von G. Duncker1 *) \u00fcber \u00bbVariation und Asymmetrie bei Pleuronectes flesus L.\u00ab die Bestimmung der Strahlenzahl der R\u00fcckenflosse an 1120 (602 m\u00e4nnlichen und 518 weiblichen) Individuen. Unter den von 55 bis 71 variirenden Strahlenzahlen soll a0 = 62 mit z0 = 194 als vorl\u00e4ufiger Ausgangswerth dienen. Dann erh\u00e4lt man aus der Tabelle der folgenden Seite die AVerthe:\nm = 1120 ; mrji = \u2014 312 ; mrjl = 6482 ; mrjl = \u2014 3186 ; mrjl = 114734 ; mi\u00df = \u2014 33762 ; mrjl = 3364742, oder rji \u2014 \u2014 0,2786 ; ^ = 5,7875; ^ = - 2,845; ^ = 102,4;\n\u2014 \u2014 30,14 ; rjl = 3004.\nEs ist ferner ^ = 121500; rj\\l = 6590-103 ;\tv{| = 3776-105.\nEs resultiren somit folgende Bestimmungsst\u00fccke f\u00fcr den O.G. : b = 61,72 \u00b1 0,07 ; e2 = 2,39 (2,44; 2,34) ;\t\u00ab3 = + 1,2 (1,5; 0,7);\ne4 = 3,18 (3,25; 3,10) ; e6 = + 2,6 (2,9; 2,0) ; e6 = 3,8 (3,9; 3,7).\n1) Wissenschaftliche Meeresuntersuchungen, herausgeg. v. d. Commission zur\nUnters, d. deutschen Meere in Kiel und der Biolog. Anstalt auf Helgoland)\nHI. Band, Abtheilung Helgoland, Heft 2, 1900, S. 339, 388, 390.","page":554},{"file":"p0555.txt","language":"de","ocr_de":"Die Theorie der Collectivgegenst\u00e4nde.\n555\na\t/*/\tS(,)\ts(2)\ts(3)\ts(4)\n55\t4\t4\t4\t4\t4\n56\t12\t16\t20\t24\t28\n57\t24\t40\t60\t84\t112\n58\t46\t86\t146\t230\t144\n59\t103\t189\t335\t342\t\n60\t161\t350\t565\t\t\n61\t174\t685\t\t\t\n62\t194\t\t\t\t\n63\t162\t495\t\t\t\n64\t101\t240\t443\t\t\n65\t70\t139\t255\t297\t\n66\t39\t69\t116\t188\t163\n67\t18\t30\t47\t72\t109\n68\t9\t12\t17\t25\t37\n69\t2\t3\t5\t8\t12\n70\t0\t1\t2\t3\t4\n71\t1\t1\t1\t1\t1\nUm auch eine Vertheilungstafel mit stark asymmetrischen und \u00fcber ein weites Gebiet zerstreuten Werthen als Beispiel zu bringen, will ich an f\u00fcnfter Stelle die t\u00e4glichen Regenh\u00f6hen des Monats October f\u00fcr Genf w\u00e4hrend der Jahre 1845\u20141892 behandeln1). Die in den Archives des sciences physiques et naturelles der Biblioth\u00e8que universelle de Gen\u00e8ve allmonatlich ver\u00f6ffentlichten meteorologischen Tabellen gehen die Regenh\u00f6hen bis auf Zehntel Millimeter an. Indem ich die aus diesen Werthen sich ergebende prim\u00e4re Vertheilungstafel auf Intervalle von 1 mm reducire, erhalte ich folgende reducirte Tabelle :\n1) Yergl. Fechner\u2019s Collectivma\u00dflehre, S. 344 und 436 ff. Dort dienen die Regenh\u00f6hen f\u00fcr Januar, April, Juli und October als Beispiele f\u00fcr die logarith-mische Behandlung der C.Gf. nach Fechner\u2019s Methode. Ich w\u00e4hlte oben den Monat October, weil er die h\u00f6chsten Regenh\u00f6hen aufweist.","page":555},{"file":"p0556.txt","language":"de","ocr_de":"556\nGotti. Friedr. Lipps.\na\t*\ta\tz\ta\t\t\n0,5\t125\t16,5\t8,5\t32,5\t6,5\n1,5\t72,5\t17,5\t9\t33,5\t3\n2,5\t60\t18,5\t4,5\t34,5\t2\n3,5\t31\t19,5\t6,5\t35,5\t0\n4,5\t24,5\t20,5\t3\t36,5\t1\n5,5\t39\t21,5\t5,5\t37,5\t2\n6,5\t26\t22,5\t7\t43,5\t1\n7,5\t19,5\t23,5\t2\t45,5\t1\n8,5\t26,5\t\u2022\t24,5\t4\t55,5\t1\n9,5\t14\t25,5\t6\t56,5\t1\n10,5\t21\t26,5\t2\t59,5\t1\n11,5\t12,5\t27,5\t5\t62,5\t2\n12,5\t14,5\t28,5\t3\t66,5\t1\n13,5\t10,5\t29,5\t2\t79,5\t1\n14,5\t11,5\t30,5\t1\t80,5\t1\n15,5\t13\t31,5\t1,5\t97,5\t1\nF\u00fcr den von 0\u201438 nun sich erstreckenden Theil w\u00e4hle ich a\u201e = 8,5 mit * = 26,5 als vorl\u00e4ufigen Ausgangswerth und erhalte St = 182; S\u00e4 = 397,5; St = 1507,5; ST = 1911,5; St = 10376; S\u00e4 = 4611; St = 57933,5; S\u00e4 = 6573,5; Sf = 261793; S\u00e4 = 5793,5; \u00a3+ = 970690,5; S\u00e4 = 3120; St = 3000926,5; S\u00e4 \u2014 947,5. Finden Fest mit den von 43,5\u20148,5 = 35 bis 97,5\u20148,5 \u2014 98 sich erstreckenden Abweichungswerthen sind die Abweichungssummen direct zu bestimmen. Um diese Arbeit zu vereinfachen, fasse ich die Ab-weichungswerthe 35\u201445; 45\u201455 mm u. s. w. unter 40; 50 mm u. s. w. zusammen, so dass blo\u00df die Summen\n2.40v + 5.50v + 1.60v + 2.70'' + 1.90*\nf\u00fcr v \u2014 1 bis 6 zu berechnen sind. Man erh\u00e4lt f\u00fcr dieselben der Reihe nach: 620; 37200; 2384000; 16296-104; 118112-IO5; 899712-101\u2019. Demgem\u00e4\u00df ist to=617; to^= \u2014 404\u2014 215,5 + 620=0,5; mrj\\ = 2-14987+ 3-3419+ 579,5 + 37200 = 78010,5; u. s. w. Da t)i = 0,001, so sind die \u00bb/-Werthe unmittelbar als die auf das arithmetische Mittel b bezogenen e-Wer the aufzufassen, so dass G =","page":556},{"file":"p0557.txt","language":"de","ocr_de":"Die Theorie der Collectivgegenst\u00e4nde.\n557\n4 = 126; s\u00ae = 4470; 4 = 282100; 4 = 1951-IO4; 4 = 1467-10\u00b0. Um die mittleren Fehler f\u00fcr sf, 4, 4 abzusch\u00e4tzen, gen\u00fcgt es, die potenzsummen der Abweichungswerthe vom achten, zehnten und zw\u00f6lften Grade f\u00fcr den Rest der Vertheilungstafel zu berechnen. Denn der Antheil des Restes an diesen Summen wird mit wachsendem v immer gr\u00f6\u00dfer. Er betr\u00e4gt f\u00fcr v = 2 nicht ganz die H\u00e4lfte und f\u00fcr v = 6 das 0,994-fache der Gesammtsumme. Man findet so 4 = 946-10i\u00f6; 4o = 675-1014; \u00ab\u00eel = 184-1018 als N\u00e4lierungswerthe. Es resultirt demgem\u00e4\u00df:\nb = 8,50 \u00b1 0,45 ; e2 = 11 (12; 10) ; e3 = + 16 (18; 14) ; e4 = 23 (25; 20); e5 = + 29 (31 ; 25); ee = 34 (36; 31).\n\u00a7 2. Die Correction der Summenwerthe y zx [ax \u2014 b'f wegen stetiger Vertlieilung der z-Werthe auf die Intervalle.\nBei der Berechnung der Mittelwerthe sv wurde vorausgesetzt, dass jedes %x dem in der Vertheilungstafel beigeschriebenen ax unmittelbar zugeh\u00f6re. Diese Auffassungsweise ist hei Anwendung der Methode der Mittelwerthe in jedem Falle zul\u00e4ssig und im Interesse einer gleichf\u00f6rmigen Behandlung aller C.G. auch dann geboten, wenn die \u00df-Werthc stetig ver\u00e4nderliche Ma\u00dfzahlen sind, so dass eine Ver-theilung der zx auf die den ax zugeh\u00f6rigen Intervalle ax \u00b1z \\ix anzunehmen ist. Soll aber die Vertheilungstafel durch eine Function \u00ae(a) des stetig variablen reellen Argumentes a dargestellt werden (vergl. H, \u00a7 4, c und HI, \u00a7 5), so sind auch die empirisch gegebenen auf die den ax zugeh\u00f6rigen Intervalle vertheilt zu denken, mag im \u00fcbrigen die Annahme einer solchen Vertheilung, der Bedeutung der durch ax markirten Varianten zufolge, von vornherein geboten sein oder nicht. Man wird dann w\u00fcnschen, an Stelle der aus der Vertheilungstafel zu berechnenden Summen\nmev \u2014 )y [ax \u2014 b)v\t(19)\ndie Werthe der \u00fcber das Gebiet der Vertheilungstafel erstreckten Integrale [HI, (87)]\nsr = j f(a) \u2022 (a \u2014 bf \u2022 da,\n(20)","page":557},{"file":"p0558.txt","language":"de","ocr_de":"558\nGotti. Eriedr. Lipps.\nwo f(a) die Vertheilung der *-Werthe auf die Intervalle angibt als Unterlage zur Bestimmung von 0(a) zu benutzen.\t!\nDass diesem Wunsche, sofern ich die Verh\u00e4ltnisse richtig be urtheile, nicht in zweifelsfreier Weise entsprochen werden kann, zeigen die folgenden Darlegungen, f\u00fcr die constante Intervalle von der L\u00e4nge i vorausgesetzt werden.\nDa von der Function f(a) blo\u00df die Werthe der von ax\u2014 Xi bis a,_ + \\i erstreckten Integrale\nbekannt sind, so wird man \u2014 den Kegeln der Interpolationsrechnung gem\u00e4\u00df \u2014 f(a) innerhalb eines jeden Intervalls durch eine ganze rationale Function von a darstellen, deren Coefficienten durch die jenem Intervalle sowie den benachbarten Intervallen zugeh\u00f6renden %-Werthe zu bestimmen sind1). Es ergibt sich so, wenn f(a) innerhalb eines jeden Intervalls entweder in erster Ann\u00e4herung constant oder mit gr\u00f6\u00dferer Genauigkeit durch eine lineare Function von a oder bei noch sch\u00e4rferer Bestimmung durch eine Function zweiten Grades darstellbar vorausgesetzt wird, f\u00fcr das Intervall ax \u00b1 \\i im ersten Falle\nfia) = y ;\t(2i)\nim zweiten Falle\nm = ^ + (a-axf-^^ oder f(a) = ^ + (a-ax)^\u00b1^-i (22) so dass auch das arithmetische Mittel beider Werthe\nf[a) = ^ + ia-ax) Zx+l~^~1\t(22a)\n1) Vergl. Fechner\u2019s Collectivma\u00dflehre S. 183, wo die Formeln (21), (22) und (23) von mir benutzt werden, um den dichtesten Werth Zh interpolatorisch zu bestimmen. Eben diese Formeln resultiren auch aus den \u00fcblichen Interpolationsformeln, wenn man nicht von f(a), sondern von dem Integrale\nF(a) f(a) \u25a0 d a\nausgeht, das von der unteren Grenze der Vertheilungstafel a( \u2014 \\i oder, da /\"{\u00bb) unterhalb dieses Werthes durchweg gleich Null ist, von \u2014oo bis zu einem beliebigen* in den Bereich der Vertheilungstafel fallenden Werth \u00ab zu erstrecken ist. Es sind dann die Werthe FH.. +\u00a3*} = *i + %% + \u2022 \u2022 \u2022 + zx, f\u00fcr x = 1, 2 ... n, bekannt.","page":558},{"file":"p0559.txt","language":"de","ocr_de":"Die Theorie der Collectivgegenst\u00e4nde.\n559\nzul\u00e4ssig ist, und im dritten Falle\n_f{\u201e\\ ____ %y-\t^*+1\t+ %x-1\t.\t,\t, Zy.+l ---- ^x-l\nTW i\t24 -i + (\t\u00b0*'\t2 \u25a0 i*\n\u201cj~ (tt --- My)\n24 \u2022 i\n2 zx+1 \u2014 2xx +\n2 \u2022 i3\n(23)\nZerlegt man nun s\u201e in die Summe [II, (49)]\n& + 42) + \u2022 \u2022 \u2022 + &,\nwo f\u00fcr x = 1, 2 . . . n\ns[x) = : f f[a) \u2022 (o \u2014 &)\u2019\u2022 da\ndas von a*\u2014 \\i bis ax + \\ i erstreckte Tbeilintegral darstellt, und setzt man f\u00fcr dasselbe\nso wird\na \u2014 ax + J ; f(a) =\t+\t+\n- *T (t + \u00e4) + (1) T 2^--\n\u00dfy\n2-5\nt\u20145 \u00dfx_\n2*7\n+ (2)T1t + 4^5)+ (3)^^^- \u00e8)\u00ef 3\n+(4) \u00ee6 2(a*\t\u00e8)v\u201c4 (t + irr) + (5)\u00f6)\n+........\nMan erh\u00e4lt daher\n1)\tauf Grund von (21), wenn Ct^r \u2014- j \u00dfx = yx = 0:\n1 O\t* lV\\ \u00bb*\tr-2\t.\t/v\\f4 r\u20144\t.\n-Sv = \u00abv + (2)r2-^-2 + (4)g0^-4 + \u2022\u2022\u2022\t(24)\n2)\tauf Grand von (22) und (22a), wenn az \u2014xz; \u00dfx = zx \u2014 zx-1 oder xz+i \u2014 oder \u00a3(%z+1\u2014 **_j); j/z = 0, der Reihe nach1 *):\n1) Bei der Ableitung dieser Formeln ist zu beachten, dass z. B.\n\u00e82(x*~**-i)(\u00ab*-jr==^2x*(*\u00ab-5f-k2*\u2014iK-i- *+*f\n\u2014 \u00ee\u00eer^-","page":559},{"file":"p0560.txt","language":"de","ocr_de":"560\nGotti. Friedr. Lipps.\n/ V\\ i2 v-2\t>\\i3 t\u20143\t| J\t> \\ 89 \u2022 il v_4\n\\2/ 12 \u00a3,_2 \\l\ti) 4 \u00a3v\u201c:i\t\\4\t1} 240 e'\u201c4 ~ '\n(V\\ \u00cf1 v\u20142 , h ( 2 / \u00ce2\t( ;\tA i3 v-3 h l) 4 \u00a3v-3 \\4\t'\\ 89 -i* v-4 , 1/ 240\tv~4 - '\nlv\\ i2 r\u20142\th (2/I2 e'~2\t^ \\ 89 - z'4 \u201e_4\t/v\\ 341-f6 v_6\n\t1/ 240 v\u201c4\t\\6/ 448 \u00cbv~\u00ff~\n(25a) (25b) (25 c)\n3) auf Grand von (23), wenn a* = **\u2014\t\u2014 2%* + zx_{y\n\u00dfx \u2014 2-(;5:z+i\tzx\u2014i); yx - -J-\u2022\u2014 2zx -f- zx\u2014\\):\n1\nm\nSv\n= \u00abV\nlv\\ * e*-\\\t\tl ^ ^ Ev~*\ttv\\\nI2/12\tUJ\t1\t80\ttv-i\tUJ\nlv\\ 19 -i? v_g \\ 8 / 15 \u00a3v~8\t' ' \u2018\n887-*6\t.\n1344 e\u2019-6\n(26)\nHiernach resultiren die Integralwerthe aus den Summenwerthen, indem an den letzteren die durch (24) oder (25) oder (26) angegebene Correction angebracht wird. Nun f\u00fchrt diese Correction zu entgegengesetzten Werthen, je nachdem die zx nach (21) gleichm\u00e4\u00dfig oder nach (22) oder (23) mit R\u00fccksicht auf die x-Werthe der Nachbarintervalle auf die zugeh\u00f6rigen Intervalle vertheilt werden. Sofern nach den Regeln der Interpolationsrechnung die Formeln (22) und (23) f\u00fcr genauer als (21) zu gelten haben, verdient (25) und um so mehr (26) den Vorzug vor (24). Indessen hat auch (24) als Corrections-formel zu gelten. Ueberdies ist zu beachten, dass die Correction stets das gleiche Vorzeichen wie in (24) erh\u00e4lt, falls nur jeder \u00a3-Werth symmetrisch, im \u00fcbrigen aber beliebig auf das zugeh\u00f6rige Intervall vertheilt wird1).\nDa somit die Correction je nach der Annahme, die bez\u00fcglich der Vertheilung der % auf die Intervalle gemacht wird, ebenso wohl positiv wie negativ ausfallen kann, so wird es wohl als zul\u00e4ssig\n1) Werden die aus der Vertheilung der %x auf die Intervalle ax \u00b1 i resul-tirenden, auf ax als Ausgangswerth bezogenen Mittelwerthe durch Vx v Vx 21 Tlx,3'\" bezeichnet, so tritt an Stelle von zx(ax\u2014 b)v die Summe\nzxK \u2014 b>V+ (i)\t\u2014\t+ ( 2 )\t\u2014 6)T-2,?x,2 4----\nDa nun yx^, qxi ... wesentlich positiv sind und bei symmetrischer Vertheilung VXli \u2014 VX)3 = \u2022 \u25a0 \u2022 = 0, so erhellt die Gleichartigkeit der Correction mit (24).","page":560},{"file":"p0561.txt","language":"de","ocr_de":"Die Theorie der Collectivgegenst\u00e4nde.\n561\nangesehen werden m\u00fcssen, auf jede Correction zu verzichten und tv\nohne weiteres als N\u00e4herungswerth f\u00fcr zu benutzen.\nConstruirt man beispielsweise auf Grund des gew\u00f6hnlichen Fehlergesetzes ')\n?>(*) = 7\u2014 exp (\u2014 P)\nV 7t\ndie Vertheilungstafel\n\u2014 3\t\u2014 2\t\u2014 1\t0\t1\t2\t3\n4\t335\t4456\t10410\t4456\t325\t4 \u2019\nso erh\u00e4lt man G = 0,5832 ;\t= 1,0140 ; \u00ab6 = 2,8812. Diese Werthe\nsind allerdings gr\u00f6\u00dfer als die von \u2014 00 bis -f- 00 erstreckten Integrale\n= 0,75; Jt4 * 6cp(t)dt = 1,875,\nDie Correction mittelst (26) ergibt aber als entsprechende Werthe 0,4999; 0,3849; \u20141,7,\nso dass sie nur f\u00fcr zu einer Berichtigung, f\u00fcr 4 hingegen zu einem v\u00f6llig unbrauchbaren Werthe f\u00fchrt.\n\u00a7 3-\nD ie Berechnung der Summenwerthe\nWill man die Vertheilungstafel\n0,\t1,\nZq,\tz^ ,\nnach der im II. Capitel, \u00a7 4, c, mittelst der H\u00fclfsfunction\nn\n(27)\nentwickelten Methode durch die\ngebildete Function\ncp{a) =\nXa\nW)\n0(a) = y0 \u2022 rp[cc) + y\u00b1 \u25a0 cpy (a) + y2 \u25a0 (p2{a) + \u2022 \u2022 \u2022\t(28)\ndarstellen, so sind \u2014 wie im III. Capitel, \u00a7 5 gezeigt wurde \u2014 die Summenwerthe\n1; Mittelst der ^-Tabelle im Anhang zu Fechner\u2019s Collectivma\u00dflehre.","page":561},{"file":"p0562.txt","language":"de","ocr_de":"562\nGotti. Friedr. Lipps.\n(29,\nf\u00fcr v = 0, 1, 2 ... zu berechnen, um, nach Bestimmung des Parameters \u00c4, zur Kenntniss der Ooefficienten yv auf Grund von Kt, (79 zu gelangen.\nDiese Berechnung kann durch successives Aufsummiren nach dem Schema (6) in \u00a7 1 geleistet werden, wenn der dort vorausgesetzten Reihe von n Gliedern das Glied 0 hinzugef\u00fcgt wird. Es resultirt alsdann:\nn\t%n\t\t42)\t\nn \u2014 1\t%n\u20141\t4\u2018>\t42)\t43)\n3\t%3\t\u00ea\u00bb\t\t\u2022su\n2\t\ts(1), \u00f6n\u20141\t42li\t\u00ab3\n1\t%\t41'\ts\u00bb\t\n0\tz0\ts,\t\t\n\tS0\t\t\t\nwo\nSo \u2014 &0 + *1 + *2 + \u25a0 \u25a0 \u25a0 \u25a0+\u25a0\t)\nsi = \u00abg\u00bb + 4'Li + \u00abglj -f-----------h 4l)\n= l,.*r + 2- *2 + 3'*j + \u2022 \u2022 \u2022 4- n \u2022 %n\\\n+ sr\nQ _ \u201e(2)\t,\tJ2)\t,\t,\t\u201e(2)\nC>2 \u2014 S\u00bb_l + Sn\u20142 +\n2-1\n3-2\n2 ^ 2\n^2 +\nQ _ \u201e(3)\t, \u201e(3)\t,\n\u00ab3 \u2014 S)(-2 4\u201c s\u00bb-3 \u201cT\n*3 +\n, n(n \u2014 1)\n4-----\u00d6 zn\n+ Si-\nra)\n3-2-1\t, 4-3-2\n:--g-- *3 4----\u00df-- *4 +\n. n(n \u2014 1} (n \u2014 2) \u201e , _)--------------- z n .\nund allgemein\nSv = 4i-v+l + s\u00bb-r+2 +\nC)\n\u00a3y + (\nv-\\- 1\n+\nZy+l + \u2022 \u2022 \u2022 +\n0\n(30)","page":562},{"file":"p0563.txt","language":"de","ocr_de":"Die Theorie der Collectivgegenst\u00e4nde.\n563\nBeispielsweise erh\u00e4lt man f\u00fcr die Vertheilungstafel1)\n0\t12\t3\n850\t129\t74\t5\naus\n3\t5\t5\t5\t5\n2\t74\t79\t84\t5\n1\t129\t208\t89\t\n0\t850\t292\t\t\n\t1058\t\t\t\ndie Werthe S0 = 1058; Sx = 292; S2 = 89; S3 = 5; SA = 0; . . . Setzt man nun\n0(a) = y0 \u25a0 (p (a) + yt \u25a0 rp, (a) + y2 \u25a0 cp2 (\u00ab) 4-\nals darstellende Function voraus, wo\n7o = exp (\u2014 2)\u25a0 80\u2018\t7, = exp (\u2014 2){2S0 \u2014 \u00a3,} ;\n72 = exp (\u2014 2) Sa \u2014 2S, + S2 J ;\n1 23 22 1 /3 = exp (\u2014 2) ^ 2 3 \u00c40 \u2014\tS', + 2(S2 \u2014 S3 j ;\nund w\u00e4hlt man f\u00fcr 2 den Werth 0,3, so wird exp (\u20142) = 0,7408; \u2014783,8; /i = 18,8 ; 72 = 36,3; y3 = 9,9; /4 = 1,2; und man erh\u00e4lt\n\u00ae(0) = 850; \u00ae(1) = 129; <D(2) = 74; \u00ae(3) = 5; \u00ae(4) = 0.\nW\u00e4hlt man hingegen f\u00fcr 2 den Werth 0,2, so wird exp(\u20142) = 0,8187; 7o = 866,2; /, = \u2014 65,8; y2 \u2014 42,4; 73 = 6,8; 74 = 0,4; und es wird wiederum eine vollst\u00e4ndige Uehereinstimmung mit den Werthen der Vertheilungstafel erzielt.\nEs wird ferner die Vertheilungstafel\n0\t1\t2\t3\t4567\n126 115 208 308 190 58 8 2\n1) Entnommen aus: Gr. Duneker, \u00bbVariation und Asymmetrie bei Pleuro-\u00fcectes flesus L.\u00ab Die Varianten 0, 1, 2, 3 bezeichnen die Anzahlen der Theil-\nstrahlen in der linken Bauchflosse bei 1058 (561 m\u00e4nnlichen und 497 weiblichen) Individuen. \u2014 Die Varianten 0 bis 7 der folgenden Vertheilungstafel geben, die Anzahlen der Theilstrahlen in der linken Brustflosse f\u00fcr 1015 (528 m\u00e4nnliche und 187 weibliche) Individuen an.\nWundt, Philos. Studien. XVII.\n37","page":563},{"file":"p0564.txt","language":"de","ocr_de":"564\nGotti. Friedr. Lipps.\ndurch die Function\n\u00a9(\u00ab) = 137,4 \u2022 <p(a) \u2014 72,7 \u2022 cpy(a) \u2014 12,2 \u2022 <p2(a) + 50,0 \u2022\n+ 26,5 \u2022 9)4(0) + 1,9 \u2022 95(a) \u2014 3,1 \u25a0 9>e(a) \u2014 1,5 \u2022 9, (\u00ab) >\nf\u00fcr welche\ninsoweit dargestellt, als die Werthe\na 1\t0\t1\t2\t3\t4\t5\t6\t7\t8\n0(a) 1\t126\t113\t211\t305\t190\t59\t9\t1\t0,5\nresultiren.\nWill man den Parameter 1 nach einer festen Regel bestimmen, so kann man X = Sy : S0 setzen, so dass 7, = 0 wird.\n\u00a7 4. Die Berechnung der Mittelwerthe Die auf ein beliebiges Werthenpaar (c, d) bezogenen und durch\nm \u2022 4+\u00b0 =\ti K - cf (5, - df\t(31)\n\u00fc=i 2=1\nf\u00fcr 0 \u2014 0, 1, 2 . . . ; 0\t= 0,\t1, 2 .\t. definirten\tMittelwerthe der\ndoppelreihigen Vertheilungstafel\t\t\t\t\n\t\u00abj\t\u00ab2\t\u2022\t. . ar\t\nbi\t*11\t*21\t.\t\u2022 .\t\nh\t*12\t^2 \u2022\t. .\t(32)\nbs\t%ls\t^2 s\t.\t.\tXfs\t\nlassen sich nach der in \u00a7 1 entwickelten Methode berechnen, wenn sowohl die Reihe ay, a2 ... ar als auch die Reihe b,, b2 \u25a0 \u25a0 \u25a0 bs \u00e4quidistant ist.\nIst das constante Intervall der o-Werthe gleich i, der 5-Werthe gleich j und wird vorl\u00e4ufig eines der r \u2022 s Werthenpaare (ax, b/), das durch (a0, b(j) bezeichnet werden soll, zur Bestimmung der Abweichungen gew\u00e4hlt, um nachtr\u00e4glich zu den als Norm geforderten Bezugswerthen (c, d) \u00fcberzugehen, so stellt sich die Vertheilungstafel (32), wenn die","page":564},{"file":"p0565.txt","language":"de","ocr_de":"Die Theorie der Collectivgegenst\u00e4nde.\n565\nAbweichungen ax \u2014 a0 und h-,. \u2014 b0 an Stelle von ax und b>. treten, in folgender Form dar:\n\t\u2014 ti\t. . \u20142 i\t\u2014 i\t0\ti\t2 t\tui\n\u2014 vj\tft-t, \u2014V\t\u2022 \u2022\t*\u20142, \u20141)\t1, \u2014V\t%0, \u2014 t\u2019\t*i, -\u00ab\u2022\t*2, -,\t\u2022\t\u2014 V\n-%;\t%\u2014t, \u20142\t. . *\u20142, \u20142\t*-l, -2\t*0, -2\t*1, -2\t*2, -2\t\u2022\t*M, \u20142\n\u20143\t*\u2014<, \u2014i\t\u2022 \u2022\t*\u25a0\u20142, -1\t*-l, -1\t*0,-1\t*1, -1\t*2, -1\t\u2022 ^u, \u2014 1\n0\tz-t, -0\t1 JnS o\t1, 0\t*0, 0\t*1,0\t*2,0\t\u2022 0\nj\t%\u2014t, 1\t\u2022 \u2022 \u00a3\u20142,1\t\u00a3-1,1\t*0,1\t*1,1\t*2,1\t\u2022 %u, i\n2j\t*-\u00ab, 2\t\u2022 \u2022 *-2,2\t*-1,2\t*0,2\t*1,2\t*2,2\t\u2022\t*K, 2\nwj\t%\u2014t, 10\t. . Z\u20142, w\t^\u20141, 10\t%0, \u00abo\t&1, w\t^2, w\t\nSie zerf\u00e4llt nach Abscheidung der zu *0, o geh\u00f6renden Vertical- und Horizontalreihe in vier Quadranten, die durch v \u25a0 t, v \u25a0 u, w \u25a0 t und w \u25a0 u Werte ausgef\u00fcllt werden.\nDie auf (0, 0) bezogenen Mittelwerthpotenzen, die zur Unterscheidung von den auf (c, d) bezogenen Werthen durch rf+a bezeichnet werden sollen, werden alsdann durch die Abweichungssummen\nX\u2014t 1=0\nx=u 1=\n'\u2022C7=(-\u00bbr \u25a0 (-j)a 22** \u25a01 \u25a0\t->\u25a0 + *e \u2022 (-Jf \u25a0 22*5 \u2022r \u2022 -\u00bb\n*=1 1=1\tx=l 1=1\ny-=^_\ty,=u l=io\n+ (- if \u25a0 f \u25a0 22 **\u25a0 l\u00b0\u25a0 *-\u00ab, \u00bb + \u2022/ 22 ** \u2022r \u2022 *\u00bb, i\n3t=l 1=1\ny.=l 1=1\ny.=t\n+ (\u2014 if \u2022 2 ** ' \u2018\t0 + iQ ' 2 ** ' \u2022 **, o\n3t\u20141\tX=1\n+ (\u2014jf \u2022 2\u00b0\u00b0 \u25a0r \u2022 *\u00ab. -\u00bb + / \u2022 2\u00b0Q \u25a0r \u2022 \u25a0*% \u00bb\ni=i\ni=i\n+ 0?. (T \u2022 *0,0\nf\u00fcr q = 0, 1, 2 . . a = 0, 1, 2 ... bestimmt, wenn 0? und 0CT f\u00fcr q \u2014 0 und a \u2014 0 gleich 1 gesetzt wird.\n37*","page":565},{"file":"p0566.txt","language":"de","ocr_de":"566\nGrottl. Friedr. Lipps.\nEs handelt sich somit wesentlich um die Berechnung von Summen\nx=nX\u2014ni\nS 'S ^ \u2022 **, i\nZ=1 S\n= D \u2022\t1\u00b0 \u25a0\tZn\t+\t\u2022\t1\u00b0\t\u2022\tz2i\t+\t3p\t\u2022\t1\u00b0\t\u2022 %1\t+\t\u2022\t\u2022\t\u2022\n+ l\u00ff \u2022\t2\u00b0 \u2022\tzl2\t+\t2?\t\u2022\t2\"\t\u25a0\tz22\t4\"\t3'\t\u2022\t2\t\u2022 zS2\t+\t\u2022\t\u2022\t\u2022\t^\n-f- Ie \u2022\t3a \u2022\tzls\t+\t2'\t\u2022\t3\"\t\u25a0\tX23\t+\t3'\t\u2022\t3\t\u2022 %S3\n+'........\naus einer gegebenen Doppelreihe von n-m Werthen zXiX, die in der Form\n\tn\tn \u2014 1\t. .\t1\nm\t%n, m\t%n\u2014l, m\t\u2022\t&1, m\nm \u2014 1\tX'n, m\u20141\t%n\u2014\\, m\u2014i\t\u2022\t^1, m\u20141\n1\t%n, 1\tZ'n\u2014 1,1\t\u2022 Zi, 1\nvorausgesetzt werden kann, in welcher n die Werthe t und u, m die Werthe v und w repr\u00e4sentirt.\nAus dieser Doppelreihe leite man weitere ab, indem man sowohl das System der Horizontalreihen als auch das System der Vertical-reihen dem Summationsprocess (6) [\u00a7 1, b] unterwirft und jede neu entstehende Doppelreihe ebenso behandelt. Auf diese Weise entsteht ein System von Doppelreihen, das durch folgendes Schema angedeutet wird :","page":566},{"file":"p0567.txt","language":"de","ocr_de":"Die Theorie der Collectivgegenst\u00e4nde.\n567\n\u2022AY 'S 'TI","page":567},{"file":"p0568.txt","language":"de","ocr_de":"568\nGrottl. Friedr. Lipps.\nEs ist hier f\u00fcr fi = 1, 2\n0, 1, 2 . . .\ns(xy] = <r1>v) + 4T1\u201910 + \u2022 \u2022 \u2022 + 4fr1\u2019,\nund f\u00fcr v = 1, 2 . . . ; fi = 0, 1, 2 .\n4?\u2019/'\n4Y-1) +\t+\n+ ,\nwenn s*%0) = \u00ab\u00ab-x+i, gesetzt wird. Insbesondere ist\n\u201e(ft\u00bb)\n\u00c4i,\u00bb\n\u201e(ft\u00bb)\n*)!, 1\n\u201e(/\u2018r1\u00bb \u00bb) ___ ___________ \u201e(\u00ab,,\u00bb).\t\u201e(ft,0) ___\u201e\nA \u2014\t*\t\u2014 X ? 8\\ti \u2014 %n,)\t,\n<>, T-l) ___ ________ (p, 0) .\n\u00f6jf, 1\t--- * * * -- Ox? 1 ,\n,(0, \u00bb) _\nsx, 1\nx+1, m \u25a0\nBerechnet man nun f\u00fcr jede Doppelreihe den Werth\ns = V <>\u2019*>\n\u00b0ft \u00bb \u2014\t**, >\u25a0 .>\nindem man \u00fcber x = 1, 2 ... n \u2014 fi, 1 = 1, 2 ... m \u2014 v summirt, so erh\u00e4lt man\nSo,o = 2*\u00ab\u00b0)=2rx\u00abi\u2019\n$k> =\t^ (>c \u2014 1) - %*, i ;\nsn = 2 s^] = 2 &-!)\u2022*\u00ab*\n$u = 2$? = ^(^-1) \u2022 (A-l)\u2022**,*;\nund allgemein\nO _ v(x-!)(* \u2014 2)---(x\u2014jt) (1 \u2014 1)(1 \u2014 2).--(l \u2014v) M ,\u201e7)\n*ft\u00bb \u2014^\t1-2 \u2022 \u2022 - fi\t\u2018\t12 \u2022\u2022\u2022 r\t*-*\u2019\t1 J\nwo die Summation bez\u00fcglich der *X)i \u00fcber den ganzen Bereich von (36) sich erstreckt.\nHieraus findet man die von x = 1 bis % = n und von 1 = 1 his 1 = m erstreckten Doppelsummen bestimmt durch:\n1 = ^\u00b0\u00b0 >\n\u2018\t\u2014 Si0 + S0o ;\n2^ - x*,1 = $>i + $oo ;\n2* \u25a0 ^ \u25a0 **, i=\t^ii +\t$io\t+\t#oi + \u00c400 ;\n2*2 \u25a0\t* =\t2\t\u2022 $20\t-f-\t3 \u2022\t$10 + $00 ;\n2i^L \u2022 x*, * =\t^\t\u2022 <S02\t+\t3 \u2022\t$0j + $00 ;\n2^^ \u25a0 **, i \u2014\t2\t\u2022 (\u00a721\t+\t2 \u2022\t\u00e420 + 3 \u2022 $n -f- 3 \u2022 $10 + $oi \"T Soo >","page":568},{"file":"p0569.txt","language":"de","ocr_de":"Die Theorie der Collectivgegenst\u00e4nde.\n569\nA2 \u25a0 **, i = 2 \u2022 S12 + 2 \u2022 *Sq2 + 3 \u2022 Sn + 3 \u2022 $01 + Sl0 + $oo ;\nyx2\u00c42-%x, * = 4 \u2022 $22 + 6 ' $21 + 6 ' $12 + 2 \u2022 $20 + 2 \u2022 $02 + 9 \u2022 $n\n+ 3 \u2022 $10 + 3 \u2022 $01 + $O0 ;\nDas Bildungsgesetz f\u00fcr diese Summenwerthe erhellt aus\n$*, +c<t1V-l)!^!$i.-i)r+ct1)^!(^-l)!$w\u2014i)\n+ Cu* ' 41\u2019 (M \u2014 1)! [v \u2014 !)\u2022 $u-l,v-l + \u2022 \u2022 \u2022 + $0,0 J\nIVO die Werthe c(*\\ cfj . . . c[l\\ c(\u201e2) \u2022 \u2022 \u2022 der Tabelle (14) in \u00a7 1, b zu entnehmen sind.\nDa jeder der vier Quadranten von (33) dem an (36) skizzirten Rechenverfahren zu unterwerfen ist, so ergeben sich je vier Werthe $ v. Um dieselben zu unterscheiden, m\u00f6gen die $-Werthe f\u00fcr den Quadranten der u-w Werthe zXii durch $\u00a3t, f\u00fcr den Quadranten der u \u25a0 v Werthe % _* durch $\u00a37, f\u00fcr den Quadranten der t \u25a0 w Werthe Z-Xyi durch S^t und f\u00fcr den Quadranten der t \u25a0 v Werthe x_y durch $7 7 bezeichnet werden.\nEs finden sich ferner in (33) noch die vier Reihen der u Werthe zXy 0, der t Werthe 0, der w Werthe z0>i und der v Werthe %0; neben dem Werthe z0, o \u25a0 Auf jede dieser vier Reihen ist der Sum-mationsprocess (6) [\u00a7 1, b] unmittelbar anzuwenden, um aus den $-Werthen die Summen\nS \u2022 %*> o \u25a0)\t2\u25a0 z-y-> \u00b0 \u2019\t2 \u25a0 *\u00b0>x >\t2 ^\u00b0 \u25a0%o\u2019 -1\nzu finden. Von diesen $-Werthen m\u00f6gen die aus den zx>0 gebildeten durch $,t0, die aus den 0 berechneten durch $7\u00b0 und entsprechend die aus den z0, und z0, -i abgeleiteten durch $),+ und $S_ angedeutet werden, so dass beispielsweise\n^ x \u2022 o = $i+0 + $o+0;\t2 * \u2022\t0 = \u00c4r\u00b0 + 50-0 ;\n21 \u2022 *o.2 = $10+ + $o0+ ; 2l-*\u00bb>-* = $!\" + s\u00b0~\u2022\nDemgem\u00e4\u00df resultirt durch Einsetzen der $-Werthe in (34):\nm \u2014 $00+ + $iw + $oo+ + $oo + $o\"\u00b0 + $o \u00b0 + $o+ + $o + ^oo !\nw*>/10 = z'j ($10+ + $10 -$10+-$10 ) + ($0+0+ H\u201c $00\t$00+\t$00 )\n+ ($f\u00b0 - $r\u00b0) + ($o+0 - $<T\u00b0)i ;","page":569},{"file":"p0570.txt","language":"de","ocr_de":"570\nGrottl. Friedr. Lipps.\nm*7oi \u2014 J1 ($oi+ \u2014 $01 + $oi+ \u2014 \u00c40i ) + ($o+o+ \u2014 $oo + $oo+ \u2014 g\u2014\\\n+ ($10+ - $n + ($o0+ - $0\u00b0\")} ;\nWi = ij\\(sti+ - sfr - $n++$rr)+($\u00e4+ - $iV - $r0++Srr)\n+ ($oI+\t$<u \u2014 $oi+ + $01 ) + ($u+0+ \u2014 Sfo \u2014 $o\u00f6+ + $m~) | \u2022\nmrjl, = ^|2($i+ + $^ + $2-o+ + $2\u201d) + 3($i+o+ + $iV+$r\u201e++$ro-;!\n+ ($o+o+ + $\u00f6o + $oo+ + $oo ) + 2 ($2\"\u00b0 + $2 \u00b0) + 3 ($i\"\u00b0 -p\n+ ($o\"\u00b0 + $<T\u00b0) j ;\nmifv =p\\2 ($o+2++Sfr + $0-2+ + $0-2-) + 3($o+i++$o?J\"+$o-I++$o7-)\n+ ($\u00fco+ + $wi + $oo+ + $00 ) + 2 ($2+ -f- Sf~) + 3 ($j)+\tSf~)\n+ ($o+ + $0 ) J ;\nmril =\t2 ($++_$+\u201c+$7l+\u2014$2_r)+2(Sf+- $2V + $20+- $2\"o-;\n+ 3 ($ii+ - sf~ + $n+ _ $1\u201c)+3 ($i+o+ - $\u00eeo\u2014+$r0+ _$ro-)\n+ ($o+i+ - $o+r + $ol+ - $oT) + ($o+o+ - $oV + $o~o+ - $0-0-)| ;\nmrfn = ^j2($+++$+\u201c_$-+_ Sn~) +2($^2++$o+r-$ol+-$r21 + 3 ($\u00e4+ + $+- - s\u00fb+ - $rr)+3 ($0+i++$0+r - $0i+- ssr)\n+ (Sfo+ + sfr - $To+ - ST) + ($o+o+ + $o+o\u201c - $\u00f6\u00f6+ - $oT)j ; mrj'H = *2y2{4($22+-f-$22 + $22++$22 ) + 6 ($^+-{-$n +$21++$21 ) + 6 ($12+ + $12\t+ $12+ + $12\t) + 2 ($20 \u2018 + Sfo\t+ $20+ + $20\t)\n+ 2 ($02+ + $02\t+ $02+ + $02\t) + 9 ($il+ + $U\t+ $11+ + $11\t)\n+ 3($io+ + $10\t+ $io++ $10\t) + 3($(J'r +$01\t+$oi+ + $oi\t)\n+ ($\u00fco+ + $m\t+ $oo+ + $00\t)} ;\nSetzt man f\u00fcr \u00ab = 0, 1, 2 . . . p ; v == 0, 1, 2 ... a, wenn Q und a beliebig aber fest gew\u00e4hlte positive ganze Zahlen bezeichnen, zur Abk\u00fcrzung\n[$<)\u2014\u00ab, B\u2014v] \u2014 S\u00ff-H' 0\u2014V + (\t1)\t\u2022 $o\"-!Z, o-v + (\u2014 1)' \u2022 $e4\u201c, a~v\n+ (-i r\u00b0-sf-,a.v-\n[$?-J = St-,, 0 + \u00c4+_-, o + (- l)f + (- 1)?$(7-T\n+ $+^ + (-i)? $(-\u00b0\n\u00bb \u201cQ\u2014ft l \\ -V ^Q-fX j [$ff\u2014v] = Sftr + (- lj\u00f6.$ot7-, + $o7tv +\n+ $<r-v + (-----l)a- $o-* ,\no\n-l)\u00f6.$o77-,\n(39a)","page":570},{"file":"p0571.txt","language":"de","ocr_de":"Die Theorie der Collectivgegenst\u00e4nde.\n571\nso kann der Zusammenhang von mit den S-Werthen allgemein durch folgende, f\u00fcr q = 1, 2, 3 ... ; <7 = 1, 2, 3 ... g\u00fcltige Formeln vor Augen gestellt werden:\nm4+,\u00b0 =ieja{ <7![S?, J+Cg'f?\u2014l)!u! [SQ-ha]+c{^Q](a-l)l [S^]\n+ 4\". 4\u201d (<? - 1) ! (<7 - 1) ! [\u00c4e_,, a\u2014l] + \u2022 \u2022 \u2022 + [So,o]|; g9\n*\u00bb40 =** 1 ?! ^ + 4!) (?-!)! [^-i] + \u2022 \u2022 \u2022 + [Sol \u00ce ;\t'(d ]\nmr,l\u201e =j\u00b0\\a\\[S\u201e] +- eg> (<7\u2014 1)! [S\u201e_i] + \u2022 \u2022 \u2022 + [50]j.\nSoll nun schlie\u00dflich an Stelle der vorl\u00e4ufig gew\u00e4hlten Ausgangs-werthe a0, h0 das als Norm geforderte Werthenpaar (c, d) treten, f\u00fcr welches c = aQ + y, d = &0 + d sein m\u00f6ge, so hat der Ueber-gang zu den auf (c, d) bezogenen .Mittelwerthen eQ>a mittelst\nfQ+a_\u201e0+\u00b0\niH,o \u2014'l\u00fc, a\n(!)\n\u00f6-f-cf\u20141\nY-Tv-ho-\n\n\u25a0V^~li\u00b1... (40)\nzu erfolgen. Es ist somit\n\u00abio =\tt/io\t\u2014 7 ;\t\u00aboi = \u00bb?oi\t\u2014 d ; \u00abii = i/n \u2014 yi/0i \u2014 di/i0 + yd ;\n\u00ab20 =\ti/20\t\u2014 2yr]l0 + y 2 ;\t\u00ab02 = i/02 \u2014 2di/0i + d2 ;\n\u00ab21 \u2014\t7/21\t~ dl/20\t\u2014 2yi/ii\t+ 2ydi/i0 + y2i/oi \u2014 y2d ;\n\u00ab12 =\t7/12\t\u2014 yi/02\t\u2014 2di/\u00efi\t+ 2ydi/0i + d2i/i0 \u2014 yd2 ;\n\u00ab22 = \u00bb/22 \u2014 2yi/i2 \u2014 2 d \u00ef/21 + y2i/o2 + d2i/2o + 4ydi/n \u2014 2y2d\u2018i/oi\n\u2014 2yd2i/10 + y2d2 ;\nW\u00e4hlt man, wie als Kegel anzunehmen, (c,d) so, dass \u00abio=\u00aboi =0, so wird y = j/10; d = i/01 und man gelangt zu dem Mittelwerthe e\u201e>ff auf Grund der Formel\n\u00abg.\u00ae \u2014 'Is,\u00bb\n(\u00ce)\n0+(T\u20141\nVq-1,0 - Vio\nI \u00f6\u2019\\ o+cr\u20141\n\u2022 'loi .\nDann ist\n+\n(!)(!)\nP + (T\u20142\tt\n7/?\u20141,<7-1 \u2022 7/10 \u2022 \u00bb/Ol \u00b1 \u2022 \u2022 \u2022\n(41)\n\u00abio \u2014 \u00aboi = 0 ; \u00abn \u2014 T/ii \u2014 \u00bb/io \u2022 T/oi ; \u00ab20 = 1/20 -------- 7/10 ;\t\u00ab02 = 7/02 --------- l/oi !\n\u00ab21 = 7/21 \u2014 7/207/01 ------- 2l/nl/10 + 2l/?ol/01 ;\n3\t3\t2\t_ 2\t2\n\u00ab12 = 1/12 ------ 7/021/10 \u2014 2l/nl/oi + 2l/iol/oi ;\n\u00ab22 = 7/22 \u2014 21/127/10 ------ 21/217/01 + 7/027/10 + 7/207/01 + 4l/iil/iol/01--------3i/2q1/oi ;","page":571},{"file":"p0572.txt","language":"de","ocr_de":"572\nGotti. Friedr. Lipps.\nSchlie\u00dflich ist noch die Correction wegen der Endlichkeit der An zahl m der Werthenpaare, die zur Ableitung von dienten, nach II, (62 a) anzubringen und der mittlere Fehler nach II, (60) zu be rechnen, um in den nach M\u00f6glichkeit berichtigten und gesicherten Werthen e\u201e; \u201e die Bestimmungsst\u00fccke der Vertheilungstafel (32) zu erhalten.\nUm die einfache Anwendungsweise der obigen Rechnungsregeln an einem Beispiele zu zeigen, w\u00e4hle ich die Vertheilungstafel f\u00fcr die beiderseitigen Anzahlen M\u00fcller\u2019scher Dr\u00fcsen bei 2000 m\u00e4nnlichen Schweinen1) :\n\t0\t1\t2\t3\t4\t5\t6\t7\t8\t9\t10\n0\t8\t5\t2\t\t\t\t\t\t\t\t\n1\t4\t151\t58\t9\t3\t\t\t\t\t\t\n2\t2\t65\t154\t96\t28\t7\t1\t\t\t\t\n3\t\t14\t88\t173\t128\t28\t6\t\t\t\t\n4\t\t5\t27\t119\t153\t77\t26\t3\t1\t\t\n5\t\t1\t7\t24\t92\t101\t52\t11\t9\t\t\n6\t\t\t\t8\t16\t58\t48\t16\t7\t\t2\n7\t\t\t\t1\t8\t20\t18\t17\t9\t5\t\n8\t\t\t\t\t1\t3\t5\t3\t2\t2\t\n9\t\t\t\t\t\t1\t3\t3\t2\t2\t1\n10\t\t\t\t\t\t\t\t\t\t1\t\nWerden hier die Varianten a0 = 3, b() \u2014 3 mit x00 \u2014 173 als vorl\u00e4ufige Ausgangswerthe bestimmt, so ergeben sich als Summen der % f\u00fcr die einzelnen Felder\nSto+ = 778 ; Stfi~ = 39;\ti%+ = 40;\tS^~ = 449; S0+0 = 162;\nS\u00e40 = 102 ;\t= 152 ;\t= 105 ;\nz00 = 173 mit der Gresammtsumme m = 2000.\n1) Ich entnehme dieselbe der Abhandlung von G. Duncker \u00bbDie Methode der Variationsstatistik\u00ab (Archiv f\u00fcr Entwicklungsgeschichte der Organismen, Vffl. S. 180), wo sie zur Berechnung des Correlationscoefficienten nach Galton und Pearson dient. Die Varianten 0 bis 10 der Horizontalreihe bezeichnen die linksseitigen Dr\u00fcsen; die Varianten 0 bis 10 der Verticalreihe geben die rechtsseitigen Dr\u00fcsen an. Es fanden sich also z. B. 119 Individuen mit 3 Dr\u00fcsen links und 4 Dr\u00fcsen rechts.","page":572},{"file":"p0573.txt","language":"de","ocr_de":"Die Theorie der Collectivgegenst\u00e4nde.\n573\nIndem man sodann in jeder Horizontal- und Yerticalreihe in der Bichtung von den gr\u00f6\u00dferen Abweichungswerthen nach den kleineren aufsummirt, erh\u00e4lt man folgendes System von Tabellen mit den zugeh\u00f6rigen S -W erthen :\n8\t13 4 155 2\t67\t\t8 1\n14\t\t34\t6\n5 1\t\t107\t30\t4\t1 173\t72\t20\t9 131\t73\t25\t9\t2\t2 69\t49\t31\t14\t5 15\t12\t7\t4\t2 12\t11\t8\t5\t3\t1 11111\n8\t5\t2 12 156 60\t9\t3\n\t\t\n1 7\t33 9 1\t117\t183\t126\t50\t29\t10\t3 25\t82\t74\t39\t20\t10\t3 9\t24\t26\t23\t13\t10\t1 1\t4\t8\t6\t4\t5\t1 1\t3\t3\t2\t3 1 1\n8\t13 12 168\t\t\n\t\t\n1\t\t401\t218\t92\t42\t13\t3 228\t146\t72\t33\t13\t3 97\t73\t47\t24\t11\t1 28\t24\t16\t10\t6\t1 13\t12\t9\t6\t4\t1 1 1111\nSfo+ = 911 S\u00d6T =\t9\n\u00c4T0+= 6 STo~ = 249 St\u00b0 = 40 Sf0 = 14\n5S+ = 920 =\t3\nS\u00f6i+ =\t8\nS\u00f6i\" = 243 = 43\ntfr = 9\n$u+=1652\nstr= o sn+= i\nSn~= 201\nn. s. w.","page":573},{"file":"p0574.txt","language":"de","ocr_de":"574\nGotti. Friedr. Lipps.\nYon diesen Tabellen schlie\u00dft sich die erste unmittelbar rechts dir zweite unmittelbar unten an die gegebene Vertheilungstafel an, w\u00e4hrend die dritte in diagonaler Richtung nach rechts und unten folgt woraus die Anordnung der weiterhin nach rechts und nach unten sich anheftenden Tabellen ersichtlich wird. F\u00fcr dieselben findet sich\nQ+ + \u00a3>20\t= 636;\tII 1 +S cq\t: 1 ; STo+=o\t;\tS10\t= 14; 8t\u00b0= 6;\ts2-\u00b0\t= 0\nQ++ ^02\t= 609;\tSoV =\t= S\u00bb2+= 0;\tS02 -\t= 15; 5+= 11;\ts\u00b0r\t= 0\nSti+\t= 1533 ;\tsfr\t= Sn+ = 0;\tS\u00fc~\t= 20;\t\t\ncH~ + ^>12\t= 1461;\ts&-\t= S\u00fc+ = 0;\t$12\t= 21;\t\t\nS&+\t= 1703;\tstr\t= S\u00fc+ = 0;\t$22\t= 8;. u. s. w.\t\t\nSetzt man diese Werthe in die obigen Formeln ein, so wird, da i \u2014j \u2014 1, mrjio = 1079; mrjo\\ = 1093; mr^i = 5297; mrjh = 6571 ; mr/l-i = 6511; mrfh = 11613; mrfh \u2014 11427; my n \u2014 52643 oder rj10 = 0,5395; rjoi = 0,5465; qh = 2,6485; 1720 = 3,2855; */02 = 3,2555; rjh = 5,8065; nh = 5,7135; 4 = 26,3215, Die als normale Ausgangswerthe (e, d) zu w\u00e4hlenden arithmetischen Mittel sind daher c = 3,5395 ; d = 3,5465 und die auf (c, d) bezogenen Mittelwerthe werden nach (41) durch\n\u00a310 = \u00a301 = 0; \u00a3n = + 2,354; \u00a320 \u2014 2,994; \u00a302 = 2,957; eli = + 1,473; eh = + 1,385; 4 = 18,602\nbestimmt. Die Correction dieser Werthe wegen Endlichkeit der zu Grunde liegenden Anzahl m f\u00fchrt nach II, (62 a) zu\n(\u00a3U)2 = + 2,355; (\u00a320)2 = 2,995; (\u00a302)2 = 2,958; (\u00a321)3 = + 1,474;\n(\u00a312)3 \u2014 + 1,386; (fi22)4 \u2014 18,631.\nDie nach II, (60) berechneten mittleren Fehler Mg>a sind\nMl(j = \u00b1 0,039; M01 = \u00b1 0,038; Mn = =b 0,081.\nUm auch die Werthe von M20, if02, Mn, MV1 und Mn abzusch\u00e4tzen, bestimme ich aus der erheblich reducirten Vertheilungstafel\n\t-3\t0\t3\t6\n-3\t168\t72\t\t\n0\t86\t966\t148\t1\n3\t1\t156\t341\t32\n6\t\t1\t18\t10","page":574},{"file":"p0575.txt","language":"de","ocr_de":"Die Theorie der Collectivgegenst\u00e4nde.\n575\nrjl0 \u2014 60;\t44 = 50; vea = 600;\t= 600;\t= 10000,\nuncl nehme diese offenbar zu gro\u00dfen Werthe als Ann\u00e4herungen an \u00ab40 > \u00abo4 ? \u00abi2, \u00ab24, \u00ab4i- Es kann sonach angen\u00e4hert Jf20 = \u00b1O,15; -3^02 \u2014 \u2014 0,15; M21 = =t0,5; M12 = \u00b10,5; if22 = \u00b12 gesetzt werden. Geht man schlie\u00dflich zu den Wurzelwerthen \u00fcber, so ergibt sich folgendes System von Bestimmungsst\u00fccken:\nc = 3,54 \u00b1 0,04; d = 3,55 \u00b1 0,04; \u00abu == 1,53 (1,56; 1,51); \u00ab20 = 1,73 (1,77; 1,69); \u00ab02 = 1,72 (1,76; 1,68); \u00ab21 = + 1,14 (1,25; 0,99); \u00ab12 = + 1,11 (1,24; 0,96); \u00ab22 = 2,08 (2,13; 2,02).\nDie Correlation ist nach IY, \u00a7 2, (11) auf Grund der Werthe Jn = + 2,355; z/21 = + 1,474; Jn = + 1,386; z/22 = + 9,772 zu beurtheilen. Diese Werthe m\u00fcssten gleich Null sein, wenn keine Correlation vorhanden w\u00e4re. Es m\u00fcsste ferner \u00abu = \u00ab20 = \u00ab02 ! S3I2 = S30 = \u00ab03 = \u00ab21 ; \u00ab22 = \u00ab40 = \u00ab04 sein, wenn die Werthe der Vertheilungstafel s\u00e4mmtlich in der Diagonalen liegen w\u00fcrden, um welche sie sich augenscheinlich gruppiren. Es ist aber \u00ab30 = 2,4 ; \u00ab03 = 2,2; e40 = 27; \u00abo4 = 25, wonach das Zur\u00fcckbleiben hinter der vollendeten Correlation der angegebenen Art zu ermessen ist.\nAnmerkung. Auf die \u00bbBerichtigung\u00ab Marbe\u2019s (S. 462 ds. Bds.) erwiedere ich, dass ich in der Fu\u00dfnote zu I, \u00a7 6 (S. 116 ds. Bds.) nicht \u2014 wie Marbe anzunehmen scheint \u2014 eine ausf\u00fchrliche Kritik seiner Schrift beabsichtigt, sondern die an jener Stelle in Betracht kommende Behauptung bez\u00fcglich des Vorkommens der sog. reinen Gruppen wiedergegeben und auf den Mangel eines Beweises f\u00fcr diese Behauptung, sowie auf die Unm\u00f6glichkeit eines Beweises hingewiesen habe. Meine Bemerkungen w\u00e4ren daher nur dann zu berichtigen, wenn der Beweis von Marbe thats\u00e4chlich gef\u00fchrt worden w\u00e4re oder gef\u00fchrt werden k\u00f6nnte. Dass dies nicht der Fall ist, wird jeder zugeben, der mit der Behandlung von Problemen der Wahrscheinlichkeitsrechnung vertraut ist. Ich muss somit die fr\u00fcheren Bemerkungen aufrecht erhalten und f\u00fcge hier nur noch hinzu, dass jede empirische Wahrscheinlichkeitsbestimmung im allgemeinen blo\u00df innerhalb gewisser Grenzen als zuverl\u00e4ssig gelten kann (vergl. S. 120 und 1251. Demzufolge kann es sich beim Vergleich zwischen Theorie und Erfahrung lediglich darum handeln, festzustellen, ob die theoretisch geforderten und empirisch gefundenen Werthe innerhalb gewisser (etwa durch mittlere oder wahrscheinliche Fehler bezeichneter) Grenzen mit einander \u00fcbereinstimmen. In der Nichtbeachtung dieses Grundsatzes der empirischen Wahrscheinlichkeitslehre scheint mir der Grund f\u00fcr den Fehlschluss Marbe\u2019s bez\u00fcglich der reinen Gruppen ebenso wie f\u00fcr den \u00e4hnlichen Fehlschluss bez\u00fcglich der Begrenztheit der Variantenreihe und der extremen Werthe (vergl. S. 162) zu liegen. Ist aber die von Marbe behauptete Thatsache nicht erwiesen, so kommt auch die Hypothese, welche die vermeintlich bestehende Thatsache erkl\u00e4ren soll, nicht in Betracht.","page":575}],"identifier":"lit4561","issued":"1901","language":"de","pages":"467-575","startpages":"467","title":"Die Theorie der Collectivgegenst\u00e4nde","type":"Journal Article","volume":"17"},"revision":0,"updated":"2022-01-31T12:23:04.340675+00:00"}